Diskussion:Primfaktorzerlegung

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Frage zum Eindeutigkeitsbeweis

Ab der Stelle "Es gilt also etwa [...]" wird weder benutzt, dass n minimal ist, noch dass es 2 verschiedene Zerlegungen seien. Also ist es eigentlich ein direkter Beweis, die ersten Zeilen können entfallen und man kann schreiben: "Sei n=p*a=q*b eine natürliche Zahl, nicht prim [...]". --mema (Diskussion) 13:25, 28. Feb. 2014 (CET)

Es wurde aber vorher benutzt, man kann nicht mitten im Beweis die Voraussetzungen fallen lassen, die zu der Stelle geführt haben. Du kannst den Beweis auch direkt führen, aber so gehts schneller. Bei deinem Ansatz musst du nämlich ne Fallunterscheidung für p=q und p<>q machen.--Frogfol (Diskussion) 16:55, 28. Feb. 2014 (CET)

Dass nachträglich Fallenlassen nicht geht ist klar. Aber mir ist nicht klar, wo es vorher nötig war. Ups, doch: p=q ist bei mir nicht ausgeschlossen, jetzt hab' ich's gesehen. Korrekt? --mema (Diskussion) 22:05, 28. Feb. 2014 (CET)

Du hast es erfasst. Gruß--Frogfol (Diskussion) 22:47, 28. Feb. 2014 (CET)

Abschnitt Gödelzahlen

per Editwar ohne Begründung wieder eingefügt, siehe [1], sollte mit der angegebenen Begründung erneut gelöscht werden. Eine Erwähnung der Gödelzahlen und auch eine einigermaßen saubere Beschreibung der eineindeutigen Abbildung wären meiner Ansicht nach ok, aber so ist es unmöglich. Die Abzählbarkeit der Menge der algebraischen Zahlen wurde zuerst von Cantor bewiesen ([2]), so oder ähnlich ist es auch heute noch üblich und lässt sich leicht auf Ringe ohne eindeutige Primfaktorzerlegung verallgemeinern. --84.130.134.122 21:46, 11. Mai 2016 (CEST)

Ich habe die Beschreibung der Abbildung notdürftig repariert und den übertriebenen Bezug zur Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen gelöscht. --84.130.137.135 10:33, 19. Mai 2016 (CEST)

Neufassung des Beweises der Existenz

Die Idee des Beweises wurde belassen, jedoch ein Versuch unternommen, einzelne Formulierungen zu bessern.

(1) Vorgefunden: "Der Eins wird das leere Produkt zugeordnet " - Eine Definition für "leeres Produkt" war nicht angegeben, ein Link fehlte ebenfalls. Der Begriff ist auch nicht erforderlich, um den Beweis zu führen.

(2) Da $0$ als natürliche Zahl aufgefasst werden kann, sollte der Beweis einen Hinweis auf Überlegungen zur Teilbarkeit dieser Zahl enthalten.

(3) Das nachgestellte Argument "aufgrund der Wohlordnung von $\mathbb {N}$" geht logisch voran. Eine Definition für "Wohlordnung" war nicht angegeben, ein Link fehlte ebenfalls. Der Link ist ergänzt.

(4) Die Formulierung kann gerafft, das verwendete Vokabular sparsamer gewählt werden.

--Psychironiker (Diskussion) 13:38, 31. Dez. 2018 (CET)

(1): "leeres Produkt" ist weiter oben verlinkt. Man braucht das schon, wenn der Satz heißt, dass jede natürliche Zahl n mit n > 0 eine (bis auf Reihenfolge) eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen hat. Mit "Für 1 ist nichts zu zeigen" kann man sich da nicht herauswinden. Man muss sagen, wie das Produkt aussieht, und das ist eben das leere.

(2): Die 0 hat keine Primfaktorzerlegung in diesem Sinn. Sie ist auch nicht wirklich Gegenstand des Satzes. "Für 0 ist nichts zu zeigen" ist daher etwas fehl am Platz. Stimmt zwar irgendwie, weil 0 nicht größer als 0 ist, aber etwas eleganter ist es wahrscheinlich, von vorn herein die Aussage des Satzes nur über $\mathbb {N} \setminus \{0\}$ quantifizieren zu lassen.

(3): Eigentlich geht die Sache natürlicher mit "starker Induktion". Damit muss man nicht so von hinten durch die Brust ins Auge und wenig portabel argumentieren.

