Diskussion:Primzahl/Archiv/2

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[[Diskussion:Primzahl/Archiv/2#Thema 1]]

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https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Primzahl/Archiv/2#Thema_1

Länge zwischen Nicht-Primzahlen

Habe kürzlich herausgefunden, dass es zwischen den einzelnen natürlichen Zahlen, die KEINE Primzahlen sind, immer gerade Differenzen gibt: Wollte es in einem Lemma erklären. Welches wäre hierfüf am besten geeignet. Zudem fehlt noch der Artikel Primlänge, welcher sich auf die Zweierpotenz bezieht und sich daraus ergibt, welcher Potenzwert oder dessen Abweichung nahe genug unterschreitet oder aber genau trifft, von der man die Primlänge wissen will. --JARU Postfach ^Feedback? 20:45, 21. Okt. 2010 (CEST)

?? Wo gibt es eine gerade Differenz zwischen den Nicht-Primzahlen 8 und 9? -- tsor 21:09, 21. Okt. 2010 (CEST)

Leeres Produkt und Fundamentalsatz

Ja, mir ist aufgefallen, dass der Fundamentalsatz auch meist mit > 1 formuliert wird. Das krankt aber an mehreren Stellen. Erstens könnte man genauso gut wie über ein leeres Produkt auch über ein einstelliges Produkt sagen, es sei in Wahrheit gar kein Produkt. Zweitens würde dies dazu führen dass man nicht nur > 1, sondern auch nicht-prim fordern müsste. Alles blöd. Es wäre vielleicht gut, wenn man eine Quelle für eine "moderne Variante" des Fundamentalsatzes fände. Oder spricht irgend etwas substanzielles gegen die 1? --Daniel5Ko 20:59, 15. Jan. 2011 (CET)

@Xario, du meinst in deinem Kommentar: "1.: aussage taucht mehrmals im artikel auf, 2.: 1 ist kein produkt von primzahlen! ihr das leere prod zuzuweisen ist konsistent, aber kein prod von primzahlen. Zurückgesetzt."

Zu 1.) Wo taucht sie denn noch auf. Ich hab' mal ganz intensiv überflogen, und nichts gefunden.

Zu 2.) Warum ist das leere Produkt kein Produkt von Primzahlen? Weil keine Primzahlen drin vorkommen, oder wie? Das stimmt natürlich. Andererseits sind aber alle Faktoren im leeren Produkt Primzahlen. Und das ist ja auch eigentlich die Forderung an die Zerlegung: Wir wollen nicht, dass eine Primzahl als Faktor irgendwo vorkommt (das wäre ja langweilig, und auch nicht besonders eindeutig), sondern, dass alle Faktoren Primzahlen sind.

Unser de-WP Fundamentalsatz der Arithmetik schränkt gegenwärtig übrigens auch nicht auf >1 ein.

--Daniel5Ko 21:15, 15. Jan. 2011 (CET)

zu oberem Beitrag: Den wichtigen Punkt, warum ich dich revertiert habe, fette ich mal in der folgenden Aussage: "Jede nat. Zahl (>1) lässt sich eind. als Produkt von Primzahlen darstellen." 1 hat halt keinen Primfaktor. Die Eins in die Aussage miteinzubeziehen liefert aber auch keine substanziellen Vorteile. Eins ist ja ne Einheit (Mathematik), als solche eigentlich von PFZ- Betrachtungen ausgeschlossen. (Bei den Gausszahlen z.B. gibt es derer ja schon vier verschiedene!) Die Zuordnung des leeren Produktes bei nat. Zahlen passiert imho hauptsächlich aus kombinatorischen Gründen.

zu 1: Äh ja, zweimal, hatte deinen zweiten Edit übersehen, is egal.

zu 2: ja, weil keine Primzahl drin vorkommt. Allaussagen, die sich auf die leere Menge beziehen, haben nicht wirklich viel Aussagekraft. Und der Artikel zur PFZ macht die Sonderstellung der 1 schon deutlich, ich nehme die Diskussion hier aber mal als Anlass, zu überlegen, ob das da noch weiter erläutert werden sollte. --χario 22:12, 15. Jan. 2011 (CET)

Zu 2.: Nun, meine Erfahrung ist, wenn All-Aussagen im vakuösen Fall falsch werden (sollen), hat man irgendwo ein ernsthaftes Problem.

Zu Gaußsche Zahl (oder auch ganze Zahl): Wenn man strikt zwischen Primelementzerlegung und Multiplikation mit einer Einheit (oder mehreren) trennt, kann man viel von der Eindeutigkeit retten. Mit ">1" hat das aber eher weniger zu tun, zumal das in den Gauß-Zahlen ohnehin nicht hübsch definiert werden kann (Ist $1-i>1$ ??). Auch damit, dass 1 das leere Produkt von Primzahlen (oder anderem Zeug) ist, hat das wenig zu tun. Die Tatsache, dass z.B. $-1\times -1=1$ tut der wie auch immer halbwegs geretteten Eindeutigkeit ja keinen Abbruch, weil $-1$ kein Primelement ist. Sehe ich 'was nicht? --Daniel5Ko 23:22, 15. Jan. 2011 (CET)

Kurz gefragt: gibt es ein Beispiel, wo es möglich ist, 1 in etwas anderes als das leere Produkt (von Primelementen!) zu faktorisieren? (Und in wie fern ist das nicht zu weit hergeholt, um für den vorliegenden Artikel von Bedeutung zu sein? ;) ) --Daniel5Ko 00:00, 16. Jan. 2011 (CET)

Nicht ">1" sondern " ungleich 1" und im Fall von ZPE-Ringen: "ungleich Einheiten" --χario 01:24, 16. Jan. 2011 (CET)

Was soll der Ausschluss von Einheiten bringen? Soweit ich sehe, kann das weder der Existenz noch der Eindeutigkeit einer Faktorisierung in sinnvoller Weise dienen. Abgesehen davon erinnere ich daran, dass es im vorliegenden Artikel eigentlich um natürliche Zahlen geht. Die Modifikation der Bedingung ">1" zu ">0" ist für die meisten Zahlentheoretiker gleichbedeutend mit dem Wegfall der Bedingung. Das ist das nützliche an der Sache. --Daniel5Ko 11:46, 16. Jan. 2011 (CET)

Definition Primzahl ist mathematisch unpräzise

In der Definition Primzahl muss unbedingt stehen, dass sich um verschiedene Teiler handelt, ansonsten ist die Definition sinnlos, denn keine Zahl besitzt genau zwei Teiler!

Wähle z.B. zu einer gegebenen Zahl n als ersten Teiler die Zahl n, als zweiten Teiler wiederum die Zahl n und als dritten Teiler erneut die Zahl n. Diese Wahl wirkt vielleicht komisch, ist aber nicht verboten! Somit hat jede beliebige Zahl beliebig viele Teiler, und die Menge der Primzahlen, basierend auf der Definition "genau zwei Teiler" wäre die leere Menge. Aus diesem Grund muss unbedingt gesagt werden, dass es sich um "genau zwei verschiedene Teiler" handelt, nur dann erhält man das gewünschte Ergebnis.

Man beachte also, dass es sich um eine Tücke der mathematischen Notation handelt: Wählt man aus einer Menge zwei Elemente x und y aus, so muss nicht zwangsläufig x von y verschieden sein. Dies ist eine Eigenschaft, die man zusätzlich voraussetzen muss.

--KMic 23:11, 20. Aug. 2010 (CEST)

Das ist falsch. Zwei Elemente sind zwangsläufig verschieden, sonst ist es nur eins. Die Menge {2,2} enthält nur ein Element. Missverständlich ist vielleicht noch die Formulierung "zwei Teiler". Im Artikel steht aber "zwei natürliche Zahlen als Teiler". Zwei natürliche Zahlen sind aber zwangsläufig verschieden. -- Digamma 23:06, 14. Jan. 2011 (CET)

Da Digammas Antwort ein bisschen an der Frage vorbei geht, wie ich finde, hier noch 'was von mir: Beim Zählen von Dingen zählt man jedes Ding nur ein mal. Man kann zwar $n$-mal aus $\{x\}$ ein Element auswählen, für beliebige $n$, daraus folgt aber nicht, dass $\{x\}$ $n$ Elemente hat (es hat nur eins). Auch ist das nicht das selbe wie $n$ Elemente aus $\{x\}$ auszuwählen. Im übrigen ist die gegenwärtige Fassung auch normaler Sprachgebrauch. Wenn dich jemand fragt, wieviel Geld du dabei hast, wirst du für eine Antwort wie "42 verschiedene €" komische Blicke ernten. Natürlich sind es verschiedene, ansonsten könnte man sich das Zählen ja sparen. --Daniel5Ko 01:31, 15. Jan. 2011 (CET)

Ok, wenn man die "Anzahl der Teiler einer Zahl" als die "Anzahl der Elemente der Teilermenge" definiert, ist die vorliegende Primzahldefinition (mathematisch gesehen) in Ordnung. Sollten wir diese Kenntnis aber auch beim Leser voraussetzen? Ich denke, wenn wir von "verschiedenen Teilern" sprechen, wird es einfach klarer und und auch für den Laien eindeutiger. Problematisch finde ich die vorhandene Definition beispielsweise bei der Frage, ob 1 eine Primzahl ist oder nicht. Wie wäre es mit der folgenden Argumentation: Klar ist 1 eine Primzahl, denn sie ist durch 1 und durch sich selbst teilbar, hat somit zwei Teiler und laut Definition ist sie damit eine Primzahl. Wollt ihr dann jedes Mal den Erklärbär spielen? ;-) Im übrigen spricht auch die englische Wikipedia von "distinct natural number divisors" und das zusätzliche Adjektiv frisst nun wirklich kein Brot.--KMic 22:45, 5. Feb. 2011 (CET)

Man ist überhaupt nicht darauf angewiesen, von Mengen zu sprechen. Der Behauptung: "1 hat zwei Teiler: schau her: 1,1" kann man entgegensetzen: "Nee, sie hat 7 Teiler: kuck: 1,1,1,1,1,1,1. Wir zählen offenbar nicht besonders sinnvoll!".

Die Formulierung "genau zwei Teiler" hat den großen Vorteil gegenüber "nur durch sich selbst und 1 teilbar, und größer als 1" in ihrer Einfachheit und Übersichtlichkeit. So haben gute Definitionen auszusehen: Keine unnötigen Fallunterscheidungen usw.

Die Brotfresserei des Adjektivs beginnt da, wo sich der Leser fragen muss, warum die Verschiedenheit denn nun eigentlich so explizit betont wurde (wie auch schon in einem Änderungskommentar geschrieben). So nach dem Motto: "Gibt es etwa Anwendungsfälle, wo man Teiler mehrmals zählen darf und dabei irgend etwas sinnvolles und interessantes 'rauskommt? Würde mich ja mal brennend interessieren. Leider verlinkt Primzahl auf nix dergleichen! Verdammt! Was soll die Geheimniskrämerei!?" --Daniel5Ko 23:56, 5. Feb. 2011 (CET)

Kann dir leider nicht so ganz folgen. Was ist für dich eine "sinnvolle" Zählweise? Was ist deine Definition für die Anzahl k der Teiler einer natürlichen Zahl n?--KMic 01:40, 6. Feb. 2011 (CET)

Eine Zählweise ist sinnvoll, wenn sie ein an Stelle von beliebig vielen Ergebnissen liefert. Die Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl ist genau das: die Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl. Das kann man doch kaum auf primitiveres zurückführen. --Daniel5Ko 02:21, 6. Feb. 2011 (CET)

Wenn ich dich richtig verstanden habe, sollte eine sinnvolle Zählweise also ein eindeutig bestimmtes Ergebnis liefern. Aber wie rechnest du nun zu einer konkret gegebenen natürlichen Zahl die Anzahl ihrer Teiler aus?--KMic 03:19, 6. Feb. 2011 (CET)

Äh, hier mal 3 Möglichkeiten, die für $n>0$ funktionieren, und für 1 keine Verrenkungen machen müssen; zwecks Ausführbarkeit gleich mal in Haskell:

• countDivisors n = length [() | k <- [1..n], n`mod`k == 0]

(so direkt, wie's überhaupt geht)

• countDivisors' n = sum [if k*k == n then 1 else 2 | k <- takeWhile ((<=n).(^2)) [1..n], n`mod`k == 0]

(Teilerkandidaten nur bis ${\sqrt {n}}$ durchgehen)

• countDivisors'' = product . map (succ . snd) . factorize

(Hier nehmen wir eine Funktion, factorize, die die Primfaktorzerlegung ermittelt und als Liste von (Primzahl, Exponent)-Paaren zurückgibt)

Warum fragst du? --Daniel5Ko 14:42, 6. Feb. 2011 (CET)

Ok, leider kann ich kein Haskell, ich versuche aber trotzdem gerade, deinen Code nachzuvollziehen. Wie stellst du sicher, dass bei der zweiten Variante die Zahl selbst auch als Teiler gezählt wird?--KMic 15:21, 6. Feb. 2011 (CET)

Wenn ich einen Teiler $k<{\sqrt {n}}$ habe, zähle ich den zweimal, denn er repräsentiert auch den entsprechenden komplementären Teiler $n/k>{\sqrt {n}}$. Bei $k=1$ zähle ich also die Teiler 1 und n. --Daniel5Ko 16:40, 6. Feb. 2011 (CET)

Ok, ich denke ich habe nun einigermassen verstanden, wie dein Algorithmus funktioniert und was du unter der "Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl" verstehst. Wie kannst du nun aber sicherstellen, dass jemand, der deinen Algorithmus nicht kennt, bei der Berechnung der "Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl" zum gleichen Ergebnis kommt wie du?--KMic 17:25, 6. Feb. 2011 (CET)

Was ist denn am Zählen so schwer? Und warum soll im Primzahlartikel erklärt werden, wie das ordentlich geht? --Daniel5Ko 19:28, 6. Feb. 2011 (CET)

Nunja, wir haben doch oben gesehen (vgl. mein Kommentar 23:11, 20. Aug. 2010 und 22:45, 5. Feb. 2011), dass es für die umgangssprachliche Formulierung "Anzahl der natürlichen Teiler einer natürlichen Zahl" verschiedene, voneinander abweichende Interpretationsmöglichkeiten geben kann. Für dich mag es ganz klar erscheinen, was damit gemeint ist, aber wie kannst du dir sicher sein, dass für jemanden anderen nicht eine davon abweichende Interpretation ganz klar die "richtige" ist? Das ist insofern problematisch, da man dann jeweils zu verschiedenen Primzahldefinitionen kommt. Digamma hat in seinem Kommentar (23:06, 14. Jan. 2011) zwar dargelegt, dass die vorhandene Definition so schon korrekt ist, aber ich denke nicht, dass wir dieses Wissen bei jedem Leser voraussetzen können/sollten.

Ich sehe nun verschiedene Möglichkeiten, wie wir weiter vorgehen können:

1. Wir lassen die Definition so, wie sie ist und riskieren dabei, dass ein gewisser Prozentsatz der Leser die Definition falsch interpretiert
2. Wir geben explizit an, was genau unter der Teileranzahl einer Zahl zu verstehen ist (Definition oder Berechnungsalgorithmus)(schlechte Idee, eine Definition sollte möglichst selbsterklärend sein)
3. Wir formulieren die Definition so um, dass in jedem Fall unmissverständlich klar wird, was gemeint ist, auch wenn die Definition dadurch möglicherweise eine gewisse Redundanz erhält und etwas länger wird.--KMic 21:16, 6. Feb. 2011 (CET)

Ein paar Gedanken zu den Punkten:

1. Diejenigen, die das falsch interpretieren, arbeiten unweigerlich mit einem in sich widersprüchlichen (und/oder nicht besonders brauchbaren) Anzahlbegriff. Dafür gibt es unzählige Möglichkeiten, die wir im Artikel wohl kaum alle ausräumen können, ohne vom Thema abzuschweifen.
2. Die Teileranzahl ist die Anzahl der Teiler. Hä??
3. Wäre natürlich am richtigsten. Wie wär's mit oben genanntem "nur durch sich selbst und 1 teilbar und größer 1", zusammen mit einer Erwähnung, dass "genau zwei Teiler" eine elegante Kurzform davon ist? Oder andersrum: "Genau zwei Teiler; das heißt dann aufgedröselt [...]". Was auch immer wir nehmen, "genau zwei verschiedene Teiler" finde ich in jedem Fall sehr schlecht, weil möglicherweise viel irreführender als notwendig.

--Daniel5Ko 22:53, 6. Feb. 2011 (CET)

Ich bin für Vorschlag 3: unmissverständlich , auch wenn die Definition dadurch möglicherweise eine gewisse Redundanz erhält.. Begründung: WP:OMA --NeoUrfahraner 09:10, 7. Feb. 2011 (CET)

PS: Bei "nur durch sich selbst und 1 teilbar, und größer als 1" trifft der Kritikpunkt "Keine unnötigen Fallunterscheidungen" ins Leere, denn die Fallunterscheidung n=1 ist nicht "unnötig", sondern führt bekanntlich immer wieder zu Diskussionen (und hat sogar einen eigenen Abschnitt im Artikel). 1 ist nicht etwa deswegen keine Primzahl, weil es sich natürlicherweise aus der Definition ergibt, sondern umgekehrt, die Definition wird "unnatürlich", damit 1 ausgechlossen wird. --NeoUrfahraner 09:21, 7. Feb. 2011 (CET)

Ich meinte: Sie ist deshalb unnötig, weil eine alternative Definition existiert, die ohne sie auskommt.

