Diskussion:Pfaffsche Form

Entstehung des Artikels

Habe i.w. die allgemeine Definition von Differentialform kopiert und den Abschnitt "totales Differential" nach oben verschoben, weil er dort benötigt wird.-- Gunther 23:43, 14. Apr 2005 (CEST)

Ich habe Deine Änderungen rückgängig gemacht. Wir hatten ausgemacht, dass Du eine allgemeine Definition der Pfaffschen Form einführst und ein Beispiel diskutierst. Statt dessen hast du einfach ganze Abschnitte des vorhandenen Artikel ausgetauscht. --Kilian Klaiber 01:03, 15. Apr 2005 (CEST)

• Für die allgemeine Definition brauche ich den Kontext wie in Differentialform.
• In Deiner Fassung benutzt Du die Begriffe Kotangentialvektor, Tangentialraum jeweils vor ihrer Definition.
• Die Definition des Tangentialraums gehört nicht hierher, die würde für die unterschiedlichen Fälle auch zu weit führen.
• Du sprichst erst von einer Koordinatendarstellung, um dann später zu erklären, was die $dx_{i}$ sind. Du führst die $dx_{i}$ als reine Symbole ein, der Bezug zur äußeren Ableitung fehlt vollständig; er wird zusätzlich durch die unterschiedliche Notation ($DF$ bzw. $dx_{i}$) und die Anordnung der Abschnitte verschleiert.
• Die Definition der totalen Ableitung ist nicht verallgemeinerbar; der Bezug zum Gradienten kann nur als Bemerkung für den riemannschen Fall hergestellt werden.
• Wenn man Koordinaten hat, nimmt man nicht irgendeine Basis $\{e_{i}\}$ des Tangentialraums, sondern die Basis $\{\partial /\partial x_{i}\}$.
• Die Schreibweise $\langle \omega ,X\rangle$ birgt die Gefahr der Verwechslung mit einem Skalarprodukt, und es gibt keine einheitliche Konvention bezüglich der Reihenfolge. Die Schreibweise $\omega (p)(X)$ wäre verwirrend, deshalb $\omega _{p}$.
• Kleinigkeiten: Differentialformen heißen $\omega$, nicht $w$; Vektorpfeile sind im Zusammenhang von Mannigfaltigkeiten nicht üblich; TeX-Hinweise: das Elementsymbol heißt \in, und \left-\right ist nur sinnvoll, wenn man wirklich große Klammern will; Formeln an Gleichzeichen zu unterbrechen bringt die Vertikalausrichtung durcheinander.

Das waren die Gründe für meine Änderungen.-- Gunther 01:29, 15. Apr 2005 (CEST)

Die Definition der Tangentialräume und Kotangentialräume erfolgt unmittelbar nachdem sie eingeführt werden. Die Koordinatendarstellung gehört nicht zur Definition des Differentialform. Ich füge gerne den Bezug zur äußeren Ableitung ein. Ableitungsoperatoren sind keine Basis des Tangentialraums. An die in diesem Artikel gebrauchte Schreibweise solltest du dich anpassen, sonst wird das chaotisch. Füge bitte unter einem weiteren Gliederungspunkt eine verallgemeinerte Definition ein und diskutiere ein Beispiel, das bisher noch nicht erfasst wird.

• Definitionsreihenfolge: ist trotzdem verwirrend und unüblich
• Koordinatendarstellung: Welchen Sinn hat eine Definition, auf die dann der weitere Artikel nicht mehr anwendbar ist?
• Ableitungsoperatoren sind die Standardbasis des Tangentialraums, siehe z.B. en:metric tensor oder en:curvature of Riemannian manifolds
• Du solltest Dich an die allgemein übliche Schreibweise anpassen

-- Gunther 09:26, 15. Apr 2005 (CEST)

Die Menge aller Tangentenvektoren stetig differenzierbarer Kurven am Punkt p bilden den Tangentialvektorraum am Punkt p. Ein Ableitungsoperator d/dx ist kein Tangentenvektor und somit kein Element des Tangentialraums geschweige denn eine Basis. Ich benutze die übliche Schreibweise. Lass das mal so wie es ist. --84.151.172.40 09:49, 15. Apr 2005 (CEST)

