Diskussion:Heegner-Punkt

Dieser Artikel war am 14. März 2021 der Artikel des Tages.

Review Juni – September 2020

In der arithmetischen Geometrie bezeichnen Heegner-Punkte gewisse komplexe Zahlen, die eine Schnittstelle zwischen elliptischen Kurven, quadratischen Zahlkörpern und Modulformen bilden. Benannt sind sie nach dem deutschen Mathematiker Kurt Heegner, der sie verwendete, um das Gaußsche Klassenzahlproblem für imaginär-quadratische Zahlkörper zu lösen.

Hallo, ist harter Stoff, bin umso froher über Anmerkungen und Korrekturvorschläge. Danke! :) -- Googolplexian (Diskussion) 19:20, 14. Jun. 2020 (CEST)

Die Einordnng von Heegners Beweis als "laienhaft" stört mich, davon ist bei Deuring und dem folgenden Aufsatz von Siegel nicht die Rede, nur von schwer verständlich und Lücke im Beweis, die möglicherweise auf seine Verwendung von Weber zurückgeht. Zumindest auf Mathematiker wie Siegel und Deuring gilt übrigens die pauschale Behauptung, die meisten Mathematiker hätten die Theorie der Modulfunktionen damals vergessen (zitiert wird Birch) nicht. Und den Peer Review hatte Heegner auch überstanden.--Claude J (Diskussion) 10:31, 1. Jul. 2020 (CEST)

Danke Claude J, ich werde es bei meinen Überarbeitungen berücksichtigen. Es ist in der Tat so, dass das Thema Modulformen über viele Jahre hinweg kaum Beachtung fand (diese Aussage findet sich auch bei Serge Lang in seiner Introduction to modular forms), aber Ausnahmen gab es natürlich trotzdem. Liebe Grüße.--Googolplexian (Diskussion) 19:15, 13. Jul. 2020 (CEST)

@Googolplexian1221: Den Artikel finde ich sehr interessant. Jetzt gibt es da auch einige Bilder. Wenn ich den Artikel Heegner-Punkt vor mir aber, würde es sehr hilfreich sein, wenn ich in den Abbildungen diesen auch erkennen würde. Kann man in den Abbildungen oder zumindest in der Bilderunterschrift beschreibend anbringen, wo dort jetzt der Heegner-Punkt tatsächlich zu finden ist? Liebe Grüße, – Doc Taxon • Disk. • 16:13, 5. Aug. 2020 (CEST)

Danke! Ja, da hast du recht, es sollte noch ein Bild herein, auf denen Heegner-Punkte „zu sehen“ sind. Diese liegen allerdings dicht auf der oberen Halbebene (bzw. den Modulkurven), aber es würde ja genügen, ein paar wenige Beispielpunkte aufzutragen. Ich hatte die letzten Wochen viel zu tun, wird Zeit, dass ich mal die ganzen Vorschläge umsetze ;) Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 21:21, 5. Aug. 2020 (CEST)

nee, @Googolplexian1221, auch im Review hetzt Dich keiner. Wenn Du Zeit hast, wird's schon was werden, wenn nicht, dann eben später. Liebe Grüße, – Doc Taxon • Disk. • 14:33, 6. Aug. 2020 (CEST)

Ende Übertrag --AnnaS. (DISK) 07:40, 15. Okt. 2020 (CEST)

Vorschlag für ersten Satz

Mir ist der erste Satz zu voll. Hier mein Vorschlag:

Heegner-Punkte bezeichnen in der arithmetischen Geometrie Punkte auf Modulkurven. Modulkurven sind geometrische Figuren, die eine Schnittstelle zwischen elliptischen Kurven, imaginär-quadratischen Zahlkörpern und Modulformen bilden.

• Lemma nach vorne
• Füllwort "gewisse" eliminiert
• Dass die Geometrie ein Teilgebiet der Mathematik ist wird in Geometrie erklärt. Hier ist das nicht notwendig
• Satz aufgeteilt. Ich hoffe die gewissen Figuren beziehen sich auf doe Modulkurven, wenn nicht muss der 2te Satz geändert werden.

Hfst (Diskussion) 17:51, 17. Okt. 2020 (CEST)

Hallo Hfst, ich danke dir! Ich werde meine Intro-Strategie ohnehin ändern, da hier, sicher zurecht, mehr auf die Teaser-Verständlichkeit gepocht wird. Vermutlich ist es freundlicher, wenn man mit quadratischen Gleichungen anfängt, das kennen viele ja auch noch aus der Schule. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 18:04, 17. Okt. 2020 (CEST)

Zwischenzeitlich hat sich folgende, in meinen Augen sehr gute Formulierung, herauskristallisiert - einzig, geometrische Figuren (Dreieck, Kreis, Gerade, Pyramide?) scheint mir noch etwas zu unbestimmt, und eine Identität zwischen einem Punkt und einer Zahl ohne Erklärung irritierend, und das später wird nicht so recht klar:

Heegner-Punkte (benannt nach Kurt Heegner) sind Zahlen, die quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten lösen, und die später mit Punkten auf geometrischen Figuren identifiziert werden. Heegner-Punkte sind Gegenstand der arithmetischen Geometrie und spielen eine bedeutende Rolle in der Theorie der elliptischen Kurven und in der Klassenkörpertheorie. Sie unterscheiden sich von den namensähnlichen Heegner-Zahlen.

damit:

Heegner-Punkte (benannt nach Kurt Heegner) sind Zahlen, die quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten lösen, und die mit Punkten auf komplizierteren Kurven verknüpft sind. Heegner-Punkte sind Gegenstand der arithmetischen Geometrie und spielen eine bedeutende Rolle in der Theorie der elliptischen Kurven und in der Klassenkörpertheorie. Sie unterscheiden sich von den namensähnlichen Heegner-Zahlen.

Wie seht ihr das? Ist es inhaltlich völlig treffend? (nicht signierter Beitrag von Fabian RRRR (Diskussion | Beiträge) 13:47, 2. Nov. 2020 (CET))

Einleitung: Kritik und Vorschlag

Augenblicklich steht hier:

In der arithmetischen Geometrie bezeichnen Heegner-Punkte (benannt nach Kurt Heegner) gewisse Zahlen, die von Mathematikern benutzt werden, um mathematisch sehr anspruchsvolle Gleichungen zu lösen. Diese Gleichungen kodieren Informationen, die bei der Erforschung von Zahlen (beispielsweise der ganzen Zahlen), aber auch in der Geometrie von Wichtigkeit sind.

Der Absatz hat verschiedene Schwierigkeiten. Am ersten Satz möchte ich es verdeutlichen:

• Wenn eingeschränkt wird, dass in der arithmetischen Geometrie Heegener Punkte etwas bezeichnen, fragt man sich gleich, was sie außerhalb dieser Geometrie bezeichnen.
• gewisse ist ein unangenehmes Charakteristikum. Der Autor weiß etwas, lässt den Leser aber im dunkeln und weißt nur auf diese Situation hin. Man fragt sich: "Warum?" - lässt es sich nicht oder kann er es nicht in Worte fassen? Wird es in dem Artikel dann so weiter gehen?
• von Mathematikern benutzt. Kann der Leser (wenn er nicht Mathematiker ist) dann überhaupt etwas damit anfangen?
• mathematisch sehr anspruchsvolle Gleichungen also für die Creme de la Creme - im Unterschied zu dem wahrscheinlich gerade Lesenden?

usf. Er ist das Gegenteil eines Teasers: Ich würde dann spätestens nach dem zweiten Satz aufhören zu lesen, da ich immer noch keine klaren Infos zu den Punkten bekomme.

Deine vorherige Version war eigentlich sehr gut - sie erklärt in einfachen Worten, was sie sind und in den nächsten Absätzen, wozu sie nützlich sind:

Heegner-Punkte sind komplexe Zahlen mit positivem Imaginärteil, die quadratische Gleichungen mit ganzen Koeffizienten lösen. Diese Zahlen lassen sich auf der komplexen Zahlenebene als Punkte darstellen, deren jeweilige Lage durch den Real- ($x$-Achse) und Imaginärteil ($y$-Achse) der zugehörigen Zahl bestimmt wird, und liegen somit aufgrund des positiven Imaginärteils in der oberen Halbebene. Beispielsweise ist die Zahl $\tau =i{\sqrt {2}}$ ein Heegner-Punkt, da sie die Gleichung $x^{2}+2=0$ erfüllt. Heegner-Punkte spielen eine bedeutende Rolle in der Theorie der elliptischen Kurven und in der Klassenkörpertheorie.

Wäre die ersten zwei Sätze im Singular, wäre man noch das jeweilig und dazugehörig los. Besser vielleicht noch: Teile des zweiten Satzes lassen sich auch noch gut in die Bildunterschrift auslagern. Es bliebe:

Heegner-Punkte sind komplexe Zahlen mit positivem Imaginärteil, die quadratische Gleichungen mit ganzen Koeffizienten lösen. Diese Zahlen lassen sich auf der komplexen Zahlenebene namensgebend als Punkte darstellen. Beispielsweise ist die Zahl $\tau =i{\sqrt {2}}$ ein Heegner-Punkt, da sie die Gleichung $x^{2}+2=0$ erfüllt. Heegner-Punkte sind ein nützliches Werkzeug in der Theorie der elliptischen Kurven und in der Klassenkörpertheorie.

Da denke ich mir: das habe ich ja leicht verstanden, vielleicht kann auch ich etwas damit anfangen?

Viele Grüße, --Fabian RRRR (Diskussion) 07:19, 22. Okt. 2020 (CEST)

Wobei ich mich frage, warum gerade x^2+2=0 als Beispiel gebracht wird? Es ist recht speziell (kein Realteil) und das Thema Level lässt sich dort auch nicht darstellen. Falls es dazu keinen triftigen Grund für genau dieses Beispiel gibt sollte man es weglassen. Wenn ich außerdem zum Singular gehe wird daraus:

Heegner-Punkte sind komplexe Zahlen mit positivem Imaginärteil, die quadratische Gleichungen mit ganzen Koeffizienten lösen. Diese Zahlen lassen sich auf der komplexen Zahlenebene namensgebend als Punkte darstellen. Heegner-Punkte spielen eine bedeutende Rolle in der Theorie der elliptischen Kurven und in der Klassenkörpertheorie.

--Hfst (Diskussion) 08:14, 22. Okt. 2020 (CEST)

An dem fehlenden Realanteil hatte ich mich auch gestört. Nur bekommt andernfalls ja die quadratische Gleichung noch einen weiteren Term, während ich bei dem Beispiel das Zutreffen der Lösung sofort erkennen kann. Hatte auf mich einen schönen suggestiven Effekt: ich versteh es!

Allerdings frage ich mich gerade, warum der Wert tau gleichgesetzt wird, wenn die Gleichung sich auf x bezieht. Vielleicht kann man das tau = noch streichen. Viele Grüße, --Fabian RRRR (Diskussion) 12:24, 22. Okt. 2020 (CEST)

Da treffen sich vielleicht 2 Welten. Die Welt der (quadratischen) Gleichungen die typischerweise mit x formuliert sind und dann die Anwendungen der Heegner-Punkte, die tau bevorzugen. Tja ... Anderseits "x=tau löst die Gleichung" schaut zwar doof aus, ist aber nicht falsch.--Hfst (Diskussion) 13:17, 22. Okt. 2020 (CEST)

Guten Abend, zum Teaser: ich hatte den Teaser nochmals in die aktuelle Form geändert, da in der Diskussion nach noch mehr Allgemeinverständlichkeit gefragt wurde, die natürlich nur ohne jegliche mathematische Konkretisierung geschweige denn Definition oder Strenge gegeben werden kann. Ich fand die vorherige Version aber eigentlich auch besser, auch für den interessierten „Laien“, weil ich es eigentlich möglichst konkret mag. Das Level von $i{\sqrt {2}}$ ließe sich schnell als 1 berechnen, aber im Teaser wird ja noch gar nicht davon gesprochen. Der Punkt mit der Gleichung ist aber ganz gut, das tau kann da auch weg, da es eigentlich keinen tieferen Sinn hat. Und es muss nicht zwingend der Realteil ungleich 0 sein, ich denke sogar, dass dieses „auf einen Blick sehe ich, dass die Gleichung gelöst wird“ helfen kann in Kombination damit, dass $i^{2}=-1$ wieder ins Gedächtnis gerufen wird. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 22:30, 22. Okt. 2020 (CEST)

Dein Gespür ist hier sicher richtig. Ganz wichtig ist die richtige Einordnung "Teaser" und Allgemeinverständlichkeit. WP:INTRO liefert die Richtschnur: Der erste Satz ordnet den Gegenstand des Artikels möglichst präzise in seinen sachlichen Kontext ein. Und auch Teaser nur insofern, als dass er durch einen guten Schreibstil Lust auf die Details macht.

Ich würde noch die arithmetrischen Geometrie etwas nach hinten verschieben: Den Begriff kennt man zum einen nicht mit einer Schulbildung, und es ist letztlich "nur" ein Gebiet, in der die Heegner-Punkte relevant sind, definiert sind sie ja allgemeiner, durch die quadratischen Gleichungen. --Fabian RRRR (Diskussion) 16:30, 24. Okt. 2020 (CEST)

Level $i{\sqrt {2}}$ ist 1 ist trivial. Wie wäre es mit $5x^{2}+1=0$. Hier wäre ${\frac {{\sqrt {(}}5)}{5}}$ eine Heegner-Punkt (einfach zu erkennen) mit den Leveln 1 und 5.--Hfst (Diskussion) 22:44, 24. Okt. 2020 (CEST)

Noch besser wäre $11x^{2}+4=0$ weil Du das weiter unten im Abschnitt Heegner-Punkt#Invarianzeigenschaften verwendest.--Hfst (Diskussion) 22:52, 24. Okt. 2020 (CEST)

Nur ein weiterer Versuch

Heegner-Punkte (benannt nach Kurt Heegner) sind Punkte auf geometrischen Figuren, namentlich Modulkurven, die sich aus Lösungen von quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten ergeben. Sie sind Gegenstand der arithmetischen Geometrie und spielen eine bedeutende Rolle in der Theorie der elliptischen Kurven und in der Klassenkörpertheorie. Als Heegner-Punkte werden auch die Lösungen der quadratischen Gleichung selbst bezeichnet; sie unterscheiden sich von den namensähnlichen Heegner-Zahlen.

Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind komplexe Zahlen mit ausschließlich positivem Imaginärteil. Beispielsweise ist die Zahl $i{\sqrt {2}}$ ein Heegner-Punkt, da sie den positiven Imaginärteil ${\sqrt {2}}$ besitzt und die Gleichung $x^{2}+2=0$ erfüllt. Die Lösungen werden verwendet, um Punkte zu erzeugen, die die komplizierteren Gleichungen von Modulkurven oder elliptischen Kurven erfüllen. Der Mehrwert dieser Methode liegt darin, dass Heegner-Punkte anhand der quadratischen Gleichung einfach bestimmt werden können. Die damit erzeugten Punkte geben letztlich einige Auskunft über Fragestellungen aus der Zahlentheorie. Kurt Heegner verwendete sie, um Fragen der Zerlegung von Zahlen in elementarere multiplikative Bausteine nachzugehen, die analog zur Theorie der Primzahlen sind. (nicht signierter Beitrag von Fabian RRRR (Diskussion | Beiträge) 20:33, 7. Nov. 2020 (CET))

Hallo Fabian RRRR, die sich ergeben klingt recht schwammig und so, als ob da nicht so viel passiert. Falsch ist es natürlich nicht, aber ich würde es anders formulieren. Hat dir die jetzige Version nicht gefallen? Ich habe ja noch das Wort verknüpft als Kompromiss verwendet. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 18:44, 8. Nov. 2020 (CET)

Hallo @Googolplexian1221: - ich hatte Deine jetzige Version als Basis verwendet, und versucht, ob man sie vereinfachen kann. Ich habe dann festgestellt, dass sie nahe an einer früheren Version von Dir ist ;-)

• Zunächst die Punkte als Punkte erklärt - dass sie auch Zahlen sein können wird später fast von selbst schlüssig. Dadurch hat man auch zwei Wechsel zwischen Punkt und Zahl weniger.
• Level und Diskrimante sind Details, die Du später an passender Stelle sehr gut erklärst. Dort habe ich nur nicht den Zusammnehang zur Festlegung der Modulkurve daraus gesehen. In der Einelitung kann man wenig damit Anfangen - und Schnurrikowski wollte sie ehere kürzer.
• Die umgangssprachliche Mitternachtsformel habe ich durch eine andere Formulierung versucht zu vermeiden.
• bezüglich dem Verb habe ich keine starke Meinung, ergeben war intuitiv meine erste Wahl. errechnen lassen oder bestimmt werden geht auch. Man nimmt ja die Heegner-Punkte in Form der Lösungszahl der q. G. und berechnet daraus den Punkt auf der Modulkurve.?

Grüße, --Fabian RRRR (Diskussion) 19:08, 8. Nov. 2020 (CET)

Warum werden die Zahlen als Punkte bezeichnet?

In der Bewertung des Artikels wurde die Frage schon aufgeworfen - und zwischenzeitlich durch deren Positionierbarkeit auf der komplexen Ebene ja auch irgendwie beantwortet. Vermutlich hat Heegner selbst sie so bezeichnet, weshalb denkbar wäre, dass er mehr im Sinn hatte. Oder gibt es vielleicht an andrrer Stelle eine weitergehende Erkläeung?

ohnetiefer eingestiegen zu sein, sehe ich nur, dass es (abzählbar) unendlich viele Punkte gibt, sie "überall" auf der Halbebene liegen.

Viele Grüße, --Fabian RRRR (Diskussion) 02:19, 26. Okt. 2020 (CET)

Hallo, eigentlich liegen Heegner-Punkte auf Kurven, daher der Name. Aber das geht im Intro ja (zurecht) ziemlich unter. Er stammt nicht von Heegner selbst (so eitel sind Mathematiker nicht ;-)), ich werde das mal noch recherchieren. -- Googolplexian (Diskussion) 08:39, 26. Okt. 2020 (CET)

Ok - das hatte ich nicht gesehen. Ich hatte da fälschlich vermutet, dass sie über die ganze Halbebene verstreut sind, und nur deshalb Punkte genannt werden, weil sie dort irgendwie unzusammenhängend verteilt sind.

Die Frage hatte ich aber schlecht formuliert - Hat Heegner sie denn überhaupt als Punkte bezeichnet, und wenn ja, warum?

