Diskussion:London-Gleichung

Strom ohne Magnetfeld?

"Würde der Phasenanteil nicht eingehen, so würde das bedeuten, dass die Stromdichte ohne Magnetfeld Null sein müsste." Diese Anmerkung ist meiner Meinung nach nicht richtig. Die Stromdichte ohne Magnetfeld ist doch immer Null! Sobald Strom fließt, entsteht dadurch auch ein Magnetfeld (self field effect). Ergo: kein Magnetfeld - kein Strom! --Zyrill (Diskussion) 23:03, 11. Apr. 2013 (CEST)

Überarbeitung?

Hallo,
finde die Darstellung so weit ganz gut. Meine einzigen Kritikpunkte sind:
Erstens ist das nur eine von zwei London-Gleichungen. Die zweite London-Gleichung fehlt völlig, ihre Existenz wird nicht einmal erwähnt. Die London-Gleichungen gibt es ja in 1001 verschiedenen Varianten, ich kenne ${\vec {\nabla }}\times {\vec {j}}=...$ als 2. London-Gleichung. Die 1. lautet:

$\partial _{t}{\vec {j}}={\frac {q^{2}\psi _{0}^{2}}{m}}{\vec {E}}$

Zweitens fällt Gleichung Nr. 2 hier als Ansatz vom Himmel. Diese London-Gleichung ist nicht unbedingt etwas, was ich als "Postulat" bezeichnen würde, denn man kann diese Gleichung (in etwas vollständigerer Form) aus einem allgemeineren und leichter zu verstehenden Ansatz herleiten. Dazu sind allerdings ein paar Umformungsschritte nötig, weshalb ich mir nicht sicher bin, ob man das hier bringen kann. Aber der Vollständigkeit halber könnte es vielleicht in einen kleinen eigenen Absatz am Ende. Dann ist für den "fortgeschrittenen" Leser vielleicht auch etwas Interessantes mit dabei, an den man ja schließlich auch immer denken sollte. Ich poste es erst einmal hier auf der Diskussionsseite.

Makroskopische Wellenfunktion

Ansatz: Der supraleitende Zustand ist ein quantenmechanischer Zustand, der sich über makroskopische Längenskalen erstreckt. Er kann daher durch eine makroskopische Wellenfunktion beschrieben werden: $\psi ({\vec {r}})=\psi _{0}\,exp(i\,S({\vec {r}}))$

Dabei wird davon ausgegangen, dass $\psi$ eine konstante, reelle(!) Amplitude $\psi _{0}$ hat und nur die Phase S ortsabhängig ist. $|\psi _{0}|^{2}=\psi _{0}^{2}=n$ entspricht dabei der Teilchenzahldichte der Cooper-Paare. (Warum macht dieser Ansatz einer konstanten Amplitude Sinn? Die Cooper-Paare im Supraleiter sind alle negativ geladen und stoßen sich gegenseitig ab. Ein Ungleichgewicht der Teilchenzahldichte bedeutend also ein elektrisches Feld, was sofort ausgeglichen wird. Daher sollten die Cooper-Paare gleichmäßig über den Supraleiter verteilt sein.)

Für den Impulsoperator gilt dann: ${\hat {\vec {p}}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}-q{\vec {A}}$

Angewandt auf die Wellenfunktion $\psi$:

$m{\vec {v}}\psi ={\hat {\vec {p}}}\psi =(\hbar {\vec {\nabla }}S-q{\vec {A}})\psi$

Also:

${\vec {v}}={\frac {\hbar }{m}}{\vec {\nabla }}S-{\frac {q}{m}}{\vec {A}}$

Mit ${\vec {j}}=qn{\vec {v}}=q\psi _{0}^{2}{\vec {v}}$ folgt unmittelbar:

${\vec {j}}=\psi _{0}^{2}{\frac {q\hbar }{m}}{\vec {\nabla }}S-\psi _{0}^{2}{\frac {q^{2}}{m}}{\vec {A}}$

Das ist im Prinzip die Gleichung des Artikels, nur dass im Artikel der Beitrag der Phase fehlt.
Ferner folgt sofort die nächste Formel des Artikels (weil ${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}S=0$), sprich die 2. London-Gleichung:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {j}}=-\psi _{0}^{2}{\frac {q^{2}}{m}}{\vec {B}}$

Die 1. London-Gleichung folgt ebenfalls sofort daraus (die Phase ist nicht zeitabhängig und es gibt kein elektrostatisches Potential):

$\partial _{t}{\vec {j}}=-\psi _{0}^{2}{\frac {q^{2}}{m}}\partial _{t}{\vec {A}}=\psi _{0}^{2}{\frac {q^{2}}{m}}{\vec {E}}$

Hm, gut, in gewissem Sinne kann man ${\vec {j}}=...$ dann auch als "die London-Gleichung" bezeichnen, da man die beiden anderen daraus ableiten kann. Trotzdem sind diese beiden Gleichungen diejenigen, die mir in meinen bisherigen Vorlesungen als "London-Gleichungen" begegnet sind. Egal, auf jeden Fall sollten sie auftauchen, unter welchem Namen auch immer. Ferner sollte der vollständige Ausdruck für ${\vec {j}}$ gegeben sein - mit Herleitung. Ohne den Phasenanteil ist die Formel streng genommen sogar falsch, denn es würde bedeuten, dass ohne Magnetfeld die Stromdichte ebenfalls Null sein müsste. In der Realität kann der Phasengradient jedoch auch noch einen Beitrag zur Stromdichte leisten, der dann nicht zwangsweise Null sein muss.
Gruß, René 15. Nov 2005, 12.43 (CET)

Hallo,
da in den vergangenen Monaten niemand reagiert hat, habe ich die Initiative ergriffen und den Artikel ein wenig überarbeitet. Hoffe, alle sind damit zufrieden.
Gruß, René 08. Mär 2006, 23.07 (CET)

Hab mal ein paar Sachen verbessert bzw. präzisiert. Eine Sache hät ich da aber noch: Das die Teilchenzahldichte konstan ist ist IMHO das Postulat, das die Londons angesetzt haben. Im Gegensatz dazu haben ja eben Ginzburg und Landau eine räumlich variable Dichte angenommen, um die SL II Art und die Mischzustände in SL I Art zu erklären.

--84.190.192.160 15:18, 6. Feb. 2007 (CET)

Eindringtiefe

Ich hätte da noch eine winzige Korrektur. Rene, du solltest bei der Definition der Eindringtiefe, nicht die Elektronenladung e verwenden, sondern konsistent zu den obigen Gleichungen auch q benutzen. MFG Felicity15 12:32, 16. Dez. 2006 (CET)

Wurde korrigiert. Vielen Dank für den Hinweis. Gruß, René 12:42, 01. Feb 2007

Herleitung

Es fehlt die mikroskopische Herleitung ausgehend von der BCS-Theorie. 213.54.152.236 13:47, 23. Jan. 2013 (CET)

Kanonischer / Kinematischer Impulsoperator

Im Abschnitt "Herleitung der London-Gleichung über die makroskopische Wellenfunktion" wird der Operator ${\hat {\vec {p}}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}-q{\vec {A}}$ als kanonischer Impulsoperator bezeichnet und mit dem Ausdruck $m{\vec {v}}$ gleichgesetzt. Meines Wissens nach handelt sich dabei aber um den kinematischen Impuls, der im Gegensatz zum kanonischen Impuls eichinvariant ist und auch in den kinetischen Term der Schrödingergleichung eingeht. Der kanonische Impuls wäre dagegen ${\vec {p}}=m{\vec {v}}+q{\vec {A}}$.