Diskussion:Fermi-Dirac-Statistik

Dieser Artikel wurde ab Dezember 2009 in der Qualitätssicherung Physik unter dem Titel „Fermi-Verteilung“ diskutiert. Die Diskussion kann im Archiv nachgelesen werden.

Anyonen

Was sind denn Anyonen? stimmt der Link von komplexe Phase auf komplexe Zahl? (Der vorstehende nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 141.53.194.251 (Diskussion • Beiträge) 15:44, 17. Okt. 2002 (CEST))

Habe die Verweise auf die Bose-Einstein-Statistik und dei Anyonen in den Artikel Quantenstatistik übernommen. (Der vorstehende nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von Atosch (Diskussion • Beiträge) 15:26, 23. Nov. 2004 (CET))

Beispiel?

Zitat Artikel:

Kernpunkt der Fermi-Dirac-Statistik ist, dass die Wellenfunktion (oder der "Zustandsvektor") eines Vielteilchensystems bei Vertauschen zweier Teilchen einen Vorzeichenwechsel erleidet

Kann der Vorzeichenwechsel etwas besser erklärt werden, vielleicht an einem Beispiel? Kann mir nicht vorstellen, was es bedeutet, wenn die Wellenfunktion einen Vorzeichenwechsel erleidet.

Danke, --Abdull 11:20, 23. Feb 2005 (CET)

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Fermionen werden durch ungerade Wellenfunktionen beschrieben. Allgemein drückt man daher einen Vielteilchenzustand über die Slater-Determinante aus, in der die diversen Einzelzustände stehen. Im Fall von zwei Teilchen gilt dann für so eine Vielteilchenwellenfunktion $\Psi ({\vec {r_{1}}},{\vec {r_{2}}})=-\Psi ({\vec {r_{2}}},{\vec {r_{1}}})$, aber das steht ja schon im Artikel über's Pauli-Prinzip.

Übrigens würde ich das "Verschwinden" von Psi bei identischen Teilchen etwas anders schreiben bzw. durch oben geschriebe Formel deutlich machen, dass also nur Psi = 0 die Eigenschaft -Psi = Psi erfüllt.

iLeo (Der vorstehende falsch signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 137.195.101.92 (Diskussion • Beiträge) 22:57, 29. Mai. 2005 (CEST))

Was ist eigentlich das "gi" in der zweiten Gleichung "Ni=...." ?? (Der vorstehende nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 139.20.161.80 (Diskussion • Beiträge) 16:22, 9. Mai. 2006 (CEST))

Vielleicht die Zustandsdichte? Dann würde diese Gleichung die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Energieniveaus beschreiben. (Der vorstehende nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von -flo (Diskussion • Beiträge) 16:43, 27. Mär. 2007 (CEST))

die entartung des zustandes i. --Pediadeep 20:24, 27. Mär. 2007 (CEST)

Ah, danke. Es geht ja auch nicht um die Besetzungswahrscheinlichkeit eines ganzen Bandes sondern nur einfach um die Anzahl der möglichen Fermionen bei einer bestimmten Energie.

Das kann man vielleicht noch hervorheben: Die Fermi-Dirac-Statistik kann man anwenden für Halbleiter (Kristalle) (dann ist g(i) die Zustandsdichte (abhängig von der Gitterkonstante) (wenn man das noch mit einem Intergral über die Energie macht, kann man die möglichen Elektronen pro Band bestimmen.)). Sie gilt aber genauso für Elektronengase oder wie Pediadeep sagte für einzelne Atome mit Hilfe der Entartung. Richtig?---flo 10:43, 30. Mär. 2007 (CEST)

Von Atomen hab' ich nichts geschrieben. --Pediadeep 11:39, 30. Mär. 2007 (CEST)

Ich muss mir das mit der Entartung nochmal richtig klar machen. Aber du hast Recht. Entartung bezieht sich nicht nur auf Atome. Aber richtig ist das schon, oder ? Man kann mit Hilfe der Entartung und der Fermi-Dirac-Statistik auch die Besetzung der Elektronen bei Atomen bei bestimmter Temperatur bestimmen. Wenn das stimmt, würde ich das in nächster Zeit hinzufügen, damit ein paar Anwendungen im Artikel stehen. ---flo 12:50, 31. Mär. 2007 (CEST)

Eine Frage hätte ich noch: Warum verschwindet das μ in der zweiten Gleichung ? c entspricht ${\frac {1}{k_{B}T}}$. Das chemische Potential ist doch nicht 0 oder verwechsele ich da etwas ? ---flo 17:38, 28. Mär. 2007 (CEST)

