Diskussion:Hessesche Normalform

Doppeldeutigkeit

r*n0-d=0 d ist immer positiv, da es ein Abstand, n0 ist der normierte normalvektor jetzt nehemen wir z. B. die Ebene n0=(0,1,0) d = 1 jetzt kann das doch die Ebene sein mit dem Punkt P1(0,1,0) sein oder die Ebenene, die den Punkt P2(0,-1,0) enthält - beide haben den Abstand 1 (nicht signierter Beitrag von 217.227.8.64 (Diskussion | Beiträge) 18:55, 1. Okt. 2009 (CEST))

Der Hesse und die Abstandberechnung

Na ja, im Grunde genommen wird ja nur P auf N0 projiziert, indem das Skalarprodukt ausgerechnet wird... --91.1.114.246 21:22, 22. Mär. 2009 (CET)

In diesem Artikel werden einige Formeln(zum Beispiel die "vektorielle Schreibweise" am Anfang) nicht richtig dargestellt. Ich habe es mit dem Firefox 3.0.3 und dem Konqueror 4.1.72 probiert. Der Code dazu siehr richtig aus -- dennoch wird der Formelquelltext anstatt dem gerendertem Bild ausgegeben. HobbyBlobby

Normalform oder Normalenform? Ich dachte die hieß Hessesche Normalform. Kann aber auch sein, daß ich mich irre. --Daniel Beyer 17:20, 11. Sep 2003 (CEST)

Hessesche Normalform ist richtig. tsor 17:46, 11. Sep 2003 (CEST)

ok, Artikel ist verschoben, alle Links korrigiert.

Hmm... "Das große Tafelwerk" aus dem Cornelsen Verlag ist anderer Meinung. Da heißt es Hesse'sche Normalenform. Kenne das eigentlich auch nur so. Normalform hab ich noch nie gehört... Gibt es da Quellen aus der Fachliteratur? --217.85.133.208 17:03, 13. Dez. 2007 (CET)

Beispiel

Hallo!

Im Beispiel erhalten Sie als Hesse'sche Normalform

X*(1,2,3) = 4

Das ist NICHT richtig! In der Hesse'schen Normalform ist IMMER der Normalenvektor NORMIERT, hat also die Länge 1.

Es fehlt also im obigen Ergebnis die beiderseitige Division durch sqrt(14)!

MfG mYthos

p.lutz@kabsi.at

--

24.12.2003 / 00:20

Ich habe bei dem Beispiel die Seite an den ggst. Stellen nun selbst editiert.

MfG mYthos

p.lutz@kabsi.at

Gut so, jeder einzelne kann, darf und soll hier seine Korrekturen und Verbesserungen einbringen - auch unangemeldet. Sei mutig beim Ändern der Seiten. --SirJective 13:35, 24. Dez 2003 (CET)

Durch Berechnung des Normalenvektors via der Kreuzproduktformel erhalte ich jeweils die negative Werte x1= -1, x2 = -2, x3 = -3 sowie daraus resultierend einen negativen Abstand -4 vom Koordinatenursprung (was ja auch nix weiter ausmacht, das Beträge ja sowieso positiv zu sehen sind... Die zuunterst angeführte HNF allerdings ist nicht durch äquivalentes Umformen aus der darüberliegenden entstanden. Es sollte heissen x * n - (4/sqrt14) = 0 anstatt (x * n -4)/sprt14 = 0. Bin allerdings kein guter Formeleditor.

Guter Artikel =) runway.sven@gmx.net

Hallo zusammen, darf man denn als einfacher User Beiträge einfach korrigieren? Oder ist das den admins vorbehalten? Ich habe zwei Veränderungsvorschläge: 1. es gibt nicht <den> Normalenvektor einer Ebene sondern unendlich viele. Deswegen sollte es <ein Normalenvektor> statt <den Normalenvektor> heißen. 2. es gibt auch nicht <den> normierten Normalenvektor einer Ebene, sondern zwei: wenn n einer ist, ist -n auch einer. Für d ungleich Null kann man denjenigen Normaleneinheitsvektor nehmen, der vom Koordinatenursprung zur Ebene zeigt. Dann ist d>0. Pebaum

es wäre sinnvoll, eine Weiterleitung einzurichten und zwar von "hesse normalform" auf diesen Artikel! Wäre super, wenn das einer machen könnte!