--Daniel5Ko (Diskussion) 23:35, 5. Jan. 2019 (CET)

Neufassung des Beweises der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung

(1) Formulierungen aus dem Beweis der Existenz der Primfaktorzerlegung können aufgegriffen werden. Damit werden Analogien und Unterschiede beider Beweisgänge klarer.

(2) In der vorgefundenen Formulierung wird die Koexistenz genau zweier unterschiedlicher Primfaktorzerlegungen derselben Zahl zum Widerspruch geführt. Die (beweislogisch notwendige) Schlussfolgerung, dass mindestens dann auch die Annahme der Koexistenz mehr als zweier unterschiedlicher Primfaktorzerlegungen zum Widerspruch führt, ist in der Neuformulierung explizit formuliert.

(3) Der vorgefundene Beweis arbeitet mit einer Unterannahme, die nicht als solche gekennzeichnet ist. Letzteres erscheint vorteilhaft.

(4) Die Faktoren $a,b$ ist augenscheinlich aus dem (in der Wikipedia aktuell hinterlegten) Beweis des Lemmas von Euklid übernommen; ihre Einführung erscheint hier umständlich und vermeidbar (s.u. 5.). Eine Argumentation mit (den im Beweis der Existenz der Primfaktorzerlegung eingeführten) Primfaktorenprodukten erscheint gegenstandsnäher.

(5) Vorgefundene Formulierung:

"Da $n$ durch $p$ teilbar ist, muss einer der Faktoren der anderen Zerlegung durch $p$ teilbar sein und das ist $b$, denn $q$ ist prim. Also taucht ein beliebiger Primfaktor stets in beiden Zerlegungen auf und damit sind sie identisch."

Prinzip der Argumentation ist hier anscheinend die Identität endlicher Mengen (an Primfaktoren), die sich wechselseitig inkludieren. Mengen enthalten aber identische Elemente genau einmal. Entsprechend wird die Argumentation angreifbar, wenn ein Primfaktor in beiden Zerlegungen in verschiedener Potenz vorkommt. So taucht „ein beliebiger“ Primfaktor von $2^{2}\cdot 3=12$, also $2$ oder aber $3$, auch in $2\cdot 3^{2}=18$ auf und umgekehrt, ohne dass diese Primfaktorprodukte deswegen identisch wären. Möglicherweise ließe sich das Problem mit einer Unterscheidung einzelner Faktoren einer Primfaktor-Potenz durch Indizierung bereinigen, aber hiervon ist nichts in der vorgefundenen Formulierung ausgeführt.

Es ist aber auch gar nicht erforderlich, die Identität der beiden genannten Primfaktorzerlegungen positiv nachzuweisen, da der Beweis als Widerspruchsbeweis angelegt ist. Die Neufassung kommt ohne Inklusionsüberlegung aus; ich hoffe, das klappt besser.

--Psychironiker (Diskussion) 02:43, 1. Jan. 2019 (CET)

"Angenommen werde weiter, dass die Elemente eines geeignet gewählten Paares {\displaystyle (p_{i=0},q_{i=0})} {\displaystyle (p_{i=0},q_{i=0})} von Primfaktoren gleich sind." Wieso sollte es ein solches Paar geben? Auf dieser unzulässigen Annahme stützt sich aber der ganze Beweis. --109.41.193.129 14:24, 17. Sep. 2019 (CEST)

Problem mit Existenzbeweis

Wenn ich das richtig verstanden habe, geht die Annahme davon aus, dass die Menge derjenigen Zahlen, die keine Primfaktorzerlegung besitzen, selbst keine Primzahlen enthält (diese wurden bereits ausgeschlossen).

Dann verstehe ich aber nicht die Schlussfolgerung "Da n > 1 keine Primzahl ist, hat n nichttriviale Teiler". Wendet man hier die Existenz der Primfaktorzerlegung nicht bereits an, die man doch gerade erst beweisen will?

Denn die Annahme meint doch eine dritte Sorte Zahlen: keine Primzahl, aber auch nicht zerlegbar. Und muss erst noch beweisen, dass es diese Sorte nicht gibt. --93.245.31.174 14:03, 4. Okt. 2021 (CEST)

mit der Folgerung "n hat nichttriviale Teiler" wendet man die Definition von "Primzahl" an: eine solche hat keinen Teiler größer 1 und kleiner als sie selbst. Weil für n keine PFZ existiert, ist n auch keine Primzahl (denn jede Primzahl ist selbst ihre PFZ), also hat n einen Teiler a > 1, a < n --Megatherium (Diskussion) 20:50, 4. Okt. 2021 (CEST)