Diskussion:Eisensteinkriterium

Eigener Artikel

MMn hat das Eisensteinkrit. nen eigenen Artikel verdient, der Teil in irreduzibles Polynom sollte sinnvoll gekürzt werden. Insbesondere die Anschaulichkeit (also WP:OMA) kann in einem eigenen Artikel besser zur Geltung gebracht werden. --χario 21:28, 22. Mai 2008 (CEST)

"Q und R auch Monome modulo p sein"

Im Beweis steht, dass "daher" auch Q und R Monome modulo p sein müssen. Woraus folgt das? Ist das nicht genau der springende Punkt im ganzen Beweis? --84.113.138.66 22:40, 18. Jan. 2009 (CET)

Imho folgt das sofort, weil Q*R = P ist, für P gilt es definitiv und wenn es für P gilt, dann muss es auch für die beiden Faktoren gelten - wobei ich bin mir jetzt nicht sicher, ob das Argument Nullteilerfreiheit benötigt, die aber, da p ne Primzahl ist, gegeben sein müsste. Hilft das schonmal weiter? Ich durchdenk das nochmal in den nächsten Tagen. --χario 23:31, 18. Jan. 2009 (CET)

Danke, ich habs mittlerweile schon herausgefunden warum es gilt. Angenommen Q oder R wäre kein Monom. Sei $Q(x)=b_{l}x^{l}+...+b_{l'}x^{l'}+...+b_{1}x+b_{0}$ und $R(x)=c_{m}x^{m}+...+c_{m'}x^{m'}+...+c_{0}$, so dass l' und m' nicht kongruent modulo p sind und l' und m' jeweils minimal. Dann ist l+m=n:=grad(P). l'+m' < l+m weil entweder Q oder R kein Monom ist. Wenn $P(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{0}$ ist, dann ist $a_{m'+l'}$ kongruent $b_{l'}c_{m'}$, was im Widerspruch zur Monomeigenschaft modulo p von P steht. Man muss also schon ein bisschen was tun um es zu beweisen ;) (Man kann sich laut engl. Wikipedia auch einen Homomorphismus basteln ((R/pR)[x]=(R[x])/((pR)[x])?), aber ich glaub das ist auch nicht einfacher.) --84.113.138.66 18:56, 19. Jan. 2009 (CET)

Ich finde, dass diese Formulierung didaktisch nicht sehr klug ist. Man könnte dazu verleitet werden zu denken, dass P und Q Monome sein müssen, jedoch sind sie nur modulo p kongruent zu einem Monom. Die Begründung hiervon ist einfach - der Leitkoeffizient von PQ ist ja das Produkt der Leitkoeffizienten von P und Q, und damit von Null verschieden, auch unter Berücksichtigung der Kongruenz, nämlich aufgrund der Irreduzibilität von p. Gleiches gilt für die (vom Grad her) niedrigsten von Null verschiedenen Koeffizienten von P und Q. PQ kann also nur kongruent einem Monom sein, wenn P, Q Monome sind.

Mich hat dieser Satz auch sehr verwirrt und ich hätte mir eine Begründung gewünscht.

Was haltet ihr von dieser Ergänzung?

[...] Damit müssen auch $Q$ und $R$ Monome modulo $p$ sein, d. h. auch deren sonstige Koeffizienten sind alle durch $p$ teilbar, weil ansonsten das Produkt der minimalen Koeffizienten von $Q$ und $R$ mit Grad kleiner $n$ in $P$ hätte stehen bleiben müssen. Maras93 (Diskussion) 19:44, 22. Okt. 2021 (CEST)

Die Minimalität der Koeffizienten bezieht sich ja auf die Kongruenz, also $P$ und $Q$ (mod p). Also sollte man vielleicht lieber schreiben:

Damit müssen auch $Q$ und $R$ Monome modulo $p$ sein, d. h. auch deren sonstige Koeffizienten sind alle durch $p$ teilbar, weil ansonsten das Produkt der minimalen Koeffizienten von $Q$ und $R$ (mod p) mit Grad kleiner $n$ in $P$ (mod p) hätte stehen bleiben müssen. Maras93 (Diskussion) 19:56, 22. Okt. 2021 (CEST)

Meiner Meinung nach klingt der Satz ohne Erklärung so selbstverständlich und man könnte denken, dass die Koeffizienten in $Q$ und $R$ wegfallen, weil man die Koeffizienten einfach 1 zu 1 zuordnen kann, was ja nicht stimmt. Bei der Addition stimmt das zwar, aber bei der Multiplikation muss ja berücksichtigt werden, dass sich ein Koeffizient im Produkt von zwei Polynomen aus der Summe mehrerer Koeffizientenprodukte der multiplizierten Polynome ergeben kann. Das besondere am Produkt der minimalen Koeffizienten ist ja, dass dieses alleine einen Koeffizienten im Produkt der Polynome bildet. Maras93 (Diskussion) 00:25, 23. Okt. 2021 (CEST)

