Diskussion:Ordnungstopologie

Die Definition ist fehlerhaft. Durch die Vereinigung von Mengen aus 1 und 2 erhält man neue Mengen auf die man erneut 2 anwenden kann und dann wieder 3 und so weiter... Deshalb definiert man die Ordnungstopologie als den Schnitt über alle Topologien die die Mengen aus 1 enthalten.

--sasso_michaelMicha 10:44, 15. Apr. 2008 (CEST)

Nein, sie ist nicht fehlerhaft. Das ist einfach die allgemeine (und richtige) Weise der Definition einer Topologie über eine Subbasis auf den konkreten Fall angewendet. Allerdings ist in der Definition ein überflüssiger Schritt enthalten. Die offenen Intervalle bilden bereits eine Basis der Topologie, da sie unter (endlicher) Schnittbildung abgeschlossen sind. --Anonym, 13.10.2008

Dicht

„Eine Teilmenge S von X liegt dicht in X (im Sinne der Ordnungstheorie), wenn S bezüglich der Ordnungstopologie dicht in X liegt. In der Sprache der Ordnungstheorie heißt das: Zwischen zwei Elementen a < b aus X liegt stets ein Element s aus S mit a < s < b.“ In wie fern ist das äquivalent zur Dichtheit bzgl. der Ordnungstopologie? Nehmen wir z.B. die über ℤ, ℤ liegt natürlich dicht in ℤ bzgl. jeder Topologie, nicht aber bzgl. dieser Definition. --Chricho ¹ 16:24, 17. Dez. 2011 (CET)

Diskretheit

Für mein mathematisches Empfinden ist »diskret« bei Ordnungsrelation nur teilweise richtig erklärt. Richtig ist:
(A) Die Ordnung < heißt diskret, wenn es ihre Ordnungstopologie ist.

Nicht richtig ist IMHO die topologiefreie Erklärung:
(B) Jedes Element hat einen eindeutigen Vorgänger, es sei denn, es ist das/ein Minimum.
      Jedes Element hat einen eindeutigen Nachfolger, es sei denn, es ist das/ein Maximum.

Das stimmt zwar für totale Ordnungen, nicht aber für Halbordnungen. Für diese lassen sich aber »offene Intervalle« wortwörtlich genauso definieren wie für totale. Es müsste IMHO hier also heißen,

Ist a < c, dann gibt es ein b mit a ≤ b < c derart, dass b ≤ b' < c impliziert b' = b.

Und genauso:

Ist a < c, dann gibt es ein b mit a < b ≤ c derart, dass a < b' ≤ b impliziert b' = b.

Dann gilt noch:

1. Hat die Ordnungstopologie keinen Häufungspunkt, dann ist die Ordnungsrelation diskret.
2. Eine Ordnungsrelation auf einer endlichen Trägermenge ist diskret.

Leider habe ich keine Quelle hierzu.

Wenn sich dazu Quellen finden, müsste im Artikel die Voraussetzung »total geordnet« etwas großzügiger formuliert werden. --Nomen4Omen (Diskussion) --Nomen4Omen (Diskussion) 18:50, 20. Nov. 2016 (CET)

In der gegenwärtigen Form bezieht sich der Artikel nur auf strenge Totalordnungen. Das steht im ersten Satz der Einleitung. Wenn das mit Halbordnungen genauso geht, dann kann man das gerne mit aufnehmen. Allerdings bräuchte es schon Belege dafür. Damit man von der Allgemeinheit nicht erschlagen wird, wäre es dann aber vielleicht gut, zunächst den Fall der Totalordnung zu behandeln und danach in einem eigenen Teil den Fall der Halbordnung. --Digamma (Diskussion) 20:11, 20. Nov. 2016 (CET)

Definition über ±∞

Ich habe leider kein modernes Buch zum Thema, habe aber in der enwiki nachgeschaut. Die brauchen NICHT den Umweg über die Kompaktifizierung mit $\pm \infty$. Bei denen genügt die totale Ordnungsrelation, woraus die offenen Intervalle, woraus die Basis für die Topologie und woraus schließlich die Topologie selbst.

Das kommt mir sehr direkt und naheliegend vor, und ich wüsste nicht, wo da ein topologisches Problem auftauchen sollte.

Zugegeben, der Unterschied mag im Effekt marginal sein, denn man kann ja immer die Teilmengen-Topologie bilden, welche die Ordnungsrelation unberührt lässt und nach allem, was ich mir vorstellen kann, zu einer Topologie führt, die mit der oben genannten identisch ist.

Aber begrifflich kann das NICHT in Ordnung sein, denn wenn man Ordnungstopologie#Definition als »Definition« wirklich ernst nimmt, ist die natürliche Topologie von $\mathbb {R}$ KEINE Ordnungstopologie!!

Benutzer:KleinKlio hat den Artikel am 1. Okt. 2006‎ zunächst auch ohne $\pm \infty$ eröffnet, übrigens sogar mit(!) einem extra Abschnitt "#Andere Topologien, die mit der Ordnung zusammenhängen" betreffend $\pm \infty$, aber schon am 11. Okt. 2006‎ die Zweipunkt-Kompaktifizierung in die Definition hineingenommen (und lässt den genannten (und eigentlich obsolet gewordenen) anderen Abschnitt einfach so stehen). Die Hineinnahme von $\pm \infty$ in die Definition scheint ihm so wichtig zu sein, dass er sogar evtl $\in X$ schon vorhandene $\pm \infty$ übertrumpfen muss.

