Diskussion:Laplace-Gleichung

Laplaceoperator solle ein eigener Artikel bleiben, aber

Die Loesung einer DGL gehoert schon in den Artikel dieser DGL und ist i.a. kein eigenstaendiger Artikel Wert. --Matthy 15:00, 9. Aug 2004 (CEST)

Mittelwertprinzip

Der kleine Absatz, der das Mittelwertprinzip beschreibt, soll wohl nur von Mathematikern verstanden werden, oder?! Ich studier zwar Physik, verstehe da aber echt nur Bahnhof.

Ich hoffe es ist jetzt (wenigstens einigermaßen) verständlich. Ich studiere auch Physik und weiß, dass der Mittelwertsatz ein echt harter Brocken ist. Merke: Integral über die Werte auf dem Rand durch die Oberfläche liefert den Wert im Zentrum --Shinji311 00:51, 25. Sep. 2010 (CEST)

Verschwindender Operator

Ob $\Delta f$ verschwindet oder der Operator $\Delta$ muß textlich im Artikel unterschieden werden. --Norbert Dragon 19:16, 11. Okt. 2008 (CEST)

Bedeutung in der Physik

Dies ist bei weitem nicht die einzige Anwendung. Der Abschnitt sollte ausgebaut werden!!! (nicht signierter Beitrag von 95.119.141.181 (Diskussion | Beiträge) 21:26, 25. Dez. 2009 (CET))

Dank an Shinji311

für diese schöne Artikelüberarbeitung. Gefällt mir sehr gut. --Zipferlak 23:29, 23. Sep. 2010 (CEST)

Danke, freut mich wenn ich etwas zur Wikipedia beitragen konnte. Sie hilft mir unglaublich bei meinem Studium da möchte ich auch etwas "zurückgeben". Und da das nun gerade das Kernthema meiner mündlichen Prüfung in dieser Woche war bot sich die Überarbeitung sehr an. --Shinji311 01:00, 24. Sep. 2010 (CEST)

Bei der weiteren Überarbeitung bist Du meiner Meinung nach übers Ziel hinausgeschossen und ich habe sie teilweise wieder rückgängig gemacht. Zum einen sind da die ausgeführten Beweise zur Eindeutigkeit. Im Portal:Mathematik haben wir uns darauf geeinigt, im wesentlichen Aussagen, Beweise nur im Ausnahmefall zubringen (siehe Portal:Mathematik/Projekt#Beweise). Entsprechend habe die diese wieder entfernt. Darüberhinaus sprengt auch der Abschnitt zur Lösung den Rahmen. Ich freue mich ehrlich sehr, dass das mit der Greenschen Funktion hier mal endlich ausgeführt wird, das war lange überfällig. Aber die Lösung in 2-D ist dann doch reines Rechnen ohne großen Erkenntnisgewinn für den Leser. Viele Grüße --P. Birken 13:22, 3. Okt. 2010 (CEST)

Vielen Dank für die Hinweise und die Korrekturen. Ich schreibe noch nicht lange hier da bin ich für so etwas sehr Dankbar. Die Lösung in 2-D gebe ich zu ist "nur" eine Rechenaufgabe, aber gerade wenn man wenig Erfahrung damit hat wird man da niemals drauf kommen. Und seien wir Ehrlich die meisten die das lesen werden sind Studenten die verzweifelt an Übungsaufgaben sitzen und nicht weiter wissen. Daher sollte dieser Teil in irgendeiner Form erhalten bleiben und das möglichst verständlich. --Shinji311 15:23, 4. Okt. 2010 (CEST)

Ja, ohne den Ansatz zu kennen kriegt man die Lösung nicht hin, aber zentrales Anliegen ist nunmal nicht, Übungsaufgabenlösungshilfe zu sein, sondern das wichtigste zur Laplace-Gleichung hier aufzuschreiben. Mein Vorschlag wäre: Den Ansatz nennen, ein, maximal zwei Zwischenschritte und dann das Ergebnis. Etwa: Ansatz, führt auf gewöhnliche DGLs, Lösung und finale Lösung. Was meinst Du? --P. Birken 18:55, 4. Okt. 2010 (CEST)

