Diskussion:Reihe (Mathematik)/Archiv

Diskussion aus 2004 ehemals auf der Diskussionsseite von Unendliche Reihe

"Unendliche Reihen sollten endlich sein", könnte ein Aphorismus lauten. Der Begriff des Unendlichen wird in der Mathematik ziemlich leichtfertig verwendet. Eigentlich berührt diese Vokabel auch einen Bereich, der eher philosophisch oder auch transzendent ist. Unendliche Reihen haben als Index des letzten Gliedes eine Zahl aus der Menge der Natürlichen Zahlen, wobei diese Zahl auch gleichzeitig die Mächtigkeit dieser Menge angibt. Allerdings hätte dann diese Zahl auch eine unbegrenzte Anzahl von Stellen. Hier setzt Kritik ein. Aus allen Bereichen ist bekannt, dass die Stellenzahl von darstellbaren Zahlen begrenzt ist, z.B. Taschenrechner mit 10 Stellen. Es ist eine Behauptung, dass die Seinsumgebung der Spezies Mensch so beschaffen ist, dass in ihr Zahlen mit unendlich vielen Stellen darstellbar wären. Hier muss über den Erkenntnishorizont des Menschen reflektiert werden. Bei Lebewesen, deren Lebensbereich wir überblicken können, würden wir auch keine unbegrenzte Erkenntnis postulieren: Der Säugling überblickt bis zu den Wänden seine Kinderzimmers, der Goldfisch bis zur Teichgrenze. Es ist also eine pure unbegründete Behauptung, dass es immer eine um 1 größere Zahl geben müsste als die vorherige. So wie es in der Technik Fortentwicklungen in der Normung gibt, z.B. aus Schraubenzieher wurde Schraubendreher, so sollte in der Mathematik der Begriff des Unendlichen zumindest mit der stillschweigenden Einschränkung benutzt werden, dass es sich nur um eine sehr große Zahl handelt. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 14:05 1. Aug 2004 (CEST)

Bitte entschuldige, Gerhard, wenn ich auf die philosophische Seite des unendlichen nicht eingehe.

Da eine unendliche Reihe per Definition keinen letzten Summanden hat, gibt es auch keinen letzten Index, und das Zeichen ∞ für die Obergrenze ist genau das - ein Zeichen, keine Zahl. Dass es in der uns umgebenden physikalischen Welt keine unendlichen Objekte gibt, hat nichts damit zu tun, ob sie in einer mathematischen Theorie auftreten können. Und so gibt es stets eine um 1 größere Zahl - innerhalb der mathematischen Therie der Arithmetik. Das Unendliche ist eben nicht "eine sehr große Zahl", sondern keine Zahl. --SirJective 18:08, 1. Aug 2004 (CEST)

Trotzdem wirst du in dem Artikel die Auflistung eines Endgliedes Sn bemerkt haben. Hierbei ist n ein Element der Natürlichen Zahlen und somit auch eine konkrete Zahl. Dass diese Zahl nicht explizit benennbar ist, unterstreicht nur meine Behauptung. Wenn nun gesagt wird, die Reihe würde soweit gehen, bis n unendlich groß wäre, so hielte ich die in diesen Grenzbereich hinein ragenden Zahlen für zu riesig. Die Zahlenmenge |N ist keine große theoretische Mathematik, sondern entspricht unmittelbarer Erfahrung. Klar, kann theoretisch alles mögliche postuliert werden, von fliegenden Flügelmenschen in der Antarktis bis zu unendlich dimensionalen Räumen. Doch hier meine ich, dass zumindest ein kleines Fragezeichen angebracht wäre, um menschliche Selbstüberschätzung nicht unbegrenzt werden zu lassen. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 2:05 2. Aug 2004 (CEST)

In der Tat habe ich in diesem Artikel eine Partialsumme S_n - keineswegs ein Endglied! - bemerkt, bei der n eine natürliche Zahl und S_n die Summe endlich vieler (reeller oder komplexer) Zahlen ist. Die Reihe selbst ist aber - wie im Artikel steht - die Folge dieser Partialsummen.

Zwar entspringen die "kleinen" natürlichen Zahlen einer unmittelbaren Erfahrung (höchstens bis in die Millionen), aber bei "richtig großen" natürlichen Zahlen wie Grahams Zahl versagt zumindest meine unmittelbare Erfahrung. Und wenn ich nicht einmal jede natürliche Zahl unmittelbar erfahren kann, wie soll das dann bei der Menge aller natürlichen Zahlen funktionieren? Ich will damit sagen, dass zwar natürliche Zahlen selbst (mehr oder weniger) anschaulich sind, die Menge der natürlichen Zahlen aber schon nicht mehr.

Anscheinend hast du ein anderes Verständnis von Folge und Grenzwert, als das hier dargestellte (was für sich genommen noch kein Problem ist). Wenn das wirklich so ist, dann brauchst du dich nicht wundern, wenn deine Schlussfolgerungen mit den in dieser Enzyklopädie präsentierten Resultaten kollidieren.

Gruss, SirJective 14:25, 2. Aug 2004 (CEST)

Ich will hier keine endlosen Diskurse oder Wortklaubereien starten. Es geht mir ja keinesfalls, wie von dir angedeutet, um die Thematik Folge oder Reihe als solche, sondern einzig und alleine um die uneingeschränkte Verwendung des Begriffes unendlich. Dies dann allerdings zum Wohle der mathematischen Wissenschaft. Entsprechend habe ich zum Artikel eine kleine Anmerkung addiert. Die ausschließliche Darstellung der Reihe als Folge ihrer Teilsummen, halte ich für einen Mangel in der Darstellung dieses Artikels, denn diese Form der Präsentation findet nur dann Anwendung, wenn es um Konvergenz-Betrachtungen geht. So finde ich die unter Reihe gewählte Form besser. Allerdings kann man nach meiner Kenntnis nicht einfach sagen, dass s_1 + s_2 + ... + s_n Teil- oder auch Partialsummen seien, hier kenne ich es zumindest auch so, dass das Zeichen "s" für Summand steht. Dies wird auch unmittelbar einleuchtend, wenn nach dem Aussehen irgendeiner Reihe gefragt wird. Dann notiert man andeutungsweise: 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... +1/n. Aber ich finde es gut, wenn man hier etwas im Gespräch bleibt. MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 18:53 2. Aug 2004 (CEST)

Deine kleine Anmerkung im Text werde ich wieder entfernen, denn das Verständnis des Unendlichen als aktual Unendliches (nicht absolut Unendliches) ist grundlegend für die hier dargestellte Art der Mathematik. Deine Anmerkung gehört eher in einen der vielen Artikel über potentielle und aktuale Unendlichkeit. Die Wiki-Suchfunktion liefert unter anderem: Aktuelle Unendlichkeit, Aktuale Unendlichkeit (Philosophie), Potentielle Unendlichkeit (Philosophie), Endliches und Unendliches, Endlichkeit (Philosophie), Unendlichkeit (Philosophie).

Über andere Darstellungen im Artikel können wir uns hier gern unterhalten, aber jetzt gerade fehlt mir die Zeit. Die harmonische Reihe stelle ich übrigens so dar:

1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ...

Also ohne Ende. Jedes (endliche) Ende liefert nur eine Teilsumme. --SirJective 18:57, 2. Aug 2004 (CEST)

Wir werden hier sicherlich keinen Konsens erreichen können, da mir dein Begriffsapparat zu verfestigt erscheint und du bestimmte Adjektive als fest genormte Begriffe verwendest. In dieser Art kanalisierst du Denken im deutschsprachigen Raum ausschließlich auf das, was du für geboten erachtest. Wie soll das hier also mit dir gehen? Jemand formuliert etwas in einem Artikel, dann wird es von dir sofort wieder entfernt. Hier würde ich von dir erwarten, dass du vor der Liquidierung des Textes eines Anderen erst auf Diskussion umschaltest. Ein Lexikon wie dieses verliert sofort seinen Sinn, wenn es ausschließlich von einer kleinen besser wissenden Schar diktiert wird. Nocheinmal zum Inhaltlichen: Der Begriff "aktual Unendliches" ist keine in der gehobenen Umgangssprache Verwendung findende Vokabel. Es ist ein altertümlicher Begriff, der als "abgeschlossene Unendlichkeit" krampfhaft bemüht und hergeholt wirkt. Lexika wenden sich an Leser mit gehobener Bildung, nicht jedoch ausschließlich an einseitige Experten. Somit wäre das von mir verwendete Adjektiv absolut im deutschen Sprachraum angemessen, um eine Vorstellugswelt des Uneingeschränkten und Vollkommenen zu kennzeichnen, z.B. absolute Monarchie, absoluter Nullpunkt. Weiterhin wird mein Einwand von dir nur teilweise verstanden: Es ging mir nicht um eine mathematische Binnenbetrachtung, sondern um die Anlegung des logischen Maßstabes allgemeiner wissenschaftlicher Vorgehensweise. Dieser Ansatz ist absolut notwendig und insbesondere als Versuch von Falsifizierung durchgehend akzeptiert. Somit sollten kleinere kritische Anmerkungen durchaus zum akzeptierten Umfang von Artikeln gehören. Hier wäre von dir zu überlegen, ob enge Wortklaubereien deinerseits nicht einfach nur selbstunkritisches Dominanzverhalten ist. MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 20:31 2.Aug 2004

Reihen entstehen durch Aufsummierung der Glieder einer Folge. Die Spezialdefinition über die Folge der Teilsummen ist arg (vorsätzlich) irreführend und gibt somit nur einen ersten Hinweis auf die problematische Vorgehensweise der hier Schreibenden. Wie auch unter Aktuelle Unendlichkeit angedeutet, bleibt der Begriff von Unendlichkeit problematisch, insbesondere wegen der grundlegenden Mengendefinition: Eine Menge ist Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Definition schließt etwas Nicht-Existierendes als Element aus. Zahlen, die von Menschen weder per Augenschein noch maschinell übersehen werden können, existieren nicht. Die Sichtweise solche Zahlen als existent aufzufassen, wäre so als ob ein Autofahrer sagte, er könne bis zu einer unendlichen Geschwindigkeit beschleunigen. MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 21:30 23. Aug 2004

Wir werden hier sicherlich keinen Konsens erreichen können, da mir dein Begriffsapparat zu verfestigt erscheint und du bestimmte Adjektive anders als in der - innerhalb einer mathematischen Theorie - fest genormten Bedeutung verwendest.

Wenn in deinem Verständnis von Mathematik diese Aussage richtig ist: "Zahlen, die von Menschen weder per Augenschein noch maschinell übersehen werden können, existieren nicht", dann hast du eine andere Mathematik als die Autoren der meisten mathematischen Artikel hier. Wie in aktuelle Unendlichkeit steht, ist die Unterscheidung zwischen den verschiedenen Formen des Unendlichen eine Grundlagenfrage, die von Konstruktivisten und Formalisten unterschiedlich beantwortet wird. Sobald man die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre verwendet, gibt es (aktual) unendliche Mengen; und dann gibt es kein "absolut unendliches", weil es dann "das Unendliche" nicht gibt, sondern unterschiedlich mächtige Mengen.

Welche Mengenlehre verwendest du? --SirJective 22:09, 23. Aug 2004 (CEST)

Du formulierst tatsächlich grundlegende Unterschiede in der mathematischen Denkweise. Hier würde ich entgegnen: Jeder kann der Versuchung unterliegen, sein mathematisches Wissen als das "genormte" mathematische Weltwissen anzusehen, dies hielte ich für eine problematische Auffassung. Insbesondere klammerst du mathematisches Denken aus und missachtest damit den "Theorie-Status" von Mathematik, d.h. Wissenschaft benötigt die Lebendigkeit der Überprüfung ihrer Aussagen und nicht die ausschließliche doktrinäre Wiederholung von Sätzen und Auffassungen, die mitunter hunderte von Jahren alt sind. Das ist unintellektuelles Mittelalter, was ich so von dir lese. Es geht hier um die Formulierung von Seiten eines Lexikons im Internet, dessen Wissensinhalte einer Vielfalt von Verwendungszwecken dienen können. Inhaltlich: Man könnte ein Axiom formulieren, wonach die Mächtigkeit jeder Menge begrenzt ist. Die Widerlegung einer solchen These solltest du einmal versuchen. Das Denken der alten Mathematiker hatte nicht unser heutiges Wissen über Rechenanlagen und Informatik, deshalb würde ich dich bitten, nicht permanent deine singulären Auffassungen per Wegklicken durchsetzen zu wollen. Man kann auch Änderungen vornehmen, wenn einem einzelne Begriffe anderer Autoren ungeschickt vorkommen Um heutzutage mathematisch arbeiten zu können, bedarf es auch der Information, d.h., wenn eine Minderheit andere mathematische Experten grundsätzlich nicht zu Wort kommen läßt, dann wird der Informationsfluß sehr gestört. Die Definition wurde zu Beginn des Artikels etwas geändert. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 19:28 25. Aug 2004 (CEST)

Mathematik selbst ist natürlich nicht genormt, nicht fest. Darüber, dass sich die Theorie selbst mit der Zeit verändern kann, hatte ich nichts ausgesagt. Wie du nachlesen kannst, schrieb ich, dass innerhalb einer Theorie jeder Begriff eine feste Bedeutung hat. Willst du das bestreiten? Und dass verschiedene Theorien denselben Namen tragen, wie "Logik", "Mengenlehre" oder "Integralrechnung", trägt zwar zur Verwirrung bei, ändert aber nichts daran, dass es mehrere Mengenlehren gibt, mit eigenen - in sich, aber nicht notwendig zueinander - widerspruchsfreien Axiomensystemen.

Nur da anscheinend für dich die Aussage "Zahlen, die von Menschen weder per Augenschein noch maschinell übersehen werden können, existieren nicht" tatsächlich gilt, befindest du dich außerhalb von ZF. Ich hoffe sehr, dass dir das bewusst ist. Dieser Artikel, um den es hier geht, ist auf ZF zugeschnitten, und ich halte es für sinnlos, ihn von dort wegreißen zu wollen, hin zu einer anderen Mathematik, die hier noch nicht beschrieben ist. Anstatt diesen Artikel zu verfälschen, solltest du anfangen, Quellen zusammenzutragen, die deine Auffassung von Mathematik vertreten, und die entsprechenden Begriffe hier eintragen. Ich wäre daran interessiert, andere Standpunkte zu erfahren, aber nicht, wenn du sie nur als Kritik darstellst. Mehr als Kritik hab ich bisher nicht von dir gelesen. Deshalb wiederhole ich meine Frage: Welche Mengenlehre verwendest du?

Je nachdem, was die Aussage, dass "die Mächtigkeit jeder Menge begrenzt" ist, bedeuten soll, könnte sie durchaus in ZF gelten. Ich kann mir eine Interpretation vorstellen, die in ZF gilt, genauso sehe ich aber auch eine Interpretation, die in ZF nicht gilt. Du müsstest schon präzisieren, was du meinst, und die Mengenlehre darstellen, innerhalb der du die Aussage aufstellst.

Dass ich "permanent [meine] singulären Auffassungen per Wegklicken durchsetzen" wolle, ist eine bösartige Übertreibung von dir. Was außer deiner "Anmerkung zum Begriff des Unendlichen" hab ich entfernt (die ich übrigens immer noch für unpassend und teilweise falsch halte)?

Um dich nochmals nachdrücklich darauf hinzuweisen, dass nicht ICH diese Definition der unendlichen Reihe verzapft habe, zitiere ich aus einem Lehrbuch:

Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller Zahlen. Die Folge

$s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k},\ n\in \mathbb {N}$

der Partialsummen heißt (unendliche) Reihe und wird mit $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ bezeichnet. Konvergiert die Folge $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, so wird ihr Grenzwert ebenfalls mit $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ bezeichnet.

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ bedeutet also zweierlei:

i) Die Folge $\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen.

ii) Im Falle der Konvergenz den Grenzwert $\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}$.

(Otto Forster, Analysis I, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, 4. Auflage, 1983)

Darüberhinaus muss ich dir sagen, dass deine Gleichung

$S(n)=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+a_{n+1}+...=$$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

in meinen Augen Unsinn ist, da die linke Seite eine von n abhängige Teilsumme ist, die mittlere und die rechte Seite jedoch von n unabhängige unendliche Summen sind, in Forsters (und meinen) Begriffen bereits die ganze Reihe bzw. ihr Grenzwert.

--SirJective 16:29, 26. Aug 2004 (CEST)

Hallo SirJective, du verstößt hier gegen den Grundsatz dieser Enzyklopädie, wonach gilt: "Alle können ihr Wissen einbringen" Wer sachgerecht irgendetwas erläutern will, sollte den Gegenstand erstmal definieren. Hierbei geht es bei diesem Thema im ersten Schritt nicht darum, die Methode der Grenzwertbestimmung aufzulisten, sondern zu sagen, was eine unendliche Reihe ist. Die in der Fachliteratur absolut übliche Definition ist die von mir gewählte Form: $S(n)=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+a_{n+1}+...=$$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ Aber dies ist sicherlich nicht klärbar zwischen uns und wird wohl langfristig beim Vermittlungsausschuss landen. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme

Nenn mir ein Fachbuch (besser zwei), in dem die unendliche Reihe so definiert wird, und ich geh nächste Woche in die Bibliothek und schau es mir an.

Zu den anderen Punkten hast du nichts mehr zu sagen? --SirJective 20:36, 28. Aug 2004 (CEST)

An dieser Stelle möchte ich doch einhaken: Herr Kemme, klar können alle ihr Wissen hier einbringen. Das Sie zu diesem Artikel etwas beitragen können, haben sie bis jetzt noch nicht bewiesen. Ihre Beiträge zum Artikel selbst waren bisher einfach falsch und in der Diskussion sind sie handfeste Argumente für ihre Position (auch eine gute Frage: was ist ihre Position eigentlich?) schuldig geblieben. SirJective stellt hier mit klarer Logik das dar, was die mathematische Forschung an Begrifflichkeit seit den alten Griechen hervorgebracht hat. Viele Gruesse --DaTroll 17:42, 29. Aug 2004 (CEST)

Selbst die verwendete Definition in wissen.desollte dir ein Hinweis darauf sein, dass du bisher einfach nur die zweite Hälfte des Textes zur "unendlichen Reihe" berücksichtigst hast: Reihe: Mathematischer Begriff; eine Reihe entsteht aus einer Folge durch Summierung der Glieder. Sie heißt je nach der erzeugenden Folge endlich oder unendlich. (Anm.: Dies ist also der Definitionsteil) Hat die Folge der Teilsummen (der Summen sn = a1 + ... + an der n ersten Glieder) einen Grenzwert, so heißt die Reihe konvergent und der Grenzwert Summe der Reihe (Anm.: Dies ist die Methode zur Entscheidung über die Art der u.R.). Da das Thema u.R. selbständig abgehandelt wird, kommt es nunmal auf eine vollständige Definition an. Auch ich pflege mich in der Fachliteratur zu informieren und bitte dich einfach irgendein mathematisches Nachschlagewerk aufzublättern und genau zu lesen. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 14:51, 29. Aug 2004 (CEST)

Vielleicht sollten wir eine weitere Quelle heranziehen. Ich zitiere aus "Erich Martensen: Analysis I, BI Hochschultaschenbücher 1969, Seite 60".

Definition: Sei a₁, a₂, a₃ irgeneine Zahlenfolge, so wird die aus ihren Elementen gebildete Folge

$s_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$

eine Reihe genannt. (Fussnote: Die ältere Bezwichnung "unendliche Reíhe" statt "Reihe" wird heute meistens vermieden. Eine Summe aus endlich vielen Zahlen wird gelegentlich eine abbrechende Reihe genannt.)

Eine Reihe wird ebenfalls mit a₁ + a₂ + a₃ + ... bezeichnet. Die a₁, a₂, a₃ heissen die Glieder, die s₁, s₂, s₃ die Partialsummen der Reihe. In kurzer Formulierung ist daher eine Reihe eine Folge von Partialsummen.

Diese Darstellung vom Martensen scheint mir mit dem Artikel übereinzustimmen.

tsor 15:20, 29. Aug 2004 (CEST)

"Eine Reihe entsteht aus einer Folge durch Summierung der Glieder". Bingo - genau das steht (präzisiert) jetzt wieder im Artikel.

Zählt der "Schülerduden Mathematik II" für dich, Gerhard, als Nachschlagewerk? Dieses für Schüler gemachte Werk definiert Reihe so: "Ist (a_n) eine Zahlenfolge, dann bezeichnet man die Folge (s_n) mit s_n := a_1 + ... + a_n als Reihe. Eine Reihe ist also eine Folge von besonderer Gestalt: Sie entsteht aus einer gegebenen Folge durch Summation ihrer Glieder. Statt (s_n) schreibt man üblicherweise $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$. Statt Reihe ist auch die Bezeichung unendliche Reihe üblich. Damit will man andeuten, dass man sich für den Grenzwert dieser speziellen Folge interessiert. [...]"

Für weitere Nachschlagewerke musst du dich noch einen oder zwei Tage gedulden, da ich normalerweise nicht auf solche angewiesen bin und also erst in die Bibliothek muss.

Somit haben wir nun vier Quellen versammelt, die alle dasselbe sagen: wissen.de, Forster, Martensen (danke tsor) und den Schülerduden. Keines davon definiert die Reihe so wie du es gern hättest. Ich werde mit großem Vergnügen in die Bibliothek gehen und weitere Werke konsultieren.