Edit-War seitens P. Birken

Der Abschnitt Berechnung aus drei Ortsvektoren über ein Gleichungssystem wurde von mir weiter untergliedert. Abschnitte mit Beispielen können aus inhaltlichen Herleitungen, der Schilderung des Prinzips u. dergl. oder einfach fast ausschließlich aus dem Beispiel selbst bestehen. Wenn die Verlinkung der Abschnitte im Inhalt überhaupt einen Sinn machen soll, sollte der Leser vor dem Klicken wissen, was er nach dem Klick finden wird. Das scheint P.Birken nicht zu verstehen. Außerdem führt er hier einen typischen Edit-War um des Rechthabens willen, denn er bezieht sich auf gänzlich andere Diskussionen, bei denen es nur um den formalen Aspekt gehandelt haben kann. Oder um die von ihm ins Feld geführt "Leserintelligenz". Es geht aber nicht um "Leserintelligenz", sondern um "Lesekomfort". --Alfred 22:45, 5. Dez. 2007 (CET)

Der Lesekomfort wird sicher nicht durch das Einfügen von Gliederungen erhöht, die nicht notwendig sind. Insbesondere dann sollte man auf zu viele Gliederungen verzichten, wenn der Artikel (wie hier) eher kurz ist. Die anderen Bemerkungen bezüglich Rechthaberei anderer Benutzer, Edit-War gehören hier nicht rein. Halte dich an die allgemeine Regel, dass in Artikeldiskussionen nur Diskussionen zum Artikelinhalt zu führen sind. – Wladyslaw [Disk.] 22:50, 5. Dez. 2007 (CET)

Genau darum geht es, die Diskussion wieder zum Artikelinhalt - wozu auch zwischenüberschriften gehören - zurückzuführen, nachdem P.B. sie in seinem Edit-Kommentar (für den übrigens auch diese Regel gilt) davon weg und auf eine irrelevante Rechthaberei geführt hat. Die Frage ist ausschließlich: Hat die Zwischenüberschrift eine Berechtigung oder nicht. Du hast Recht, daß der Artikel insgesamt kurz ist, aber der Abschnitt, dem ich eine Überschrift gegeben hatte, ist recht lang. Also wäre eher darüber nachzudenken, genau die zu belassen und dafür andere zu entfernen. Falls also keiner deiner Auffassung diesbezüglich widerspricht, mache ich gerne eine entsprechende Änderung. --Alfred 22:57, 5. Dez. 2007 (CET)

Tut mir leid, mir ist nicht klar, worum es dir hier geht. – Wladyslaw [Disk.] 22:59, 5. Dez. 2007 (CET)

Ein Artikel beginnt mit einer Definition und nicht mit der ersten Artikelüberschrift, deswegen habe ich diese Verunstaltung wieder rückgängig gemacht. Solange du hier niemandem klar machen kannst, was du willst, lässt du die Finger vom Artikel. – Wladyslaw [Disk.] 23:05, 5. Dez. 2007 (CET)

Leichter verständliche Version?

Das ist alles sehr schön hier, aber gibt es sowas wie eine simple.wikipedia für Mathe? Ich gebe mir wirklich mühe, nur leider kann ich bei den ganzen Symbolen nicht mehr mithalten z.B. bei der Herleitung. --85.181.202.7 16:24, 29. Mär. 2009 (CEST)

Schau auf Oberorima.com vorbei. Der Typ erklärt bis zur 13. eigentlich alles was mit Mathe zu tun hat, auch die HNF =) Link dazu hier. --Big.N 02:24, 5. Jun. 2009 (CEST)

Berechnung aus 3 Ortsvektoren unverständlich

Die Herkunft des Normalenvektors ist nicht geklärt. Er taucht auf einmal auf und wird dann in einen Einheitsvektor überführt. Bitte korrigieren. (nicht signierter Beitrag von 93.244.130.118 (Diskussion) 18:36, 9. Apr. 2011 (CEST))

