Diskussion:Mächtigkeit (Mathematik)

Da die natürlichen ...

"Da die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen sind, gilt also:

$\mathbb {R}$ ist mächtiger als $\mathbb {N}$, $c:=|\mathbb {R} |>|\mathbb {N} |$."

Wieso gilt ">"? Aus der Teilmengenbeziehung folgt doch erstmal nur "=>". Dann geht aber der Zusammenhang zum Rest des Absatzes verloren... UncleOwen 17:47, 5. Nov 2005 (CET)

Das soll sich wohl auf den Satz davor und den Absatz im vorangehenden Abschnitt beziehen: Sie sind nicht gleichmächtig, und aus der Inklusion folgt ein $\geq$, also gilt >. Und nein, besonders geschickt ist diese Darstellung nicht. WP:SM!--Gunther 17:54, 5. Nov 2005 (CET)

Kardinalzahlen

"Da man leicht zeigen kann, dass die Gleichmächtigkeit von Mengen eine Äquivalenzrelation ist, ergibt die folgende Definition einen Sinn:"

wie kann mensch das zeigen?

(nicht signierter Beitrag von 84.184.98.152 (Diskussion) )

Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation mit den Eigenschaften (a) Reflexivität, (b) Symmetrie, (c) Transitivität. Für (a) wähle die identische Abbildung auf der fraglichen Menge, für (b) die Umkehrabbildung einer Bijektion $X\to Y$, für (c) die Komposition der Bijektionen $X\to Y$ und $Y\to Z$. Genügt das?--Gunther 21:11, 7. Dez 2005 (CET)

ja - danke

Genau genommen würde ich sagen, dass es sich hier nicht um eine Äquivalenzrelation handelt, obwohl die bereits genannten Eigenschaften natürlich erfüllt sind. Das Problem ist, dass man auf diese Weise keine Relation definieren kann, da man praktisch eine Teilmenge der Produktmenge von Mengen aller Mengen bilden will (siehe Russellsche Antinomie). (nicht signierter Beitrag von 138.246.2.134 (Diskussion) 14:57, 1. Nov. 2015 (CET))

hoechstens abzaehlbar vs. abzaehlbar unendlich

"Eine Menge A, die höchstens gleichmächtig zu |N ist, heißt höchstens abzählbar. Oft jedoch wird abzählbar als höchstens abzählbar definiert, während eine Menge, die gleichmächtig zu |N ist, abzählbar unendlich genannt wird."

Ich vermute mal, das umgangsprachliche "hoechstens gleichmaechtig" schliesst den Fall tatsaechlicher Gleichmaechtigkeit mit ein. |N ist gleichmaechtig mit |N und damit auch "hoechstens gleichmaechtig". |N ist damit aber beides: "hoechstens abzaehlbar" und "abzaehlbar unendlich". Das ist latuernich falsch oder aber hoechst missverstaendlich formuliert. (nicht signierter Beitrag von 84.60.6.248 (Diskussion) 23:17, 24. Jan 2006)

Ich fürchte, Du musst etwas genauer erklären, was daran "latuernich falsch" ist.--Gunther 23:24, 24. Jan 2006 (CET)

Ooops, ist nicht falsch. Nur etwas vertrackt zu lesen. Sorry - jemand

Besondere Ergebnisse

Hallo, ich habe nicht verstanden, was [0,1] bedeutet, und wieso ist es gleichmächtig zu R. Würde mich sehr auf eine antwort freuen. Vielen Dank im Voraus.

$[0,1]=\{x\in \mathbb {R} \mid 0\leq x\leq 1\}$. D.h. [0,1] bezeichnet das abgeschlossene Intervall zwischen 0 und 1.--MKI 23:54, 25. Apr 2006 (CEST)

Und wieso ist [0,1] zu R gleichmächtig ? Was wäre die bijektive Abbildung ? (nicht signierter Beitrag von 85.178.3.80 (Diskussion) 17:32, 12. Mai 2006)

Diese Frage hat leider keine schöne Antwort. Eine Bijektion zwischen $(0,1)$ (also dem offenen Intervall) und $\mathbb {R}$ ist beispielsweise

$x\mapsto {\frac {1}{1-x}}-{\frac {1}{x}}.$

Man müsste also noch eine Bijektion zwischen $[0,1]$ und $(0,1)$ basteln, und da kann man beispielsweise alles bis auf 0 und die Zahlen $1/n$ für natürliche $n$ festlassen und letztere einfach zwei weiterschieben, d.h.

