Diskussion:Gelfand-Transformation

Bemerkungen zum leeren Gelfand-Spektrum

Im Artikel waren folgende zwei Absätze mit der Überschrift Bemerkungen eingefügt. Die habe ich entfernt und hierher kopiert:

Ist $A$ eine kommutative Banachalgebra mit Eins, so ist $X_{A}$ stets nicht leer. Ist $A$ eine kommutative Banachalgebra ohne Eins, so kann man $A$ mittels Adjunktion in eine größere Banachalgebra ${\tilde {A}}$ mit Einselement einbetten. Die Projektion $\pi :{\tilde {A}}\rightarrow {\tilde {A}}/A\cong \mathbb {C}$ ist dann z.B. ein Homomorphismus. Es gilt sogar (im geeigneten Sinne) $X_{\tilde {A}}=X_{A}\cup \{\pi \}$ mit obiger Projektion $\pi$. Falls $X_{A}\not =\emptyset$, dann entspricht dieses topologisch der Einpunkt-Kompaktifizierung.

Man beachte bei dem Beispiel von oben für eine Banachalgebra mit leerem Spektrum, dass wenn $A$ eine Banachalgebra mit der Nullmultiplikation ist, diese kein Einselement $e$ hat (wir fordern $e\not =0$). Bettet man $A$ mittels Adjunktion in die Banachalgebra ${\tilde {A}}$ mit Einselement ein, so ist die Multiplikation in ${\tilde {A}}$ nicht mehr die Nullmultiplikation.

Es ist zwar richtig, dass durch die Adjunktion eines Eisnelements so etwas wie eine Einpunktkompaktifizierung stattfindet, aber das gehört irgendwie nicht in den Artikel zur Gelfand-Transformation. Wenn man hier auf die Adjunktion eines Einselements eingehen will, dann muss man in diesem Artikel das Verhalten der Gelfand-Transformation bei der Einschränkung von ${\tilde {A}}$ auf $A$ beschreiben. Das verdient dann sogar einen eigenen Absatz, der etwa die Überschrift Adjunktion eines Einselementes haben sollte. Ein solcher Abschnitt wäre willkommen, auch wenn das nicht besonders aufregend sein wird, denn verwertbare Information für $A$ wird man schwerlich aufzeigen können. Vielleicht können wir das zunächst auf dieser Diskussionsseite entwerfen. --FerdiBf (Diskussion) 18:15, 27. Jun. 2024 (CEST)