Diskussion:Kritischer Punkt (Mathematik)

Sollte nicht anstatt die Frage zu klären, wo und wann ein solcher kritischer Punkt vorkommt, ersteinmal gesagt werden, was ein kritischer Punkt ist? --Saperaud ☺ 19:24, 13. Okt 2005 (CEST)

Wer soll das bitte Verstehen?

Dieser Artikel ist für alle Menschen, die in der Oberstufe sind interessant, aber leider total unverständlich! Es fehlt der Speziallfall für $\mathbb {R}$ . Für eine differenzierbare Abbildung aus der 10. Klasse $f:U\subseteq \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ gilt x ist ein kritischer Punkt, genau dann, wenn f'(x)=0 gilt. Das folg aus der angegebenen Allgemeinen Definition. -- Washbag 02:14, 14. Jun. 2009 (CEST)

Huch, mir ist das Begriff kritische Punkt in der Schule nie über den Weg gelaufen. Es stimmt, dass dieser Artikel an Stundeten des 2./3. Semesters gerichtet ist. Ich schaue mal ob ich es etwas verständlicher machen kann. Jedoch viel mehr als die Definition, die du ansprichst, steckt auch nicht in dem Artikel. --Christian1985 10:32, 14. Jun. 2009 (CEST)

Ja stimmt in der Schule untersucht man Funktionen auf Extremstellen, dann kann man auch diesen Begriff einführen. Naja ich habe zumindest mal ein kleines Beispiel eingefühgt. Wie man die Definition verständlicher machen soll, ist mir leider schleierhaft. Kritische Punkte werden eigentlich erst interessant im Zusammenhang mit differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, aber davon steht ja in der Definition gar nichts. --Christian1985 11:02, 14. Jun. 2009 (CEST)

Egal ob man den Ausdruck in der Schule Benutzt oder nicht, es gibt viele Seiten die hier her führen. Zum Beispiel der Artikel Sattelpunkt,dass Thema hat wohl fast jeder in der Schule, und der erste Link vom Sattelpunkt-Artikel führt auf diesen Artikel. Das Beispiel ist zwar okay aber ich denke, dass niemand der auf eine Oberschule/Mittelstufe ist, sich bis zum Beispiel durchlesen wird. Ich würde vorschlagen den Artikel so abzuändern, dass er das Format vom Artikel Extremwert bekommt. Also mit einer einfachen Beschreibung Anfangen, dann die Definition sowie ein Beispiel für den Eindimensionalen Fall und dann nochmal Extra für den Mehrdimensionalen Fall.

PS: Ich bin neu hier, ich weiß nicht wie man das so handhabt, aber soll ich jetzt z.B. einfach die Seite verändern wie ich denke dass es richtig wäre? Oder muss ich hier auf ein paar Zustimmung warten? -- Washbag 13:36, 14. Jun. 2009 (CEST)

Wikipedia ist ja dafür da, dass jeder Änderungen machen darf. Jedoch ist es sinnvoll bevor man größere Änderungen macht, dies auf der Diskussionsseite anzusprechen. Denn es kann sein, dass jemand die Bearbeitung wieder rückgängig macht und man evtl. viel Arbeit umsonst gemacht hat. Ich muss sagen ich finde den Artikel Extremwert nicht so gelungen. Der eindimensionale Fall ist sehr ausführlich und zum mehrdimensionalen Fall steht dort fast nichts! Warum? Vermutlich weil für den mehrdimensionalen Fall fast genau dieselben Aussagen gelten und es wenig Sinn macht dies alles nochmal zu wiederholen. Jedoch ist das Artikel so sehr unvollständig. Wenn wir hier nun die Fälle reelle Zahlengerade, n-dimensionaler reeller Raum und diff. Mannigfaltigkeit betrachten, wird der Artikel recht lang mit sehr wenig Inhalt. Was hällst du davon wenn man einen Abschnitt "Motivation" schreibt, in dem der 1-dim. Fall etwas weniger formal und dafür mit einem Bild beschrieben wird und die formale Definition bleibt so, wird aber erst danach angeführt. --Christian1985 13:55, 14. Jun. 2009 (CEST)

Viele Mathe Artikel auf Wiki folgen dem Prinzip 1. Für den einfachsten Fall etwas zu Definieren, und es danach zu Verallgemeinern. Wie z.B. bei Stetigkeit Differenzierbarkeit oder halt bei dem Extremwert Artikel. Ich stimme dir zu, der Mehrdimensionale Teil ist etwas kurz gekommen in diesem Artikel, aber trotzdem halte ich es für Wichtig den Eindimensional Fall ausführlich zu behandeln. Ich glaube so wie es hier steht, verstehen viele nicht was jetzt genau ein kritischer Punkt ist(besonders Oberschüler die eigentlich nur wissen wollen, was ein Sattelpunkt ist). Deshalb denke ich sollte man die Seite wie folgt aufbauen: Nach dem Einleiten Satz die Definition für den Eindimensionalen Fall, (Das sind ja so grob 2 Zeilen), dann die Definition für den Mehrdimensionalen Fall (Hier dann als Überschrift: Verallgemeinerung im Mehrdimensionalen). Den einleitenden Satz find ich ein bisschen zu sehr an Mathestudenten gerichtet, wüsste jetzt aber auch kein besseren, der einem Wikipedia-Artikel gerecht wäre. Deine Idee für den Abschnitt Motivation ist vielleicht ein guter Ersatz für den einleitenden Satz? -- Washbag 16:32, 14. Jun. 2009 (CEST)