Die Darstellung ist in der Tat unschön. Es wird so getan, als würde man auf einen Schlag das Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen und der Wurzelgleichung lösen. In Wirklichkeit bestimmt man irgendeine Lösung des Gleichungssystems aus zwei linearen Gleichungen und normiert diese dann, oder man bestimmt die allgemeine Lösung des Gleichungssystems (mit einem Parameter) und bestimmt dann den Parameter so, dass der Vektor die Länge eins hat. -- Digamma 21:34, 10. Apr. 2011 (CEST)

Ich habe den Abschnitt mal überarbeitet und ergänzt. Gut so? -- Digamma 21:41, 10. Apr. 2011 (CEST)

Danke, sehr gut! Jetzt hab ich das verstanden... (nicht signierter Beitrag von 93.244.128.223 (Diskussion) 20:42, 14. Apr. 2011 (CEST))

Verallgemeinerung

In der Verallgemeinerung steht, das Kreuzprodukt könne nicht auf andere Dimensionen übertragen werden. Das stimmt doch aber gar nicht. Das Kreuzprodukt lässt sich auch auf höhere Dimensionen übertragen. Steht auch im entsprechenden Artikel: Kreuzprodukt#Kreuzprodukt_im. --Jobu0101 14:30, 18. Dez. 2011 (CET)

Du hast recht. Ich streiche die entsprechende Passage. --Digamma 18:12, 18. Dez. 2011 (CET)

Prima, dann wäre das auch geklärt ;) --Jobu0101 08:50, 19. Dez. 2011 (CET)

Vorzeichen

Im Abschnitt "Anwendung zur Abstandsberechnung" steht, dass man am Vorzeichen ablesen könne, ob der Punkt auf der selben Seite liegt, wie der Ursprung. Das ist nicht korrekt. Ist das Vorzeiche positiv, so liegt der Punkt auf jener Seite der Ebene, in deren Richtung der gewählte Normalvektor zeigt. Ansonsten auf der gegenüberliegenden Seite. Die Lage des Ursprungs hat damit nichts zu tun, wie das Beispiel

E: -z+1=0 P = (2,0)

zeigt. Das Vorzeichen wäre "-", dennoch liegt der Punkt über der Ebene und der Ursprung darunter. (nicht signierter Beitrag von 84.119.46.102 (Diskussion) 15:52, 14. Jan. 2012 (CET))

Das stimmt schon im Artikel: Die Hesse-Normalform von -z+1=0 ist z-1=0, weil nach Def. d positiv sein muss. Der Normalenvektor in der HNF zeigt immer vom Ursprung weg. -- HilberTraum 12:36, 15. Jan. 2012 (CET)

Koordinatenform muss umgerechnet werden?

"Aus den weiteren Formen von Geradengleichungen, der Koordinatenform, der Achsenabschnittsform, der Parameterform und der Zweipunkteform, wird zunächst die zugehörige Normalenform der Geraden ermittelt (siehe Berechnung der Normalenform) und daraus dann die hessesche Normalform."

Wenn man die Gleichung der Ebene in Koordinatenform einfach durch den Betrag des Normalenvektors teilt, erhält man dann nicht genauso die Hesse-Form (Hesse-Koordinatenform?). Macht diese Vorgehensweise im Übrigen nicht sogar mehr Sinn, wenn das Ziel eine Abstandsberechnung ist? (nicht signierter Beitrag von 176.199.192.165 (Diskussion) 02:04, 24. Nov. 2015 (CET))

Ja, ich denke schon. Nach meinem Verständnis versteht man unter der Hesseschen Normalform nicht nur die Normalenform mit normiertem Normalenvektor, sondern auch die von dir beschriebene Koordinatenform. Davon abgesehen ist die Umwandlung der Koordinatenform in die Normalenform eine Trivialität. Vielleicht sollte man diese beiden Formen gar nicht explizit unterscheiden. Der Unterschied besteht ja nur darin, dass bei der Koordinatenform das Skalarprodukt ausgeschrieben wird. --Digamma (Diskussion) 20:07, 24. Nov. 2015 (CET)

Normalform/Normalenform - eigener Artikel?