--SirJective 17:35, 29. Aug 2004 (CEST)

Ich habe hier noch "Peter Dombrowski: Differntialrechnung I und Abriss der linearen Algebra, BI Hochschulskripte 743/743a, 1970". Da wird auf Seite 35 die unendliche Reihe als Folge vom Partialsummen definiert. -- tsor 17:48, 29. Aug 2004 (CEST)

Hallo tsor, wenn Redakteure von Lexika Literatur finden, wonach der Mensch von der Banane abstamme und der Affe vom Menschen, dann wird diese Aussage sicherlich in deren Enzyklopädie unter Evolution gedruckt werden. Fazit: Geschrieben steht irgendwo alles Mögliche, worauf es für Redakteure ankäme, wäre die eigene verantwortliche Prüfung auf inhaltliche Richtigkeit. Wenn der Artikel zur unendlichen Reihe bei Wikipedia mit der Definition beginnt: "Eine unendliche Reihe ist eine Folge ..." so kann ich als Mathematik-Lehrer darunter nur die Note "Ungenügend" schreiben - ist einfach Quatsch! Politisch ist es so das altbekannte Die-Weiße-Wand-Ist-Schwarz. Wenn du willst könntest du dir eine mögliche Definition unterDefinition Unendliche Reihe als Web-Site unter Kapitel 2.2 Unendliche Reihen einmal ansehen. Hier wird folgende Beschreibung gegeben: Definition: Eine unendliche Reihe ist die Summe einer unendliche Zahl von Summanden. $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}+...=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=S$ danach folgt dann die Vorschrift für die Bestimmung von S Soll ich jetzt mit einem Stapel von Mathematik-Büchern aus der Bibliothek des Geomatikums zum Scanner marschieren und hier eine "beweisende" Pdf-Web-Site anlegen, dass u.R. anders definiert sind als im Artikel? Dies wäre unter meinen Bedingungen ein Aufwand von mehreren Stunden und ihr klickt danach eine entsprechende Berichtigung des Artikels in Sekunden weg. Vielleicht könntest du auch nocheinmal einen gangbaren Vermittlungsweg in unserem mathematischen Disput überlegen? MfG Gerhard Kemme--Gerhard Kemme 12:56 1. Sept 2004 (CEST)

Lesen Sie doch erstmal den Artikel. Da steht nicht das, was Sie zitiert haben. Ach und nebenbei, ein Student, der mit dem was Sie hier verzapfen bei mir in die Pruefung kommt, der muss nochmal antanzen...

Dann noch ein paar Anmerkungen zu ihrer Quelle: auch da steht nicht, was Sie bisher in dieser Diskussion gepredigt haben. Ihr beweisendes Pdf-Dokument waere uebrigens wirklich interessant. Die Kollegen aus dem Geomatikum haben mir naemlich in meinem Studium beigebracht, was im aktuellen Artikel steht. Und auch bildhaft, wieso die von ihnen zitierte Definition Unfug ist: "Wenn ich versuche, eine unendliche Anzahl an Summanden zusammenzuaddieren, dann dauert das ziemlich lange. Und spaet abends wird meine Frau dann auch sauer, weil ich zu spaet zum Essen komme. Deswegen machen wir das ueber den Grenzwert der Folge der Partialsummen." Ich schlage mal einen gangbaren Vermittlungsweg vor: Sie kommen mit ihren Beweisen aus einschlaegiger Literatur, dass ihre Position (die ich hier mal als "die im Artikel vorgestellte Definition ist falsch" darstellen will) die richtige ist. Beweise sind Mathematikbuecher (nicht Webseiten). "Wir" haben davon bereits einige zitiert und sie stuetzen alle den Artikel. In diesem Sinne, --DaTroll 14:14, 1. Sep 2004 (CEST)

Hallo DaTroll, nun kommen die Beliebigkeiten, einfach nur Blabla machen. Wenn du eine Aussage machst, dann bitte ich dich auch inhaltlich zu werden und nicht immer nur oberflächlich negativ über die Argumente deines Disput-Gegners hinzuhuschen. Das, was ich zitiert habe, stimmt mit der betreffenden Textpassage des Artikels überein. Im Artikel steht: "ist eine unendliche Reihe s eine unendliche Folge, ..." Geschrieben habe ich: "Eine unendliche Reihe ist eine Folge ..." Zweifellos wird im Artikel die unendliche Reihe als Folge definiert und dies habe ich in der betreffenden Textpassage präzise zum Ausdruck gebracht. Du willst jetzt hier weg vom inhaltlichen Sinn und haarspalterisch darauf hinweisen, dass im Artikel das Hilszeitwort "ist" nicht mitten des Satzes steht, sondern weiter vorne - aber ich bitte dich, es geht um Grundsätzliches und nicht nur um sachablenkende Formalismen. Ich sehe mit den bisherigen Disputpartnern nicht im Entferntesten eine Grundlage, zu einem Konsens zu kommen, d.h. die Kommentierung deiner dann folgenden Ausführungen schenke ich mir - ist pure Zeitverschwendung, weil ein Einigungswille mir nicht erkennbar wird. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 12:56 1. Sept 2004 (CEST)

Auch eine Moeglichkeit. "Das erste Argument ist Haarspalterei. Mit den anderen gebe ich mich gar nicht erst ab." Um es mal ganz deutlich zu sagen: im Artikel steht die Definition, die auf der ganzen Welt so gelehrt wird. Es ist nicht an den Leuten, die diese Definition so im Artikel stehen haben wollen, sich zu rechtfertigen. Sie muessen hier harte Facts und Argumente auf den Tisch legen und bleiben das ein ums andere mal schuldig... --DaTroll 15:38, 1. Sep 2004 (CEST)

Nachdem das etwas ausufert und stellenweise (an anderer Stelle) schon in den Jargon des Kalten Krieges muendet, hab ich dann doch mal den Staub vom Bronstein gewischt und gebe die Definition aus 3.1.14.1 zum besten:

Ist  ${a_{n}}$ eine gegebene Zahlenfolge, so heisst die Folge ${S_{n}}$ der Partialsummen 
$S_{1}=a_{1},S_{2}=a_{1}+a_{2},\dots ,S_{n}=\sum _{s=1}^{n}a_{s}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n},\dots$ 
unendliche Reihe, in Zeichen $a_{1}+a_{2}+\dots$ oder $\sum _{s=1}^{\infty }a_{s}$

Zugegeben, natuerlich ist der Bronstein auch nur ein Standardwerk fuer Mathematiker, Physiker und Astronomen, aber es sollte im Auge behalten werden, dass Definitionen streng genommen nicht bewiesen werden koennen (es sei denn, sie stellen Forderungen an die definierten Objekte, das waere aber schlechter Stil), und sich somit auch einer Falsifikation entziehen. Eine Definition kann fuer den beabsichtigten Zweck lediglich geeignet oder ungeeignet sein, weiterhin entweder allgemein aktzeptiert oder eben nicht. Dass die Definition ueber Partialsumme beide Forderungen erfuellt, sollte ihre Verbreitung in der Standardliteratur ausreichend belegen. --Rivi 15:54, 1. Sep 2004 (CEST):

Gerade war ich tatsaechlich in der Bibliothek des mathematischen Instituts der LMU Muenchen, habe eine halbe Stunde lang wahllos Buecher aus den Regalen genommen, die sich mit Analysis beschaeftigen oder sich als "Handbuch", "Nachschlagewerk" oder "Lexikon" bezeichnen. Das Resultat:

7 Buecher, davon verwenden 5 die Definition dieses Artikels, und 2 definieren

Einen formalen Ausdruck der Gestalt u_1 + u_2 + ... nennt man (unendliche) Reihe. (Handbuch der Mathematik und Mathematisches Woerterbuch),

um danach darzulegen, wie man mit diesem formalen Ausdruck umzugehen hat, naemlich durch Betrachtung der Partialsummen. Heuser schreibt in seinem Lehrbuch Analysis I sogar:

Keinesfalls ist a_0 + a_1 + ... als eine "Summe von unendlich vielen Summanden" aufzufassen - ein Unbegriff, der nur Verwirrung stiftet.

Die anderen vier von mir gefundenen Werke sind

Hildebrandt, Analysis I; Hoffmann, Analysis fuer Wirtschaftswissenschaftler und Ingenieure; Lexikon der Mathematik; Papula, Mathematik fuer Ingenieure und Naturwissenschaftler.

Da also sowohl Mathematiker als auch Naturwissenschaftler (und andere Anwender der Mathematik) diese Definition verwenden, stehst du, Gerhard, mit deiner Definition (wie war die doch gleich?) immer noch alleine da.

Ich lese gerade, dass es dir ja urspruenglich gar nicht um die Definition der unendlichen Reihe ging, sondern um den Begriff des Unendlichen an sich. Dazu kann ich nur wiederholen, dass du dich mit deiner Auffassung in einer anderen als der hier verwendeten Mathematik (die auf der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre aufbaut) befindest. Und ich wiederhole meine Frage bereits zum zweiten Mal: Welche Mengenlehre verwendest du?

""Eine unendliche Reihe ist eine Folge ..." so kann ich als Mathematik-Lehrer darunter nur die Note "Ungenügend" schreiben - ist einfach Quatsch!" Du als Mathematik-Lehrer? Du hast also Lehramt an berufsbildenden Schulen studiert und danach 10 Jahre Nachhilfe gegeben. Was hast du da nur deinen Schuelern erzaehlt?!

Du solltest unbedingt den Autoren des Schuelerdudens schreiben, was fuer einen Quatsch sie verbreiten, ebenso den verschiedenen hier genannten Buchautoren (die sehr genau wissen was sie schreiben)! ;) --SirJective 16:18, 1. Sep 2004 (CEST)

Nachdem hier nun die diversen Berufe, gewichtige Bücher und nun auch deftige unmathematische Ausdrücke in die Waagschale geworfen wurden, möchte ich auch noch etwas aus meiner Sicht zu den Formulierungen des Artikels anmerken, mit der Anregung, sie zu verbessern. Ich mache es nicht selbst, damit sich niemand provoziert fühlt:

a) eine Reihe ist keine Folge, wie es im Artikel formuliert ist. Erst wenn man die Glieder der Folge durch ein Pluszeichen verbindet, wird eine Reihe daraus (siehe das Zitat oben aus dem Bronstein).

b)aus der Formulierung des ersten Satzes geht der Unterschied zwischen Summanden und Partialsummen nicht klar hervor. Man könnte meinen, jeder Summand wäre eine Partialsumme.

c) Das Adjektiv "unendlich" soll hervorheben, dass die zugrunde liegende Folge für alle n aus |N definiert ist, und nicht nur auf einem Abschnitt von |N. Eine entsprechende Anmerkung könnte vielleicht den Konflikt um die Unendlichkeit hier etwas entschärfen. Sadduk 17:01, 1. Sep 2004 (CEST)

Hallo Sadduk.

a) Genau das besagt die Definition im Bronstein: "die Folge (S_n) der Partialsummen [...] S_n = a_1 + ... + a_n [heißt] unendliche Reihe". Sinngemäß steht es auch so in der Einleitung des Artikels und im Abschnitt "Definition". Danach ist eine Reihe eine spezielle Folge. Man kann auch eine unendliche Reihe als "formalen Ausdruck" definieren, der allerdings keine "Summe aus unendlich vielen Summanden" ist, sondern nur so aussieht.

b) Kannst du die Unklarheit bitte näher beschreiben? Bleibt sie bestehen, wenn du eine Reihe als spezielle Folge auffasst, wie es im Artikel geschieht?

c) Ja, das "unendlich" besagt genau das. Der Konflikt, den Gerhard hier - bisher nur mit mir - austrägt, dreht sich aber genau um die Unendlichkeit der Menge der natürlichen Zahlen.

--SirJective 18:47, 1. Sep 2004 (CEST)

Hallo SirJective, welche Zeichen benutzt man zur Trennung der Folgenglieder? Richtig, Semikolon! Im Artikel steht $s_{n}=a_{0}+a_{1}+...+a_{n}=\sum (k=0)^{n}a_{k}$, d.h. du notierst hier eine Reihe von Partialsummen, sprichst aber von einer unendlichen Folge von Partialsummen. Das ist Tüdelkram. Zum anderen wird der Begriff unendliche Folge nirgendwo erläutert. Wenn Lehrer korrigieren wird arg geschimpft: "Was hast du deinen Schülern erzählt?" Ich hab' sie Richtiges sagen lassen. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 20:00 1. Sept 2004 (CEST)

Hallo, SirJective,

Zu a) Brummel, ist natürlich ok, was Du schreibst, nur etwas arg gerafft formuliert. Die Formulierung verwischt halt den Unterschied zwischen Folgen und Reihen etwas. Oder sie setzt ein ziemlich gutes Verständnis für den Unterschied schon voraus - wie auch immer. In meinem Verständnis ist eine Reihe eine Summe, bzw. im Konvergenzfall der Grenzwert einer Folge von Partialsummen. Meines Erachtens wäre es hilfreich, etwas zusätzlichen Text in dieser Hinsicht zu spendieren, vielleicht kombiniert mit b)

Zu b): da steht:

<schnipp> In der Mathematik ist eine unendliche Reihe s eine unendliche Folge, deren Glieder aus den Summen der ersten Glieder (so genannten Partialsummen) einer anderen Folge a bestehen; genauer gilt die Beziehung:

$s_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}$.

<schnipp>

wenn ich das lese, suche ich in der angegebenen Gleichung nach der Folge der Partialsummen. Im Artikel steht aber nur die Gleichung für eine einzige Partialsumme: $s_{n}$. Die Folge von Partialsummen steht als Folge von Gleichungen nicht im Text. Es fehlt dazu die nächste Zeile mit der Partialsumme für n+1. Halt einfach so, wie es der Text im Bronstein auch macht, der die Folge $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{n}$, aufführt. Damit würde meines Erachtens die Darstellung im Artikel klarer werden. Mehr wollte ich eigentlich gar nicht vorschlagen. Ich glaube, Gerhard stolpert genau über das, was ich in a) und b) angesprochen habe.

Zu c): Ich habe die diversen Kommentare zur Unendlichkeit gelesen. Sicher keine dumme Diskussion, nur etwas aufgeregt. Dabei hab ich mich aber gefragt, was von den angesprochenen Aspekten in einen Artikel über unendliche Reihen gehören könnte. Dabei schien mir höchstens der Verweis auf die Menge der natürlichen Zahlen, wie er ja auch in der Diskussion vorkam, als sinnvoll, etwa in einer Formulierung, wie ich es oben gemacht habe. Damit wäre eine Feststellung getroffen, was bei diesem Thema mit "unendlich" gemeint ist. In einem Buch würde ich es in eine Fußnote tun wollen. Ob die Menge natürlicher Zahlen unendlich ist, diese Fragestellung sollte mE in einem dafür geeigneten Artikel stehen, aber nicht hier. Sadduk 20:10, 1. Sep 2004 (CEST)

Nur kurz zu a): Der Artikel hier heißt Unendliche Reihe. Die von Dir gesuchten Summen finden sich in Reihe (Mathematik). Da sollte man in dem Artikel hier wohl drauf hinweisen. Allerdings ist die Verlinkung in der Wikipedia so, daß halt im Zweifelsfall auf den anderen Artikel verlinkt wird und da steht der Unterschied gleich am Anfang. Viele Gruesse --DaTroll 20:17, 1. Sep 2004 (CEST)

Hab es nachgelesen, auch ein Link auf Reihe (Mathematik) wäre eine gute Möglichkeit, d'accord Sadduk 20:30, 1. Sep 2004 (CEST)

Ich verstehe, Sudduk. In der Tat wird momentan von der Reihe als "Folge der Partialsummen" gesprochen, aber nur eine einzige Partialsumme dargestellt. Die Darstellung im Bronstein (welche ich offenbar verfälschend gekürzt habe) ist in dem Punkt ausführlicher. Das sollte ergänzt werden. Auch das in der Einleitung gegebene Beispiel sollte um einige Partialsummen ergänzt werden.

Gerhard, im Artikel Folge wird der Begriff "unendliche Folge" erklärt. Interessanterweise wird dort die "endliche Folge" nicht erklärt. Für den Angriff auf dein Lehrersein bitte ich um Entschuldigung. Es gehört sich nicht, nur aufgrund eines Lebenslaufs auf bestimmte Erfahrungen zu schließen.

Es besteht ein geringer Unterschied zwischen einer unendlichen Reihe und einer unendlichen Folge (das steht nur noch nicht im Artikel, sollte ergänzt werden):

Jede Reihe ist eine Folge, nämlich eine Folge von Partialsummen einer Folge.

Jede Folge ist eine Reihe, nämlich die Reihe ihrer Differenzen:

$a_{n}=a_{0}+(a_{1}-a_{0})+(a_{2}-a_{1})+...+(a_{n}-a_{n-1})$

Der Unterschied liegt allein in der Schreibweise.

--SirJective 20:37, 1. Sep 2004 (CEST)

Hallo SirJective, dieser Erläuterung "über den geringen Unterschied zwischen einer unendlichen Reihe und einer unendlichen Folge" würde ich nicht bedingungslos folgen wollen. Sie zeigt nur die Äquivalenz von unendlichen Folgen und Reihen. Aus einer unendlichen Folge kann ich aber auch ein unendliches Produkt bilden, nicht nur eine unendliche Reihe. Aber sei es drum, das ist alles nur die Frage nach einer guten Formulierung, und Du hast ja schon ausführlicheren Text zugesagt. Was ich mir als Erweiterung des Artikels wünschen würde, (wenn mich jemand fragen würde) wären Doppelreihen, wie sie in der Physik ständig auftauchen. Also 2-dimensionale Matrizen, wobei die Zahlen einem ebenen Punktgitter zugeordnet sind. Die Partialsummen stellen sich in einer derartigen Darstellung als Rechteckstreifen dar... Ich hatte ein ähnliches Thema mal mit einem Anfangsartikel Barlong beginnen wollen, aber der wurde gnadenlos gelöscht, wonach ich die Lust verlor, hier an mathematischen Themen mitzuschreiben. Zuviel Kampf und zuwenig Kooperation Sadduk 23:51, 1. Sep 2004 (CEST)

Du hast recht mit der Äquivalenz. Letztendlich sind es alles nur Folgen, egal ob man sie als Folge, Reihe oder Produkt aufschreibt, aber verschiedene Schreibweisen lassen verschiedene "Behandlungsmöglichkeiten" zu (z.B. Konvergenzkriterien). Eine ausführlichere Einleitung und Hinweise auf diese Zusammenhänge wünsche ich mir auch, will mich aber noch eine Weile zurückhalten, um Gerhard nicht noch weiter zu verärgern. Ich möchte aber andere ermutigen, diese Ergänzungen vorzunehmen.

Doppelreihen sollten unbedingt beschrieben werden. Ich denke, dass dieses Thema einen eigenen Artikel verdient, in dem neben verschiedenen Umordnungs- und Konvergenzsätzen auch der Zusammenhang zur Multiplikation und Hintereinanderausführung von Potenzreihen und zu physikalischen Aufgabenstellungen beschrieben ist. --SirJective 14:28, 2. Sep 2004 (CEST)

Nachfolgend Notierung der Texte von Wissen: Reihe und Reihen und der Formelsammlung von Klett: Unendliche Reihe in Formelsammlung Klett MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 18:55 2. Sept 2004 (CEST)

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(von Wikipedia:Ich brauche Hilfe hierber verschoben --SirJective)

Der Artikel Unendliche Reihe weist meiner Ansicht nach eine völlig falsche Definition dieses mathematischen Begriffes auf: Es wird die unendliche Reihe als Folge von Partialsummen definiert, was von der verwendeten Wortwahl her "Eine Reihe ist eine Folge ..." bereits unrichtig ist. Der User SirJective klickt jede auch noch so kleine Änderung meinerseits hemmungslos weg. Auf der Seite Diskussion:Unendliche Reihe sind einige inhaltliche Aussagen dieses Disputes aufgelistet. Was kann man da machen? MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 12:56 1. Sept 2004 (CEST))

Ich will dem Gerhard mal helfend unter die Arme greifen, und diesen Beitrag von dem Archiv hierhin kopieren, wo er hingehört. --SirJective 20:58, 1. Sep 2004 (CEST)

Hallo Gerhard, du unterschlägst hier ganz beiläufig, dass sich auf der Diskussionsseite bereits 4 weitere Benutzer hinter die Auslegung von SirJective gestellt haben. Vielleicht wäre es ja auch langsam an der Zeit deine osition zu überdenken. Zur wissenscaftlichen Vorgehensweise möchte ich aber doch noch anmerken, dass es in der Wikipedia nicht um die Falsifizierung irgendwelcher Sachverhalte geht, sondern lediglich um deren Darstellung. Wir wollen hier also nicht Neues entwickeln, sondern Bekanntes beschreiben. Die Einbringung neuer Theorien verbietet sich daher. --Mijobe 23:00, 1. Sep 2004 (CEST)

Nach dem, was ich auf der Seite Diskussion:Unendliche Reihe sehe, kritisierst du, dass Begriffe in dem Artikel "starr" so verwendet werden, wie sie in der Arithmetik definiert sind. Insbesondere zweifelst du an dem in der Methematik verwendeten Begriff der Unendlichkeit. Nun handelt es sich bei dem Artikel um die Erklärung eines Begriffes aus der Arithmetik, der mit den Mitteln und den Begriffen der Aritmetik geschriben ist, so wie es sein soll. Die Arithmetik ist ein sehr grosses abstraktes System, das in sich schlüssig (also Wiederspruchsfrei) ist und auf einigen wenigen Axiomen aufbaut (siehe Peano-Axiome). Innerhalb dieses Systems ist der Artikel korrekt, und das ist alles, was man von im verlangen kann. Eine Aussage über die "wirkliche Welt" masst sich die Mathematik gar nicht an - aber die Diskussion darüber ist in dem Artikel schlicht fehl am platze (und hier übrigens eigentlich auch). Das gehört zur Erkenntnistheorie, oder von mir aus notfalls zu den Artikeln Zahl, Unendlichkeit oder Arithmetik. Am besten schriebst du einen Artikel (aber einen neutralen, ausgewogenen!) über die Geschichte und Philosophie der Zahl, angefangen bei der Verwendung der Null und der Frage, wie viele Engel auf eine Nadespitze passen (kein Witz - diese Frage war langeze Zeit eine Kernfrage der Wissenschaft) -- D. Düsentrieb (?!) 23:29, 1. Sep 2004 (CEST)

Vielleicht möchte Gerhard Kemme den Standpunkt von Alexander Esenin-Volpin erwähnt wissen, den en:Ultrafinitism (leider noch nicht auf Deutsch), eine Verschärfung des Finitismus, der wiederum eine Verschärfung des mathematischen Konstruktivismus ist. Da der en:Ultrafinitism eine nur sehr wenig verbreitete Anschauung ist, kann m.E. die untrafinitistische Sichtweise nur in wenigen Kernartikeln der Mathematik erwähnt werden. Leider haben wir aber bisher noch nicht einmal Erwähnungen des mathematischen Konstruktivismus, außer in Auswahlaxiom. -- Pjacobi 10:45, 2. Sep 2004 (CEST)

Nun, da bin ich jetzt der hilflos Unterlegene. Würde jetzt im "Taschenbuch der Mathematik", dem Bronstein, die Definition für Banane als "Eine Banane ist ein verlängerter Apfel" stehen, dann stände ich als Kritiker solcher Definition allein und bespöttelt da. Wir kennen solches Verhalten unter dem Begriff des Kadavergehorsams: Wenn irgendwo etwas gedruckt steht, dann ist es richtig oder mit Goethe: Was man schwarz auf weiß besitzt, kann man getrost nach Hause tragen. Hier also nocheinmal meine Position nur zum Thema "Definition der unendlichen Reihe":

1. Es gibt nicht die einzige Definition des Begriffes.
2. In der Literatur werden unterschiedliche Definitionen verwendet, z.B. inwissen.de unter dem Begriff "Reihen"
3. In der Formelsammlung von Klett sieht die Definition auch schon etwas richtiger und anschaulicher aus: Unendliche Reihe in Formelsammlung Klett
4. In der obigen Formelsammlung wird die unendliche Reihe in der Form

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}+...+a_{n}+...$ dargestellt. Diese Definition drückt präzise aus, was eine u. Reihe ausmacht: Eine Aufsummierung von Summanden, die von n=1 bis n gegen unendlich geht.

