Diskussion:Immersion (Mathematik)

schlechter Artikel

der Artikel ist insgesammt schlecht gemacht. weitaus besser ist der englische. 213.39.148.56 (13:28, 16. Sep. 2009 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Ich ändere den Begriff Differential in pushforward, da nur im spezialfall $T_{p}\mathbb {R} ^{m}\rightarrow T_{F(p)}\mathbb {R} ^{n}$ das $F_{*}$ mit $DF$ korrespondiert. (Passt auch schön zur Verwendung von pullback) Paul Wenk 23:56, 8. Feb 2006 (CET)

Ich kenne "Differential" als übliche Bezeichnung für den allgemeinen Fall, mit den austauschbaren Bezeichnungen $f_{*}$ bzw. $df$; vgl. en:embedding.--Gunther 23:58, 8. Feb 2006 (CET)

Obige Unterscheidung weisst jedoch schön auf das Nicht-Notwendig-Euklidisch hin, was man nämlich sonst unter umständen vergisst, sozusagen: Zuerst mittels Karten herunterholen! Paul Wenk 00:04, 9. Feb 2006 (CET)

"Differential": [1] Definition 3.11, S. 27

"Ableitung": [2] Definition 2.12, S. 9

"push-forward" erscheint mir unüblich und unnötig.--Gunther 00:11, 9. Feb 2006 (CET)

Ich könnte ebenso [3] und andere angeben, in welchen diese sinnvole Unterscheidung durchgeführt wird. Aber wenn es der allgemeinheit unüblich ist, muss ich nicht darauf bestehen.Paul Wenk 00:37, 9. Feb 2006 (CET)

Jemandem, der "Homeomorphismus" schreibt, würde ich in Bezeichnungsfragen nicht trauen.--Gunther 00:42, 9. Feb 2006 (CET)

Ich hoffe durch die neueste Änderungen nun allen Geschmäckern gerecht zu werden. So sind jedenfalls Missverständnisse ausgeschlossen.--Paul Wenk 11:45, 9. Feb 2006 (CET)

Ehrlich gesagt: nein. Ich sehe immer noch keinen Grund, zwischen dem $\mathbb {R} ^{n}$ und anderen Mannigfaltigkeiten zu unterscheiden.--Gunther 12:01, 9. Feb 2006 (CET)

Die Koordinaten-Unabhängige Form wird durch den Ausdruck Pushforward besser bewahrt. Immer, wenn Du nachsehen möchtest, ob eine Abb. zw. Mannigfaltigkeiten glatt ist musst Du in die Koordinatendarstellung, in koordinatenunabhängiger Form ist sowas (meistens) nicht zu erkennen. Die Def. des Pushf., wie ich sie jetzt in Wikipedia eingegeben habe, befreit von der Annahme, man sei in Koordinatendarstellung.--Paul Wenk 12:43, 9. Feb 2006 (CET)

Und noch ein Argument: Wie schön ist die Dualität zu $F^{*}$! Das ist doch das tolle an der Koordinatenunabhängigkeit: Größere Strukturen sollen zutage treten, jene, die im lokalen nur schwer="mit viel Rechenaufwand" zu erkennen sind. Damit es da nicht zu Missverständnissen kommt: Pushforward!--Paul Wenk 12:54, 9. Feb 2006 (CET)

Es geht nicht darum, was Dir besser gefällt oder aus irgendwelchen höheren Gesichtspunkten vorzuziehen ist, sondern schlicht darum, was üblich ist, und das spricht ganz klar gegen push-forward.--Gunther 13:25, 9. Feb 2006 (CET)

ÜBLICH, sind Fehler. Und die gilt es zu vermeiden. Daher sollte man schon auf die Entwicklung der Wissenschaften achten. Dazu gehört hier die schon nicht mehr so junge Idee der Ablösung von lokalen Koordinaten. Das hat mit persönlicher Meinung nichts zu tun [[4]]. Es währe schade anderen den Zugang (der nun wirklich nicht neu ist-siehe Lee und co) zu dieser allgemeinen Betrachtung zu verwähren. Vorallem in der modernen Literatur wird dieser Begriff häufig verwendet, was nur eine positiver Resonanz haben kann, wenn Leser hier diesen Begriff in diesem Zusammenhang vorfinden. (Wäre nur zu schön, wenn ich hier MEINE Idee popagieren würde!)

