Diskussion:Numerische Integration

Ich halte den Ausdruck nummerische Integration für wesentlich verbreiteter als den der Quadratur. (Wo sind eure Quadrate? Die Zeiten wo man auf Milimeterpapier die Kästchen ausgezählt hat sind doch eigentlich vorbei. Artikel umbenennen?). Der Beweis:500 Seiten gegen 15.000 Seiten für die beiden Begriffe im Google-fight. Sprechen eine klare Sprache.

Warum fängt man nicht bei der nummerischen Integration über die Treppenfunktion als einfachstes Beispiel an?

Schön unverständlich der Artikel:

wenn man von Riemann-Integral spricht ohne es zu erklären halte ich das nur für verwirrend. Der Link ging zur Integralrechnung statt zum Riemann-Integral. Verkompliziert die Sache aber unnötig, kann am Ende stehen.

Es sollte irgendwo stehen, was m ist.

Ich denke mal die Leute interessieren sich zuerst für die einfache Lösung von Integralen und erst im nachhinein für den Fehlerterm oder die Herleitung.

Die Allgemeine Quadraturformel halte ich für absolut unverständlich wenn die verwenten Formelzeichen nicht irgendwo erklärt sind.(z ist die realitive Lage der Stützpunkte zw. a und b , beta ist doch der Wichtungsfaktor. Oder?)

Grafiken wären gut. Kolossos 13:20, 24. Aug 2005 (CEST)

Unsicher bin ich mir bei der Frage, ob erst das spezielle oder erst das allgemeine kommen sollte. Das allgemeine erscheint so komplex das es abschreckt dabei ist Numerische Integration eigentlich eine schöne Sache z.B. zur Physiksimulation in Computerspielen. Die speziellen Formen haben andererseits ihre eigenen Artikel. Also sollte das ein Übersichtsartikel werden, am Ende kann man natürlich ins detail gehen. Kolossos 20:37, 24. Aug 2005 (CEST)

Wie jeder aus der Versionsgeschichte ablesen kann habe ich vor etwa 2 Jahren diesen Artikel angelegt. Damals hatte ich die Idee, zunächst die allgemeinen Formel darzustellen und daraus die speziellen Formeln auf einfache Weise herzuleiten. Aus der englischen Wikipedia hatte ich eine animierte Grafik übernommen, welche die Annäherung zeigte, wenn man die Streifen immer enger wählte. Ich habe dann aufgehört an dem Artikel zu arbeiten (1) weil jemand die schöne Animation (zu Recht) löschte (Lizenz?), was den Artikel stark entwertete und (2) ich gleichzeitig entsetzt entdeckte, wie schrottig der Tischtennis-Artikel war. - Soviel zu meinen Motiven. Natürlich kann man den Artikel auch anders aufziehen. Schlag mal etwas Konkretes vor. -- tsor 20:58, 24. Aug 2005 (CEST)

Dazu fällt mir jetzt natürlich nichts anderes ein als das man mit der Numerischen Integration auch das Flugverhalten eines Tischtennisballes in Echtzeit simulieren kann.

• a(t) ist die Beschleunigung als Vektor,
• v(t+dt)=v(t)+a(t)*dt ergibt die Geschwindigkeit durch num. Int. (dt= delta t)
• s(t+dt)=s(t)+v(t)*dt ergibt denn neuen Ort durch num. Int.,

In Abhängigkeit des Ortes wird die Beschleunigung( Spieler hält einen virtuellen Schläger) neu bestimmt und ein neuer Durchlauf startet,(billigste Treppenfunktion für die num. Int. jetzt nur mal als Beispiel) das ganze funktioniert dann auch zur Simulation von ganzen Galaxiehaufen.

Vielleicht mal ich mal die Grafiken für den Artikel, ich hätte gedacht die gibt es hier schon längst. Kolossos 22:07, 24. Aug 2005 (CEST)

verweis auf Eulersches_Polygonzugverfahren fehlt!

Also ich studiere Mathematik, und eigentlich finde ich es schon verständlich. Was es unverständlich macht sind wirklich die fehlende Erklärungen zu m, ß ... ich nehme mal an das es das Gewicht ist, kann mir aber jetzt trozdem nicht erklären wie die Zahlen entstehen. Also das finde ich einfach zu ungenau, im Gegensatz dazu das hier erwähnt wird, wie ein Trapezberechnet wird...

Ich bin kein Mathe-Genie, aber eingentlich müsste man ein Integral in ziemlich viele ($n$) Teile zerteilen, die den Flächeninhalt ${\frac {1}{n}}f(x)$ haben und sie dann addieren:$\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm {d} x={\frac {1}{n}}\sum _{x=\lfloor na\rfloor }^{\lfloor nb\rfloor }f\left({\frac {x}{n}}\right)$.

Dabei ist:

n = Anzahl der Teile in die das Integral zerlegt wird, also die Genauigkeit

f(x) = die zu integrierende Funktion

x = Integrationsvariable

--217.250.248.106 14:41, 10. Feb. 2007 (CET)

m und x_i Werte?

Woher kommen diese m und x_i Werte bei den verchiedenen Verfahren wie Simpson oder Trapezregel? Wie kommt man von denen zu den gegebenen Formeln?

Bitte unterschreibe beim nächsten Mal Deinen Diskussionsbeitrag mit vier Tilden.

m (oder m+1?) steht für die Anzahl der Stützstellen und die _i sind ebendiese Stützstellen. Also zB m=1 (dh eine zusätzlich Stützstelle, zB in der Mitte und die beiden Intervallränder a und b) und diese Stützstelle wird dann c genannt.