$N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\frac {E_{i}-y}{k_{B}T}}+1}}$ (Der vorstehende nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von -flo (Diskussion • Beiträge) 10:40, 30. Mär. 2007 (CEST))

Ich denke mal, das µ ist an der Stelle vergessen worden... Werde es mal wieder einfügen --Konsumkind 22:49, 20. Aug. 2007 (CEST)

Minuszeichen vor Exponentialfaktor

Das Minuszeichen vor dem Exponentialfaktor in der letzten Formel ist nicht richtig. Wenn es richtig wäre, würde die Statistik nicht in die Boltzmann-Statistik übergehen (Exponentialfaktor wird groß gegen die 1, die dann zu vernachlässigen wäre). Der gleiche Fehler tritt übrigens auch bei der Bose-Einstein-Statistik auf). (Der vorstehende nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 134.245.68.34 (Diskussion • Beiträge) 16:40, 15. Mai. 2006 (CEST))

Was ist denn das gi in der Gleichung?? siehe Abschnitt oben (Der vorstehende nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 139.20.161.80 (Diskussion • Beiträge) 13:24, 22. Mai. 2006 (CEST))

Pauli-Prinzip

Zwei Fermionen können sich durchaus im selben Zustand befinden, jedoch nicht wenn sie sich mikroskopisch nahe kommen. Wenn der Ort im Begriff "Zustand" enthalten seien sollte, wäre es vielleicht besser dies explizit anzugeben... (Der vorstehende nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 85.179.6.90 (Diskussion • Beiträge) 0:01, 11. Jul. 2006 (CEST))

Ausserdem ist das Energiediagramm zur Herleitung der Statistik dahingehend falsch, dass dem Umstand nicht Rechnung getragen wird, dass sich zwar 2 Elektronen nicht im selben Zustand (inkl. Ort) befinden können, aber sich energetisch nicht unterscheiden, wenn sie sich im Spin unterscheiden. Somit können alle Energieniveaus mit 2 Elektronen gleicher Energie und gleicher Ortsfunktion mit unterschiedlichem Spin besetzt werden. (nicht signierter Beitrag von 134.93.92.221 (Diskussion) 11:48, 30. Aug. 2012 (CEST))

Fermienergie

Der Satz: „Hierbei ist μ das chemische Potenzial (µ auch $E_{F}$ Fermi-Energie)...“ ist so falsch. µ entspricht für $T=0k$ der Fermienergie. --Konsumkind 22:49, 20. Aug. 2007 (CEST)

Überschneidung mit "Fermienergie" nicht existent

Denn die Fermienergie ergibt sich für einen Spezialfall (nämlich bei Wechselwirkungsfreiheit). Den Überschneidungs-Balken hebe ich auf.

Übrigens waren beide Artikel bisher nicht ganz korrekt und (letzten Endes daher!) sehr unbefriedigend. (Der vorstehende nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 132.199.38.112 (Diskussion • Beiträge) 13:50, 14. Sep. 2007 (CEST))

"drehverhalten"

"welche sich wiederum aus dem ungewöhnlichen Drehverhalten der Wellenfunktion einzelner Fermionen ergibt (bei einer Drehung um 360o ändert diese im Fermi-Fall ihr Vorzeichen, entsprechend einer gewöhnlichen Drehung um nur 180o, im Bose-Fall reproduziert sie sich)." derselbe "mist" wie in Fermion. man muss erklaeren was drehen sein soll, so schoen anschaulich das auch fuer den schreiber sein mag. ist permutation der argumente/teilchen gemeint? 91.15.164.20 21:58, 13. Mär. 2009 (CET)

Redundanz bereinigt (stark gekürzt und verlinkt)

Das, was der Artikel jetzt zeigt, ist mein Vorschlag.--jbn 16:42, 9. Jan. 2012 (CET)

Fermi-Energie und chemisches Potential

Die Formel der Verteilung ist so nicht richtig, es müsste in der Formel $E_{F}$ durch das chemische Potential $\mu$ ersetzt werden.

$\mu$ ist temperaturabhängig und $E_{F}$ nur definiert als $\mu$ bei T=0.