(Wenn Du trotzdem den Artikel auf biegen und brechen ändern möchtest, bitte ich Dich den Ausdruck Pushf. wenigstens als Synonym zu lassen. Meinungen anderer wären natürlich auch schön, aber das braucht leider Zeit...)

--Paul Wenk 14:00, 9. Feb 2006 (CET)

Die intrinsische Sichtweise hat nichts mit den verwendeten Wörtern zu tun, siehe Tangentialraum#Die_Totalableitung_einer_Abbildung oder die o.a. Skripten.--Gunther 14:04, 9. Feb 2006 (CET)

Das ist ein gutes Beispiel, warum die Darstelung mit D zwar ÜBLICH, für den Anfänger jedoch verwirrend sein kann: In Tangentialraum#Die_Totalableitung_einer_Abbildung,nämlich in"(df)_p(D)(g) = D(g o f) ", wird "wie üblich" D für die Betrachtung mittels Derivationen verwendet. In pushforward oder [[5]] wird klar: Du kannst irgendein Tngentialvektor X (aus dem entsprechenden Tangentialraum) einsetzen, nenn es, wenn Du magst Y...aber eben nicht nur D. Die Beharrung auf D oder ein anderes Zeichen hat unter dieser sinnvollen, allgeminen Definition KEINEN SINN MEHR!

Man zieht Kovektorfelder zurück und drückt VF nach vorne. Was es im lokalen bedeutet ist noch z.z.. Dies ist für viele schwierig einzusehen, aber ein sinnvolles Vorgehen in der Mathematik ist: Man definiere eine Abstrakte Struktur (natürlich mit einer Motivation im Hinterkopf) und beweise dann, dass diese -z.b. im Lokalen- mit unserer Anschauung übereinstimmt.--Paul Wenk 14:35, 9. Feb 2006 (CET)

Ich glaube, wir reden aneinander vorbei. Es geht mir nicht um die Frage, ob man jetzt $\mathrm {d} f$, $\mathrm {D} f$ oder $f_{*}$ schreibt, sondern hauptsächlich um die im Deutschen wenig verbreitete Bezeichnung push-forward (die außerdem ziemlich mehrdeutig ist, alle möglichen kovariant-funktoriellen Konstruktionen werden so genannt).

Zur zitierten Formel: D steht dort für einen beliebigen Tangentialvektor, und er heißt nur deshalb D, weil er als Derivation aufgefasst wird. Das hat nichts mit dem D oder d als Zeichen für die Totalableitung zu tun.--Gunther 14:41, 9. Feb 2006 (CET)

"Zur zitierten Formel: D steht dort für einen beliebigen Tangentialvektor, und er heißt nur deshalb D, weil er als Derivation aufgefasst wird. Das hat nichts mit dem D oder d als Zeichen für die Totalableitung zu tun". Das wissen WIR, aber nicht unbedingt andere. Genau darum geht es mir und deshalb versuche ich den allgemeinsten Zugang zu veröffentlichen, sozusagen: "Denke noch nicht an Ableitung!" und erst dann der Weg in bekannte Gefilde. Aus dem Allgemeinen ins Konkrete, der Leser darf bestimmen, was er braucht.

Persönliches/Allgemeines: Das ist auch das, was ich unter einem guten Nachschlagewek bezogen auf Naturwissenschaften verstehe: Zuerst die allgemeinste Definition. Dann kann ich mich bis zu der Stelle Durcharbeiten, die ich benötige. Dieses Vorgehen ist weitaus übersichtlicher und Platzsparender als ein Wust an Beispielen und Spezialfällen aus dem sich schliesslich ein allgemeines Konzept erhebt-leider ist der Leser dann aber so mit seiner Anschuung beschäftigt, dass er das allgemeine Prinzip nicht mehr zu würdigen weiss.
Der Name hat somit eine nicht unbedeutende Wirkung. Verwirrung wird durch den Spezialfall im $\mathbb {R} ^{n}$ vermieden. Da steht sogar D. Wo ist dann noch ein Problem? Warum sollte man sich daran stören?

--Paul Wenk 15:30, 9. Feb 2006 (CET)

Können wir uns vielleicht mal auf einen Punkt beschränken?