Wenn ich feststellen will, ob eine natürliche Zahl eine Primzahl ist, muss ich bei der einen Variante erstmal schauen, ob sie größer als 1 ist, und je nach Testergebnis unterschiedliche weitere Schritte einleiten. Bei der anderen Variante mache ich immer das gleiche: Teiler zählen, gefundene Anzahl mit 2 vergleichen. --Daniel5Ko 20:15, 7. Feb. 2011 (CET)

Von mir aus. Nur sollte das Ziel der Wikipedia nicht sein, eine minimale Definition anzugeben, sondern eine möglichst verständliche. Einverstanden? --NeoUrfahraner 20:48, 7. Feb. 2011 (CET)

Klar. Hab' mal was gebastelt. Je nach Geschmack gerne umdrehen oder ähnliches... Mit dem mal eben einfach so behaupteten "historisch" habe ich leichte Bauchschmerzen, da das weiter ausgeführt oder belegt oder anders umschrieben oder doch besser wieder gelöscht werden müsste. Feuer frei! :) --Daniel5Ko 21:00, 7. Feb. 2011 (CET)

Nach meinem Geschmack bitte umdrehen. Dann fällt auch das Problem mit "historisch" weg. --NeoUrfahraner 21:26, 7. Feb. 2011 (CET)

Die Frage, ob "genau 2 Teiler" oder "größer als 1 und nur durch 1 und sich selbst teilbar" die bessere Definition ist, wurde bereits hier mehr als ausführlich diskutiert. Ich kann nur davor warnen, diese Diskussion wieder aufbrechen zu lassen. Auch hätte ich mir gewünscht, dass zunächst das Ende der Diskussion abgewartet wird, bevor Änderungen am Artikel vorgenommen werden. Die jetzige Artikelversion mit zwei verschiedenen Definitionen in der Einleitung geht meiner Meinung nach garnicht. Nur zur Erinnerung: meine ursprüngliche Frage war: Schreiben wir "genau zwei natürlichen Zahlen als Teiler" oder "genau zwei verschiedene natürliche Zahlen als Teiler". Alle weiteren Erklärungen, Ergänzungen, Änderungen oder sonstiges finde ich kontraproduktiv.--KMic 23:11, 7. Feb. 2011 (CET)

Wie schon gefühlte 7 mal geschrieben: "genau zwei verschiedene Teiler" ist im günstigsten Fall unnötig und dümmlich, und im ungünstigsten Fall (ein intelligenter, selber denkender, forschender und interessierter Leser) irreführend. --Daniel5Ko 23:51, 7. Feb. 2011 (CET)

OK, wenn wir uns so nicht einigen können, dann muss WP:Q weiterhelfen:

Walter Gellert, Herbert Kästner, Dr. Siegfried Neuber (Hrsg), Lexikon der Mathematik, VEB Bibliographisches Institut, Leipzig 1979:

Primzahl: eine natürliche Zahl $p\neq 1$ und $p\neq 0$, die nur die trivialen Teiler 1 und $p$ hat.

Hans Schubart: Einführung in die klassische und moderne Zahlentheorie. Vieweg 1974:

Jede natürliche Zahl $n$ lässt sich als $1\cdot n$ schreiben. 1 und $n$ heißen daher auch "triviale Teiler der Zahl $n$". Natürliche Zahlen, die genau zwei Teiler besitzen, sind uns als Primzahlen bekannt.

Nöbauer, Wiesenbauer: Zahlentheorie. Prugg Verlag Eisenstadt, 1981:

Eine ganze Zahl $p>1$ heißt Primzahl, wenn sie außer den trivialen Teilern keine weiteren Teiler besitzt.

Was sagen Eure Quellen? --NeoUrfahraner 07:44, 8. Feb. 2011 (CET)

Ich bin gebeten worden, mir die Diskussion hier mal anzuschauen.

1. Ich glaube nicht, dass hier WP:Q einschlägig ist. Es geht ja nicht um unterschiedliche Auffussung in der Sache (was ist eine Primzahl), sondern um unterschiedliche Auffassungen in der Darstellung.

2. Mir gefällt die jetzige Formulierung

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die größer als eins und nur durch sich selbst und durch eins teilbar ist. Eine moderne Variante der Definition lautet: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat.

der Einleitung durch Daniel5Ko sehr gut. Um weniger zu verwirren könnte man den zweiten Satz statt als alternative Definition als Charakterisierung formulieren:

Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat.

Die Definition mit "nur durch eins und durch sich selbst teilbar" gefällt mir besser als die mit "genau zwei Teiler", für mich ist das auch der Tenor aus der alten Diskussion, auch wenn dort letztlich etwas anderes herauskam. (Ich habe nicht alles davon gelesen.)

3. Was die Diskussion hier betrifft, so kann ich Daniel5Kos Aussage

"genau zwei verschiedene Teiler" ist im günstigsten Fall unnötig und dümmlich, und im ungünstigsten Fall (ein intelligenter, selber denkender, forschender und interessierter Leser) irreführend."

nicht folgen. Gerade wenn Elemente einer Menge in Listenform notiert werden (und bei Teilern ist das häufig der Fall), entsteht oft Verwirrung darüber, ob die Elemente der Menge oder die Einträge der Liste gezählt werden. Der Beitrag von KMic, der diese Diskussion eröffnet, zeigt, dass selbst "ein intelligenter, selber denkender, forschender und interessierter Leser" die Formulierung "genau zwei Teiler" falsch verstehen kann.

(Mathematiker schreiben oft Sätze wie "Seien x und y zwei reelle Zahlen", ohne damit aussagen zu wollen, dass x und y verschieden sind. Das ist zwar Schlamperei, aber häufig. Es wird hier schlicht die Anzahl der Namen und die Anzahl der Dinge vermischt. Wenn ich hier sagen klarstellen wollte, dass x und y verschieden sind, dann würde ich schreiben "Seien x und y zwei verschiedene reelle Zahlen", und das obwohl eines der beiden Wörter "zwei" und "verschieden" überflüssig ist.)

-- Digamma 16:10, 8. Feb. 2011 (CET)

Bei "verschieden" geht es ja anscheinend vor allem darum, dass die 1 als Primzahl ausgeschlossen ist, dass also einer der beiden Teiler von 1 verschieden ist. Seh ich das richtig? --NeoUrfahraner 17:19, 8. Feb. 2011 (CET)

Im Prinzip ja. Lies aber auch noch mal den ursprünglichen Diskussionsbeitrag von KMic ganz oben in dem Abschnitt. -- Digamma 17:30, 8. Feb. 2011 (CET)

Ganz oben geht es vor allem um die Frage, wie man Vielfachheiten "richtig" zählt. Das wird allerdings durch das Wort "veschieden" auch nicht erklärt, weil nicht ersichtlich ist, ob das Wort redundant verwendet wird oder nicht. Ist es redundant, warum wird es dann verwendet? Ist es nicht redundant, was sind dann zwei nicht-verschiedene Teiler? Wenn die richtige Zählung unklar ist, muss die irgendwie anders erklärt werden. --NeoUrfahraner 18:38, 8. Feb. 2011 (CET)

In etwa dieses Nachdenken meinte ich mit der Irreführung. Jemand der meint, dass das Wort redundant ist (weil es das ja ist...) muss sich fragen, warum es verwendet wird und kommt deshalb vielleicht auf die seltsamsten Ideen, die nirgends hinführen.

Nebenbei, um zu zeigen, dass die explizite Betonung der Verschiedenheit der Teiler offenbar gar nichts bringt, hier mal ein Zitat aus C++ for Engineers and Scientists, 3rd edition, von Gary J. Bronson,G. J. Borse, S. 290 (Über Google Books auffindbar):

7. (Numerical Analysis) A prime integer number is one that has exactly two different divisors, namely 1 and the number itself. Write, run, and test a C++ program that finds and prints all the prime numbers less than 100. (Hint: 1 is a prime number. [...])

Ist das nicht toll? Zwei Sätze nach der Rezitation einer einigermaßen korrekten Definition (man müsste eigentlich von natural numbers statt integer numbers sprechen, aber das ist Kleinkram) mitsamt Verschiedenheitsbetonung ist 1 doch wieder eine Primzahl! Da weiß man nicht, ob man lachen oder heulen soll. --Daniel5Ko 19:28, 8. Feb. 2011 (CET)

Zurück zum Beitrag von [Benutzer:Digamma|Digamma]]. Von den bisherigen Vorschlägen gefällt mir die Variante "alternative Definition als Charakterisierung formulieren" am besten:

Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat.

am besten. "zwei verschiedene Teiler" halte ich aus vorher genannten Gründen für mehr verwirrend als hilfreich. Wenn, dann müsste man die richtige Zählung anders erklären, beispielsweise als

Eine Primzahl $p$ ist also eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat, nämlich 1 und $p\neq 1$. --NeoUrfahraner 07:14, 9. Feb. 2011 (CET)

Ich kann nicht so ganz nachvollziehen, wieso das zusätzliche Wort "verschieden" mehr verwirrend als hilfreich sein soll. Ja, es ist korrekt, dass die explizite Betonung der Verschiedenheit zum Nachdenken anregt (und sogar anregen soll): Wieso steht das da? Ist das denn nicht sowieso klar? Im Idealfall sollte dann (zumindest in meiner Vorstellung ;-)) der interessierte Leser selbst darauf kommen, dass durch die Verschiedenheit der Teiler eben gerade die 1 als Primzahl ausgeschlossen wird.--KMic 14:50, 9. Feb. 2011 (CET)

Wenn es darum geht, dass "die 1 als Primzahl ausgeschlossen wird", dann soll es auch so dort stehen und nicht als Rätsel formuliert werden. --NeoUrfahraner 14:59, 9. Feb. 2011 (CET)

Damit hast du Recht. Wie wäre es mit folgender Formulierung als Einleitung:

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei verschiedenen natürlichen Zahlen als Teiler, nämlich der Zahl 1 und sich selbst. Aus der Forderung nach verschiedenen Teilern folgt, dass die Zahl 1 keine Primzahl ist. Warum man die Definition auf diese Weise wählt, wird im Abschnitt "Primzahl#Warum ist die Zahl 1 keine Primzahl?" erklärt. Häufig anzutreffende äquivalente Definitionen sind im Abschnitt Primzahl#Alternative Definitionen aufgeführt. Die kleinsten Primzahlen sind

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 … (Folge A000040 in OEIS)

Hierbei würde ich vorschlagen, häufig anzutreffende äquivalente Primzahldefinitionen in einem neuen Abschnitt "Alternative Definitionen" zu sammeln - eine schöne Auswahl hat NeoUrfahraner ja bereits oben präsentiert, sogar mit Quellenangabe :-). In der Einleitung sollte aber wirklich nur eine Definition stehen.--KMic 16:45, 9. Feb. 2011 (CET)

Inspiriert von Digammas '"Seien x und y zwei reelle Zahlen", ohne damit aussagen zu wollen, dass x und y verschieden sind' habe ich mir mal einen Spaß daraus gemacht, das mit dem "genau zwei Teiler" irgendwie auf geordnete Paare umzumünzen, denn dort ist ja sowohl Mehrfachnennung möglich, als auch die Reihenfolge von Belang. Danach immer stärkere Bedingungen an die Paare gestellt:

• n ist Primzahl wenn es genau 4 (natürlich verschiedene, aber was soll das? Wir zählen!) Paare von Teilern von n gibt. (Das sind dann (1,1),(1,n),(n,1),(n,n), n ungleich 1)
• n ist Primzahl wenn es genau 2 (natürlich verschiedene, aber was soll das? Wir zählen!) Paare von verschiedenen Teilern von n gibt. (Das sind dann (1,n),(n,1), n ungleich 1)
• n ist Primzahl wenn es genau 1 (verschiedenes) Paar (x,y) von Teilern von n mit x<y gibt. (Das ist dann (1,n), n ungleich 1)

Letzteres sagt nichts anderes aus, als dass n genau 2 Teiler hat, nur auf seltsame Art. Man sieht an dem Satz auch, wie komisch das "verschiedene" werden kann. Man stelle sich auch mal so etwas Haarsträubendes wie "Nein, 1 ist keine Primzahl, denn sie hat nur einen verschiedenen Teiler!" vor. Oh Gott.

Ich würde im Übrigen auch mal eine Suche auf Google Books empfehlen. Sucht man nach "exactly two divisors" kriegt man ca. 200 Ergebnisse mit teils schönen Expositionen. Eine Suche nach "exactly two different divisors" ergibt ca. 30 Treffer, u.a. oben zitiertes C++-Buch.

Die Darstellungen, die ich am besten finde, beginnen mehr oder weniger mit der Annahme, dass das Zählen von Teilern keine Kunst ist (Warum sollte das auch eine sein? Die 1 hat übrigens einen), stellen dann fest, dass jede nat. Zahl > 1 mindestens 2 Teiler hat, und definieren dann diejenigen mit genau 2 Teilern als Primzahlen. --Daniel5Ko 18:28, 9. Feb. 2011 (CET)

Ad KMic: Genausogut könnte man auch folgende Formulierung nehmen:

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Zahlen als Teiler, nämlich der Zahl 1 und sich selbst. Aus der Forderung nach genau zwei Teilern folgt, dass die Zahl 1 keine Primzahl ist (weil 1 nur einen Teiler hat).

Ad Daniel5Ko: Der letzte Absatz bringt es ganz gut auf den Punkt: das Zählen von Teilern ist zwar keine Kunst, aber nur, wenn es an ein paar simplen Beispielen erläutert wird (Zitat: stellen dann fest, dass jede nat. Zahl > 1 mindestens 2 Teiler hat). Steht "genau zwei Teiler" ohne erklärenden Kontext allein im Raum, kann ich mir schon vorstellen, dass jemand auch "1 und p" für "p=1" als zwei Teiler zählt. Der erklärenden Kontext vermeidet allerdings (hoffentlich) dieses Missverständnis. --NeoUrfahraner 18:44, 9. Feb. 2011 (CET)

Ja, leider kann man den erklärenden Kontext aber nicht rechtzeitig in einem Satz der Form "Eine Primzahl ist [...]" unterbringen, ohne dass er furchtbar wird. Oder doch? Ideen? --Daniel5Ko 20:14, 9. Feb. 2011 (CET)

Ich möchte nocheinmal folgenden Punkt aus der alten Diskussion betonen: Primzahlen werden nicht deshalb ausgezeichnet, weil die Anzahl 2 ihrer Teiler etwas besonderes wäre. Sondern deshalb, weil sie keine trivialen Teiler haben, wobei die 1 und die Zahl selbst als "triviale" Teiler gelten. In vielen Fällen betrachtet man in der Zahlentheorie nicht die Menge N, sondern den Ring Z. Primzahlen haben dann 4 Teiler, nämlich, 1, -1, p und -p. In Verallgemeinerungen bezeichnet man Ringelemente p als "irreduzibel", wenn sie keine Einheit sind (kein multiplikatives Inverses haben) und als Teiler nur Einheiten und solche Elemente haben, die aus p durch Multiplikation mit einer Einheit hervorgehen. Es kommt also nicht auf die Zahl der Teiler, sondern auf die Art der Teiler an. Die Eins wird nicht deshalb ausgeschlossen, weil sie nur einen Teiler hat, sondern weil sie eine Einheit ist. -- Digamma 19:15, 9. Feb. 2011 (CET)

Ich dachte, dies hier sei inzwischen vor allem 'ne OMA-Diskussion. :) --Daniel5Ko 22:13, 9. Feb. 2011 (CET)

Danke für die Hintergründe, war mir so tatsächlich noch nicht bewusst. Ich schätze aber, beim zweiten Satz wolltest du eigentlich "..., weil sie keine anderen als die trivialen Teiler haben, ..." schreiben.--KMic 00:50, 10. Feb. 2011 (CET)

Ad NeoUrfahraner: Dein Vorschlag gefällt mir ziemlich gut - so bleibt die Definition ohne (unbeliebte ;-)) Redundanz und der erklärende zusätzliche Satz sollte mögliche Missverständnisse ausräumen. In leichter Abwandlung der obigen Formulierungen schlage ich daher nun folgenden Beginn der Einleitung vor:

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Zahlen als Teiler, nämlich der Zahl 1 und sich selbst. Aus der Forderung nach genau zwei Teilern folgt, dass die Zahl 1 keine Primzahl ist, da diese nur einen Teiler hat. Die Hintergründe, warum 1 nicht als Primzahl angesehen wird, werden im Abschnitt "Primzahl#Warum ist die Zahl 1 keine Primzahl?" erklärt. Häufig anzutreffende äquivalente Primzahldefinitionen sind im Abschnitt Primzahl#Äquivalente Definitionen aufgeführt.

Wäre dieser Vorschlag annehmbar?--KMic 01:17, 10. Feb. 2011 (CET)

Ad Digamma: Ich stimme völlig zu, dass die Anzahl der Teiler völlig nebensächlich ist und die "klassische" Defintion den Kern der Sache trifft. Der Gedanke lässt sich gut weiterspinnen, wenn man der Frage nachgeht, was die natürlich Verallgemeinerung der Definition ist. Nimmt man die Definition, dass eine Primzahl genau zwei Teiler hat, so kommt man auf eine Klassifizierung nach der Teileranzahlfunktion, also Zahlen mit einem Teiler, zwei Teilern, drei Teilern etc. Das ist vielleicht ganz lustig, liefert aber meines Wissens keine besonders interessanten Resultate. Nimmt man hingegen die Definition, dass eine Primzahl nur die trivialen Teiler hat, so liefert die Verallgemeinerung, wie Du schon gesagt hast, in der weiteren Folge in der Ringtheorie wichtige Aussagen.

Damit stellt sich die Frage, warum überhaupt die Variante mit "genau zwei Teilern" genommen werden soll. Diese Variante wurde von Benutzer:Phasenverschiebung ( http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Primzahl&diff=prev&oldid=349287 ) statt der klassischen Variante eingeführt, Diskussion dazu habe ich keine gefunden. Den einzigen Vorteil der "genau zwei Teiler"-Definition sehe ich darin, dass die Spezialbehandlung der Eins scheinbar wegfällt. Diese Ersparnis ist aber nur scheinbar, da sie erstens den Kern nicht trifft (warum "genau zwei" und nicht "höchstens zwei"?) und zweitens offensichtlich für Verwirrung sorgt.