Viele Grüße, --Fabian RRRR (Diskussion) 14:53, 26. Okt. 2020 (CET)

Deine Anschauung ist schon richtig, alles gut! Wenn du auf der oberen Halbebene alle möglichen Heegner-Punkte zu allen Leveln gleichzeitig betrachtest, dann liegen sie wirklich beliebig dicht aneinander, und die Halbebene ist übersät mit ihnen (wie bei den rationalen Zahlen, die die reellen Zahlen übersäen). Aber sobald du dich auf eine Diskriminante und ein Level festlegst, sind es ganz diskrete Punkte, dennoch gibt es auf der oberen Halbebene noch unendlich viele von ihnen (also wie bei den ganzen Zahlen, die zwar diskret sind, aber unendlich). Erst mit der Abbildung $\tau \mapsto (j(\tau ),j(N\tau ))$ entsteht ein Punkt $(x,y)$ auf einer Modulkurve. Der wird dann auch Heegner-Punkt genannt. Das ist in der Mathe oft so, dass Objekte, die miteinander identifiziert werden, gleich genannt werden, obgleich sie streng genommen nicht das selbe sind. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 15:24, 26. Okt. 2020 (CET)

Das habe ich verstanden

Ich habe eine Gleichung

A x^2 + B x + C = 0

mit ganzen A, B, C und

B^2 - 4 A C < 0 (Diskriminante kleiner 0)

Davon ist

tau = (-B + i (4 A C - B^2)^0,5) / (2 A)

eine Lösung und heißt Heegner-Punkt. Wenn nun N ein Teiler von A ist, dann ist auch

A/N x^2 + B x + C N = 0

eine Gleichung mit ganzen Koeffizienten. Die hat auch eine Lösung

tauN = (-B + i (4 A C - B^2)) / (2 A/N)^0,5 = N * tau

Falls es wichtig ist, dass der Koeffizient von x^2 und das konstante Glied Teilerfremd sind, werden nur die N berücksichtigt, die einfache Teiler von A sind. Ach ja, und das N nennt man dann Level.

Habe ich es richtig verstanden?

--Hfst (Diskussion) 11:34, 18. Okt. 2020 (CEST)

Hallo Hfst, jo, sieht gut aus! Nur, dass du bei den nach tau gelösten Termen die Quadratwurzel nicht hingeschrieben hast, aber das ist denke ich mal nur ein Tippfehler gewesen. Tatsächlich ist der Bezug von tau zu N*tau ein ganz wesentlicher Punkt des Levels von tau. Unter anderem sind die Diskriminanten von tau und N*tau gleich, wie man an deiner zweiten Gleichung A/N x^2 + B x + C N = 0 ablesen kann. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 11:45, 18. Okt. 2020 (CEST)

Den Fehler mit der Wurzel habe ich korrigiert. Wenn das so passt, dann sind die Heegner-Punkte als Lösung einer quadratischen Gleichung was ziemlich triviales was man leicht erklären kann. Man kann dann weiter ausführen, dann es sozusagen "Familien" von Heegner-Punkten gibt, die als Heegner-Punkte mit unterschiedlichem Level bezeichnet werden und die auf einer Geraden in der komplexen Ebene liegen. Das ist auch noch einfach und verständlich. Kompliziert wird es vermutlich wenn man darüber berichtet, was man mit den Punkten anfangen kann, oder?

Ziel meiner Bemerkungen ist, Dir Einblicke in das Hirn einer OMA zu geben mit der Hoffnung, dass es der Darstellung hilft.

--Hfst (Diskussion) 15:01, 18. Okt. 2020 (CEST)

Danke Hfst, das hilft sehr! Ja, im Prinzip ist es nicht schwer, aber wie du schon bemerkt hast bleibt es nicht ganz bei den quadratischen Gleichungen. Es kommen mit dem Level, der Diskriminante und dem Führer noch ein paar Größen dazu. Unterschiedliche Heegner-Punkte (also auch anderes Level) müssen jedoch nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, vielleicht habe ich mich irgendwo falsch ausgedrückt. Und ja, bei den Anwendungen wird (wenn man es 100% mathematisch machen will) viel Wissen aus der Zahlen- und Funktionentheorie benötigt leider. Aber ich werde noch ein paar Dinge in den Anfangsteil ersetzen, um diese Dinge ggf. etwas verständlicher zu machen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 14:59, 20. Okt. 2020 (CEST)

Donuts

Hallo Fabian RRRR, ich verlege die weitere Diskussion mal hierher. Und nochmals Danke für deine ganzen guten Bemerkungen, find ich super! Eines Vorweg: Deine Frage ist nicht trivial und ich weiß nicht, ob ich sie jetzt auf die schnelle gut beantworten kann. Da es so schwierig ist, sich eine Punktmenge im $\mathbb {C} \times \mathbb {C}$ wirklich vorzustellen, hilft man sich bei den bildlichen Anschauungen immer mit der Periodenmasche ab. Von dort aus ist es zum Donut dann nicht mehr weit (siehe Animation, das hast du ja auch alles schon kapiert). Das Problem ist, dass du nicht beides gleichzeitig haben kannst (hübsche Zahlkoordinaten mit Punkten, die eine Gleichung lösen und einen perfekten Donut): Wenn du dir die Koordinaten $(x,y)$ mit $y^{2}=x^{3}+ax+b$ anschaust in $\mathbb {C} \times \mathbb {C}$ hast du nicht nur das Dimensionsproblem, sondern auch die „Verzerrung“, da es einen „unendlich fernen“ Punkt gibt am Ende des offenen Schlauchs bei o (. Hier ist die Abbildung, die daraus einen schönen Donut macht, wirklich nicht einfach. Aber du kannst es dir so überlegen: Tatsächlich findest du in der Lösungsmenge in $\mathbb {C} \times \mathbb {C}$ Äquatorlinien (eine Donutoberfläche ist ja, wie eine Kugeloberfläche, ein Zusammenschluss von ganz vielen Kreislinien, nur dass sich diese beim Donut nie bei einem „Nordpol“ zu einem Punkt zusammenziehen wie bei der Kugel). Sowohl o als auch ( mit dem Punkt „im Unendlichen“ bilden je eine dieser Äquatorlinien. Bei der Abbildung in die Periodenmasche wird jetzt jede dieser Linien auf eine gerade Linie des Trapezes von der einen bis zur anderen Seite abgebildet. Aus o wird dann gedanklich - aber es ist ja - mit Periode! Wie man jetzt die Periodenmasche zu einem schönen Donut in 3 Dimensionen macht, wird (nach Anpassungen an die Masche) zum Beispiel durch Abbildungen wie $u+vi\mapsto ((2+\cos(2\pi v))\sin(2\pi u),(2+\cos(2\pi v))\cos(2\pi u),\sin(2\pi v))$ verwirklicht (bei der Kugel nennt man das auch Stereographische Projektion, allerdings umgekehrt gedacht, also von der Oberfläche in die Ebene (= hier der Parametervorrat)). Die Abbildung, du du meintest, also vom Lösungsgebilde $(x,y)$ direkt in den 3D-Torus, ist jetzt die Verkettung dieser beiden Abbildungen, das ist daher gedanklich ein bisschen schwieriger auf einen Schlag zu machen, besser ist Schritt für Schritt. Zu: Wenn ich mich mit der Vorbemerkung auf die Bildunterschrift Bildet man von diesem [Torus] einen Querschnitt, sieht man zwei runde Gebilde, also die elliptische Kurve über den reellen Zahlen stütze, würde ein Schnitt senkrecht zur Äquatorialebene sich so legen lassen, dass der Imaginärteil von x null wäre und das Schnittbild so aussieht: o o . Folglich wäre von y bei Deiner 3D-Torusdarstellung der Realteil von y als dritte Komponente dargestellt. Richtig? Ich weiß nicht, ob ich ganz verstanden habe, was du meinst. Du meinst sowas wie $(x,y)\mapsto (\mathrm {Re} (x),\mathrm {Im} (x),\mathrm {Re} (y))$ als „Einbettung“ in 3D, da du zuvor bezüglich x von komplexer Ebene gesprochen hast? Zunächst: Bei o ( ist es so, dass sowohl x als auch y vom Imaginärteil 0 sind. Es gibt also zwei Äquatorlinien, auf denen in beiden Komponenten nur reelle Zahlen auftauchen. Und die reelle Graphik zeigt genau diese beiden Schnitte.

Ja - Aber die Erklärung steht doch unter der anderen Grafik, dem 3D-Donut. Und da wird dann noch behauptet, wenn man den Donut scheidet - und da kommen entweder o o oder zwei konzentrische Kreise raus - sich die Kurve über die rellen Zahlen ergibt.

Okay, das führt vielleicht wirklich zu Verwirrung. Wenn man den 3D-Donut schneidet, kommen zwei o o raus, die rein topologisch zu dem Lösungsgebilde der elliptischen Kurve über $\mathbb {R}$ verformt werden können. Aber der 3D-Torus hat darüber hinaus erstmal nichts mit expliziten Lösungen zu tun, daher das Problem mit den Koordinaten. -- Googolplexian (Diskussion) 22:42, 22. Okt. 2020 (CEST)

Aber nicht vergessen: wenn man das Bild o ( erweitert, landet man zunächst im 4-dimensionalen, nicht in 3D! Wichtig ist auch, dass natürlich nicht mehr $\mathrm {Re} (y)^{2}=\mathrm {Im} (x)^{3}+a\mathrm {Im} (x)+b$ gelten muss, weshalb hier die algebraische Information vergessen wird. Ich habe Plots von sowohl $(u,v,\mathrm {Re} \left({\sqrt {(u+vi)^{3}+a(u+iv)+b}}\right))$ und auch $(\mathrm {Re} (\wp (z)),\mathrm {Im} (\wp (z)),\mathrm {Re} (\wp '(z)))$ angefertigt, aber auf beiden ist nicht viel Aufschlussreiches zu erkennen, weshalb ich davon ausgehe, dass die Reduzierung von $y$ auf seinen Realteil für die dritte Komponente ($x$ ist in komplexer Ebene repräsentiert) nicht das Bild liefert, was du dir vorstellst. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 10:59, 21. Okt. 2020 (CEST)

Ist denn dann noch die Bildunterschrift: Über den komplexen Zahlen kann die Punktmenge einer elliptischen Kurve als Torus (Donut) dargestellt werden. zutreffend? (nicht signierter Beitrag von Fabian RRRR (Diskussion | Beiträge) 13:58, 22. Okt. 2020 (CEST))

Ja, die Lösungen bilden eine Figur, und diese stellt rein topologisch ein Objekt dar, das als Fläche einem Donut gleicht. Was hier möglicherweise verwirrt ist, dass der verzerrte Donut mit den exakten Lösungen zwischendurch nochmal zurechtgebogen und in 3D eingebettet wurde. Hier geht es also nur um die Topologie, um sich die Kurven besser veranschaulichen zu können. Ich schaue mal, wie ich die Beschriftungen verbessern kann. :-) -- Googolplexian (Diskussion) 22:42, 22. Okt. 2020 (CEST)

Koeffizienten der quadratischen Gleichung müssen nicht ganzzahlig sein?

In Heegner-Punkt#Definition heißt es:

• Der Wert $\tau$ ist ein CM-Punkt (CM = complex multiplication), d. h., er ist Lösung einer quadratischen Gleichung der Form $A\tau ^{2}+B\tau +C=0$ mit $B^{2}-4AC<0$

Hier fehlt mir die Aussage, dass A,B,C ganzzahlig sein sollen. Oder müssen sie das gar nicht?--Hfst (Diskussion) 17:05, 27. Okt. 2020 (CET)

Doch, das ist ein wichtiger Punkt, danke für den Hinweis Hfst! Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 19:32, 27. Okt. 2020 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 22:28, 9. Nov. 2020 (CET)

Einordnung anhand einfacher Grundlagen

Über Kurven und rationale Punkte

→ Hauptartikel: Algebraische Kurve

Schaubild des Kreises $y^{2}=1-x^{2}$

Eine algebraische Kurve ist im Prinzip eine große Familie von Punkten, die alle eine gemeinsame algebraische Relation erfüllen. Das bedeutet, dass es eine Gleichung zu Null gibt, in der ausschließlich addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert wird, die von allen Punkten gleichzeitig erfüllt wird. Ein Beispiel wäre die Gleichung $x^{2}-1=0$ ($x$ wird lediglich mit sich selbst multipliziert und anschließend wird 1 vom Ergebnis subtrahiert), die genau von $x=\pm 1$ gelöst wird. Somit bildet die Familie $\{-1,1\}$ die „Vorstufe“ einer Kurve, obgleich zwei Punkte noch nicht eine „kurvige“ Anschauung hervorrufen.

Ein erstes nicht-triviales und häufig genanntes Beispiel einer Kurve ist der Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt $(0,0)$ in der Zahlenebene, der genau durch die Punkte $(x,y)$ gegeben ist, welche die Relation $x^{2}+y^{2}=1$ erfüllen. Es können also auch Punkte mit mehr als einer Koordinate Kurven bilden, und tatsächlich wird es auch erst hier „reichhaltiger“. Dass die reellen Lösungen der Gleichung $x^{2}+y^{2}=1$ einen Kreis bilden, kann mit dem Satz des Pythagoras bewiesen werden. Von Interesse ist, dass eine eigentlich geometrische Figur wie der Kreis von einer algebraischen Relation herrührt. Auch anderen Gebilden wie Geraden, Ebenen, Hyperbeln etc. liegen algebraische Gleichungen zugrunde.

Während der Kreis erst durch Betrachtung aller reellen Zahlen „lückenlos“ entstehen kann, so liegt etwa $\textstyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)$ auf dem Kreis, da

$\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}=1,$

ist es für die Zahlentheorie von Interesse, Punkte auf Kurven zu finden, die ganz besonders „einfach“ sind. Damit sind zum Beispiel rationale Punkte gemeint, die neben der ohnehin schon restriktiven Kurvenlage die Eigenschaft haben sollen, durch Quotienten ganzer Zahlen beschrieben werden zu können. So ist es eine klassische Frage der Zahlentheorie, welche rationalen Punkte auf dem Kreis $x^{2}+y^{2}=1$ liegen. Zum Beispiel ist $\textstyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)$ kein rationaler Punkt, da man weiß, dass die Quadratwurzel aus 2 keine rationale Zahl ist. Beispiele für rationale Punkte sind $\textstyle \left({\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}}\right)$, da

$\left({\tfrac {3}{5}}\right)^{2}+\left({\tfrac {4}{5}}\right)^{2}={\tfrac {9}{25}}+{\tfrac {16}{25}}={\tfrac {9+16}{25}}={\tfrac {25}{25}}=1,$

aber auch $\textstyle \left({\frac {5}{13}},{\frac {12}{13}}\right)$ sowie $\textstyle \left({\frac {20}{101}},{\frac {99}{101}}\right)$. Diese Punkte leiten sich aus den pythagoreischen Tripeln ab, also nicht-trivialen ganzen Zahlen $(a,b,c)$ mit $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Es kann über elementare Methoden gezeigt werden, dass es unendlich viele primitive pythagoreische Tripel gibt, also solche, die nicht ganze Vielfache anderer Tripel sind, weshalb der Kreis tatsächlich „übersät“ mit rationalen Punkten ist. Allgemein gelten quadratische Kurven hinsichtlich rationaler Punkte als weitgehend verstanden.

Bereits durch dieses Beispiel wird eine Synthese aus Geometrie (Figuren, hier ein Kreis), Algebra (Gleichungen, die nur Grundrechenarten verwenden) und Zahlentheorie (rationale Zahlen) erkennbar.

Elliptische Kurve und Heegner-Punkte

→ Hauptartikel: Elliptische Kurve

Reelles Schaubild der elliptischen Kurve $y^{2}=x^{3}-3x+1$.

Bei Weitem nicht so zugänglich sind sog. elliptische Kurven, die allgemein in der Form $y^{2}=x^{3}+ax+b$ mit rationalen Zahlen $a,b$ beschrieben werden können. Während der geometrischen Figur des Kreises eine quadratische Gleichung zugrunde lag, handelt es sich bei einer elliptischen Kurve um eine kubische Gleichung (also mit Termen hoch 3). Das Besondere an elliptischen Kurven ist, dass man aus zwei bereits bekannten (rationalen) Punkten $P_{1}$ und $P_{2}$ über eine Verknüpfung $P_{1}+P_{2}$ einen neuen rationalen Punkt $P_{3}$ berechnen kann, genauso wie man aus zwei ganzen Zahlen mit der Addition eine neue ganze Zahl erzeugen kann. Bei der Addition eines rationalen Punktes zu sich selbst können zwei Situationen eintreten: Entweder der betrachtete Punkt ist von endlicher Ordnung und schließt einen endlichen Zyklus, d. h., irgendwann tritt die Situation $P+P+P+\dotsb +P=P$ ein und es geht von vorne los, oder es entstehen bis ins Unendliche immer neue Punkte, was vergleichbar mit der Erzeugung aller natürlicher Zahlen durch $1+1+1+1+\dotsb$ ist. In diesem Fall sagt man, dass $P$ unendliche Ordnung hat.

Die Theorie der elliptischen Kurven ist äußerst umfangreich, zahlentheoretisch im Zusammenhang mit dem großen Satz von Fermat von Bedeutung und wird von Mathematikern wie Henri Cohen auf den Umfang vieler tausend Seiten (in moderner mathematischer Sprache) geschätzt. Trotz ihrer Strukturen sind manche ihrer Eigenschaften bis heute nicht geklärt. So kennt man bis heute keinen allgemeinen Algorithmus, der rationale Punkte liefert, mit deren Hilfe alle anderen rationalen Punkte auf der Kurve durch Verknüpfung gewonnen werden können (eine positive Antwort auf die starke Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer würde jedoch einen solchen Algorithmus liefern). Jedoch können Heegner-Punkte dabei helfen, nicht-triviale rationale Punkte (solche, die durch Verknüpfung mit sich selbst unendlich viele verschiedene neue rationale Punkte erzeugen können) zu erzeugen. Ein Beispiel für einen durch Heegner-Punkte konstruierten rationalen Punkt ist

$\left({\frac {95732359354501581258364453}{277487787329244632169121}},{\frac {834062764128948944072857085701103222940}{146172545791721526568155259438196081}}\right)$

auf der Kurve $y^{2}=x^{3}+157^{2}x$. Dieser rationale Punkt beweist nach einem Satz von Tunnell, dass es ein rechtwinkliges Dreieck gibt, das ausschließlich rationale Seitenlängen und den Flächeninhalt $157$ hat.

Was elliptische Kurven über den rationalen Zahlen, neben ihrer Fähigkeit einer Punktaddition, so in den Fokus des Interesses rückt, ist die Tatsache, dass sie die einzigen Kurven sind, die endlich, aber auch unendlich viele rationale Punkte haben können (Kurven mit Geschlecht $g=1$). Nach der Vermutung von Mordell, bewiesen von Gerd Faltings, haben Kurven von Geschlecht $g=0$ mit einem rationalen Punkt bereits unendlich viele rationale Punkte, während Kurven von Geschlecht $g\geq 2$ stets nur endlich viele rationale Punkte haben können. Für seine Leistung wurde Faltings 1986 mit der Fields-Medaille geehrt.

Körper und Klassenzahlen

→ Hauptartikel: Körper (Algebra) und Klassenzahl

In der Mathematik ist man an Mengen interessiert, die bezüglich möglichst vieler Strukturen abgeschlossen sind. Eine Menge erhält dann zusätzliche Struktur, wenn ihre Elemente untereinander Dinge tun können. Betrachtet man zum Beispiel die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z} =\{\dotsc ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dotsc \}$, so fällt auf, dass diese unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist: Addiert oder multipliziert man zwei ganze Zahlen, wird das Ergebnis wieder eine ganze Zahl sein und man hat die ursprüngliche Menge nicht verlassen. Noch strukturierter ist es jedoch, wenn man auch dividieren darf. Dies wird in den ganzen Zahlen jedoch nicht immer möglich sein, da zum Beispiel ${\tfrac {1}{3}}$ keine ganze Zahl ist. Daher muss hier der Bereich erweitert werden, um auch eine Abgeschlossenheit unter Division zu erhalten. Im Falle von $\mathbb {Z}$ gelangt man damit zu den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$. Es muss noch gefordert werden, dass es eine „0“ und eine „1“ gibt (neutrale Elemente der Addition und Multiplikation), sodass man mit der Tatsache/Regel $\textstyle {\frac {a}{a}}=1$ für alle Zahlen $a\neq 0$ eine algebraische Struktur erhält, die auch Körper genannt wird.