Auch falsch ist, dass man die Fermi Energie als chemisches Potential bezeichnet. Umgekehrt ist es jedoch in der Festkörperphysik üblich das chemische Potential als Fermi Energie zu bezeichnen. (nicht signierter Beitrag von JuBraun (Diskussion | Beiträge) 10:16, 15. Mär. 2012 (CET))

Widerspruch: Die FD-Statistik findet nicht nur in der Halbleiterei sondern z.B. auch in der Astronomie Anwendung. In einem Artikel zur FD-Statistik sollten deshalb die Fachbegriffe korrekt verwendet werden. In den Lehrbüchern zur Festkörperphysik (Kittel, Ibach, Ashcroft, Gross ...) steht es übrigens auch korrekt. Genauso in der englischen Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi–Dirac_statistics

Der übliche Sprachgebrauch in einem kleinen Teilgebiet der Physik (hier Halbleiterphysik) sollte bei einem Lexikonartikel NICHT ausschlaggebend sein. RS (nicht signierter Beitrag von 77.13.98.58 (Diskussion) 21:26, 18. Sep. 2014 (CEST))

Neu: Herleitung der Fermi-Dirac-Statistik aus einem Minimum der freien Energie

Der neue Abschnitt hat noch zuviele Fehler und sollte noch nicht gesichtet werden. Einige davon:

1. 2. Zeile: "ein System von Fermionen (...), das Zustände annehmen kann" ist irreführend, denn es sind die Zustände der einzelnen Teilchen.
2. 5. Zeile: beide Nebenbedingungen sollten hier genannt werden. (die 2. ist nicht irgendeine "weitere Gleichung".)
3. Der Weg zu Formel (1) bleibt unterbelichtet.
4. Makro- Mikrozustand, $g_{i}$ und $D_{i}$ - schlecht eingeführt bzw. durcheinander.
5. Es fehlt jede Bezugnahme auf das Ausschließungsprinzip.

An die Autoren Felivik und 153.96.255.33 hätte ich die Bitte, das selber zu verbessern u/o hier zu diskutieren.--jbn (Diskussion) 15:06, 23. Jul. 2012 (CEST)

Hallo Herr oder Frau Bleckneuhaus, ich schreibe einfach hier Antworten auf die Anmerkungen hinein, hoffe das ist OK. Wie man eine neue Antwort aufmacht, habe ich nicht gesehen ...

@Felivik: Das ist völlig richtig so. Übrigens duzen sich alle Wiki-Autoren, und wer sich hinter welchem Nutzernamen verbirgt, ist sowieso egal. Ich sehe, es geht voran. Meine weiteren Anmerkungen hier eingefügt:--jbn (Diskussion) 16:54, 25. Jul. 2012 (CEST)

Zu den Änderungsvorschlägen, Anmerkungen:

1. "ein System von Fermionen (...), das Zusände annehmen kann" soll ausdrücken, dass die Gesamtheit der Fermionen Zustände annimmt. Fermionen sind laut quantenmechanischer Auffassung ununterscheidbare Teilchen. In einem Gesamtzustand kann nicht festgelegt werden, welches Teilchen in welchem Zustand ist, sondern nur wieviele der Fermionen in welchen Zuständen sind. Insofern finde ich die Ausdrucksweise wie sie ist gut. Evtl. habe ich die Anmerkung nicht ganz verstanden, das wär die andere Möglichkeit...

Ich meine das rein sprachlich: nach den Worten "ein System (...), das Zustände i=1,... annehmen kann" (o.ä.) nummerieren die i ganz eindeutig die Zustände des gesamten Systems, wir brauchen hier aber die Zustände, die jedem seiner Teilchen offenstehen.--jbn (Diskussion) 16:54, 25. Jul. 2012 (CEST)

2. Zur Klärung habe ich einen Satz angefügt: "Weiterhin werden neben der Teilchenanzahl die Temperatur des Systems und dessen Volumen als Zustandsgröße als konstant vorgegeben angenommen (kanonisches Ensemble). Im kanonischen Ensemble ist also gesamte innere Energie innerhalb der unterschiedlichen Mikrozustände des Ensembles variabel. Die Teilchenanzahl, die Temperatur und das Volumen werden als konstant angenommen.

Das sollte nicht wie eine Zusatzannahme klingen, sondern als die Vorbedingung dafür, dass im Gleichgewicht F=min! gilt, ganz am Anfang genannt werden.--jbn (Zusatz: Meine Bemerkung über eine 2. Nebenbedingung zur Energie war übrigens falsch.) (Diskussion) 16:54, 25. Jul. 2012 (CEST)

3. Ich habe den Weg zu Formel (1) näher beschrieben. Es wird die Bedingung angewandt, die man zur Berechnung der Position eines Extremums (Minimum oder Maximum) einer skalaren Funktion von mehreren Veränderlichen anwendet. Der Link geht auf Lagrange-Multiplikator, besser wäre ein Link auf "Extrema unter Nebenbedingungen". Disen Eintrag gibt es bisher jedoch noch nicht in Wikipedia.