Ad KMic: Der Vorschlag wäre für mch natürlich annehmbar, da er ja von mir kommt. Ich sehe ihn aber nur als Notlösung, falls auf der "genau zwei Teiler"-Variante beharrt wird. Meines Erachtens reicht es aber völlig, bei der klassischen Variante "nur triviale Teile"/"nur durch 1 und sich selbst teilbar" zu bleiben. --NeoUrfahraner 07:26, 10. Feb. 2011 (CET)

PS: Ich habe im Diskussionsarchiv doch noch was gefunden:

Auch ich halte letzendlich diese Formulierung "Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur die Zahlen 1 und p als positive Teiler hat." für besser.

Das Problem ist ja immer, das irgendeinem Menschen diese Formulierung wieder nicht passt (Siehe Coma). --Arbol01 12:52, 4. Mai 2004 (CEST)

Was die Einwände von Coma waren, ist mir aber noch nicht klar. --NeoUrfahraner 07:36, 10. Feb. 2011 (CET)

Also ich favorisiere jetzt auch die "klassische" Variante. Sie ist eindeutig unmissverständlich (oder etwa nicht?), kommt definitiv ohne seltsame Formulierungen aus, und ist vernünftig verallgemeinerbar. Außerdem verbaut man sich mit der Variante nicht die Möglichkeit, irgendwo in natürlicher Sprache zu erzählen, dass 1 bis vor relativ kurzem noch als Primzahl galt. Die "hübsche" Variante kann man wohl leider doch nur als nettes Kuriosum betrachten. --Daniel5Ko 19:16, 10. Feb. 2011 (CET)

Nachdem die alte Version immer wieder zu Problemen geführt hat und sich nun bereits 3 Leute für die neue Variante ausgesprochen haben, sollten wir diese auch nehmen. Wikipedia hat ja auch noch andere Baustellen ;-). Was mich aktuell noch ein wenig stört, ist der Abschnitt "Primzahl#Warum ist die Zahl 1 keine Primzahl?". Zu dem Thema wurde im Verlauf der Diskussion einige sehr gute Dinge gesagt, die man vielleicht versuchen sollte einzubauen. Ich denke dabei insbesondere (aber nicht aussschließlich) an den Beitrag von Digamma vom 9. Feb. 2011, 19:15.--KMic 02:59, 11. Feb. 2011 (CET)

Die aktuelle Variante gefällt mir gut. --NeoUrfahraner 07:05, 11. Feb. 2011 (CET)

Konsequenzen aus der Definition (im Kopftext)

Nachtrag: Bitte springt gleich zum neuen Vorschlag! – Wegner8 16:29, 18. Apr. 2011 (CEST)

Die erste der drei „Konsequenzen“ beginnt: „Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als 1 sind, darstellen.“ Das ist keine Konsequenz, sondern nur eine etwas andere Formulierung der Definition. Satz 2 „Diese Eigenschaft wird als Definition [...] genutzt“ bestätigt das, und für Verallgemeinerungen braucht man immer die Definition. – Die zweite Konsequenz ist unnötig, wenn man die dritte hat. – Ich will also den Absatz samt Aufzählung kürzen wie folgt:
«Das Wort „Primzahl“ kommt aus dem Lateinischen (numerus primus) und bedeutet „die erste Zahl“. – Die Bedeutung der Primzahlen für viele Bereiche der Mathematik beruht auf der Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben, und diese Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.» –
Hat jemand etwas dagegen? Wegner8 10:06, 16. Apr. 2011 (CEST)

Letzlich sind alle "Konsequenzen" nur "eine etwas andere Formulierung der Definition". Wie verträgt sich Dein Vorschlag mit den Verallgemeinerungen Primelement und irreduzibles Element? --NeoUrfahraner 10:56, 16. Apr. 2011 (CEST)

Der Satz von der Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist keine andere Formulierung der Definition, sondern eine Folgerung aus ihr; den Rückweg sehe ich nicht. – Der Abschnitt „Verallgemeinerung“ bleibt unberührt. –
Neues Teil-Thema: Ich halte den Wegfall der Verknüpfung zum Lemma von Euklid (das sonst im Artikel nicht vorkommt) für gerechtfertigt. Sonst könnte man sie in den Abschnitt „Primfaktorzerlegung“ tun, was ich aber für unnötig halte, weil das Lemma im gleichnamigen Hauptartikel vorkommt. – Wegner8 11:08, 16. Apr. 2011 (CEST)

Ad "Rückweg": Gibt es außer den Primfaktoren noch andere "Faktoren", in welche sich die natürlichen Zahlen eindeutig zerlegen lassen? Das Lemma von Euklid ist eine wesentliche Eigenschaft der Primzahlen und der Link soll daher im Artikel bleiben. --NeoUrfahraner 11:33, 16. Apr. 2011 (CEST)

Der Rückweg von Lehrsätzen zu Axiomen oder Definitionen ist hier m.E. unbedeutend. – „Lemma“ heißt „Hilfssatz“; der wichtigere Satz von Euklid kommt im Artikel vor, und ein Hilfssatz braucht m.E. nur da vorzukommen, wo er benutzt wird, also bei der Primfaktorzerlegung, aber nicht in der Zusammenfassung im Artikel „Primzahl“, sondern im einschlägigen Artikel. Einverstanden? – Wegner8 11:46, 16. Apr. 2011 (CEST)

Nicht einverstanden. --NeoUrfahraner 15:19, 16. Apr. 2011 (CEST)

Ein Lemma ist hier nicht einfach ein Hilfssatz (auch wenn viele Autoren ihre Hilfssätze Lemma nennen), sondern ein Satz, der vor allem als Arbeitsmittel gebraucht wird. Aber ein wichtiger Satz. Das Lemma von Euklid ist eine ganz wichtige Aussage über Primzahlen. -- Digamma 18:45, 16. Apr. 2011 (CEST)

Danke, ich werde den Knupf im Absatz "Primfaktorzerlegung" retten. − Gibt es sonst Einwände gegen meine beabsichtigte Kürzung? − Wegner8 19:05, 16. Apr. 2011 (CEST)

Gibt es jemand, der Deine Kürzung sinnvoll findet? --NeoUrfahraner 17:50, 17. Apr. 2011 (CEST)

Hier eine überarbeitete Begründung:

• Die erste „Konsequenz“ folgt ganz offensichtlich aus der Definition. Sie fügt dieser nichts hinzu. Der Abschnitt „Verallgemeinerung“ erwähnt sie nicht. Auch wird dieser Satz nicht „als Definition“ benutzt (sondern als Argument).
• Die zweite „Konsequenz“ folgt ganz offensichtlich aus dritten, ist eine Konsequenz aus einer genannten Konsequenz, eine Konsequenz zweiter Ordnung. – Das Lemma von Euklid steht vielleicht nur deshalb hier, weil jemand es mit dem Satz von Euklid verwechselt hat. Wer einen Grund dafür findet, dass es im Artikel (gar im Kopftext) eigens genannt werden soll, möge ihn bitte nennen.
• Damit kann der Hinweis auf die dritte „Konsequenz“ in den Fließtext eingebaut werden.

Die „Konsequenzen“ (Folgerungen) sind übrigens (Lehr-)Sätze und gehören eher in die Folge der Abschnitte mit solchen, kaum in den Kopftext. – „When in doubt, leave it out“ (In der Kürze liegt die Würze). – Wegner8 09:57, 18. Apr. 2011 (CEST)

In der Wikipedia gilt nicht "In der Kürze liegt die Würze", sondern WP:OMA. Sei doch froh, wenn Du den Artikel verstehen kannst; das ist bei Mathematikartikel eher die Ausnahme als die Regel. --NeoUrfahraner 10:32, 18. Apr. 2011 (CEST)

Was ich da rauskürzen will, sind Abschweifungen, die nicht zum Verstehen helfen! Gibt's keine treffenden Einwände? -- Wegner8 12:37, 18. Apr. 2011 (CEST)

Hol Dir eine WP:dritte Meinung, wenn Du was ändern willst. --NeoUrfahraner 13:01, 18. Apr. 2011 (CEST)

PS: Falls Du inhaltich noch ein wenig wissen willst: Zur "zweiten Konsequenz": wie beweist Du die dritte Konsequenz (Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung), ohne das Lemma von Euklid zu verwenden? --NeoUrfahraner 13:14, 18. Apr. 2011 (CEST)

Genau. Meiner Meinung nach ist die Aussage des Lemmas von Euklid neben der Definition die wichtigste Aussage über Primzahlen überhaupt. Insofern hat es durchaus seinen Platz in der Einleitung. -- Digamma 14:54, 18. Apr. 2011 (CEST)

Danke; neuer Vorschlag (3 Absätze, jetzt in der Reihenfolge der Bedeutung):

»Das Wort „Primzahl“ kommt aus dem Lateinischen (numerus primus) und bedeutet „die erste Zahl“.

Die Bedeutung der Primzahlen für viele Bereiche der Mathematik beruht auf der Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben, und diese Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. – Zum Beweis dieser Aussage dient das Lemma von Euklid: Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar, so ist bereits einer der Faktoren durch sie teilbar.

Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als 1 sind, darstellen. Diese Eigenschaft wird für Verallgemeinerungen genutzt.«

Ist das eine Verbesserung? Wegner8 16:29, 18. Apr. 2011 (CEST)

Ich sehe überhaupt keinen Grund, warum dieser Abschnitt, der seit 20. Juli 2005 praktisch unverändert ist, unbedingt verschlimmbessert werden muss. Solche nervenaufreibenden Diksussionen waren meines Wissens einer der Gründe, wieso der Urheber dieses Abschnitts (Benutzer:Gunther) seinerzeit das Handtuch geschmissen hat. Lies seine Abschiedsworte durch und denk daüber nach. Dann lern ein wenig Ringtheorie und ZPE-Ringe, dann komm wieder und betrachte den Artikel mit ein wenig mehr Hintergrundwissen. --NeoUrfahraner 16:42, 18. Apr. 2011 (CEST)

Niemand will ihn verschlimmbessern. Warum ich ihn ändern will, steht am Beginn des ersten Beitrags hier. Das mindeste, was getan werden sollte, ist,
(1) die Wörter „als Definition“ zu löschen und
(2) die Verwendung des Lemmas für den Beweis der Zerlegbarkeit zu erwähnen. Ich würde noch
(3) Konsequenzen eindeutschen zu Folgerungen und
(4) die Reihenfolge der drei Aufzählungspunkte umkehren: Bedeutung zuerst, Verallgemeinerungen (Weiterführungen) zuletzt. Einverstanden? – Wegner8 17:19, 18. Apr. 2011 (CEST)

Ich gehe davon aus, dass Du ihn nicht verschlimmbessern willst. Gunther spricht ja auch von schleichende Verschlechterung durch sicherlich wohlmeinende Benutzer. --NeoUrfahraner 17:25, 18. Apr. 2011 (CEST)

Und meine jüngste Frage? – Wegner8 17:40, 18. Apr. 2011 (CEST)

Wie schon öfters gesagt, ich bin damit nicht einverstanden. Aber das ignorierst Du sowieso. --NeoUrfahraner 18:03, 18. Apr. 2011 (CEST)

Verstehe nicht. Habe ich bisher schon etwas ignoriert, habe ich irgendetwas Angezweifeltes in den Artikel eingebaut? Was soll so etwas Persönliches hier? Ich bin hoffentlich sachlich auf alles eingegangen, was Du schriebst. − Warum bist Du nicht einverstanden, was hast Du gegen die (nachnummerierten) Vorschläge 1 bis 4 von 17:19 Uhr sachlich einzuwenden, bitte? -- Wegner8 21:21, 18. Apr. 2011 (CEST)

Siehe meine Antworten von 18.4., 10:32 und 13:01. --NeoUrfahraner 16:10, 19. Apr. 2011 (CEST)

Damit kann ich nichts anfangen, ich finde bei Dir keine inhaltlichen, sachlichen Argumente zu den konkreten sachlichen Vorschlägen. -- Wenn nach acht Tagen nichts zur Sache hier steht, werde ich die gestern um 17:19h aufgezählten vier Änderungen in den Artikel einbauen. -- Wegner8 20:55, 19. Apr. 2011 (CEST)

Wenn man Dir inhaltiche Argumente liefert, dann beglückst Du uns mit der nächsten Version und Dein Spielchen geht wieder von vorne los. Aber bitte, wenn es Dir Spaß macht:

Ad (1): Dieser Teil war in der Original-Version von Gunther 20. Juli 2005 nicth drinnen. Hast Du mit dem Autor der betreffen Stelle schon gesprochen?

Ad (2): Das steht schon bei Lemma von Euklid. Willst Du den Artikel jetzt kürzen oder erweitern?

Ad (3): Das ist jetzt so eine lebenswichtige Frage wie Orange oder Apfelsine.

Ad (4): Nach welchem objektiven Kriterium bewertest Du die "Bedeutung"? --NeoUrfahraner 20:22, 20. Apr. 2011 (CEST)

Zu 1: Ich frage nicht nach Historie oder Vorlieben Dritter, sondern nach sachlichen Argumenten.
Zu 2: Ich will es einfügen, damit erkennbar wird, warum der Hilfssatz (es ist wirklich einer) hier erwähnt wird. (Wenn alles, was auch woanders steht, raus müßte, wäre viel zu streichen.)
Zu 3: Ja, wenn Du das eine Wort als Fremdwort betrachtest und das andere als einheimisches.
Zu 4: Der jetzige dritte Punkt behandelt das Lemmas selbst und ist dadurch mit dem Text vor der Aufzählung verbunden. Der jetzige erste stellt eine Verbindung über den Stoff dieses Artikels hinaus her und gehört deshalb auf natürliche Weise ans Ende.
Einverstanden? Wegner8 20:57, 20. Apr. 2011 (CEST)

Dezimalsystem

Gibt es Primzahlen nur im Dezimalsystem? Sind die Primzahlen in anderen Systemen gleich? (nicht signierter Beitrag von 92.206.71.37 (Diskussion) 23:09, 6. Sep. 2011 (CEST))

Primzahlen sind unabhängig vom verwendeten Zahlensystem. Die Teilbarkeit von Zahlen hat nix damit zu tun, wie die Zahlen dargestellt werden. --χario 00:08, 7. Sep. 2011 (CEST)

Definition Primzahl

Die Definition dass eine Primzahl genau zwei Teile besitze ist falsch, da der triviale Teiler 1 unendlich oft in einer Zahl enthalten ist und somit hat jede natürliche Zahle unendlich viele Teiler:

4 = 2 * 2 * 1 * 1 * 1 * 1 * . . .

4 = 2^2 * 1^unendlich

Diese Definition ist sprachinhaltich schlichtweg falsch und sollte nicht verwendet werden. (nicht signierter Beitrag von 109.52.154.202 (Diskussion) 02:03, 20. Okt. 2011 (CEST))

Bemerke, dass, wenn man von der Anzahl der Teiler spricht, schon eine sinnvolle Zählweise vorausgesetzt ist. Was gestattet dir, 1 mehrfach zu zählen, aber 2 z.B. als Teiler von 14 nicht? Und wenn du 1 mehrfach zählen darfst, hat dann nicht einfach jede natürliche Zahl unendlich viele (oder eine gänzlich undefinierte Anzahl von) Teiler[n]? (Siehe auch Teileranzahlfunktion)--Daniel5Ko 02:14, 20. Okt. 2011 (CEST)

Fehler im Absatz "Eigenschaften von Primzahlen"

„Jede Primzahl $p>3$ lässt sich einer der beiden Klassen „Primzahl der Form $4k+1$“ oder „Primzahl der Form $4k+3$“ zuordnen, wobei $k$ eine natürliche Zahl ist.“

sollte verbessert werden in:

„Jede Primzahl $p>3$ lässt sich einer der beiden Klassen „Primzahl der Form $4k+1$“ oder „Primzahl der Form $4k+3$“ zuordnen, wobei $k$ eine positive natürliche Zahl ist.“

Begründung: Das Einfügen des Wortes "positive" ist notwendig, da sonst die natürliche Zahl 0 mit eingeschlossen würde, die zwar eine Kategorisierung der Primzahl als $4*0+3=3$ zuließe (entgegen der obigen Einschränkung), jedoch würde man damit auch $4*0+1=1$ als Primzahl wieder qualifizieren. (nicht signierter Beitrag von 92.78.130.42 (Diskussion) 19:14, 16. Feb. 2012 (CET))

Ähm, jede ungerade natürliche Zahl hat entweder die Form $4k+1$ oder $4k+3$ für ein natürliches $k$. Durch die Forderung $k\neq 0$ werden daraus nicht plötzlich Primzahlen. --Daniel5Ko 19:43, 16. Feb. 2012 (CET)

Terence Tao ist soweit!

http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/primzahlraetsel-loesung-der-goldbachschen-vermutung-rueckt-naeher-a-833216.html#ref=rss

Vielleicht vermerkt das einer, ist wesentlich interessanter als diese logisch falsch (weil Zirkelschluß) hergeleitete Banalität:

"Mit Ausnahme der Zahl 2 sind alle Primzahlen p ungerade, denn alle größeren geraden Zahlen lassen sich außer durch sich selbst und 1 auch noch (mindestens) durch 2 teilen."