Ich hab diesen Abschnitt mal überarbeitet

Lösung in zwei Dimensionen

Grundlage bei dieser Lösung ist die Fouriermethode. Das Dirichlet-Problem wird dabei in Polarkoordinaten betrachtet

$\left\{{\begin{array}{rcll}\Delta \Phi (r,\phi )&=&0&{\textrm {in}}\ \Omega \\\Phi &=&\Phi (r_{0},\phi _{0})&{\textrm {auf}}\ \partial \Omega \\\end{array}}\right.$

und die gesuchte Funktion $\Phi (r,\phi )$ mittels der Trennung der Variablen in zwei unabhängige Funktionen gespalten. Der gewählte Ansatz lautet somit:

$\Phi (r,\phi )=v(r)\,w(\phi ).$

Die Einsetzung dieses Ansatzes in die Laplace-Gleichung und Nutzung eines Separationsansatzes führt das Problem auf zwei gewöhnliche Differentialgleichungen zurück.

Die Lösungen dieser gewöhnlichen Differentialgleichungen lauten:

$\left\{{\begin{array}{rcl}w(\phi )&=&c_{1,n}\cos(n\phi )+c_{2,n}\sin(n\phi )\ ,\\v(r)&=&d_{1}\,r^{n}+d_{2}\,r^{-n}\ .\\\end{array}}\right.$

Dabei sind $c_{1,n}\,$, $c_{2,n}\,$, $d_{1}\,$, $d_{2}\,$ Konstanten und $n={\sqrt {\lambda }}$, wobei $\lambda$ -die Konstante aus dem Separationsansatz- positiv und reell ist, wodurch (bei der Erlangung der Lösungen) die $2\pi$-Periodizität des Winkels erfüllt wird. Diese Periodizität kann auch als die Stetigkeit der Werte von $\Phi (r,\phi )$ auf dem Rand $\partial \Omega$ interpretiert werden.

Wäre $d_{2}\neq 0$, so würde in $r=0$ eine Singularität vorliegen, was wiederum der Stetigkeitsvoraussetzung in $\Omega$ widerspricht. Somit ist $d_{2}=0$.

Werden diese Lösungen in den oben gewählten Separationsansatz eingesetzt und nach dem Superpositionsprinzip über alle möglichen Lösungen aufsummiert, so ergibt sich die Lösung der Laplace-Gleichung,:

$\Phi (r,\phi )=\sum _{n=0}^{\infty }\Phi _{n}(r,\phi )={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }r^{n}(a_{n}\cos(n\phi )+b_{n}\sin(n\phi )).$

wobei $a_{0}\,$, $a_{n}\,$ und $b_{n}\,$ die Fourierkoeffizienten der Werte von $\Phi (r_{0},\phi _{0})$ sind.

denke mal, dass wir uns darauf einigen können. Ich finde es noch verständlich und es ist bei weitem nicht mehr so lang.--Shinji311 17:33, 9. Okt. 2010 (CEST)

Ja, finde ich viel besser, danke! Packst Du es rein? --P. Birken 13:03, 10. Okt. 2010 (CEST)

Fundamentallösung

Ich habe mir mal erlaubt, einen kurzen Abschnitt zur Fundamentallösung zu ergänzen, da ich dies für sinnvoll halte. Man sollte nichts vom Himmel gefallenes benützen und zumindest kurz erwähnen, wie sie gefunden wird. Natürlich lässt sich über Form und Inhalt diskutieren. Zusätzlich dazu: Wie sinnvoll ist es zu erwähnen, dass $\Gamma$ die analytische Fortsetzung der Fakultätsfunktion ist (besteht Notwendigkeit dafür in einem Artikel zur Laplacegleichung)? Außerdem habe ich eine -meiner Meinung nach- wichtige Quelle hinzugefügt (die sich auch schon beim Artikel zur Poissongleichung finden lässt; ein weiteres Projekt wäre, Notation hier und dort anzugleichen). Liebe Grüße, -- Mkoeberl (Diskussion) 14:03, 24. Mär. 2012 (CET)