1. Es gilt insbesondere für Lexika der didaktische Grundsatz: Vom Einfachen zum Schweren. Die Verwendung einer abstrakten Sonderfall-Definition, die dann auch noch falsch notiert wird, ist ziemlich dummes Zeug.
2. Die Blockierung des Zuganges der Artikelseite für andere User widerspricht dem Wikipedia Grundsatz: Für "alle".
3. Als belächelter Lehrer sage ich, dass man die Definition so nicht lesen kann.
4. Die Konsequenz des unkollegialen Verhaltens von SirJective ist, dass nunmehr ein Korrektur-Lexikon zu Wikipedia eingerichtet werden muss, so dass immer eine gut les- und lernbare Konkurrenz vorhanden ist.
5. Aussagen, wonach sich bereits andere Benutzer für die Reihe-ist-gleich-Folge-Version ausgesprochen hätten, ist nicht förderlich: Die Wahrheit ist nicht immer bei der Masse. Was bei der frenetischen Bejahung der Frage "Wollt ihr den totalen Krieg?" durch riesige Menschenmassen sehr deutlich geworden ist. Die Notwendigkeit inhaltlicher Prüfung von vorgegebenen Texten mit Bekenntnischarakter wird in dieser Diskussion immer deutlicher.

MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 17:39 2. Sept 2004 (CEST)

Deine hier angebrachten Kritikpunkte finde ich durchaus nachvollziebar - Über verständlichere Formulierungen und alternative Definitionen kann man durchaus reden. Dein Kreuzug gegen den arithmetischen Begriff der Unendlichkeit, wie du ihn auf der Diskussionsseite des Artikels geführt hast, scheint mir aber deutlich aus der Rolle zu fallen. Also, vielleicht erstmal zusammensetzen und kleine Brötchen backen? Ich kann da übrigens inhaltlich nicht viel beitragen: die Formalismen überfordern mich dann doch recht schnell. -- D. Düsentrieb (?!) 17:49, 2. Sep 2004 (CEST)

Die Nachhaltigkeit mit der Sie hier unhaltbaren Unsinn unterbringen wollen, ist erschuetternd. Auf wissen.de wird genau die Definition propagiert, die im Artikel steht. Auf dem anderen Link steht keine Definition. Auch ist keineswegs die Masse der Benutzer hier das Argument (auch wenn das Ihnen zu denken geben sollte), sondern die Tatsache, dass mehr als vier Benutzer in fast zehn verschiedenen Standardlehrbuechern unabhaengig voneinander die Definition des Artikels verifiziert haben. Es gibt also die Definition des Begriffs. Sie koennen gerne in der Gerhard-Kemme-Mathematik mit Definitionen arbeiten, die ganz anders aussehen. Nur ist dafuer kein Platz in der Wikipedia. Was die Verstaendlichkeit des Artikels angeht: Nein, der Artikel ist nicht perfekt. Und wenn Sie aufhoeren, auf ihrem unsinnigen Standpunkt zu beharren, kann auch wieder mit der Weiterarbeit an dem Artikel begonnen werden. --DaTroll 17:54, 2. Sep 2004 (CEST)

Die Diskussion ist jetzt leider auf diese Seite hier und auf die Diskussionsseite aufgesplittert. Das macht wenig Sinn, der Hilfetext hier sollte wohl hauptsächlich dazu dienen, mehr Leute in den Diskussionskreis einzubeziehen. Ich schlage vor, dass alles weitere, insbesondere das Fachliche ( z.B. konkrete Formulierungsvorschläge, die vermisse ich doch wirklich) wieder auf die Diskussionsseite von Unendliche Reihe kommt. Zur Klärung von Folge/Reihe steht da inzwischen auch einiges weiterführende, zu dem Gerhard ja durchaus auch Stellung beziehen kann. Sadduk 18:13, 2. Sep 2004 (CEST)

ganz schnell noch eine kurze Antwort auf die bezüglich wissen.de gemachte Äußerung von DaTroll. Nachfolgend eine Notierung der Texte von Wissen: Reihe und Reihen MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 18:50 2. Sept 2004 (CEST)

(Ende des verschobenen Textes --SirJective)

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Ich wundere mich über diese Diskussion. Die Definition als Grenzwert der Partialsummen ist die absolut Übliche. Der Artikel ist doch ganz korrekt. Die Definition als "unendliches Aufsummieren" ist mnemotechnisch vielleicht hilfreich, aber läuft in in die üblichen Probleme: Was ist 1-1+1-1+ ... (mögliche Antworten sind +1 -1 oder 1/2). Unyxos 19:20, 2. Sep 2004 (CEST)

Lieber Gerhard. Ich habe, nachdem ich Deinen Eintrag auf der Ich brauche Hilfe Seite las, diese Diskussion hier nachvollzogen. Unabhängig vom Thema möchte ich sagen, dass ich Deine "Wollt ihr den totalen Krieg" Analogie nicht nachvollziehen kann und als zutiefst unpassend empfinde. Scheinbar fühlst Du Dich persönlich sehr stark angegriffen, was aber IMHO nicht angebracht ist. Ferner stimme ich der Auffassung von unendlicher Reihe zu, die SirJektive und andere hier vertreten. Ein Versuch der Definition 'von unten':

1. a1,a2,a3... sei eine Folge.
2. sn = a1 + ... + an ist eine endliche Partialsumme (z.b. s3 = a1 + a2 + a3)
3. eine (unendliche) Reihe ist die Aufsummierung dieser sn wobei n gegen unendlich (∞)läuft.

Damit habe ich nur wiederholt was hier schon mehrfach gesagt wurde und was ich für die richtige Definition halte. Ob diese Reihe konvergiert ist Subjekt gesonderter Betrachtung und für die Definition zunächst nicht interessant. (Daher ist auch der Ausriss aus der Klett-Formelsammlung, den du verlinkt hast[1] in diesem Zusammehang ohne jegliche Aussagekraft.) Bei wissen.de konnte ich unter dem Suchwort Reihen keine relevanten Informationen finden. Bitte nimm dies als freundlich und konstruktiv gemeinte Kritik. mfg Schizoschaf 10:37, 3. Sep 2004 (CEST)

Übrigens glaube ich, dass auch die von dir angegebene Website [2] diese Definition stützt und verstehe um so weniger, was eigentlich das Problem ist. Schizoschaf 10:52, 3. Sep 2004 (CEST)

Um zumindest anzudeuten, welche Option Benutzer haben, die mit der ziemlich regiden Löschpraxis auf den Artikelseiten nicht einverstanden sind, will ich zumindest die Möglichkeit einer Korrektur von außen per Korrekturseite andeuten: Korrektur der Definition unendlich Reihe Dies ist alles sehr ineffektiv, da ein voll intaktes System zur Erstellung von Lexika vorhanden ist und nunmehr Individuen mit unzureichenden Mitteln zugeordnete Korrekturseiten erstellen müssen. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 15:03 3. Sept 2004 (CEST)

Statt zu klagen solltest Du Dich mal an die eigene Nase fassen, denn was Du da auf der externen Seite schreibst, hättest Du auch auf die Diskussionseite hier schreiben können. Da hätte man Dir früher helfen können. Was auf der Seite dort steht: die Gleichung 1 ist schlicht falsch. Nicht mehr, nicht weniger. Auf die linke Seite schreibst Du eine Partialsumme S(n), auf die rechte Seite die gesamte Summe der unendlichen Reihe. Auch die Formulierung des Textes ist weniger gut: eine Reihe als "Auflistung" zu bezeichnen, ist doch etwas ungewöhnlich. Liste ist kein mathematischer Begrifff. Da war die Version der Formulierung, die Du heute morgen dort stehen hattest, schon etwas besser, auch wenn in der Formulierung von heute morgen noch Deine Probleme mit dem Verhältnis Reihe/Folge zu merken waren. Sadduk 15:37, 3. Sep 2004 (CEST)

Mit dieser "regiden(sic!) Löschpraxis" verfolgte ich das Ziel, die "Kontroverse über die Unendlichkeit" aus einem Artikel rauszuhalten, in dem sie nichts zu suchen hat. Dir wurden mehrfach Artikel genannt, in denen sie richtig wäre. Warum gehst du darauf nicht ein? Warum willst du nichts zu den Artikeln der Wikipedia beitragen, zu denen du (vielleicht) etwas beitragen könntest.

Du wolltest doch ursprünglich über Unendlichkeit philosophieren. Warum streiten wir hier über einen Begriff, zu dessen Definition der Unendlichkeitsbegriff notwendig ist? Um überhaupt eine Chance zu haben, eine gemeinsame Definition der unendlichen Reihe zu bekommen, müssen wir uns vorher(!) auf einen gemeinsamen Unendlichkeitsbegriff einigen. Und so frage ich dich zum vierten Mal: Welche Mengenlehre verwendest du? --SirJective 16:22, 3. Sep 2004 (CEST)

Lieber Gerhard. Um es geradeheraus zu formulieren: Ich glaube, dass du hier im Unrecht bist. Ich glaube auch, daß du ein Problem damit hast das einzugestehen. Fakt ist doch, dass alle, die sich an dieser Diskussion beteiligen der Ansicht sind, dass der Artikel die richtige Definition von unendlichen Reihen darstellt. Fakt ist auch, dass dafür einige Quellen gennant werden. (Und nein, wenn im Bronstein stünde Bananen seien verlängerte Äpfel würde ich das nicht glauben. So etwas steht aber auch nicht im Bronstein.) Meine Bitte an Dich ist, zur konstruktiven Mitarbeit in der Wikipedia zurückzukehren und dabei den Konsens zu suchen und zu akzeptieren. Dies solltest du nicht als Niederlage empfinden, sondern als Chance zu lernen. In der Hoffnung dich nicht verärgert zu haben Schizoschaf 17:50, 3. Sep 2004 (CEST)

Definition

Was hieltet ihr davon nach der Definition:

schnipp Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ der Partialsummen

$s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}a_{k},\ n\in \mathbb {N}$

heißt unendliche Reihe und wird mit $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ bezeichnet. /schnipp

einen neuen Absatz Konvergenz zu beginnen? Konvergenzkriterien wäre dann Unterpunkt dieses Absatzes Schizoschaf 19:02, 4. Sep 2004 (CEST)

Ich hab mal einen Absatz gemacht im Sinne der Lesbarkeit. DAs gehört ja schon noch zur Definition Schizoschaf 09:33, 6. Sep 2004 (CEST)

Absatz meint Zeilenumbruch Schizoschaf 09:34, 6. Sep 2004 (CEST)

Du hast recht, dass die Definition der unendlichen Reihe selbst noch keinen Konvergenzbegriff beinhaltet. Das Zeichen für die unendliche Reihe hat jedoch für konvergente Reihen zwei Bedeutungen (die Reihe selbst und ihren Grenzwert), so dass ich eine Abtrennung durch eine Überschrift nicht für angebracht halte. Die jetzige Abtrennung durch einen Zeilenwechsel ist aber schon besser. --SirJective 12:27, 6. Sep 2004 (CEST)

Ich bin für $\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(i)$

Dann wird die Reihe selbst nicht mit der Unendlichkeit belastet. --Arbol01 02:07, 18. Okt 2004 (CEST)

Reihe vs. unendliche Reihe

Der Artikel "Unendliche Reihe" war vorschnell gelöscht und nach Reihe (Mathematik) "redirected" worden. Nunmehr ist er grob wieder restauriert worden. Wenn es kein anderer macht, werden die "Feinheiten" in den nächsten Tagen wiederhergestellt. MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 23:21 21. Okt 2004 (CEST)

Hallo Gerhard.

Der Artikel ist nicht gelöscht worden - hättest du in die Versionsgeschichte von Reihe (Mathematik) geschaut, dann hättest du gesehen, dass der Inhalt dieses Artikels dort eingearbeitet wurde. Ich bitte dich daher, die Weiterleitung wiederherzustellen: "#REDIRECT [[Reihe (Mathematik)]]".

Wie Herr W, der die Änderung (keine Löschung!) vorgenommen hat, halte ich momentan es für sinnvoller, beide Reihenbegriffe gemeinsam zu behandeln. Bin nur vorher nicht selbst auf die Idee gekommen. --SirJective 00:24, 22. Okt 2004 (CEST)

Hallo SirJective, wir wollen hier nicht wortklauberisch werden, wenn ein zuvor vorhandener Artikel nur noch eine leere Seite aufweist, dann ist er, was seinen Inhalt betrifft, gelöscht worden. Dies würde ich als Vandalismus bezeichnen. Oder wie würdest du dies nennen, wenn ich anfinge, Artikel sonstwohin zu navigieren? Der Begriff Unendliche Reihe ist sehr gebräuchlich und wird in fast allen Nachschlagewerken, insbesondere auch in Suchmaschinen, häufig genannt und nachgefragt. Der jetzige Artikel Reihe (Mathematik) kann ihn nicht ersetzen. Deshalb bitte ich diesen Artikel beizubehalten, d.h. ich werde ihn jetzt restaurieren, privat abspeichern und hoffe, dass sich hier nicht ein neuer Dauerdisput entspinnt, der durch vorherige Diskussion vermeidbar gewesen wäre. MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 12:38 22. Okt 2004 (CEST)

Der Inhalt von Unendliche Reihe ist ja nicht verschwunden, sondern wurde von Herrn W in Reihe (Mathematik) eingearbeitet. Von Vandalismus kann also keine Rede sein. --DaTroll 12:50, 22. Okt 2004 (CEST)

Gerhard, du willst nicht wortklauberisch sein. Von mir aus: Dann verwende den Begriff Vandalismus (siehe auch Wikipedia:Vandalismus) ebenso inflationär wie viele andere das auch tun. Die Verschiebung des Inhalts von "unendliche Reihe" in einen Artikel zum Oberbegriff "Reihe" ist keine Löschung, und erst recht kein Vandalismus. Wenn du aber anfingst, sich thematisch überschneidende Artikel ordentlich zusammenzufassen oder sauber zu trennen, fände ich das gut! Es gibt genug Artikel zum gleichen Thema, die überarbeitet werden müssten. Eine vorherige Diskussion dieser Zusammenführung hätte eine nachträgliche Diskussion vielleicht verhindern können, vielleicht auch nicht.

Der Begriff "Unendliche Reihe"

1. ist ein Unterbegriff von "Reihe",
2. ist in Reihe (Mathematik) erwähnt, und zwar fett hervorgehoben,
3. bleibt als Weiterleitungsseite bestehen,

ist also weiterhin von Suchmaschinen und durch direkte Eingabe des Begriffs auffindbar.

Kannst du uns bitte sagen, warum du der Meinung bist, ein Artikel über Reihen könnte nicht auch über unendliche Reihen sprechen und einen eigenen Artikel über unendliche Reihen ersetzen? --SirJective 13:19, 22. Okt 2004 (CEST)

Hallo SirJective, es gibt Ober- und Unterbegriffe - dies ist doch verständlich - ein Begriff, der sich in der Begriffs-Hierarchie weiter unten befindet, kann nicht einfach durch den Oberbegriff ersetzt werden. Wenn die Unendliche Reihe in Reihe aufgeht, dann lasse ich Reihe in Mathematik aufgehen. Das eine Differenziertheit zur geistigen Arbeit gehört und man eine solche selbstverständlich auch von einer Enzyklopädie erwartet, sollte ziemlich selbstverständlich sein. Der Artikel wurde mit großem Aufwand erstellt und verbessert, er wird nachgefragt, was sich an dessen Verwendungshäufigkeit in Suchmaschinen ablesen läßt, weshalb sollte er jetzt eliminiert werden? Außerdem ist es Leserveralberung, wenn der vom Leser annavigierte Artikel auf ein ziemlich anderes Thema umgelenkt wird. Die Wiederherstellung eines vandalierten Artikels ist allgemein üblich und bedarf keiner Nachfrage, die Zerstörung von Texten im Wert von ca. 1000,- Euro, wie du es hier so locker praktizierst, hielte ich schon für sehr fraglich - aber du machst ja sowieso, was du willst, ohne auf einen Gemeinschaftskontext Rücksicht zu nehmen, was eher eine Anmerkung denn ein Vorwurf sein soll. MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 21:23 23. Okt 2004 (CEST)

*kopfschüttel* Mit dir zu diskutieren, ist zu anstrengend für mich. Deine offenen und unterschwelligen Anfeindungen lassen keine sachliche Diskussion zu. --SirJective 22:09, 23. Okt 2004 (CEST)

Was erwartest du? Jedenfalls ist der Artikel nunmehr wieder restauriert worden. MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 22:56 23. Okt 2004 (CEST)

Na Sachargumente erwarten wir! Der Text, der hier vorher war, ist doch fast komplett in Reihe (Mathematik)! Entweder Du kommst mal mit etwas konkretem rüber, wieso Du mit dem jetzigen Artikel Reihe (Mathematik) nicht leben kannst oder ich stelle den Redirect wieder her. Der ist nämlich in keinster Weise Leserverarschung. Und wir schreiben hier übrigens auch keine Artikel, um hoch bei Google zu sein. Wer nach Reihe sucht, findet Reihe (Mathematik)... --DaTroll 19:23, 24. Okt 2004 (CEST)

Will mich hier nicht permanent wiederholen und Nachschulungen für Unterrichtsthematiken des Deutschunterrichtes der vierten Grundschulklasse geben: In einem Lexikon schlägt man den gewünschten Begriff auf und findet unter diesem die Abhandlung des gewählten Themas. Die Wikipedia Enzyklopädie ist sehr ausdifferenziert und das Thema "Unendliche Reihen" nicht unwesentlich, somit sollte ein Leser diesen Artikel auch direkt auswählen können. Bezüglich Google gilt, dass hier ein kleiner Maßstab für die Bedeutung einer Thematik durchaus vorhanden ist, d.h. das Thema "Unendliche Reihen" ist wichtig und sollte eigenständig bleiben. Es geht hier nicht um individuelle Gefühlswelten, ob man mit bestimmten Präsentationsarten leben oder nicht leben kann, sondern um sachliche Entscheidungen für eine durchaus überzeugende Internet-Enzyklopädie. Wenn es jetzt eine gewisse Redundanz beider Artikel gibt, dann finde ich dies nicht weiter schlimm. MfG Gerhard Kemme Gerhard Kemme 21:28 24. Okt 2004 (CEST)

Jeder eigenständige Begriff verdient einen eigenen Artikel, solange man genügend dazu schreiben kann. Stern !? 21:39, 24. Okt 2004 (CEST)

Das Problem bei der Sache ist, dass endliche Reihen nichts hergeben. Die bringen eine Zeile eigenen Inhalt, plus ein Link auf die Geometrische Reihe. Der wichtige Teil sind halt die unendlichen Reihen. Das Es ist also sinnvoll, beides in einem Artikel zu behandeln. Wenn man das aber tut, ist Reihe (Mathematik) die richtige Adresse. Und ob Unendliche Reihe nun ein Redirect ist, oder ein eigenstaendiger Artikel, ist dem Nutzer doch wirklich egal. Viele Gruesse --DaTroll 11:28, 25. Okt 2004 (CEST)

Ausserdem ist Redundanz mitnichten erwünscht. Die Fehlerwahrscheinlichkeit steigt ebenso wie der Wartungsaufwand, wobei der Informationsgehalt bestenfalls gleichbleibt. Gerade bei Mathematischen Themen sehe ich das als sehr problematisch an. pro redirect. mfg --schizoschaf(?!) 23:02, 25. Okt 2004 (CEST)

Zusammenfassung und Ergänzung:

• Wir alle wünschen uns eine sachliche Entscheidung zu diesem Thema.
• Viertklässler sind an dieser Diskussion vermutlich nicht beteiligt.

• Der alte Inhalt dieses Artikels wurde in einen anderen Artikel integriert, ist also nicht verloren.
• Der Inhalt von Summe überschneidet sich mit dem (alten und neuen) Inhalt von Reihe (Mathematik).
• Wenn es zu unendlichen Reihen genügend zu sagen gibt, was nichts mit Reihen im allgemeinen zu tun hat, und umgekehrt(!), dann sollte man überlegen, die beiden Artikel sauber zu trennen. Ansonsten sollte beides unter dem Oberbegriff behandelt werden.
• Der jetzige Zustand von drei Artikeln die sich mit überschneidendem Inhalt mit Reihen beschäftigen, ist ungünstig.

--SirJective 23:08, 27. Okt 2004 (CEST)

Summe zu trennen ist nicht das Ding, das laesst sich sehr straight forward machen. Ansonsten ist meine Meinung bekannt. Wir sollten hier dann auch mal eine Entscheidung treffen. Viele Gruesse --DaTroll 12:53, 1. Nov 2004 (CET)

Hallo Mathematiker, die drei Artikel Summe, Reihe (Mathematik) und Unendliche Reihe sollten beibehalten werden. Sie stellen alle durchaus wichtige Thematiken dar und es wäre schön wenn sie bei dem hohen Differenzierungsgrad und Umfang dieser Enzyklopädie direkt abrufbar sind. Jeder oben genannte Artikel, insbesondere auch der zum Thema "Reihe", einschließlich "endliche Reihe", hat genau den richtigen Stoffumfang - d.h. es kann keine Rede davon sein, dass eines dieser Themen in einer Zeile abgehandelt werden könne. Ich finde, "Summe" und "Reihe" müßten etwas "schmaler" gemacht werden, was thematisch nicht passt - raus. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 14:36, 1. Nov 2004 (CET)

Zusammenfassung Verschiebedebatte

Hallo, ich wage mal eine zusammenfassung, der Debatte. korrigiert mich bitte wenn ich mich irre.

