Diskussion:Erzeugendensystem

Begründung für erneuten Revert

In der "Konkurrenzversion" fehlt die "Bottom-Up"-Sichtweise vollkommen, also wie man das Erzeugnis schrittweise aus den Erzeugern konstruieren kann. Im Fall von Vektorräumen wird es zwar kurz erwähnt, aber bei Gruppen oder Äquivalenzrelationen kann man das ja auch ganz explizit beschreiben. (Wie das bei σ-Algebren aussieht, weiß ich nicht.) Abgesehen davon ist die Einleitung der "anderen" Version viel zu formellastig. Man benötigt nicht den Begriff der Potenzmenge, um zu erklären, was Erzeuger sind (N.B. erklären, nicht definieren).--Gunther 16:05, 3. Sep 2006 (CEST)

Es gibt da ja grundsätzliche zwei Ansätze. Entweder man definiert in den einzelnen Fällen (Vektorräumen, Gruppen, Äq-Rels, σ-Algebren, Ringen, etc.) das von einer endlichen oder unendlichen Menge erzeugte Objekt als eine explizite Konstruktion, also etwa der erzeugte Unterraum als die Menge aller LNKs, oder man gibt die "Konstruktion" über die Minimalitätseigenschaft an. Ich finde es ist wichtig herauszustellen daß das Konzept eines "erzeugten Objektes" fast immer nach demselben Schema abläuft, so daß man in der Lage ist dieses Konzept in allen seinen Erscheinungen zu erkennen. Bei σ-Algebren z.B. ist die explizite Konstruktion mittels transfiniter Induktion nicht offensichtlich, und wohl auch nicht sonderlich beliebt. Ich gebe zu daß meine Version holprig ist und mit Formeln überladen. In der anderen Version ist das Konzept aber so darsgestellt, als würde man nur Erzeuger von "fertigen" Objekten betrachten. Bei σ-Algebren aber geht es um die Konstruktion des Objektes, ausgehend vom Erzeuger.--Archont 17:11, 26. Sep 2006 (CEST)

Man braucht fertige Objekte, um über Erzeugnisse sprechen zu können: Schnitte sind nur innerhalb größerer Objekte sinnvoll. Im Fall der σ-Algebren ist das transparent, weil es mit der Potenzmenge ein kanonisches großes Objekt gibt, innerhalb dessen alles stattfindet. Aber eine Konstruktion wie

$\langle E\rangle =\bigcap _{V\ \mathrm {Vektorraum} ,\ E\subseteq V}V$

mit einem rein mengentheoretischen Schnitt funktioniert nicht. (Kategoriell gesprochen: Man kann Unterobjekte schneiden, nicht Objekte per se.) Das ist auch einer der Punkte, die mir an Deiner Fassung nicht gefallen: Nicht für jede Art Objekt ist mengentheoretischer Schnitt der richtige Begriff. Überformal gesehen ist das ja schon bei Vektorräumen der Fall, die ja eigentlich irgendwelche $k$-Tupel $(V,{+},{\cdot },0)$ (oder wie auch immer genau) sind.--Gunther 17:34, 26. Sep 2006 (CEST)

Dem steht offensichtlich gegenüber, daß eine wesentliche Anwendung dieses Begriffes das Erzeugen von Objekten ist. Eklatantes Beispiel sind die erwähnten σ-Algebren, die man selbst gar nicht kennt sondern nur über ihre Erzeuger Daß man so nur "Unterobjekte" erzeugen kann, und keine richtigen "Objekte" ist nun wirklich Paragraphenreiterei. Beide Sichtweisen sind berechtigt und gehören in den Artikel. --Archont 17:05, 26. Sep 2006 (CEST)

Du kannst nicht in den luftleeren Raum hinein erzeugen, Du kannst immer nur innerhalb eines vorhandenen, großen Objektes erzeugen. Wenn Du das anders siehst, dann nenne bitte ein Gegenbeispiel, σ-Algebren sind wie gesagt keines.--Gunther 17:33, 27. Sep 2006 (CEST)

