Diskussion:Kosinussatz

Schluss von Kosinussatz auf den Satz des Pythagoras

Aus dem Kosinussatz auf den Satz des Pythagoras zu schließen ist unzulässig, da dieser ja zum Verweis des Kosinussatzes verwendet wird. Der angegebene Beweis gilt zudem nur für spitzwinklige Dreiecke.

Der Rückschluss auf den Pythagoras soll ja auch nur zeigen, dass der Cosinussatz eigentlich nur eine Verallgemeinerung des Pythagoras ist, bzw der Pythagoras ein Spezialfall des Cosinussatzes

Bild im Beweis

Das Bild im Beweis nutzt ein rechtwinkliges Dreick, was eine unnötige Spezialisierung ist. Das Bild sollte besser das Dreieck am Anfang des artikels aufgreifen. (nicht signierter Beitrag von 79.192.3.154 (Diskussion) 17:42, 26. Feb. 2011 (CET))

nein

Beweis

Hier eine unvollständige, verbesserungsbedürftige Beweisskizze (für die Version des Satzes mit Winkel alpha statt gamma):

Du hast kein rechtwinkliges Rechteck gegeben und musst deshalb zuerst die Teilstrecke p auf der Seite c berechnen.

$\cos \alpha ={Ankathete \over Hypotenuse}={p \over b}$ Man muss dann nach p auflösen

Danach muss die Teilstrecke q auf der Seite c berechnen $q={c-b\cdot \cos \alpha }$ Jetzt musst du die Höhe mit dem Satz des Pythagoras berechnen $h^{2}={b^{2}-p^{2}}$ Löse nach h auf

Berechne nun die Seite a

Um Überarbeitung wird gebeten

Ich hab da mal nen beweis reingetan ...
Ich hoffe der ist einiegermaßen verständlich.
Nerezza

hallo... kann mir jemand hier den kosinussatz nach c² aufgelöst in worten verfassen?! bitte schnell und am besten gleich noch ein Anwendungsbeispiel für den kosinussatz mitliefern

Man sollte den Beweis noch für Winkel größer 90° vervollständigen!

Kosinussatz

Das Quadrat einer Seite ist gleich der Summe der beiden anderen Seiten vermindert um das doppelte des Kosinuses des von den beiden Seiten eingeschlossenen Winkels.

Anwendungsbeispiel

Meiner Meinung nach ist die Formel, die in dem Bild angeben ist, nicht ganz richtig. Normalerweise müsste doch das Quadrat der dem Winkel gegenüberliegende Seite subtrahiert werden, nicht die andere Seite. Wie sollte man auch die zwei Seiten, die am Winkel liegen, unterscheiden können?

Mfg SeMü

Ich pflichte dem letzten Kommentar bei. Bei der Beschreibung der Formel ist offensichtlich ein Dreher passiert.

Beweis

Unter der Überschrift Beweis steht "Variante 1", kann jedoch nirgends eine weitere Variante finden. Würde das daher weglöschen...

Vektorenschreibweise

Ich halte die Verwendung von Vektoren ohne weitere Erklärung für keine gute Idee. Ich finde es nicht gut, wenn das gleiche Zeichen ${\vec {b}}$ einmal für ${\overrightarrow {AC}}$ und einmal für ${\overrightarrow {CA}}$ steht. Das entscheidende hier scheint das Wörtchen "Bezugsvektor" zu sein, das nicht erklärt wird. Deshalb würde ich vorschlagen, die Vektoren in der Einleitung einfach durch die entsprechenden Seiten zu ersetzen (das suggeriert dann auch nicht, dass man wissen muss, was Vektoren sind, um den Kosinussatz zu verstehen) und unter "Kongruenzsätze" $2{\vec {b}}\,{\vec {c}}$ durch ${\overrightarrow {AC}}\,{\overrightarrow {AB}}$ zu ersetzen. Einwände dazu? --131.234.106.197 11:13, 5. Nov. 2008 (CET)