Gruß0 (nicht signierter Beitrag von 79.222.123.60 (Diskussion) 07:02, 17. Mai 2012 (CEST))

Die Herleitung der Banalität enthält keinen Zirkelschluss. --Daniel5Ko (Diskussion) 14:18, 17. Mai 2012 (CEST)

artikel nicht korekt

ja also die primzahlen sind hscon was schönes ne aber bei dem artkiel fehlt die 15 als primzahl ! (nicht signierter Beitrag von 87.185.103.147 (Diskussion) 20:27, 5. Jun. 2012 (CEST))

Gemäß WP:UGA: $15=3\cdot 5$. Die 15 hat als natürliche Teiler also 1, 3, 5 und 15, das sind mehr als zwei. Die 15 kann also keine Primzahl sein. --Arno Nymus (Diskussion) 23:45, 5. Jun. 2012 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Arno Nymus (Diskussion) 23:45, 5. Jun. 2012 (CEST)

...in den letzten zweitausend Jahren keine praktische Anwendung der Primzahlen...

Bei einem Kettengetriebe hat die Kette eine erheblich längere Laufleistung, wenn die Kettenräder eine Primzahl von Zähnen besitzen, da dann die Glieder gleichmäßig abgenutzt werden. Kettengetriebe gibt es schon sehr lange. 84.160.38.94 15:35, 5. Sep. 2012 (CEST)

Hierfür genügt, dass die Zahl der Kettenglieder und die Anzahl der Zähne teilerfremd sind. --Digamma (Diskussion) 17:01, 5. Sep. 2012 (CEST)

Bei Mehrgangschaltungen wird das aber kompliziert, da ja dann die Zahl der Kettenglieder und die Anzahl der Zähne aller Zahnkränze (bei einem Fahrrad üblicherweise 9 Stk.) alle teilerfremd sein müssen. Einfacher wärs da schon für die Zahl der Kettenglieder eine Primzahl vorzusehen. --Sebastian.Dietrich ✉ 20:22, 5. Sep. 2012 (CEST)

Largest prime

Nachtragen ? GEEZER^{nil nisi bene} 17:02, 5. Aug. 2011 (CEST)

es gibt unendlich viele Primzahlen, d.h. selbst wenn es jetzt eine grösste gibt, die man im Moment kennt, es wird nicht so bleiben. Ich bin dagegen soetwas temporäres hier einzubauen.--92.193.11.243 14:22, 10. Okt. 2012 (CEST)

Primfaktorzerlegung

Jede positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen, und diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Primzahlen eindeutig.

Muss es nicht heißen: ... jede positive ganze Zahl größer 1, die nicht prim ist, lässt ...

Aufgrund dieses Satzes, also dass sich jede natürliche Zahl größer 0 durch Multiplikation von Primzahlen eindeutig darstellen lässt, nehmen die Primzahlen eine besondere atomare Stellung in der Mathematik ein. Alexander K. Dewdney bezeichnete diese als den Elementen der Chemie weitgehend ähnlich.

Muss es nicht heißen ...jede natürliche Zahl größer 1 durch Multiplikation ...? (nicht signierter Beitrag von 84.147.154.65 (Diskussion) 22:48, 31. Mär. 2013 (CEST))

Hier ist das leere Produkt, das 1 ist, miteingeschlossen. -- HilberTraum (Diskussion) 22:54, 31. Mär. 2013 (CEST)

primzahlen

kommen aus den latein (numerus primus) (nicht signierter Beitrag von 178.203.94.89 (Diskussion) 17:58, 9. Apr. 2013 (CEST))

Das steht doch schon im Artikel. --Digamma (Diskussion) 19:59, 9. Apr. 2013 (CEST)

Abschnitt "Formeln zur Generierung von Primzahlen"

Wie wäre es, diesen Abschnitt in den (bis jetzt recht mageren) Artikel Primzahlgenerator zu verschieben? Dann wird auch der Artikel hier etwas schlanker. --Plankton314 (Diskussion) 22:00, 25. Sep. 2013 (CEST)

Ich war mal mutig ([1], [2]). --Plankton314 (Diskussion) 14:41, 2. Okt. 2013 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Plankton314 (Diskussion) 14:41, 2. Okt. 2013 (CEST)

Wieviele Primzahlen in der Summe bereits bekannt?

Hallo, es wäre nützlich auch diesen Aspekt im Artikel unterzubringen: Wieviele Primzahlen in deren Gesamtzahl angegeben sind bereits bekannt? Ich denke dabei, zu wissen, wieviele Gödelzahlen man verwenden könnte. Fairberlin (Diskussion) 15:28, 29. Sep. 2013 (CEST)

Ich verstehe die Frage nicht. --Digamma (Diskussion) 22:24, 29. Sep. 2013 (CEST)

Nun, die Menge aller bisher bekannten Primzahlen sollte mal beziffert werden. Wenn ich z.B. Individuenkonstanten jeweils mit einer (bekannten) Primzahl belegen bzw. referenzieren möchte, so würde ich gerne wissen, wieviele solcher Konstanten ich realiter zur Zeit benennen kann. Fairberlin (Diskussion) 11:13, 2. Okt. 2013 (CEST)

Noch ein Nachtrag: Ich bin fündig geworden. http://primes.utm.edu/notes/pi%2810%5E24%29.html (abgerufen 20131002) "Using an analytic method assuming (for the current calculation) the Riemann Hypthesis, we found that the number of primes below 10^24 is 18435599767349200867866." Ich fühle mich als Neuling leider nicht in der Lage, im Wikiartikel den Verweis zu dieser Hinweisquelle richtig anzugeben. Fairberlin (Diskussion) 12:24, 2. Okt. 2013 (CEST)

Fehler im Abschnitt zu den Eigenschaften der Primzahlen

Im Abschnitt "Eigenschaften der Primzahlen" steht im zweiten Absatz: "Jede Primzahl p > 3 lässt sich einer der beiden Klassen „Primzahl der Form 4k+1“ oder „Primzahl der Form 4k+3“ zuordnen, wobei k eine natürliche Zahl ist."

Diese Aussage ist nur beschränkt gültig! Mit der natürlichen Zahl 12 ergibt sich: 49 und 51, keine der Zahlen lässt sich als Primzahl in einer der beiden Klassen zuordnen. (nicht signierter Beitrag von 31.17.56.52 (Diskussion) 09:18, 9. Dez. 2013 (CET))

Das wurde auch nicht behauptet. --Digamma (Diskussion) 09:40, 9. Dez. 2013 (CET)

genaueste Schätzung der Primzahlen

Bei S. Ramanujan steht etwas über die Schätzung der Primzahlen. Was gibt es bei Primzahlen zu schätzen? --Plenz (Diskussion) 00:04, 19. Dez. 2013 (CET)

Im dortigen Artikel fehlt wohl ein Teil des Satzes. Ich vermute gemeint ist die Abschätzung, dass jede Zahl etwa log(log(n)) unterschiedliche Primfaktoren hat.--Plankton314 (Diskussion) 00:18, 19. Dez. 2013 (CET)

http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hardy-Ramanujan_theorem --tsor (Diskussion) 00:19, 19. Dez. 2013 (CET)

Danke für die Ergänzung. --Plenz (Diskussion) 18:43, 19. Dez. 2013 (CET)

DIE EINS

DIE EINS MUSS DIE GANZZAHLIGE TEILBARKEIT ABER BESTÄTIGEN; ALSO IST SIE PRIM (nicht signierter Beitrag von 84.139.213.48 (Diskussion) 21:51, 30. Jan. 2014 (CET))

falsch--92.202.122.8 20:09, 4. Feb. 2014 (CET)

Die Eins ist so was von cool, die muss GAR NIX ;-) -- HilberTraum (Diskussion) 20:28, 4. Feb. 2014 (CET)

Dass die Eins keine Primzahl ist, hat praktische Gründe. Würde man nämlich auch sie als Primzahl zulassen (dazu müsste man lediglich die Definition einer Primzahl entsprechend wählen), dann müsste man in vielen Lehrsätzen der Zahlentheorie extra für die Eins eine Ausnahme machen: z.B. besitzt jede Primzahl genau zwei Teiler (nämlich Eins und sich selbst), während die Eins nur genau einen Teiler hat (nämlich Eins); ebenso hätte dann jede natürliche Zahl nicht mehr eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige Primfaktorzerlegung, weil jede Potenz der Eins dann darin vorkommen kann bzw. die Eins als Primfaktor extra ausgeschlossen werden müsste. Um sich das Leben leichter zu machen, wurde daher die Definition einer Primzahl so gewählt, dass die Eins von vorn herein keine Primzahl ist. Diese Definition hat sich gut bewährt, es gibt daher keinen vernünftigen Grund, sie zu ändern. --RPI (Diskussion) 12:18, 27. Feb. 2014 (CET)

Negative Zahlen

Wie steht es mit z.B. -3? Ist sie keine Primzahl, weil man sie auch durch -3 und -1 teilen kann? Die +3 lässt sich allerdings auch restlos durch -3 teilen. Weshalb also die Beschränkung auf positive Zahlen?--Sunrider (Diskussion) 20:14, 13. Nov. 2014 (CET)

Nur eine Vermutung: Man geht einfach ursprünglich von den natürlichen Zahlen aus, nicht von den ganzen. --Digamma (Diskussion) 21:02, 13. Nov. 2014 (CET)

Man muss streng genommen unterscheiden zwischen den Primzahlen und den Primelementen des Rings der ganzen Zahlen. Allerdings ist es auch so, dass der Unterschied zwischen zwei Primelementen, welche sich allein um eine Einheit unterscheiden, in der Ringtheorie meist ignoriert wird. (Glaube ich mich zu erinnern!) Hier wird dann noch abgegrenzt zu den irreduziblen Elementen. Wie es dann aber mit der Historie des Primzahlbegriffs im Einzelnen aussieht, weiß ich auch nicht genau. Ich meine aber, dass man sogar bis Euklid zurückgehen muss, der ja bewies, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Und im Altertum war von negativen Zahlen mW noch keine Rede. Vielleicht weiß Claude J hier Näheres.--Schojoha (Diskussion) 19:54, 16. Nov. 2014 (CET)

Liste von Primzahlen?

Wieso kann man nicht in diesen Artikel oder unter einem eigenen Lemma eine Liste aller bekannten Primzahlen erstellen. Das wäre sinnvoll. --93.233.38.108 14:51, 15. Jun. 2015 (CEST)

Scherz oder? Wieviele millionen Seiten sollte denn dieses Lemma haben? --Sebastian.Dietrich ✉ 21:07, 15. Jun. 2015 (CEST)

relativ Prim

Wäre für diesen Artikel ein Absatz in dem informiert wird über Zahlen die relativ Prim zueinandern sind und wie man dies überprüft nicht etwas? --93.220.218.77 19:42, 30. Aug. 2015 (CEST)

„Relativ prim“ ist dasselbe wie „teilerfremd“. Man findet dies deshalb im Artikel Teilerfremdheit, auf den die Seite relativ prim weiterleitet. --Digamma (Diskussion) 10:04, 2. Sep. 2015 (CEST)

Ergänzung: Es wäre wohl trotzdem angebracht, hier im Artikel einen Hinweis auf "relativ prim" anzubringen. Da ich nicht so recht weiß, wo und wie ich diesen in den Text einbauen soll, habe ich ihn provisorisch unter "Siehe auch" untergebracht. So wird er auf jeden Fall von der Suchfunktion des Browsers gefunden. --Digamma (Diskussion) 10:37, 2. Sep. 2015 (CEST)

Größte bekannte Primzahl

Gibt es denn auch eine größte bekannte Primzahl, bis zu der alle kleineren Primzahlen bekannt sind? --84.161.206.31 20:52, 19. Apr. 2012 (CEST)

Das scheint außer Dich und mich niemanden zu interessieren. Schade! --91.46.194.136 09:40, 24. Nov. 2015 (CET)

Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl, die größer als 1 und selbst keine Primzahl ist, lässt sich als Produkt von mindestens zwei Primzahlen schreiben.

Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl, die größer als 1 und selbst keine Primzahl ist, lässt sich als Produkt von mindestens zwei Primzahlen schreiben.

Soweit ich die Mathematik, die Arithmetik der Zahlen, verstanden habe, ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen so etwas wie: a*b = c (c ist natürliche Zahl)

Nun versucht einmal folgendes hinzuschreiben: c = 1, Faktoren a und b sind: _______

c ist eine Primzahl: Bitte erläutern, welche die Faktoren a = ? und b = ? sind.

Bitte hier aufschreiben: _________

Ihr dürft nicht eine Schreibweise (z. B. 1^0 oder 2^0 - 1) mit DER BEDEUTUNG der DEFINITION verwechseln. Und das tun die meisten Beiträger dieses Artikels regelmäßig.

Alle diese Irrtümer werden schon durch die DEFINITION der Primzahl ganz oben in diesem Wiki-Artikel aufgezeigt.

Eine Primzahl hat GENAU ZWEI NATÜRLICHE ZAHLEN ALS TEILER: So lautet die Definition. Gibt es etwas Drittes, von dem ich noch nichts weiß?

Hans Rosenthal (A.H.R.D.) (nicht signierter Beitrag von 79.238.163.191 (Diskussion) 23:40, 4. Dez. 2015 (CET))

Du hast aber verstanden, dass 1 zwar natürlich, aber keine Primzahl ist? --Alnilam (Diskussion) Heute schon gelobt? 23:44, 4. Dez. 2015 (CET)

Bei dem Satz in der Überschrift und darunter, steht doch „größer 1“ und „keine Primzahl“. Natürlich kann man 1 oder Primzahlen nicht als Produkt von mindestens zwei Primzahlen schreiben, aber das steht da doch auch gar nicht. ??? -- HilberTraum (d, m) 09:15, 5. Dez. 2015 (CET)

Verallgemeinern?

Der Artikel behandelt nur "Primzzahlen" im modernen Sinne (2, 3 usw.). Früher unterschied man zwei Arten von Primzahlen (absolute Primzahlen, lat. numeri absolute primi, und Primzahlen unter sich, lat. numeri primi inter se) und früher war auch 1 eine Primzahl (da gab es quasi den Zusatz "größer als 1" nicht). -84.161.10.171 20:39, 5. Dez. 2015 (CET)

Hm, das könnte man als evtl. als geschichtliche Entwicklung irgendwo vermerken. Gibt es dafür eine Quelle? Außerdem interessiert mich, wann dieses früher war. --Alnilam (Diskussion) Heute schon gelobt? 21:25, 5. Dez. 2015 (CET)

Es gibt noch den Begriff "relativ prim" als Synonym für teilerfremd. --Digamma (Diskussion) 21:48, 5. Dez. 2015 (CET)

@Alnilam: Das war noch vor ca. hundert Jahren so (der 1 würde erst mit dem endgültigen Durchbruch der moderneren Algebra – Stichwort „Idealtheorie“ – ihre Primalität weltweit einvernehmlich abgesprochen). Ich erinnere mich mit Sicherheit, in mehr als einem meiner aus dieser Zeit stammenden Bücher die 1 als Primzahl behandelt gefunden zu haben. Das ist aber auch schon etwas länger her, sodaß ich es wohl nicht auf Anhieb finden würde. Aber vielleicht begebe ich mich bei Gelegenheit einmal auf die Suche danach, dann werde ich es Dich wissen lassen. --Franz 00:00, 6. Dez. 2015 (CET)

@Alnilam: Ja, Quellen dafür gibt es, z.B. [books.google.de/books?id=SGYVAAAAQAAJ&pg=PA35]: "Erklärung [= Definition, lat. definitio]. Alle Zahlen gehen durch sich selbst und durch die Einheit dividirt auf. Solche ganze Zahlen, die nur durch sich selbst und durch die Einheit, aber durch keine andere ganze Zahl, dividirt aufgehen, heißen einfache Zahlen, Primzahlen, auch absolute Primzahlen. [...] Die Reihe der Primzahlen ist folgende: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ... u.s.w.". Aber auch früher wurde die 1 zuweilen augelassen. -84.161.10.171 00:27, 6. Dez. 2015 (CET)

Ist das schön, ich danke euch Vorlage:Smiley/Wartung/:) . Irgendwie fehlt mir in so manchen Artikeln immer ein Abschnitt zur Erkenntnisgeschichte - über 100 Jahre alte Physikbücher stehen bei mir so einige rum, aber leider keine für Mathematik. Herzliche Grüße --Alnilam (Diskussion) Heute schon gelobt? 00:45, 6. Dez. 2015 (CET)

Aber wenn im ersten Satz der Einleitung „im modernen Sinne“ steht und dann gar nichts mehr dazu im Artikel kommt, dann finde ich das auch verwirrend. -- HilberTraum (d, m) 12:57, 6. Dez. 2015 (CET)

+1: Tatsächlich kann man das nicht stehen lassen. In keinem Lehrbuch habe ich diese Formulierung gesehen. „im modernen Sinne“ sollte unbedingt aus der Einleitung wieder raus. Irgendwo in einem separaten Abschnitt kann man auf diese Dinge eingehen. --tsor (Diskussion) 13:19, 6. Dez. 2015 (CET)

Definition

Hallo Diagamma. Zum Revert. Im ersten Folgesatz steht: "Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl größer als 1, ...". Das "also" ist total falsch, weil das "grösser 1" nicht abgeleitet werden kann! Im Folgeabschnitt wo "grösser 1" wiederholt wird, ist es überflüssig weil es vorher schon definiert wurde. Ich habe auch auf die Quelle verwiesen, wo die Definition schon im ersten Satz stimmt. Du darfst auch auf der englischen Wikipedia nachschauen. Die Definition stimmt auch dort schon im ersten Satz und nicht erst in einem Folgesatz. ~~----(nicht signierter Beitrag von Bergdohle (Diskussion | Beiträge) 20:03, 21. Jan. 2016 (CET))

Hallo Bergdohle,

1. Doch, das "größer 1" folgt aus "die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat", denn 1 hat genau eine natürliche Zahl als Teiler und 0 hat unendlich viele Teiler.

