Diskussion:Geschlecht (Fläche)

Definition

Ich habe einen Einwand zur Definition des Begriffes 'Geschlecht' aus der mathematischen Topologie. Es müsste unbedingt stehen, dass die Schnittlinien kreuzungsfrei verlaufen !

Mit freundlichen Grüssen

Peter Matl

pe.matl@gmx.net

Ich kenne mich mit dieser Definition des Geschlechtes nicht aus. Kannst Du mal ein Beispiel geben, in dem das einen Unterschied machen würde?--Gunther 16:59, 16. Mai 2006 (CEST)

Ein einfacher Torus lässt sich mit 2 sich kreuzenden Schnitten (z.B. einer an der Außenseite lang und einen rechtwinklig dazu einmal rum) so schneiden, dass er immer noch zusammenhängt. Dadurch ergäbe sich dann ein Geschlecht von 2, was dem im Haupttext behaupteten Geschlecht von 1 zuwiderliefe.

Hmm, allgemeiner fehlt hier eine Definition des Begriffes Schnitt (und auch sonst in der Wikipedia scheint keine zu sein). Ich dachte zunächst, dass der Schnitt mit einer Ebene gemeint war (was dann eigentlich bei allen Flächen das Geschlecht 0 ergeben hätte). Mit der Diskussion hier ist es etwas klarer ... möchte das mal jemand zu einer Definition ausbauen? -- Paul E. 14:53, 23. Jan. 2008 (CET)

Es ist schön, daß es für dich etwas klarer wurde. Zwar bin ich nicht wegen dieser Klarheit hier gelandet, aber bei mir hat sich damit die schon herrschende Unklarkeit noch verstärkt. Wieso? Nehmen wir als Beispiel den abgebildeten Doppeltorus, denken uns wegen der einfacheren Vorstellung vorübergehend einen die beiden Tori verbindenen Steg hinzu und schneiden die dadurch entstehende Breze mit einem Schnitt so auf, daß wir sie mit Butter bestreichen könnten. Schon haben wir mit einem Schnitt, ob nun mit oder ohne gedachtem Steg, zwei getrennte Teile. Man könnte aber auch die „Acht“ einfach an der Einschnürung durchtrennen. Wenn dagegen nur Schnitte der Fläche(n) gemeint sind, dann trenne ich erst mal entlang der Augen an den Innenseiten auf und schneide dann „oben“ und „unten“ noch einmal durch, womit ich nach 4 Schnitten immer noch ein zusammenhängendes Gebilde habe. --87.163.82.121 02:23, 28. Okt. 2008 (CET)

Es geht um die maximal mögliche Anzahl an (geeignet gewählten) Schnitten, die die (Ober)fläche nicht zerteilt. --RokerHRO 11:58, 1. Aug. 2011 (CEST)

Die oben beschriebene Teilung des Fahrradschlauchs (Torus) (einmal "quer" durch, so dass man einen an beiden Enden offenen Schlauch hat, und dann noch mal auf ganzer Länge) führt zu einer zusammenhängenden Fläche. Allerdings und damit beantworte ich mir (und vielleicht auch anderen) die Frage selbst, ist der zweite Schnitt keine geschlossene Kurve mehr, wenn man den ersten bereits durchgeführt hat. Zeichnet man die Schnitte allerdings vor Durchführung an, sind es jeweils geschlossene Kurven (allerdings nicht kreuzungsfrei). Für jemanden, der sich noch nie mit dem Thema befasst hat (die anderen gucken dafür vermutlich nicht in die Wikipedia), wird das aus dem Text nicht klar. --Rat (Diskussion) 10:50, 4. Mär. 2013 (CET)

Lemma

In der Mathe-QS zu Topologie (Mathematik) ist die Frage aufgetaucht, ob der Klammerzusatz statt "Fläche" nicht besser Geschlecht (Topologie) oder Geschlecht (Mathematik) nennt. Die BKS Geschlecht erklärt das Geschlecht ja schon kurz und knackig mit "Zahl der 'Löcher' in einer Mannigfaltigkeit". Ein Zusammenhängender Raum ist erstmal ein "Raum" und keine "Fläche", auch auch wenn letzteres am einfachsten dar- oder vorstellbar ist. --grixlkraxl (Diskussion) 07:45, 12. Jul. 2012 (CEST)