Beweis durch Vektorrechnung

Man könnte auch noch den wesentlich einfacheren Beweis durch Vektorrechnung einbringen:

1. ${\vec {c}}={\vec {b}}+{\vec {a}},\quad {\vec {a}}={\vec {c}}-{\vec {b}}$

2. $({\vec {a}})^{2}=({\vec {c}})^{2}+({\vec {b}})^{2}-2\cdot {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$

3. ${\,}a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma$

Hier leicht andere Bezeichnungen verwendet, allerdings nicht wirklich relevant und leicht anpassbar. (nicht signierter Beitrag von 87.172.244.24 (Diskussion | Beiträge) 18:23, 2. Jan. 2010 (CET))

Dies koennte man wenigstens ergaenzen, weil es breits vorher erwaehnt wird und fuer viele einfacher sein keonnte:

Die 2-Norm entspricht der Wurzel aus dem Skalarproduct im euklidischen Vectorraum $\|{\vec {a}}\|_{2}^{2}=\langle {\vec {a}}|{\vec {a}}\rangle$. ${\begin{array}{ccc}\|{\vec {a}}\|^{2}=\|{\vec {b}}-{\vec {c}}\|^{2}=\|{\vec {b}}\|^{2}+\left\|{\vec {c}}\right\|^{2}-2\,{\vec {b}}\,{\vec {c}}&\Leftrightarrow &a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\,b\,c\,\cos \alpha \\\|{\vec {b}}\|^{2}=\|{\vec {a}}-{\vec {c}}\|^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}+\left\|{\vec {c}}\right\|^{2}-2\,{\vec {a}}\,{\vec {c}}&\Leftrightarrow &b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\,a\,c\,\cos \beta \\\left\|{\vec {c}}\right\|^{2}=\|{\vec {a}}-{\vec {b}}\|^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}+\|{\vec {b}}\|^{2}-2\,{\vec {a}}\,{\vec {b}}&\Leftrightarrow &c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\,\cos \gamma \end{array}}$ (nicht signierter Beitrag von 94.220.129.27 (Diskussion) 07:47, 14. Okt. 2010 (CEST))

Bitte schnell in den Artikel! Siehe en. wiki dort steht es auch!--92.203.83.193 00:32, 25. Apr. 2012 (CEST)

Weitere Gleichung

In Formelsammlung_Trigonometrie#Kosinussatz steht noch:

$a^{2}+bc\ \cos \alpha =b^{2}+ca\ \cos \beta =c^{2}+ab\ \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}$

sollte das nicht auch noch hier im Lemma erwähnt werden? Wie kommt man eigentlich da drauf? (ich kann es trotz langer Versuche - als Laie - nicht herleiten) --ILA-boy 11:54, 6. Sep. 2011 (CEST)

Herleitung: Aus $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$ folgt durch Addition von $a^{2}+2bc\cos \alpha$ auf beiden Seiten $2a^{2}+2bc\cos \alpha =a^{2}+b^{2}+c^{2}$. Jetzt braucht man nur noch auf beiden Seiten durch 2 teilen. --Boobarkee 14:05, 5. Dez. 2011 (CET)

Beweis ohne Winkelfunktionen?

Ich verstehe nicht ganz, was ein Beweis ohne Winkelfunktionen sein soll, wo doch in der Aussage (und im Namen) des Kosinussatzes eine Winkelfunktion - nämlich der Kosinus - vorkommt. Der Beweis selbst ist mir nicht verständlich geworden, d.h. mir ist nicht klar geworden, was der Punkt sein soll. Er beginnt mir einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Warum? Wird hier über Konstruierbarkeit geredet? Doch eigentlich nicht. Dann taucht dann plötzlich wieder der Kosinus und damit eine Winkelfunktion auf, dann wird plötzlich der große Fermat zitiert und plötzlich sind irgendwelche Seitenlängen ganzzahlig, was mit dem Kosinussatz an sich doch eigentlich nichts zu tun hat. Man kann beweisen, dass für a^p+b^p=c^p für ganzzahlige p>2 folgendes gilt... Kann man das? Hat das etwas mit dem Kosinussatz zu tun? Gibt es solche a,b,c überhaupt? Ich dachte, Fermat sagt, nein. Soll das also ein Beweis für den großen Fermat werden?