• Name für die induzierte Abbildung $TM\to TN$
• Notation für selbige
• Buchstaben für Tangentialvektoren
• Gestaltung eines Enzyklopädieartikels

Mir ging es um den ersten Punkt, und Du konntest mir bislang nur ein Skript als Beleg angeben, das ohnehin Probleme mit den korrekten deutschen Bezeichnungen hat. Aus didaktischen Erwägungen heraus unübliche Bezeichnungen zu verwenden ist inakzeptabel, wir schreiben kein Lehrbuch, sondern dokumentieren lediglich "die Welt da draußen".--Gunther 16:00, 9. Feb 2006 (CET)

Zunächst stellt man fest: Denjenigen, die sich an einer Deinition der Differentialgeometrie versucht haben, ist der Begriff nicht fremd:

• [[6]]

Desweiteren lassen sich zich Vorlesungen (darunter auch diejenige, die ich einst besucht habe) und Arbeiten aufzählen, wo der Begriff Pushforward den Wissenschaftlern sowie Studenten nicht so fremd ist wie anscheinend Dir:

In der Vorlesung von Prof. D.A. Salamon

• [[7]] S.15

oder in der Prof. Riviere

• [[8]] S.52

er wird in Dissertationen verwendet:

• [[9]]

...in der ART:

• [[10]]

Bevor Du anfängst zu kritisieren, solltest Du dich zunächst informieren.

Natürlich kann man statt Pushforward das ganze "totales Differential" nennen, aber, um auf Deine Kritik einzugehen: Damit DOKUMENTIERT man nicht das allgemeinere Konzept, das sich hinter diesem Begriff verbirgt und Dir anscheinnd fremdartig erscheint.

Zur Tatsache, dass es Dir nicht passt, nun ein abschliessendes Wort: Ich habe erst vor 2 Tagen angefangen mich mit Wikipedia zu beschäftigen. Ein tolles Konzept. ZUFÄLLIGERWEISE las ich auch den Kommentar "Löschen und sperren" auf [[11]]. Um ehrlich zu sein, habe ich dieses noch vor 2 Tagen nicht verstanden.--Paul Wenk 11:24, 10. Feb 2006 (CET)

Sorry, aber nach Belegen zu fragen, wenn mir etwas ungewöhnlich erscheint, sehe ich als Teil meiner Aufgabe hier. Zu Deinen Belegen:

• [12]: bezieht sich nicht ausreichend klar auf das Differential
• [13]: Bezieht sich auf Vektorfelder, die Abbildung zwischen den Tangentialräumen heißt Tangentialabbildung (S. 10)
• [14]: Def. 2.20 bezieht sich auf Vektorfelder, in Def. 2.17 lese ich nur etwas von tangent map
• [15] Ich finde nur push-forwards von Dichtefunktionen
• [16]: Def. 2.70 bezieht sich auf Tensorfelder; der Satz unmittelbar davor legt nahe, dass die Abbildung zwischen den Tangentialräumen Differential genannt wird

Für den push-forward von Vektorfeldern würde mir auch kein anderer Begriff einfallen, aber darum geht es hier nicht.--Gunther 12:22, 10. Feb 2006 (CET)

Irgendwie ist Dein letzter Kommentar entbößend: Lies Dir mal z.B. S.87 in dem Buch durch, das ich in der Literaturliste angebe (oder irgendein anderes). Dann wird Dir vielleicht klar, wie man sich einen pushforward von Vektorfeldern "bastelt"/wann es einen gibt. Und dann -vielleicht- wird Dir klar, was das mit dem pushforward von einzelnen Tangentialvektoren zu tun hat (hint: eine Namensunterscheidung macht keinen(!) Sinn). Die Thematik hier explizit durchzuackern, da fehlt mir einfach die Zeit zu.--Paul Wenk 13:11, 10. Feb 2006 (CET)

Natürlich hängen die beiden Begriffe sehr eng zusammen (allerdings hat jede Abbildung ein Differential, während man einen push-forward für Vektorfelder nur entlang eines Diffeomorphismus vernünftig definieren kann). Aber selbst die von Dir angegebenen Quellen verwenden doch zwei verschiedene Bezeichnungen.--Gunther 13:21, 10. Feb 2006 (CET)

???:

Sei $F:M\rightarrow N$ eine glatte Abb.. Sei Y ein Vektorfeld(VF) auf M. Dann gibt es für jeden $p\in M$ ein Tangentialvektor $F_{*}Y_{p}\in T_{F(p)}N$. Ob diese mittels pushforward $F_{*}$ gegebenen Tangentialvektoren nun auf N ein VF definieren ist nicht gegeben: NUR, wenn F ein Diffeo. ist. WO bitte tut sich hier für Dich ein Problem auf (das ein pushforward von VF nicht notwendig ein VF ergibt sollte klar sein: das ändert nichts daran, dass ein pushforward von einzelnen Tangentialvektoren im $\mathbb {R} ^{n}$ dem DF des euklidischen Raumes entspricht. Merkst Du jetzt, bei der Ausweitung auf VF, wie sinnvoll der Begriff ist?)--Paul Wenk 13:50, 10. Feb 2006 (CET)