Die hessesche Normalform, wie sie hier im Artikel dargestellt wird, ist die Normalform der Koordinatenform. Das was man in der Schule als hessesche Normalenform kennenlernt, ist dagegen schlicht die Normalenform mit Normaleneinheitsvektor. Im Prinzip bräuchte es einen eigenen Artikel zur Hesseschen Normalenform oder man einigt sich darauf, dass man nur noch die Normalenform als "hessesch" bezeichnet, denn in dieser Form wird dieser Artikel Jahr für Jahr für Verwirrung sorgen. --TranslationTalent (Diskussion) 15:46, 16. Aug. 2019 (CEST)

Bezeichnungen in der Literatur sind nicht immer einheitlich und soweit mir bekannt werden die Begriffe meist synonym verwandt, dementsprechend halte die Änderung nicht für sinnvoll.--Kmhkmh (Diskussion) 17:46, 16. Aug. 2019 (CEST)

Moin, ich verstehe die Kritik, aber wenn man schon nicht zulassen will, dass es zwichen den Begriffen einen Unterschied gibt, dann lass uns doch zumindest meine Edits unter 'Alternative Formulierung' o.ä. zusammenfassen, In manchen Bundesländern gibt es halt etwas andere Formeln, ist wie mit pq-Formel vs. abc-Formel.

--TranslationTalent (Diskussion) 23:59, 16. Aug. 2019 (CEST)

Zumindest beim Mathe-Abitur in Baden-Württemberg heißen beide Formen "Hesse-Normalform", vgl. die vom Ministerium herausgegebene Merkhilfe, Seite 7, Abschnitt "Abstandsberechnungen", hier mit "HNF" abgekürzt. --Digamma (Diskussion) 20:40, 17. Aug. 2019 (CEST)

Ich verstehe die Diskussion nicht so ganz, die Normalenform (ohne Hesse) hat ja bereits einen eigenen Artikel. Was nun sowohl die Hesse-Variante hier als auch die allgemeine Normalenform betriefft werden Normalform und Normalenform nun meist synonym benutzt. Und selbst die Koordinatenform (zumindest in der normierten Variante, also Hesse) wird gelegentlich als (Hesse-)Normalenform bezeichnet. Letztlich liegt das daran, dass es sich ja um dieselbe Gleichung in unterschiedlicher Notation ("Vektorschreibweise" vs "Koordinatenschreibweise") und Autoren für solche unterschiedliche Notation desselben Sachverhalts/Begriffes nicht immer separate Bezeichnungen verwenden.

Hessesche -Normalenform findet man übrigens z.B. hier. [1], [2] oder auch im Lambacher-Schweizer zur linearen Algebra.--Kmhkmh (Diskussion) 22:12, 17. Aug. 2019 (CEST)

Der Punkt ist m.E., dass sich das "Normalen" in "Normalenform" auf den Normalenvektor bezieht, also einen Vektor, der orthogonal ist ("normal" bedeutet hier "orthogonal"), während sich das "Normal" in "Hessesche Normalform" darauf bezieht, dass die Gleichung in irgendeiner Form normiert ist (in diesem Fall dass der Betrag des Normalenvektors = 1 ist, bzw. klassischer ausgedrückt, dass die Koeffizienten die Winkelkosinus sind.) --Digamma (Diskussion) 18:34, 25. Apr. 2020 (CEST)

Ich habe auch andere Änderungen vorgenommen, die nichts damit zu tun hatten, ob Normalenform ein gesonderter Begriff ist. Um meine sinnvollen Edits wiederherzustellen, erlaube ich mir, meine Version wiederherzustellen und die kritischen Sachen zum Thema Bezeichnung wieder herauslöschen. LG, TranslationTalent (Diskussion) 00:04, 17. Aug. 2019 (CEST)

Also ich habe in der schule die Hessische Normalform als die Koordinatenform einer Ebene kennengelernt, die einen Einheitsvektor als Normalvektor hat. Das ist natürlich etwas ganz anderes als in diesem Artikel steht. Wird uns das falsch beigebracht?