Natürlich ist $\mathbb {Q}$ nicht der einzige Körper. So ist die Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ ebenfalls ein Körper, da auch hier die oben beschriebenen Regeln gelten. Jedoch gibt es weit mehr reelle als rationale Zahlen, weshalb viele Fragestellungen der Zahlentheorie, gerade bezogen auf Zerlegung von Zahlen in „elementarere Zahlen“, hier nicht mehr sinnvoll sind. In der Zahlentheorie interessiert man sich daher besonders für Körper, die dem der rationalen Zahlen viel mehr ähneln als die reellen Zahlen. Denkbar ist es, sich einzelne nicht-rationale Zahlen hinzuzunehmen, und daraus durch Bilden aller möglichen Summen, Produkte und Quotienten einen neuen Körper zu konstruieren. So ist zum Beispiel die Menge $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$, bestehend aus allen Zahlen der Form $x+y{\sqrt {2}}$ mit rationalen Zahlen $x,y\in \mathbb {Q}$, wieder ein Körper. Man spricht bei einer solchen Erweiterung der rationalen Zahlen von einem Zahlkörper.

Die Klassenzahl und damit Heegner-Punkte kommen dort ins Spiel, wo es darum geht, die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ als Verwandten der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ zu sehen, da letztere gewissermaßen durch Quotientenbildung aus ihnen hervorgehen. Auch bei Zahlkörpern kann man solche zugehörigen „ganzen Zahlen“ finden, jedoch müssen diese nicht mehr nur $\mathbb {Z}$ sein, sondern können weitere Elemente enthalten. Ganze Zahlen im Körper $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ wären in etwa

$2,\quad 3,\quad 1+{\sqrt {2}},\quad 3-2{\sqrt {2}}$

im Gegensatz zu allgemeinen Körperelementen wie

${\tfrac {1}{2}},\quad {\tfrac {3}{7}},\quad {\tfrac {2}{11}}-{\tfrac {5}{8}}{\sqrt {2}},\quad -{\tfrac {11}{89}}{\sqrt {2}}.$

Auch bei Arten verallgemeinerter ganzer Zahlen kann untersucht werden, ob es eine (bis auf Elemente wie einfache Vorzeichen $\pm 1$ und natürlich Reihenfolge) eindeutige Zerlegung in „Primzahlen“ gibt. In $\mathbb {Z}$ ist dies bekanntermaßen der Fall, zum Beispiel ist $-50=-2\cdot 5\cdot 5$ mit den Primzahlen $2$ und $5$, und es gibt keine anderen Zerlegungsmöglichkeiten, außer Vorzeichen- und Reihenfolgenwechsel wie zum Beispiel $5\cdot (-2)\cdot 5$. Also ist $\mathbb {Z}$ gewissermaßen zahlentheoretisch „gutartig“ – es gibt nur eine Klasse von Zerlegungsmöglichkeiten. Im Falle beliebiger Zahlkörper kann es aber passieren, dass es in deren ganzen Zahlen keine eindeutige Zerlegbarkeit mehr in „Primzahlen“ (allgemeiner Primelemente genannt) gibt. Ein Beispiel für fehlende Eindeutigkeit ist

$10=2\cdot 5=(4+{\sqrt {6}})\cdot (4-{\sqrt {6}})$

mit den vier Primelementen $2,5,4\pm {\sqrt {6}}$ in den ganzen Zahlen von $\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})$. Für die letzte Umformung kann $10$ als Differenz $16-6=4^{2}-{\sqrt {6}}^{2}$ zweier Quadrate geschrieben werden, was sich dann zum Produkt aus Summe und Differenz der beiden Basen $4$ und ${\sqrt {6}}$ faktorisieren lässt. Es kann nun gemessen werden, wie stark die Situation vom „Idealfall“ einer eindeutigen Zerlegbarkeit abweicht. Dieser Fehler wird als Klassenzahl des Zahlkörpers bezeichnet und ist eine natürliche Zahl. Zum Beispiel hat der Körper der rationalen Zahlen die Klassenzahl 1.

Die Bestimmung der Klassenzahl eines Zahlkörpers ist im Allgemeinen ein sehr schwieriges Unterfangen und es gibt bis heute viele ungelöste Probleme in diesem Bereich. Heegner-Punkte können (indirekt) dazu verwendet werden, die Klassenzahl einiger Körper zu bestimmen. Es lässt sich zum Beispiel zeigen, dass die einzigen quadratischen Zahlkörper mit imaginären Zahlen, in denen eine eindeutige Zerlegung in Primelemente existiert, genau die Körper

$\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {-2}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {-7}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {-11}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {-19}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {-43}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {-67}}),\,\mathbb {Q} ({\sqrt {-163}})$

sind.

Parameterdarstellung von elliptische Kurven

→ Hauptartikel: Parameterdarstellung

Durch $t\mapsto (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$ bzw. $t\mapsto e^{2\pi it}$ wird der Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt im Ursprung in der reellen bzw. komplexen Ebene parametrisiert. In oberem Schaubild ist $\theta =2\pi t$.

Eine Parametrisierung ist eine Abbildung von einem „einfachen“ Parameterobjekt in ein „kompliziertes“ Zielobjekt, mit dessen Hilfe durch Einsetzen von beliebigen Eingaben (Parametern) des Parameterobjekts beliebige nicht-triviale Teile des Zielobjekts erzeugt werden können. Mit „einfach“ ist gemeint, dass das Parameterobjekt in erster Linie ein „bekanntes“ Objekt ist, über das genügend Wissen vorhanden ist und aus dessen Vorrat nun nacheinander Werte eingesetzt werden, um damit ein anderes (unbekanntes, komplizierteres oder strukturell anspruchsvolleres) Objekt aufzubauen. Oft handelt es sich sowohl bei den Ein- als auch bei den Ausgaben um Punkte, die in ihrer Kollektion ein geometrisches Objekt darstellen.

Ein Beispiel einer Parametrisierung ist die des Kreises: Das „einfache“ Parameterobjekt ist hierbei das Intervall $[0,1]$, also alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1, über dessen Inhalt wir kanonisch verfügen, und das „komplizierte“ Zielobjekt der Kreis, wobei eine mögliche Abbildung

$t\mapsto (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))$

ist. Nach dem Satz des Pythagoras ist $\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$ unabhängig von der Eingabe $\theta$, womit aufgrund der Periodizität von Sinus und Kosinus der gesamte Kreis erzeugt wird. Nutzt man die Veranschaulichung der komplexen Zahlen $a+ib$ (mit reellen Zahlen $a,b$) als Punkte $(a,b)$, vereinfacht sich die Parametrisierung zu

$t\mapsto e^{2\pi it}.$

Für den Zusammenhang zwischen Sinus, Kosinus und der komplexen Exponentialfunktion siehe auch Eulersche Formel. Aus geometrischer bzw. topologischer Sicht wird das Intervall $[0,1]$, ein „Faden“ mit einer Längeneinheit, an beiden Enden genommen und zu einem Kreis zusammengeschlossen.

Das Besondere an der Kreisparametrisierung ist, dass sie von einer transzendenten Funktion generiert wird, nämlich $f(t)=e^{2\pi it}$. Dabei bedeutet transzendent, dass es kein allgemeines Prinzip gibt, die Funktionswerte $e^{2\pi it}$ durch endlich viele Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen oder Divisionen aus den Eingaben $t$ und festen Zahlen zu erzeugen. Unter diesen Umständen ist eigentlich zu erwarten, dass die Funktionswerte unter rationalen Eingaben $t$ keine besondere Struktur haben (es ist $\mathbb {Q}$ zwar ein Körper, aber es wird nicht gefordert, dass dieser unter unendlich vielen algebraischen Operationen immer noch abgeschlossen sein muss). Erschwerend machen die algebraischen Zahlen im asymptotischen Sinne 0 % aller komplexen Zahlen aus, weshalb ein „Zufall“ ausgeschlossen wäre. Tatsächlich aber kann mittels Potenzgesetzen gezeigt werden, dass jeder der Werte $e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}$ mit rationalen Zahlen ${\tfrac {p}{q}}$ eine algebraische Zahl ist, nämlich der Gleichung $x^{q}-1=0$ genügt. Die Algebraizität überträgt sich dann auf die einzelnen Komponenten $\sin(2\pi t)$ und $\cos(2\pi t)$. Demnach sind alle rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ in gewisser Weise die „Heegner-Punkte des Kreises“, da diese unter der Parametrisierung algebraische Punkte auf dem Kreis erzeugen. Beispielsweise ist

$f\left({\tfrac {1}{8}}\right)={\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},$

wobei $\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\right)$ auf dem Einheitskreis liegt (siehe oben).

→ Hauptartikel: Elliptische Funktion

Siehe auch: Elliptische Kurven über den komplexen Zahlen

Bei der Parametrisierung einer Menge von Punkten $(x,y)$, die alle gemeinsam eine Gleichung $y^{2}=x^{3}+ax+b$ erfüllen, also einer elliptischen Kurve, wird im Prinzip genauso verfahren. Da diese mittels sog. elliptischer Funktionen erfolgt, wird dabei von den komplexen Zahlen ausgegangen. Gesucht ist auch hier ein Funktionenpaar $f$ und $g$, ähnlich wie Sinus und Kosinus, sodass für jedes $t$ aus einem Parametervorrat $g(t)^{2}=f(t)^{3}+af(t)+b$ gilt. Nach Einsetzen eines Wertes $t$ lassen sich auch dann Koordinaten $(x,y)=(f(t),g(t))$ der Kurve abschreiben. Auch hier bedient man sich periodischer Funktionen, die jedoch von vornherein auf den komplexen Zahlen definiert werden. Als solche ordnen sie jedem Punkt einer Ebene (= jeder komplexen Zahl) eine komplexe Zahl zu.

Veranschaulichung des Verfahrens zur Konstruktion rationaler Punkte mittels Heegner-Punkten auf elliptischen Kurven

Dass Gleichungen höheren Grades Figuren höheren Geschlechts haben können, zeigt das Beispiel $y^{2}=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)$ bereits im Reellen: Es zeigen sich Querschnitte dreier Schläuche, was auf einen Doppeldonut, also eine Fläche von Geschlecht 2, hindeutet

Um gut rationale Punkte auf einer elliptischen Kurve konstruieren zu können, müssten einfache Punkte $z$ bekannt sein, sodass die Koordinaten $(f(t),g(t))$ der elliptischen Kurve rational sind. Solche hypothetischen „Heegner-Punkte“ gibt es im Allgemeinen jedoch nicht, bzw. sie können nicht einfach erraten werden. Dank eines lange vermuteten Satzes, bewiesen von Andrew Wiles und anderen, weiß man aber, dass es noch eine geeignete Art gibt, elliptische Kurven $y^{2}=x^{3}+ax+b$, die über den rationalen Zahlen definiert sind (also $a,b\in \mathbb {Q}$), zu parametrisieren. In diesem Falle ist die Funktion, die bei der Abbildung eine Rolle spielt, periodisch und transzendent. Jedoch ist die Abbildung deutlich komplizierter als es bei der Version über $p$-Funktionen der Fall war. Diese Parameterobjekte haben höheres Geschlecht (also mind. 1), im Gegensatz zur elliptischen Kurve.

Zwar wirkt das Parameterobjekt viel komplizierter, aber im Gegensatz zur elliptischen Kurve können auf diesem Objekt manche algebraischen Punkte (ggf. sogar rationale Punkte) direkt erraten werden – die sog. Heegner-Punkte. Das hat den Hintergrund, dass die Kurven des Parametervorrats stets sog. Modulkurven sind. Die von Wiles vorhergesagte sehr schwierige Parametrisierung kann damit in zwei einfachere Abbildungen zerlegt werden, von denen die erste eine Zwischenparametrisierung der Modulkurve vorsieht. Durch die Unterteilung geht die Abbildung von der oberen Halbebene in die Modulkurve und von der Modulkurve in die elliptische Kurve anstatt von der oberen Halbebene direkt in die elliptische Kurve:

• Parametrisierung der Modulkurve analog zur elliptischen Kurve: Über eine Funktion $j(z)$, der j-Funktion, werden Punkte von der oberen Halbebene mittels $z\mapsto (j(z),j(Nz))=(x,y)$ abgebildet, die eine komplizierte Gleichung lösen, wie in etwa $y^{2}=x^{7}-16x^{6}+4x^{3}-2x+87$. Dabei ist $N$ eine bestimmte natürliche Zahl, die auch Führer der späteren elliptischen Kurve genannt wird.
• Abbildung von Punkten $(x,y)$ auf der Modulkurve, die also jene sehr komplizierte Gleichung lösen, auf Punkte der elliptischen Kurve mit Führer $N$, die die Gleichung $y^{2}=x^{3}+ax+b$ lösen. Hier kommen keine Funktionen wie Sinus, Kosinus, p oder j ins Spiel, sondern es handelt sich um eine schlichte algebraische Koordinatentransformation. Ein Beispiel für eine algebraische Abbildung wäre $(x,0)\mapsto (x,x^{2})$ von der Kurve $y=0$ auf die Kurve $y=x^{2}$.

Das Besondere an Modulkurven ist, dass die Funktion $j(z)$ wegen der Theorie der Modulformen (das sind Funktionen auf diesem einfachen Raum, die so symmetrisch sind, dass sie eine extreme Seltenheit haben) gut verstanden ist – so gut, dass algebraische Punkte (Heegner-Punkte) auf dem Multidonut quasi „direkt ausgerechnet“ werden können: Dies ist der analoge Teil zum Kreis – hier konnten mittels der transzendenten Funktion $t\mapsto e^{2\pi it}$ direkt algebraische Werte auf dem Kreis ausgerechnet werden (also spielt das Intervall $[0,1]$ hier die Rolle der oberen Halbebene).

Heegner-Punkte sind also bestimmte Punkte auf dieser hochgeschlechtlichen Parameterfläche. Im Gegensatz zum Kreis stammen diese nicht aus den rationalen Zahlen, sondern liegen (wenn in der oberen Halbebene startend!) in einem quadratischen Körper $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})$ mit einer ganzen Zahl $D<0$. Löst also eine komplexe Zahl $\tau$ mit positivem Realteil eine quadratische Gleichung mit ganzen Koeffizienten, so ist $\tau$ ein Heegner-Punkt und der korrespondierende Punkt $(j(\tau ),j(N\tau ))$ auf einer Modulkurve hat algebraische Koordinaten. Der Einfachheit der Notation geschuldet, wird der Bildpunkt $(j(\tau ),j(N\tau ))$ wieder als Heegner-Punkt bezeichnet, obgleich er nicht das gleiche wie $\tau$ ist. Wird nun ein algebraischer Punkt $(j(\tau ),j(N\tau ))$ über eine algebraische Abbildung auf die elliptische Kurve transportiert, ist das Endergebnis wieder algebraisch: Vergleichbar ist die Abbildung $(x,0)\mapsto (x,x^{2})$ von der $x$-Achse auf die Normalparabel (eine Abbildung zwischen den Kurven $y=0$ und $y=x^{2}$), die offenbar rationale Punkte auf rationale Punkte abbildet. Dies war eine der großen Leistungen von Andrew Wiles: zu erklären, dass die (parametrisierende) Abbildung zwischen den Donuts algebraisch ist. Dies ist bemerkenswert, weil die Funktion auf der oberen Halbebene transzendent war.

Durch einen einzelnen Heegner-Punkt wird zunächst noch kein rationaler Punkt auf der elliptischen Kurve geboren. Werden jedoch mehrere verwandte Heegner-Punkte geschickt miteinander verrechnet, kann in manchen Fällen gewährleistet werden, dass die damit erzeugten Punkte sogar rational sind. Die Anzahl der Heegner-Punkte, die benötigt wird, hängt dabei von der Klassenzahl des quadratischen Körpers ab, in dem sie liegen. Der Körper $\mathbb {Q} ({\sqrt {-163}})$ hat in seinen ganzen Zahlen eine eindeutige Primfaktorzerlegung, weshalb seine Klassenzahl einfach 1 ist. Also reicht hier ein Heegner-Punkt aus, wie $\tau ={\tfrac {1+i{\sqrt {163}}}{2}}$, um einen rationalen Punkt auf der Modulkurve zu finden. Man hat tatsächlich

$j\left({\frac {1+i{\sqrt {163}}}{2}}\right)=-262\,537\,412\,640\,768\,000.$

Die betrachtete Parametrisierung kann also, mitsamt diesem Prinzip, als eine verallgemeinerte Version von $e^{2\pi it}$ gesehen werden.

Der Modularitätssatz und Heegner-Punkte

→ Hauptartikel: Modularitätssatz

Mittels der Parametrisierung $f(\tau )$ von Wiles werden Heegner-Punkte, also Lösungen quadratischer Gleichungen mit positivem Imaginärteil, durch die Funktion $f(\tau )$ auf ein Tupel $(x(\tau ),y(\tau ))$ gesendet, so dass $y(\tau )^{2}=x(\tau )^{3}+ax(\tau )+b$. Gleichzeitig haben diese ausgewählten $x(\tau )$ und $y(\tau )$ beide gute algebraische Eigenschaften, erfüllen für sich genommen also eine algebraische Gleichung. Im besten Falle handelt es sich bei $(x(\tau ),y(\tau ))$ um einen rationalen Punkt.