2. Im Folgeabschnitt braucht man das "größer 1" für den zweiten Teil: "andernfalls heißt sie zusammengesetzt." Ohne das "größer 1" in der Voraussetzung, würde das bedeuten, dass 1 zusammengesetzt ist.

Zu den unterschiedlichen Definitionen: Schau doch mal hier die Diskussionsseite durch. Darüber steht hier schon einiges.

PS: Zum Signieren dienen 2 Striche und 4 Tilden: --~~~~, nicht umgekehrt. Gruß, --Digamma (Diskussion) 20:32, 21. Jan. 2016 (CET)

Hallo Bergdohle!

1. Auch in der von Dir erwähnten Quelle (S. 18) fehlt in der Definition der Zusatz „größer als 1“, weil 1 ohnehin die Bedingung „genau zwei natürliche Teiler“ zu haben nicht erfüllt (1 hat nämlich genau einen natürlichen Teiler, nämlich 1).
2. Was in der englischen Wikipedia dazu steht, ist nicht nur schon an sich eher irrelevant, sondern hier im Besonderen sogar völlig belanglos, weil dort eine andere Definition zugrunde gelegt wird. Die dortige Bedingung „keine positiven Teiler außer 1 und sich selbst“ zu haben wird von 1 erfüllt, sodaß man dort 1 ausdrücklich ausschließen muß.
3. Das „also“ ist völlig korrekt, denn daraus, daß eine Primzahl genau zwei natürliche Teiler hat, folgt (weil 0 unendlich viele und 1 nur einen Teiler hat), daß jede Primzahl größer als 1 ist (und nur 1 und sich selbst als Teiler hat).
4. Gerade umgekehrt ist die Sachlage beim zweiten Absatz der Einleitung. Denn dort wird der Begriff „zusammengesetzte Zahl“ definiert. Unter den natürlichen Zahlen gibt es je nach ihrer Definition (mit oder ohne 0) genau eine oder genau zwei Zahlen, die weder prim noch zusammengesetzt sind, nämlich 1 und evtl. noch 0. Ohne den fraglichen Zusatz „größer als 1“ würde dort dem Sinn nach die falsche Aussage stehen, daß jede natürliche Zahl zusammengesetzt ist, die nicht prim ist. Denn 1 (und auch 0) ist weder prim noch zusammengesetzt. Aber für n>1 gilt: n ist entweder prim oder zusammengesetzt.

Liebe Grüße, Franz 20:47, 21. Jan. 2016 (CET)

Beim Durchlesen der alten Diskussion im Archiv habe ich festgestellt, dass wir uns damals darauf geeinigt hatten, die Eigenschaft, dass eine Primzahl nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist, als Definition zu nehmen, und nicht die Eigenschaft, dass sie genau zwei Teiler hat. Dies wurde mit dieser Änderung vertauscht. Ich habe nun den früheren Zustand wieder hergestellt. --Digamma (Diskussion) 20:59, 21. Jan. 2016 (CET)

Hallo Digamma! Das halte ich für keine gute Idee – speziell, weil die Definition jetzt nicht mehr mit der aus der dazu angegebenen Quelle übereinstimmt; aber auch allgemein, weil mir die Definition aus der alten Version viel üblicher zu sein scheint als die aus Deiner jetzigen Version (die man wohl am ehesten als eine Art „schulische Definition“ wird ansehen müssen, während sie in der darüber hinausgehenden Literatur vermutlich eher selten anzutreffen sein wird, was ich jetzt aber auf die Schnelle natürlich nicht überprüft habe). Ich empfehle daher, diese Entscheidung noch einmal zu überdenken. Liebe Grüße, Franz 21:07, 21. Jan. 2016 (CET)

Hallo Franz, wir haben das früher hier schon mal diskutiert. Dort habe ich auch begründet, warum ich diese Definition für die bessere halte. Ich zitiere micht selbst:

Ich möchte nocheinmal folgenden Punkt aus der alten Diskussion betonen: Primzahlen werden nicht deshalb ausgezeichnet, weil die Anzahl 2 ihrer Teiler etwas besonderes wäre. Sondern deshalb, weil sie nur triviale Teiler haben, wobei die 1 und die Zahl selbst als "triviale" Teiler gelten. In vielen Fällen betrachtet man in der Zahlentheorie nicht die Menge N, sondern den Ring Z. Primzahlen haben dann 4 Teiler, nämlich, 1, -1, p und -p. In Verallgemeinerungen bezeichnet man Ringelemente p als "irreduzibel", wenn sie keine Einheit sind (kein multiplikatives Inverses haben) und als Teiler nur Einheiten und solche Elemente haben, die aus p durch Multiplikation mit einer Einheit hervorgehen. Es kommt also nicht auf die Zahl der Teiler, sondern auf die Art der Teiler an. Die Eins wird nicht deshalb ausgeschlossen, weil sie nur einen Teiler hat, sondern weil sie eine Einheit ist. -- Digamma 19:15, 9. Feb. 2011 (CET)

Gruß, --Digamma (Diskussion) 21:13, 21. Jan. 2016 (CET)

Bevor das hier ähnlich schreckliche Dimensionen annimmt ;-) wie im von Dir verlinkten Archiv, verzichte ich lieber auf eine weitergehende (zeitfressende) Diskussion. Es ist ja auch völlig klar, daß jede Variante ihre Vor- und Nachteile hat. Du hältst halt Deine „Definition für die bessere“, weil Du die einzelnen Pro- und Kontraargumente anders gewichtest als ich – und mir geht es umgekehrt genau so. Mein Hauptargument beruft sich auf die – allerdings bislang nur vermutete – (objektive) Häufigkeit in der relevanten Literatur und gründet sich daher u. a. auf Wikipedia:Keine Theoriefindung, während Du (wenn ich Dich recht verstehe) den (eher subjektiven) Gesichtspunkt der Angemessenheit der Definition (in irgendeinem bestimmten Sinne) in den Vordergrund stellst. Wenn es aber auch den anderen hier so Recht ist, dann werde ich mich nicht weiter querlegen. Du solltest aber noch die oben schon erwähnte Unbrauchbarkeit der Quelle für die neue Version beachten und diese Quelle durch eine andere ersetzen, in der dieselbe Definition verwendet wird im Artikel. Liebe Grüße, Franz 21:53, 21. Jan. 2016 (CET)

Schleichwerbung?

Im Abschnitt "Primzahlen in Natur und Technik" steht am Ende folgender Satz:

"Vor dem Hauptwerk der Andritz AG ist das Laufrad einer 23-flügeligen Pelton-Turbine aufgestellt."

Das ist meiner Meinung nach eine überflüssige Info die wohl mehr als Schleichwerbung für die genannte Firma betrachtet werden kann. Sollte gelöscht werden. (nicht signierter Beitrag von 95.118.90.159 (Diskussion) 13:30, 7. Feb. 2016 (CET))

Habe keine Literatur zu den 23 Flügeln der Pelton Turbine vor dem Andritz Werk gefunden. Und auch wenn, dann hätte der Satz umformuliert werden müssen -> gelöscht. --Sebastian.Dietrich ✉ 16:04, 7. Feb. 2016 (CET)

Die Eins (mal wieder)

Neinein, ich will jetzt hier nicht herbeireden, dass die Eins eine Primzahl sei. Ich hielte es nur für den Artikel (und den überwiegend nicht akademisch geschulten Leser) nützlich, mal kurz und verständlich zu erläutern, warum die Eins keine Primzahl ist - wie es landläufig allgemein angenommen und bisweilen auch an Schulen noch gelehrt wird (wurde). 205.203.176.170 08:48, 19. Jun. 2015 (CEST)

Der Mathematiker ist da ein bißchen zu schnell dabei, zu sagen: "weil wir das halt so definieren". - Daß diese Definition z. B. sinnvoll ist, liegt z. B. daran, daß 1 schon der Wert des Produkts ohne Faktoren ist (an der Rechnung 2^(3-3) z. B. zu erkennen), somit hat *auch* die Eins eine Primfaktordarstellung, aber wenn 1 keine Primzahl ist, ist das eindeutig. Gibt wohl noch andere Gründe.--14:50, 7. Apr. 2016 (CEST) (ohne Benutzername signierter Beitrag von 131.159.76.135 (Diskussion))

Jede positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben -- 2 ist das Produkt welcher Primzahlen?

Jede positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben -- 2 ist das Produkt welcher Primzahlen?

2 ist eine positive ganze Zahl. "Jede positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben"

Bitte schreibe es auf:

2 = ?

Danke

Hans Rosenthal (nicht signierter Beitrag von 62.156.60.179 (Diskussion) 23:37, 21. Aug. 2015 (CEST))

Hallo Hans Rosenthal!

Für den Begriff „Produkt“ gibt es (ähnlich wie für den noch elementareren Begriff „Summe“ auch) eine Verallgemeinerung des aus der Schulmathematik Bekannten:

$\prod _{i=1}^{3}2=2\cdot 2\cdot 2=2^{3}=8$

ist ein Produkt aus 3-(1-1)=3-0=3 gleichen Faktoren 2,

$\prod _{i=1}^{2}2=2\cdot 2=2^{2}=4$

eines mit 2-(1-1)=2-0=2 solchen Faktoren. Dies verallgemeinernd schreibt man nun auch

$\prod _{i=1}^{1}2=2^{1}=2$

für ein Produkt, dessen Faktorenanzahl gleich 1-(1-1)=1-0=1 ist. Noch einen Schritt weiter geht man mit der Definition der leeren Produkte. Dabei wird

$\prod _{i=1}^{0}2=2^{0}=1$

als Produkt, dessen Faktorenanzahl gleich 0-(1-1)=0-0=0 ist, verwendet.

Liebe Grüße, Franz 00:40, 22. Aug. 2015 (CEST)

Lieber Franz,

meine Frage lautet:

2 ist das Produkt welcher Primzahlen?

Deine obigen Ausführungen haben mit meiner Frage nichts zu tun.

Auch die Verallgemeinerungen beantworten diese Frage nicht.

Wir reden hier nicht einfach von Faktoren, sondern von der "Definition":

"Jede positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben."

Das ist einfach falsch. Unter einem Produkt verstehe ich: x*y=z

Bitte schreibe die Primzahlen einfach hin.

Etwa so: 2*2=4

2=? (nach dem = bitte mindestens zwei Primzahlen aufzeigen.)

Gruß

Hans (nicht signierter Beitrag von 62.156.60.179 (Diskussion) 01:46, 22. Aug. 2015 (CEST))

Hallo Hans!

Wenn Du schreibst, daß meine Ausführungen nichts mit Deiner Frage zu tun hätten, dann hast Du mich einfach nicht verstanden. Das könnte zum Beispiel auch daran liegen, daß Du die drei von mir oben verlinkten Artikel zum Tema nicht (oder nicht hinreichend sorgfältig) durchgearbeitet hast. Dafür wären (bei Deinem mutmaßlichen Wissensstand in dieser Sache) vermutlich mindestens ein paar Stunden nötig gewesen. Weil diese Diskussionsseite nicht dazu da ist, (ausführlichen) Nachhilfeunterricht zu erteilen, verweise ich nur noch einmal auf die schon erwähnten Artikel Summe, Produkt und Leeres Produkt und stelle darüber hinaus noch einmal (mit etwas anderen und einfacheren Worten als vorhin) fest:

Daß (wie Du behauptest) ein Produkt mindestens zwei Faktoren haben müsse, ist nicht richtig. Diese vereinfachte Vorstellung des Begriffes „Produkt“ ist nur ein Spezialfall der allgemeineren (Dir offenbar unbekannten, aber weltweit üblichen Definition) dieses Begriffes, aus der folgt, daß man jede Potenz aⁿ einer Grundzahl a mit einer natürlichen Zahl n als Hochzahl ein (n-faches) Produkt der Zahl a mit sich selbst nennt:

Für a=2 und n=0 ergibt sich das sog. leere Produkt 2⁰=1 als das nullfache Produkt der Zahl 2 mit sich selbst (die Basis 2 kommt darin nullmal als Faktor vor).

Für a=2 und n=1 ergibt sich der hier zur Diskussion stehende Fall 2¹=2 als das einfache Produkt der Zahl 2 mit sich selbst (die Basis 2 kommt darin einmal als Faktor vor).

Für a=2 und n=2 (sowie analog dazu auch für n>2) ergibt sich ein Produkt 2²=2·2=4 mit zwei Faktoren, wie man es aus dem Grundschulunterricht kennt.

Daß man $2=2^{1}=\prod _{i=1}^{1}2$ als „Produkt“ (mit einem Faktor 2) bezeichnet, ist also nur eine Frage der Definition, es ist an sich weder falsch (wie Du behauptest) noch wahr. Bestenfalls könntest Du zur Ansicht kommen, daß eine solche Definition unpassend (und daß die Wahl der Bezeichnung „Produkt“ für diese Konstruktion ungeeignet) sei, aber damit würdest dann halt unter den Millionen Mathematikern dieser Welt ziemlich alleine dastehen.

Liebe Grüße, Franz 07:48, 22. Aug. 2015 (CEST) PS: Bitte Hilfe:Signatur durchlesen und beachten.

@IP: Stimmt schon, Mathematiker "denken anders", aber sie haben halt so gut wie immer recht. Versuchs mal andersrum: Das Produkt 2 x 2 x 2 ist ein Produkt aus dreimal der Zahl 2. 2 x 2 ist ein Produkt aus zweimal der Zahl 2. Und jetzt kommts: 2 ist ein Produkt aus einmal der Zahl 2 (ist halt "zufällig" auch die Zahl selber). Und oben hats Franz mal geschrieben: Das hier: __ ist auch ein "Produkt" (z.Bsp nullmal die Zahl 2 - jede andere geht auch).

Der Witz an dem Satz Jede positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben ist, dass bei den Primzahlen dieses Produkt eben nur aus der Primzahl besteht (das ist genau die besondere Eigenschaft von Primzahlen). Hth -- Iwesb (Diskussion) 08:15, 22. Aug. 2015 (CEST)

Man könnte natürlich auch einfach den Satz ergänzen zu: "Jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist und selbst keine Primzahl ist, lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben." Über die Feinheiten, dass man die Einschränkungen weglassen kann, wenn man den Begriff des Produkts so allgemein fasst, dass es auch Produkte mit nure einem oder gar keinem Faktor gibt, kann man sich im verlinkten Artikel Primfaktorzerlegung auslassen. Ich ändere das mal entsprechend. --Digamma (Diskussion) 10:29, 22. Aug. 2015 (CEST)

Digamma hat etwas sehr Wesentliches an der Definition geändert, nicht einfach nur etwas umformuliert.

Aus "* Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben"

wurde "* Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist und selbst keine Primzahl ist, lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben"

Erkennt jeder den fundamentalen Unterschied dieser beiden Definitionen?

Die erstere ist einfach falsch, die letztere ist wahr.

Hans Rosenthal (nicht signierter Beitrag von 79.238.163.45 (Diskussion) 03:20, 16. Sep. 2015 (CEST))

Obwohl die Diskussion für mich eigentlich abgeschlossen ist, möchte ich diese falsche Behauptung doch nicht unwidersprochen lassen: Nein, Digamma hat nicht Falsches durch Wahres ersetzt, sondern Umfassendes durch Eingeschränktes, Allgemeines durch Spezielles. (Vergleichbar damit wäre etwa der Übergang von der wahren Aussage „Jeder Hund ist ein Säugetier“ zur ebenfalls wahren Aussage „Jeder Schäferhund ist ein Säugetier“, aber die Analogie geht nicht besonders weit.) Ausführliche Begründungen dafür habe ich schon weiter oben gegeben. --Franz 08:57, 16. Sep. 2015 (CEST)

@FranzR: Nicht aufregen. Solange HR nicht versucht in Primfaktorzerlegung den Satz Wenn x selbst eine Primzahl ist, so ist sie selbst ihr einziger Primfaktor zu entfernen oder den Fundamentalsatz in Frage stellt, darf er doch glauben, was er will. Meint -- Iwesb (Diskussion) 09:13, 16. Sep. 2015 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Mathematiknachhilfe beendet -- Iwesb (Diskussion) 09:13, 16. Sep. 2015 (CEST)

"Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als 1 sind, darstellen"

So steht es im Artikel, und so ist es richtig.

"Jede positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben"

So schreibt bitte die positive ganze (Prim-)Zahl 2 als Produkt von Primzahlen (die beide größer als 1 sind) hier auf:

_______________________________________

Wenn ihr dies nicht könnt, dann habt ihr mich verstanden. Es geht in diesem Artikel nicht um die Mengenlehre, sondern um die Zahlentheorie.

Hans Rosenthal (A.H.R.D.) (nicht signierter Beitrag von 79.238.174.219 (Diskussion) 23:19, 2. Okt. 2015 (CEST))

Ach Hans. So schreibt bitte die positive ganze (Prim-)Zahl 2 als Produkt von Primzahlen (die beide größer als 1 sind) hier auf. Siehst Du Deinen Denkfehler echt nicht? Versuch mal das: Schreibe 24 als Produkt von Primzahlen, die beide grösser als 1 sind.