--TheFibonacciEffect (Diskussion) 17:05, 25. Apr. 2020 (CEST)

Der Unterschied zwischen Normalform/Normalenform (abgesehen vom möglichen Normierungsaspekt) und der Koordinatenform liegt lediglich, in der Notation. In Vektornotation ist es die Normalenform und in der Notation als Summe die Koordinatenform. Der Zusatz Hesse wird dann verwendet, wenn der orthogonale Vektor in der Vektornotation (also der Normalenform) normiert ist. Manche Autoren bezeichnen die zugehörige Notation als Summe (also die zu zugehörige Koordinatenform) dann wohl auch so.--Kmhkmh (Diskussion) 21:31, 25. Apr. 2020 (CEST)

Ich denke, im ersten Abschnitt (Darstellung) sollte auch die äquivalente (Hessesche) Koordinatenform aufgeführt werden. Schließlich wird sie in den Beispielen auch immer verwendet. Der Ausdruck "Normal" bezieht sich nicht auf einen Normalenvektor, sondern auf eine "normierte" Form der Geradengleichung, ob in Vektor- oder Koordinatenform. --Ag2gaeh (Diskussion) 09:24, 26. Apr. 2020 (CEST)

Nachtrag: "hessesche Normalform" und "Hesse-Normalform" lässt offen, ob es sich um die vektorielle- oder Koordinatenform einer Geradengleichung handelt. "Hessesche Normalenform" ist die vektorielle Geradengleichung (Normalenform) in "Hesseform", d.h. normiert.--Ag2gaeh (Diskussion) 09:35, 26. Apr. 2020 (CEST)

Das kann man so sehen, aber ich habe starke Zweifel, dass sich das von Literatur so nachweisen lässt bzw. viele Autoren werden den subtilen Unterschied zwischen Normalform und Normalenform nicht beachten wenn Hesse davorsteht und beide Begriffe synonym verwenden. Zudem wird zumindest in der Literatur, insbesondere der Schulliteratur, die ich gesehen habe, der Ausdruck Hesse-Normalform oder Hesse-Normalenform, fast ausschließlich für die vektorielle Darstellung verwendet und dabei werden beide Begriffe synonym gebraucht (so z.B. im Schülerduden Mathathik II). Anders ausgedrückt diese eigentlich sinnvolle sprachliche Unterscheidung, spiegelt sich leider in der Literatur nicht so wieder bzw. die Verwendung in der (Fach-)Literatur ist leider uneinheitlich.--Kmhkmh (Diskussion) 14:10, 26. Apr. 2020 (CEST)

(BK) Ja, das scheint so zu sein. Andererseits wird in der tatsächlichen Praxis in der Schule vor allem die Koordinatenform der Hesse-Normalform verwendet, weil die Ebenen fast immer in Koordinatengleichungen vorliegen. Die vektorielle Normalenform dient meist nur als Zwischenschritt um von der Parameterform zu Koordinatenform zu kommen. Die in Baden-Württemberg für das Abitur amtlich herausgegebene "Merkhilfe" gibt beide Formen an. --Digamma (Diskussion) 16:03, 26. Apr. 2020 (CEST)

Bei O. Hesse (Analytische Geometrie, 1865,1881) gibt es die "Normalform der Geraden/Ebenengleichung" (Koordinatengleichung). In H. Deutsch "Kleine Enzyklopädie Mathematik" heißt dies "Hessesche Normalform der Gerdaden/Ebenen-Gleichung" und mit Vektoren dann "Hessesche Normalform in Vektorschreibweise". Die Normalenform ist laut Wikip. ausschließlich eine Vektorgleichung. Also kann eine "Hessesche NormalENform" nur die "Hessesche Normalform in Vektorschreibweise" sein. Mir scheint, im Schulbereich geht es da etwas chaotisch zu.--Ag2gaeh (Diskussion) 15:52, 26. Apr. 2020 (CEST)