Nur deshalb kann man ja auch etwas zur Teilbarkeit sagen. Sind zwei Zahlen nicht durch p teilbar, so ist auch ihr Produkt nicht durch p teilbar. Die Summe von Zahlen, die nicht durch p teilbar sind, kann aber durch p teilbar sein. Beispiel: 2 und 4 sind nicht durch 3 teilbar, aber 2+4=6 ist durch 3 teilbar. Maras93 (Diskussion) 00:34, 23. Okt. 2021 (CEST)

Koeffizienten von R und Q sind durch p teilbar

-Da ist n kleiner Tippfehler im beweis: PQ=P, war wohl RQ=P gemeint -mir ist nicht ganz klar was "alle koeffizienten von Q und R sind durch p teilbar" heißen soll, die koeffizienten von Q und R sind doch rational, und alle rationalen Zahlen sind durch ganze Zahlen außer Null teilbar... --Großbuchstabe andrey 23:24, 7. Jun. 2008 (CEST)

Nur ganz kurz, ich muss gleich weg, ich schau morgen nochmal genauer drauf: Die Teilpolynome, deren Existenz angenommen wird, haben oBdA auch ganzzahlige Koeffizienten. Mach keinen Unterschied, musst ja nur ein Polynom mit dem kgV der Nenner aller Koeffizienten multiplizieren und schon isses aus Z[x]. --χario 23:33, 7. Jun. 2008 (CEST)

Nicht richtig?!

Im Artikel wird behauptet: ist P über Q irred. so ist P über Z irred. Das stimmt so nicht, da in Z[X] auch Primzahlen p aus Z irreduzible Elemente sind. als 2X^2-6 ist irred über Q (Eisenstein mit p=3), aber nicht über Z, denn 2 teilt dieses Polynom. --

Sollte unbedingt verbessert werden. Genauso falsch ist die Aussage "P irreduzibel in Z[X] impliziert P irreduzibel in Q[X]" (Gegenbeispiel: 2). Beide falschen Aussagen ersatzlos streichen? Schließlich sind beide aus meiner Sicht eher dem allgemeineren Thema "Irreduzible Elemente in Z[X] und Q[X]" und nicht dem speziellen Thema Eisensteinkriterium zuzurechnen. --62.134.120.111 15:18, 18. Aug. 2008 (CEST)

Also dass es eher allgemeiner ist, das stimmt. Aber "2" ist in beiden Fällen ein schlechtes (falsches) Beispiel: Zwar gilt 2* (x^2-3) = 2x^2 -6, aber "2" ist ein konstantes Polynom, zählt also nicht. Das Produkt muss aus nichtkonstanten Faktoren bestehen. Es gilt tatsächlich: P in Z[x] irred. <=> P in Q[x] irred. Bin auch der Meinung, das direkt im Wolfart gelesen zu haben. Schaue aber nochmal nach. Morgen. --χario 01:13, 24. Sep. 2008 (CEST)

Das mit den nichtkonstanten Faktoren ist falsch - Sie müssen irreduzibel sein. 2 zählt also sehr wohl, ist ja irreduzibel in Z (insb. in Z[X] mit Gradargumenten) ... oder kennst du ein x aus Z mit x*2 = 1. Alle solchen Fälle sehen übrigens ähnlich aus wie der obige, ist das Polynom nämlich primitiv, so gilt die Aussage doch.

Fehler im Beispiel

Im Beispiel steht:

$x^{n}-d$ ist irreduzibel in $\mathbb {Q} [x]$, wenn $d$ eine Primzahl ist bzw. nur einfache und keine mehrfachen Primteiler hat.

Doch wieso soll d keine mehrfachen Primteiler haben können? Wähle zum Beispiel d=300. Dann hat d die mehrfachen Primteiler 2 und 5, jedoch kann mit p=3 das Eisensteinkriterium erfolgreich angewendet werden. --Jobu0101 14:41, 11. Dez. 2011 (CET)

Ich hab's mal geändert. Als hinreichendes Kriterium war es im Prinzip schon richtig, aber doch etwas seltsam. -- HilberTraum 19:04, 11. Dez. 2011 (CET)

Genau so dachte ich auch. Ist zwar richtig, aber verwirrend. --Jobu0101 18:02, 16. Dez. 2011 (CET)

Voraussetzungen so korrekt?

Im Algebra-Bosch wird als Voraussetzung für das Kriterium genannt "R faktorieller Ring, f ein primitives Polynom vom Grad > 0 ...". Im Artikel fehlt die Bedingung "primitiv", oder? Oder steckt die irgendwo mit drin?

-- Oollii (Diskussion) 20:41, 4. Jan. 2015 (CET)

Ich versuche mir mal selbst zu antworten: ohne die Bedingung primitiv gilt nur, dass das Polynom in Q(F)[X] irreduzibel ist; mit f primitiv folgt dann, dass f auch in F[X] irreduzibel ist. Insofern stimmen die Voraussetzungen wie im Artikel genannt. --Oollii (Diskussion) 22:20, 4. Jan. 2015 (CET)

Ja, im 3. Punkt der Bemerkungen steht schon etwas dazu. -- HilberTraum (d, m) 09:17, 5. Jan. 2015 (CET)