Aus den Daten $E\ :y^{2}=x^{3}+ax+b$ kann, das konnte Wiles zeigen, mittels eines Algorithmus die Parametrisierung $f(\tau )$ gewonnen werden. Für diesen ist es zunächst wichtig, dass $a,b$ beide rational sind. Zum Beispiel trifft dies bei der Kurve $y^{2}=x^{3}-3x+1$ zu. Für die Konstruktion von $f$ muss $E$ über Primzahlen betrachtet werden. Das bedeutet, dass bei einer Primzahl $p$ nur noch mit den Restklassen $0,1,2,...,p-1$ bei Teilung durch $p$ gerechnet wird. Zum Beispiel ist $7=2$ modulo $5$, da $7-2$ durch $5$ teilbar ist, also sowohl $7$ als auch $2$ nach Division mit $5$ den gleichen Rest haben. Bei der Konstruktion von $f(\tau )$ muss die Gleichung $y^{2}=x^{3}-3x+1$ nur noch unter Aspekten der Restgleichheit betrachtet werden, aber theoretisch für alle Primzahlen nacheinander. Beispielsweise hätte man für $p=2$ nur zu prüfen, ob die vier Punkte $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ auf der modulo $2$ reduzierten Kurve $y^{2}=x^{3}-3x+1$ liegen, da $0$ und $1$ die einzigen Reste modulo $2$ sind. Durch Einsetzen in oberer Reihenfolge findet man $0=1,0=-1,1=1,1=-1$, wobei die Aussagen $1=1$ und $1=-1$ modulo $2$ beide wahr sind, da die Restklassen übereinstimmen. Also liegen hier 2 Punkte auf der Kurve. Ähnlich kann modulo beliebiger Primzahlen verfahren werden, und damit wird eine Folge ganzer Zahlen über die Lösungsanzahlen erzeugt. Aus dieser Folge kann wiederrum eine Folge $a_{1},a_{2},a_{3},...$ ganzer Zahlen ermittelt werden, welche die Funktion $f(\tau )$ kodiert. Sie entsteht durch Bilden der Fourierreihe

$f(\tau ):=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{2\pi in\tau }=a_{1}e^{2\pi i\tau }+a_{2}e^{4\pi i\tau }+\cdots$

und Wiles konnte beweisen, dass diese Funktion nicht nur, wegen der Fourierreihe, periodisch ist, sondern sogar noch weitere Transformationseigenschaften hat. Diese Transformationseigenschaften machen $f(\tau )$ zu einer sog. Modulform und erlauben es, $f(\tau )$ dafür zu benutzen, auf der oben beschriebenen Modulkurve Integrale auszurechnen. Setzt man in das Integral

$2\pi i\int _{i\infty }^{\tau }f(z)\mathrm {d} z$

einen Heegner-Punkt ein, wobei $i\infty$ der Punkt unendlich weit oben auf der oberen Halbebene ist, ist das Ergebnis zunächst eindeutig bestimmt. Da man jedoch nicht mehr die obere Halbebene, sondern die Modulkurve betrachten will, muss das Integral eigentlich unverändert bleiben, wenn statt $\tau$ Heegner-Punkte einsetzt, die mit $\tau$ nach Verbiegen und Falten zu einem Donut identifiziert werden. Durch mathematische Techniken kann man zeigen, dass die Eindeutigkeit als komplexe Zahl zwar verloren geht, jedoch wieder hergestellt wird, falls man das Ergebnis auf einer Periodenmasche sieht und es egal ist, welche Masche genau gewählt ist. Damit liegt das Ergebnis aber schon auf der betrachteten elliptischen Kurve und hat dort gute Eigenschaften. -- Googolplexian (Diskussion) 08:31, 31. Okt. 2020 (CET)

Praktischer Nutzen

Berechnung von Pi

→ Hauptartikel: Chudnovsky-Algorithmus

Heegner-Punkte des Typs $\tau ={\tfrac {1+i{\sqrt {n}}}{2}}$ mit natürlichen Zahlen $n$ können dabei helfen, Reihen zu finden, die sehr schnell gegen die Kreiszahl $\pi$ konvergieren, wie die Brüder David und Gregory Chudnovsky herausfanden. Für den nach ihnen benannten Chudnovsky-Algorithmus nutzten sie desweiteren aus, dass der Wert von $j\left({\tfrac {1+i{\sqrt {163}}}{2}}\right)$ größtmöglich(?) ganzzahlig ist, weshalb für $\tau ={\tfrac {1+i{\sqrt {163}}}{2}}$ die schnellste Konvergenz erzielt wird. Durch die schnelle Konvergenz, also eine starke Annäherung der Reihe schon nach wenigen ihrer Glieder an die Zahl $\pi$, kann $\pi$ mit einer vorgegeben Genauigkeit in vergleichsweise wenigen Schritten berechnet werden.

Elliptic Curve Cryptography

→ Hauptartikel: Elliptic Curve Cryptography

Heegner-Punkte spielen eine bedeutende Rolle im Gebiet der Grundlagenforschung rund um elliptische Kurven (insbesondere solcher mit sog. komplexer Multiplikation). Elliptische Kurven werden im Rahmen der Elliptic Curve Cryptography (ECC) bei der Verschlüsselung von Nachrichten angewandt. Dabei wird die fehlende Effizienz bei der Berechnung diskreter Logarithmen ausgenutzt, was ein Brechen des Kryptosystems sehr schwierig macht.

Erzeugen Heegner-Punkte rationale Punkte mit unendlicher Ordnung, ist gewährleistet, dass eine relativ große Anzahl rationaler Punkte auf der betrachteten elliptischen Kurve liegen wird. Wegen der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer besteht (vermutlich) ein enger Zusammenhang zwischen dem globalen und lokalen Fall, also der Anzahl von Punkten elliptischer Kurven über den rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ und sog. endlichen Körpern, wobei eine große Anzahl von Punkten im globalen Fall die Anzahl der Punkte in den lokalen Fällen tendenziell erhöht. Dies folgt aus einer Formel, die ein „Lokal-Global-Prinzip“ etabliert: Ist $E(\mathbb {Q} )$ eine über den rationalen Zahlen definierte elliptische Kurve, $p$ eine Primzahl und $N_{p}$ die Anzahl der Punkte auf der zu $E(\mathbb {Q} )$ reduzierten Kurve $E(\mathbb {F} _{p})$, so soll gelten:

$\prod _{p<M}{\frac {N_{p}}{p}}\sim C_{E}\log(M)^{r},\qquad M\to \infty ,$

mit einer Konstanten $C_{E}>0$ und dem Rang $r$ der elliptischen Kurve $E$. Numerische Rechnungen stützen diese unbewiesene Behauptung. Eine große Zahl von Punkten im lokalen Fall erlaubt schließlich eine große Auswahl an Möglichkeiten für Geheimtexte und macht eine Brute-Force-Attacke zur Entschlüsselung der Nachrichten sehr zeitaufwendig. Daher sind elliptische Kurven mit dieser Eigenschaft gute Kandidaten für Verschlüsselungsverfahren.

Im Jahr 2003 entwickelte David Kohel einen Algorithmus, der mittels Heegner-Punkten auf Modulkurven die Anzahl von Punkten auf elliptischen Kurven über endlichen Körpern abzählt. Dazu werden $p$-adische Lifts (das sind Objekte, die von einer Abbildung von einem „über der Modulkurve liegenden Objekt“ in die Modulkurve auf Heegner-Punkte gesendet werden) dieser Heegner-Punkte verwendet, wobei $p$ eine kleine Primzahl ist. Um Kryptosysteme über elliptische Kurven implementieren zu können, sind Algorithmen, die die Anzahl von Punkten auf elliptischen Kurven (über endlichen Körpern) zählen, von großer Wichtigkeit. Kohel gab auch explizite Ausführungen zu den Fällen $p=2,3,5,7,13$. (nicht signierter Beitrag von Fabian RRRR (Diskussion | Beiträge) 20:56, 28. Okt. 2020 (CET))

Rationaler Punkt

Hallo,

beim Lesen des Artikels fragte ich mich zunächst, was ein rationaler Punkt ist. In diesem Artikel ist wohl ein Punkt mit rationalen Koordinaten gemeint. Wie ich heute lernen durfte, ist der Begriff heute präzise definiert und allgemeiner belegt, vgl. en:Rational_point. Das sollte man vielleicht in diesem Artikel noch etwas präzisieren. Ich probiere mich daran. Besonders schön wäre es, wenn es für den Begriff auch ein Linkziel gäbe, aber das ist natürlich kein Mangel an diesem Artikel.--Christian1985 (Disk) 20:54, 8. Nov. 2020 (CET)

Hi Christian1985, schön, dass du nochmal drüber schaust, hatte ich gehofft ;-) Danke, das hilft sehr! Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 21:44, 9. Nov. 2020 (CET)

Sehr gerne. Da dies eine Thematik ist, von der ich kaum Ahnung habe, sie aber hoch interessant finde, erfreue ich mich sehr an dem Artikel.--Christian1985 (Disk) 22:26, 9. Nov. 2020 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 22:26, 9. Nov. 2020 (CET)

Einordnung anhand einfacher Grundlagen

Hallo,

die Überschrift "Einordnung anhand einfacher Grundlagen" finde ich etwas unpassend. Trotz meiner mathematischen Vorbildung - jedoch abseits der Algebra - musste ich den Abschnitt "Körper und Klassenzahlen" schon zwei mal lesen. Ich würde daher eine Überschrift ohne das Wort "einfach" für den Abschnitt präferieren. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 18:20, 9. Nov. 2020 (CET)

Habe es umbenannt, so besser? Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 21:46, 9. Nov. 2020 (CET)

Passt! Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 22:27, 9. Nov. 2020 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 22:27, 9. Nov. 2020 (CET)

Periodische vs. doppelperiodische Funktionen

Hallo,

verstehe ich es richtig, dass überall im Artikel eigentlich doppeltperiodischen Funktionen gemeint sind, wo von periodischen Funktionen $f\colon U\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ die Sprache ist. Das scheint noch ein Artikel zu sein, der noch nicht geschrieben ist. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 22:24, 9. Nov. 2020 (CET)

Nur bei elliptischen Funktionen. Modulformen sind nicht doppelperiodisch, haben aber ähnlich starke Symmetrieeigenschaften. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 09:06, 10. Nov. 2020 (CET)

Algebraische Koordinatentransformation

Hallo,

was ist eine algebraische Koordinatentransformation? Ist das eine Polynomfunktion (in mehreren Variablen), die bijektiv ist? Ist die Umkehrfunktion dann auch eine Polynomfunktion? Oder bin ich völlig auf dem Holzweg? --Christian1985 (Disk) 22:40, 9. Nov. 2020 (CET)

Ja, eine Abbildung $(x_{1},...,x_{n})\mapsto (f_{1}(x_{1},...,x_{n}),...,f_{m}(x_{1},...,x_{n}))=(y_{1},...,y_{m})$ zwischen Varietäten, wobei die f's Polynome sind. Diese muss aber nicht zwingend bijektiv sein. Eine Varietät ist ein Lösungsgebilde von (ggf. mehreren) Polynomgleichungungen. Ich mache mal noch den Link in den Artikel. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 09:11, 10. Nov. 2020 (CET)

KALP-Diskussion vom 14. Oktober bis zum 14. November 2020 (Exzellent)

In der arithmetischen Geometrie bezeichnen Heegner-Punkte (benannt nach Kurt Heegner) Zahlen auf der oberen Halbebene der komplexen Zahlen, die quadratische Gleichungen mit ganzen Koeffizienten lösen. Beispielsweise ist die Zahl $\tau =i{\sqrt {2}}$ ein Heegner-Punkt, da sie die Gleichung $x^{2}+2=0$ erfüllt. Heegner-Punkte spielen eine bedeutende Rolle in der Theorie der elliptischen Kurven.

Nachdem der Artikel nun viele Wochen im Review stand, möchte ich ihn heute vorstellen. Das Thema hat mich während meines Studiums sehr interessiert, doch die Literatur ist stark verstreut und teilweise schwierig zu lesen. Dies ist ein Versuch, das Wichtigste an einem Ort zusammenzutragen. Ich möchte mich noch bei @Wolny1: für die zahlreichen Korrekturen und Überarbeitungen bedanken. -- Googolplexian (Diskussion) 17:17, 14. Okt. 2020 (CEST)

 keine Auszeichnung In einem Fachbuch mag der Artikel sicherlich gut aufgehoben sein. Für eine sich an die Allgemeinheit richtende Enzyklopädie ist der Artikel aber nicht Allgemeinverständlich genug. Ich hab nach und beim Lesen des Artikels nichts verstanden.--Toledo JTCEPB (Diskussion) 11:49, 17. Okt. 2020 (CEST)

Hallo JTCEPB, deine Forderung an Allgemeinverständlichkeit ist, und ich denke das wissen wir beide, praktisch nicht umsetzbar. Ich denke und hoffe, dass die Inhalte aus dem ersten Teil über die Einordnung ohne mathematisches Vorwissen dem (interessierten!) Laien ausreichen. Danach richtet sich der Artikel selbstverständlich an ein Fachpublikum (wer sollte ihn sonst bis zur Gänze lesen?) und kann leider nicht auf jeden Menschen unterschiedlicher Vorbildung Rücksicht nehmen, das ist vollkommen realitätsfern. Würde der Artikel jeden der in ihm genannten (unumgänglichen) Fachbegriffe komplett runterbrechen, wäre nicht nur das Thema verfehlt sondern der Artikel viel zu lang. Ich persönlich denke nicht, dass es einem Projekt wie der Wikipedia gut tut, wenn nur Artikel aus Bereichen eingepflegt werden, die gänzlich ohne Vorwissen komplett verstanden werden können. Das würde auch das Konzept der Hyperlinks völlig überflüssig machen. Im Artikel Schutzgruppe wird nicht mehr erklärt, was ein Molekül ist, und in Hafnium wird nicht darauf eingegangen, was es mit Reaktionsgleichungen auf sich hat. Ich selber verstehe beim ersten Durchlesen bei Weiten nicht alles sofort in diesen Artikeln, aber für unsere Chemiker sind sie sicher sehr gut. Wenn du mir konkrete Stellen nennen kannst, die du gerne besser verstehen willst, bin ich gerne bereit, diese näher zu erklären. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 12:34, 17. Okt. 2020 (CEST)

Ich gebe dir insofern Recht, dass ich auch bezweifele, dass dieser Artikel allgemeinverständlich erklärt werden kann. Ich behaupte nicht, dass man jeden Artikel ohne Vorwissen verstehen können muss. Etwa setze ich bei Lesern des Artikels Super Bowl LIV voraus, dass er mindestens das Vorwissen hat, was ihm der Artikel American Football und National Football League vermitteln würde. Natürlich ist auch der Einsatz von Hyperlinks grundsätzlich zulässig um einen Begriff verwenden zu können, ohne ihn näher zu erläutern. Das sollte allerdings die Ausnahme und nicht die Regel sein. Ich halte es aber für nicht akzeptabel, wenn man erst ein Studium in einem gewissen Bereich gehabt haben muss um einen ausgezeichneten Artikel verstehen zu können. In der Schule hättest du doch wohl auch nicht erwartet, dass deine Lehrer dir eine gute Note geben, wenn du ein Referat auf kroatisch gehalten hättest, obwohl niemand in der Klasse kroatisch kann. Vielleicht kann man den Artikel nicht allgemeinverständlich schreiben, dann ist er aber halt auch nicht geeignet für eine Auszeichnung. Es ist nun mal eine unschöne Wahrheit, dass es nicht jeder Artikel zu einem ausgezeichneten Artikel werden kann.--Toledo JTCEPB (Diskussion) 13:13, 17. Okt. 2020 (CEST)

Deine Argumentation ist immer noch sehr pauschal und abstrakt. Es wäre für viele Autoren aus Fachgebieten sehr demotivierend, wenn sie nicht mehr auf eine Auszeichnung hinarbeiten könnten, die ihre Arbeit am Schluss adäquat würdigt. Das wäre für ein Projekt wie der Wikipedia nicht förderlich. Selbstverständlich schauen hier auch viele Leser aus Fachkreisen herein. Bitte lies dir nochmal die Kriterien für lesenswerte und exzellente Artikel gründlich durch. Dort steht nichts davon, dass ein Artikel von vorne bis hinten für jeden Laien verständlich sein muss. Bei den Kriterien zu lesenswert heißt es ferner bei der Frage der Zulassung: „Alle Artikel aus allen Fach- und Lebensbereichen. Darunter fallen auch Artikel, die von der Mehrheit der Nutzer als unverständlich angesehen werden, aber fachlich korrekt und fundiert ein spezielles Thema behandeln.“. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 13:31, 17. Okt. 2020 (CEST)

Wie gesagt, es mag sein dass es für manche sehr unschön ist, aber das ist nun mal die traurige Realität. Ich möchte deine Arbeit auch nicht geringschätzen; ich bin mir sicher du hast viel Mühe und Zeit hier rein investiert. Es tut mir auch ein wenig Leid, dass ich dieses Urteil fälle, aber ich halte es dennoch für die richtige Entscheidung. Sicherlich ist sie recht pauschal, aber das macht sie nicht zwangsläufig falsch. Du zitierst ja bereits die Stelle aus der Kriteriendarstellung. Ich kann deine Interpretation auch nachvollziehen, unter der Annahme, dass sie allein stehen würde. Nur tut sie dies nicht. Ich sehe den Abschnitt Verständlichkeit von gutgeschriebenen Artikel als Vorstufe der Kriteriendarstellung. Und dies erfüllt der Artikel halt leider nicht. Der von dir zitierte Satz deckt meiner Ansicht nach eher Sätze wie "Der Quarterback gab nach dem Snap den Handoff an den Runningback, der einen Outside Run antäuschte, dann jedoch einen Lateral Pass auf einen Receiver warf, der einen Reverse lief. Dieser warf daraufhin einen tiefen Pass auf den Tight End, der jedoch vom Sam-Linebacker intercepted wurde. Beim anschließenden Return verpasste der Right Guard nach einem Spin-Move des Ball Carriers den Tackle und auch der Fullback konnte keinen Tackle setzen, da er vom Free Safety mit einem Cut Block aus dem Spiel genommen wurde. Der Center konnte jedoch schließlich den Linebacker tacklen und dabei einen Fumble erzwingen, der über die Goalline in die Endzone sprang und schließlich Out of Bounds ging, so dass es einen Touchback gab." Ich würde vermuten, dass über die Hälfte der Nutzer dieses für unverständlich halten würden, ABER es könnte jeder verstehen, wenn er vorher mal den Artikel American Football gelesen hätte. Das kann ich hier aber nicht erkennen. Selbst wenn ich alle Mathematikartikel lesen würde, so würde ich wahrscheinlich noch immer nicht diesen Artikel verstehen. Zuletzt auch noch mal der Hinweis, dass du dich von einer Kandidatur nicht demotivieren lassen solltest. Es gibt wichtigeres als ein Bapperl. Wenn du mal ein Lob von einem Fachkollegen kriegst oder du mit diesem Artikel auch nur einem anderen Mathematiker weiter hilfst ist das doch tausend mal mehr Wert.--Toledo JTCEPB (Diskussion) 20:41, 17. Okt. 2020 (CEST)

Wenn deine Argumentation auf dem Stellen unerfüllbarer Anforderungen basiert, dann ist deine Argumentationskette natürlich falsch. Dass die Anforderungen unerfüllbar sind habe ich unten erklärt.--Jonski (Diskussion) 21:23, 17. Okt. 2020 (CEST)