$0\mapsto 1/2$

$1\mapsto 1/3$

${\frac {1}{n}}\mapsto {\frac {1}{n+2}}$ für $n\geq 1$

Klar?--Gunther 17:38, 12. Mai 2006 (CEST)

Ja, vielen Dank!

Wäre diese Bijektion nicht ein schönes Beispiel für den Artikel selbst?--JFKCom 20:51, 27. Jul 2006 (CEST)

"Schön"? ... --Gunther 20:52, 27. Jul 2006 (CEST)

Frage

Damit haben wir einen Widerspruch erhalten, der zeigt, dass die angenommene Bijektion g nicht existieren kann. Dies zeigt, dass es überhaupt keine bijektive Abbildung von A in P(A) geben kann.

Nur weil man eine bijektive Abbildung gefunden hat, die zum Widerspruch führt, heißt es ja nicht, dass es nicht irgendeine andere bijektive Abbildung geben kann, die nicht zum Widerspruch führt. --Feuervogel 08:55, 27. Apr 2006 (CEST)

Wenn jede beliebige bijektive Abbildung zum Widerspruch führt, kann es keine geben. Und es werden ja keine weiteren Einschränkungen an g gemacht, die Überlegungen sind für jedes g zutreffend.--Gunther 09:10, 27. Apr 2006 (CEST)

Mächtigkeit von C

wozu ist C (die komplexen Zahlen) mächtig ? Ist $\mathbb {R}$ gleichmächtig zu C (komplexe Zahlen)? (nicht signierter Beitrag von 84.159.160.196 (Diskussion) 17:00, 1. Jul 2006)

Ja, $\mathbb {C}$ und $\mathbb {R}$ sind gleichmächtig. Eine mögliche Begründung ist die Rechnung

$|\mathbb {C} |=|\mathbb {R} \times \mathbb {R} |=|\mathbb {R} |^{2}=(2^{\aleph _{0}})^{2}=2^{2\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}=|\mathbb {R} |.$

Auch aus so etwas wie der Hilbert-Kurve kann man eine Bijektion basteln.--Gunther 03:16, 2. Jul 2006 (CEST)

Es gibt auch eine einfache Bijektion zwischen R und C, die ich nur beispielhaft darstelle:

...321,567... + ...cba,nmo... * i $\mapsto$ ...3c2b1a,5n6m7o...

Es wird also ziffernweise abwechselt. Da fehlt noch eine Bijektion zwischen R und R⁺, aber die Idee sollte klar sein. FrankyS 12:05, 24. Jul 2006 (CEST)

Ist halt auch nur die halbe Wahrheit, weil das so noch keine Bijektion ist (was ist das Urbild von 1,9090909090...?).--Gunther 16:19, 27. Jul 2006 (CEST)

Sind diese Mengen gleichmächtig?

Ich habe folgende Frage: Wie mächtig ist die Menge von allen möglichen Metriken auf $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {R} ^{2}$. Bestimmt ist sie entweder so mächtig wie die Menge aller Funktionen oder so mächtig wie die Menge der reellen Zahlen. So oder so - das wäre ein schönes Beispiel für Gelichmächtigkeit. Ich vermute, dass die Menge der Metriken so mächtig ist, wie die Menge der reellen Zahlen. Meiner Meinung nach sollte man in die Richtung denken, dass man eine Bijektion zwischen der Menge der monotonen Funktionen und der Menge der Metriken findet. (Die Menge der monotonen Funktionen ist so mächtig wie die Menge der reellen Zahlen.) Ich würde jedem sehr dankbar, der mit mir ein klein bisschen mitdenken und mir helfen würde, diese Aufgabe zu lösen. Interessant wäre auch die Frage, wann die Menge der Metriken auf einer beliebigen Menge ${\mathcal {X}}$ weniger mächtig ist als $2^{Card({\mathcal {X}})}$?Alexandar.R. 19:52, 21. Feb. 2007 (CET)

Diese Aufgabe scheint doch banaler als ich es vorher gedacht habe:

Wenn $d(x,y)\,$ eine Metrik auf ${\mathcal {X}}$ ist, dann ist $(d\star f)(x,y)=d(f(x),f(y))\,$ auch eine Metrik, zumindest wenn die Funktion $f:{\mathcal {X}}\rightarrow {\mathcal {X}}$ eine Bijektion ist. Jetzt braucht man nur noch die Äquivalenzklassen $g\equiv f\Leftrightarrow (d\star f)=(d\star g)\,$ zu zählen.Alexandar.R. 21:01, 21. Feb. 2007 (CET)

Man kann die Aufgabe als gelöst sehen. Man betrachte einfach für jede Metrik $r\,$ und Menge ${\mathcal {U}}\subset {\mathcal {X}}$ die Abbildung:

$(r,{\mathcal {U}})\rightarrow d_{r,{\mathcal {U}}}(x,y)={\begin{cases}r(x,y)+1{\text{,}}&|\{x;y\}\cap {\mathcal {U}}|=1\\r(x,y){\text{,}}&|\{x;y\}\cap {\mathcal {U}}|\neq 1\end{cases}}$

Alexandar.R. 00:52, 22. Feb. 2007 (CET)

... das ist eine natürliche Zahl (oder die Null)

Nach Konvention ist die Null eine natürliche Zahl. Weil das aber noch nicht jeder weiss und um Mißverständnisse zu vermeiden, schlage ich vor eine andere Formulierung zu wählen.

Mächtigkeit der Potenzmenge

Dieser Abschnitt ist immer noch ein ziemliches Vorlesungsgeschwurbel und Beweise sind eigentlich eher nicht erforderlich, oder? --Philipendula 09:55, 13. Dez. 2007 (CET)

Schreibweise

Ist mit "|A|" eigentlich nicht normalerweise det(A) gemeint? Wie berechnet sich die Mächtigkeit eine Matrix? |M:n×m|=n·m ? --83.219.124.35 10:48, 30. Dez. 2007 (CET)

Differenzregel

Es kein Minus bei Kardinalzahlen, denn es ist z.B. nicht klar, was aleph0 - aleph0 ist. Auf jeden Fall kann man "aleph0 - aleph0" nicht so definieren, dass die sogenannte Differenzregel aus dem Artikel stimmt. Deshalb hab ich die Regel mal so umformuliert, dass sie stimmt. Weiß aber nicht, ob man das noch Differenzregel nennen sollte, da kein Minus mehr vorkommt. Naja, es kommt ja noch ein "Menegnminus", also ein \ vor. --131.234.106.197 11:07, 15. Apr. 2008 (CEST)

Als Voraussetzung steht, dass M und N endliche Mengen sind. Lässt man diese Voraussetzung weg, ist die Regel falsch, auch wenn man sie so abändert, wie Du das gemacht hast (N = gerade Zahlen, M = ungerade Zahlen). --Sabata 17:43, 15. Apr. 2008 (CEST)

OOps, da habe ich gleich 2 Sachen übersehen.... (Voraussetzung mit den "endlichen Mengen" und dass das eine Äquivalenz ist...) Bitte vielmals um Entschuldigung! Von jetzt an werde ich genauer hinsehen, bevor ich etwas ändere, versprochen!--131.234.106.197 12:34, 16. Apr. 2008 (CEST)

Gleichmächtigkeit - Grammatikproblem

Hallo. Wenn man sich darauf geeignet hat, "2 Dinge, welche gleich mächtig" sind "gleichmächtig" zu nennen, ist dieses Kompositum auch verbindlich oder?! Also man würde nicht sagen etwas ist "gleich mächtig" zu etwas anderem bzw. würde sich denn die Bedeutung dieser Aussage dadurch ändern? Grüße --WissensDürster 13:34, 18. Feb. 2009 (CET)

Kardinalkonflikt

Kardinalzahl (Mathematik) --87.163.43.17 02:58, 23. Aug. 2009 (CEST)

Schribweise #

Wird die Mächitigkeit nicht auch als #A gerschrieben, anstatt |A| ? 87.165.136.83 15:07, 26. Sep. 2009 (CEST)

Gleichmächtigkeit von $\mathbb {R}$ und ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$,

Das ist doch gerade die Aussage der Kontinuumshypthese, die bei ZFC aber unabhängig ist, d.h., es gibt Mengenlehren mit $|\mathbb {R} |=|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|$ und solche mit $|\mathbb {R} |>|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|$.