Hast Du jemals einen Blick in ein Differentialgeometriebuch geworfen, also nicht ein Analysisbuch, das so tut, als würde es Mannigfaltigkeiten behandeln? Und dass en:metric tensor $\partial /\partial x_{i}\,$ ohne Erklärung als Standardnotation verwendet, stört Dich auch nicht?-- Gunther 10:11, 15. Apr 2005 (CEST)

Wieso sollte mich das stören? --Kilian Klaiber 10:18, 15. Apr 2005 (CEST)

Weil Du oben versucht hattest zu behaupten, die $\partial /\partial x_{i}$ seien gar keine Tangentialvektoren. Deiner Gegenfrage entnehme ich, dass die Antwort auf die erste meiner beiden Fragen "nein" ist, und dann solltest Du mir zumindest ein wenig Glauben schenken.-- Gunther 10:27, 15. Apr 2005 (CEST)

$\partial /\partial x_{i}$ sind keine Tangentialvektoren, sorry Gunther. Ein Tangentialvektor ist die Steigung einer Kurve an einem Punkt. Ein Differentialoperator ist keine Steigung. --Kilian Klaiber 10:31, 15. Apr 2005 (CEST)

Doch. ${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$ ist die übliche Schreibweise einer aus einem Koordinatensystem abgeleiteten Basis des Tangentialraumes. Jedem Tangentialvektor ist auf eineindeutige Weise, die deshalb nicht erwähnt wird, ein Ableitungsoperator zugeordnet. Ist $v={\dot {\gamma }}(0)$ in $p=\gamma (0)$, so ist der Ableitungsoperator zu v die Abbildung $f\mapsto [{\frac {d}{dt}}f\circ \gamma ](0)$. Dass diese nur von v, aber nicht vom Weg abhängt, ist die Voraussetzung, überhaupt von Tangentialvektoren reden zu können.LutzL 10:47, 15. Apr 2005 (CEST)

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Was soll der ganze Unfug? Pfaffsche Formen sind 1-Formen, es gibt keinen Unterschied. Sie werden heutzutage als solche nur noch im Zusammenhang mit geometrischen Distributionen, d.h. Pfaffschen Systemen, verwendet. Diese definieren, wenn gewisse Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind, eine Untermannigfaltigkeit, deren Eigenschaften, wie Schnitte mit anderen Untermannigfaltigkeiten, mit ihrer Hilfe charakterisiert werden können. Hilberts 16. oder 17. Problem hat damit zu tun. Davon lese ich hier aber garnichts, sondern Abschnitte zu Wegintegralen, die unter diesem Begriff besser aufgehoben wären und den Begriff des Riemann-Stieltjes-Integrals voraussetzen, auf welchen auch nicht verwiesen wird. Oder ich finde Abschnitte zu ersten Integralen physikalischer Systeme, welche zur klassischen oder Hamilton-Mechanik gehören. Dabei wird der Begriff des Gradienten in einer Weise verwendet, dass es einem graust. Dafür wird über exakte Differentialgleichungen exakt nichts gesagt, obwohl dies Pfaffsche Systeme mit einer Gleichung sind.--LutzL 10:47, 15. Apr 2005 (CEST)

Der Gedanke war, die 1-Formen aus dem relativ langen Artikel Differentialform herauszunehmen, da sie etwas elementarer als beliebige k-Formen sind. Die entsprechende (ziemlich längliche) Diskussion zwischen Kilian und mir findest Du unter Diskussion:Differentialform.-- Gunther 10:57, 15. Apr 2005 (CEST)