Wenn man diesen Gedanken konsequent zu Ende denkt, dann dürften ganz schön viele Artikel aus den Naturwissenschaften (nicht nur Mathe, auch Physik, Chemie, Medizin oder Informatik) keine Auszeichnung bekommen. Da wird es nämlich leider auch ganz schön schnell kompliziert mit den Fachbegriffen. Das Problem ist, dass du hier einen unsichtbaren Maßstab festlegst, nachdem ein Artikel noch verständlich oder schon unverständlich ist, aber das ist deine ganz persönliche Meinung. Diese respektiere ich auch, aber ich denke nicht, dass dies der allgemeine Konsens ist: Bei der Allgemeinverständlichkeitsklausel geht es darum, dass das Lemma möglichst laientauglich vermittelt wird: Bei schwer verständlichen Themen hat es sich bewährt, die Einleitung möglichst einfach und laientauglich zu gestalten und Details oder exakte Zusammenhänge erst im Hauptteil zu erläutern. Hier ist von einem Optimierungsprozess die Rede, aber es wird mit keinem Wort gesagt, dass gewisse Texte von vorne herein ausgeschlossen sind. Kurzum: Ich halte es nicht für zielführend, gewisse Bereiche der Wikipedia (bzw. der Wissenschaft!) für grundsätzlich nicht zugänglich oder verstehbar zu verurteilen. Wenn dich das Thema nicht interessiert, dann ist das so. Vielleicht geht es anderen aber anders. Und wenn etwas unverständlich ist, dann kann man es ggf. einfacher Ausdrücken - mir ist geholfen, indem man mir die Stellen konkret benennt und dann arbeitet man auf einen Konsens hin. Und selbstverständlich kann man, wenn man sich ein wenig mit Mathematik beschäftigt, die Inhalte begreifen, genauso wie man sich, wenn man sich mit Football oder Geschichte beschäftigt, auch diese Dinge begreifen kann. Die letzten (nett gemeinten! :)) Zusprüche sind ad hominem (ich bezog mich auf das zur Motivation dienende Kandidatursystem im Allgemeinen) und sollten nicht Teil der Diskussion sein. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 21:19, 17. Okt. 2020 (CEST)

Im Abschnitt "Einordnung ohne mathematisches Vorwissen" gibst Du Dir große Mühe, den Artikel für Nicht-Totalspezialisten verständlich zu machen. Das finde ich gut. Leider ist die Einleitung, also der "Teaser" vor der ersten Überschrift, für mich komplett unverständlich, und ich bin nun nicht ungebildet. Es wäre gut, wenn gerade da, beim ersten Einstieg für Leser, noch ein bisschen Mühe aufgebracht würde, um Verständlichkeit zu schaffen. Das sollte auch machbar sein. Dass ein Großteil des Artikels nur Spezialisten interessieren wird und dass sie auch die Einzigen sein werden, die alles kapieren, lässt sich nicht ändern, da gebe ich Dir recht, das liegt am Thema. Aber die Visitenkarte des Artikels sollte einen zumindest ahnen lassen, worum es geht, auch wenn man kein Mathematiker ist.--Mautpreller (Diskussion) 13:58, 17. Okt. 2020 (CEST)

Bei mathematischen Artikeln können schlicht nicht die gleichen „Allgemeinverständlichkeitsanforderungen“ gestellt werden wie an nicht mathematische Artikel. Das wäre schlicht Unsinn. Die Mathematik eine in sich abgeschlossene Wissenschaft. Es ist grundsätzlich unmöglich, mathematische Begriffe mit außermathematischen Begriffen zu erklären. Schon gar nicht bei Kern-mathematischen Artikeln. Diesen Maßstab hier anzusetzen weil schon die Einleitung nicht allgemeinverständlich ist, ist daher schlicht ein falsches Argument, da etwas verlangt wird was nicht möglich ist. Natürlich sich kann man innerhalb des Artikels um einen gewissen Grad an allgemeinverständlich bemühen, aber den gesamten Text oder partielle Dinge wie die Einleitung so zu gestalten, dass er für Jedermann einigermaßen verständlich ist, ist eine falsche Anforderung. Mich wundert es, dass das hier allgemein nicht verstanden wird.--Jonski (Diskussion) 18:09, 17. Okt. 2020 (CEST)

Danke Mautpreller für den konkreten Hinweis, ich gebe dir Recht, ich werde mich darum kümmern. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 14:03, 17. Okt. 2020 (CEST)

@Mautpreller: Habe jetzt den Teaser etwas erweitert, ich hoffe, es ist damit etwas verständlicher geworden. Bitte sage Bescheid, falls was überhaupt nicht klar ist, und falls ja, was, vielen Dank! -- Googolplexian (Diskussion) 15:27, 17. Okt. 2020 (CEST)

 keine Auszeichnung. Zumindest die Einleitung sollte laienfreundlich sein. Die ersten Sätze finde ich noch ok, aber danach driftet das ganze schnell in Unverständlkichkeit ab. Mir stellen sich Fragen bei Sätzen wie " Zu beachten ist, ... noch selbstverständlich war." Warum ist das zu beachten? "Wichtiges Beispiel eines Heegner-Punktes..." (warum ist das ein wichtiges Beispiel?)" "...die schnell mit einem Computer überprüfbare (und scheinbar zufällige) Kuriosität.." (was für eine Kuriosität? Warum scheinbar zufällig? Und warum ist "schnell mit einem Computer überprüfbar" wichtig?) Was ist eine „Fast-Ganzzahligkeit“ ? Und warum wird daraus wenig später "Aus der Ganzzahligkeit" (das fast fällt also weg). Sind die Heegner-Zahlen eine Teilmenge der Heegner-Punkte? usw. --Scantasyundfiencefiction (Diskussion) 17:22, 17. Okt. 2020 (CEST)

Die Einleitung finde ich jetzt sehr viel besser gelungen, @Googolplexian1221:! Einzig Heinrich Weber sollte auf die richtige Person verlinken und nicht auf die BKL. Zum Rest des Artikels kann ich im Moment nicht viel sagen. --Scantasyundfiencefiction (Diskussion) 13:26, 18. Okt. 2020 (CEST)

Ist erledigt, danke dir. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 13:40, 18. Okt. 2020 (CEST)

 keine Auszeichnung. Wenn schon der allererste Satz für einen mittelintelligenten Laien wie mich komplett unverständlich ist, hat der Artikel ein massives Problem. --Φ (Diskussion) 17:47, 17. Okt. 2020 (CEST)

Ich fand den ersten Satz schwer verständlich. Unter Diskussion:Heegner-Punkt#Vorschlag für ersten Satz findest Du meinen Vorschlag samt Begründung. --Hfst (Diskussion) 18:02, 17. Okt. 2020 (CEST)

Danke für euer Feedback, ich werde mein bestes geben! Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 18:05, 17. Okt. 2020 (CEST)

Hallo Scantasyundfiencefiction und Φ, die Einleitung ist jetzt aus meiner Sicht deutlich laientauglicher. Beste Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 13:19, 18. Okt. 2020 (CEST)

Nein. Wieso liegen Zahl auf einer Ebene? Da bin ich schon raus. --Φ (Diskussion) 13:22, 18. Okt. 2020 (CEST)

Danke! Es macht wahrscheinlich Sinn, trotz der Hyperlinks, diese Frage noch im Artikel zu klären, da ja wirklich einmal von Zahl und einmal von Punkt die Rede ist. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 13:25, 18. Okt. 2020 (CEST)

Ich habe zu Zahl=Punkt?! noch eine Erklärung gegeben, die ich aber denke ich nicht weiter ausführen kann, ohne das Thema des Artikels zu verfehlen. Im Zweifel hoffe ich, dass die Hyperlinks, insbesondere auf Komplexe Zahl, weiterhelfen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 13:36, 18. Okt. 2020 (CEST)

@Phi: Ich kann deine Begründung nicht ganz nachvollziehen. Das ist in etwa so als würdest du einen Artikel in chinesisch bewerten (der exzellent geschrieben ist) und dann zum Schluss kommen, dass er nicht allgemeinverständlich ist weil du ihn nicht verstehst. Um den Artikel bewerten zu können musst du aber erstmal ein gewisses Niveau an chinesisch aufweisen, um bewerten zu können, ob er allgemeinverständlich für Menschen geschrieben ist die chinesisch können. So hier auch: die Mathematik ist eine Kunstsprache (siehe Exakte Wissenschaft) also hat sie explizit das Ziel einfache Formulierungen, die zwar einfach und damit alltagstauglich sind (aber dafür auch unpräzise), zu vermeiden und durch strikt präzise hergeleitete Begriffe zu ersetzen. Die Kern-Mathematik will sich ja gerade von den Unexaktheiten natürlicher Sprachen befreien, daher ist es unsinnig anzuführen der Artikel sei nicht allgemeinverständlich weil er sich auf Objekte bezieht, die sich nicht allgemeinsprachlich beschreiben lassen. Mathematikartikel können schlicht nicht vollständig allgemeinverständlich sein, da sie sich nicht auf die Wirklichkeit beziehen. Ich verweise hier auf Einstein: „Insofern sich die Sätze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher, und insofern sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit.“ bzw. „Die Mathematik handelt ausschließlich von den Beziehungen der Begriffe zueinander ohne Rücksicht auf deren Bezug zur Erfahrung.“ Viele Grüße.--Jonski (Diskussion) 19:54, 18. Okt. 2020 (CEST)

Hallo Jonski. Wenn ein chinesisch geschriebener Artikel hier kandidieren würde, würde ich ebenfalls mit be|k votieren. Wir schreiben hier auf deutsch. Allgemeinverständlichkeit ist ein hohes Gut in einer Enzyklopädie. Wenn der Artikel noch nicht einmal in den ersten zwei Sätzen schafft, für gutwillige Nichtmathematiker verständlich zu sein, dann ist er einfach nicht gut. Ich weiß nicht, ob das ein Problem der Mathematik ist oder der Formulierungskunst des Verfassers, aber ich beharre darauf, dass ich als mittelintelligenter Mensch wenigstens nach Lektüre der Einleitung zumindest grob kapieren möchte, worums geht. Das ist hier nicht der Fall, deshalb bleibe ich bei meinem Votum. Alles andere würde ja bedeuten, dass ich schlicht inkompetent / zu doof bin, mich zu dem Artikel zu äußern. Dazu fehlt mir dann doch die Demut. Abendgrüße --Φ (Diskussion) 23:09, 18. Okt. 2020 (CEST)

Es ist ein Irrglaube, dass kein augenblicklicher mathematischer Zugang ein Zeichen fehlender Bildung sei. Ich kenne sportliche Menschen, die Probleme beim Turnen haben. Ich gebe Jonski's etwas überspitzer Formulierung insofern recht, als dass Mathematik in der Tat eine eigene Sprache ist, für deren exaktes Verständnis ein „sich Hocharbeiten“, angefangen von den Axiomen, abgefordert wird. @Phi: Ich habe jetzt in den ersten zwei Sätzen ganz grob erläutert um was es geht. Es wird nur auf das Konzept der mathematischen Gleichung eingegangen, das ganz zentral für die Theorie der Heegner-Punkte ist. Wer das weiß, hat bereits in Grundzügen verstanden, um was es geht. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 09:56, 19. Okt. 2020 (CEST)

Ich bin anscheinend nachhaltig zu dumm für diesen esoterischen Kram und ziehe mein Votum zurück.  Neutral

Nächstes Problem ist das erste Bild, s.o. Mir ist unklar, wie da koloriert wurde. Der Link nach Commons in der Beschreibung hilftnicht weiter. Mir ist auch unklar, was die Aussage ist. Ich erkenne nur "da ist ein Punkt mit positiven Realteil in der komplexen Zahlenebene." Vielleicht kommt das Bild auch nur zu früh?--Hfst (Diskussion) 18:16, 17. Okt. 2020 (CEST)

Ein Bild ohne Kolorierung tut es auch. Ich werde später eins hochladen! ;) Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 18:20, 17. Okt. 2020 (CEST)

Auch bei dem neuen Bild frage ich mich "was will mir das sagen?". Zwei Punkte in der komplexen Zahlenebene, na und? Ich denke, Du solltest auf das Bild verzichten, zumindest an dieser Stelle.--Hfst (Diskussion) 22:07, 17. Okt. 2020 (CEST)

Ich verstehe was du meinst: Für jemanden wie dich, der mit komplexen Zahlen, oberer Halbebene und Real- und Imaginärteil anscheinend was anfangen kann, wirkt das Bild vermutlich nichtssagend und trivial. Aber ich denke, dass es einige Leser gibt, die sich mit Mathematik sonst wenig beschäftigen, für die das Bild dennoch einen Informationsgewinn liefert. Kann das natürlich nicht perfekt beurteilen. Außerdem wurde im Review befunden, dass man etwas von Heegner-Punkten sehen sollte. Ich wollte auf der anderen Seite nicht das Bild noch voller machen, da es sonst unübersichtlich wird. Würde daher gerne noch weitere Meinungen hören. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 10:13, 18. Okt. 2020 (CEST)

Die Einleitung sollte jetzt besser zu lesen sein. Ich habe mich auf Begriffe zurück gezogen, die aus der Schulmathematik bekannt sind, wie zum Beispiel quadratische Gleichungen. Alles zu Modulkurven habe ich in den unteren Teil des Artikels verlegt. -- Googolplexian (Diskussion) 19:25, 17. Okt. 2020 (CEST)

 Abwartend Ich gebe zu, dass ich auch kaum etwas von den vielen Formeln und mathematischen Erklärungen verstehe, die der Artikel enthält. Dennoch dürfte der Artikel für Interessierte nützlich und hilfreich und eine Bereicherung für die Wikipedia sein. Den Anspruch, dass der ganze Artikel für Laien verständlich sein sollte, habe ich nicht. Aber: die Einleitung sollte auch für Laien besser oder überhaupt lesbar sein als aktuell. Ich finde sie zu lang und zu detailliert (auch im Vergleich mit anderen Auszeichnungskandidaten und -trägern), mit zu vielen Formeln gespickt. Man sollte sie deutlich kürzen, ca. um zwei Drittel, und vorrangig das mit Worten Ausdrückbare belassen. Zweiter Kritikpunkt: Es gibt hier viele Passagen und teils ganze Abschnitte ohne Einzelnachweise. Dürfen mathematische Artikel hier eine Sonderrolle einnehmen? So weit ich mich erinnere, war das auch schon bei einer der letzten deiner Kandidaturen ein Problem. Insgesamt aber großes Lob und Respekt für diese umfangreiche Leistung!--Stegosaurus (Diskussion) 07:56, 18. Okt. 2020 (CEST)

Hallo Stegosaurus, danke. Nachdem ich eine Nacht drüber geschlafen habe, finde ich die Einleitung auch viel zu lang. Die werde ich kürzen. Ich hatte den Anspruch alles „Wichtige“ kompakt zusammenzufassen, und als es immer verständlicher werden sollte, wurde es gleichzeitig immer länger. Eine in Worten bündelbare Einordnung des ganzen sollte es auch tun. Dabei werde ich dann aber naturgegeben auch jegliche mathematische Strenge verzichten. Zu den Einzelnachweisen: da habe ich jetzt nur die Abschnitte Beispiele zu Heegner-Punkten und die Einordnung im Visier. Die Beispiele können nachgerechnet werden und bedürfen daher eigentlich keiner Nachweise. Den praktischen Nutzen werde ich wahrscheinlich noch zu einem eigenen Kapitel abspalten und mit Nachweisen versehen. Was die Einordnung betrifft, so würde ich es ein bisschen handhaben wie bei Filmartikeln, bei denen die Zusammenfassung der Handlung auch keiner Nachweise bedarf. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 10:02, 18. Okt. 2020 (CEST)

@Stegosaurus: Ich habe die Einleitung neu geschrieben und zu einigen belegungsbedürftigen Aussagen Einzelnachweise zugefügt, um zu sichern, dass alle Aussagen des Artikels auf festem Fuß stehen. Auch habe ich den Abschnitt Praktischer Nutzen ergänzt und belegt. Es sollten auch für mathematische Artikel (gerade bei nicht-trivialen Aussagen) keine gänzlich anderen Standards gelten. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 19:34, 19. Okt. 2020 (CEST)

Die Einleitung hat sich tatsächlich deutlich verbessert, danke dafür. Ich schließe mich nun den  Exzellent-Voten an.--Stegosaurus (Diskussion) 18:40, 22. Okt. 2020 (CEST)

 Abwartend Ich finde den Artikel ganz gut geschrieben, Potential für Lesenswert sollte da sein. Wie allerdings schon von ein paar anderen erwähnt, die Einleitung muss im Prinzip neu geschrieben werden. Dass das Thema ansonsten schwer verständlich ist, liegt in der Natur der Sache. Mit dem Abschnitt „Einordnung ohne mathematisches Vorwissen“ wird aber mMn möglichst allgemeinverständlich in das Thema eingeführt, mehr kann man eigentlich nicht erwarten. Inhaltlich dürfte der Artikel, soweit ich das mit meinen paar Semestern Mathestudium als Vorwissen beurteilen kann, in Ordnung sein. Kurz gesagt, wäre mit einer laienverständlichen Einleitung für mich lesenswert. --Icodense 08:25, 18. Okt. 2020 (CEST)

Hallo Icodense, danke. Zur Einleitung siehe oben. Hast du sonst noch Verbesserungsvorschläge (du bist ja vom Fach), die den Artikel aus deiner Sicht noch besser machen würden? Bin über jeden Hinweis sehr dankbar. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 10:02, 18. Okt. 2020 (CEST)

@Icodense: Ist die Einleitung aus deiner Sicht nun besser? Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 11:57, 3. Nov. 2020 (CET)

Danke für den Ping, hatte das ganz vergessen. Die Einleitung passt imho so, der Abschnitt zur Einordnung ist inzwischen auch noch um einiges detaillierter geworden. Ich hab jetzt spontan nach ca. einer Stunde Lektüre nichts zum Verbessern entdeckt, reicht mir für  Exzellent. --Icodense 20:27, 3. Nov. 2020 (CET)

 Exzellent Aus meinem auf Kryptographie beschränkten Wissen heraus, also aus pragmatischen Gesichtspunkten heraus, ist das Thema der Heegner-Punkte relevant, wenn es darum geht, solche Elliptischen Kurven auszuklamüsern, die eine maximal hohe Sicherheit bieten. Das altbekannte Thema, wie Geldkonten auf Smartphones kryptographisch am Besten geschützt werden können, wie verhindert werden kann, dass Unbefugte online auf Bankkonten zugreifen können. Der bekannte Wettlauf zwischen der ständig wachsenden Rechenleistung von Computern einerseits und der Verwendung intelligenter Verschlüsselungsverfahren andererseits. Dass hier einige Autoren, kurz gesagt, nichts von der spezifischen Mathematik verstehen, sollte nicht dazu führen, dass der Artikel "laiengerecht" umgebaut wird. Laien interessieren sich sowieso nicht für das Thema. Vom Niveau her ist der Artikel auch nicht komplizierter als die Artikel im Scientific American, wer ein ordentliches Abitur hat, sollte halbwegs damit klarkommen. Schön finde ich, dass nicht nur die Mathematik erklärt wird, sondern dass es einen ausführlichen historischen Abriss gibt. Auch die Abbildungen sind super. Deswegen exzellent, auch wenn es noch kleine Schwächen in den Formulierungen gibt, die man einem Mathematik-Artikel aber nachsehen kann. 2001:16B8:2A0F:F200:A00F:6659:3DCB:2618 01:12, 19. Okt. 2020 (CEST)

 Exzellent Die Logik und Sprache der Mathematik wurde hervorragend angewandt, so daß dieser Artikel trotz seiner nicht ganz einfachen Materie flüssig und leicht verständlich ist. Mir gefällt auch, daß darüber hinaus ein historischer (rudimentärer) Überblick zum Lemma gegeben wurde (das fällt in de-WP nur allzu oft unter den Tisch, selbst und gerade bei historischen Artikeln). Und es wurden nicht nur einfach Anwendungen aufgezählt, sondern auch die interdisziplinäre Bedeutung der Heegner-Punkte dargestellt. Was will man von einem Überblicks-Artikel mehr? Chapeau! --Methodios (Diskussion) 06:44, 19. Okt. 2020 (CEST)

 Exzellent Der Artikel ist sehr fundiert ausgestaltelt und die vielen unterschiedlichen Grafiken machen den Artikel sehr anschaulich. Der geschichtliche Teil, die algorithmische Nutzung und auch die Beschreibung des Praktischen Nutzens ist sehr gut gelungen, daher mE klar exzellent.--Jonski (Diskussion) 14:20, 19. Okt. 2020 (CEST)

 Exzellent Wow! Mein Sohn (Oberstufe) ahnt Größeres im Artikel und hat mir mit zwei drei Hinweisen angedeutet, was dieses Thema hergibt. Aha – erneut aha – nochmals aha - klopfte es an meinem Kopf an. Nun: Wie sollte ein Mathematiker zu verdienten Ehren kommen, wenn der Wenig-Verständige nicht Respekt zollt und seiner Anerkennung den gebührenden Ausdruck verleiht. Klasse liegt gelegentlich jenseits meines Verständnisses; dem formalen Aufbau entnehme ich: Kommunikation mit dem Laien ist nicht ausgeschlossen. ;-) --Stephan Klage (Diskussion) 16:31, 19. Okt. 2020 (CEST)

Ich hatte mir den Artikel im Review versucht anzusehen, wurde da aber schon bei der Einleitung abgeworfen. Heute morgen dachte ich: wow - die Einleitung und der restliche Artikel (soweit ich gekommen bin) machen ja richtig Freude beim Lesen. Jetzt ist der erste Absatz schon wieder so abstrakt, dass er kaum verwertbares mitteilt und vom Weiterlesen abhält.

