Diskussion:P-Norm

Monotonie von Normen

Meine Änderungen, die gerade rückgängig gemacht wurden, finde ich wichtig. Immer wenn irgendwo von "Monotonie der Normen" die Rede ist, hab eich bei Wikipedia etc. danach gesucht aber nicht das Richtige gefunden. Die Begründung: "Das ist doch nur die Dreiecksungleichung" ist für mich nicht offensichtlich. (nicht signierter Beitrag von Tehkah (Diskussion | Beiträge) 11:56, 19. Mär. 2015 (CET))

Rückfrage: wo hast du denn die Aussage her? Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:58, 19. Mär. 2015 (CET)

Antwort: Vor allem aus der Optimierung (siehe z.B. Multicriteria Optimization von Ehrgott, Definition 4.19). Grüße (nicht signierter Beitrag von Tehkah (Diskussion | Beiträge) 10:29, 20. Mär. 2015‎ (CET))

Diese Art von Monotonie folgt in der Tat nicht aus der Dreiecksungleichung, sondern sie ist äquivalent zu einer anderen Eigenschaft, die Absolutheit genannt wird, das heißt

$\|x\|=\||x|\|$

für alle $x\in {\mathbb {K} }^{n}$, wobei $|x|=(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|)$ komponentenweise definiert ist [1]. Die p-Normen sind alle absolut und daher monoton in dem Sinne, dass gilt

$|x|\leq |y|\Rightarrow \|x\|\leq \|y\|$.

Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:14, 19. Mär. 2015 (CET)

Die Aussage zur strengen Monotonie habe ich erstmal gelöscht, denn sie gilt in dieser Form offenbar genauso auch für $p=\infty$. Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:16, 19. Mär. 2015 (CET)

Das war ein Fehler meinerseits. Es müsste heißen $|x_{i}|\leq |y_{i}|$ für alle i und $|x_{i}|\neq |y_{i}|$ für ein i. (nicht signierter Beitrag von Tehkah (Diskussion | Beiträge) 10:35, 20. Mär. 2015‎ (CET))

Ok, das ist dann eine andere Aussage, danke für die Literaturangabe. Bitte nicht vergessen, deine Diskussionsbeiträge mit ~~~~ zu unterschreiben. Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:55, 20. Mär. 2015 (CET)

p < 0

Was passiert wenn der Exponent p negativ wird? Kann man das denn im weitesten Sinne immer noch als (Quasi-)Norm bezeichnen? Im Fall p = -1 bspw. kommt im Grunde die Summenregel für Parallelwiderstände aus der Elektrotechnik heraus.

1/||x|| = Σ(1/|x_i|) <=> ||x||_-1 = [ Σ(|x|^-1) ]^-1

Ich meine, die Formel, die beim Umstellen von p = -2 herauskommt, ist mir auch schon mal irgendwo in meinem Studium begegnet (Reaktionskinetik in der Chemie vielleicht?). Haben diese Gleichungen irgendwas nennenswertes mit den p-Normen für p > 0 gemein, und haben sie einen eigenen Namen? --91.15.23.190 05:59, 3. Feb. 2022 (CET)