Ich schreibe jetzt mal 2 als Produkt von Primzahlen (ist ganz einfach): 2 = 2¹ -- Iwesb (Diskussion) (E.O.D.) 02:37, 3. Okt. 2015 (CEST)

Ach Iwesb, Du hast geschrieben 2 = 2¹ (=2), wo sind die Produkte, wo die Faktoren? Wenn Du 2¹ als Produkt zweier Primzahlen verstehst, dann hast Du vielleicht eine Schreibweise mit einer mathematischen Definition verwechselt. Bitte setze Dich hin. Note 6. --- Hans Rosenthal (A.H.R.D.) (nicht signierter Beitrag von 80.128.245.163 (Diskussion) 00:25, 19. Mär. 2016 (CET))

Hallo Hans Rosenthal (A.H.R.D.)! Sei nicht so voreilig im Vergeben von Mathenoten. Das Problem ist, daß Mathematik nicht immer dem gesunden Menschenverstand entspricht. Letzterer sagt dir, daß ein Produkt zwei Faktoren hat. Doch die Mathematik verallgemeinert das: Es gibt auch Produkte mit mehr oder (und jetzt kommts!) weniger als zwei Faktoren. So ist beispielsweise 2 ein Produkt aus nur einem Faktor (nämlich der 2). Nichts anderes versuchten Franz und Iwesb dir zu sagen. Jetzt klar? Franz Halač (Diskussion) 00:23, 9. Apr. 2016 (CEST)

Falscher Satz

Ich bin zwar Mathe-Laie, aber folgender Satz scheint für mich falsch zu sein. Aufgrund dieses Satzes, also dass sich jede natürliche Zahl größer 0 durch Multiplikation von Primzahlen eindeutig darstellen lässt, nehmen die Primzahlen eine besondere atomare Stellung in der Mathematik ein.

Bekanntlich ist die 1 keine Primzahl. Wenn man die 1 durch Multiplikation zweier natürlicher Zahlen erhalten will, so bleibt einem nichts anderes als 1×1 übrig (würde einer der Faktoren größer 1 sein, würde auch das Ergebnis höher als 1 sein (z. B. 1×4), würde einer der Faktoren 0 sein, würde das Ergebnis 0 sein (z. B. 1×0), würde man 1 dagegen durch Dezimalzahlen erreichen (z. B. 2×0,5), so würde man nicht mehr ausschließlich natürliche Zahlen verwenden). Da die 1 aber keine Primzahl ist, kann man nicht jede natürliche Zahl größer 0 durch Multiplikation von Primzahlen erreichen, oder irre ich mich da?--31.17.155.184 18:59, 24. Nov. 2015 (CET)

Der Witz ist, dass die Zahl der Faktoren bei der Multiplikation nicht festgelegt ist. Es ist damit auch zugelassen, dass die Multiplikation nur einen Faktor besitzt (dann erhält man die Primzahlen selbst) oder keinen Faktor. In letzterem Fall erhält man die 1. --Digamma (Diskussion) 20:12, 24. Nov. 2015 (CET)

Danke für die Antwort. Versteh ich das richtig: Wenn man multipliziert OHNE Faktor, dann ist die Antwort „1“? Das kann ich mir mit meinem begrenzten mathematischen Wissen nur sehr schwer vorstellen, dass man ohne Faktor multiplizieren könne (Das bedeutet dann auch, dass ein nicht vorhandener Faktor eine Primzahl ist, sonst würde der Satz im Artikel ja trotzdem noch falsch sein). Kann man dann auch ohne Summand addieren? Ich bin ein bisschen überfordert, mir das vorstellen zu können ...--31.17.155.184 16:52, 25. Nov. 2015 (CET)

Ja, man kann auch eine Anzahl von 0 Summanden addieren. Das Ergebnis ist dann 0. Man stelle sich vor, dass man beim Addieren mit 0 beginnt und dann alle Summanden zur 0 addiert. Wenn man nur einen Summanden hat, dann ist dieser das Ergebnis. Wenn man gar keinen Summanden hat, dann bleibt man bei der 0. Beim Multiplizieren beginnt man mit der 1 und multipliziert diese mit den zu multiplizierenden Faktoren. Wenn man nur mit einem Faktor multipliziert, dann ist dieser das Ergebnis. Wenn man mit gar keinem Faktor multipliziert, dann bleibt man bei der 1. Ein nicht vorhandener Faktor ist nicht zwangsläufig eine Primzahl. Aber man kann halt auch mit keiner Primzahl multiplizieren. --Digamma (Diskussion) 20:08, 25. Nov. 2015 (CET)

Okay, danke für die Antwort. Klingt für mich immer noch ein bisschen wirr, aber nun weiß ich immerhin Bescheid. :-)--31.17.155.184 23:25, 1. Dez. 2015 (CET)

Hi, ich versuchs mal mit etwas anderen Worten zu erklären: Um von

$10+10+10=3\cdot 10=30\left(=\sum _{k=1}^{3}10\right)$

einen Summanden weglassen (also von 3 zu 2 Summanden übergehen), subtrahieren wir 10:

$30-10=10+10=(3-1)\cdot 10=2\cdot 10=20\left(=\sum _{k=1}^{2}10\right)$

Nochmalige Subtraktion von 10 (also der Übergang von zwei Summanden zu einem) liefert

$20-10=10=(2-1)\cdot 10=1\cdot 10=10\left(=\sum _{k=1}^{1}10\right)$

und nun subtrahieren wir noch den letzten Summanden 10, indem wir von 1 zu 0 Summanden übergehen:

$10-10=(1-1)\cdot 10=0\cdot 10=0\left(=\sum _{k=1}^{0}10\right)$

Wir erhalten also sukzessive das 3-fache, 2-fache, 1-fache und 0-fache von 10 (30, 20, 10, 0).

Und ganz analog gehen wir vor, wenn wir multiplizieren statt addieren:

$10\cdot 10\cdot 10=10^{3}=1000\left(=\prod _{k=1}^{3}10\right)$

Aus den 3 Faktoren machen wir zunächst einmal 2, indem wir einmal durch 10 dividieren:

$1000:10=10\cdot 10=10^{3-1}=10^{2}=100\left(=\prod _{k=1}^{2}10\right)$

Dasselbe noch einmal ergibt

$100:10=10=10^{2-1}=10^{1}=10\left(=\prod _{k=1}^{1}10\right)$

mit 1 Faktor und schließlich dividieren wir auch noch diesen letzten Faktor weg, sodaß wir zu 0 Faktoren übergehen:

$10:10=1=10^{1-1}=10^{0}=1\left(=\prod _{k=1}^{0}10\right)$

Hier erhalten wir der Reihe nach die 3., 2., 1. und 0. Potenz von 10 (1000, 100, 10, 1).

Die jeweils in Klammern beigefügten kompakten Schreibweisen mit dem Summen- bzw. Produktzeichen kannst Du Dir ruhig auch ersatzlos gestrichen denken, falls sie Dir noch unbekannt sein sollten. Auch ohne diese Zusätze wirst Du bei sorgfältiger Analyse dieser beiden Reihen (nicht zu früh die Flinte ins Korn werfen!) vermutlich zu einem Aha-Erlebnis kommen, das Dir die Sinnhaftigkeit und Brauchbarkeit dieser Dir fragwürdig erscheinenden Definitionen einer Summe bzw. eines Produktes mit 1 oder 0 Summanden bzw. Faktoren vor Augen führen wird. Liebe Grüße, Franz 00:25, 2. Dez. 2015 (CET)

Die Eins ist das Produkt von keiner Primzahl - das Produkt ist leer -; Primzahlen das Produkt von sich selbst (aber nicht mit sich selbst, sonst wärens ja Primzahlquadrate).--131.159.76.135 14:55, 7. Apr. 2016 (CEST)

Oskar Simony?

„Primzahlenrechnungen für das Successionsgesetz der reellen Primzahlen“ - hat das Relevanz hier? Es scheint wichtig zu sein, bin aber kein Fachmann.--217.70.135.55 06:52, 30. Jun. 2016 (CEST)

Ich habe noch nie davon gehört. Es gibt tausende Arbeiten zu Primzahlen. Dass die Arbeit für Oskar Simony wichtig war, heißt noch lange nicht, dass sie für die Mathematikwelt wichtig wäre. Also eher: Hier nicht relevant. --Digamma (Diskussion) 16:45, 30. Jun. 2016 (CEST)

Übrigens hat Simony eine gewisse Bedeutung als ein früher „experimenteller“ Knotentheoretiker, siehe dazu Epple: „Die Entstehung der Knotentheorie“. Das hat aber keine Relevanz für die Zahlentheorie. --KurtSchwitters (Diskussion) 10:07, 1. Jul. 2016 (CEST)

Liste der Rekordprimzahlen nach Jahren ist nicht vollständig

Es fehlen die folgenden Primzahlen:

• (2⁶¹)-1
• (2⁸⁹)-1
• (2¹⁰⁷)-1
• (2⁴²⁵³)-1

--79.220.5.187 19:15, 27. Sep. 2016 (CEST)

Um diese einzufügen bräuchte man noch mehr Angaben dazu (Wann? Von wem?) und Quellen. Gruß, --Digamma (Diskussion) 22:36, 27. Sep. 2016 (CEST)

(2⁴²⁵³)-1 kann man googeln. --79.220.3.166 14:37, 28. Sep. 2016 (CEST)

Na dann google doch einfach. -- Iwesb (Diskussion) 14:40, 28. Sep. 2016 (CEST)

Eindeutige Primfaktorzerlegung

haben nicht nur die Zahlen "größer 1, die nicht selbst Primzahlen sind", sondern jede positive natürliche Zahl: auch die 1 (kein Primfaktor, Wert des leeren Produkts) und jede Primzahl (genau ein Primfaktor, sie selbst). Diese Selbstverständlichkeit wollte ich schon mal ändern, wurde dann gebeten, das hier zu erläutern, aber ich sehe partout nicht, was es da großartig zu erläutern gibt - außer daß ein Produkt auch weniger als zwei Faktoren haben kann. (Ich ändere das mal nochmal.)--2001:A61:20F8:EB01:F402:5340:7749:F2CE (21:25, 8. Jun. 2016 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Hast du die Diskussion hier dazu gelesen? --Digamma (Diskussion) 21:34, 8. Jun. 2016 (CEST)

War wohl ich. Hatte ich damals nicht. Hatte es später noch gemacht (nicht erst jetzt). Man erlaube mir, nach wie vor zu denken: bloß weil jemand etwas nicht begreifen will, wird es nicht strittig.--2001:A61:20C1:901:1523:8780:D284:F72C 22:22, 28. Dez. 2016 (CET)

Goldbachsche Vermutung

Zum Abschnitt der Einleitung: "...Dazu gehören die Goldbachsche Vermutung, wonach außer 2 jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist..." Entschuldigung, ist das richtig formuliert, oder schlummert hier ein Formulierungsfehler? Wie soll sich bitte die Zahl 6 als gerade Zahl als Summe zweier (verschiedener) Primzahlen zusammensetzen lassen?: Sind also mit den "zwei" Primzahlen jeweils zwei verschiedene Primzahlen gemeint, oder kann es sich auch um eine Summe aus zweimal ein und derselben Primzahl handeln (3+3=6)? Ich finde, das könnte etwas eindeutiger formuliert werden, damit es auch allgemein gut verständlich ist. Vielen Dank! 89.15.237.23 20:00, 25. Nov. 2016 (CET)

Ja, natürlich sind 4 = 2 + 2 und 6 = 3 + 3 zulässige Darstellungen: Es steht nirgends etwas davon, daß die beiden Summanden nicht gleich sein dürften. Ich halte es auch nicht für nötig, die Formulierung dahingehend abzuändern, sie ist völlig eindeutig und (wie ich meine) auch „allgemein gut verständlich“. Franz 20:07, 25. Nov. 2016 (CET)

"zwei Primzahlen" heißt "zwei nicht notwendigerweise verschiedene Primzahlen" - in der Mathematik und auch im Deutschen. Will man spezieller werden und sagen "zwei verschiedene Primzahlen", dann muß man das explizit dazusagen. -- Ich habe eine IP, aber der Benutzername Ockham mit dem Messer wäre an dieser Stelle vielleicht angebracht.2001:A61:20C1:901:1523:8780:D284:F72C 22:25, 28. Dez. 2016 (CET)

Prime rectangles.svg

Wenn diese Grafik, anhand des Unterschiedes von 12 zu 11, mit der Zerlegung in Primzahlen erklären will, sollte sie wenigstens die "12" auch in ihre Primzahlen (2 x 2 x 3) und nicht in "3 x 4" erklären. Das betrifft ebenso auch das Beispiel "11": "8 + 3" mit (2 x 4) + 3 So ist das jedenfalls nicht sehr sinnvoll. Vielleicht kann das jemand entsprechend korrigieren, ich habe darin (in der Bearbeitung dieser Dateien) keine Kenntnisse. --Dontworry (Diskussion) 13:23, 12. Apr. 2017 (CEST)

Die Grafik will nicht die Zerlegung in Primzahlen erklären, sondern die Definition erläutern: 12 lässt sich als nichttriviales Produkt schreiben, 11 nicht. Egal durch welche Zahl man 11 dividiert, immer bleibt ein Rest (die trivialen Teiler 1 und 11 selbst ausgenommen). --Digamma (Diskussion) 20:07, 12. Apr. 2017 (CEST)

Trotzdem ist es ein "No-Go" in der Einleitung zum Artikel "Primzahl" eine derartige Erklärung (mit Produktzahlen) anzubieten! --Dontworry (Diskussion) 07:13, 13. Apr. 2017 (CEST)

Das sehe ich überhaupt nicht. --Digamma (Diskussion) 08:25, 13. Apr. 2017 (CEST)

Sehe ich auch nicht. Allerdings halte ich die untere Zeile trotzdem für ungünstig. Anscheinend wird versucht, eine Zerlegung zu finden, indem Divisionen mit Rest durchgeführt werden, und zwar mit den Divisoren 4, 5 und 3. Da stellen sich die Fragen, warum nicht durch 2 dividiert wird (wahrscheinlich, weil man "sowieso sieht", dass 11 ungerade ist), warum nicht durch 6, 7, ... (wahrscheinlich, weil der andere Faktor ja mindestens 2 sein soll, was bei den Divisoren nicht möglich ist), und warum so durcheinander und nicht systematisch.

Wenn man das linke Teilbild weglässt, kann man die Zeile (fast, die Reste sind an die falsche Stelle gemalt) auch so interpretieren, dass Divisionen mit Rest mit den Divisoren 2 und 3 durchgeführt werden. Dies wäre systematisch und ausreichend.

Für Leute, die nicht sehen, dass Division durch 2 und durch 3 ausreicht, ist es wohl sinnvoll, ein paar mehr Divisionen, und dabei auch gleich in vernünftiger Reihenfolge, darzustellen. Etwa so:

                                     *
                               **    *+
                         **    **    *+
                  ***    **+   **    *+
         *****    ***+   **+   **    *+
         *****+   ***+   **+   **+   *+
 Divisor:  2       3      4     5    6

--Daniel5Ko (Diskussion) 11:37, 13. Apr. 2017 (CEST)

Die 1 als Primzahl angesehen?

Im Artikel magisches Quadrat wird bei Magischen Primzahlquadraten behauptet, dass um 1900 die Zahl 1 als Primzahl angesehen wurde. Stimmt das? --Nfhrfh (Diskussion) 17:27, 11. Jun. 2017 (CEST)

Ja, es gab damals keine so eindeutig wie heute weltweit akzeptierte Definition. Siehe dazu auch diese alte Diskussion zum Thema im Archiv. Franz 17:51, 11. Jun. 2017 (CEST)

Wäre die Eins eine Primzahl, so wären alle anderen natürlichen Zahlen durch eine „ganz bestimmte Primzahl“ ohne Rest teilbar … (nicht signierter Beitrag von 93.229.99.20 (Diskussion) 22:04, 8. Aug. 2017 (CEST))

Das hat jetzt nicht direkt mit der Frage zu tun. --Digamma (Diskussion) 08:40, 9. Aug. 2017 (CEST)

Allgemeinere Definition

In der Einleitung wird die Primzahl mit "die größer als 1 und ausschließlich durch sich selbst und durch 1 teilbar ist" (1) definiert. Meiner Meinung nach sollte zuerst mit "eine natürliche Zahl, die genau zwei verschiedene natürliche Teiler hat" (2) definiert werden. Daraus folgt nun, dass jede Primzahl >1 ist und nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, was man zur Anschaulichkeit nennen kann. Der Grund, warum ich es umstellen würde ist folgender: Die Einschränkung "größer 1 " ist nur notwendig, weil die Definition "nur durch 1 und sich selbst teilbar" zu ungenau ist. In der Literatur würde in diesem Fall aber eher eine genauere Definition angegeben, als die schlechte Definition einzuschränken. "Größer 1" ist genauer gesagt keine notwendige Bedingung. (1) ist eher ein Lemma als eine Definition (2).

Wenn "größer als 1" zu ungenau scheint, dann kann man auch "ungleich 1" schreiben. Diese Frage wurde hier schon mehrfach diskutiert, deshalb kopiere ich mal einfach meinen früheren Beitrag:

Primzahlen werden nicht deshalb ausgezeichnet, weil die Anzahl 2 ihrer Teiler etwas besonderes wäre. Sondern deshalb, weil sie nur triviale Teiler haben, wobei die 1 und die Zahl selbst als "triviale" Teiler gelten. In vielen Fällen betrachtet man in der Zahlentheorie nicht die Menge N, sondern den Ring Z. Primzahlen haben dann 4 Teiler, nämlich, 1, -1, p und -p. In Verallgemeinerungen bezeichnet man Ringelemente p als "irreduzibel", wenn sie keine Einheit sind (kein multiplikatives Inverses haben) und als Teiler nur Einheiten und solche Elemente haben, die aus p durch Multiplikation mit einer Einheit hervorgehen. Es kommt also nicht auf die Zahl der Teiler, sondern auf die Art der Teiler an. Die Eins wird nicht deshalb ausgeschlossen, weil sie nur einen Teiler hat, sondern weil sie eine Einheit ist. -- Digamma 19:15, 9. Feb. 2011 (CET)

--Digamma (Diskussion) 16:09, 21. Sep. 2017 (CEST)

Wo ich herkomme (Mathe studiert habe), hält man sich nicht mit sowas wie "Anzahl der Teiler" auf, sondern definiert Primelement (was im Allgemeinen nicht gleichbedeutend ist mit irreduzibel) und ist fertig. (nicht signierter Beitrag von 134.94.80.140 (Diskussion) 15:06, 16. Feb. 2018 (CET))

Das ist dann Ringtheorie. Das muss man aber nicht lernen, um zu verstehen, was Primzahlen sind. Dies ist kein Mathe-Lexikon, sondern ein Lexikon, das sich an jedermann richtet.