Auch wenn das hier eigentlich kein Review ist, gebe ich mal die Punkte zum Besten, die mir im Weiteren noch aufgefallen waren:

• Sprachlich tendiert der Artikel ein wenig zum Lehrbuch - finde ich aber nicht wirklich störend, man wird durch das Thema gut geführt - soweit ich kam: Oma (mit Abitur und Kenntnis von den komplexen Zahlen) tauglich. Ich wäre mir nicht sicher, ob er sich in einem anderem Stil geschrieben verbessern würde.

Kommentar Ganz bei dir. Mathematische Artikel müssen die Materie angemessen erklären, da vieles nicht selbsterklärend ist. Reines Aufzählen von Fakten hilft da oft nicht weiter.

• ob man in der Einleitung gleich von der oberen Halbebene sprechen muss, oder sie nicht zuvor einfach als komplexen Zahlen mit positiven imaginär-Anteil vorstellt, müsste man vielleicht nochmal prüfen.

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• Könnte man in der Grafik die imaginäre Achse vielleicht auch mit 1i, 2i usf. beschriften?

Kommentar So eine Beschriftung ist ungewöhnlich, aber ich versuche es. Muss mein Programm nur noch dazu überreden, das hat anscheinend nicht so gern, wenn man sich in dessen Axengelegenheiten einmischt...

Man kann die Achsen - vielleicht sogar besser - auch mit Realanteil und Imaginäranteil beschriften

Btw.: Die Bildunterschirft hat mir anfangs suggeriert, dass diese Punkte soetwas sind wie komplexe Primzahlen, p1, p2, p3 usf.

Kann man schreiben, umd das Missverständnis nicht aufkommen zu lassen, dass zwei Heegener Punkte dargestellt sind, und auf das t1= und t2= verzichten?

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• Verwendest Du elementar mit verschiedenen Bedeutungen? Evtl. kann man schlicht einfach schreiben.

Elementar ist streng genommen was anderes als einfach. Aber oft fällt der Begriff zusammen. Ich habe mir Mühe gemacht, die Begriffe zu trennen.

Ich meinte die Stelle daher elementar zum Beispiel durch die Mitternachtsformel bestimmt versus Zerlegung von Zahlen in elementarere multiplikative Bausteine

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• Der Satz Dabei wird eine topologische Größe (das Geschlecht, also die Anzahl der Henkel der Kurve) mit deren arithmetischen Eigenschaften in Verbindung gebracht.[5] ist abschweifend - wenn man ihn braucht später, an passender Stelle.

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• Den Satz Das Startobjekt hängt dabei mit einem Lösungsgebilde einer (im Allgemeinen sehr komplizierten) Gleichung zusammen. verstehe ich nicht.

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• In dem Abschnitt bin ich mit der eingeführten Begrifflichkeit nicht ganz glücklich: Worin unterschiedet sich das "Startobjekt" von dem "bekannten Parameterobjekt" (in zweiter Linie ;-)? Es würde die Verstehbarkeit erkleichtern, wenn man hier mit einem Begriff auskommt, idealerweise mit Antonym: Startobjekt zu Zielobjekt

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Das Parameterobjekt ist immer noch im Text vorhanden - nicht zwei verschiedene Namen für ein einziges Ding verwenden.

Ah - ok, das Startobjekt ist jetzt weg.

• Die Haftung verliere ich bei: Das hat den Hintergrund, dass die Kurven des Parametervorrats stets sog. Modulkurven sind, deren wesentliche Eigenschaften aus einer einzigen Kennzahl der elliptischen Kurve schon gegeben sind., der Absatz ist insgesamt für mich nicht ganz so gut nachvollziehbar, wie die Ausführung zuvor

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• was meint um Ideen der fehlenden Effizienz zur Berechnung diskreter Logarithmen weiter zu verfolgen?

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• was sind rationale Punkte mit unendlicher Ordnung - habe ich etwas überlesen?

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• der globale/lokale Fall - kann man das nicht durch einen richtigen Satz einführen und nicht über Klammern einschieben?

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• dass E(Q) eine elliptische Kurve ist, bei der ersten Verwendung erklären.

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• was sind Lifts?

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• Bei dem [parametrisierten] Kreis und, wichtiger, dem Donut fehlt die Achsenbeschriftung bzw. Darstellung.

Kommentar Die Darstellung des Kreises stammt leider nicht von mir und soll nur die Seitenlängen über Sinus und Kosinus bzw. die e-Funktion veranschaulichen, würde es aus diesem Grund dabei belassen, zumal der Radius eingezeichnet ist, uns der Ursprung naheliegend. Ist das okay? Der Donut ist so eine Sache, hier machen Koordinaten leider keinen Sinn, da er streng genommen in einem vierdimensionalen Raum liegt (Teil von $\mathbb {C} \times \mathbb {C}$) und außerdem stark verzerrt von seiner eigentlichen Gestalt ist. Es geht nur darum, dass die Fläche (bis auf Biegen und Zerren) einen Henkel hat.

Bei dem Donut hatte ich soetwas schon vermutet (bis auf die Verzerrung), nur kann man das dem Bild noch nicht so ganz entnehmen - es soll aber ja für Leser sein, die sich noch nicht so gut damit auskennen. Du hast vermutlich eine Abbildung genutzt, um von den 4 Dimensionen zu der 3 dimensionalen Darstellung zu gelangen. Vielleicht den Betrag der komplexen Zahl?

Du musst es dir so „vorstellen“, dass eine 2-dimensionale Figur in den 4-dimensionalen Raum eingebettet ist, die zu einem Donut verformt werden kann. Man kann nach dem gleichen Prinzip auch Kreise im 3-dimensionalen betrachten, obwohl sie nur 1-dimensional sind. Am besten hilft vielleicht: Da es eine 1:1-Korrespondenz von der Kurve zu einer Periodenmasche gibt (die ja einem Donut enspricht), ist die Abbildung, die du suchst, also das, was die Punkte im 4-dimensionalen auf den Donut abbildet (im 2-dimensionalen als Masche, aber 3-dimensionalen nach Verbiegen zum Donut), gerade die Umkehrfunktion zur Abbildung $z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))$, also quasi $(\wp (z),\wp '(z))\mapsto z$ aber die ist leider schwer in Termen von $(x,y)\mapsto f(x,y)$ hinzuschreiben und eine Theorie für sich. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 21:24, 20. Okt. 2020 (CEST)

So habe ich es mir versucht vorzustellen, zur Erleichterung erstmal in einem dreidimensionalen Raum eine 2-dimensionale Fäche (die Oberfläche des Donuts). Sieht aus wie auf Deinem Bild (Die Animation ist wirklich nett, war aber nicht notwendig). Auch die zweifache Periodiztät ist klar, entlang des Äquators kommt man immer wieder auf dem gleichen Weg, ebenso senkrecht dazu - darum ging es mir aber nicht.

Wenn ich jetzt gedanklich nirgendwo falsch abgebogen bin, entsteht die Torusoberfläche (die Verzerrung mal ignoriert) durch die Punktmenge der Lösung der elliptischen Gleichung y² = x³ +..., x und y aus C. Jetzt würde ich erwarten, dass die komplexe Ebene für x beispielsweise die Aquatorialebene aufspannt und y durch Betragsbildung, Realanteil oder ähnliches auf die rellen Zahlen abgebildet wird und so die dritte Komponente in Deiner dreidimensionalen Torusdarstellung ergibt.

Wenn ich mich mit der Vorbemerkung auf die Bildunterschrift Bildet man von diesem [Torus] einen Querschnitt, sieht man zwei runde Gebilde, also die elliptische Kurve über den reellen Zahlen stütze, würde ein Schnitt senkrecht zur Äquatorialebene sich so legen lassen, dass der Imaginärteil von x null wäre und das Schnittbild so aussieht: o o . Folglich wäre von y bei Deiner 3D-Torusdarstellung der Realteil von y als dritte Komponente dargestellt. Richtig?

Oder meintest Du nur, dass es sich topologisch wie ein Donut verhält? Dann müsste man es aber ein stückweit anders schreiben, vereinfachen.

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• Die obere Halbebene: Die von blauen Linien... habe ich noch nicht ganz verstanden/zugeordnet bekommen.

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Nö. Ich verstehe das (und die folgenden) Bilder immer noch nicht. Bei einer Darstellung einer Funktion sollten die Achsen erklärt werden, welche Funktion die Linie oder die Oberfläche erzeugt, und was die Farben bedeuten.

Allerdings versteht man das Kapitel ganz gut ohne die Bilder, so dass man durchaus abwägen könnte, ob man diese für sich schon komplizierten und zumindest nicht erforderlichen Darstellungen einfach weglässt.

Die übrigen Abschnitte schaue ich mir noch an - gegenwärtig finde ich den Artikel schon (die alte Einleitung vorausgesetz) schon sehr  Lesenswert und wenn der Witz dieser Punkte weiter klar wird, dann ganz sicher auch exzellent.

Danke hier schon mal für die bereits investierte Arbeit!

--Fabian RRRR (Diskussion) 21:27, 19. Okt. 2020 (CEST)

Guten Tag Fabian RRRR, vielen Dank, dass du dich so fleißig durch die ersten Abschnitte gearbeitet hast! Das hilft mir und natürlich allen Lesern in der Zukunft enorm weiter. Ich werde mich die kommenden Tage dran setzen, deine Vorschläge (teilweise) umzusetzen, bei manchen müssen wir ggf. nochmal ein bisschen diskutieren. ;-) Beste Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 12:25, 20. Okt. 2020 (CEST)

• Ich habe im Quelltext noch eine Reihe von Stellen markiert, wo ENs fehlen.

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• Die Überschrift Einordnung ohne mathematisches Vorwissen finde ich einerseits nicht ganz treffend, andererseits ist es etwas unüblich wenn sich der Leser erst einstufen soll - wie wäre es bspw. mit Einordnung anhand einfacher Grundlagen

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• Die Einführung der p-Funktionen und des Geschlechts wird mir trotz mehrmaligen Lesens nicht klar. Einen Bezug zu den Heegner-Punkten ergibt sich erst wieder mit dem Modularitätssatz, und den j-Funktionen. Aber sowohl M. als auch j-F. kommen im Text gut ohne die p-Funktionen und das Geschlecht aus. Da der Abschnitt Einordnung schon sehr lang ist, sollte man prüfen, ob man die p-F.und G. hier nicht herausnimmt und in dem richtigen Kontext, bei dem Artikel elliptische Kurven eingliedert.

Kommentar Ich werde den Hauptartikelverweis definitiv nach unten setzen, würde es aber bei dem zusammenfassenden Abschnitt belassen, da man mMn ohne diese Infos gar nicht einordnen kann, warum elliptische Kurven über den komplexen Zahlen Flächen vom Geschlecht 1 sind.

Das Geschlecht der elliptischen Funktionen ist sicher in einem Artikel über elliptische Funktionen sehr wichtig. Aber in den einfachen Grundlagen sehe ich keinen Bezug zu den Heegner-Punkten: Es wird lediglich gesagt, dass die j-Funktionen ein anderes Geschlecht haben - so dass man den Eindruck hat, es ist eine Nebensächlichkeit.

Und wenn man es offenbar nicht unbeidngt braucht, gewinnt der Artikel (deutlich) wenn der einfache Grundlagen-Teil so knapp wie möglich ist: Für einen Leser kann das ja alles Neuland sein, in das er sich einfinden muss. Und vielleicht kann man ihm ja die Einarbeitung in die Topologie an dieser Stelle ersparen?

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• Den Absatz beginned mit Andererseits weiß man, dass für Werte τ {\displaystyle \tau } \tau mit größerem Imaginärteil... kann ich nicht zu-/einordnen. Braucht er einen neue Überschrift - das Thema war ja schonzuvor geklärt? Geht es hier um die Anwendung? Die Behauptung lässt sich auch nicht nachvollziehen... EN oder Erklärung, warum man das weiß?

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• Bei dem Algorithmus von Kohel würde mich noch interessieren, was man von dem Ergebnis praktisch hat.

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• Bei Zum Beispiel bewies Weber die Identität... würde mich noch interessieren, welche Bedeutung das hat. Ist A ein Ideal (Den Begriff kann man vielleicht noch verlinken), die Terme rechts des Gleichheitszeichens die "Auskunft über den Körper", ggf. welche?

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• einer fundamentalen neuen Methode kann man die Methode nennen?

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• Alle Vorkommen von mathematisch, [von] Mathematiker und [in der] Mathematik prüfen, ob sich der Text nicht ohne das eventuelle Füllwort genauso gut oder letztlich besser verstehen läßt.

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• Was ist $\mathbb {F} _{p}$?

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• Welche ellptische Gleichung wird durch − 262.537.412.640.768.000 (und wie genau) gelöst?

„Keine“, die ausgewerteten j-Invarianten bilden Punkte auf Modulkurven, aber das müssen nicht unbedingt elliptische Kurven sein.

• Könnte man anstelle von ...lösen, und die später mit Punkten auf geometrischen Figuren identifiziert werden auch schreiben ...lösen und die Punkten auf geometrischen Figuren zugeordnet werden können.?

Das ist auch möglich, jedoch unüblich, zumal sowohl die Punkte auf der Modulkurve als auch die Lösungen der quadratischen Gleichung Heegner-Punkte genannt werden. Daher macht identifizieren hier mehr Sinn, was bei gleicher Benennung beider Objekte auch genau der Prozess ist, der „im Kopf“ passiert.

• Generell sollten alle mathematischen Symbole bei ihrer Verwendung erklärt werden. Beispielsweise ist X0 vermutlich die Modulkurve.

Okay, ich schaue drüber. Du kannst gerne weitere Beispiele nennen, wenn du sie findest.

• ...die später mit Punkten auf geometrischen Figuren identifiziert... kann man mit einem allgemeinverständlichen Ausdruck das noch etwas enger fassen, bspw. indem man die Figuren einschränkt? Gegenwärtig wird es noch etwas trivial, da jede Zahl von R mit einem Punkt auf dem Zahlenstrahl und jedes Elemnt von C mit einem Punkt auf der Ebene "identifizieren" lässt.

Kannst du diesen Punkt auf der Diskussionsseite näher ausführen? Danke :-)

• Es gibt hier ja konträre Meinungen, ob dieser Artikel trotz der Fachsprache exzellent sein kann. Die Kriterien von Wikipedia sind:

Fachjargon wird [nur bei Lesenswerten Artikeln] trotz schlechterer Verständlichkeit toleriert, wenn die Darstellung des Themas ihn erfordert.

Kommentar Nur eine Bemerkung, da die obere Formulierung [nur bei Lesenswerten Artikeln] verwirrend sein kann: Das nur bezieht sich darauf, dass der restliche Satz nur bei den Kriterien für lesenswerte Artikel zu finden ist. Bei exzellenten Artikeln wird lediglich als notwendiger Punkt u.a. der Einhalt der Kriterien für lesenswerte Artikel eingefordert. Davon, dass in exzellenten Artikeln keine Fachsprache im hinteren Teil eines Artikels verwendet werden darf, ist dort nicht die Rede. -- Googolplexian (Diskussion) 18:07, 1. Nov. 2020 (CET)

Kommentar Unter WP:KrLA wird schon gesagt, dass für exzellente Artikel nichts toleriert wird. Durch die Wahl identischer Terme (tolerieren) ergibt sich der Bezug, dass der bei lesenwerten Artikeln tolerierte Fachjargon für exzellente Artikel nicht toleriert wird. --Fabian RRRR (Diskussion) 12:07, 2. Nov. 2020 (CET)

Vergleicht man beispielsweise Relativitätstheorie kommt dieses mathematisch sicher auch nicht einfache Thema weitgehend ohne Rechnungen aus, die dort sicherlich als zu detailiert angesehen wurden.

Kann man wirklich ausschließen, dass sich die Eigenschaften von Heegner-Punkten und ihre Anwendung auf elliptische Kurven und Klassenkörpertheorie ff. nicht einfacher darstellen lassen?