Ausführliche Kritik

• "Objekt"/"Unterobjekt" ist kein Handwaving, sondern Terminologie der Kategorientheorie. Insbesondere ist die Bezeichnung "Objekt" nicht sinnvoll auf das Erzeugendensystem anwendbar.
• Die Einleitung labert viel zu lange herum, ohne auf den Punkt zu kommen. In der Einleitung sollte das allgemeine Konzept kurz vorgestellt werden, ein ausführliches Beispiel kann immer noch folgen. (Beispielsweise führt der Hinweis auf die Dimension komplett weg vom Thema.)
• "Mengentheoretische Formulierung": Es sollte zuallermindest darauf hingewiesen werden, dass Unterobjekte im Allgemeinen keine Teilmengen sein müssen und diese Formulierung deshalb auch nur einen Spezialfall behandelt. Tendenziell ist das ohnehin die falsche Sichtweise, Stichwort Kategorientheorie.
• Beispiele Äquivalenzrelationen/Gruppen: Es fehlt die Erklärung, wie man die gewünschte Relation/Gruppe außer durch Durchschnittsbildung erhält.
• Beispiel messbare Funktionen: Ein etwas bekannteres Beispiel dürfte die Beziehung zwischen Epsilon-Delta-Stetigkeit und topologischer Definition sein.

--Gunther 13:37, 28. Sep 2006 (CEST)

Erwiderung

• "Objekt"/"Unterobjekt" ist kein Handwaving, sondern Terminologie der Kategorientheorie. Insbesondere ist die Bezeichnung "Objekt" nicht sinnvoll auf das Erzeugendensystem anwendbar.

Dieser Artikel steht nicht unter der Kategorie "Kategorientheorie". Wer wissen will was ein Erzeuger ist, braucht von Kategorien nichts zu wissen.

• Die Einleitung labert viel zu lange herum, ohne auf den Punkt zu kommen. In der Einleitung sollte das allgemeine Konzept kurz vorgestellt werden, ein ausführliches Beispiel kann immer noch folgen. (Beispielsweise führt der Hinweis auf die Dimension komplett weg vom Thema.)

Ohne Beispiel wäre eine Erklärung nur die Anhäufung schwammiger Wörter. Das Beispiel der Vektorräume ist gut geeignet um zu demonstrieren was das Konzept ist, und wozu es gut ist. Die Bemerkung über Dimensionen ist dazu gedacht zu begründen warum die erste Form des Konzepts eines Erzeugers sinnvoll ist. Weiter steht eine Kurzzusammenfassung am Anfang des Artikels.

• "Mengentheoretische Formulierung": Es sollte zuallermindest darauf hingewiesen werden, dass Unterobjekte im Allgemeinen keine Teilmengen sein müssen und diese Formulierung deshalb auch nur einen Spezialfall behandelt. Tendenziell ist das ohnehin die falsche Sichtweise, Stichwort Kategorientheorie.

s. Punkt 1

• Beispiele Äquivalenzrelationen/Gruppen: Es fehlt die Erklärung, wie man die gewünschte Relation/Gruppe außer durch Durchschnittsbildung erhält.

Wenn es meine Zeit zulässt, werde ich versuchen die Beispiele auszuführen. --Archont 17:25, 29. Sep 2006 (CEST)

Der Artikel steht unter der Überschrift "Algebra", und die kategorielle Sichtweise ist aus der heutigen Algebra nicht mehr wegzudenken. ("Erzeuger" im Sinne der Kategorientheorie sind ohnehin etwas anderes.) Wenn Du schon auf den Zusatz "Algebra" abhebst, dann könnte man auch gleich noch darauf hinweisen, dass σ-Algebren keine algebraische Struktur i.e.S. darstellen.--Gunther 10:36, 4. Okt 2006 (CEST)

Neutrales Element

Die Aussage:

"Anschaulich enthält $\langle E\rangle$ das neutrale Element von $G$ sowie alle endlichen Produkte $a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$ für die für $1\leq i\leq n$ jeweils $a_{i}\in E$ oder $a_{i}^{-1}\in E$ gilt."