• für einen redirect haden sich ausgesprochen:
  • SirJective
  • DaTroll
  • schizoschaf
  • implizit auch Herr W indem er den redirect ausgeführt hat.

• gegen den redirect hat sich ausgesprochen
  • Gerhard Kemme

• indifferent äusserte sich:
  • Stern

Mein Vorschlag wäre bei Bedarf weitere Meinungen einzuholen und dann aber recht zügig zu einer Entscheidung zu kommen. z.B. durch eine Abstimmung.

Als persönliche Meinung möchte ich hinzufügen, daß ich das Verhalten von Gerhard Kemme (die Änderung diskussionlos rückgängig zu machen) sowie dessen Diskussionsstil für eher destruktiv halte. --schizoschaf(?!) 19:01, 3. Nov 2004 (CET)

Ich finde die Argumente für die Zusammenlegung von Unendliche Reihe und Reihe (Mathematik) überzeugend, die darauf gründen, daß die unendlichen Reihen den wesentliche Teil des Wissenfeldes mathematischer reihen ausmachen. Umgekehrt finde ich die Argumente dagegen, die erkennbar auf fehlendem Verständnis der technischen und faktischen Gegebenheiten basieren, nicht überzeugend.

Ich bin also dafür, die Inhalte zusammenzuführen, wie von Herrn W. gemacht, und unter Unendliche Reihe einen Redirect auf Reihe (Mathematik) anzulegen. --Skriptor ✉ 19:35, 3. Nov 2004 (CET)

Wir sind hier doch nicht im Kindergarten - oder? Wenn hier eine Gegenüberstellung von Benutzern vorgenommen wird, so weiß jeder, dass, außer meiner werten Person, alle hier genannten anonyme User sind, d.h. es kann z.B. von mir oder anderen Leuten nicht beurteilt werden, ob es nicht nur eine einzige Person ist, die sich mit zahlreichen Alias-Nicknamen registriert hat. Du benutzt permanent nur oberflächliche Pseudoargumente um deine Streitmachereien zu begründen. Es sind immer nur aggressive Beleidigungen, die du bezüglich anderer Benutzer von dir gibst - befindest du dich in irgendeinem naiven Machtrausch, weil du jetzt Administrator bist? Das Thema Reihen als solches ist zumindest sehr füllend für einen Artikel. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 20:04, 3. Nov 2004 (CET)

Gerhard: SHUT UP!

Alle anderen: Da es keinen Diskussions(!)-Teilnehmer gibt, der gegen die Verwendung eines Redirects ist, können wir den wieder einrichten. Eventuell noch folgendes Gezeter eines Streitsuchenden sollten wir dabei ignorieren. --SirJective 22:07, 3. Nov 2004 (CET)

volle Zustimmung --schizoschaf(?!) 22:15, 3. Nov 2004 (CET)

habe zwar nicht mitdiskutiert, stimme aber auch (der Redirectanlegung) zu -- Kliv 21:26, 4. Nov 2004 (CET)

Bei anonymen Usern können keine Abstimmungen per Auszählung von Parteiungen gemacht werden - ist schwer zu verstehen. Da eine einzige Person hier 20 virtuelle Nicknamen tanzen lassen kann. Somit zählt das alte Sozialisten-Argument - 99% hätten für die Partei gestimmt - nicht mehr. Worum es geht, wäre eine inhaltliche Prüfung des Sachverhaltes. Hier sind die Argumente der auf Löschung Plädierenden sehr dünn. Ich weise auch noch einmal darauf hin, dass der Artikel bereits Ergebnis einer schwierigen Kompromissfindung war. Was also veranlaßt euch eigentlich, diesen Artikel unbedingt löschen zu wollen? MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 10:29, 5. Nov 2004 (CET)

OK, dann waer ja alles gesagt. Ich stelle damit dem Redirect wiederher. Gerhard: ein zehntes mal: es wurde nichts geloescht. Du findest alles unter Reihe (Mathematik). Viele Gruesse --DaTroll 11:17, 5. Nov 2004 (CET)

Und wieder retour! Natürlich stellte deine "redirect-Aktion" eine Löschung des Artikels Unendliche Reihe dar. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 11:29, 5. Nov 2004 (CET)

Wieso sollte das eine Löschung sein? Die Inhalte sind doch unter Reihe (Mathematik) zu finden, und durch den Redirect sind sie auch unter dem Lemma Unendliche Reihe zugänglich. Kannst Du irgendwelche Inhalte benennen, die dabei unter den Tisch gefallen wären? Im übrigen fände ich es nett, wenn Du Dich an Deine eigene Feststellung "wir sind hier doch nicht im Kindergarten" hieltest und die unsinnigen Widerherstellungen des alten Artikelinhaltes (wider jeden Konsens!) einstelltest.--Aesztermann 11:44, 19. Nov 2004 (CET)

Zweifelsohne befinden wir uns bezüglich der Löschung des Artikels "Unendliche Reihe" nicht im Konsens. Insofern werde ich es mir nicht nehmen lassen, den Artikel wieder so einzusetzen, wie er nach langer Konsensfindung erstellt worden ist. MfG Gerhard Kemme --Gerhard Kemme 14:00, 19. Nov 2004 (CET)

Jetzt dreh mir doch bitte das Wort nicht im Munde herum. Wenn Du etwas weiter oben nachliest, ist klar, daß sich die Mehrheit für den Redirect ausgesprochen hat -- mit guten Gründen. Meinetwegen nennen wir das eben nicht Konsens, aber es bleibt die Mehrheit. Du hingegen hast immer noch keine Argumente dagegen vorgebracht (obwohl ich Dich gerade eben explizit darum gebeten habe). Ich kann dann nur annehmen, daß Du keine hast. Das ewige Bestehen auf einer nicht begründeten Minderheitenmeinung ist kindisch und kontraproduktiv. --Aesztermann 17:09, 19. Nov 2004 (CET)

Hallo Aesztermann, bevor du dich hier in eine lange Diskussion mit Gerhard einläßt, kuck dir vielleicht mal zur Information seine sonstigen Diskussionen an, zum Beispiel Diskussion:Tide und Diskussion:Erdrotation. --Skriptor ✉ 17:25, 19. Nov 2004 (CET)

Na, das kann ja heiter werden. Mich ärgert es halt nur, daß manche Leute (hier: Gerhard) sich einfach über die Mehrheitsmeinung hinwegsetzen und so letztlich dem ganzen Projekt schaden. Irgendwie glaube ich dann immer noch an das Gute im Menschen und daran, daß er sich in einer Diskussion letztlich überzeugen läßt. Langsam kommen mir da allerdings auch Zweifel. --Aesztermann 18:04, 19. Nov 2004 (CET)

Hallo, ich möchte mich auch für einen Redirect aussprechen. Ansonsten steht doch einfach in beiden Artikeln dasselbe. Und, sorry für die harten Worte, ich denke, wem die Abstraktionsfähigkeit fehlt, von einer endlichen Reihe auf eine unendliche überzugehen, sollte sich nicht mit Mathematik befassen. Das klingt ja genauso, wie 'Es gibt keinen $\mathbb {R} ^{4}$, weil ich ihn mir nicht vorstellen kann.' Ganz schön amüsant, lächerlich und damit auch traurig diese metaphysische Diskussion, ob es Unendlichkeit überhaupt gibt. Es sollte doch klar sein, daß diese Frage keine mathematische Frage ist, genauso wenig wie die, ob das Auswahlaxiom nun gilt oder nicht. Welche Axiome, Definitionen oder Kalküle man verwendet, läßt sich nicht logisch beantworten. Je nachdem, wofür man sich entscheidet, wird man eine andere Mathematik darauf aufbauen können. Ohne den Begriff der Unendlichkeit, keine Grenzwerte und somit keine Analysis. Viel Spaß, Herr Kemme, sie können dann ja mal eine Mathematik entwickeln, die das nicht verwendet. Ich bin gespannt, ob diese dann der Physik, der Chemie, den Ingenieurwissenschaften etc. ähnlich nützlich ist, oder ob das überhaupt jemanden interessiert. LARS 13:48, 23. Dez 2004 (CET)<

Unendliche Reihe

Siehe auch Diskussion:Unendliche Reihe für einige heiße Dispute. --SirJective 01:33, 18. Okt 2004 (CEST)

---

Die Zusammenführung von "Reihe" und "unendliche Reihe" halte ich für sinnvoll. Vielleicht gleicht noch jemand den Inhalt mit Summe ab. --SirJective 01:33, 18. Okt 2004 (CEST)

Die Artikel wurden zusammengeführt, somit erledigt. Gruß--Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 13:44, 4. Jan. 2013 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 13:44, 4. Jan. 2013 (CET)

Einleitung

Man kann ja ueber alles reden: einen Revert, wenn ich gerade einen zusaetzlichen Abschnitt eingebracht habe, ist jedoch nicht OK. Zum inhaltlichen: Formeln im ersten Satz sind voellig unnoetig und abschreckend. Voellig exakt ist die aktuelle Einleitung nicht, sie ist jedoch absolut ausreichend, um einen Eindruck zu geben, wovon die Rede ist und das ist der Zweck einer Einleitung. Viele Gruesse --DaTroll 15:33, 6. Jan 2005 (CET)

Ich finde die Definition, die Du gelöscht wesentlich besser und verständlicher. Wenn Du das nicht im ersten Satz haben willst, dann schreib es doch danach. Wer, allerdings, schlägt denn so etwas nach wie "Reihe" und will dann keine Formeln sehen? Mathematik in Prosa machen wollen ist keine gute Idee. LARS 11:52, 8. Jan 2005 (CET)

Formeln stehen doch direkt im nächsten Abschnitt? --DaTroll 15:52, 8. Jan 2005 (CET)

Ich muss Lars da auf jeden Fall recht geben. Deine Überzeugung mag ja ehrenwert sein und in vielen Themenbereichen zutreffen, aber eben hier ist sie fehl am Platze. Wenn du dir den Artikel einmal genauer ansiehst, wirst du feststellen, dass er keine exakte Definition einer (unendlichen) Reihe bereit stellt. Gerade deswegen habe ich deine prosaische Einleitung umgeschrieben. Ich biete dir hiermit einen Kompromiss an - wie auch schon Lars zuvor - deine Einleitung darunter zu setzen, so haben alle etwas davon. mfG @Troll&LARS

Wenn Dir die Definition im ersten Abschnitt nicht passt, dann aendere sie entsprechend. In der Einleitung sollte keine Formel auftauchen. Wenn Du ausserdem nochmal meinen Abschnitt ueber die Funktionenreihen loeschst, werd ich ernsthaft sauer. --DaTroll 15:49, 11. Jan 2005 (CET)

Ich möchte jetzt weder die Kemm'sche Diskussion neuerlich entflammen, noch mich auf dessen Seite schlagen, aber beim ersten Lesen der Definition war meine erster Gedanke: "Na was jetzt nun? "...(unendlich)..." oder endliche "...erste n Glieder..."? Dass sich das "...erste n Glieder..." erst auf etwas in "zweiter Stufe" bezieht wurde mir erst bei genauerer Betrachtung klar. Und dann auch nur über den Umweg über Folge (Mathematik):Angabe als Reihe. Dank sei Wikipedia:Verlinken. Hätte ich das wo isoliert gelesen, hätte ich mir gedacht: "Mathe war noch nie deine Lieblingsdisziplin. Na, jetzt lernst du es auch nicht mehr.", und es ad acta gelegt.

Ich bezweifle ja überhaupt nicht das die momentane Definition die allgemein gültige, allseits anerkannte und bis ins letzte Detail korrekte ist. Tatsache ist aber, dass es einen WP:OMA gibt. D.h. ich denke dass es nur im Sinne der Wikipedia liegen kann wenn man den Nicht-so-ganz-Experten mit einer weniger pragmatisch-kurzen aber simpleren Erklärung etwas entgegenkommt (so eine solche überhaupt formuliert weden kann).

Mir leuchtet auch nicht ein dass tsor im Disk.archiv schreibt: "[...] Ich zitiere aus "Erich Martensen: Analysis I, BI Hochschultaschenbücher 1969, Seite 60". [...] Fussnote: Die ältere Bezwichnung "unendliche Reíhe" statt "Reihe" wird heute meistens vermieden." aber unendlich trotzdem erwähnt ist. Ist das so, weil 1969 nicht mehr heute ist? Aber wenn sie damals schon älter war, muß sie es ja heute noch viel mehr sein, nicht? Oder gab es da zwischenzeitlich einen Sinneswandel?

--Geri Broser 16:31, 7. Dez. 2006 (CET)

Disk. ist veraltet und durch andere "abgelöst"

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 13:46, 4. Jan. 2013 (CET)

NB

NB: Eine stärkere Eigenschaft als die einfache Konvergenz ist die Absolute Konvergenz. ... was bedeutet denn NB? --Abdull 15:51, 5. Jun 2006 (CEST)

Das soll vermutlich "nebenbei" heißen. Ich habe es ein wenig umformuliert; das Problem, dass sich dieser Absatz mit dem Artikel Konvergenzkriterium überschneidet, beseteht aber trotzdem noch... --NeoUrfahraner 21:17, 5. Jun 2006 (CEST)

NB --Gunther 10:51, 6. Jun 2006 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 22:48, 2. Jan. 2013 (CET)

Berechnungsformeln

Wäre es nicht sinnvoll, Formeln zur Berechnung oder zum Beweis des Grenzwerts einer unendlichen Reihe anzugeben? (nicht signierter Beitrag von Hugoplatzer (Diskussion | Beiträge) 18:05, 29. Jun 2006)

Das Beispiel geometrische Reihe steht schon im Text, ein Link zu Konvergenzkriterium auch. Alles andere würde in eine wenig sinnvolle und hier auch unangemessene Formelsammlung ausarten.--Gunther 18:13, 29. Jun 2006 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 22:49, 2. Jan. 2013 (CET)

Neue Einleitung

Ich habe die neue Einleitung aus folgenden Gründen revertiert: Es wäre mir neu, dass jemand Reihe als Darstellungsform von bestimmten Folgen einführt. Eine Reihe ist die Folge der Partialsummen einer Folge, genauso wird das in jedem Analysisbuch eingeführt. Entsprechend ist dieses Abheben auf den Unterschieden der einen oder anderen "Darstellung" einer Reihe nicht sinnvoll. "Bei unendlichen Reihen hat die Darstellung als unendliche Summe rein symbolischen Charakter und ist vom tatsächlichen Wert der Reihe zu unterscheiden." Hier weiß ich noch nicht mal, was mir das sagen soll. Ich denke die Einleitung kann auf jedenfall besser werden, dazu wäre es glaube ich sinnvoll, sich erstmal zu einigen was die wichtigsten Punkte zu Reihen sind die man hier erwähnen sollte. --P. Birken 14:52, 3. Okt. 2009 (CEST)

Da kann ich nur zustimmen! Die unendliche Reihe, der Grenzwert ihrer Partialsummen und ihr symbolischer bzw. numerischer Wert sind vollkommen gleichwertig. Versuche dies zu leugnen gibt es gelegentlich. Dies sind aber philosophische Streitfragen nach Potentielle und aktuale Unendlichkeit. Mir leuchten aber deren Überlegungen nicht ein, und sehe da auch kein Problem. Auch entstehen dadurch keine Wiedersprüche auf dem Gebiet der Reihen. --Skraemer 15:34, 3. Okt. 2009 (CEST)

@Markus Prokott. Deine (neue) Einleitung wurde bereits mehrmals von Mathematikern revertiert. Nochmal die Begründung:

• Eine Reihe wird nicht als besondere Darstellung einer Folge von Teilsummen eingeführt. Das würde ein falsches Licht auf das Wesen von Reihen werfen. Das Wesen liegt vielmehr bei einer endlichen bzw. unendlichen Summation und deren Summe bzw. Wert.
• Deine Ausführungen zum Summenterm bleiben unklar. Was soll mit Summenterm bei der harmonischen Reihe $H_{n}:=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{n}}$ gemeint sein?
• Es gibt keinen Unterschied zwischen der unendlichen Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$ und ihrem Wert ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$. Nur die formale Darstellung dieser reellen Zahl ist unterschiedlich, sowie auch bei der natürlichen Zahl ${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {3-2{\sqrt {2}}}}=2$ und bei den Termen $(a+b)^{2}$ und $a^{2}+2ab+b^{2}$

--Skraemer 19:00, 5. Okt. 2009 (CEST)

Ich dachte, das hätte ich geschrieben, dass eben die Reihe und der Grenzwert der Partialsummenfolge gleichwertig sind und das es eben nur andere Darstellungen ein und derselben Sache sind. Und auch in meiner Einleitung wird die Reihe letztlich als Partialsummenfolge eingeführt, wie in jedem Analysisbuch. Allerdings soll die Einleitung ausdrücklich nicht einem Text aus einem Analysisbuch entsprechen (das für ein Fachpublikum ist), sondern allgemeinverständlich sein. In der Einleitung wird kein Begriff eingeführt, wie in einem Mathefachbuch, wo ein Begriff mit einer bestimmten Referenzdefinition eingeführt wird und anschließend via verschiedener Sätze alternative Sichtweisen hinzugefügt werden. Die Einleitung soll ein allgemeine, informelle, beschreibende Übersicht über den Begriff geben. Das Exakte kommte dann in einen Abschnitt Definition. So habe ich es ja auch schon P. Birken vorgeschlagen auf meiner Disku. Es ist P. Birken auch überhaupt nicht neu, „dass jemand Reihe als Darstellungsform von bestimmten Folgen einführt“; in dem Sinne von Einführen, wie ich es für diesen Fall gerade beschrieben habe. Eben das habe ich ihm gerade noch auf meiner Disku mit Zitaten aus dem Heuser (wie hier unten auch nochmals aufgeführt) belegt. Aber er vergisst wohl sehr schnell.

@ Skraemer: Der Unterschied zwischen deiner Zahl und der zugehörigen Reihe ist auch klar: Die Zahl hat kein Konvergenzverhalten, sie ist einfach ein Element einer gewissen Menge. Und du sagst ja auch selbst, dass es eben unterschiedliche Darstellungen sind – meine Rede. Den Wert der (unendlichen) Reihe gibt es auch von Natur aus erstmal gar nicht. Er wird überhaupt erst über den Grenzwert künstlich definiert. Die Reihe kommt bekanntermaßen beliebige nahe an den Grenzwert ran, erreicht ihn aber nie, außer wenn fast alle Glieder Null sind.

Der Summenterm ist eben der gesamte Term auf der rechten Seite in deinem Beispiel, eben der Summenterm der Reihe, denn die Reihe ist ja als Ganzes ein Summenterm. Dabei ist es egal, ob mit großem Summensymbol, oder wie bei dir ausgeschrieben. Aber wenn das nicht verstanden wird, lassen wir's eben weg.

Bevor du meine Einleitung revertiert hast, wurde sie im Übrigen genau einmal von genau einem Mathematiker revertiert. Dieses „mehrmals“ von dir suggeriert irgendwie eine größere Anzahl, jedenfalls größer als Zwei. Dass ich hier so ungehorsam diese Diskussion übergangen habe, lag daran, dass ich mit P. Birken schon die ganze Zeit auf meiner Benutzerseite diskutiere. Habe beim Lesen seiner Revert-Zusammenfassung spontan auf jene Diskussion abgestellt und bin dann auch nur auf die dort und in der Zusammenfassung genannten Kritikpunkte eingegangen.

Dass symbolischer und inhaltlischer Wert der Reihen mal zu trennen sind, mal nicht – je nach Fragestellung – ist überhaupt nix Philosophisches, sondern reiner Pragmatismus. Ich muss nunmal unterscheiden können, ob ich meine, dass zwei Folgen wertegleich sind oder auch identische Glieder haben. Dafür gibt's dann halt auch die speziellen Notationen. Das braucht man schlichtweg im mathematischen Alltag. Damit zwei Reihen werte-ver-gleichbar sind, müssen sie aber überhaupt wertemäßig bestimmt sein, also konvergieren oder bestimmt divergieren. Bei einem gliedweisen Vergleich (und das war mit symbolisch gemeint, vielleicht habe ich da den falschen Ausdruck gewählt) ist das Konvergenzverhalten unerheblich. Das zeigt doch schon wie unterschiedlich diese Ebenen sind. Wenn man auf die definierende Partialsummenfolge abstellt, wird es noch deutlicher:

$\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ und $\left({\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$

sind völlig unterschiedliche (in jedem Glied ungleiche) Folgen, die sich nur in ihrem Grenzwert gleichen. Und wenn du da ein Gleichheitszeichen dazwischen machst, dann ist das eben der Widerspruch, von dem du oben behauptest, er entstünde nicht.