Und was soll der push-forward eines Vektorfeldes im allgemeinen Fall sein? Eine durch M parametrisierte Familie von Tangentialvektoren an N?--Gunther 14:22, 10. Feb 2006 (CET)

Kleine Statistik:

• Differential: Kuwert, Wallner
• Tangentialabbildung: Rivière, Salamon
• Ableitung: Ballmann
• push-forward: Lee

Nochmal zur Erinnerung: Es geht nicht darum, wie eng Deiner (oder meiner) Meinung nach die Beziehung zwischen der induzierten Abbildung auf den Tangentialräumen und dem push-forward von Vektorfeldern ist. Aber für die genannten Autoren (bis auf Lee) ist der Unterschied offenbar ausreichend, um unterschiedliche Bezeichnungen zu wählen.--Gunther 14:22, 10. Feb 2006 (CET)

Das ist Kritik, die ungenauem Lesen meiner Kommentare entspringt:

Meine Links beziehen sich auf die Aussage, dass "der Begriff Pushforward den Wissenschaftlern sowie Studenten nicht so fremd ist". Zunächst sagtest du: " 'push-forward' erscheint mir unüblich und unnötig", woran Du nun, bei der Betrachtung von VF, wohl nicht mehr festhältst. Noch schlimmer: Du sagst, bei VF fällt Dir kein anderer Begriff ein und bei Vorwärtsdrücken(!) von Tangentialvektoren bist Du mit dem NAHELIEGENDSTEN Begriff pushforward unzufrieden, denn, so greifst Du es ja aus meinen Links heraus, es bestünde ein Wust aus anderen Bezeichnungen. Jetzt frage ich Dich, was wohl mehr Sinn mach bzgl. der Namensgebung. Vorallem: Ich habe den Deiner Meinung nach "üblichen" Begriff nicht vergessen: es steht doch auf der Seite geschrieben und damit ist der ÜBLICHKEIT auch genüge getan?! (und die Frage: "Und was soll der push-forward eines Vektorfeldes im allgemeinen Fall sein" meinst du hoffentlich nicht ernst. Was wohl.Du sagst es.)--Paul Wenk 14:58, 10. Feb 2006 (CET)

Mir erschien "pushforward" als Bezeichnung für die Abbildung $T_{p}M\to T_{f(p)}N$ unüblich, und die Literaturlage scheint das bislang zu bestätigen. Dass Du ihn naheliegend findest, ist wie gesagt egal. Beim Begriff "Immersion" (um den es hier ja ursprünglich ging) denke ich übrigens nicht an Vektorfelder, u.a. eben deshalb, weil der Pushforward als Vektorfeld nicht richtig funktioniert (und vermutlich auch deshalb, weil ich nun einmal kein Diffgeometer bin). (Wie ich Deine Antwort auf meine Fragen interpretieren soll, ist mir nicht klar. Ich soll wirklich diese Familien von Tangentialvektoren betrachten? Wer tut das außer Dir?)--Gunther 15:15, 10. Feb 2006 (CET)

"Wer tut das außer Dir?". Du sicherlich nicht, denn Du scheinst wirklich keine Ahnung von dem zu haben über das Du sprichst-->"weil der Pushforward als Vektorfeld nicht richtig funktioniert"

Hier fällt Dir nicht einmal auf, wie wenig Sinn diese Aussage hat. Schade, aber was nützt da eine Diskusion...--Paul Wenk 15:28, 10. Feb 2006 (CET)

Ok, fassen wir zusammen: Dich nervt die Diskussion, mich nervt die Diskussion. Es gibt hier nun einmal den Konsens, sich an Bezeichnungsstandards zu halten, und nach bisheriger Literaturlage ist die Bezeichnung "Pushforward" für die Abbildung $T_{p}M\to T_{f(p)}N$ nicht Standard, zumindest nicht im deutschsprachigen Raum. Entweder Du bringst noch irgendwelche Belege, oder ich ändere das wieder, egal, ob ich Ahnung habe oder nicht.--Gunther 15:36, 10. Feb 2006 (CET)

[[17]] (glaube S.13)

"ich ändere das wieder, egal, ob ich Ahnung habe oder nicht"...das ist wahre Demokratie!--Paul Wenk 16:04, 10. Feb 2006 (CET)

Die Wikipedia ist keine Demokratie. Dass wir hier keine Nicht-Standard-Begriffe propagieren, ergibt sich aus WP:WWNI Punkt 2. Deine Literaturangabe überzeugt mich immer noch nicht: Es wird nur der Spezialfall von Überlagerungen betrachtet, und da ist vieles einfacher (z.B. gibt es tatsächlich einen globalen Pushforward $\Gamma _{c}TN\to \Gamma TM$).