ist insofern falsch, als das neutrale Element einer Gruppe im Allgemeinen gar nicht zu einem Erzeugendensystem gehören muss. In allen außer der trivialen Gruppe kann es nämlich eben gerade durch die Gruppenoperation als Erzeugnis anderer Elemente produziert werden ! --Yakob (Diskussion) 14:10, 11. Nov. 2013 (CET)

Das verstehe ich nicht so ganz: Ja, das neutrale Element muss nicht zum Erzeugendensystem $E$ gehören, aber zur davon erzeugten Untergruppe $\langle E\rangle$ natürlich schon. Man erhält es zwar als leeres Produkt, aber man kann ja das Produkt auch so auffassen, dass $n\geq 1$ gemeint ist. -- HilberTraum (Diskussion) 15:21, 11. Nov. 2013 (CET)

Erzeugnis

Bevor ich die ganzen Links umbiege, überlege ich, ob es nicht doch sinnvoller wäre, manche Aspekte in einen eigenen Artikel Erzeugnis (Mathematik) (oder Erzeuger (Mathematik)) auszulagern. In der aktuellen Struktur wären das

Der letzte Absatz der Einleitung

1.4 Erzeugte Untervektorräume

2.5 Erzeugte Untergruppen

2.6 Topologische Gruppen

3.1 Ringe

4.1 σ-Algebren

5 Mengentheoretische Formulierung

Die Unterscheidung wäre dahingehend, ob die ganze Struktur erzeugt wird (Erzeugendensystem) oder nur eine Unterstruktur (Erzeuger/Erzeugnis). Natürlich ist jeder Erzeuger auch ein Erzeugendensystem (eben seines Erzeugnisses), aber von Erzeugnis spricht man eigentlich nur, wenn nicht die ganze Struktur erzeugt wird. Was meint ihr? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 12:26, 21. Jan. 2015 (CET)

Klingt sinnvoll. Ich glaube außerdem auch, dass die Bezeichnung "Erzeugendensystem" im Zusammenhang mit σ-Algebren und Topologien nicht so gebräuchlich ist.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 17:25, 21. Jan. 2015 (CET)

Revert und wiederum Revert von heute, 1.11.2015

Habe die Änderung https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Erzeugendensystem&type=revision&diff=147590181&oldid=147589996 rückgängig gemacht; unsinnige Bearbeitung: ein Objekt (hier: Gruppenelement)) kann nicht als Objekt A und B zerlegt werden, sondern immer nur in A und B, Der Fehler war u.a. der Länge des Satzes geschuldet, das mußte irgendwann schief gehen. Deshalb habe ich auch den Satz aufgeteilt in zwei Sätze. Diese Änderung war demnach richtig und geboten, die vorherige Formulierung war fehlerhaft, unglücklich und schwer lesbar und damit zu korrigieren. Der Revert des anderen Benutzers war demnach falsch, unsinnig und mißbräuchlich. Insbesondere mißbräuchlich war der Editkommentar - die Kommentarzeile ist nicht dazu da, die Motive des Users für die Änderung zu dokumentieren, sondern die Begründung. Eine sachliche Begründung war dies nicht, sie hatte also zu unterbleiben. Der Fall grenzt an Vandalismus. --2003:74:CD21:615:C98B:15D4:51E4:A2B1 18:38, 1. Nov. 2015 (CET)

Aha und Lernt doch bitte erstmal Deutsch und mit Sprache umzugehen, bevor Ihr hier Artikel verfaßt, Mann!!!! ist eine solche sachliche Begründung? --Quartl (Diskussion) 20:03, 1. Nov. 2015 (CET)

Meine Begründung steht doch oben und in kurzer Fassung in der Kommentarzeile. Ich sehe da jetzt keinen Zusammenhang zu dem von dir zitierten Satz. Ich sehe allerdings auch nicht, daß die IP mit diesem Satz die Änderung begründen wollte, sondern in erster Linie wollte sie wohl ihrem berechtigten Ärger Ausdruck geben. In zweiter Linie gibt sie einen Begründungshinweis, denn das, was da stand war ja hauptseitig sprachlich verkorkst (das aber wirklich gründlich). Sachlich war es vielleicht sogar richtig gemeint - aber meinen und ausdrücken und auch noch richtig "rüberbringen" sind dreierlei. Und das Mittel zum Gelingen ist nunmal die Beherrschung der Sprache. --2003:74:CD21:615:69A1:F197:152B:74D2 00:07, 2. Nov. 2015 (CET)