Das mit der Symbolik habe ich ja auch in Anlehnung an den Inhalt dieses Artikels vor meinem größeren Edit übernommen. Habe es nur versucht, klarer zu machen. Wobei ich es nicht löschen wollte, da es offenbar mit meinen Quellen übereinstimmte. Habe es nämlich dann auch so im Heuser gefunden. Im Übrigen kopiere ich einfach mal die Zitate aus dem Heuser hierher, die ich schon auf meiner Benutzerseite aufgeführt habe. Und zwar Harro Heuser, „Lehrbuch der Analysis“, Teil 1, 15., durchgesehene Auflage Februar 2003, © B. G. Teubner GmbH, Stuttgart / Leipzig / Wiesbaden, 2003, ISBN 3-519-62233-5:

• „Die unendliche Reihe – oder auch kurz die Reihe – […] bedeutet eine Folge, nämlich die Folge der Teilsummen […]. Keinesfalls ist (sie) als eine ‚Summe von unendlich vielen Summanden‘ aufzufassen – ein Unbegriff, der nur Verwirrung stiftet.“
  – Nr. 30 nach den ersten Absätzen bzw. S. 187 unten – im Folgenden Text ab hier werden die Worte Summe, Summation, Summationsindex etc., wenn sie sich auf unendliche Reihen beziehen, stets nur in Gänsefüßchen gesetzt verwendet.
• „Eine Reihe ist, um es noch einmal zu sagen, nichts anderes als eine neue Schreibweise für eine wohldefinierte Folge (nämlich die Folge der Teilsummen).“
  – Nr. 30 ein paar Absätze weiter bzw. S. 188 mittig
• „Durch diese Definition (der Konvergenz und des Wertes der Reihe) hat das Symbol <Reihensymbol> eine zweite Bedeutung erhalten: Es bezeichnet nicht nur die Folge der Teilsummen […], sondern auch deren Grenzwert – falls er überhaupt existiert.“
  – Nr. 31 nach der Definition bzw. S. 190 oben
• „Daß man den Wert einer konvergenten Reihe auch deren Summe nennt, ist von alters her üblich, darf aber keinesfalls dazu verleiten, eine unendliche Reihe als eine ‚Summe von unendlich vielen Summanden‘ aufzufassen. Die Summe einer konvergenten Reihe ist vielmehr der Grenzwert einer Folge ‚endlicher‘ Summen (der Teilsummen).“
  – Zwei Absätze weiter

Selbst wenn es hier eine Kontroverse in der Fachwelt gäbe (was ich bezweifle), gehören dann halt die verschiedenen Standpunkte dieser Kontroverse hier dargestellt. Das ist ja hier kein Mathebuch, wo man sich durchgängig für die eine Sache entscheiden muss, damit die Beweise nachher einheitlich sind, sondern ein Enzyklopädie, wo eben eine neutrale Darstellung gemacht werden soll.

Aber über das „falsche Licht“ lasse ich mich gerne belehren. Wenn eine andere Akzentuierung mehr beliebt, dann bitte. Aber was da bisher stand war eine typische kryptische Einleitung nach Fach-Lexikon- oder Formelsammlungsmanier, wie sie bei Matheartikeln hier so häufig ist, aber für die WP-Allgemeinheit nicht taugt. Das sollte schnellstens geändert werden. Selbst wenn meine Einleitung das Licht etwas falsch gesetzt hätte, dann hätte das den Begriff immer noch erheblich mehr erhellt als die bisherige Einleitung (die kaum diesen Namen verdient hat). Eine WP-Einleitung ist nunmal kein Definitionsbereich! Zitat zur Einleitung: „Der erste Satz ordnet den Gegenstand des Artikels (das ‚Lemma‘) möglichst präzise in seinen sachlichen Kontext ein. […] Unmittelbar darauf sollte eine kurze Einleitung mit einer Zusammenfassung der wichtigsten Aspekte des Artikelinhalts folgen. Die Einleitung sollte dem Leser einen kurzen Überblick über das Thema ermöglichen und für sich genommen bereits das Lemma ausreichend erklären.“ – Du darfst jetzt entscheiden, ob die alte oder meine Einleitung an diesen Anforderungen näher dran ist; und von welcher ausgehend man verbessern und ausbauen sollte, und welche man eher revertieren sollte. Ich weiß jedenfalls, für welche ich mich da entscheiden würde.

Gruß —Markus Prokott 20:56, 5. Okt. 2009 (CEST)

P.S.: Habe gerade gesehen, in Diskussion:Unendliche_Reihe/Archiv werden etwa ab Absatz 20 ganz verschiedene Definitionen für Reihe aus externen Quellen zitiert. Sehr griffig etwa der Satz: „Mathematischer Begriff; eine Reihe entsteht aus einer Folge durch Summierung der Glieder.“ Interessant auch im übernächsten Beitrag: „Eine Reihe ist also eine Folge von besonderer Gestalt: Sie entsteht aus einer gegebenen Folge durch Summation ihrer Glieder.“ Und zur formalen Symbolik einige Absätze weiter (Beitrag von SirJective, nach Beitrag von Rivi): „Einen formalen Ausdruck der Gestalt u_1 + u_2 + ... nennt man (unendliche) Reihe.“ Es gibt offenbar viele Aspekte einer Reihe, die alle nebeneinander ihre Berechtigung haben. Sie sollten alle angemessen gewichtet dargestellt werden. Ich schlage dafür aber nicht die Einleitung vor. Dort sollte es informeller zugehen und nicht so viel Verwirrung gestiftet werden. Ich schlage das Vorgehen vor, wie ich es auch schon P. Birken auf meiner Disku vorgeschlagen habe (siehe meine zweite Antwort, Absatz 6, „Mein Vorschlag wäre, …“).

—Markus Prokott 21:34, 5. Okt. 2009 (CEST)

Hmm, kommt jetzt keine Antwort mehr? Werde noch ein paar Tage warten, ob hier was kommt, und mich dann noch mal an einer Einleitung versuchen. Werde dabei vielleicht das mit der Symbolik ganz aus der Einleitung raus lassen; muss ich aber dann sehen. Und werde auch versuchen, die richtige „Beleuchtung“ hinzukriegen.

—Markus Prokott 11:03, 8. Okt. 2009 (CEST)

Einleitung ist inzwischen komplett umgebaut. disk. veraltet und erl.gruß --Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 13:51, 4. Jan. 2013 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 13:51, 4. Jan. 2013 (CET)

Assoziativität (Klammerung) egal?

Hallo Freunde der Mathematik, ich habe gelernt, die Assoziativität bei Reihen sei nicht gegeben. Ein sehr einfaches Beispiel soll dies veranschaulichen: $a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}=1-1+1-1+\cdots$. Versucht man den Grenzwert zu bestimmen könnte man auf die Idee kommen $a_{n}=(1-1)+(1-1)+\cdots =0+0+\cdots =0$, was natürlich nicht gilt, denn der Wert "springt" zwischen 0 und 1. Daraus sollte man den Schluss ziehen dürfen, dass keine Assoziativität gilt. So weit ich es gelernt habe gilt sie dann und nur dann, wenn die Reihe absolut konvergent ist. --A. Ludwig 15:14, 15. Jul. 2010 (CEST)

Ich verstehe nicht, was du meinst. Sei $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ eine Reihe.

• Wenn die Reihe konvergiert (nicht notwendigerweise absolut), dann kann man beliebig Klammern hinzufügen, und sie konvergiert immer noch, und zwar gegen denselben Grenzwert. Hierbei benötigt man keine absolute Konvergenz; es folgt einfach aus der Tatsache, dass jede Teilfolge einer konvergenten Folge (nämlich der Folge der Partialsummen) wieder konvergiert, und zwar gegen denselben Grenzwert.
• Wenn die Reihe nicht konvergiert, kann durch Beklammerung alles Mögliche passieren: Divergenz, aber auch Konvergenz gegen unterschiedliche Grenzwerte, nämlich in deinem Beispiel 1 + (-1+1) + (-1+1) + ... konvergiert gegen 1; (1-1) + (1-1) + (1-1) + ... konvergiert gegen 0, (1-1+1) + (-1+1-1) + (1-1+1) + ... divergiert. --Tolentino 18:48, 15. Jul. 2010 (CEST)

Richtig, falls die Reihe konvergiert. Im Text heißt es aber (2012-01-31, 10:15): "Klammerung (Assoziativität) [Bearbeiten] Man kann innerhalb einer Reihe die Glieder beliebig durch Klammern zusammenfassen." Hier muss man also das Wort "konvergenten" hinzufügen, sonst ist es falsch. (ohne Benutzername signierter Beitrag von 95.113.197.239 (Diskussion) )

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 13:54, 4. Jan. 2013 (CET)

Definition?

Ein Abschnitt Definition wäre nett. Falls vorhanden zumindest so formatieren, dass es erkenntlich wird. 87.164.223.88 11:26, 5. Sep. 2011 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 00:25, 3. Jan. 2013 (CET)

Konvergenzkriterien

Das Kriterium von Raabe fehlt noch. Man könnte einen Link dorthin anbringen. --Erdimax 02:58, 28. Feb 2007 (CEST)

Es wäre vielleicht nicht schlecht bei den Vergleichskriterien(Majoranten bzw Minorantenriterium) Beispiele mit an zu führen. Die harmonische Reihe ist ja gut geeignet für das Minorantenkriterium. --Submarine 22:21, 29. Mai 2007 (CEST)

Die Kriterien haben allesamt eigene Artikel. --P. Birken 23:28, 29. Mai 2007 (CEST)

Ich finde das Leibnizkriterium nicht eindeutig genug beschrieben. Eine alternierende Reihe konvergiert doch wenn die Beträge der Summanden eine monotone Nullfolge bilden und das ist doch das wichtige an diesem Kriterium. --Submarine 22:34, 29. Mai 2007 (CEST)

Hier wird a_n nicht negativ vorausgesetzt. --P. Birken 23:28, 29. Mai 2007 (CEST)

Quotienten- und Wurzelkriterium sind in ihrer jetzigen Form leider falsch. In beiden Fällen wird mit einer ominösen Konstante C < 1 angefangen. Wo kommt C her...? Beim Quotientenkriterium dürfte somit C = 0 gelten. Ist aber nicht. Werde das nachreichen bei Gelegenheit ;)

Die Kriterien sind genau so richtig. Das C hängt natürlich von der konkreten Folge ab und ist bei manchen Folgen eben auch größer als 1. --P. Birken 18:27, 14. Sep. 2008 (CEST)

Mea culpa. Aber da sieht man mal, wie irritierend die Sache geschrieben ist :P Ich würde jedenfalls den Umstand etwas mehr hervorheben, dass der Quotient zwischen 0 und 1 liegen muss.

Aber muss da nicht noch der lim n-->unendlich stehn? Ansonsten würde das Quotientenkriterium ja die Konvergenz der harmonischen Reihe zeigen! (nicht signierter Beitrag von 132.187.5.159 (Diskussion) 19:17, 8. Feb. 2014 (CET))

Nein, das würde C < 1 und "für alle n > N" widersprechen. Es ist korrekt wie angegeben.--LutzL (Diskussion) 19:51, 8. Feb. 2014 (CET)

rechne es doch mal nach, a_n+1 ist bei der harmonischen reihe definitiv immer kleiner (der nenner immer größer!) als a_n. somit ist der quotient der hier als C definiert wird laut dieser definition für ALLE n kleiner 1, außer für n=unendlich, unendlich ist aber ja nicht teil der natürlichen zahlen. somit würde die harmonische Reihe konvergieren! oder hab ich was falsch verstanden? wenn, dann finde ich den denkfehler nicht und bitte um hilfe. ansonsten wäre ein solcher fehler schnellstens zu korrigieren! Im Buch Analysis 1 Königsberger steht es übrigens auch mit dem grenzwert drin, wie ich grad gesehn hab.

ok, Denkfehler gefunden, entschuldige mich :) Aber vielleicht könnte man den Grenzwert als weitere Form des Qotientenkriteriums hinzufügen? Viele Probleme sind damit leichter zu lösen! (nicht signierter Beitrag von 79.238.191.94 (Diskussion) 08:50, 9. Feb. 2014 (CET))

Das hier ist eine Übersicht, es ist ausreichend, dass die Grenzwertversion im Hauptartikel zum Quotientenkriterium steht.--LutzL (Diskussion) 11:03, 9. Feb. 2014 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. mfb (Diskussion) 20:06, 8. Feb. 2014 (CET)

Inversion der aktuellen Einleitung?

Hallo, mir als Maschinenbaustudent, der ich HöMa nur als Teilgebiet studiere und mich demnach noch als Laie in komplexeren Fragen der Mathematik betrachte, erscheint die Einleitung verwirrend.

Zitat:

"...eine (...) Reihe eine Folge, (...)"

Was nun? ist eine Reihe eine Folge?, denke ich mir, wenn ich sowas lese, da ich nach dem Komma erst mal gedanklich einen Abschnitt mache. Dann bräuchte man den Begriff gar nicht erst einzuführen, denke ich mir dann und stehe kurz davor (als Laie) zu resignieren. Um solcher Verwirrung vorzubeugen, schlage ich vor, den Satz umzustrukturieren, um dem Rest etwas mehr Gewicht zu verleihen und ihn herauszuheben, weil nur der Nebensatz den Unterschied der Reihe zur Folge klar macht. Ich schage etwa sowas hier vor:

"In der Mathematik ist das n-te Element einer (unendlichen) Reihe die Summe der ersten n Glieder einer anderen Folge. Folglich handelt es sich bei einer Reihe um eine neue Folge, deren besondere Eigenschaft es ist, dass ihre Elemente durch eine ihr zugrunde liegende Folge definiert werden. Unendliche Reihen sind ein grundlegendes Instrument der Analysis."

Was meint ihr? -- Jet.Bradley 10:13, 2. Aug. 2010 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. mfb (Diskussion) 20:06, 8. Feb. 2014 (CET)

Allgemeinverständlichkeit

Ich Zweifel die Allgemeinverständlichkeit an. Für die Allgemeinheit wird insbesondere der Einleitungssatz schon keinerlei Erkenntnis bringen. Vielleicht würde es auch ein wenig helfen, das erste Beispiel mit elementarer Mathematik, also mit einem einfachen Zahlenbeispiel zu beschreiben. Der erste Satz bei Notation ist auch bei weitem nicht allgemeinverständlich. Das dies eigentlich auch gar kein Thema für Allgemeinverständlichkeit ist, würde ich zwar unterschreiben, aber ein wenig besser muss es gehen. --Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 12:26, 20. Dez. 2012 (CET)

Ich habe versucht die Einleitung zu verbessern. Der Abschnitt Notation ist alles andere als brauchbar. Ich schlage vor ihn konplett zu löschen und die wenigen nützlichen Informationen in den Definitionsabschnitt zu packen. Gibts Anregungen oder weitere Meinungen? --Christian1985 (Disk) 00:24, 3. Jan. 2013 (CET)

Ich habe auch ein paar Änderungen, bei der Notation gemacht. Ich bin dafür ihn zu behalten, da diese Notationen weit verbreitet sind. Sollten wir ihn löschen, würde es auch dem Verständnis im Artikel schaden, da die Notationen hier auftauchen. Notation und Definition zu mischen halte ich für eine schlechte Lösung, da es für Verwirrung sorgen könnte.

Im Einleitungssatz wird der Grenzwert im Rahmen der genauen Definition erwähnt, im Abschnitt Definition aber nicht: Das_kommt_mir_spanisch_vor. Gruß --Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 12:34, 3. Jan. 2013 (CET)

Man müsste aber auch schon in der Einleitung genauer unterscheiden zwischen der Reihe (= Folge der Partialsummen) und dem (Grenz-)Wert der Reihe (= Limes der Partialsummen, falls dieser existiert). Siehe auch die Diskussionen oben (habe ich aber nur überflogen). -- HilberTraum (Diskussion) 18:01, 3. Jan. 2013 (CET)

Ich habe den Allgemeinverstänlichkeit-Baustein durch einen QS-Mathematik Baustein ersetzt. Der Begriff Partialsumme ist auf diesen Artikel verlinkt, wird hier aber ohne Erklärung sogar in der Einleitung genutz, das muss irgendwie behoben werden.--Fabian.ist.mein.name (Diskussion) 14:26, 4. Jan. 2013 (CET)

Ich habe nun einen sinnfreien Satz aus dem abschnitt notation gelöscht. Den Abschnitt Definition habe ich um einen weiteren Satz, Aspekt und Einzelnachweis erweitert. Der Begriff der Partialsumme wird in der Einleitung im Nachsatz erklärt und ebenfalls auch im Abschnitt Definition erklärt. Die Einleitung ist wie Hilbertraum sagte immernoch zu verbessern und der Abschnitt Umkehrung muss auch dringend umbenannt und umgeschrieben werden.--Christian1985 (Disk) 14:46, 4. Jan. 2013 (CET)

Nennt Königsberger den Grenzwert der Partialsummen tatsächlich ebenfalls nur "Reihe"? Ich habe den gerade nicht zur Hand, aber halte das zumindest für unüblich. -- HilberTraum (Diskussion) 09:56, 7. Jan. 2013 (CET)

Ohje das war ein Copy&Paste-Fehler. Otto Forster beschreibt das in seinem Buch so und daraus hatte ich das auch gelernt. Im Buch von Königsberger habe ich gerade nachgeschlagen. Dieser nennt den Grenzwert Wert oder Summe einer Reihe. --Christian1985 (Disk) 10:11, 7. Jan. 2013 (CET)

Ich halte "Reihe" als alleinige Bezeichnung für den Grenzwert der Partialsummen immer noch für unüblich und für Anfänger verwirrend. Schau noch mal genau bei Forster (S. 37 der 10. Auflage), da heißt es ebenfalls: "Konvergiert die Folge [...] der Partialsummen, so wird ihr Grenzwert ebenfalls mit $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ bezeichnet und heißt dann Summe der Reihe." -- HilberTraum (Diskussion) 12:48, 7. Jan. 2013 (CET)

Ich verstehe nicht, warum man den Allgemeinverständlichkeits-Baustein entfernt hat. Ja, auch ich sehe ein, dass ein solcher Artikel nicht im Ganzen komplett verständlich sein muss, aber zumindest die Einleitung sollte auch dem weniger mathematikaffinen Leser wenigstens eine Ahnung vermitteln, worum es geht. Ich erlaube mir mal, die Einleitung auseinanderzunehmen:

• Eine Reihe, selten Summenfolge und vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt, ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis.

Sehr schön, aber keine Definition. Nur eine Zuordnung zu einem bestimmten Gebiet.

• Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden.

Anschaulich? Nee. Anschaulich ist hier gar nichts. Und "anschaulich" ist auch keine Definition.

• Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind.

Das scheint jetzt eine Art Definition zu sein. Nur leider verstehe ich hier gar nichts mehr, außer dass in der Mathematik "präzise" offenbar das Gegenteil von "anschaulich" ist.

Geht das wirklich nicht besser? --217.239.3.197 22:32, 13. Aug. 2019 (CEST)

@ 217.239.3.197. Erst heute sah ich deine Zeilen 13. Aug. 2019.   Ich kann daran hinzufügen, dass die 'präzise Definition' (eine Reihe ist eine Folge deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind) sagt dass 'Reihe' und 'Folge' in der Mathematik synonym sind. Denn es gibt in der ganzen Welt keine Folge der nicht Partialsommenfolge einer anderen Folge ist:

- die ‘Reihe’ mit Glieder 1, 2, 3, ···   ist die Summenfolge der Folge mit Glieder 1, 1, 1, ··· ;

- die ‘Reihe’ mit Glieder 1, 1, 1, ···   ist die Summenfolge der Folge mit Glieder 1, 0, 0, ··· ;

- die ‘Reihe’ mit Glieder a₁, a₂, a₃, ···   ist die Summenfolge der Folge mit Glieder  a₁,  a₂−a₁,  a₃−a₂, ··· .

(Schon erwähnt am 20. Jan. 2017).

Geht das wirklich nicht besser? – Ja, mit 'Summenkonvergenz' (traditionell) versus 'Gliederkonvergenz' (modern)

Bis etwa 1900 war 'Folge' kein Fachwort in der Mathematik. Jede unendliche Aufeinanderfolge von Zahlengrößen welche nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind, wurde 'Reihe' genannt. Hauptinteresse war das (eventuell) Anhäufen der Partialsummen; also war/ist mit nur - relativ einfach zu definieren - rationale Zahlen (leider unendlich viele) ein nicht-rationaler Zahl zu beschreiben/definieren. Deswegen werden neben die Schreibweise mit Kommas (oder Punkte oder nur Spatiierung) zwischen die Glieder, auch Pluszeichen benutzt. Bei gewissen Autoren nur für die Summe-Zahl  1+1/2+1/4+1/8+ ··· (= 2), bei anderen auch wenn die Summierbarkeit der Glieder nicht feststeht. Eine 'konvergente Reihe' war eine Reihe/Aufeinanderfolge mit eine Grenzwert ihrer Partialsummen, eine summierbaren Reihe. (Cauchy1821 / Huzler1828)

Im 20. Jahrhundert ist die  'Aufeinanderfolge von Zahlengröße'   verallgemeinert zur  'Abbildung auf die natürlichen Zahlen'  mit Glieder/Elemente in eine beliebige Zielmenge. Mit 'Folge' als neue Name. Und (leider!!) mit eine neuen Bedeutung für 'konvergent/konvergieren'. Nicht mehr für das Anhäufen der Partialsummen, aber für das Anhäufen der Glieder. Weil die Reihen (Aufeinanderfolgen von Zahlengröße) unbedingt auch 'Abbildungen auf N ' sind, sollte man also unterschieden zwischen ‘Reihekonvergenz’ (= Summierbarkeit, Existenz einer Summe, Partialsummenkonvergenz) und ‘Folgekonvergenz’ (= Limitierbarkeit, Existenz einer Grenzwert, Gliederkonvergenz). Im Praxis zwischen ‘summierbar’ und ‘konvergent’.  Eine Mehrheit der Autoren tut das aber nicht, und bleibt suggerieren dass ‘Reihe’ einen Begriff andeutet dass wesentlich zu unterscheiden ist von eine Folge (= Abbildung auf N).  Ohne einen Bedeutungsunterschied zwischen  'die Reihe mit Glieder a₁, a₂, a₃, ···'  und  'die Folge mit Glieder a₁, a₂, a₃, ···'  zu zeigen.

'Reihe' ist Name einer Abbildung ?

Es gibt auch Autoren, die sagen, dass  'Reihe einer gegebenen Folge'  gebraucht wird für der Partialsummenfolge der gemeinten Folge. Aber meistens ohne zu sagen dass 'Reihe' hier die Name ist für eine Abbildung zwischen Folgen. Und dass man nicht reden kann von 'Summe einer Abbildung', 'Glieder einer Abbildung', 'Partialsummenfolge einer Abbildung', 'konvergieren einer Abbildung', u.s.w.

Konklusion

Es sind nicht zwei Arten von 'Aufeinanderfolgen von Größe' zu unterscheiden (Reihen / Folgen), aber zwei Bedeutungen von 'Konvergenz' (Summenkonvergenz / Gliederkonvergenz). Sehe: Spivak, Calculus, 4th Ed. Ch.23, p.471: less precise expressions, terminology somewhat peculiar.

(Ich sehe gern, dass jemand meine Grammatikfehler korrigiert – Dank) Hesselp (Diskussion) 22:57, 1. Mär. 2021 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Googolplexian (Diskussion) 18:42, 5. Mai 2023 (CEST)

Basieren auf unendliche Folgen?