Ich gebe zu, dass mir das nicht gefällt, selbst wenn der als Lit angegebene Boto von Querenburg das so beschrieben haben sollte. (Werde deshalb aber nicht in die Bib gehen.)

Ich hätte das aber gerne zumindest mal diskutiert. - Nomen4Omen (Diskussion) 10:51, 15. Mai 2020 (CEST)

@Benutzer:KleinKlio

Du bist längere Zeit nicht aktiv gewesen. Trotzdem wäre es sehr schön, wenn Du (oder Deine Nachfolgerin Benutzerin:Aschoka) bestätigen könntest, dass die genannte Definition aus Boto von Querenburg stammt (oder sonstwoher belegbar ist).

Denn die zu einer total geordneten Menge gehörige Ordnungstopologie lässt sich doch ganz einfach über die offenen Intervalle als Topologie-Basis definieren. So macht es auch enwiki. Es genügen dabei sogar die "endlichen" (= beidseitig beschränkten) Intervalle, denn aus diesen lassen sich durch beliebige Vereinigung die nur einseitig beschränkten Intervalle gemäß $]a,\cdot [\;:=\cup _{b\in X}\,]a,b[$ sowie $]\cdot ,b[\;:=\cup _{a\in X}\,]a,b[$ bilden, so dass die dann auch zu den offenen Mengen gehören.

Wenn so gemacht, dann wären die natürlichen Topologien der so außerordentlich wichtigen Mengen $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ tatsächlich auch »Ordnungstopologien«, wie sie im Buche stehen.

(Vielleicht machst Du es auch so, und zwar in dem Abschnitt, der mit "Andere, gleichwertige Formulierungen:" beginnt. Man ist aber unsicher, ob Du unter "die offenen Intervalle" solche in $X^{*}$ oder in $X$ meinst. Wenn letzteres, wozu dann der Umweg über $\pm \infty$?) - Nomen4Omen (Diskussion) 12:25, 17. Mai 2020 (CEST)

Hallo Nomen4Omen, den Querenburg habe ich auch (allerdings die 1. Auflage). Die Definition dort führt keine Elemente $\pm \infty$ ein. Sie benutzt zwar Intervalle der Form $]{-}\infty ,a[$ und $]a,\infty [$, aber das sind nur Schreibweisen für die Mengen $\{x\in X|x<a\}$ bzw. $\{x\in X|a<x\}$. --Digamma (Diskussion) 10:01, 18. Mai 2020 (CEST)

Hab vielen Dank, lieber Digamma.

Das beruhigt mich sehr.

Vermutlich ist dieser Punkt in späteren Auflagen nicht anders dargestellt. Auf jeden Fall kann man sich auf die erste Auflage beziehen.

Und ich werde das dann auch so versuchen. - Nomen4Omen (Diskussion) 10:36, 18. Mai 2020 (CEST)

Schade, dass keine der Diskussion entsprechende Überarbeitung erfolgte. Die Einbettung in die Menge ${\overline {X}}$ ist unnötig. Gravierender ist, dass das Symbol $\cup _{<}$ nicht erklärt ist.--Sigma^2 (Diskussion) 23:13, 18. Aug. 2022 (CEST)

@Nomen4Omen, deine Bearbeitung hat es nicht wirklich verbessert. Die Elemente $-\infty$ und $\infty$ und die Einbettung in $X$ sind schlicht überflüssig und machen die Sache nur unnötig kompliziert. Statt das Symbol $\cup _{<}$ zu erklären, wäre es besser gewesen, diesen Teil einfach rauszuschmeißen. --Digamma (Diskussion) 12:16, 20. Aug. 2022 (CEST)

@Benutzer Diskussion:Digamma Klar, ich gebe zu, dass ich NUR auf den gravierenden Wunsch von Sigma^2 eingegangen bin, das Symbol $\cup _{<}$ zu erklären.

Mach Du's besser! --Nomen4Omen (Diskussion) 16:40, 20. Aug. 2022 (CEST)

Ich hab’s wieder raus, und den Abschnitt in den Artikel Ordnungsrelation, wo er eigentlich auch hingehört. --Nomen4Omen (Diskussion) 12:34, 21. Aug. 2022 (CEST)

Es ist aber nicht gut so. Für einen einfachen Sachverhalt werden vier zusätzliche Symbole ${\overline {X}},{-\infty },\infty ,\cup _{<}$ eingeführt, die eigentlich nichts mit der Ordnungstopologie zu tun haben, wobei das Symbol $\cup _{<}$ jetzt wieder unerklärt ist.

Definition in einem Satz: Die Ordnungstopogie ist die (bezüglich der Teilmengenbeziehung) kleinste Topologie, die das Mengensystem

$\left\{\{x\in X\mid x>a\}\mid a\in X\right\}\cup \left\{\{x\in X\mid x<b\}\mid b\in X\right\}$

enthält. Dazu brauche ich nicht vier zusätzliche Symbole und keine weiteren mathematischen Konzepte. Dann kann man erläutern, dass (als endliche Durchschnitte) auch die Intervalle der Form $\{x\in X\mid a<x<b\}$ in der Ordnungstopologie enthalten sind, wie die offenen Mengen aussehen usw. --Sigma^2 (Diskussion) 13:25, 22. Aug. 2022 (CEST)

Mach's doch einfach :-) --Digamma (Diskussion) 21:43, 22. Aug. 2022 (CEST)