Ich vermute, hier geht es gar nicht um einen Beweis des Kosinussatzes, sondern mehr um eine Umformulierung, die ohne den Kosinus auskommen soll mit anschließender zahlentheoretischer Anwendung, die ich aber nicht verstehe.

Ich werde diesen "Beweis", der ja nichts beweist, zumindest nicht den Kosinussatz mal entfernen. Wenn ich gerade einfach nur nicht sehe, wie dieser Beweis funktioniert, kann ja jemand den Beweis wieder hineinsetzen. --130.83.2.27 15:17, 17. Jan. 2013 (CET)

Wenn ich das richtig verstehe, lässt sich Kosinussatz (oder vielleicht besser: ein zum konventionellen Kosinussatz äquivalente Aussage) auch mit Hilfe von Streckenverhältnissen formulieren ohne die explizite Verwendung von Winkelfunktionen. Prinzipiell kann man so was für alle trigonometrischen Lehrsätze (in der Geometrie) machen, da winkelfunktionen ja über Strechenverhältnisse definiert sind.

Man kann durchaus überlegen so etwas in den Artikel einzubauen, allerdings finde ich aktuellen Ansatz im Beweisabschnitt auch nicht besonders glücklich und eher verwirrend für Leser, daher habe ich nichts dagegen, wenn das vorläufig entfernt wird.--Kmhkmh (Diskussion) 15:28, 17. Jan. 2013 (CET)

Der Abschnitt war ziemlich unsinnig und wurde mit Recht gelöscht. Die Aussage

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-u^{2}+2xy$

ist eine rein algebraische Aussage, die sich aus den Definitionen $u=a+b-c$, $x=b-u$, $y=a-u$ ergibt. Sie macht aber weiter keine Aussage über das Dreieck. Das Wesentlich am Kosinussatz ist ja, dass er einen Zusammenhang zwischen den Streckenlängen und einem Winkel im Dreieck herstellt. Die Aussage des Abschnitts stellt auch keine Bezeihung her zu Streckenlängen, die den Kosinus des Winkels definieren. --Digamma (Diskussion) 11:02, 20. Jan. 2013 (CET)

Neues Bild

Ich habe gerade mal wieder ein Bild (meiner Meinung nach) schöner gemacht:

• 
  Altes Bild
• 
  Neues Bild
• 
  Älteres Bild von mir, aber sehr ähnlich

Da ich niemanden auf die Füße treten will, die Bilder sehr ähnlich sind und ich voreingenommen bin welches Bild besser ist, überlasse ich es anderen zu beurteilen ob man das alte Bild durch mein neues ersetzen sollte.

Was ich an meinem Bild besser finde: Die gefüllte Fläche macht es leichter das Dreieck zu erkennen. Die farbigen Winkel und die Position der Beschriftungen der Winkel finde ich auch besser. Ich habe viele Bilder dieser Art im Bereich Dreiecksgeometrie gemacht und bin (hoffe ich zumindest) konsistent mit den anderen Bildern. Und auch die Lizenz finde ich besser, da sie mehr Möglichkeiten gibt.

Wie immer gilt natürlich, dass ich Änderungswünsche gerne berücksichtige.

@Digamma:@Kmhkmh:@Quartl: Eure Meinung? By the way, stören euch die Pings? Ich finde das praktisch, weil die Wikipedia mit den "Beobachtungen" leider nicht so toll ist, aber ich weiß ja nicht wie ihr das handhabt. --Martin Thoma 07:40, 9. Nov. 2015 (CET)

Mir gefällt das rechte (dein älteres) Bild am besten. --Digamma (Diskussion) 21:02, 10. Nov. 2015 (CET)