Auch wenn Primelement i.A. etwas anderes ist als ein irreduzibles Element: Die übliche Definition einer Primzahl übersetzt sich zu "irreduzibel". Dass Primzahlen dann Primelemente sind, ist eine Aussage, die, wenn man genau ist, bewiesen werden muss. --Digamma (Diskussion) 15:32, 16. Feb. 2018 (CET)

Ohje. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass man auch ohne "Anzahl der Teiler" auskommen kann, weil dies immer wieder zu Diskussionen und Missverständnissen führt (s.o.). In der Literatur steht deshalb auch sowas wie "Primzahlen sind die Primelemente des Rings der ganzen Zahlen". Das sollte auch ein Lexikon, das sich an jedermann richtet, so wiedergeben. (nicht signierter Beitrag von 92.201.62.129 (Diskussion) 18:17, 16. Feb. 2018 (CET))

Dann sind wir uns ja einig. --Digamma (Diskussion) 21:09, 16. Feb. 2018 (CET)

Ich bin etwas verwirrt von diesem Diskussionsbeitrag des unbekannten Benutzers, denn ich erkenne nicht, dass der Artikel diese Anzahl-der-Teiler-Definition in den Vordergrund stellt. Zudem meine ich - in Anbetracht der obigen Bemerkung von Digamma und der Tatsache, dass die Primzahlen zu den natürlichen Zahlen gehören -, dass man exakt sein und sagen sollte: "Die Primzahlen sind die positiven irreduziblen Elemente des Rings der ganzen Zahlen."--Schojoha (Diskussion) 21:47, 16. Feb. 2018 (CET)

Simple Definition

Der Primzahlbegriff wird – anders als die meisten mathematischen Fachbegriffe – so häufig verwendet, dass ich es begrüßen würde, im Artikel neben der gegebenen mathematisch-exakten Definition auch noch eine unmittelbar verständliche umgangssprachliche zu geben. Für Lieschen Müller ist „eine Zahl, die genau zwei Teiler hat“ einfach zu abstrakt, darunter kann sie sich nichts vorstellen. (Wobei Lieschen Müller für einen großen Teil der aktuellen Schülerschaft steht.) Ich sage mathematisch unbedarften Zeitgenossen gern: „Eine Primzahl ist eine Zahl, die sich nicht in gleichgroße Teile zerlegen läßt (außer in Einer, und das gilt nicht)“. Das wird sehr viel besser verstanden: Hat man eine Primzahl Kippen, kann man sie nur dann gerecht auf die Gruppe aufteilen, wenn die Gruppe genauso groß ist, größere Anteile für kleinere Gruppen gehen nicht. Außerdem würde diese Erklärung perfekt zum im Artikel mitgelieferten Bild mit der Darstellung der Teilbarkeit von 11 und 12 passen. --Kreuzschnabel 15:23, 21. Mai 2015 (CEST)

Genau so sehe ich es als Pädagoge auch. Wenn man es sich aber erlaubt, diesen Wikipediaartikel und die Wikipediaphilosophie in dieser Hinsicht zu kritisieren und hinterfragen und sich anschließend auf die Gegenrede nicht rechtzeitig genug zu Wort meldet, wird einem gleich der Account gesperrt. Ein Wikipedia, dass nur von einem kleinen Prozentsatz der Menschen verstanden wird, aber von möglichst vielen mitfinanziert werden soll, ist ein wissenschaftlicher Elfenbeinturm und sonst nichts, dient dann insbesondere denen, die ohnehin schon "alles" wissen - oder glauben, alles besser zu wissen. Einem durchschnittlichen SEK I-Schüler nützt dieser Artikel in seiner Ganzheit rein gar nichts, denn nach wenigen Sätzen wird das Lesen vermutlich bereits aufgegeben.--2.247.241.5 08:52, 22. Sep. 2018 (CEST)

Summaden

Wieso rückgängig gemacht? --Ralf.steiner (Diskussion) 16:54, 6. Okt. 2018 (CEST)

Der Bemerkung von Iwesb "voellig triviale Aussage, dann koennte der ggT u aus der Summe ausgeklammert werden und u*(a'+b') kann nicht prim sein" pflichte ich bei - so gesehen ist der Beweis des Eintrags trivial, aber richtig und wichtig. => bitte daher um Wiederherstellung des Eintrags - gern mit Hinweis auf diesen trivialen Beweis. Immerhin verknüpft diese Aussage die Addition von a+b=p mit der Multiplikation von c*d != p und daher beide notwendigen Gruppeneigenschaften. --Ralf.steiner (Diskussion) 17:09, 6. Okt. 2018 (CEST)

Ich habe diese Eigenschaft noch nie irgendwo als Eigenschaft von Primzahlen erwähnt gesehen. Insofern ist das wirklich nur eine einfache Übungsaufgabe ohne wirkliche Relevanz. Es sei denn, du findest irgendwo eine reputable Quelle, wo diese Eigenschaft explizit erwähnt wird. Vielleicht magst du einfach mal erklären, warum die Aussage deiner Meinung nach wichtig ist? --Digamma (Diskussion) 17:16, 7. Okt. 2018 (CEST)

Nutzen ohne Rechenmaschinen?

Bis zum Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen konnte man keinen praktischen Nutzen aus dem Wissen über die Primzahlen ziehen.

Was ist mit der schnellen Ermittlung des kgV zweier Zahlen? Da sehe ich schon einen Nutzen im Wissen über Primzahlen, ohne dass man da gleich eine Rechenmaschine braucht.

Nun ja, das kgV (Hauptnenner und den ggT) kann man auch mit dem euklidischen Algorithmus manuell und sehr effizient ermitteln. Dazu braucht's nicht unbedingt eine Primfaktorzerlegung. Dennoch gab es mit den Herren Euklid, Eratosthenes, Euler, Galois, Gauß etc etc außerordentlich viel Theorie zu den Primzahlen, von der sich einiges auch in die Praxis hineindiffundiert hat. Man denke nur an den Unterricht der 4ten Klasse, wo das bei uns behandelt wurde. Ich denke, da lassen sich auch sicher noch größere und wichtigere Beispiele finden.
Aber zugegeben, der Bedarf an Kryptografie war vor den elektronischen Rechenmaschinen geringer. Schon wahr.
Dennoch würde auch ich den besagten Satz gerne weghaben, weil er gar zu pauschal und kühn ist. --Nomen4Omen (Diskussion) 22:01, 23. Okt. 2018 (CEST)

Ich habe ein Beispiel gefunden: Ein gekürzter Bruch $p/q$ hat genau dann eine endliche $b$-adische Darstellung, wenn alle Primfaktoren des Nenners $q$ auch Primfaktoren der Basis $b$ sind.
Ich nehme den Satz also raus. --Nomen4Omen (Diskussion) 10:10, 24. Okt. 2018 (CEST)

Neudefinition von Primzahlen

Die 1 von den Primzahlen auszuschließen, ist ein Irrweg. Denn die Zahl 1 besteht wie alle anderen Primzahlen nur aus ihrem eigenen einzigen Faktor. Der gegewärtige Teilungsansatz der Definition kann nicht aufrecht erhalten werden. Ausgangspunkt für eine Neudefinition ist eine geeignete Definition für zusammengesetzte Zahlen, auf die sich die Primzahldefinition stützen kann: Eine zusammengesetzte Zahl ist Multiplikationsergebnis aus zwei oder mehr Primzahlfaktoren größer 1. Eine Primzahl besteht aus ihren einzigen Faktor. Armin Rieble 2003:EE:FBCB:6B02:9D0B:CA6:9BF2:82CB 10:36, 2. Jan. 2019 (CET)

Aus dem, was du sagst, kann man den Eindruck gewinnen, dass du den Sonderfall 1 erkennst. Denn die 1 besteht, wenn man sie als so ganz richtigen und vollwertigen Faktor anerkennt, (für sich alleine schon) aus unendlich vielen Darstellungsmöglichkeiten

1 = 1×1 = 1×1×1 = 1×1×1×1 = 1×1×1×1×1 = ...

Also überhaupt nix von Eindeutigkeit. Auch wenn man alle (hier sich sowieso zufällig(?) nicht unterscheidenden) Permutationen gleichsetzt. Unendlich viele Möglichkeiten!

Deshalb nimmt man bei einer sauberen Definition auch die 1 heraus und spricht von den "natürlichen Zahlen > 1" (als Menge $\mathbb {N} _{>1}$, eine Menge, die man sonst fast nie braucht) und sagt, dass die Primzahlen diejenigen sind, die in dieser Menge nur sich selbst zum Faktor haben (ungefähr deine Worte). Und die zusammengesetzten Zahlen in dieser Menge haben mindestens zwei Faktoren (aus dieser Menge). Eine veritable Neudefinition braucht's dazu nicht so richtig wirklich, weil der Sachverhalt seit Tausenden von Jahren bekannt ist, und in der vierten Klasse nur ein bisschen schlampig erklärt wurde – allerdings (und da stimme ich dir ein bisschen zu) mit leicht schlampigen Nachwirkungen (bis heute(?)). Beste Grüße --Nomen4Omen (Diskussion) 11:50, 2. Jan. 2019 (CET)

Armin Rieble (IP) hat auf Wikibooks – Diskussion zu Warum 1 keine Primzahl ist – ein klein wenig mehr geschrieben: „Natürlich klebt man gerne an liebgewordenen Definitionen und scheut andere Horizonte. Was ich von Ihnen erwarte ist, meine Definitionen entweder argumentativ zu widerlegen oder sie anzuerkennen.“ Das interpretiere ich als Theoriefindung im Gegensatz zum Zweck der Wikipedia (und Wikibooks) gemäß Keine Theoriefindung. -- Jürgen (Diskussion) 11:56, 2. Jan. 2019 (CET)

Hinweis: Auf Ur-Primzahl 1 wendet sich A.R. „gegen alle Mathematiker, die sich anmaßen,die Zahl 1 von den Primzahlen auszuschließen“ (zitiert aus der Unterseite Inhalt II). – Die Seite decemsys(dot)de enthält kein Impressum, sondern nur (etwas versteckt) eine Info-Seite. -- Jürgen (Diskussion) 12:29, 2. Jan. 2019 (CET)

Die Mathematiker sind darin anmaßend, daß sie glauben, bestimmen zu können, was Wirklichkeit ist. Aber was wissen sie denn über Herkunft und Bedeutung von Zahlen? Wie ich schon gesagt habe, für Mathematiker liegen die Zahlen wie kunterbunt in der Landschaft umher und sie verfügen darüber nach Belieben. Ich verdenke es ihnen freilich keineswegs, daß sie sich nicht mit philosophischen und ontologischen Fragen beschäftigen. Ich selbst habe vielfach dargestellt, daß die Zahlen sich organisch aufbauen und so einen sinngefügten und unendlich weisen Organismus darstellen. Dabei ist die Zahl 1, von der alles ausgeht, als Primzahl unverzichtbar. Es ist doch widersprüchlich zu sagen, daß 2 durch sich selbst und 1 teilbar ist, aber die 1 nur durch sich selbst. Die 1 ist doch ebenso durch 1 teilbar. Dann fehlt doch der bestehenden Primzahldefinition die letzte Stimmigkeit. Mir ist klar, daß ich an einer weltweiten Festlegung rüttle. Aber soll ich ruhig hinnehmen, was ich für wahrheitswidrig halte? Wenn Theoriefindung nach den Wiki-Richtlinien ausgeschlossen ist, so will ich wenigstens meinen Widerspruch einlegen. Mein "Impressum" ist tatsächlich etwas versteckt. Das könnte ich wohl besser machen. A.R. 2003:EE:FBCB:6B02:C7F:1170:DD30:3D54 14:53, 2. Jan. 2019 (CET)

Ich stimme Jürgen zu. Für Definitionen gibt es große Freiheitsgrade. Eine Definition kann eigentlich nicht »falsch« sein. Sie kann in sich widersprüchlich sein, dann ist sie in der Mathematik abzulehnen. Oder sie kann ungeschickt sein, so dass man furchtbar viel Schmonzenz dazu erzählen muss, um rüberzubringen, was man eigentlich sagen möchte. Und eine Definition der Primzahlen, bei der die 1 mit dabei ist, ist einfach unklug, so althergebracht sie auch immer sein mag.
Was will man:

1. Man will die Primzahlen eindeutig charakterisieren. Da kann man so und so verfahren und notfalls von den Primzahlen ohne die 1 sprechen.
2. Man will die (bis auf die Reihenfolge) eindeutige Primfaktorzerlegung haben. Da stört die 1 wegen 1 = 1×1 = 1×1×1 = 1×1×1×1 = 1×1×1×1×1 = ... .
3. Man will die Erweiterung auf andere Ringe haben, wie sie Benutzer:Digamma oben am 16:09, 21. Sep. 2017 (CEST) wiederholt hat. Auch bei allgemeineren Ringen nimmt man demnach die 1 (dort: Einheiten) (klugerweise) raus. Die bis auf die Reihenfolge eindeutige Primfaktorzerlegung muss man auch geringfügig anders formulieren.

Es ist für die Mathematiker kein echtes Problem, den anmaßenden A.R. mit seiner UrUrUr-Primzahl 1 auf seiner ungeschickten Definition sitzen zu lassen und von den echten Primzahlen ohne diese UrUrUr-Primzahl zu sprechen. --Nomen4Omen (Diskussion) 13:16, 2. Jan. 2019 (CET)

Ich danke Ihnen für Ihre Antwort. Wenn Sie sagen, man könne "notfalls" von den Primzahlen ohne die 1 sprechen, meinen Sie damit, daß sie eigentlich als Primzahl gelten sollte? Ist dann die geltende Definition nicht unehrlich? A.R. 2003:EE:FBCB:6B02:C7F:1170:DD30:3D54 14:53, 2. Jan. 2019 (CET)

@Spezial:Beitr%C3%A4ge/2003:EE:FBCB:6B02:C7F:1170:DD30:3D54 Lieber A.R., bei Ihnen gibt es anscheinend „unehrliche“ Definitionen. Bei mir gibt es das nicht, aber widersprüchliche (in der Sprache, nicht aber in der Mathematik!! [dort fliegen sie sofort raus]), nützliche und ungeschickte. Definitionen erlauben die Wirklichkeit zu sortieren (sprachlich, begrifflich). Die 1 bei den Primzahlen zu lassen, würde zu den ungeschickten gehören, denn ich muss nachher nochmal sortieren, wozu ich die 1 nicht gebrauchen kann. [Die 1 als »Einheit« und damit als Nicht-Primzahl einzustufen, ist keine Herabstufung, sondern eine Hochstufung der 1, falls Sie das tröstet.]

Aber, da Sie sowieso nur das lesen, was Sie lesen wollen, lasse ich das völlig hoffnungslose Weiterschreiben. Besten Gruß auch, --Nomen4Omen (Diskussion) 15:51, 2. Jan. 2019 (CET)

@Armin Rieble: In der Wikipedia wird bekanntes Wissen dargestellt. Privat-Überlegungen ausserhalb der Standard-Literatur sind hier deplatziert. Im Buch "Mathematik - Kleine Enzyklopädie", 1968, VEB Bibliographische Institut Leipzig, 3. Auflage, lese ich auf Seite 27: Primzahlen sind Zahlen, die nur unechte Teiler haben ... Die 1 selbst zählt man nicht zu den Primzahlen. Bitte stellen Sie Ihre Gedanken in einem geeignetem Blog vor. --tsor (Diskussion) 16:38, 2. Jan. 2019 (CET)

+1. Dieser ganze Abschnitt dient nicht der Artikelverbesserung, sondern der Theoriefindung, wie die Überschrift schon sagt. Das ist ausdrücklich nicht die Aufgabe von WP. Daher ist dieser Abschnitt gemäß WP:DS zu löschen. --Frogfol (Diskussion) 17:29, 2. Jan. 2019 (CET)

Grösste Primzahl

2^243112609-1-1 u.s.w.  :) (nicht signierter Beitrag von 129.230.56.12 (Diskussion) 15:16, 15. Mai 2012 (CEST))

nicht mehr aktuell ;) --ZabeMath (Diskussion) 19:11, 15. Mär. 2020 (CET)

Neueste größe Primzahl

Es gibt einen neuen Rekordhalter, siehe hier. --H.A. (Diskussion) 14:28, 5. Jan. 2018 (CET)

auch nicht mehr aktuell ;) --ZabeMath (Diskussion) 19:12, 15. Mär. 2020 (CET)

Fraktales Verhalten von Primzahlen

http://bcmathematics.monsite-orange.fr/FractalOrderOfPrimes.pdf --biggerj1 (Diskussion) 22:24, 2. Feb. 2014 (CET)

Der Link funktioniert nicht. --ZabeMath (Diskussion) 19:15, 15. Mär. 2020 (CET)

genau zwei Teiler

Wenn man „genau zwei“ sagt, schließt das die Unterschiedlichkeit der zwei mit ein. --Nomen4Omen (Diskussion) 19:59, 18. Aug. 2018 (CEST)

Ja, tu es. --ZabeMath (Diskussion) 19:17, 15. Mär. 2020 (CET)

Fundamentalsatz

"Es gilt der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen [...]" Das ist so nicht korrekt und wird vom Fundamentalsatz auch gar nicht behauptet.--2003:6:3358:F97B:822:5106:6B0F:5AF4 16:39, 25. Mai 2021 (CEST)

Stimmt. In der Einleitung steht's richtig. –Nomen4Omen (Diskussion) 20:31, 25. Mai 2021 (CEST)

Die monierte Version ist (streng genommen) korrekt. Denn die 1 ist ein leeres Produkt aus Primzahlen. Präziser: Ist $n\in \mathbb {N}$, so gibt es eindeutig bestimmte Exponenten $e_{p}(n)\in \mathbb {N} _{0}$, so dass

$n=\prod _{p}p^{e_{p}(n)}.$

Ist so auch bei Jörg Brüdern, Analytische Zahlentheorie, nachzulesen, dort steht gleich auf der ersten Seite: „..., denn jede natürliche Zahl ist ein Produkt aus Primzahlen, und dieses Produkt ist auch im wesentlichen eindeutig“. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 08:38, 26. Mai 2021 (CEST)

Dann muss man das aber dazu schreiben, dass man leere Produkte (und Produkte aus nur einem Faktor) zulässt. Dies ist klar, wenn man die Schreibweise mit dem Produktzeichen verwendet, aber nicht, wenn man es nur in Worten formuliert. --Digamma (Diskussion) 12:24, 26. Mai 2021 (CEST)

Primzahlnummer

Ich vermisse eine Hilfestellung bei der Antwort auf die Frage "Welche ist die k-te Primzahl?" (d. h. wie kann man die Größenordung der Zahl p_k abschätzen), oder auch eine graphische Darstellung der Funktion p_k(k). Beispielweise könnte jemand auf die Idee kommen, durch Probedividieren durch die ersten n Primzahlen zu ermitteln, ob eine Zahl zusammengesetzt ist. Dazu fiele mir eine Variante ein, von der ich allerdings nicht weiß, ob sie einen Laufzeitvorteil hätte: man multipliziert die ersten n Primzahlen miteinander und speichert das Produkt P_p(n) für den späteren beliebig häufigen Gebrauch. Für den eigentlichen Test stellt man dann mit Hilfe des Euklidischen Divisionsalgorithmus fest, ob P_p(n) und die zu untersuchende Zahl teilerfremd sind. Und jetzt würde man gerne abschätzen, wie groß P_p(n) wohl wird, was man aus p_n gut herleiten kann. --77.1.130.5 14:49, 18. Apr. 2022 (CEST)

Hilft Primzahl#Verteilung_und_Wachstum weiter? --tsor (Diskussion) 14:58, 18. Apr. 2022 (CEST)

Oder Primzahlsatz#Aussage über die Folge der Primzahlen?