Ja, ich habe deine geduldigen Bemühungen, moderne und übliche Notation einzubringen, verfolgt. Ich finde, es ist nichts dagegen einzuwenden, falls Kilian hier im oberen Teil Differentiale auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ als Felder von Zeilenvektoren mit den konstanten Feldern $dx^{i}\equiv (0,...0,1,0,...,0)=e_{i}^{T}$ als Basis definiert. Dann Integrabilität mit Verweis auf Rotation und äußere Ableitung. Niveauflächen der Stammfunktion als Tangential zur pfaffschen Form und exakte Differentialgleichung. In einem zweiten Teil, der ihm von der Notation schon nicht zu liegen scheint, sollte das im ersten Teil gesagte auf Karten von Mannigfaltigkeiten übertragen werden und auch Systeme von pfaffschen Formen abgehandlt werden.--LutzL 11:25, 15. Apr 2005 (CEST)

Ich fürchte, das musst Du i.w. selbst machen. Ich kenne Distributionen nur als Unterbündel von $TM$, die integrabel heißen, wenn sie abgeschlossen unter der Lieklammer sind, und wimre genau dann von einer Untermannigfaltigkeit herkommen. Ich kann mir zwar überlegen, dass 1-Formen eine Distribution in diesem Sinne definieren, und dass sie integrabel in diesem Sinne ist, wenn die 1-Formen geschlossen sind. Aber auch wenn ich mir das nochmal anlese, bin ich nicht kompetent, darüber zu schreiben.-- Gunther 12:17, 15. Apr 2005 (CEST)

Lutz, du ordnest jedem Tangentialvektor v, den Ableitungsoperator Dv zu. Die Richtungsableitung einer Funktion F in Richtung v setzt du mit dem Tangentialvektor v einer Kurve gleich? Jedem Tangentialvektor kannst du natürlich genau eine Richtungsableitung Dv zuordnen. Diese Abbildungsvorschrift kannst du bilden. Das heißt aber nicht, dass die Richtungsableitung ein Tangentialvektor ist, wie von dir behauptet. Ansonsten halte ich mich an die übliche Notation. Ich schlage vor, dass einer von Euch den zweiten Teil hier einfügt. Viel Spaß beim diskutieren :-)--Kilian Klaiber 12:37, 15. Apr 2005 (CEST)

Ja, wie schon oft von Gunther gesagt ist es üblich, $X(f)_{p}=df_{p}(X)$ gleichzusetzen. Die Derivationen und die Tangentialvektoren sind im endlichdimensionalen isomorphe Vektorräume. Es gibt nicht "die" eine einzige übliche Notation, aber Pfeile auf lineare Funktionale zu setzen ist absolut unüblich. Es gibt auch im ersten Teil noch viel zu sortieren und klarer auszudrücken.--LutzL 13:35, 15. Apr 2005 (CEST)

Schön, dass es eine Bijektion zwischen den Tangentialvektoren und den Richtungsableitungen gibt. Aber damit sind sie doch nicht gleich!--Kilian Klaiber 15:04, 15. Apr 2005 (CEST)

O.K., das Problem sind wohl die Bücher über Differentialgeometrie, in denen $\partial /\partial x_{i}\,$ als Tangentialvektoren bezeichnet werden. Ich kenne diese Bücher nicht. Ich habe folgende Vermutung. Ist $\psi$ eine Karte einer K-Dimensionale Untermannigfaltigkeit des R^n, so stellen die Vektoren $\partial \psi (0)/\partial x_{i}\,$ für i=1,...,k eine Basis Tangentialvektorraums am Punkt $\psi (0)$ dar. Gleichwohl sind die Differentialoperatoren $\partial /\partial x_{i}\,$ keine Tangentialvektoren. Im Übrigen, das gehört in eure Definition von Pfaffschen Formen auf offenen Teilmengen von Untermannigfaltigkeiten. Vielleicht sollte sich Gunther auch dem Artikel über Distributionen zuwenden. Viel Spaß dabei! --Kilian Klaiber 19:15, 15. Apr 2005 (CEST)