Ja der Artikel Stetigkeit ist überzeugend. Probieren wir es hier so ähnlich? Zu dem Einleitungssatz können wir danach schauen, was angemessen erscheint. --Christian1985 17:37, 14. Jun. 2009 (CEST)

stationärer Punkt

Also ich habe im englischen Wiki eine Unterscheidung von stationären und kritischen Punkten gesehen. http://en.wikipedia.org/wiki/Stationary_point http://en.wikipedia.org/wiki/Critical_point_%28mathematics%29 Es scheint nur eine Kleinigkeit zu sein, aber ein kritischer Punkt ist demnach ein stationärer Punkt oder ein Punkt in dem keine Ableitung existiert. (nicht signierter Beitrag von 77.24.32.235 (Diskussion | Beiträge) 15:18, 8. Apr. 2010 (CEST))

Hm.. das ist wohl einfach nur eine Benennungssache. Und das wichtigste in den englischen Artikeln fehlt und zwar die Literaturangaben, in welche so differenziert wird. --Christian1985 15:23, 8. Apr. 2010 (CEST)

Könntet ihr das bitte klären, ich bin auch darüber gestolpert! --92.203.47.202 18:27, 4. Aug. 2011 (CEST)

Fehler in der Definition (?)

Die Definition, die ich kenne und die ich im englischen Artikel wieder finde, ist, dass p ein kritischer Punkt ist, wenn die Ableitung nicht maximalen Rang hat. Ist die Dimension des Zielraums mindestens so groß wie die des Definitionsbereichs, so ist das dasselbe, wie zu sagen, dass die Ableitung im Punkt p surjektiv ist.

Hat der Zielraum aber eine größere Dimension als der Definitionsbereich, so gibt es nach der Definition hier gar keine regulären Punkte. Das entspricht nicht dem üblichen Gebrauch, nach dem bei einer Immersion jeder Punkt regulär ist. --Digamma 16:34, 22. Mai 2010 (CEST)

Der engl. Artikel ist in sich widersprüchlich: in mehreren Dimensionen spricht er von einem krit. Pkt., wenn alle partiellen Ableitungen verschwinden;

Nur bei reellwertigen Funktionen (Zielbereich = $\mathbb {R}$)

bei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten hingegen, falls die Ableitung nicht den max. Rang hat.

Auch bei Abbildungen nach $\mathbb {R} ^{n}$

Der deutsche Artikel ist zumindest in sich konsistent. Und dass bei dieser Def. Immersionen i.d.R. nicht steht explizit drin.

Allerdings: bei einer Immersion davon zu sprechen, dass sie nur stationäre Punkte besitzt, widerspricht dem gängigen Begriff von stationär (=lokal keine Veränderungen). Grüße --Boobarkee 09:33, 23. Mai 2010 (CEST)

Sorry, dass ich meine Antwort einfach eingeflickt habe, aber das war am leichtesten.

Im englischen Artikel geht es nur um (1-dimensionale) Funktionen mehrerer Veränderlicher mit Werten in $\mathbb {R}$. Nur im letzten Abschnitt "Definition for maps" geht es um Abbildungen von $\mathbb {R} ^{m}$ nach $\mathbb {R} ^{n}$ bzw. zwischen Mannigfaltigkeiten. "Stationär" bedeutet meines Erachtens immer "alle Ableitungen" sind Null. Ich habe gerade in das Buch von Bröcker und Jänich, Einführung in die Differentialtopologie geschaut. Die definieren das wie hier: Ein Punkt $p\in M$ heißt regulär, wenn das Differential $T_{p}f$ surjektiv ist. --Digamma 10:40, 23. Mai 2010 (CEST)

Stimmt, Du hast Recht: Im engl. Artikel geht es an der von mir zitierten Stelle nur um Abb. $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$. Damit widerspricht sich der engl Artikel nicht selbst. Dennoch bleibt der Widerspruch zwischen deutscher und engl. WP, bzw. zwischen Bröcker/Jähnich und dem Begriff "stationär" oben. Vielleicht sollte man auf unterschiedliche Begrifflichkeiten im Artikel zumindest in einer Randbemerkung eingehen. Grüße --Boobarkee 10:58, 23. Mai 2010 (CEST)

Spricht man bei differenzierbaren Abbildungen überhaupt von „stationären Punkten“? Belege finde ich nur für Funktionen (d.h. nach R oder C), wie etwa hier bei Seifert/Threlfall. Vielleicht ist das ein Begriff, der vor allem in der Variationsrechnung verwendet wird?