Aber egal, meinetwegen kann das hier weiterhin Pushforward genannt werden. Nur für den Artikel Pushforward würde ich mir dann doch ein anderes Lemma wünschen, weil nun einmal alles mögliche andere auch nach vorne geschoben werden kann (vgl. z.B. [18]). Zum Vergleich: Pullback.--Gunther 16:52, 10. Feb 2006 (CET)

Ich bin einverstanden. Ich werde mich, wenn ich wieder ein wenig mehr Zeit habe, ausführlich mit der Ausarbeitung des in der Tat dünnen Beitrags Pushforward beschäftigen (wenn mir nicht jemand zuvor kommen sollte) und dort versuchen diese Ungereimtheiten (so üblich wie möglich) zu klären (auch was Begriftsbildung angehet; wir haben ja schon einiges an Material zusammengetragen-s.o. :-)  :

• Pushforward von Tangentialvektoren (ergibt Tangentialvektoren)
• Pushforward von Vektorfeldern und wann wieder VF entstehen, wann nicht. Vielleicht ein schönes Bild dazu.
• Pushforward generell in verschiedenen Gebieten der Mathematik/Physik

schön!

Also ich mag zwar nur ein kleiner dummer Physikstudent sein, aber ich höre gerade Differentialgeometrie I und sowohl die englische Wikipedia als auch das von unserem Dozenten empfohlene Buch (die englische Übersetzung von do Carmos Geometria Riemanniana) verwenden die Bezeichnung "differential". Ich stimme auf der einen Seite damit überein, dass diese 1:1-Übertragung eines Begriffes aus dem R^n bei Anfängern (wie mir!) Verwirrung hervorrufen kann. Auf der anderen Seite handelt es sich aber beim "Differential" um einen etablierten Begriff der Differentialgeometrie, und man sollte zumindest erwähnen, dass er an dieser Stelle anstelle des "Pushforwards" verwendet werden kann, um vollständige Verwirrung zu vermeiden. Ich selber traue mir diese Umformulierung nicht zu, da ich von der Materie, wie gesagt, (noch) nicht so viel Ahnung habe, aber ich würde es mir doch sehr wünschen. Abgesehen davon würde ich das etablierte und ins deutsche Laut- und Grammatiksystem eingepasste lateinische Lehnwort "Differential" in der deutschsprachigen Wikipedia immer einem recht unschön klingenden Anglizismus wie dem "Pushforward" vorziehen, aber das ist natürlich nur meine persönliche Einstellung. Gibt es für den Pushforward vielleicht einen deutschen Begriff wie z.B. den Rückzug (für "Pullback")? --Lycidas 00:41, 22. Okt. 2006 (CEST)

Beispiel

hallo, ich werf da einfach auch mal was in den raum: wäre es irgendjemandem möglich ein verständliches beispiel dazu zu formulieren und soweit möglich auch mit skitzzen zu erläutern. --tb (nicht signierter Beitrag von 84.164.87.136 (Diskussion) 08:53, 25. Apr. 2011 (CEST))

Frage

Im Abschnitt "Immersion in Mannigfaltigkeiten" wird die Bedingung dafür formuliert, dass eine Abbildung zwischen zwei Mannigfaltigkeiten eine Immersion ist:

$\operatorname {rang} F_{p}=\dim(\operatorname {Bild} (T_{p}F))=\dim M.$

(nicht signierter Beitrag von Pascal.vollmer.fr (Diskussion | Beiträge) 21:26, 5. Feb. 2018 (CET))

Wo ist die Frage? --Digamma (Diskussion) 21:37, 5. Feb. 2018 (CET)

Wenn ich John M. Lee, 2013, S. 77-78 richtig verstehe, ist Immersion gegeben wenn

$\operatorname {rang} F=\dim(\operatorname {Bild} (F_{*}))=\dim M.$

unter der Voraussetzung dass $\operatorname {rang} F_{\text{*p}}$ für alle $p$ gleich ist. Richtig?