Diskussion:Mittelwerteigenschaft

zur Definition

Die mathematische Formulierung ist jawohl die Definition. Da es keine andere Formulierung als diese mathematische gibt, würde ich diesen Absatz lieber Definition nennen. Ferner würde ich es begrüßen, wenn die verwendeten Daten $\Omega$ und V erklärt würden ($\Omega$ ist jawohl eine offene Menge im $\mathbb {R} ^{n}$. Was ist V? Kann das irgendetwas anderes als $\mathbb {R}$ sein?

Es wird erwähnt, dass Funktionen mit Mittelwerteigenschaft harmonisch sind. Das gilt doch auch umgekehrt (siehe Harmonische_Funktion#Mittelwerteigenschaft, dort steht eigentlich schon alles, genügt vielleicht ein REDIRECT?). Ferner fehlt ein Hinweis auf das Maximumprinzip. --FerdiBf 09:40, 28. Mai 2009 (CEST)

Die Mengen habe ich definiert, die Überschrift auch. Insbesondere hab ich das mit dem "⇒ harmomisch" eingeschränkt.

Für einen eigenen Artikel und gegen ein Redirect sprach für mich:

• Die Eigenschaft selbst kann man wesentlich allgemeiner definieren, man braucht ja lediglich Integrierbarkeit im Lebesgueschen Sinne und einen Körper, der die Vergleiche zulässt.
• Viele Eigenschaften harmonischer Funktionen brauchen nur die MWE (Maximumsprinzip, Liouville und Harnackungleichung fallen mir direkt ein).
• Der Begriff taucht auch in anderen Zusammenhängen auf. (Wobei ich hier nicht für nicht-theoriefindung garantieren kann)

Bzgl der Erwähnung des Maximumsprinzips: Nur zu...

-- Pberndt _(DS) 12:57, 28. Mai 2009 (CEST)

Vielen Dank für die prompte Antwort. Zu den in der Definition verwendeten Mengen bleiben dennoch Fragen:

• Ein Maßraum hat zunächst keine Topologie. Was ist eine offene Menge eines Maßraums?
• Was ist eine Kugel in einem Maßraum?
• Genügt wirklich geordneter Körper? Wie ist das Integral erklärt? $V=\mathbb {Q}$ ist ein geordneter Körper, $\Omega =\mathbb {R}$ ein Maßraum, die charakteristische Funktion des Intervalls $[0,{\sqrt {2}}]$ ist eine Funktion $\Omega \to V$. Was ist das Integral dieser Funktion?

Es sieht so aus, dass man sich wohl doch auf $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ und $V=\mathbb {R}$ beschränken muss. Sollte es tatsächlich allgemeinere Definitionen geben, sehe ich hier Erklärungsbedarf. --FerdiBf 13:48, 28. Mai 2009 (CEST)

Körper: Stimmt. Übersehen. Die Definition von Maßen hatte ich falsch im Kopf ($\to \mathbb {K}$ statt $\to \mathbb {R}$). Maßraum: Kenne ich mit Forderung nach einer Metrik. Allerdings steht in Maßraum auch nichts davon, von daher passe ich das wohl besser dem Wikipediakonsens an. "Maßraum mit Metrik" könnte dann reichen, aber bevor da auch ein Denkfehler drin steckt, nehme ich bis das geklärt ist dann doch besser die Einschränkung auf $\mathbb {R}$. -- Pberndt _(DS) 14:36, 28. Mai 2009 (CEST)