-- muewi (nicht signierter Beitrag von MueWi (Diskussion | Beiträge) 17:05, 6. Sep. 2010 (CEST))

Die Aussage der Kontinuumshypothese ist die, dass $|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|=\aleph _{1}$, also die kleinste Kardinalzahl größer als $\aleph _{0}=|\mathbb {N} |$. Ob $|\mathbb {R} |=|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|$ oder nicht, ist nicht ihr Gegenstand — und $|\mathbb {R} |>|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|$ wäre mir auch neu... Nie gesehen. Quellen? --Daniel5Ko 22:57, 6. Sep. 2010 (CEST)

Wie wär's mit z.B. http://mathworld.wolfram.com/ContinuumHypothesis.html oder dem Wikipedia-Artikel über die Kontinuumshypothese

-- muewi (nicht signierter Beitrag von MueWi (Diskussion | Beiträge) 09:49, 7. Sep. 2010 (CEST))

Genauer lesen! Es wird nirgends behauptet, dass $\aleph _{1}$ als $|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|$ definiert wird. Nochmal: $\aleph _{1}$ ist die kleinste Kardinalzahl, die größer als $\aleph _{0}$ ist. Die Kontinuumshypothese besagt, dass $|\mathbb {R} |=\aleph _{1}$ bzw., anders ausgedrückt, $|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|=\aleph _{1}$. Es geht nicht um die Frage, ob $|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|=|\mathbb {R} |$. Letzteres nehmen die von dir genannten Quellen stillschweigend an oder behaupten es erst gar nicht. --Daniel5Ko 12:09, 7. Sep. 2010 (CEST)

Ok, ich hab das falsch interpretiert, nämlich als $\aleph _{n+1}=2^{\aleph _{n}}$ und CH als die Frage, ob's dazwischen noch was geben kann. -- MueWi 11:20, 8. Sep. 2010 (CEST)

Die Kardinalzahlenfolge mit dieser Eigenschaft wird wohl "Beth-Zahlen" genannt. Folgender Artikel fasst u.A. das Verhältnis Beth/Aleph/CH/GCH gut zusammen: [1]. Vielleicht bräuchten wir auch sowas. --Daniel5Ko 16:32, 8. Sep. 2010 (CEST)

Basissatz

Hat jemand Quellen bzgl. des erwähnten "Basissatzes" bzw. kann die mal prüfen? Er scheint ja nur endliche Mengen zu behandeln, was unter der Überschrift "Rechenregeln zur Kardinalität" ein wenig zu wenig ist. --Daniel5Ko 00:19, 16. Nov. 2010 (CET)

Subadditivität von Mengen

Seien Si Mengen, so gilt

   ${\Big |}\bigcup _{i}S_{i}{\Big |}\leq \sum _{i}|S_{i}|$.

Wie ist die Summe zweier Mächtigkeiten definiert? Ich nehme an, es sollte sich um endliche Mengen handeln. Dann habe ich noch die Frage, über welche Indexmenge i läuft.

-- 89.217.168.9 21:30, 17. Nov. 2011 (CET)

Beispiele

"ist M ein Teilmenge von N und somit deren Differenz definiert. Sie beträgt $\emptyset$."

Die Differenz N\M ist für alle Mengen M, N definiert. Man möchte wohl die Mächtigkeit der Differenz, also 0, berechnen.

-- 89.217.168.9 21:46, 17. Nov. 2011 (CET)

"Die Äquivalenzklassen der Mengen bezüglich der Relation der Gleichmächtigkeit nennt man Kardinalzahlen."

Diese Definition ergibt natürlich in den Axiomen der Mengenlehre, anders als im Artikel beschrieben, eben keinen Sinn, denn die Axiome lassen es nicht zu zB die Menge aller abzählbaren Mengen zu bilden. Dieser naive Zugang hier hat im Artikel natürlich einerseits durch den elementaren Charakter seine Berechtigung, andererseits sollte aber hier nichts falsches stehen. Vielleicht sollte man eine Klarstellung in einer Klammer machen, mir fällt da aber gerade keine geeignete Formulierung ein. Jemand ne Idee?--Frogfol (Diskussion) 23:39, 9. Okt. 2013 (CEST)

Anders als in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre kann man Kardinalzahlen beispielsweise in der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre tatsächlich einfach als Äquivalenzklassen gleichmächtiger Mengen definieren, und das wird beispielsweise in Kardinalzahl (Mathematik)#Definition auch so diskutiert. Ich habe aber auch keine Idee, wie man das in wenigen Worten so darstellt, dass es der nicht mathematisch vorgebildete Leser sofort versteht. Vielleicht könnte man einfach die in Kardinalzahl (Mathematik)#Definition verwendete Formulierung adaptieren. Mein Vorschlag:

Die Äquivalenzklassen der Mengen bezüglich der Relation der Gleichmächtigkeit nennt man Kardinalzahlen.

Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, eine verbreitete axiomatische Mengenlehre, die heute Grundlage fast aller Zweige der Mathematik ist, lässt die Bildung dieser Äquivalenzklassen nicht zu: Mit dieser Definition sind die Kardinalzahlen (mit Ausnahme von |∅|, der Kardinalität der leeren Menge) keine Mengen, sondern echte Klassen, die nicht die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre erfüllen. Dieses Problem wird umgangen, indem man mit |X| nicht die ganze Äquivalenzklasse der zu X gleichmächtigen Mengen bezeichnet, sondern ein Element daraus auswählt, beispielsweise die kleinste zu X gleichmächtige Ordinalzahl, und dieses Element mit der Kardinalzahl |X| gleichsetzt. Durch diesen mengentheoretischen Handgriff ist die Kardinalität einer Menge selbst wieder eine Menge. Anders als in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre lässt sich beispielsweise in der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre, einer anderen weitverbreiteten Axiomatisierung der Mengenleere, die Definition der Kardinalzahlen als Äquivalenzklassen gleichmächtiger Mengen unverändert verwenden.

Daran müsste man wohl noch etwas feilen (und man müsste auch noch Quellen ergänzen). Aber ich sehe auch nicht, wie man diesen etwas technischen Punkt knapper formulieren könnte. Meiner Meinung nach ist dieser Punkt aber auch zu technisch und zu komplex, als das man ihn in einem Klammerkommentar abhandeln könnte. Irgendwie erwähnen sollte man ihn aber wohl schon.

— Tobias Bergemann (Diskussion) 12:23, 10. Okt. 2013 (CEST)

Man kann das so bei NBG definieren. Man wird es aber nicht. Denn dann sind Kardinalzahlen schon echte Klassen; man kann also nicht die Klasse aller Kardinalzahlen bilden, wodurch der etwas später folgende Satz "Die Klasse aller Kardinalzahlen ist eine echte Klasse." keinen Sinn mehr ergibt. Also wird man auch in NBG ein geegnetes Repräsentantensystem suchen.

Der Standard sind hier die Ordinalzahlen, was dann ja auch unten beschrieben wird. Vielleicht den Satz einfach etwas weiter nach oben holen.

Wenn man das AC nicht voraussetzen will, könnte man meiner Meinung als Kardinalzahl einer Menge X definieren:

|X|:=die Menge aller gleichmächtigen Mengen in $V_{\alpha }$, wobei für $\beta <\alpha$ $V_{\beta }$ keine zu X gleichmächtige Menge enthält.

Aber dann wirds natürlich zu technisch^^--Frogfol (Diskussion) 21:14, 10. Okt. 2013 (CEST)

Ich habs mal minimal invasiv geändert--Frogfol (Diskussion) 23:46, 10. Okt. 2013 (CEST)

Viel besser so. — Tobias Bergemann (Diskussion) 08:38, 11. Okt. 2013 (CEST)

"Satz von Cantor-Bernstein-Schröder" in "Totale Ordnung der Mächtigkeiten"

Den Satz hier explizit anzuführen, finde ich etwas unglücklich. Denn vorher wurden schon die Kardinalszahlen als Ordinahlzahlen defininiert, woraus die Vergleichbarkeit folgt. Der Satz von CBS sagt aber, dass das auch ohne Auswahlaxiom gültig ist. Ich würde die Vergleichbarkeit direkt aus dem bisherigen folgern und dann in Klammern setzen, dass auch ohne Auswahlxiom sich <= und >= zusammen = ergibt.--Frogfol (Diskussion) 22:54, 15. Okt. 2013 (CEST)

Tilde

Ich habe die Tilde \tilde{} durch die Tilde \sim ersetzt.--Kallemöhn (Diskussion) 13:51, 17. Mai 2020 (CEST)

Danke! --Christian1985 (Disk) 22:09, 17. Mai 2020 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 22:09, 17. Mai 2020 (CEST)