Hallo Fabian RRRR, deine Punkte werde ich noch einarbeiten. Zur Verständlichkeitsdebatte stelle ich andersherum mal die Frage: Würde es den Artikel denn besser machen, wenn ich den auf Fachliteratur basierenden Nachschlageteil für Mathematiker (zum Beispiel Studenten) einfach rausstreichen würde? Ich denke nicht, und: es ist aus Platzgründen einfach nicht möglich, den gesamten Artikel (insbesondere die moderneren Bezüge zur Fachliteratur) im selben Stil zu schreiben wie den Einordnungsteil. Die gute Nachricht ist aber: Wer den Einstiegsteil etwas durchdrungen hat, weiß schon ziemlich gut über das Thema Bescheid, da braucht es eigentlich gar keine hohe mathematische Ausbildung. Trotzdem: Technische Aspekte, wie zum Beispiel die Verallgemeinerung von Gross-Zagier (unter Zusammenwirken mit Kohnen) über Heegner-Divisoren machen im ersten Teil keinen Sinn, und werden, das ist meine Einschätzung, vom Laien auch nicht benötigt, da viel zu technisch. Ich bin sehr gerne bereit und durchaus motiviert, den Einleitungsteil weiter auszubauen. Möglicherweise kann man noch mehr über die Abbildung von Wiles sagen und den Satz von Kolyvagin. Bei Klassenkörpertheorie bin ich da schon etwas skeptischer. Da müsste man so weit ausholen, dass das eher in den dortigen Artikel gehört. Jetzt kommt mein eigentliches Kontra zur oberen Argumentation: Wenn die Bedeutung und die Zusammenhänge im ersten Teil umfassend und klar genug für ein mathematisch interessiertes Laienpublikum sind, wird das Herauslöschen des ganzen Rests den Artikel dominant schlechter machen, denn:

• Das Beibehalten des Texts löscht andersherum keine für den Laien benötigte Informationen, ermöglicht aber erst eine Auswertung durch das Fachpublikum,
• Es ist eben auch ein Fachartikel zum Nachschlagen zu einem Thema (kein Fachbuch, das hätte hunderte bis tausende Seiten), wie wir hier zu Tausenden, auch ausgezeichnet, haben, und die angesprochenen Zusammenhänge basieren auf relevanter Fachliteratur aus hochrangigen Journals, und werden dort teilweise noch viel brutaler „vermittelt“. Ich habe die ganzen Infos aus vielen verschiedenen Quellen so zusammengetragen, und stellenweise so vereinfacht und umformuliert, dass der Text aus mathematischer Sicht deutlich einfacher zu verstehen ist als in den ursprünglichen Publikationen. Alles im Fließtext zu schreiben und die mathematische Sprache völlig umgehen hätte den von Jonski schon weiter oben beschriebenen Effekt und wäre absolut sinnlos.
• Allgemeiner: Auch in anderen Fachgebieten gilt selbstverständlich eines der wichtigsten Kriterien für einen guten Artikel, nämlich die Vollständigkeit und die Umfassende Auswertung der wichtigen Literatur. Und hier soll dieses Prinzip nicht mehr anwendbar sein? Welche Instanz entscheidet, dass die Auswertung von Gross-Kohnen-Zagier, der Artikel über Heegner-Punkte schlechthin, nicht mehr stattfinden darf, weil der Inhalt schon „zu kompliziert“ ist? Das ist scheinbar eine Krux mit der Mathematik und wir laufen gerade Gefahr, Wissenschaften pauschal voneinander zu trennen und machen andere Regeln, als sie ganz selbstverständlich für Themen der Politik, Musik und Geschichte gelten. Auch hier ist eine umfassende Recherche und der Einbezug der Weltliteratur zum Thema ganz entscheidend, und das ist auch gut so, und sollte selbstverständlich für Mathematik genauso gelten! Aber man kann Gross-Kohnen-Zagier eben nicht sinnvoll beschreiben, ohne vorher Riemannsche Flächen, Divisoren, Modulformen, Jacobi-Formen, den Satz von Abel und Hecke-Operatoren genauer zu kennen. Andererseits ist Gross-Kohnen-Zagier einer der wichtigsten Fachartikel zum Thema und den kann ich nicht rauslassen.

Speziell zu dem zitierten Satz: Ich bin dann vermutlich jemand, der die Verfassung der Wikipedia in diesem Punkt eher liberal auslegt: Fachjargon würde ich damit bewerten, dass ein Artikel stellenweise oder global nicht so verständlich geschrieben wurde, wie er hätte werden können (der Hauptautor hat sich also nicht die Mühe gemacht, alles was geht, rauszuholen). Ich behaupte einfach mal, dass ich diesen Punkt nach meiner Fachkenntnis im zweiten Teil mit aller Kraft beherzigt habe, unter ständiger Abwägung der Ausführlichkeit und Relevanz. Der erste Teil ist aus deiner Sicht womöglich noch zu knapp, das werde ich bis Sonntag hoffentlich geklärt haben. :-)

Ich bleibe also dabei, Fazit: Zu Beginn alles für die interessierten Laien (und durchaus Mathematiker), bis der Wissensdurst gestillt ist, aber bitte im Anschluss eben auch ein umfassendes Abbild der (zumindest klassischen) mathematischen Weltliteratur. Nur dann kann Exzellenz bei einem so speziellen wie schwierigen Thema erreicht werden, denn mehr kann, unter Aspekten der Ausführlichkeit, beim besten Willen nicht geleistet werden.

Der Artikel zur Relativitätstheorie scheint mir ein Überblickswerk zu sein. Auch hier hätte ich im Zweifel argumentiert: In den Anfang alles, was der Laie gut begreift, aber weiter hinten noch massiv ausbauen. Bin mir nicht sicher, ob dort alle Literatur zum Thema ausgewertet wurde. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 20:17, 30. Okt. 2020 (CET)

Von den Grundsätzen bin ich ganz bei Dir. Vollständig sollte er sein und wichtige Literatur umfassend auswerten. Ersatzlos weglassen ist eine schlechte Option. Der Artikel Relativitätstheorie zeigt ja nur, dass es da Wege gibt, wie man alle wichtige (gemäß der Bewertung) Aspekte bei einem schwierigen Thema allgemeinverständlich darstellen kann. (Klar Misner Thorne Wheeler könnte man noch in die Literaturliste packen - und diese sicherlich auch zu einem eigenständigen Artikel ausbauen). Die Relativitätstheorie ist auch in gewisser Weise immer noch einfacher als die hier betrachteten Heegner-Punkte - bei der RT gibt es schon eine Reihe von Werken, die sie allgemeinverständlich darstellen, so dass man sich auf diese stützen kann. Aber die Heegner-Punkte und ähnlicher Themen hast Du Dir ja zum Ziel gemacht und hier vorgestellt. Ich bin nicht der Meinung, dass man die Heegner-Punkte genau wie den Artikel RT darstellen kann/sollte.

Du hattest Dir auf Deiner Benutzerseite Allgemeinverständlichkeit der Themen als Ziel gesetzt, und auch Wikipedia fordert, dass man sich als Autor um eine allgemeine Verständlichkeit bemühen und sich nicht darauf zurückziehen [soll], dass man es sowieso nicht verständlich ausdrücken könne, ohne den Inhalt im Umfang, in der Tiefe oder in der Genauigkeit zu beschneiden. (WP:OMA). Ich habe auch den Einruck, dass der Artikel auf dem Weg dahin ist. Allerdings ist er, wie allseits festgestellt wird (mal Ausgenommen den bewundernswerten und sicherlich auch bemerkenswert seltenen Abiturienten) noch nicht da. Mir fällt es immer schwer, einen einmal eingeschlagenen Weg kritisch auch nur in Teilen zu verwerfen, aber manchmal muss man sich Alternativen anschauen, ob die weiterführen. Wie bei einem (anspruchsvollem) Beweis. Klar kann man sagen: "Mehr bekomme ich nicht hin.", aber Wikipedia ist ja auch ein Gemeinschaftsprojekt, und da gibt es viele, die wie hier, im Review oder einfach zufällig Anregungen beitragen. Die auf Deiner Benutzerseite genannten Zielsetzung, angewendet auf dieses Thema, hat mein Interesse geweckt. Und ich finde er hat es schon ein gutes Stück weit geschaft - nur darf man dann nicht darauf zurückfallen, die restliche Darstellung als eine Art Skript (in meinen Augen) für Studenten (Wissenschaftler würden prinzipiell auf Orignalarbeiten zurückgreifen) zu gestalten. Dafür sind Lehrbücher.

Ich gehe, wie gesagt, davon aus, dass Du wirklich auf eine weitestmögliche Allgemeinverständlichkeit abzielst. Deshalb möchte ich mich nicht dem Kriterium für "Fachjargon" anschließen, dass es alleinig das Bemühen des Autors ankäme, könnte doch jeder Autor den Anspruch dann ausräumen, indem er sein Bemühen bekundet - so ist es wohl nicht gemeint.

Bis vor Kurzem vermittelte der Artikel noch nicht, dass man anhand von Einordnung einen Großteil verstanden hat. Man hat am Ende eine Zahl ausgerechnet, aber es fehlt noch an dem Führer und der damit ermittelten zweiten Zahl, umd auf der Modulkurve zu landen, und dann noch eine "schlichte algebraische Koordinatentransformation" um, wie versprochen, zur elliptischen Kurve zu gelangen. Welche Parameter diese dann hat ersehe ich auch noch nicht. Schon alleine der Längenvergleich dieses Abschnitts mit dem übrigen Artikel lässt einen vermuten, dass einem sehr viel entgeht. Auch Formulierungen, dass es einen wundersame komplexe Multiplikation gibt, die mit denn Heegner-Punkten zusammenhängt.

An manchen Stellen kann man hier tatsächlich Details weglassen und in verlinkte Artikel auslagern. Ein Beispiel kann die Berechnung von Pi sein, wie auf der Diskussionsseite versucht. Deine weitergehende Erklärung würde dem sparsam ausgestalteten Artikel Chudnovsky-Algorithmus sehr gut tun, während man sich hier vielleicht auf den Einfluss und die Auswahl der Heegner-Zahlen beschränken kann.

Exzellent finde ich die gerade hinzugefügte Erklärung für die Verwendung bei Birch!

Viele Grüße, --Fabian RRRR (Diskussion) 00:57, 2. Nov. 2020 (CET)

Hallo Fabian RRRR, erstmal danke für deine Ausführungen! Es freut mich, dass der Artikel so viel Interesse und Neugier weckt – das ist auch das Ziel, mehr Menschen für die Mathematik, sicher ein unbeliebtes Fach, zu begeistern. Dann sind wir uns ja ziemlich einig, und ich werde den Anfangsteil noch ein bisschen weiter ausbauen. Weiter unten ist es ein lexikalisches Nachschlagewerk, da es, trotz Erklärungen, nur bei Aufführungen von Resultaten und Einordnungen bleibt. Der von dir angesprochene Punkt mit Grundlagen zu Heegner-Punkten selbst ist berechtigt, ich werde dazu noch einen Teil im Einstieg zufügen. Das mit ziemlich viel verstanden war darauf bezogen, dass nach Durcharbeiten der Einordnung zumindest klar ist, was ungefähr passiert und wozu die Punkte gebraucht werden. Die ganzen anspruchsvollen und langweiligen mathematischen Techniken wurden hier natürlich übergangen, denn sie lassen sich oftmals nicht runterbrechen. Bei Birch ging das noch ganz gut, weil sich der Rang einer Kurve sehr schön anhand von Beispielen verbildlichen lässt – andere Zusammenhänge, besonders aus der abstrakten Algebra, sind hingegen sehr schwer zu veranschaulichen. Aber meine Erfahrung zeigt – und darauf bezog sich letztlich meine Aussage – dass es Leute, die nicht unmittelbar mit Mathematik in Berührung stehen, als absolut ausreichend erachten, wenn sie ein Thema zumindest anschaulich begriffen haben. Ich werde auch noch mein bestes geben, das Thema mit der Konstruktion von Punkten weiter zu erklären. So long -- Googolplexian (Diskussion) 12:40, 2. Nov. 2020 (CET)

@Fabian RRRR: Habe jetzt den Einführungsteil nochmal massiv ausgebaut (über 10kB), und bin unter anderem auf deine Fragen eingegangen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 21:39, 2. Nov. 2020 (CET)

[Einrückungen herausgenommen] @Benutzer:Googolplexian1221: Ich habe mir die ersten Teile nochmal angesehen:

• In der Einleitung, die ich jetzt sehr gut finde, stoße ich mich noch an zwei, drei Details.
  • die geometrischen Figuren finde ich etwas unbestimmt (ich denke da an Kreis, Dreieck, Pyramide, Gerade...), Du schreibst jedoch unter Diskussion:Heegner-Punkt#Warum_werden_die_Zahlen_als_Punkte_bezeichnet?, dass sie auf einer Kurve liegen. Die Sichtweise konnte ich nicht gleich aus dem Text nachvollziehen, gemeint hattest Du wie mir mittlerweile klar geworden ist, sicherlich Modulkurven oder elliptische Kurven.
  • Wenn das Wesen der Heegner-Punkte durch ihre Existenz auf einer geomtischen Figur gekennzeichnet ist: Könnte man diese dann nicht in der einleitenden Darstellung so zeigen?
  • Identifizieren ist in meinen Augen ein nur im fachsprachlichen Kontext treffender Ausdruck. Eine Zahl und ein Punkt sind im allgemeinen nicht identisch. Gibt es keinen Ausdruck, der allgemeinverständlich ist und auch Fachlich akzeptabel, wie "die Zahlen sind mit Punkten verknüpft"?
  • Sind alle Lösungen (mit positivem Imaginärteil) mit diesen Punkten verknüpft?
  • was mit "später" gemeint ist, bleibt unklar. Soll damit auf die Historie angespielt werden, dass erst Birch diese Verknüpfung geschaffen hat? Auf die Abschnittsreihenfolge in diesem Wikipedia-Artikel? Auf einen inhärenten Gedankengang bei den Punkten? Auf mich wirkt so durch das "später" der Satz überladen, weniger klar.
• Im Abschnitt Definition von Heegner-Punkten über quadratische Gleichungen und Beispiele wird erklärt, dass Heegner-Punkte anhand von Level und Diskrimante klassifiziert werden können, was wichtig sei - allerdings nicht, wofür es wichtig sie. Wichtig erfordert im allgemeinen einen Bezug, aber selbst ohne die Feststellung, dass die Klassifizierung eine besondere Bedeutung hat, fragt man sich, wofür man sie durchgeführt hat: In älteren Versionen des Artikels und aufgrund der Diskussionsseite hatte ich mich bereits gefragt, wofür die Level gut sind - der Teil ist jetzt klar, müsste aber noch für die Klassifizierung erklärt werden.
  • Der Einschub Der auf dem rechten Bild ... aber weiterhin so bezeichnet. kommt recht unvermittelt. Hier wird ein gänzlich anderes Thema angesprochen, dessen Zusammenhang in der Knappheit kaum entnehmbar ist. Ich kann nur erkennnen, dass er einen Bezug zu dem Bild herstellen soll, werde aber nicht müde, zu beteuern, dass der Abschnitt ohne Einschub und Bild verständlich(er) wird.
  • Im letzten Absatz werden quadratische Formen angesprochen, ohne das erklärt wird, wo die herkommen und wofür sie gut sind: Bisher hatten wir nur quadratische Gleichungen (ohne y), elliptische Gleichungen, und als vereinfachte Illustration - aber nicht als Gegenstand des Artikel - die Kreisgleichung.
• Im Abschnitt Veranschaulichung des Verfahrens zur Konstruktion rationaler Punkte mittels Heegner-Punkten auf elliptischen Kurven
  • wird mir der Zweck des Ausflugs in die Topologie weiterhin nicht klar. Das Modulformen komplizierter sind, sieht man ja schon an der Gleichung. Die Zusammenfassung und Einordnung der Bedeutung der Arbeit von Wiles ist völlig klar, auch ohne Topologie. Hier kann man schon nochmal überprüfen, ob es Topologie an dieser Stelle nützlich und erwähnenswert ist. Auch die eingangs in zwei Sätzen erwähnten p(z)...
  • Das Kapitel hat ja vielmehr zum Thema (lt. Überschrift), dass man rationale Punkte auf elliptischen Kurven vorgeführt bekommt. Tatsächlich wird am Ende auch eine Zahl besprochen - nur ist es dann sehr enttäuschen, wenn man hier in der Diskussion erfährt, dass diese gar nichts mit elliptischen Kurven zu tun hat. Auch wirkt der Abschlusssatz dann deplaziert. Man müsste zumindest die Überschrift berichtigen und einen neuen Abschluss finden - besser wäre es den Inhalt stärker an der Überschrift auszurichten, und den Schritt wie man x und y der Modulform und daraus die rationale Zahl auf der elliptischen Kurve berechnet, auszuführen.
  • Oder man überprüft nochmal die Erklärungen in der Mitte des Abschnitts, in wie weit sie zutreffend sind. wenn es just für -163 nicht geht, wäre sicher ein anderes Beispiel gut

(ich springe mal)

• Webers Algebra ist der quadratische Zahlenkörer dann fettK(sqrt(-14))?

• Berechnung von Pi der Chudnovsky-Algorithmus sollte eigentlich in dem Artikel Chudnovsky-Algorithmus so ausführlich erklärt werden, was er dort leider nicht wird. Die diesbezüglichen Arbeiten von Ramanujan sind vielleicht nicht allen Lesern geläufig, und der Schritt auf die nächste gezeigte Reihe ist sicherlich nicht offensichtlich. Man erkennt in der zweiten geziegten Reihe einige Elemten wieder, und kann vermuten, dass das etwas mit der Konvergenzgeschwindigkeit zu tun hat, ausgführt wird das alles aber nicht, und einen wirklichen Bezug zu den Heegnerpunkte ist da auch nicht deutlich erkennbar.
  • Hier würde ich mir einen Fokus auf die Heegner-Punkte wünschen, eine Idee ist unter Diskussion:Heegner-Punkt#Berechnung_von_Pi
  • Warum man die Kuriosität ...743,999... erwähnt, wird mir aus dem Artikel auch nicht ganz klar. e^-163 ist auch ziemlich ganzzahlig, e^i(11/7) auch, mehr noch das Produkt.
  • In Kryptographie ist M nur eine größerwerdende Zahl, aber auch das sollte gesagt werden; ~ meint vermutlich nicht proportional zu.
  • eine große Auswahl an Möglichkeiten für Geheimtexte - versteh ich so nicht: Kann ich denn nicht mit einem Verschlüsselungsverfahren beliebige Geheimtexte verschlüsseln, ist die Auswahl an Geheimtexten dann nicht A^L (L=Textlänge, A Buchstaben im Alphabet)?

Viele Grüße, --Fabian RRRR (Diskussion) 11:35, 7. Nov. 2020 (CET)

Servus Fabian RRRR, danke für die guten Hinweise, werde das noch am Wochenende umsetzen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 13:55, 7. Nov. 2020 (CET)

• Der Satz Da diese mittels sog. elliptischer Funktionen erfolgt, wird dabei von den komplexen Zahlen ausgegangen. wird mir nicht klar: Elliptische Funktionen sollen durch elliptische Funktionen parametrisiert werden? Und welche Funktionen und Variablen sind nun komplexwertig?erledigtErledigt

• Der Satz Dabei handelt es sich um eine Transformation mittels sog. Kongruenzuntergruppen. bringt keinen Fortschritt im Gedankengang - die Benennung erfolgt ja später im "mathematischen" Teil, passt dort besser.
• In Von Modulkurven zu elliptischen Kurven: Eine Veranschaulichung müsste man jetzt noch sagen, dass die altdeutsch p(z) die Weierst. p-Funktionen sind.erledigtErledigt
  • Die Überschrift lässt immer noch eine elliptische Kurve erwarten, und am Ende des Abschnitts wird einem enttäuschend mitgeteilt, dass es sie gar nicht gibt.erledigtErledigt
  • Das auf der Periodenmasche wird nicht so ganz klar, kann man einfach herausnehmen.
  • macht dies auch Sinn umgangssprachlich erledigtErledigt
• Bei Webers Algebra wird noch nicht deutlich, was die komplexe Multiplikation genau ist, was sie mit den späteren Heegner-Punkten zu tun hat. Kann man auch die bewiesen Identität mit einem einfachen Sartz noch weiter erklären? Wird q(sqrt(-14)) um den rechtsseitigen Ausdruck erweitert? erledigtErledigt
• Definition und Invarianzeigenschaft hast Du im oberen Teil eingeführt, richtig? Unsicher bind ich mir bei Sie erlaubt, das Konzept des Heegner-Punktes (mit Level N {\displaystyle N} N) auf der Modulkurve X 0 ( N ) = Γ 0 ( N ) ∖ H ¯ {\displaystyle X_{0}(N)=\Gamma _{0}(N)\backslash {\overline {\mathbb {H} }}} {\displaystyle X_{0}(N)=\Gamma _{0}(N)\backslash {\overline {\mathbb {H} }}} zu definieren, da alle entscheidenden Eigenschaften jedes Elements in der Klasse [ τ ] {\displaystyle [\tau ]} [\tau ] unter Γ 0 ( N ) {\displaystyle \Gamma _{0}(N)} {\displaystyle \Gamma _{0}(N)} invariant bleiben.[34]?
• Ist Existenz und die Heegner-Hypothese wichtig? Kann man ggf. die Gleichung noch mit ein zwei einfachen Sätzen erklären?erledigtErledigt
• Die Rolle des Führers kann man da nicht eine weniger historisch vorbestze Wortfolge als Titel nehmen? erledigtErledigt
• Abschnitt über Klassenkörpertheorie den Link von Abschnitt über die ganze Phrase ausdehnen erledigtErledigt
• Die Punkte werden durch die Gruppenoperation... kann man dies und dessen Bedeutung (und die Bedeutng der Symbole) noch mit ein, zwei einfachen Sätzen erklären?