Die Zusammenfassungszeile ist nicht dazu da, seinem Ärger Ausdruck zu geben. Du kannst gerne sprachliche Verbesserungen vornehmen, aber es ist nicht zuviel verlangt, dass dies in einem freundlichen Umgangston geschieht. --Quartl (Diskussion) 06:25, 2. Nov. 2015 (CET)

Ich verstehe dich im Moment überhaupt nicht. Was ist denn hier der falsche Umgangston? Vielmehr sehe ich in der Nutzung der Kommentarzeile zum Zweck der Erteilung von "Ordnungsrufen" durch den Benutzer:Quartl einen Mißbrauch. --2003:74:CD21:651:B9D6:D5A0:7BE:B98C 11:29, 2. Nov. 2015 (CET)

Uuups, das bist ja du. Ok, bezieh's halt auf dich. Bei der Gelegenheit: Ein Revert eines korrekten Edit, weil ein "Mißgriff im Ton" in der Bearbeitungszeile vorkommt, ist m.E. ein schwerer Verstoß und grenzt an Vandalismus. Ich habe insgesamt ein bischen den Eindruck, daß auch hier ein Fall für "An die eigene Nase fassen" gegeben ist. --2003:74:CD21:651:1091:219F:EB51:336B 12:09, 2. Nov. 2015 (CET)

Kannst du mal zeigen, welche deiner Edits von mir revertiert wurden? --Quartl (Diskussion) 12:32, 2. Nov. 2015 (CET)

Gar keiner. Aber spielt das eine Rolle? Du hast ganz offensichtlich einen Edit (diesen - wie es scheint waren's zwei) revertiert, um einen User zu belehren, obwohl dir klar war oder hätte klar sein müssen, daß der Edit richtig und notwendig war. Und das ist nach den Regeln der WP nach meinem Kenntnisstand nicht erlaubt. Edits sollen die Texte verbessern/korrigieren. Insbesondere sollen sie die Texte nicht verschlechtern oder gar Fehler erzeugen oder alte Fehler wieder einfügen. Ich überlege allmählich, ob ich dich ob deiner Unbelehrbarkeit nicht beobachten und beim nächsten Verstoß auf der Vandalismusseite melden sollte. Nach dem Motto: Wer nicht hören will, muß fühlen! --2003:74:CD21:651:504D:9BFD:745E:8313 13:57, 2. Nov. 2015 (CET)

Zum Thema Beleidigungen in der Zusammenfassungszeile siehe Wikipedia:Vandalismus, zum Umgangston mit anderen Benutzern Wikipedia:Wikiquette. --Quartl (Diskussion) 18:38, 2. Nov. 2015 (CET)

Na ja! Sachlich betrachtet können hier in der Einleitung des Artikels (Stand 2. 11. 2015, ca. 19:15 h) schon zwei Punkte bemängelt werden: Erstens die Betonung der Gruppentheorie, die ich für kaum vertretbar halte, und zweitens die Verwendung des Verbs "zerlegen". Vor allem Letzteres. Es ist mE nicht üblich zu sagen, dass ein Element einer Gruppe in andere Elemente zerlegt wird. Es geht in diesem Kontext eher um die Frage der Darstellbarkeit als um die Frage der Zerlegbarkeit. Ich würde in der Algebra ohnehin von Zerlegung am ehesten bei faktoriellen Ringen sprechen.--Schojoha (Diskussion) 19:14, 2. Nov. 2015 (CET)

Zustimmung, ich habe "zerlegt" nun durch "dargestellt" ersetzt. Der Gruppentheorie ist immerhin ein ganzer Abschnitt im Artikel gewidmet, da kann man in der Einleitung schon einen Satz spendieren. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:30, 2. Nov. 2015 (CET)

Na, geht doch! --2003:74:CD21:651:910:C286:B092:8DE2 19:55, 2. Nov. 2015 (CET)

OK! --Schojoha (Diskussion) 21:07, 2. Nov. 2015 (CET)