Das wird bei Lagrange-Mult. ja mit abgehandelt. Aber ich würde den Weg zu (1) trotzdem leichter nachvollziehbar beschreiben.--jbn (Diskussion) 16:54, 25. Jul. 2012 (CEST)

4. Da haben Sie recht. Die Definition von Makro- und Mikrozustand ist bisher unklar. Sie ist mir selbst nicht klar genug. Ist ein Makrozustand durch die Zustandsvariablen N, T, V gegeben (makrokanonisch) oder durch die Gesamtbesetzungszahl N und die Besetzungszahlen der Zustände i mit Energie E_i? Dies ist zu klären.

Makrozustand: N, T, V --jbn (Diskussion) 14:04, 26. Jul. 2012 (CEST)

5. Ein Link Pauli-Prinzip ist eingefügt. (nicht signierter Beitrag von Felivik (Diskussion | Beiträge) 13:20, 25. Jul 2012 (CEST))

Das sollte man deutlicher benennen, in Bezug auf die Formel für W. - Ich mach für alles jetzt mal einen Vorschlag.--jbn (Diskussion) 14:04, 26. Jul. 2012 (CEST)

(Stunden später:)So, neue Fassung ist eingebaut. Mehrere weitere Schwächen bereinigt (Zustand -> Niveau; Makro/Mikrozustand ...). Die Formeln ab dem Binomialkoeffizienten habe ich einfach übernommen, da steckt aber noch bei ln W_i ein Vorzeichenfehler drin. Wie trotzdem das richtige rauskommt - rätselhaft. @Felivik: Bitte berichtigen!--jbn (Diskussion) 15:51, 26. Jul. 2012 (CEST)

Hallo Bleckneuhaus, die Vorzeichen habe ich korrigiert. Da war etwas im Argen. Grüße Felivik (Diskussion) 11:53, 30. Jul. 2012 (CEST)

Hallo Bleckneuhaus, danke für die Mithilfe beim Schreiben des Artikels. Er ist jetzt gesichtet. Grüße von --Felivik (Diskussion) 17:35, 9. Aug. 2012 (CEST)

Lagrange-Multiplikator und chemischen Potential

Gibt es noch ein tieferen Grund oder eine Erklärung, weshalb der Lagrange-Multiplikator mit dem chemischen Potential identifiziert werden kann? Wäre schön, wenn dazu noch ein Satz ergänzt werden würde... --141.89.36.154 20:11, 15. Apr. 2014 (CEST)

Als "Tieferen Grund" wüsste ich nur, das der Lagrangemultiplikator erfahrungsgemäß und überraschenderweise immer eine eminente physikalische Bedeutung kriegt. Danke aber für den Hinweis auf eine schwache Formulierung - geändert.--jbn (Diskussion) 10:59, 16. Apr. 2014 (CEST)

grober Fehler

Im Artikel werden die Begriffe "chemisches Potential" und "Fermienergie" verwechselt. Richtig ist die Definition E_F = µ(T=0). "Die Besetzungswahrscheinlichkeit W für einen Zustand mit der Energie des Fermi-Niveaus E\mathord = E_F \!\, ist bei allen Temperaturen: W(E \mathord = E_F) = \frac 1 {e^0+1}= \frac{1}{2} \ ." Das ist FALSCH! Das chemische Potential, das eigentlich gemeint ist, kann sogar negativ werden ! E_F nicht. Der gleiche Fehler noch einmal: "Die Temperaturabhängigkeit der Fermi-Energie ist sehr gering (meV-Bereich) und wird oft vernachlässigt." Das chemische Potential ist temperaturabhängig, E_F definitionsgemäß nicht. Richtig kann man das z.B. hier nachlesen: http://www.spektrum.de/lexikon/physik/fermi-dirac-statistik/4882 Oder im Kittel, Ashcroft, Gross ....