Für mich widersprechen sich hier einige Aussagen (oder zumindest eine). Im zweiten Satz der Einleitung ist die Rede von unendlich vielen Summanden. Müsste es demzufolge im dritten Satz nicht auf unendliche Folgen eingeschränkt werden: Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen unendlichen Folge sind. Auch bei der Definition wird nicht explizit auf unendliche Folgen eingeschränkt. Was zwar zunächst auch richtig ist, aber demzufolge heißen müsste: Die Folge $\left(s_{n}\right)$ dieser Glieder, also die Folge der n-ten Partialsummen heißt dann Reihe, wenn sie aus einer unendlichen Folge hervorgeht.

Tja und weiter unten ist dann plötzlich von endlichen Reihen die Rede. Kann es sein, dass ich den zweiten Einleitungssatz völlig falsch verstehe und eine Reihe nicht zwingend aus einer unendlichen Folge hervorgeht? Vermutlich: Nach http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Reihe gibt es endliche und unendliche Reihen. Also dann so: Eine Reihe, vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt, ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Jedes Glied einer Reihe besteht, wie nachfolgend erklärt, aus einer Summe von Summanden. Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder aus den Partialsummen einer anderen Folge hervorgeht. Die $n$-te Partialsumme ist die Summe der ersten $n$ Summanden. Es wird zwischen endlichen (endliche viele Partialsummenglieder) und unendlichen Reihen (unendlich viele Partialsummenglieder) unterschieden. Geht dies nicht explizit aus dem Zusammenhang hervor, dann ist mit dem Begriff Reihe die unendliche Reihe gemeint. Falls die Folge dieser Partialsummen einen Grenzwert besitzt, so wird dieser der Wert oder die Summe der Reihe genannt. Was haltet ihr von dieser Einleitung? --Olivhill (Diskussion) 15:49, 19. Jul. 2014 (CEST)

Hat den keiner, der sich damit auskennt den Artikel auf den Schirm? Ich möchte eigentlich nicht so ohne weiteres Änderungen an einem Artikel vornehmen, zu dem ich mir erst ein Verständnis erarbeite. --07:49, 22. Jul. 2014 (CEST)

Hallo, mir ist noch nicht so ganz klar, was eigentlich eine endliche Reihe sein soll und in welchem Zusammenhang dieser Begriff überhaupt verwendet wird. Wieso werden die Reihen bei den Beispielen als endliche Reihen bezeichnet? Grüße -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 08:12, 22. Jul. 2014 (CEST)

Vermutlich, weil die Berechnung nur möglich ist, wenn für n eine konkrete natürliche Zahl eingesetzt wird. Was eine endliche Reihe sein soll, habe ich meinen Vorschlag erwähnt. Benutzt wird es zumindest um den Lernenden an den Begriff Reihe heran zu führen. Das ist mir jetzt zumindest mehrfach aufgefallen. Ob es darüber hinaus eine Bedeutung hat, weiß ich nicht. Ich bin ja eher der Leser, der sich damit nochmal auseinander setzt. ---Olivhill (Diskussion) 08:46, 22. Jul. 2014 (CEST)

An die Beispielen zu den "endlichen Reihen" hier im Artikel habe ich mich auch schon gestört. Ich würde diese hier entfernen. Auch die existierenden Begriffe unendliche Folge und unendliche Reihe finde ich nicht so toll, da sie suggerieren, dass es auch entsprechende endliche Konstrukte gibt. Aber eigentlichen werden Folgen und Reihen immer über eine zu $\mathbb {N}$ isomorphe Menge indiziert. Bei Reihen passiert es nun öfters mal, dass man zeigen kann, dass nur endlich viele ihrer Koeffizienten ungleich Null sind. Dann kann man alle bis auf endlich viele Koeffizienten weglassen. Ist das dann eine endliche Reihe? Ich würde es dann auch einfach Summe nennen.--Christian1985 (Disk) 09:12, 22. Jul. 2014 (CEST)

Der Begriff „endliche Reihe“ war wohl früher mal gebräuchlich, er ist es aber mittlerweile nicht mehr; stattdessen werden endliche Reihen einfach als Summen bezeichnet. Der Begriff „endliche Folge“ wird hingegen relativ häufig verwendet. Man kann endliche Folgen zwar auch als Tupel bezeichnen, dabei geht aber der Folgencharakter verloren. Fazit: die derzeitige Einleitung trifft den Sachverhalt schon ganz gut, als Verbesserung könnte man aber, um Missverständnissen vorzubeugen, dort und in der Definition „unendliche“ vor „Folge“ ergänzen. Die Beispiele mit den endlichen Reihen gehören tatsächlich nicht in diesen Artikel. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:33, 22. Jul. 2014 (CEST)

Nun, zumindest wird der Begriff in Lehrbücher teilweise so verwendet. U.a. auch auf der von mir verlinkten Seite auf Wikibooks. Insofern wäre es hilfreich dazu entsprechende Informationen zu bekommen. Es könnte dann evt. relativiert werden. Im Artikel Arithmetische Reihe wird z.B. auch von endlichen Reihen gesprochen.

Mehr stört mich der Satz: Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Nach meinem Verständnis ist eine Reihe keine "Summe", wohl aber werden deren Glieder jeweils durch Summenbildung ermittelt (und sind damit Summen). Denkbar wäre auch alle Glieder aufzusummieren (wie das wohl bei der Grenzwertbildung gemacht wird). Das ist dann aber nicht mehr die Reihe selbst. Auch Du verwendest den Begriff Summe. Nach meinem Verständnis kann man die Reihe nicht als Summe bezeichnen (auch nicht die endliche), sondern nur deren Glieder.

Das erste Beispiel hier (arithmetische Reihe) finde schonmal insofern merkwürdig, weil mir scheint, als ob da eigentlich die arithmetische Folge dargestellt ist. Im Artikel Arithmetische Reihe wird das meiner Meinung nach korrekt erklärt, das Beispiel unter der Überschrift "Spezielle Summen" finde ich dann wieder verwirrend, weil dort wieder arithmetische Folgen dargestellt sind und das daraus gebildete nte Glied einer Reihe. Zumindest fehlt mir ein einleitender Satz, wie: Die jeweiligen Glieder sn einer Reihe <sn> lassen sich beispielsweise aus den dargestellten Folgen wie folgt berechnen: ...

Auch der Satz: "Es gibt eine einfache Formel zur Berechnung der Partialsummen (beziehungsweise der endlichen arithmetischen Reihe):" sollte nach meinem Verständnis wie folgt lauten: "Es gibt eine einfache Formel zur Berechnung der Partialsummen (beziehungsweise der Glieder der endlichen arithmetischen Reihe):". Eine Reihe kann man nicht berechnen. Sie ist eine spezielle Liste von Objekten. Man kann nur deren Glieder berechnen und evt. dessen Grenzwert.

Und nun Quartl: ... werden endliche Reihen einfach als Summen bezeichnet. Auch Du unterscheidest nicht zwischen der Reihe und dessen Glieder und bezeichnest die Reihe an sich als Summe. Langsam frage ich mich, ob ich hier was grundlegend falsch verstanden habe? Mal ein Beispiel: Die endliche Folge (mit n=4): <an> = <1, 2, 3, 4>. Daraus resultiert die endliche Reihe <sn>=<1, 3, 6, 10>. Für i=3, also das dritte Glied, gilt s3= 1+2+3=6. Das dritte Glied der Reihe <sn> ist die Summe der ersten 3 Glieder der Folge <an>. Die Reihe an sich ist aber keine Summe, sondern stellt lediglich die Liste <1, 3, 6, 10> dar. Man beachte, dass ich die Listen (egal ob nun Folge oder Reihe) in spitze Klammern gesetzt habe, dass Glied s3 aber ohne Klammern dargestellt habe. --Olivhill (Diskussion) 11:02, 22. Jul. 2014 (CEST)

Ich glaube, langsam verstehe ich das Problem hier. Der Begriff Reihe ist doppeldeutig! Er meint zum einen die Folge der Partialsummen und zum anderen (falls er existiert) den Grenzwert der Folge der Partialsummen. So expliziet wird das Beispielsweise im Buch Analysis 1 von Forster festgehalten. Wenn man Reihe als Grenzwert der Partialsummen auffasst, dann sind "endliche Reihen" das gleiche wie die entsprechende Summe. Eine endliche Reihe als Folge ihrer Partialsummen aufzufassen, ist mir noc nie untergekommen, ist aber durchaus konsequent weitergedacht.--Christian1985 (Disk) 11:18, 22. Jul. 2014 (CEST)

(BK) Wikibooks ist kein Lehrbuch, sondern enthält wie Wikipedia kollaborativ erstellte Webseiten. Du kannst auf der dortigen Diskussionsseite gerne Kritik und Verbesserungsvorschläge hinterlassen. Im Sprachgebrauch wird „Reihe“ und „Wert der Reihe“ sowie „Summe“ und „Wert der Summe“ oft nicht auseinandergehalten. Das liegt wohl daran, dass häufig nur das Ergebnis der Summenbildung und nicht die Zwischenergebnisse interessieren. Wenn es zum besseren Verständnis beiträgt kann man aber im Artikel gerne ein paar mal „Wert der“ ergänzen und „ist“ durch „ergibt“ ersetzen. Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:25, 22. Jul. 2014 (CEST)

Ah so langsam verstehe ich das. Ja entweder so oder in der Einleitung die doppelte Verwendung erläutern. Denn dort bezieht sich der Satz: "Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden" offensichtlich auf den Grenzwert und der nachfolgende Satz: "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind." (@Christian1985: Eine endliche Reihe als Folge ihrer Partialsummen aufzufassen, ist mir noc nie untergekommen - hier wird es doch gerade so erkärt, bzw. schließt endliche Reihen nicht aus) auf die Liste der Partialsummen. Jetzt verstehe ich auch, warum sich manche so schwer mit dem Begriff "endliche Reihe" tun und ich mich im Gegenzug so schwer mit der Summe mit unendlich vielen Summanden". Gerade diese doppelte Begriffsbenutzung zu erläutern, wäre Aufgabe eines solchen Lexikonartikels. Persönlich würde ich es vorziehen den Begriff Reihe nur für die Partialsummenliste einzusetzen. Und nicht für die Summe dessen Glieder. Da gäbe es auch keine Verwirrungen. Auch nicht mit den Begriffen endlichen und unendlichen Reihen. Ich hatte jedenfalls eben gerade den Begriff nur in seiner zweiten Bedeutung gelernt und wer weiß wie viele mit der kompletten Differentialrechnung auf Kriegsfuß stehen, wegen solcher Ungenauigkeiten. Wie dem auch sei, meine Meinung ist da sicherlich nicht maßgeblich, wir sollten da eine schöne klare Einleitung finden. --Olivhill (Diskussion) 12:22, 22. Jul. 2014 (CEST)

Den Begriff „endliche Reihe“ für eine endliche Folge von Partialsummen habe ich noch nie bewusst in der Literatur gesehen. Gibt es dafür echte Quellen, die das so verwenden? Ich denke hier wird eher von „kumulierten Summen“ oder ähnlich gesprochen, vielleicht auch von „aufsummierten Folgen“, was aber wohl sprachlich nicht so toll ist. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 13:24, 22. Jul. 2014 (CEST)

wikipedia ist zwar keine Quelle, aber wie bereits geschrieben, schon im Artikel Arithmetische Reihe ist von endliche arithmetische Reihen die Rede. Das müsste dann dort auch geändert werden. Auch auf den verlinkten Buch auf wikibooks ist von endlichen Reihen die Rede. Die zwei Qellen, die ich vorliegen habe nutzen zwar nur unendliche Folgen/Reihen, schließen aber die endlichen nicht aus. So schreib Kusch in seiner 9.ten Auflage: Eine Funktion mit dem Definitionsbereich N* wir als (unendliche) Folge bezeichnet. ...Anmerkung: Das alle Folgen bis auf weiters auf N* definiert sein sollen, wird ihr Definitionsbereich nicht in jedem Falle angegeben. Daraus schließe ich, dass auch andere Definitionsbereiche möglich sind.

Websuche bringt u.a. dies: http://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Mathematik:_Endliche_Reihen http://w3-o.cs.hm.edu/~rschwenk/Buchfolien/kapitel2.pdf seite 31 http://www.mathematik.net/reihen-einfuehrung/rf2s10.htm Aus all diesen Quellen schließe ich schon, dass diese Begriff allgemein so verwendet wird und ich sehe auch nicht ein was dagegen spricht. Insofern sollte das hier auch erklärt, unterschieden und entsprechende Erläuterungen dazu gemacht werden. Vielleicht hat ja einer noch eine echte Quelle parat Mein erster Vorschlag:

Eine Reihe, vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt, ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie ist als eine Folge definiert, deren Glieder aus den Partialsummen einer anderen Folge hervorgeht. Es wird zwischen endlichen (endliche viele Partialsummenglieder) und unendlichen Reihen (unendlich viele Partialsummenglieder) unterschieden. Jedes Glied einer Reihe besteht also aus der Summe der ersten i Summanden, aus dessen Folge die Reihe gebildet wurde.

Bei endlichen Reihen ist die $n$-te Partialsumme die Summe der ersten i Summanden aus der hervorgegangenen Folge.

Z.B. die Folge $\langle a_{i}\rangle =\langle 1{,}3\;;4{,}7\;;3{,}5\;;4{,}7\rangle$, wobei n = 4 gilt.

Für das Reihen-Glied n = 3, also die Glieder i = 1 bis 3 der Folge, ergibt sich die Partialsumme $s_{3}=9{,}5$.

Die komplette endliche Reihe lautet $\langle s_{n}\rangle =\langle 1{,}3\;;1{,}3+4{,}7\;;1{,}3+4{,}7+3{,}5\;;1{,}3+4{,}7+3{,}5+4{,}7\rangle =\langle 1{,}3\;;6{,}0\;;9{,}5\;;14{,}2\rangle$.

Geht dies nicht explizit aus dem Zusammenhang hervor, dann ist mit dem Begriff Reihe aber die unendliche Reihe gemeint. Falls die Folge dieser Partialsummen einen Grenzwert besitzt, so wird dieser der Wert oder die Summe der Reihe genannt. Dieser Wert der Reihe ist also die Summe der unendlich vielen Folgenglieder-Summanden , derjennigen Folge aus dem die Reihe aufgebaut iat.

Z.B. die Folge $\langle a_{i}\rangle =\langle {\frac {2}{2^{i}}}\rangle$ mit i Element $\mathbb {N} _{1}=\langle 1\;;{\frac {1}{2}}\;;{\frac {1}{4}}\;;{\frac {1}{8}}\;;\ldots \rangle$. Die Folge hat den Grenzwert $\langle a_{n}\rangle =\langle a_{\infty }\rangle$ = 0.

Für das Reihen-Glied n = 3 ergibt sich die Partialsumme $s_{3}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}={\frac {7}{4}}$.

Die komplette unendliche Reihe lautet $\langle s_{n}\rangle =\langle s_{\infty }\rangle =\langle 1\;;{\frac {3}{2}}\;;{\frac {7}{4}}\;;{\frac {15}{8}}\;;\ldots \rangle$. Es kann gezeigt werden dass die Reihe den Grenzwert $\langle s_{n}\rangle =\langle s_{\infty }\rangle =2$ hat.

--Olivhill (Diskussion) 14:31, 22. Jul. 2014 (CEST)

Anmerkung: Das man Summe (dies ist für mich ein Wert) und nicht Wert der Summe (doppelt gemoppelt) sagt entspricht meinem Sprachgefühl. Aber ich finde es immer noch merkwürdig, dass man für Wert der Reihe auch Reihe (dies ist für mich kein Wert) sagen kann. Ebenso wenig würde ich für Wert der Folge einfach nur Folge sagen. Dem Duden entnehme ich einen solchen unbekannten Sprachgebrauch auch nicht. Gibt es dafür Quellen, Beispiele? Insofern habe ich den Text angepasst. vieles steht so aber auch im Haupttext. Insofern muss das noch ein wenig überdacht werden. Mit Sicherheit kann der Satz so nicht stehen bleiben: Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Wenn dann: Anschaulich ist der Wert einer (unendlichen) Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden. --Olivhill (Diskussion) 14:06, 23. Jul. 2014 (CEST)

Ich bin immer noch skeptisch, ob dieser Begriff der endlichen Reihe eine so große Bedeutung hat, dass er hier so herausgestellt wird. Die obigen Links haben mich als Quellen nicht überzeugt, zumal mir die beiden ersten „endliche Reihe“ eher als Synonym zu „Partialsumme“ zu verwenden scheinen. Gibt es denn moderne Literatur, in der 1. endliche kumulative Summen in einer Anwendung auftreten und gleichzeitig 2. auch „endliche Reihen“ genannt werden? -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 08:27, 28. Jul. 2014 (CEST)

@HilberTraum, ja ich denke es müsste ein Lehrbuch angegeben werden, dass den Begriff endliche Reihe verwendet, oder der Abschnitt sollte gelöscht werden.

@Olivhill, wie schon gesagt, wird die Doppelbedeutung im Buch Analysis 1 von Forster angemerkt.--Christian1985 (Disk) 09:57, 28. Jul. 2014 (CEST)

Ich habe gerade mal nachgeschaut. Weder im Buch Analysis 1 von Königsberger noch im Buch Analysis 1 von Heuser wird der Begriff "endliche Reihe" angeführt. Königsberger schreibt allerdings auch: "Man beachte, daß das Symbol $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ zwei Bedeutungen hat: Es bezeichnet die Folge $(s_{n})$ und im Konvergenzfall auch ihren Grenzwert. " Würde man das nicht so machen, dann wäre die Schreibweise $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}={\frac {\pi }{4}}$ (Leibniz-Reihe) nicht definiert.--Christian1985 (Disk) 10:08, 28. Jul. 2014 (CEST)

Ich habe die Änderung wieder rückgängig gemacht, da sie meiner Meinung nach eine Verschlechterung der Einleitung darstellt. Wie gesagt kann sich der Begriff „Summe“ sowohl auf einen Summenterm als auch auf das Ergebnis einer Summation beziehen, hier ist erstere Bedeutung gemeint. Ebenfalls wie bereits gesagt ist der Begriff „endliche Reihe“ nicht gebräuchlich. Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:12, 28. Jul. 2014 (CEST)

Dann sollte das aber auch klar erklärt werden, dass hier eine Doppeldeutigkeit vorliegt und nicht einfach zwei Sätze hintereinander gestellt werden, die nicht das gleiche Aussagen: "Anschaulich ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden. Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind." Und zum Schluss dann noch den Begriff Reihe in der ersten Bedeutung als "Wert der Reihe" zu definieren, ohne darauf hinzuweisen, dass "Wert der Reihe" und Reihe in der ersten Bedeutung dasselbe sind. Das verwirrt völlig. Da der Begriff Reihe scheinbar öfter über den Zwischenschritt "Endliche Reihe" eingeführt wird, wäre zumindest ein Hinweis darauf, dass diese Verwendung nur eine Hilfestellung ist, der Begriff so aber nicht existiert, sinnvoll. Ansonsten verwirrt das zudem jeden, der mit diesen Begriff konfrontiert worden ist. Und so ein Artikel soll doch Klarheit verschaffen und nicht verwirren. --Olivhill (Diskussion) 08:07, 29. Jul. 2014 (CEST)

Wenn man einmal in Ruhe darüber nachdenkt, sind die Sprechweisen relativ natürlich und die Schreibweisen höchstens der ansonsten übliche Missbrauch mathematischer Notation. Im alltäglichen Sprachgebrauch sagt man: „Die Summe von 3 und 4 ist 7“. Mathematisch (vermeintlich) korrekter müsste es heißen: „Die Summe von 3 und 4 ist 3+4“ und „Der Wert der Summe von 3 und 4 ist 7“. Menschen, und insbesondere Mathematiker, sind natürlich faul und wenn sie Wörter weglassen können ohne dass der Sinn verfälscht wird dann tun sie das auch. Nachdem der Term 3+4 als solches im Alltag bedeutungslos ist, wird in der Praxis Summe und Wert der Summe problemlos gleichgesetzt. Die Unterscheidung von Summenterm und Summenwert wird erst in der elementaren Algebra gebraucht. Tatsächlich wurde in früheren Computeralgebrasystemen diese Unterscheidung noch getroffen und ich erinnere mich noch an Sessions wie

> x := 3

x -> 3

> x + 4

x + 4

> eval(x + 4)

7

Wenn man nun zu unendlichen Summen übergehen will, muss man definieren, was man unter einem Ausdruck wie

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots$

eigentlich verstehen will. Wenn eine solche Reihe konvergiert, dann kann man den Ausdruck mit seinem Wert gleichsetzen, zum Beispiel

$1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+\ldots =2$.

Korrekter ist aber auch hier die Sprechweise: „Der Wert der geometrischen Reihe ist 2“, also

$\mathrm {eval} \left(1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+\ldots \right)=2$.