Erstmal bis dahin - viele Grüße, --Fabian RRRR (Diskussion) 19:02, 9. Nov. 2020 (CET)

Danke, zu deinen Punkten:

• Habe es etwas mehr ausgeführt, so klarer? Hatte den Großteil des Abschnitts ja in den Hauptartikel gelegt.
• Die Kongruenzuntergruppen bringen Fortschritt, da später bei den Involutionen auf sie verwiesen wird. Sonst wird alles nur noch umständlicher...
• Das mit der Periodenmasche war klar, als ich die Abschnitte zu den elliptischen Funktionen noch drin und nicht ausgelagert hatte. Bin gerade am überlegen, die vielleicht wieder aufzunehmen. Es sei denn, wir lassen hier eine Blackbox, da es sonst zu viel wird.
• Für komplexe Multiplikation brauchen wir noch einen eigenen Artikel, aber ich werde einen bis zwei Sätze zufügen.
• Ja, das mit den Invarianzeigenschaften war im oberen Teil schon „auf Deutsch“ ausgeführt. Es geht darum, wie man von Zahlen der oberen Halbebene auf Modulkurven kommt. Diese sind die von dir gegebenen Quotienten $\Gamma _{0}(N)\backslash \mathbb {H}$, und durch das Beibehalten von Level und Diskriminante unter Transformation der Kongrunzuntergruppe (also der Abbildungen $\tau \mapsto {\tfrac {a\tau +b}{c\tau +d}}$) sind Heegner-Punkte auf Modulkurven übertragbar. Mathematisch wird das dann entsprechend kürzer aufgeschrieben.
• Ist wichtig, da hier ein natürliches Kriterium gegeben wird, ob Heegner-Punkte zu gewissen Daten überhaupt existieren. Ich werde einen Vermerk an den Isomorphismus von Gruppen machen. Aber ab hier wird es schwieriger mit den Begriffen - leider. Ich kann hier nicht alle mathematischen Symbole und Begriffe nochmals erklären :-( Indes würde ich dich schon als extrem interessierten „Laien“ einstufen, wenn du es derart im Detail wissen willst ;-)
• Oh, vielleicht hast du recht. Obwohl es nun wirklich nichts damit zu tun hat und auch nicht so gedacht sein sollte. Aber auf das Führer kann ich nicht verzichten, das ist der korrekte Fachbegriff.
• Erledigt.
• Mache ich noch.

Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 20:59, 9. Nov. 2020 (CET)

• Ja, jetzt wird es klar herausgestellt, auch durch den Link. Ich hatte beim Lesen die Differenzierung zwischen e. Kurven und e. Funktionen übersehen.

Allerdings würde ich den Absatz etwas narrativer formulieren:

Dies kann mittels elliptischer Funktionen, genauer den W. p-Funktionen erfolgen. Diese sind auf der komplexe Ebene definiert und sind dort im unterschied zu sin und cos in zwei Richtungen periodisch, ähnlich wie ein Schachbrett. Allerdings geben diese p-Funktionen keine Auskünfte über rationale Punkte auf den e.-Kurven, wofür andere Parametrisierungen betrachtet werden müssen.

Anmerkung: Die p-Funktion wird zwar später noch verwendet - allerdings hatte ich beim ersten Lesen den Gedankengang bzgl. der Heegner-Punkte so verstanden, dass eigentlich nur die j-Funktionen gebraucht werden, um aus den Punkten welche auf den M-Kurven zu ermitteln und diese dann auf die e. Kurven abgebildet werden. Mir ist nicht ganz klar, wo ich da falsch abgebogen bin, warum man die Punkte auf den elliptischen Kurven doch mit den p-Funktionen ermittelt.

Weiter unten steht es, im Abschnitt Explizites Beispiel für das Vorgehen zur Konstruktion eines rationalen Punktes: Nach Berechnung des Integrals muss auf das Ergebnis noch die Abbildung $z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))$ über die p-Funktionen angewendet werden, um einen Punkt zu erhalten, der tatsächlich die Gleichung der elliptischen Kurve erfüllt.

• Es ging mir nicht um die Einführung der Kongruenzuntergruppe selbst - die ist klar wichtig, sondern nur um die Einführung des Begriffs. Die Involutionen später bleiben etwas unscharf. Kann man auf dieses Detail verzichten - im "Wesentlichen" war es ja schon ausgeführt - und einfach sagen dass man den Rest auch zuordnen kann? Man ersteht es so eh nicht so ganz.

Wenn du meinst, dass man es nicht so im Detail verstehen muss, werde ich es kürzen. Dafür kann ich weiter unten mehr zu den Involutionen sagen.

• Ich bin ein großer Fan der Blackbox

• Den schönen erklärenden Satz Komplexe Multiplikation bezieht sich... würde ich einen Satz nach vorne ziehen. Man glaubt dann einfach dass er mit dieser Technik die nachfolgend wiedergegebene Identität gezeigt hat.erledigtErledigt
  • Mit der zweiten Hälfte komme ich dann aber noch nicht so ganz klar. Der Körper Q(sqrt(-14)) wurde erweitert - kann man in einfachen Worten sagen, was man damit (und womit genau?) erreicht hat, auf welchen gedanklichen Fortschritt genau dann Heegner aufgebaut hat? Hat man jetzt einen Körper mit (x,y,z) in Form von x+y(sqrt(-14))+z*j(sqrt(-14))?

• Die Invarianz auf Deutsch finde ich sehr schön. Aber auch bei mathematischen Fachaufsetzen wird mitunter die Symbolik erklärt, klar, sehr kurz. Was ist "\", Überstrich-fettH, "N|c"?

• Einige Kapitelüberschriften und Reihenfolgen kann man noch kritisch betrachten:
  • "...anhand von Grundlagen" ist immer richtig und somit wenig aussagekräftig. Einfach "Einordnung" oder besser "Grundlegende Einordnung"?erledigtErledigt
  • Elliptische Kurven und Heegner-Punkte die Heegner-Punkte kommen darin eigentlich nicht vor, abgesehen von dem Hinweis dass sie später dafür nützlich sind.erledigtErledigt
  • Körper und Klassenzahlen wirkt eingeschoben, ohne dass man erkennen kann warum es eingeschoben wird. Besser an anderer Stelle einordnenerledigtErledigt
  • Elliptische Kurven und Donuts thematisiert eigentlich Parametrisierung von Elliptischen Kurven, abgesehen von dem Bild.erledigtErledigt

Soweit - Viele Grüße, --Fabian RRRR (Diskussion) 12:03, 10. Nov. 2020 (CET)

Schaut man sich den Artikel mal mit etwas Distanz hinsichtlich Allgemeinverständlichkeit an, so wäre meine Erwartung,

dass man in einem exzellenten Artikel alles Wesentliche allgemeinverständlich ausdrückt. Wie weit der Artikel das jetzt schon macht, kann ich nur in Teilen einschätzen:

• Einleitung ist in meinen Augen perfekt
• Einordnung praktisch auch
• Geschichte: gemischt
  • Weber: so halb, die Interpretation seines Ergebnisses und die Bedeutung für Heegner-Zahlen ist noch etwas kryptisch
  • Heegner: finde ich gut (man sollte allerdings hier nochmal kurz schreiben, wo er seine Zahlen eingeführt hat, an welche der genannten Ergebisse er damit erzielen konnte. Was sind Modulformen? Das en-Wikipedia schreibt widersprechend, dass Heegner für das G. Kzp. nur eine den Heegnerpunkten ähnliche Methode verwendet hat)
  • Entwicklung ab den 1970er Jahren: ist in meinen Augen perfekt.
• Anwendung: der Teil ist etwas diffuse, ich sehe nicht genau, wie er abgegrenzt sein soll
  • Berechnung von Pi: perfekt ;-)
  • Kryptographie: praktisch auch (s.o.)
  • Lösungen diophantischer Gleichungen und Sylvesters Problem: perfekt, ...konstruiert werden. bräuchte noch einen EN, vermutlich [50]
  • Analytische Anwendungen: denkbar - was hat man von der L-Funktion? was von der effektive untere Grenzen für das Wachstum der Klassenzahlen imaginär-quadratischer Körper? Was ist das Wachstum einer Klassenzahl überhaut? Kann man das in einfachen Sätzen, Analogien, oder Beispilen erklären?
  • Anwendung auf elliptische Kurven und Klassenkörpertheorie: ist teilweise ja schon in der Einordnung, welche Abschnitte erscheinen Dir außer GKZ noch wesentlich?
  • Algorithmus: prima (Methode ab Größenordnungen = Algorithmus ab Größenordnungen? Den Rest muss ich mir noch genauer ansehen)

Diese Teile sollten in meinen Augen einem anderem Abteil, gedanklich unter der Überschrift Mathematische Notationen und weitere Zusammenhänge überwiegen:

• • Fundamentale Eigenschaften
  • Beziehungen zu Modulfunktionen und Singular moduli
  • Verallgemeinerungen

Wichtig im Sinne von exzellenz ist dann halt, dass in diesem Abteil nichts Wesentliches verborgen bleibt, insbesondere bei Fundamentalen Eigenschaften

• • Definitionen - ist eingangs aufgeführt, ok
  • Invarinazen - dito, ok
  • Existenz und die Heegner-Hypothese: Du sagtest, die sei noch wichtig
  • Führer - wird in der Einleitung angesprochen, hier schient aber noch wichtiges enthalten zu sein
  • Charakterisierung - ?
  • Elementare Zusammenhänge zur Theorie imaginär-quadratischer Körper ?

@Googolplexian1221: - kannst DU bitte mal schauen, ob ich es so richtig zusammengefasst habe? Kann man bei GKZ nicht wenigsten sagen, welche Erkenntnis man durch ihre Betrachtung gewonnen hat?

Viele Grüße, --Fabian RRRR (Diskussion) 18:41, 11. Nov. 2020 (CET)

Hi Fabian RRRR, ich schaue gleich am Wochenende drüber. Noch eine Frage: Was meinst du mit GKZ? Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 18:42, 12. Nov. 2020 (CET)

 Exzellent Ein nach meinem Verständnis exzellenter Artikel, der durch eine allgemein verständliche Einleitung zu überzeugen weiß, die mathematische Theorie mit vielen Beispielen untermauert, anschaulich illustriert ist, historische Bezüge herstellt, den Anwendungskontext in der Kryptografie streift und insgesamt rein formal gut gegliedert und geschrieben ist. Das Bedürfnis einiger, einen Artikel zur höheren Mathematik auch jenen nahezubringen, die nur die vier Grundrechenarten beherrschen, damit also auf mathematischen Formalismus ebenso verzichtet wie auf die Nennung bestimmter Fachbegriffe, ist so unrealistisch wie auch gleichzeitig nicht zielführend. Ein enzyklopädischer Artikel will kein Lehrbuch sein und auch kein Essay beispielsweise im Sinne der Rubrik der „Mathematischen Unterhaltung“ einer Spektrum der Wissenschaft. Das funktioniert bereits in anderen Wissenschaften nicht, erst recht wäre sowas in der Mathematik zum Scheitern verurteilt. Die Simplifizierung hat Grenzen. Der mathematische Formalismus wurde nicht als Selbstzweck eingeführt sondern als zwingende Voraussetzung, Phänomene überhaupt beschreiben zu können und mit ihnen Operationen durchzuführen. Insofern unterstütze ich jeden Hinweis, passende Analogien und Beispiele in so einen Artikel einzuarbeiten, lehne aber diesen radikalen Ansatz zur Kastration eines mathematischen Themas selbstredend als sachfern ab. --Alabasterstein (Diskussion) 09:31, 21. Okt. 2020 (CEST)

 Exzellent Ich bin schon letzte Woche auf diesen Artikel gestoßen und war wie andere auch von der Einleitung abgeschreckt worden. Aber seitdem hat sich ja wirklich einiges getan. Die Einleitung ist gut verständlich und der Abschnitt "Einordnung ohne mathematisches Vorwissen" ebenso. Obwohl ich als Mathestudent vielleicht nicht unbedingt als "Person ohne Vorwissen" gelte, denke ich, dass der Abschnitt sehr gut verständlich ist, auch wenn ich ab dem Absatz mit den p-Funktionen nicht mehr jeden einzelnen Schritt zu 100 % nachvollziehen konnte. Die Idee ist aber verständlich und auch anschaulich bebildert. Den Abschnitt zur Geschichte finde ich gut gelungen; so einen Abschnitt findet man eher selten in Artikeln zur Mathematik. Ich fände zwar ein Bild von Heegner selbst schön, aber ich vermute mal, dass es kein verfügbares Bild gibt (der Artikel zu Kurt Heegner hat schließlich auch keins). Die zweite Hälfte des Artikels scheint mir eher für Leute mit Vorkenntnissen zu Heegner-Punkten geeignet zu sein, daher kann ich inhaltlich dort nichts mehr bewerten. Aber ich kann trotzdem erkennen, dass auch dieser Teil gut strukturiert und geschrieben ist. Insgesamt daher ein exzellenter Artikel, da er auch Laien gut erklärt, was ein Heegner-Punkt ist und verständlich macht, inwiefern Heegner-Punkte mit weiteren Gebieten der Mathematik zusammenhängen. --SeGiba (Diskussion) 20:36, 23. Okt. 2020 (CEST)

Hm, die Einleitung ist für Otto Normalverbraucher immer noch nicht verständlich. Ich schlage eine radikale Kürzung ohne viel Fachchinesisch vor:

• Die nach Kurt Heegner benannten Heegner-Punkte sind Lösungen quadratischer Gleichungen mit speziellen mathematischen Eigenschaften. Sie spielen hauptsächlich in der arithmetischen Geometrie eine große Rolle. Beispielsweise ermöglichen die Heegner-Punkte die Bearbeitung von Fragestellungen zu elliptischen Kurven wie etwa der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer, eines der sieben Millennium-Probleme der Mathematik. Darüberhinaus finden sie auch im Chudnovsky-Algorithmus, mit dem sich die Kreiszahl $\pi \approx 3{,}141\dots$ auf viele Billionen Nachkommastellen genau bestimmen läßt, und anderen rechnerischen Verfahren Verwendung. Wichtige Beiträge zu ihrer Erforschung lieferten Bryan Birch, Henri Darmon, Peter Swinnerton-Dyer, Benedict Gross, Kurt Heegner, Winfried Kohnen, Victor Kolyvagin, Barry Mazur, Heinrich Weber und Don Zagier.

• Die Heegner-Punkte unterscheiden sich von den in der Mathematik ebenfalls gebräuchlichen Heegner-Zahlen.

Viele Grüße, Schnurrikowski (Diskussion) 13:43, 25. Okt. 2020 (CET)

Grüß dich Schnurrikowski, danke für deine Teilnahme! Für mehr Allgemeinverständlichkeit bin ich offen. Dein jetziger Vorschlag ist mir persönlich dann doch etwas zu knapp. Wenn es zu sehr darum geht, jegliche Begriffe zu vermeiden, dann wird aus dem Text zum Schluss denke ich was Nichtssagendes. Ich beziehe mich zum Beispiel auf Formulierungen wie mit speziellen mathematischen Eigenschaften, die im Grunde nichts, weder für Laie noch Fachmann, aussagen. Der Teaser soll ja auch ein bisschen das Geschehen im Artikel zusammenfassen. Im Zweifel hätte ich vorgeschlagen, die ersten 2-3 Sätze noch „verständlicher“ zu formulieren, es beim Rest aber PlusMinus so zu belassen. Verständlichkeit ist wichtig, völlig klar: Aber ich versuche nicht nur an die (interessierten) Laien, sondern gleichzeitig auch an Leute zu denken, die gerne schon im Teaser lesen würden, wo die Reise grob hingeht. Und letztere sind ja, machen wir uns nichts vor, die Leute, die den Artikel am häufigsten lesen werden. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 13:53, 26. Okt. 2020 (CET)

Zu dem Punkt "Einleitung" findet auch eine rege Diskussion unter Diskussionsseite des Artikels statt: Da wird gerade ein ausgewogener Kompromiss gesucht. Gut an dem Vorschlag von Schnurrikowski finde ich den Wegfall der Klammer, ich mag geklammerte Erklärungen einfach nicht so gerne. Auch das Rausnehmen der Erklärung zur komplexen Ebene befürworte ich sehr.

Begriffe wie Ganzzahl und teilerfremd sollten allgemeinverständlich sein. Auch fand ich das Beispiel ganz nett, da man gleich sieht: ${\sqrt {-2}}$ löst die Gleichung $x^{2}+2=0$.

Warum die Zahlen als Punkte bezeichnet werden, versucht Googolplexian noch genauer zu klären.

Viele Grüße, --Fabian RRRR (Diskussion) 15:16, 26. Okt. 2020 (CET)

 Exzellent Harter Stoff ;-) und ausgezeichneter Artikel, der sich bemüht, den Mathematischen Begriff darzustellen. Ich habe allerdings noch eine Lemma-Frage. Da es sich ja nicht um einen einzelnen Punkt handelt, sondern von vielen, müsste nicht besser nach Heegner-Punkte verschoben werden? Davon unabhängig halte ich den Artikel für exzellent. --Josef Papi (Diskussion) 16:49, 9. Nov. 2020 (CET)

Hallo Josef Papi, danke für dein Votum. Es gibt auf deWiki wohl die Konvention, dass der Titel nur im Singular genannt werden soll. Zu Beginn hieß der Artikel in der Tat Heegner-Punkte, wurde dann aber in Heegner-Punkt umbenannt. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 20:12, 9. Nov. 2020 (CET)

Mit neun Stimmen für Exzellent, einer Stimme für Lesenswert, zwei neutralen Stimmen (die Wormeldung von Schnurrikowski habe ich so gewertet) und einer keiner Auszeichnungsstimme ergibt sich ein klares Quorum. In der Disk wurde vom Autor sehr ausführlich auf die Kritik eingangen und soweit ich es sehen kann alles getan um dem Kritikpunkt Laienverständlichkeit Rechnung zu tragen. Infolgedessen wird der Artikel in dieser Version in die Liste der Exzellenten Artikel aufgenommen. Glückwunsch ! -- Nasir Wos? 13:30, 14. Nov. 2020 (CET)