Ab der sechsten Primzahl $p_{6}=13$ liegt die $k$-te Primzahl $p_{k}$ zwischen (jeweils einschließlich) den – wegen der Gaußklammern ganzen – Zahlen

$\left\lceil \ln \left({\frac {\ln k^{k}}{e}}\right)^{k}\right\rceil$ und $\left\lfloor \ln \left(\ln k^{k}\right)^{k}\right\rfloor$

der Differenz $k-1$. Manchmal ist auch die wesentlich gröbere Abschätzung $p_{k}\approx \ln k^{k}$ gut brauchbar, die immerhin asymptotisch korrekt ist:

$\lim _{k\to \infty }{\tfrac {p_{k}}{\ln k^{k}}}=1$

--Engcobo (Diskussion) 22:55, 18. Apr. 2022 (CEST)

Die Antwort heißt wohl teilweise Primorial. --77.8.157.93 01:24, 29. Apr. 2022 (CEST)

Das bezweifle ich. Engcobo (Diskussion) 13:27, 29. Apr. 2022 (CEST)

A006254

Benutzer:Tsor: Was bitte ist dort Primzahl&oldid=219125314 unverständlich? Wieso wird selbst in diesem Fall der Eintrag einfach gelöscht statt "verständlicher" modifiziert?

Formel nicht lesbar, keine genaue Quelle angegeben (A006254 hat bei Google keine passenden Treffer). --tsor (Diskussion) 13:35, 13. Jan. 2022 (CET)

"Formel nicht lesbar" soll heißen: für dich oder gar nicht? A006254 hat treffer bei google, auch da diese DB viel älter und wichtiger als WP ist. Wie kann es sein, dass hier jemand an beiträgen herumsichtet/administriert, dem bspw. A###### offensichtlich nichts sagt? Falls aber doch, dann ergänze das doch bitte soweit du es für leser einer Primzahlenseite der DE:WP als nötig erachtest. --2.247.248.116 14:02, 13. Jan. 2022 (CET)

_Na dann schau Dir mal das an: Dein Eintrag Gruß --tsor (Diskussion) 16:04, 13. Jan. 2022 (CET)

Du hast dort meine math. Aussage rot umkringelt. Sie ist sowohl formell als auch sachlich richtig sowie zudem "einfach, schön (und analytisch)". --2.247.248.116 16:28, 13. Jan. 2022 (CET)

Was bedeutet dieses auf den Kopf gestelltes "A"? Was bedeutet diese kreuzähnliche Symbol zwischen den Klammern ") (" ? Diese Symbole sehe ich auf der ganzen Seite nicht. Das müsste eklärt werden und die gesamte Aussage mit einem Beleg (im Artikel) versehen werden. --tsor (Diskussion) 16:38, 13. Jan. 2022 (CET)

Du kannst es gern auch ausformulieren: "Für alle u von ... bis ... gilt: () "teilt nicht" ()". --2.247.248.116 16:55, 13. Jan. 2022 (CET)

Aus meinem (lange zurückliegenden) Mathematikstudium kenne ich: Ein auf den Kopf gestelltes "V" bzw. ein "A" ohne Querstrich bedeutet "für alle". Ein "V" bedeutet "es gibt ein". Analysis-Vorlesung 1973 bei Wendland in Darmstadt. --tsor (Diskussion) 18:26, 13. Jan. 2022 (CET)

Nachträglicher Einschub: Dein Professor war also bei Quantor#Schreib- und Sprechweise Anhänger der Variante 1. Legitim, damals auch häufig vertreten, inzwischen aber wieder Minderheit. Die Hauptschreibweise lehnt sich an an eine Abkürzung für „All(e)“ und ist de & en leichter lesbar. --Himbeerbläuling (Diskussion) 22:12, 25. Mär. 2022 (CET)

... (selbst) mir fallen da auch noch einige weitere Bedeutungen ein, bspw. die auf *osten und *euchter enden. --2.247.250.11 00:09, 16. Jan. 2022 (CET)

...der war gut :-) --46.114.174.89 19:54, 26. Jul. 2022 (CEST)

Erstens fehlt die Quelle (Veröffentlichung, und wenn schon im Artikel Primzahl an prominenter Stelle bitte Lehrbuch zitieren), zweitens warum sollte diese Formel unter den zahlreichen Sätzen über Primzahlen hier erwähnt werden ?--Claude J (Diskussion) 17:02, 13. Jan. 2022 (CET)

Ich kann nur auf obige Sequ. in OEIS verweisen (dort steht der Code), aber ein Mathematiker hier in WP wird sicher eine (prominente) Quelle dazu kennen und diese eventuell auch noch schöner schreiben können. Warum diese Aussage (über die Teilbarkeit einer wohlgeordneten Teilfolge) hier erwähnt werden soll: Weil diese Aussage bzw. dieses Primalitätskriterium von den obigen "zahlreichen Sätzen über Primzahlen" nicht umfasst ist. --2.247.248.116 17:29, 13. Jan. 2022 (CET)

Kein Vorkommen in der Literatur ===> keine Relevanz belegt —Butäzigä (Diskussion) 18:18, 13. Jan. 2022 (CET)

Beweis: Reduce[(2 u + 1) (2 v + 1) == 2 k - 1 && 0 < k && 1 <= u <= v, v] => u >= 1 && k >= 1 + 2 u + 2 u^2 && v == (1 - k + u)/(-1 - 2 u) q.e.d. (nicht signierter Beitrag von 2.247.250.165 (Diskussion) 12:59, 15. Jan. 2022 (CET))

Warum 1 keine Primzahl ist

In diesem Absatz wird, das sei vorangestellt, nicht in erster Linie über mathematische Sachaussagen, sondern über mathematische Fachsprache geredet und darüber, dass Definitionen nicht absolut wahr sein können sondern nur sinnvoll, angemessen, gebräuchlich. Es wird recht viel spekuliert, welche Sprachänderungen es nach sich ziehen würde, wenn die Fachsprache die 1 als Primzahl bezeichnen würde. Man kann der Meinung sein, dass das WP:TF sei, denn es gibt immer sprachliche Alternativen, aber das sei mal dahingestellt. Zum Aktuellen: Ich habe kürzlich dort eine Änderung bezüglich der endlichen Körper vorgenommen. Dazu eine Frage an den, der sie weitgehend revertiert hat: Hallo Benutzer:Nomen4Omen, meinst Du wirklich, eine solche Umbenennung würde am schmerzlosesten vor sich gehen, wenn man in der Folge auch noch die Definition von „Körper (Algebra)“ ändert? Das glaube ich definitiv nicht. Oder möchtest Du den Lernenden besonders schlimme Schreckensvisionen vor Augen führen, um sie damit zur Raison zu bringen? Das fände ich pädagogisch unfair. Zum Schluss mein POV zur Definition „1 ist keine Primzahl“: Es ist gut, dass sich die Professoren einige Generationen vor uns so geeinigt haben wie wir es heute vorfinden. --Himbeerbläuling (Diskussion) 21:45, 25. Mär. 2022 (CET)

@Himbeerbläuling: Da hast du mich missverstanden. Ich wollte eigentlich eher darauf hinarbeiten, dass das eine Verschlechterung der Sprechweise wäre – und so hast du das letztlich ja auch verstanden.–Nomen4Omen (Diskussion) 23:03, 25. Mär. 2022 (CET)

Dann ist es also meine zweite Vermutung? Die, die ich etwas überspitzt formuliert habe mit „Oder möchtest Du den Lernenden besonders schlimme Schreckensvisionen vor Augen führen, um sie damit zur Raison zu bringen?“ --Himbeerbläuling (Diskussion) 23:08, 25. Mär. 2022 (CET)

Zugegeben, es war historisch so, dass bedeutende Mathematiker erstaunlich lange der Definition "Eine Primzahl ist durch 1 oder sich selbst teilbar" anhingen. Die Wege, die man in anderen, von $\mathbb {Z}$ verschiedenen Ringen gehen musste, sind eh total anders. Dort muss man, was die Multiplikativität angeht, eine Hierarchie von Elementen bilden:

1. Die 0, die (als Folge des Distributivgesetzes) alles zunichte macht.
2. Die 1, das neutrale Element der Multiplikation, falls vorhanden.
3. Die multiplikativ invertierbaren Elemente, die sog. Einheiten. Sie bilden eine Gruppe. Darunter ist natürlich die 1. (In einem Körper sind damit alle Elemente erfasst.)
4. Die irreduziblen und die primen Elemente. In $\mathbb {Z}$ fallen diese zusammen. Die 1 und auch keine andere Einheit kann hier dabeisein, da "höher" in der "Hierarchie".
5. Die "zusammengesetzten" Zahlen.

Wenn man diesem Schema anhängt, kann das Unglück einer "Primzahl 1" gar nicht passieren.

--Nomen4Omen (Diskussion) 19:15, 30. Mär. 2022 (CEST)

Wie wäre es denn mit der Definition: Eine Primzahl hat GENAU 2 Teiler. Das ist kurz und sagt genau das aus, was man meint. Somit wäre die Eins raus. --Meikel1965 Diskussion 22:47, 14. Okt. 2022 (CEST)

Modifiziertes Sieb des Eratosthenes

Zur Erzeugung von Primzahlen größer als 3, also 5,7,11,13... sind folgende Formeln eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung:

p = 6k - 1 (Von mir als (Typ -1) bezeichnet und p = 6k + 1 (Typ +1). k=1,2,3... Diese Formeln sind vermutlich schon EUKLID und auch seinen Vorgängern bekannt gewesen.

Die erste Zahl nach dieser Methode ist die 25 (5*5), die keine Primzahl ist. Weitere sind 35 (5*7), 49 (7*7) ...

Multipliziert man (6m-1)*(6n-1) = 36mn - 6m - 6n + 1 = 6k + 1 (Typ +1) Nach Streichen von 1 auf beiden Seiten und Division durch 6 ergibt sich folgende Gleichung:

(mm_p): k = 6mn - (m+n)

Multipliziert man (6m+1)*(6n+1) = 36mn + 6m + 6n +1 = 6k + 1 (Typ +1) Nach Streichen von 1 auf beiden Seiten und Division durch 6 ergibt sich folgende Gleichung:

(pp_p): k = 6mn + (m+n)

Zur Erstellung von Primzahlen vom (Typ +1) sollte man diese Werte k also nicht verwenden.

Für den (Typ -1) lauten die Formeln:

(mp_m): k = 6mn + (m - n) bzw.

pm_m): k = 6mn - (m - n)

Zur Erstellung von Primzahlen vom (Typ -1) sollte man diese Werte k also nicht verwenden.

Obige Formeln verwende ich seit 1957 zur Berechnung von Primzahlen. Vermutlich sind auch diese schon lange bekannt. Welcher Kollege Näheres weiß, ist herzlich eingeladen mich zu informieren. Mein Rechner (I7-860 mit 2,80GHz Takt), braucht etwa 22 sec für alle Primzahlen bis 31 Bit (signed long, Visual Studio Express 10, C++). Für 32 Bit (unsigned long) bereits etwa die dreifache Zeit (60 sec).

Primfaktorenzerlegung

Die obigen Formeln sind auch nützlich bei der Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren. Für Zahlen vom (Typ -1) muss eine ungerade Anzahl von Primfaktoren vom (Typ -1) vorhanden sein. (1,3,5...). Mindestens aber einer! Ist genau ein Primfaktor vom (Typ -1) vorhanden, dann können eine beliebige Anzahl von Primfaktoren vom (Typ +1) vorhanden sein. (1,2,3...), mindestens aber einer! Sind eine ungerade Anzahl größer 1 von Primfaktoren vom (Typ -1) vorhanden (3,5,7...) so könne eine beliebige Anzahl vom (Typ +1) vorhanden sein (0,1,2...), auch keiner!

Für Zahlen vom (Typ +1) könne nur eine gerade Anzahl von Primfaktoren (0,2,4...) vom (Typ -1) vorhanden sein.

Ist überhaupt kein Primfaktor vom (Typ -1) vorhanden, dann müssen mindestens 2 vom (Typ +1) vorhanden sein (2,3,4...)!

Ist eine gerade Anzahl von Primfaktoren vom (Typ -1) vorhanden (2,4,6...), dann können eine beliebige Anzahl vom (Typ +1 ) auftreten (0,1,2...) auch keiner!

Beispiel 1: Nach (mm_p): m = n = 1, Primfaktoren: 5, 5 beide (Typ -1) ergeben eine Zahl vom (Typ +1) nämlich 25 (6*4 + 1 = 25) Index k=4. k = 6*1*1 - (1 + 1) = 4 stimmt!

Beispiel 2: Nach (mp_m): m = n = 1, Primfaktoren: 5, 7 (Typ -1), (Typ +1) ergeben eine Zahl vom (Typ -1) 35 (6*6 - 1) = 35 Index k=6. k = 6*1*1 + (1 - 1) = 6 stimmt!

Beispiel 3: Nach (pp_p): m = n = 1, Primfaktoren: 7, 7 beide (Typ +1) ergeben eine Zahl vom (Typ +1) 49 (6*8 + 1) = 49 Index k=8. k = 6*1*1 + (1 + 1) = 8 stimmt!

Beispiel 4: Jetzt wird es etwas komplizierter: Primfaktoren: 5, 5 (Typ -1), 7 (Typ +1) sollen eine Zahl vom (Typ +1) ergeben. 5*5*7 = 175 Index k = 29. 6*29 + 1 = 175

Hier sind verschiedene m, n Werte zu erwarten. 1.) Nach (pp_p): m = 1 Primfaktor 7 (Typ +1), Faktor 5*5 = 25 (Typ +1) Index n = 4 ( m=1, n=4, k = 6*1*4 + (1 + 4) = 29 stimmt!

2.) Nach (mm_p): m = 1 Primfaktor 5 (Typ -1), Faktor 5*7 = 35 (Typ -1) Index n = 6 ( m=1, n=6, k = 6*1*6 - (1 + 6) = 29 stimmt!

--Walter van Boer (Diskussion) 19:18, 27. Jul. 2015 (CEST)

Hallo Walter van Boer! Solche Darlegungen hier zu präsentieren, wird Dich eher nicht weiterbringen. Vermute ich mal. Du solltest an die Zielsetzung von Wikipedia denken, die ja in die Darstellung von aus zuverlässigen Quellen gewonnenem Wissen besteht.

Was deine Frage angeht: Bei Paulo Ribenboim könntest du was finden. Ich denke auch, dass schon etwas in der obigen Art vorgelegt wurde. Die Weiterentwicklung der Primzahlsiebmethoden ist heute durchaus fortgeschritten.

Was Du auch machen könntest , wäre das Obige (etwa) ins WIKIBOOKS-Beweisarchiv zu setzen.

Viele Grüße --Schojoha (Diskussion) 19:32, 28. Jul. 2015 (CEST)

Die Zahl 2 und die Primzahlen

Entschuldigung! Ich habe einen Fehler in der inhaltlichen Formulierung gemacht! Das Beispiel ist natürlich richtig. Aber wie könnte man es in Worte fassen?

Ich nehme den Code heraus! Meiner Meinung nach war er wichtig, weil es außer der Prüfung von Primzahlen noch keinen Algorithmus gab der Primzahlen der Reihe nach erzeugt.

--modInstance 15:02, 22. Jan. 2016 (CET)

Aber bis zu welchem Wert sind denn nun die Primzahlen lückenlos (!) bekannt? ----Nientepane Solovino (Diskussion) 19:42, 22. Mär. 2023 (CET)