Also wenn man zwischen Hesse-Normalform (als normierte Gleichung in Koordinaten- oder Vektorform) und Hesse-Normalenform (als normierte Gleichung nur in Vektorform) unterscheiden will, was (trotz unheitlicher oder unklarer Verwendung in Teilen der Literatur) ja durchaus sinnvoll ist, so sollte man das auf alle mit den Artikeln Koordinatenform und Ebenengleichung abgleichen, insbesondere ist dann nämlich auch die einführende Grafik in Ebenengleichung "falsch" bzw. irreführend.--Kmhkmh (Diskussion) 17:02, 26. Apr. 2020 (CEST)

Hier noch ein Nachtrag: Die Hessesche Normalform ist bei Hesse und in der Literatur eine Gleichung der Form ...= 0 !. Das sollte auch hier so sein. Dass hier die Koordinatenform keine Rolle spielt, ist m.M. nach auch ein Mangel. Sie spielt schließlich im Artikel Geradengleichung eine wichtige Rolle.--Ag2gaeh (Diskussion) 10:31, 17. Dez. 2020 (CET)

Wie lautet denn die Formuierung bei Hesse? Hast du da Quellen? Unabhängig davon, ob das für die moderne Formulierung eine Rolle spielt, könnte man das in einem Abschnitt "Geschichte" erwähnen.

Ansonsten denke ich, dass es nicht wesentlich ist, ob die Gleichung die Form "... = 0" oder die Form "... = d" hat. Wesentlich ist die Normierung des Normalenvektors (bzw. des Koeffiziententupels). --Digamma (Diskussion) 13:37, 17. Dez. 2020 (CET)

Ich habe ein Exemplar O. Hesse: "Analytische Geometrie" (1865), überarbeitet von S. Gundelfinger 1881. Auf Seite 15, Zitat:

(4) $x\cos \alpha +y\cos \beta -\delta =0$. Diese Form der Gleichung wird die Normalform einer geraden Linie genannt.

Dabei ist $(\cos \alpha ,\cos \beta )^{T}$ die Einheitsnormale der Gerade. Ich denke, die Form ...=0 ist wegen ihrer Bedeutung schon wichtig: Nur in dieser Form ergibt sich bei der Auswertung (bis aufs Vorzeichen) der Abstand d(x,y) eines Punktes von der Gerade (Hesse, S. 18). Deshalb wird diese Form auch in Schulbüchern und Enzyklopädien (s.o.) genau so gewählt.--Ag2gaeh (Diskussion) 17:54, 17. Dez. 2020 (CET)

Vielen Dank. Ich werde das dann im Artikel ändern. Meinst du, du könntest an Hand des Buchs von O. Hesse etwas zur Geschichte schreiben? Ist zwar Primärliteratur und besser wäre Sekundärliteratur. Ist aber sicher besser als nicht. --Digamma (Diskussion) 19:58, 17. Dez. 2020 (CET)

Sekundär Lit.: Im Bronstein steht es wie bei Hesse. Was die Geschichte anbelangt: das sollte besser jemand mit Erfahrung machen.--Ag2gaeh (Diskussion) 22:18, 17. Dez. 2020 (CET)

Ich habe nun doch ein Abschnitt Geschichte hinzugefügt.--Ag2gaeh (Diskussion) 16:52, 19. Dez. 2020 (CET)

Vielen Dank. Du schreibst, dass Hesse die Normalform auch für Ebenengleichungen angegeben hat. Deshalb würde ich den Abschnitt Geschichte nicht zwischen die beiden Abschnitte "Hessesche Normalform der Geradengleichung" und "Hessesche Normalform der Ebenengleichung" setzen, sondern ans Ende.

Mit "Sekundärliteratur" meinte ich solche zur Geschichte. Dass es für den mathematischen Teil genug Sekundärliteratur gibt, ist klar. --Digamma (Diskussion) 13:51, 20. Dez. 2020 (CET)

Zur Geschichte der HNF habe ich nichts gefunden. In Geschichtsforschung bin ich eher ungeübt. Vielleicht kann da jemand mit Erfahrung etwas beitragen.--Ag2gaeh (Diskussion) 16:35, 20. Dez. 2020 (CET)