Der Artikel hier definiert aber den Begriff des Geschlechts nur für Flächen. Gibt es ihn überhaupt für andere topologische Räume? Bei der Namensgebung muss man evtl. auch bedenken, dass Flächen auf natürliche Weise ein Objekt der Differentialgeometrie sind. --Christian1985 (Diskussion) 09:53, 12. Jul. 2012 (CEST)

Ich vermute sehr, daß "Fläche" im Sinne von Oberfläche eines zusammenhängenden Raumes (z.B. irgendein Rⁿ) zu verstehen ist. Auch wenn ich den Beleg noch nicht gefunden habe, erscheint es seltsam, die Definition von Geschlecht auf n=3 zu beschränken. --grixlkraxl (Diskussion) 11:23, 12. Jul. 2012 (CEST)

Die Definition ist im Sinn von Fläche_(Mathematik)#Abstrakte_Flächen zu verstehen und sie auf andere Objekte zu verallgemeinern ist nicht so einfach. Es macht aus Sicht der Topologie einen erheblichen Unterschied, ob man aus $\mathbb {R} ^{2}$ den Nullpunkt entfernt oder ob man den $\mathbb {R} ^{3}$ ohne Nullpunkt betrachtet. Letzterer ist einfach zusammenhängend, ersterer nicht. Für Mannigfaltigkeiten der Dimension drei oder größer hat man für dieses Problem, so viel ich weiß, das Konzept der Homotopiegruppen entwickelt.--Christian1985 (Diskussion) 11:47, 12. Jul. 2012 (CEST)

Die Beschreibung "Das Geschlecht ist die Anzahl der Löcher" ist wohl die korrekte Beschreibung von "Geschlecht einer Fläche" einer im $\mathbb {R} ^{3}$ eingebettete Fläche. Dieses Geschlecht hat einen engen Zusammenhang zu den ersten Homologiegruppen. So hat eine geschlossene Fläche vom Geschlecht $g$ eine Homologiegruppe der Form $\mathbb {Z} ^{2g}$. Daher wird das Geschlecht auch manchmal als die halbe Dimension dieser Homologiegruppe definiert. Das ändert sich aber, wenn ich z.B. den Volltorus betrachte, wo die erste Homologiegruppe nur noch isomorph zu $\mathbb {Z}$ ist. Daher bräuchte man hier eine andere Definition... Es gibt spezielle 3-Mannigfaltigkeiten (Hantelkörper, engl.: Handlebodys), deren Rand eine geschlossene Fläche ist, für die wird das Geschlecht dann einfach von der Oberfläche übernommen. Aber bei einer Verallgemeinerung für höherdimensionale Mannigfaltigkeiten wirds dann schwierig, für 3-Mannigfaltigkeiten gehts dann anscheinend (laut englischer Wikipedia), aber da heißt das dann "Heegaard Genus". Anscheinend hängt das alles damit zusammen, ob sich n-Mannigfaltigkeiten klassifizieren lassen, oder nicht... --TobeStar81 (Diskussion) 16:47, 12. Sep. 2012 (CEST)

P.S.: Ich hab noch mal drüber nachgedacht, ich denke, dass Homotopiegruppen sozusagen die Fortentwicklung des Geschlechts sind. Das Geschlecht wird heutzutage wahrscheinlich eingeführt weil es a) anschaulich ist und b) historisch gesehen die erste komplette Klassifizierung von Mannigfaltigkeiten zugelassen hat. Diese Klassifizierung sind dann ja quasi die Homotopiegruppen. Daher hat man -denke ich- von einer formalen Verallgemeinerung auf n-Mannigfaltigkeiten abgesehen... --TobeStar81 (Diskussion) 17:39, 12. Sep. 2012 (CEST)

Nicht orientierbare Flächen

Auch für nicht orientierbare Flächen wird ein Geschlecht definiert. Das fehlt hier noch. --Digamma (Diskussion) 15:37, 12. Jul. 2012 (CEST)

Link auf Glatte Funktion

Ich finde den Link auf glatte Funktion nicht hilfreich, weil es dort eben um Funktionen geht und in dem Artikel hier um Flächen. Die Abstraktion ist alles andere als trivial.--Christian1985 (Disk) 19:34, 12. Feb. 2013 (CET)

Hallo Christian, hast Du einen besseren Link für Glattheit von Flächen? Bei Glatt habe ich nichts besseres gesehen. Danke und Gruss, --S.K. (Diskussion) 19:41, 12. Feb. 2013 (CET)