Tatsächlich haben wir aber auch kein Problem, erstere Schreibweise zu verstehen. Probleme gibt es erst, wenn solche Reihen nicht konvergieren und hier muss man tatsächlich genau zwischen der formalen Reihe und ihrem Wert unterscheiden. Einen Ausdruck wie

$1+(-1)+1+(-1)+\ldots$

kann man nicht (ohne Weiteres) einem Wert gleichsetzen. Hier fängt der eigentliche Missbrauch mathematischer Notation an, weil man dennoch die Schreibweise von konvergenten Reihen, also

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}a_{i}=\lim _{n\to \infty }s_{n}$,

übernimmt aber eigentlich nicht darf, weil der Grenzwert nicht existiert. Stattdessen muss man einen Ausdruck wie

$\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}=1+(-1)+1+(-1)+\ldots$

als Folge von Partialsummen verstehen, aber der Notation sieht man nicht an, dass hier eine Folge und nicht ihr Grenzwert gemeint ist. Wenn man mich fragt würde ich jegliche Summennotation bei divergenten Reihen verbieten, und die Leute dazu zwingen, die Folgenschreibweise zu verwenden (aber mich fragt ja keiner). Vielleicht wird aber das Ganze jetzt etwas klarer. Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:49, 29. Jul. 2014 (CEST)

Hm, dass ist interessant. Schlag ich den Begriff Summe nach, so steht da: Eine Summe ist in der Mathematik das Ergebnis einer Addition... und in diesem Sinne ist mir das geläufig. Später wird auch beschrieben, dass der Term an sich als Summe bezeichnet wird. In diesem Sinne war mir das nicht geläufig. Wenn dem so ist, dann sollte das dort in der Einleitung auch so erklärt werden. Beim Begriff Reihe war mein Verständnis umgekehrt. Eine Reihe war für mich nur die Bezeichnung für spezielle Folge und nicht für dessen Grenzwert. So wie man sagt: Die Summe beträgt 125, müsste man dann auch sagen: Die Reihe beträgt 125. Da schüttelt es mich. Aber gut, wenn das so ist, dann ist das so. Es ist ja schön, dass Du das hier genau erklärst, aber das muss dann auch im Text so aufgeführt werden. Dieser Artikel soll das für diejenigen, die das nicht wissen erklären und nicht davon ausgehen, dass das schon jeden geläufig ist. Daher folgender Vorschlag: Eine Reihe, vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt, ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie ist als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen unendlichen Folge sind. Die $n$-te Partialsumme ist die Summe der ersten $n$ (von den unendlich vielen) Summanden. Falls die Folge dieser Partialsummen einen Grenzwert besitzt, so wird dieser der Wert oder die Summe der Reihe genannt. Bzw. dieser Wert an sich, als Ergebnis der Reihe, wird als Reihe bezeichnet. In diesem Sinne ist eine Reihe eine Summe mit unendlich vielen Summanden, die die Glieder der Folge, aus dem die Reihe gebildet wurde, aufsummiert.

Als Einstiegshilfe wird in manchen Lehrbüchern der Begriff "Endliche Reihe" benutzt. Dies ist lediglich als Denkhilfe gedacht. Reihen beziehen sich immer auf unendliche Folgen, zu denen man Grenzwertbetrachtungen anstellen will. - Das könnt ihr gerne noch anders formulieren, aber so wie es da steht und vom Leser erwartet, dass er die Hälfte schon weiß, darf das nicht bleiben. --Olivhill (Diskussion) 10:47, 30. Jul. 2014 (CEST)

Bei deinem Vorschlag hängt das erste Vorkommen von „Summanden“ in der Luft. Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:55, 30. Jul. 2014 (CEST)

Jetz okay? --Olivhill (Diskussion) 23:10, 31. Jul. 2014 (CEST)

Ich meinte nicht die Verlinkung, sondern dass nicht klar wird, um welche Summanden es sich handelt, denn das kommt erst später („Summe mit unendlich vielen Summanden“). Ich befürchte auch, dass deine Version weniger WP:OMA-freundlich ist, als die derzeitige. Grüße, --Quartl (Diskussion) 05:41, 1. Aug. 2014 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Googolplexian (Diskussion) 18:43, 5. Mai 2023 (CEST)

'Reihe' und 'Folge' sind synonym

Im mathematischen Teilgebiet der Analysis sind die Wörte 'Reihe' und 'Folge' synonym; beide stehen für: Abbildung der natürlichen Zahlen in eine Menge. Denn die Definition:    Eine Folge deren n-tes Glied als Summe der ersten n Glieder einer anderen Folge geschrieben werden kann, wird Reihe genannt,    sagt gar nichts neues, weil jede Folge als Partialsummenfolge seiner Differenzfolge auf zu fassen ist (und zu sehen und zu schreiben ist).
In Folge (Mathematik) steht: "Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar.". Die Wahrheit ist, meiner Meinung nach, das die Wörte inhaltlich (im mathematischen Sinn) gar nicht trennbar sind. Man kann nur feststellen das es Kontexte gibt worin traditionell oft für 'Reihe' gewählt wird (im Zusammenhang mit Existenz und mit Wert der Summe).  Sehe auch [3] --Hesselp (Diskussion) 17:52, 20. Jan. 2016 (CET)

Hallo Hesselp, wie ich weiter unten sehe, beschäftigt dich das Thema Folgen und Reihen sehr. Es gibt, entgegen deiner Behauptung, aber einen sehr signifikanten Unterschied zwischen Folgen und Reihen. Tatsächlich kann eine Folge als eine Abbildung der natürlichen Zahlen in eine Menge aufgefasst werden, aber auf eine Reihe trifft dies im Allgemeinen nicht zu. Betrachte zum Beispiel die Folge rot, gelb, blau, rot, gelb, blau ..., die eine Abbildung $\mathbb {N} \to \{rot,gelb,blau\}$, also in die Menge $X:=\{rot,gelb,blau\}$, ist. Diese Menge versehen wir jetzt einfach mal mit der diskreten Topologie, damit können wir auf $X$ auch einen Konvergenzbegriff definieren. Aber wie du schnell siehst, ist auf $X$ gar nicht erklärt, was Addition bedeutet. Du kannst also nicht schreiben rot, gelb - rot, blau - gelb,..., da es den Reihenbegriff hier gar nicht geben kann. Sicher, in den reellen (oder auch komplexen) Zahlen verschmelzen die beiden Konzepte, die Räume der Reihen und Folgen sind wie man dann sagt isomorph, aber mit synonym muss man aufpassen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 18:50, 2. Apr. 2021 (CEST)

Goedenavond Googolplexian. Vielen Dank, Du hast recht: der zweite Satz in meinem Beitrag 15:11, 2. Apr. 2021‎, ist nicht ganz korrekt (sehe ich nun). Der erste Satz sagte absichtlich 'ZAHLENfolge', dies muss im zweiten wiederholt werden. Also komme ich zu:

Aus der obigen präzisen Definition folgt, dass jede Zahlenfolge $\,a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\cdots \,$ eine Reihe ist, weil ihre Glieder ja die Partialsummen der Folge $\,a_{0},\,a_{1}{-}a_{0},\,a_{2}{-}a_{1},\,a_{3}{-}a_{2},\cdots \,$ sind; anderes gesagt: dass die Wörter Reihe und Zahlenfolge beide Bezeichnungen sind für einen Begriff, der fachsprachlich "Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine Zahlenmenge" heißt.

Ja? --Hesselp (Diskussion) 21:13, 2. Apr. 2021 (CEST)

Nein, das stimmt weiterhin nicht. Es gibt beispielsweise auch Reihen über Matrizen (z. B. Matrixexponential) oder ganz Allgemein über Elemente eines kommutativen Rings, vgl. Formale Potenzreihe. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 22:29, 2. Apr. 2021 (CEST)

Vielleicht noch ergänzend: Es macht wenig Sinn, sich darin zu verfangen, beide Begriffe zu vereinheitlichen zu versuchen. Es ist natürlich völlig in Ordnung, wenn du dir eine „klassische“ Reihe als eine Folge (reeller, komplexer ,...) Zahlen vorstellen willst, aber es gibt sehr gute Gründe, warum beide Begriffe koexistieren. Christian1985 hat schon ein schönes Beispiel genannt, nämlich formale Reihen (Potenzreihen, oder auch Dirichlet-Reihen), da sind die Glieder gar keine Zahlen mehr, aber man kann trotzdem „rechnen“. Du müsstest also erstmal erklären, was du mit „Zahlenmenge“ meinst (ist $\{1,2,3\}$ eine solche, aber hier kannst du wieder nicht geschlossen addieren), und alles wird unnötig umständlich. Ich räume allerdings ein, dass der Artikel sicher noch viel Potenzial hat, ausgebaut zu werden, damit all diese besprochenen Punkte klarer werden. Nur sollten wir bei der üblichen mathematischen Praxis bleiben! Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 22:51, 2. Apr. 2021 (CEST)

Artikeltext, Satz 3,  "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind." (A),   ist äquivalent zu (ja?-1):

Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieddifferenzen existieren. (B)

Präzise wird eine Reihe als eine Folge mit abziehbaren Glieder definiert. (C)

Präzise wird eine Reihe definiert als eine Abbildung von N in eine Zielmenge mit Addition. (D)

- Bemerkung 1.   Es handelt sich hier um "ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis". Ein Objekt mit Name "formale Potenzreihe" gehört nicht dazu. (Es gehört zu den Algebra – Potenzreihenringe, ohne 'Konvergenz')  (ja?-3)

- Bemerkung 2.   Eine "Dirichlet-Reihe" ist eine (Zahlen-)Reihe, ist also eine Folge deren Glieddifferenzen existieren, ist also eine Abbildung von N in eine Zielmenge mit Addition. (ja?-4)

- Bemerkung 3.   Die Potenzreihe zur definierung der Matrixexponential hat addierbare Glieder, kann also -- entsprechend die 'präzise Definition' – auch "Folge" genennt werden. (ja?-5)

- Bemerkung 4.   Es wäre besser in Satz 3 zu schreiben: "Präzise wird eine Reihe HIER als eine Folge definiert, deren ...".  Und dabei, dass man in die mathematische Literatur noch mindestens 29 andere Definitionen finden kann. (Ist hier, Abschnitt "6. Grote variatie ...", auf niederländisch, ausführlich mit Quellen dokumentiert.) (ja?-6)

- Bemerkung 5.   Wenn wir ausgehen von wie das Wort "Reihe" in der üblichen mathematischen Praxis - Teilgebiet der Analysis funktioniert (auch meine Präferenz), dann sehen wir dass bei einer Reihe (fast?) immer nebst der Gliederkonvergenz auch der Summenkonvergenz (die Summierbarkeit) eine Rolle spielt. Darum sollte man bei der Beschreibung der Praxis-Bedeutung des Worts "Reihe" sagen: "eine Abbildung von N in eine Zielmenge mit Addition (wegen Partialsummen) und Metrik (wegen Gliederdistanz nähert 0)". (E) (ja?–7)

Frage an Googolplexian1221 @Googolplexian1221: Was meinst Du mit "eine 'klassische' Reihe"?  (Eine unendlichen Folge mit reellen Glieder (Cauchy)?  Eine unendlichen Folge mit Glieder in einer Menge mit Addition und Metrik (üblichen Praxis, wegen Summierbarkeit)?   Eine unendlichen Folge mit addierbaren Glieder ('präzise Definition', WPdu WPde)?   Eine unendlichen Folge mit Glieder in einer Menge mit Metrik (habe ich noch nie gesehen deine Folge rot, gelb, blau, rot, gelb, blau ... mit einem Konvergenzbegriff)?   Oder...?)

Verbesserte Vorschlagtext (ohne das Wort "Zahlenmenge" dass nämlich nicht nur als R oder C, aber auch als {1, 2, 3} gelesen werden kann):

" Aus der obigen präzisen Definition folgt dass jede Zahlenfolge $\,a_{0},\,a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\cdots \,$ eine Reihe ist, weil ihre Glieder ja die Partialsummen der Folge $\,a_{0},\ a_{1}{-}a_{0},\ a_{2}{-}a_{1},\ a_{3}{-}a_{2},\cdots \,$ sind; und dass es wenn die Glieder Zahlen sind, kein Bedeutungsunterschied gibt zwischen Folge und Reihe.  Beispiel. Die wachsende Kwadratzahlen kann man eine Folge nennen, aber auch (entsprechend die 'präzise Definition') eine Reihe weil die Kwadratzahlen die Partialsummen der Folge der ungeraden Zahlen sind. "

--Hesselp (Diskussion) 13:06, 4. Apr. 2021 (CEST)   --Hesselp (Diskussion) 11:54, 6. Apr. 2021 (CEST)

Noch keinen Kommentar gesehen bei meinem obigen 'verbesserte Vorschlagtext' (6. Apr. 2021).  Es scheint mir informativ auch Folgendes zu erwähnen:

Das Wort "Reihe" in der Mathematik (Analysis) hat eine lange Geschichte, mit "konvergente Reihe" für das zusammenlaufen der Partialsummen der Glieder.  Das Wort "Folge" als Fachwort ist jedoch relativ jung (seit etwa 1900-1920), mit - nicht ganz konsequent - "konvergente Folge" für das zusammenlaufen von nur den Glieder.

Ist das (nahezu) richtig deutsch? --Hesselp (Diskussion) 00:06, 9. Apr. 2021 (CEST)

@Googolplexian1221: Du nennst (18:50, 2. Apr. 2021) die Räume der Zahlenreihen und der Zahlenfolgen "isomorph".  Warum nicht "identisch"?

Und sind wir uns einig, dass, wenn von jedes Gliederpaar einer Folge die Summe und die Distanz bekannt sind, im üblichen mathematischen Praxis in Kontexte wo es um Summierbarkeit geht, traditionell "Reihe" gesagt wird statt "Folge" ? --Hesselp (Diskussion) 20:37, 9. Apr. 2021 (CEST)

Aus Zeitgründen nur kurz, und mit dem etwas mulmigen Gefühl, dass ich mit meinem oberen Beitrag ein Fass ohne Boden aufgemacht habe: Auch ich kann deinen Beiträgen nur schwer folgen. Es klingt ehrlich gesagt auch danach, als wolltest du hier Theoriefindung betreiben, d.h. deine eigenen Gedanken und deine eigene Forschung zu einem Thema beisteuern. Das ist in der Wikipedia allerdings nicht erwünscht. Die „übliche Praxis“ bezog ich darauf, dass Begriffe wie „Zahlenmenge“ im Kontext der Analysis nicht auftauchen, bzw. falls ja erstmal definiert werden müssen. Wahrscheinlich bezieht sich das auf den Körper der reellen bzw. komplexen Zahlen. Ausgangspunkt für eine Artikelüberarbeitung ist der Begriff des Banachraumes, man schaue zum Beispiel in Amann, Escher, Analysis 1. Auch sehr empfehlen kann ich das Buch Analysis 1 von Terence Tao, das ist hervorragend geschrieben. Was den Begriff der Reihe vom Begriff der Folge unterscheidet, ist, dass man mit Reihen besser rechnen kann. Zum Beispiel lassen sich Begriffe wie das Quotientenkriterium hier sehr leicht formulieren. Meine Zeit ist allerdings jetzt sehr knapp. Bei Gelegenheit werde ich mich um den Artikel kümmern, und mich bemühen, ihn verständlicher und ordentlicher aufzuschreiben. Bis dahin schließe ich mich klar der Bitte von Christian1985 an, in Zukunft überzeugende Belege (deutsch oder englisch) beizufügen und den dortigen Formulierungen nahe zu bleiben. Danke. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 09:30, 14. Apr. 2021 (CEST)

@Googolplexian1221: Dein Kommentar (Version 18:24, 14. Apr. 2021‎) bei meinem mittlerweile beseitigten Beitrag 13 Apr. 2021, halte ich für wenig stichhaltig. Fünf Punkte (was bleibt übrig?):

-1. "deinen Beiträge nur schwer folgen"  Bitte zeige mir genau wo dies der Fall ist. Sind auch die vier Sätze meiner Artikel-Beitrag 13. Apr. 2021 schwer zu folgen; wo präzise?

-2. "als wolltest du hier Theoriefindung betreiben". Wo stehen in meiner vier Sätze 13 Apr. 2021 Aussagen, die nur auf meinen persönlichen Erkenntnissen basieren (WP:KTF)? Meinst du vielleicht meine  "Reihe – einen lange Geschichte"  und  "Folge - seit etwa 1900-1920" ?  Es wird nicht schwer sein dafür 'überzeugende Belege' zu finden (z.B. Jeff Miller).

-3. "dass Begriffe wie „Zahlenmenge“"  Ich habe nirgendwo von "Zahlenmenge" gesprochen.

-4. "mit Reihen besser rechnen kann"  Das 'besser rechnen' betrifft vermutlich die Schreibweise/Darstellung einer Folge/Reihe. Aber ich sehe nicht dass damit der Unterschied zwischen einem mathematischen Begriff mit Name "Reihe" und einem zweiten mathematischen Begriff mit Name "Folge" erklärt ist.

-5. "überzeugende Belege beizufügen"  Ich sehe total nicht was du hier meinst. Was muss in Satz 1 (meiner vier Artikel-Sätze) noch weiter belegt werden? Was in Satz 2? Und was in Satz 3 und 4? (Dass mit "konvergente Reihe" immer und weltweit das Zusammenlaufen der Partialsummen der Glieder gemeint wird, und mit "konvergente Folge" nur das Zusammenlaufen der Glieder? Ist es nicht sinnvoll dieser unlogische Nomenklatur explizit zu erwähnen?)

Bei deiner Alternativ für meine vier Sätze 13 April 2021   Die Aussage: "Aus der obigen präzisen Definition folgt dass jede Zahlenfolge eine Reihe ist"  ist und bleibt wahr.  Auch indem die Glieder - irgendwo, irgendwann - nicht als Partialsummen aufgefasst werden (Ja?).  Mit "kann betrachtet werden" ist ein Leser nicht geholfen.  

Zu sprechen von "Glieder einer Reihe" (in deiner Satz mit "Bauart") ist gefährlich/verwirrend, weil damit in die Literatur meistens nicht die s_n aber die a_n gemeint sind. Und was muß ein Leser mit "rekursieve Struktur"?  Ist 'die Struktur' der wachsende Kwadratzahlen rekursiv oder nicht?

Der Unterschied, den man fühlen kann zwischen die Wörter Reihe und Folge, liegt nicht in die mathematisch inhaltlichen Definition, aber in die Kontext-Situationen. Bitte lese was ich hier, 2. April 2021 darüber sagte. In einem erneuerte Artikel-Beitrag will ich diese Gebrauchsabhängigkeit zufügen.  Oder kann jemand anderes das machen, in richtig deutsch?

--Hesselp (Diskussion) 17:40, 15. Apr. 2021 (CEST)

„Und was muß ein Leser mit "rekursieve Struktur"?“ An dieser Stelle liegt meines Erachtens dein Verständnisproblem: Natürlich definiert jede Reihe eine Folge, aber das, was den Begriff der Reihe zu einem sinnvollen Konzept macht, ist, dass du eine Folge auf eine neue Folge abbildest (eine Reihe ist also gedanklich eine Abbildung vom Raum der Folgen in den Raum der Folgen via $(x_{1},x_{2},x_{3},...)\mapsto (x_{1},x_{1}+x_{2},x_{1}+x_{2}+x_{3},...)$). Durch die dadurch entstehende rekursive Struktur können Fragen über die „komplizierte“ Folge, also die Reihe $(x_{1},x_{1}+x_{2},x_{1}+x_{2}+x_{3},...)$ in manchen Fällen auf die „einfache“ Folge $(x_{1},x_{2},x_{3},...)$ reduziert werden. Es ist also dieses „Zusammenspiel“, was das Konzept der Folge vom Konzept der Reihe unterscheidet. Was dich an meinen Ausführungen, die ich quasi wortwörtlich aus Amann, Escher entnommen habe, so sehr stört, kann ich nicht ganz nachvollziehen. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 21:40, 15. Apr. 2021 (CEST)

Zuerst meine Fünf Punkte, Disk 15. April 2021:

ad-1. Wo sind meine Beiträge schwer zu folgen?  Bisher keine Reaction.

ad-2. Wo Verstoßen gegen WP:KTF in meiner Artikelbeiträge?  Bisher keine Reaction.

ad-3. Wo habe ich von – undefinierte – Zahlenmengen gesprochen?  Bisher keine Reaction.

ad-4. Wie erklärt  "mit Reihen besser rechnen kann",  einen angeblichen inhaltlichen Unterschied zwischen "Folge" und "Reihe".   Bisher keine Reaction.

ad-5. Was muss in Satz 1 oder 2 oder 3 oder 4 meines Artikelbeitrags 13. April 2021 noch belegd werden?   Bisher keine Reaction

6. Neu im Artikeltext 15 April 21:55:  Eine Zahlenfolge wird zu (ändert sich in, Hokuspokus) einer Reihe wenn jemand (irgendwo, irgendwann) die Zahlenfolge als Summenfolge ihrer Differenzenfolge auffasst.  Folgt dies aus der (der Präzise) Definition?  Ist das Mathematik? Taucht so etwas auf 'im Kontext der Analysis' ?  Bitte hier zitieren wie das in Amann-Escher formuliert steht.

7. Im Satz mit "Bauart" bezieht "Glieder der Reihe" sich auf s_n (nicht a_n , wie in Forster). Wer zeigt Quellen dafür. Wo ist die Definierung von "Bauart einer Folge" zu finden?

8. Zu Googolplexian Disk 15. April 2021: Die (Summierungs)Abbilding vom Folgenraum in den Folgenraum heißt "Reihe". Es gibt Autöre die es so haben, aber dann kann man nicht sprechen von "konvergente Reihen" und "divergente Reihen": dieser Abbildung ist weder konvergent noch divergent. --Hesselp (Diskussion) 23:27, 16. Apr. 2021 (CEST)

(Einrück) Ein letztes Mal werde ich antworten, danach verfolge ich diese ziellose Diskussion nicht weiter. Auch das wiederholte Einfordern von Antworten ist kein guter Stil, etwas mehr Zurückhaltung wäre angebracht.