Hey, ich bin in einem Buch (Eckhard Rebhan, Theoretische Physik I, S. 967)darauf gestoßen. Dort werden mathematische Aspekte der allgemeinen Relativitätstheorie behandelt und es ist genauso wie ich es vermutet habe. Der Autor führt eine Parametrisierung (bzw. Karte) der Raumzeit in der Umgebung eines Punktes x ein. Die Ableitungen $\partial \psi (x)/\partial x_{i}\,$ werden als Basis des Tangentialraumes an dem Punkt x eingeführt (Glng 25.88). Die Tangentíalvektoren werden nach dieser Basis entwickelt (Glng 25.89). Zum Schluss wird die Parametrisierung fortgelassen.-- Kilian Klaiber 23:15, 19. Apr 2005 (CEST)

Die Basis $\{(\mathrm {d} x_{1})_{p},\ldots ,(\mathrm {d} x_{n})_{p}\}$ ist dual zur kanonischen Basis

$\{(\partial _{1})_{p},\ldots ,(\partial _{n})_{p}\}\quad \mathrm {mit} \ \partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$

des Tangentialraumes $\mathrm {T} _{p}U$:

$(\mathrm {d} x_{i})_{p}((\partial _{j})_{p})=\delta _{ij}$

mit dem Kronecker-Symbol $\delta _{ij}$.

Ich würde gerne wissen, weshalb die Differntialoperator :$\partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}$ eine Basis des Vektorraums ist, der Tangentialraum genannt wird. Meiner Meinung nach ist der Differentialoperator noch nicht einmal ein Element des Tangentialraums geschweige denn ein Basisvektor desselben. Das ist hier zwar schon einmal behauptet worden, ich glaube es allerdings immer noch nicht. Ein kurzer Beweis könnte Abhilfe schaffen. Ansonsten würde ich den Passus streichen, weil er falsch ist. Kilian Klaiber 23:12, 19. Mai 2007 (CEST)

Ach ja, ich bitte dabei von der Definition des Tangentialraums auszugehen: In der Differentialgeometrie ist ein Tangentialraum TxM ein Vektorraum, der in einem Punkt x eine differenzierbare Mannigfaltigkeit M «berührt». Sei $\gamma :]-\epsilon ,\epsilon [\to M$ eine differenzierbare Kurve mit γ(0) = x, dann ist:

$\xi ={\frac {d}{dt}}\gamma (0)\in T_{x}M$

ein Tangentialvektor. Die Tangentialvektoren in einem Punkt spannen einen Vektorraum auf, den Tangentialraum TxM. Siehe auch Tangentialbündel. Die Ableitung einer Kurve an einem gewissen Punkt ist nunmal etwas anderes als ein Differentialoperator, ich sage nur Äpfel und Birnen! Kilian Klaiber 23:42, 19. Mai 2007 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 00:10, 20. Sep. 2020 (CEST)

Fragen zum Beispiel der Entropie

• a) "...$\delta Q$ den Wärmeaustauschkontakt..." ist Wärmeaustauschkontakt ein etablierter Begriff für eine Wärmemenge? Gibt es Belege für dessen Verwendung in diesem Sinne?
• b) Was soll der Vektorpfeil über $\delta Q$ in dem Integral, $\delta Q$ ist doch eine 1-form oder?
• c) Bei dem thermodynamischen System Gas (mit einer konstanten Stoffmenge) können nicht alle drei Koordinaten p, V, T unabhängig voneinander sein?

ArchibaldWagner (Diskussion) 16:17, 9. Sep. 2020 (CEST)

Hallo, ich habe nun den Vektorpfeil über der 1-Form entfernt. Aus der Diskussion hierüber habe ich entnommen, dass das ein Fehler sein muss. Ich würde mich freuen, wenn der Abschnitt noch weiter überarbeitet werden könnte. Ich kann dies leider nicht leisten. Beispielsweise frage ich mich, was $\varphi$ als Integrationsbereich an den letzten Integralen sein könnte.

Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 00:26, 20. Sep. 2020 (CEST)

Ist mit Clausiusschen Ungleichung die Clausius-Duhem-Ungleichung gemeint? --Christian1985 (Disk) 00:29, 20. Sep. 2020 (CEST)

Als Clausiussche Ungleichung/Gleichung wird in manchen Büchern (z.B. Physik Brockhaus) die Formulierung des 2. Hauptsatzes nach Rudolf Clausius in "Formelschreibweise" genannt. "Clausius-Duhem-Ungleichung" wird diese wohl nur im Zusammenhang des 2. Hauptsatzes mit bestimmten thermodynamischen Systemen (nämliche homogene Materialien) verwendet. Wesentlich ist bei letzterem die explizite Darstellung der "Arbeitsform" für kontinuierliche Materialen. ArchibaldWagner (Diskussion) 15:34, 20. Sep. 2020 (CEST)

Hallo @Christian1985:, ich habe den Abschnitt über die Entropie entfernt und ihn durch einen Abschnitt über die Verwendung von 1-Formen in der Thermodynamik ersetzt. Der Abschnitt über die Entropie enthielt Fehler und weiter Größen, die ohne zusätzliche Erläuterung unklar bleiben. Die Thematik der Entropie sollten wir dem Artikel Entropie überlassen, sie gehört m.E. mit zu den häufig nicht richtig verstandenen Themen in der Physik und hier wo es nur um Beispiele für die Verwendung von 1-Formen geht, ist nicht der Platz dieses Konzept unmissverständlich darzustellen. Dagegen habe ich versucht in den Artikel etwas Text einzufügen, welcher dartellt, auf welcher Menge (Mannigfaltigkeit) in der Thermodynamik eigentlich 1-Formen agieren. Auch halte ich den Begriff Mannigfaltigkeit hier für hilfreich, da gerade bei Betrachtungen in der Thermodynamik sehr häufig ein Wechsel von Koordinatensystemen notwendig ist. ArchibaldWagner (Diskussion) 12:25, 22. Sep. 2020 (CEST)

Super, vielen Dank! --Christian1985 (Disk) 17:31, 23. Sep. 2020 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 17:30, 23. Sep. 2020 (CEST)

Ein späte eingeschobene Bemerkung einer IP, ein Jahr nach Beginn der Diskussion, hierher verschoben, um Klarheit über die Chronologie der Diskussion zu gewährleisten. ArchibaldWagner (Diskussion) 21:48, 30. Sep. 2021 (CEST)

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a) Ich beantworte einmal die Fragen. Ja Wärmeaustausch ist ein feststehender Begriff. Q stellt die Wärmemenge eines Systems dar, $\delta Q$ stellt den Austausch der Wärme des Systems mit einer Umgebung dar. Der Wärmeaustausch kann durch Wärmefluss, durch Teilchentransport aber auch durch Wärmestrahlung erfolgen.

b) 1-form sind Elemente eines Vektorraumes, d.h. es handelt sich um Vektoren. Das steht schon in der Einleitung des Artikels: "Derartige Linearformen heißen Kotangentialvektoren; sie sind Elemente des Dualraumes ${\displaystyle \mathrm {T} _{p}^{*}U}$ des Tangentialraumes ${\displaystyle \mathrm {T} _{p}U}$" Deshalb ist es zwar ungewöhnlich aber vollkommen korrekt sie als Vektoren darzustellen. Aber leider geht bei der Lektüre des Artikels diese Einsicht offenbar verloren.

Den Zusammenhang können sie auch hieran erkennen: Die Differentiale ${\displaystyle dx_{i}}$ sind einfach die entsprechenden Basisvektoren des Dualraums, also: ${\displaystyle \left\langle {\vec {e}}_{i},\cdot \right\rangle =dx_{i}}$

Erst wenn sie das verstanden haben, dann wissen sie, was Pfaffsche Formen sind.

c) Wer sagt, dass die Stoffmenge konstant seien muss?

Im übrigen halte ich überhaupt nichts von den Änderungen, weil es darum ging zu erklären, was der Unterschied zwischen der Differentialform dQ und der Differentialform $\delta Q$ ist.

Das ist durch die Änderungen vollkommen untergegangen. Der Zusammenhang zwischen den Differentialformen in der Thermodynamik und der Definition von Differentialformen ist vollkommen untergegangen, weil man den Zusammenhang offenbar nicht verstanden hat. (nicht signierter Beitrag von 90.186.230.241 (Diskussion) 15:41, 30. Sep. 2021 (CEST))

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