Hoffe das hilft, --Thire 09:18, 11. Feb. 2007 (CET)

Monte Carlo

Die Monte-Carlo-Methode kommt nur als Link vor und als Bild mit einer mehr als dürren Erläuterung in der Bildunterschrift, nichts dazu im Text. Einerseits sollte dieses spezielle Beispiel also im Text etwas ausgeführt werden. Andererseits habe ich (Physiker, nur von ferne mal mit der Methode zu tun gehabt) von Monte Carlo immer eine andere Auffassung gehabt, wie sie im eigentlichen Monte-Carlo-Artikel auch nicht explizit vorkommt: Für mich heißt Monte-Carlo-Integration, dass man zufällig in ein Rechteck (Hyper-Quader im n-Dimensionalen) mit zufälliger x- und y-Koordinate zielt und dann zählt, mit wievielen dieser Versuche man unterhalb der zu integrierenden Funktion landet. Dieses Trefferverhältnis mal der bekannten Rechteckfläche (Quadervolumen) liefert den Integrationswert. Das wird erst bei hohen Dimensionen n so richtig sinnvoll. Die Abbildung legt dagegen ein intelligenteres Verfahren mit zusätzlicher Schrittweitensteuerung oder so nahe. Ich hätte also gern eine nähere Erläuterung des Verfahrens im Bild und zweitens ein paar allgemeinere Worte zu Monte Carlo, ob ich da was falsch verstanden habe, oder ob es das offiziell auch gibt und wie das dann genau verwendet wird. --PeterFrankfurt 16:25, 30. Aug. 2007 (CEST)

Jetzt hast Du ja zwei Jahre später einfach mal gemacht. Ich finde es ja sinnvoll, etwas dazu zu schreiben, aber die Überschrift "Rein numerische Verfahren" passt überhaupt nicht, der Hauptartikel zu auch einem anderen Thema und viele Deiner Aussagen glaube ich ohne Quelle nicht. Kannst Du letztere bitte angeben? --P. Birken 20:34, 31. Mär. 2010 (CEST)

Nee, das waren nur Allgemeinplätze zum Thema, sorry, so als Stub. Die Fachleute sind herzlich eingeladen. Ich hätte auch nicht viel dagegen, wenn man es mehr oder weniger auf den Verweis zum Hauptartikel eindampft. Aber wie das so geht: Ich wollte dann doch einen dürren Satz Kurzfassung dazupacken, damit der Leser wenigstens eine Ahnung bekommt, und dann bin ich halt ins Labern gekommen, mea culpa. Auf der Überschrift bestehe ich auch nicht. --PeterFrankfurt 01:45, 1. Apr. 2010 (CEST)

Dann massiere ich das einfach mal. --P. Birken 18:20, 2. Apr. 2010 (CEST)

Ja, kommt gut. --PeterFrankfurt 02:32, 6. Apr. 2010 (CEST)

Fehlerabschätzung

Dieser Abschnitt ist zumindest missverständlich. Woher stammt er? Wohl nicht aus dem Buch von Schwarz, Köckler, denn dort wird alles sehr kurz abgehandelt.

Es muss wohl heißen

$|E(f)|\leq {(b-a)^{m+2} \over (m+1)!}\left|\int _{0}^{1}{(z-z_{0})...(z-z_{m})dz}\right|\ \max _{a\leq x\leq b}{\left|f^{(m+1)}(x)\right|}$.

Falls dann alle $(x-x_{j})$ (für beliebiges $x\in [a,b]$!) die gleichen Vorzeichen hätten, dann folgt, dass

$\left|\int _{0}^{1}{(z-z_{0})...(z-z_{m})dz}\right|\ =\int _{0}^{1}{\left|(z-z_{0})...(z-z_{m})\right|dz}$.

Alle $(x-x_{j})$ können aber für beliebiges $x\in [a,b]$ nur dann die gleichen Vorzeichen haben, wenn alle $x_{j}$ außerhalb von [a,b] liegen, im Widerspruch zur Forderung, dass sie alle in [a,b] liegen. Diese Forderung ist ohnedies zu stark. Es gibt auch Formeln, bei denen $x_{j}$ außerhalb von [a,b] liegen.

Insgesamt ist aber diese Argumentation ohnedies überflüssig, da immer gilt:

$\left|\int _{0}^{1}{(z-z_{0})...(z-z_{m})dz}\right|\ \leq \int _{0}^{1}{\left|(z-z_{0})...(z-z_{m})\right|dz}$.

Die Formel

$E(f)={(b-a)^{m+2} \over (m+1)!}{\beta _{m+1}}{f^{(m+1)}(\zeta )}$

ist nicht immer richtig. Bei Newton-Cotes-Formeln mit geradem m muss m durch m+1, bei der Gauss-Quadratur durch 2m ersetzt werden.

Der Begriff der Konvergenzordnung ist hier fehl am Platz, da es sich um kein Iterationsverfahren handelt. Gemeint ist die Ordnung oder der Exakktheitsgrad des Verfahrens. Dieser Begriff müsste aber noch erklärt werden.

Erwähnen würde ich noch, dass die Summe der $\beta _{j}$ gleich 1 ist. -- Fritz Bierbaum 19:11, 14. Aug. 2011 (CEST)

Sollte ich den Abschnitt über die Monte-Carlo-Methode gelöscht haben, so war das ein Versehen. Sorry, ich bin noch neu hier. -- Fritz Bierbaum 11:49, 15. Aug. 2011 (CEST)