Es gibt höchstens den Link Glatte Mannigfaltigkeit. Ein vernünftiges Ziel für Glatte Fläche haben wir nicht.--Christian1985 (Disk) 19:45, 12. Feb. 2013 (CET)

Dann einen roten Link auf glatte Fläche? Auch in der BK? Denkst Du das ist besser für OMA? --S.K. (Diskussion) 19:50, 12. Feb. 2013 (CET)

Ja ich finde keine Information besser als eine stark irritierende. Vielleicht gibts aber noch andere Mitleser mit anderer Meinung? Auf die BKL gehören diese Links aber eigentlich alle nicht drauf. Aber das ist ein Thema das anderer Stelle gerade diskutiert wird.--Christian1985 (Disk) 19:58, 12. Feb. 2013 (CET)

Warum muss die Fläche überhaupt glatt sein? Ich würde das Wort glatt aus der Einleitung am besten ganz streichen.--Christian1985 (Disk) 20:00, 12. Feb. 2013 (CET)

Okay, wenn Glattheit nich gefordert/nötig ist, dann raus damit. :-) --S.K. (Diskussion) 20:04, 12. Feb. 2013 (CET)

zusammenhängend ...

Moin,

im Text steht "Schneidet man einen Fahrradschlauch radial auf, bleibt er zusammenhängend. Jeder weitere Schnitt würde ihn dagegen in 2 Teile teilen."

Das stimmt so nicht, denn der Torus ist bijektiv abbildbar auf ein Rechteck:

1. Man identifiziert zwei der vier gegenüberliegenden Seiten und erhält einen Schlauch.
2. Dann identifiziert man die anderen beiden gegenüberliegenden Seiten und erhält den Torus.

Anders herum erhält man durch zwei zueinander orthogonale Schnitte den Torus in ein Rechteck:

1. Mit dem ersten Schnitt wird aus dem Torus ein Schlauch.
2. Mit dem zweiten Schnitt wird aus dem Schlauch ein Rechteck.

Daher ist obiger Satz falsch! Gruß a×p_de^Hallo! 11:54, 25. Apr. 2016 (CEST)

Du hast Recht. Ich habe den Satz gestrichen. Gruß, --Digamma (Diskussion) 15:12, 25. Apr. 2016 (CEST)

"Das englische Wort „Genus“ ..."

"Das englische Wort „Genus“, was zu deutsch neben Geschlecht auch Gattung bedeutet, stammt aus der Biologie und wird verwendet, um Organismen mit gemeinsamen Merkmalen zu gruppieren, siehe Gattung (Biologie). " Ich halte diese Aussagen für gewagt. Hirzebruch und Kreck sind keine Mathematikhistoriker, das Wort wurde im Deutschen, nicht im Englischen geprägt und Genus ist lateinischen und nicht englischen Ursprungs." Ich würde die Ausssagen nicht in den Artikel aufnehmen. --Digamma (Diskussion) 23:12, 7. Jun. 2020 (CEST)

Ok, ich habe den Abschnitt wieder gelöscht. Da Hirzebruch selbst ja das Hirzebruch-Geschlecht definiert hat, wird das was in der Quelle von ihm steht zumindet für die Überlegungen dieser Namensgebung richtig sein, oder?--Christian1985 (Disk) 21:28, 8. Jun. 2020 (CEST)

Weiß nicht. Ich denke, er hat das Hirzebruch-Geschlecht einfach in Analogie zum Geschlecht von Flächen definiert. Aber wahrscheinlich hat er sich dabei Gedanken über das Wort gemacht. --Digamma (Diskussion) 21:31, 8. Jun. 2020 (CEST)

Verallgemeinerung auf Flächen mit Rand?

Der Zusammenhang zwischen Euler-Charakteristik und Geschlecht lässt sich offenbar auf berandete Flächen verallgemeinern. Es gilt dann offenbar $\chi =2-2g-c$, wobei c die Anzahl der geschlossenen Randkurven ist. Als Quelle habe ich dieses Video einer Mini-Vorlesung gefunden, wo das Geschlecht entsprechend definiert wird. Kennt jemand Literaturquellen für diese Definition? --2001:4DD5:8529:0:E495:D4BF:120E:7A7B 18:01, 30. Jul. 2020 (CEST)