Zu den „kritischen Punkten“: Da gibt es vermutlich abweichende Definitionen. Die hier gegebene ist z.B. für den Satz von Sard wichtig. Der wäre sonst zwar auch richtig, aber viel schwächer. --Momotaro‖♨ 12:57, 25. Mai 2010 (CEST)

Das mit dem Lemma von Sard hat mit überzeugt. Anscheinend hat mich meine Erinnerung getäuscht. --Digamma 15:43, 25. Mai 2010 (CEST)

Dann sollte man den 1. Satz entsprechend abändern: "Eine stetig differenzierbare Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten besitzt an einer Stelle einen kritischen oder stationären Punkt, falls dort das Differential nicht surjektiv ist." --Boobarkee 13:25, 25. Mai 2010 (CEST)

Da sollte noch mehr geändert werden. Gleich von Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten zu sprechen erfüllt bestimmt nicht den Oma-Test. --Digamma 17:57, 25. Mai 2010 (CEST)

Rechtschreibung

... nennt man ihn kritischen beziehungsweise stationären Wert, sonst: regulären Wert. (???) 82.75.140.46 10:51, 21. Sep. 2011 (CEST)

Stört dich der Doppelpunkt oder der Akkusativ? --Momotaro‖♨ 13:30, 21. Sep. 2011 (CEST)

Jüngste Änderungen

@Benutzer:Fenrisulfir, ich habe überhaupt nichts dagegen, den Artikel elementarer zu gestalten, und möchte dich nicht entmutigen. Dann kann aber auch der erste Satz "Eine stetig differenzierbare Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten besitzt an einer Stelle einen kritischen oder stationären Punkt, falls dort das Differential 0 ist." so nicht stehen bleiben. Denn für Mannigfaltigkeiten ist das in dieser Form falsch. Es gilt nur für Funktionen nach $\mathbb {R}$. Man müsste den ersten Absatz komplett neu schreiben und die allgemeinere Definition für Mannigfaltigkeiten weiter nach unten schieben. Dein Ergänzungen sind dazu sicher ein geeigneter Anfang. Ich habe sie deswegen zurückgesetzt, weil die Aussagen in dieser Form aber falsch sind und der ganze Absatz inkonsistent ist. Bitte lasse dich davon aber nicht entmutigen. --Digamma (Diskussion) 10:27, 26. Jan. 2014 (CET)

kritischer Punkt vs. stationärer Punkt

Also in der mir zur Verfügung stehenden Literatur wird ausschließlich von stationärer Punkt oder stationärer Stelle gesprochen. Kritischer Punkt wird nicht erwähnt. Handelt es sich dabei evtl. um unterschiedliche Begriffe? Stichwort: Funktionen von R nach R und Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten[[Fenrisulfir (Diskussion) 20:36, 27. Jan. 2014 (CET)]]

Auf die Schnelle: Barner/Flohr, Analysis I schreibt für den Fall $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$: "Ist $f$ differenzierbar und gilt $f'(a)=0$, so heißt a kritische Stelle von $f$." (S. 271). Jänich, Einführung in die Differentialtopologie schreibt für differenzierbare Abbildungen $f\colon M\to N$ zwischen Mannigfaltigkeiten: "Ein Punkt $p\in M$ heißt regulär, wenn das Differential $T_{p}f$ surjektiv ist. ... Statt "nicht regulär" sagt man auch singulär oder kritisch." (S. 49) --Digamma (Diskussion) 21:11, 27. Jan. 2014 (CET)

Die Begriffe stationärer Punkt und kritischer Punkt sind zu trennen. Ein stationärer Punkt ist doch im Prinzip ein Wendepunkt, Nulldurchgang, Minimum bzw. Maximum einer Funktion. Was ein kritischer Punkt sein soll ist mir dagegen Schleierhaft. So wie der Artikel momentan formuliert ist kann man sich da nichts drunter vorstellen eventuell geht es auch nicht ganz so hochgestochen. Es wäre schön wenn der begabte Leihe auch noch was versteht und die Herren Professoren hier nicht die gleiche quälende Sprache nutzen würden wie die mit der sie in den Hörsälen schon ihre Studenten quälen. Wikipedia sollte nicht nur zum Tummelplatz der Mathematikprofessoren verkommt denn dafür gibt es sicher fach Portale ;-). LG Stefan

Achja, eventuell sollte man einfach das Bild der englischsprachigen Seite zu diesem Thema mit hinzu nehmen da versteht man sofort was ein stationärer Punkt ist und die Diskussion über die Trennung der Themen gibt es dort auch. http://en.wikipedia.org/wiki/Stationary_point http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Stationary_point (nicht signierter Beitrag von 217.254.61.136 (Diskussion) 18:36, 10. Feb. 2014 (CET))

Ich habe nicht den Eindruck, dass du verstanden hast, was ein stationärer Punkt ist. Stationäre Punkte sind diejenigen x-Werte, an denen die Ableitung der Funktion 0 ist. Maximal- und Minimalstellen von differenzierbaren Funktionen gehören dazu, Wendepunkte und Nulldurchgänge jedoch nicht. --Digamma (Diskussion) 19:55, 10. Feb. 2014 (CET)