(Die Gleichsetzung von EF und µ kann man in einem Artikel über Halbleiter machen (Si ist bei TF längst verdampft), aber NICHT in einem allgemeinen Artikel zur FD-Statistik). (nicht signierter Beitrag von 77.13.98.58 (Diskussion) 21:26, 18. Sep. 2014 (CEST))

So eine Debatte hatten wir schon mal 2011 (Wikipedia:Redaktion Physik/Qualitätssicherung/Archiv/2009/Dezember#Fermi-Verteilung), und die Frage der Terminologie blieb zugegebenermaßen etwas unklar. Nach meinen damaligen Erkundigungen sind die Benennungen in der Praxis aber keineswegs wirklich einheitlich so, wie in der Kritik hier behauptet. Aus Demtröder 3 (Kap. 13.1.5) zitiere ich mal schnell: "Die Fermi-Energie E_F(T) sinkt mit zunehmender Temperatur." Alles klar? Dennoch sollten wir hier nachbessern, nachdem wir einen Konsens gefunden haben. Ich muss dazu aber erst in die UB.--jbn (Diskussion) 21:23, 19. Sep. 2014 (CEST)

Benennung Fermi-Dirac Verteilungsfunktion

Die Benennung der Fermi-Dirac Verteilungsfunktion ist nicht Einheitlich. Im Abbild der Fermi Verteilung wird diese als f(E) bezeichnet, im Text als W(E). Da eine relativ einheitliche Benennung der Funktion mit f(E) existiert, sollte über eine entsprechende Anpassung im Text nachgedacht werden. (nicht signierter Beitrag von 134.2.50.101 (Diskussion) 15:41, 25. Sep. 2019 (CEST))

Genau das wollte ich auch gerade schreiben. Es muss definiert werden, was der Funktionswert des Graphen bedeutet. Zusätzlich sollte beschrieben werden, worauf sich die Wahrscheinlichkeit bezieht. Es ist zunächst irreführend, dass für alle Energiewerte unterhalb der Fermi-Energie eine Wahrscheinlichkeit von 1 besteht. Das macht nur Sinn, wenn ein System aus "vielen" Fermionen betrachtet wird und der Funktionswert die durchschnittliche Anzahl der Fermionen in dem Energiezustand angibt. (nicht signierter Beitrag von Kuchen Andre (Diskussion | Beiträge) 14:42, 29. Apr. 2020 (CEST))

Herleitung des Chemischen Potentials

Die Formel

$\lambda ={\frac {\partial F}{\partial N_{i}}}={\frac {\partial E}{\partial N_{i}}}-T{\frac {\partial S}{\partial N_{i}}}=E_{i}-k_{\rm {B}}T{\frac {\partial \ln W_{i}}{\partial N_{i}}}=E_{i}-k_{\rm {B}}T\ln([D_{i}/N_{i}-1])$

ist verwirrend. Für T=0, steht da

$\lambda =E_{i}.$

Am Anfang der Herleitung steht das $\lambda$ nicht von i abhängen soll. Würde ja auch Sinn machen. Welches i ist das? Die Fermi-Verteilung ist $f_{i}=1/2$ für jedes i? Entschuldigt, wenn ich etwas offensichtliches übersehe. --2001:9E8:899B:E700:244C:BDBB:38D9:9CE9 21:36, 27. Feb. 2024 (CET)

Versuchen wir es einmal nachzuvollziehen. Es handelt sich hierbei um keine Herleitung des chemischen Potentials. Dass man $\lambda$ mit dem chemischen Potential identifiziert, fällt vom Himmel. $\lambda$ ist hier nur irgendein Lagrangemultiplikator, den man als Rechengröße einführt. Wenn man Freiheitsgrade des Systems zählt, dann sehen wir, dass wir $N+1$ Größen (die $N_{i}$ und $\lambda$) haben, um $N+1$ Gleichungen (die Ableitungen nach $N_{i}$ und die Zwangsbedingung) zu erfüllen. Von daher passt es, dass es nur genau ein $\lambda$ gibt. Jetzt betrachten wir den Fall $T=0$: die Bedingung $\lambda =E_{i}$ sagt dann aus, dass alle $E_{i}$ identisch zu sein haben (was im Widerspruch dazu steht, dass sie alle verschieden sein sollten, um sinnvoll die Entartungsgrade zu definieren), und dass entsprechend auch alle Teilchen im selben Zustand sind. Was übersehen wir also in der Herleitung, wie sie in der Wikipedia steht? Die (anholonomen) Zwangsbedingungen, dass $N_{i}\leq D_{i}\forall i$ nebst $E_{i}\neq E_{j}$ für $i\neq j$. --Blaues-Monsterle (Diskussion) 13:22, 28. Feb. 2024 (CET)