• „Wo sind meine Beiträge schwer zu folgen?“ Bei mir persönlich fast überall. Im Kern begreife ich auch gar nicht, welche „Mission“ du hier genau verfolgst. Die Korrespondenz zwischen Folgen und Reihen ist bereits im Artikel eingearbeitet. Dass Deutsch offenbar nicht deine Muttersprache ist (was ich selbstverständlich nicht verurteile), macht es zudem leider erheblich schwerer. In der Mathematik kommt es auf jedes Wort und jede Formulierung an.
• „Wo Verstoßen gegen WP:KTF in meiner Artikelbeiträge?“ Das Wort „Verstoß“ ist zu hart, obwohl ein sich anscheinend anbahnender Edit-War ein solcher sein würde. Aber die Redakteure können deine Beiträge nicht verstehen, da sie seltsam formuliert sind: Aus der obigen präzisen Definition folgt dass jede Zahlenfolge $\,a_{0},\,a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\cdots \,$ eine Reihe ist, weil ihre Glieder ja die Partialsummen der Folge $\,a_{0},\ a_{1}{-}a_{0},\ a_{2}{-}a_{1},\ a_{3}{-}a_{2},\cdots \,$ sind; und dass es wenn die Glieder Zahlen sind, keinen inhaltlichen Unterschied gibt zwischen Folge und Reihe.  Beispiel. Die wachsende Kwadratzahlen kann man eine Folge nennen, aber auch (entsprechend die 'präzise Definition') eine Reihe weil die Kwadratzahlen die Partialsummen der Folge der ungeraden Zahlen sind. Die deutsche Grammatik ist falsch, Wörter wie „präzise Definition“ passen nicht wirklich und was ist mathematisch genau ein „inhaltlicher Unterschied“? Nichts davon ist „total falsch“, aber es ist eben kein guter mathematischer Beitrag.
• „Wo habe ich von – undefinierte – Zahlenmengen gesprochen?“ Weiter oben sagtest du: „dass die Wörter Reihe und Zahlenfolge beide Bezeichnungen sind für einen Begriff, der fachsprachlich "Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine Zahlenmenge" heißt.“
• „Wie erklärt  "mit Reihen besser rechnen kann",  einen angeblichen inhaltlichen Unterschied zwischen "Folge" und "Reihe".“ Meine obere Formulierung war etwas missverständlich: Ist $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ der Raum aller reellen Folgen, so identifiziert sich das gesamte Reihenprinzip mit der Abbildung $\Sigma :\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$, $(x_{1},x_{2},x_{3},...)\mapsto (x_{1},x_{1}+x_{2},x_{1}+x_{2}+x_{3},...)$. Dabei handelt es sich um einen Isomorphismus zwischen $\mathbb {R}$-Vektorräumen. Eine Reihe zu einer Folge ist nun das Bild dieser Abbildung zu besagter Folge, nicht umsonst wird eine Reihe mit $\Sigma x_{k}$ notiert. Der Unterschied zwischen beiden Konzepten, also Folgen und Reihen, wird mathematisch wie folgt klar: der Raum $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ der Folgen für sich betrachtet wird unter naheliegender komponentenweiser Multiplikation zu einer $\mathbb {R}$-Algebra, also via

$(x_{1},x_{2},x_{3},...)*(y_{1},y_{2},y_{3},...):=(x_{1}y_{1},x_{2}y_{2},x_{3}y_{3},...).$

Dies entspricht auch der Weise, wie man Funktionen multipliziert. Allerdings ist die Abbildung $\Sigma$ kein Isomorphismus zwischen $\mathbb {R}$-Algebren, denn im Allgemeinen gilt $\Sigma (x*y)\not =\Sigma (x)*\Sigma (y)$ für Folgen $x$ und $y$. Dies liegt im Distributivgesetz begründet: Einerseits ist

$\Sigma (x*y)=\Sigma (x_{1}y_{1},x_{2}y_{2},...)=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2},x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}+\cdots )$

aber andererseits

$\Sigma (x)*\Sigma (y)=(x_{1},x_{1}+x_{2},x_{1}+x_{2}+x_{3},...)*(y_{1},y_{1}+y_{2},y_{1}+y_{2}+y_{3},...)=(x_{1}y_{1},x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+x_{2}y_{2},...)$

Zum Beispiel diese Unversträglichkeit liefert die mathematische Erklärung dessen, was ich oben versucht habe zu erklären: Bei einer Reihe $\Sigma x_{k}$ handelt es sich um das Bild einer Folge $x_{k}$ unter einer Abbildung (mit rekursiver Struktur) der Folgen in sich selbst, und Eigenschaften der Reihen, wie Konvergenz, werden auf die ursprüngliche Folge zurückgezogen. Bei einer Reihe handelt es sich also streng genommen um ein Tupel $(x_{k},\Sigma x_{k})$ (wegen der unterschiedlichen Ergebnisse unter Multiplikation müssen beide Daten getrennt bleiben), das ist „mehr Information“ als eine Folge a priori hat. Beispielsweise ist das Urbild aller konvergenten Reihen unter $\Sigma$ im Teilraum aller Nullfolgen enthalten, das nennt man das notwendige Konvergenzkriterium. Also ist es schlichtweg falsch zu sagen, beide Konzepte seien „identisch“. Was lediglich richtig ist, dass jede reelle Folge $a_{1},a_{2},...$ ein Urbild unter $\Sigma$ besitzt, das steht auch so im Artikel. Man kann Folgen also zu Reihen „vervollständigen“, indem man sie mit ihrem Urbild unter $\Sigma$ versieht. Aber für das Konzept der Folge wird $\Sigma$ erstmal gar nicht benötigt! Frage dich ferner, wie du das Konzept der Reihe auf Begriffe wie Funktionen bzw. Netze, also mit ggf. überabzählbaren Indexmengen, verallgemeinern würdest. Wären Reihen und Folgen völlig identisch, müsste dies doch trivial sein?

• Ich schenke es mir mal, auf 5 und 6 zu antworten.
• 7: In Amann-Escher.
• 8: Siehe oben.

Ich empfehle weiterhin, in das Buch von Terry Tao zu schauen, dort sind die Sachen noch besser erklärt. Und noch eine abschließende Bemerkung bzw. Empfehlung: Ich gehe davon aus, dass du gute Absichten hast, und grundsätzlich ist es immer lobenswert, wenn jemand motiviert ist und was beitragen will. Allerdings ist mir auch nicht entgangen, dass du diese Diskussionsseite schon sehr stark in Anspruch genommen hast, meist ohne viel Resonanz bei den Redakteuren und diverse Edit-Wars mit anschließender Vandalismussperre gestartet hast. Ich ganz persönlich würde in einem solchen Fall zuerst die Frage stellen: Wenn anscheinend ein klarer Konsens darüber herrscht, das meine Beiträge und meine Auffassungen über ein Thema nicht in einen Artikel der Wikipedia passen, liegt es vielleicht an mir und nicht an den anderen? Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 17:16, 17. Apr. 2021 (CEST)

Reaktion auf Googolplexian1221 (Disk 17 Apr. 2021)

I.   Mission.  Vielleicht kommt nahe:  "Trennen von Inhalt mathematischer Begriffe versus ihrer Darstellung."

II. - Das lange Zitat nun in vier Teile.  Wo kannst du hier etwas auf Grund seltsamer Formulierungen nicht verstehen?

a. Aus der obigen präzisen Definition folgt dass jede Zahlenfolge $\,a_{0},\,a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\cdots \,$ eine Reihe ist, weil ihre Glieder ja die Partialsummen der Folge $\ a_{0},\ a_{1}{-}a_{0},\ a_{2}{-}a_{1},\ a_{3}{-}a_{2},\cdots \$ sind.

b. Aus derselben Definition folgt dass es wenn die Glieder Zahlen sind, keinen inhaltlichen Unterschied gibt zwischen Folge und Reihe.

c. Beispiel. Die wachsende Kwadratzahlen kann man eine Folge nennen.

d. Man kann sie aber auch (entsprechend die 'präzise Definition') eine Reihe nennen, weil die Kwadratzahlen die Partialsummen der Folge der ungeraden Zahlen sind.

- "obigen präzisen Definition" ist vielleicht nicht gut passend in einer Enzyklopädie.  Wie sagt man das - mit Beibehaltung von 'Präzise' - enzyklopädisch?  Auf Deutsch.

- Ich möchte sehr gerne Quellen sehen für Satz 3  "Präzise ..."  im Reihe-Artikel. Otto Forster schreibt etwas anderes.

- "Keinen inhaltlichen Unterschied"  läßt offen dass es einen Gebrauchsunterschied gibt (abhängig von Kontext).

III. Okay, mein Fehler. Bitte lese  "auf $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$"  anstatt  "auf eine Zahlenmenge".

IV. - Für Zahlenfolgen (hier: Glieder in $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$) $x$ und $y$ gibt es zwei Verknüpfingen, beiden "Multiplikation" genennt:

$x*y\ :=\ x_{1}y_{1},\ x_{2}y_{2},\ x_{3}y_{3},\ \cdots \$  und  $\ x{*}{*}y\ :=\ x_{1}y_{1},\ \,x_{1}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}+x_{2}y_{2},\ \cdots \ =\ \Sigma x*\Sigma y\$.

Man kann z.B. die Namen "Folgeprodukt" ("direkt Produkt"?) bzw. "Reiheprodukt" ("Polynomprodukt"?) geben, aber damit wird noch nicht ein Unterschied zwischen Konzept/Begriff Folge und Konzept/Begriff Reihe mathematisch klar.

- "Reihenprincipe".  Ich finde mit Google 0 Treffer. Wer kennt Quellen?

- Die Abbildung Σ ist eine Abbildung von dem Folgenraum in den Folgenraum (es handelt sich hier um Folgen mit addierbaren Glieder). Die Quellmenge (Definitionsbereich) und die Zielmenge sind identisch.

- Das man zwei unterschiedlichen (nicht isomorphe) $\mathbb {R}$-Algebren konstruieren kann, und damit zwei unterschiedlichen Σ-Abbildungen (Zielmenge mit 'direkt Produkt' und Zielmenge mit 'Polynomprodukt'), impliziert nicht dass es zwei unterschiedlichen Begriffe Folge bzw. Reihe gibt.  Ja?

- diese unverträglichkeit.  Welche unverträglichkeit?

- handelt es sich um das Σ-Bild einer Folge.  Das Σ-Bild einer Folge ist wieder einmal eine Folge (hier: eine Abbilding in $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$).  Also, warum fängt dieser Satz an mit  "Bei einer Reihe" ?

- Wenn man eine Zahlenfolge mit der traditionellen Name "Reihe" andeutet, bleiben die Eigenschaften der (mit "Reihe" angedeutete) Folge unverändert: Glieder, Partialsummen, Partialsummenfolge, Summe, summierbarkeit, alternierend, monotonie, usw. .  Nur mit  'Konvergenz' (und 'absolut Konvergent') muss man aufpassen.

Traditionell steht 'konvergent' für das zusammenlaufen der Partialsummen (und sagt/schreibt man 'konvergente Reihe'). Rund 1920 haben Konrad Knopp c.s. introduziert das 'konvergent' für das (einfachere, mehr elementare) Zusammenlaufen der Glieder benutzt werden soll. Um Verwirrung zu vermeiden wird die neuere Bezeichnung von 'konvergent' immer mit "Folge" kombiniert; und wird anstatt "konvergente Reihe" oft "summierbare Folge" gesagt.

- Das Tupel $(x,\Sigma x)$ enthalt mehr Information als nur die Folge $x$.  Warum?  Welche extra Information?

- Die Glieder einer summierbaren Folge (auch "konvergenten Reihe" genannt) bilden eine Nullfolge.  Ja, korrekt. Und?

- beide Konzepte. Das "beide" verursacht direkt schon Verwirrung. Es gibt NUR das Konzept "eine Menge von Größen, deren jede nach einem gewissen allen gemeinschaftlichen Gesetze bestimmt wird" (J.F. Lorenz, 1793), moderner formuliert "eine Abbilding auf $\mathbb {N}$”. Traditionell mit Name "Reihe", im letzten Jahrhundert "Folge" oder – speciell wenn die summierbarkeit im Frage ist – oft noch immer "Reihe" (Potenzreihe, Taylor-Reihe, Fourier-Reihe, ...) .  Es gibt zwei Namen – ja. Aber nicht einen zweiten mathematischen Begriff.

- jede reelle Folge besitzt ein Urbild under Σ.  Ja, völlig einverstanden.

- Eine Reihe ist eine 'vervollständigter' Folge.  Was wird hier mit "versehen" (versiehst) gemeint?  Wie tut man das?  Ist die Folge der wachsende Kwadratzahlen weltweit zu einer 'Reihe' promoviert (vervollständigt) wenn ich mit meinem Zauberstab die Kwadratenfolge mit die Folge der ungerade Zahlen 'versehen' habe?  Nochmals, ist das Mathematik?  Wozu dient das 'versehen' mit dem Urbild, wenn jede Folge schon ihrem Urbild 'besitzt' ?

- Die definition  "Abbildung auf $\mathbb {N}$"  enthällt nicht die Abbildung Σ.  Ja.

- Wie kann 'das Konzept der Reihe' verallgemeint werden?  Diese Frage liegt außerhalb dieses WP-Artikels.

V, VI, VII. - Kann jemand meine Fragen ad-5, 6 und 7 im Beitrag 16. Apr. 2021 beantworten?

- Die Anzahl Google-Treffer für "Bauart einer Folge" ist: 0 . Also nicht verwenden in der Enzyklopädie.

VIII. Siehe oben  Wo genau?

IX (Schlussbemerkungen).  ohne viel Resonanz bei den Redaktören.  Was im Kommentar von drei Redakteuren bezieht sich faktisch auf meinen vier Sätze in den Artikelbeitrag 13 Apr. 2021 ?

a. "präzise Definition passt nicht wirklich" (Ich habe um eine bessere Alternative gefragt.)

b. "Die deutsche Grammatik ist falsch" (Ich habe um Spezifizierung gefragt.)

c. "Es fehlen Quellen" (Ich habe um Spezifizierung gefragt.)

d. Etwas vergessen? --Hesselp (Diskussion) 00:22, 20. Apr. 2021 (CEST)

Ich bitte darum solche Änderungen nur mit Quelle belegt einzufügen. Entschuldige, dass ich auf die vorigen Beiträge nicht weiter eingehe. Ich steige schon bei der Aussage "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieddifferenzen existieren." aus. Gibt es dafür eine Quelle? --Christian1985 (Disk) 23:46, 13. Apr. 2021 (CEST)

@Christian1985: "Es fehlen Quellen", ist dein Argument zur Beseitiging meiner Artikelbeitrag 13. April 2021. Quellen wofür?  Ich stelle dir die gleichen fragen wie an Googolplexian1221:   Was muss in Satz 1 (meiner vier Artikel-Sätze) noch weiter belegt werden? Was in Satz 2? Und was in Satz 3 und 4? (Dass mit "konvergente Reihe" immer und weltweit das Zusammenlaufen der Partialsummen der Glieder gemeint wird, und mit “konvergente Folge” nur das Zusammenlaufen der Glieder? Ist es nicht sinnvoll dieser unlogische Nomenklatur explizit zu erwähnen?)

Und kannst du erklären - ich sehe es nicht - wo eine Quelle benötigt wird bei dem Schritt von

eine Folge (a_n) deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge (a₁, ... , a_n+1−a_n , ...) sind.

nach

eine Folge (a_n) deren Glieddifferenzen (a_n+1–a_n) existieren. --Hesselp (Diskussion) 17:52, 15. Apr. 2021 (CEST)

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zu 4. Beispiele

Die geometrische Reihe muß schon konvergent sein, sonst geht das nicht mit dem Grenzwert, also q hoch n mit n element von N und 0 kleiner als der Betrag von q kleiner als 1. (nicht signierter Beitrag von 77.180.199.158 (Diskussion) 18:04, 1. Sep. 2016 (CEST))

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Googolplexian (Diskussion) 18:44, 5. Mai 2023 (CEST)

Ganz klar ?

Jeder Folge ist identisch mit der Partialsummenfolge seiner Differenzenfolge, also:  'Reihe'  und  'Folge'  sind synonym. Deswegen sagt Satz 4 der Definition: "Falls die Folge/Reihe $(s_{n})$ konvergiert, so nennt man die  Grenzwert der Folge/Reihe $(s_{n})$ auch Summe der Folge/Reihe $(s_{n})$" .
Korrekt?   Was ist hier definiert?

Zur Zeit wird eine Alternative diskutiert im 'Talk page' der englische Wikipedia.
-- Hesselp (Diskussion) 22:13, 18. Apr. 2017 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Googolplexian (Diskussion) 18:44, 5. Mai 2023 (CEST)

Scharfere formulierung im Abschnitt 'Definition'

Der Artikeltext sagt (Satz 3):  "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder die Partialsummen einer anderen Folge sind."  Diese Formulierung scheint nicht sehr exakt. Denn: die Glieder jeder (Zahlen-)Folge sind 'die Partialsummen einer anderen Folge' (nämlich: die Differenzenfolge der erstgenannte (Zahlen-)Folge).   Also: 'Reihe' und 'Folge' sind (scheinbar?) Synonyme.
Im Abschnitt 'Definition' ist aber etwas anderes gemeint. Wiewohl dort die Sätze 2 und 3 etwas scharfer formuliert werden können:
          Diese Glieder der neue Folge heißen: ($n$-te) Partialsummen der gegebene Folge.  Die neue Folge $\left(s_{n}\right)$ heißt:
          Partialsummenfolge der gegebene Folge,  oder  Reihe der Ausgangsfolge,  oder  Reihe zur Folge $\left(a_{n}\right)$ .
-- Hesselp (Diskussion) 15:38, 2. Aug. 2017 (CEST)

Begründung Revert 08:15, 18.Aug.2017: Inhaltliche Konsens bez. die Änderungen, sehe obige Diskussion. Eventuelle Ideen und Aktionen des Autors, sind hier nicht relevant. -- Hesselp (Diskussion) 08:16, 18. Aug. 2017 (CEST)

Die Partialsummenfolge der Folge (a_n) kann benannt mit "Reihe zu (a_n)"; nicht nur mit "Reihe"

Beim Abschnitt 'Definition':
Die Glieder $s_{n}=a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{n}$ der 'neuen Folge' können nicht selektiv benannt werden mit  "($n$-te) Partialsummen", aber z.B. mit  "($n$-te) Partialsumme der Folge (a_n)".
Ebenso nicht nur "Reihe" aber (eventuell) "Reihe zu (a_n)" oder "Reihe zur Folge (a_n)"  zur Benennung von die Partialsummenfolge der Folge (a_n).
Korrekt?  Falls nein, warum nicht?

Neben das logische Argument, stehen Quellen:
- Barner-Flor, Analysis I (1974) S. 141:   Die Zahlenfolge  $($$\sum$$_{k=0}^{\ n}a_{k}$$)$ bezeichnet man als die zu $(a_{k})$ gehörende unendliche Reihe.
- Josef Leydold, Mathematik Grundlagen (Wien 2016) S. 34:  "Die Folge ⟨$s_{k}$⟩ aller Teilsummen einer Folge ⟨$a_{i}$⟩ heißt die Reihe der Folge ⟨$a_{i}$⟩."
- TU Darmstadt/Mathematik (2009), Kapitel 7 Reihen, S.50:  "Man bezeichnet die Folge $(s_{m})_{m}$ als die Reihe und die Folgenglieder $s_{m}$ als die Partialsummen zur Folge $(a_{n})_{n}$".
- Beni Keller (Uni-Zürich) Folgen und Reihen (2017), S. 4:  "Die Folge $(s_{m})[...]$ nennen wir Reihe der Folge $(a_{n})$.   Das Glied $s_{n}$ nennen wir $n$-te Teilsumme der Folge $a$, ..." .
- Kmhkmh 5. Juli 2017:  "Summierbarkeit bezieht auf die Reihe zu $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$"
        -- Hesselp (Diskussion) 14:36, 1. Sep. 2017 (CEST)
- N. Bourbaki, Topologie générale, 1947 - 2007, Chap. 4 Nombres réels:  "série de terme générale x_n"  und  "série définie par la suite (x_n)". -- Hesselp (Diskussion) 17:28, 9. Sep. 2017 (CEST)

@Stephan Kulla. Deine Bearbeitung der Sektion 'Definition' hilft nicht. Denn, wie schon hier und hier (mit Quellen) geschrieben, die Folge der aus einer gegebenen Folge $(a_{n})$ gebildete Teilsummen, kann nicht mit nur "Reihe" bezeichnet werden. (Aber - z. B. - mit "Reihe zu $(a_{n})$" oder "Reihe zur Folge $(a_{n})$" oder "Reihe zur gegebenen Folge" oder ....). Die kurze unspezifizierte Bezeichnung "Reihe" wäre hier nur ein Synonym für "Folge" sein (weil JEDER Folge identisch mit der Partialsummenfolge ihrer Differenzenfolge ist).
Die Teilsummenfolgen von $(a_{n})$ und von $(b_{n})$ können nicht beide mit nur "Reihe" bezeichnet werden.
Wer kennt und nennt hier Gegenargumente? -- Hesselp (Diskussion) 17:13, 2. Sep. 2017 (CEST)

Änderungen im Abschnitt 'Definition': Vorschlag 6. Sept., Fragen

Definition
Die Partialsummenfolge (Teilsummenfolge, Summenfolge)  $a_{1},\ a_{1}+a_{2},\ a_{1}+a_{2}+a_{3},\cdots$  einer gegebener Folge $a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\cdots$  wird auch  Reihe der gegebener Folge  (Reihe zur Folge a-n,  Reihe zu a-n ^[1])  genannt.  Und wird geschrieben:  Reihe  $\sum$$_{n=1}^{\ \infty }a_{n}$,  oder nur:  $\sum$$_{n=1}^{\ \infty }a_{n}$.

Für ihrer eventuelle Grenzwert wird  Wert der Reihe  $\sum$$_{n=1}^{\ \infty }a_{n}$  benutzt.  Oft auch  Summe der Reihe  $\sum$$_{n=1}^{\ \infty }a_{n}$  (weniger logisch weil es nicht die Summe der Partialsummenfolge betrifft).^[2]

Beispiel:  Die Folge  1, 2, 3, 4, 5, ··· ist Partialsummenfolge der Folge 1, 1, 1, ···; kann also mit Reihe zum Folge 1, 1, 1, ···  bezeichnet werden.

            [1] Auch  Reihe mit den Gliedern $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots$ (Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis 1 1980, S. 187)
            [2] Es gibt auch Mathematiker und Autöre die diesen Grenzwert mit  Summe der Folge $(a_{n})$  bezeichnen.

- Wer hat Kommentar beim obigen Text?
- Wer kann hier zeigen welche Information der Leser finden kann in der heutigen Version (Stephan Kulla), aber nicht im obigen Vorschlag 6.Sept.?
- Wer kann hier mit Argumente bestreiten daß die heutige Sektion 'Definition' impliziert daß alle Folgen auch "Reihe" heißen?  Gegenbeispiel?
- Die heutige Version nennt Otto Forsters Analysis, Band 1 als Quelle.  Er schreibt (4. Aufl. 1983):
        Die Folge der Partialsummen einer Folge $(a_{n})$ heisst  (unendliche) Reihe  und wird mit  $\sum$$_{k=1}^{\ \infty }a_{k}$  bezeichnet.
Also kommt im symbolischen Ausdruck die gegebene Folge vor, im verbalen Ausdruck aber nicht.  Wer kann diese Inkonsequenz rechtfertigen?  Sonst die Quelle streichen.
-- Hesselp (Diskussion) 23:44, 6. Sep. 2017 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Googolplexian (Diskussion) 18:48, 5. Mai 2023 (CEST)

Definition n-te Teilsumme

Hallo zusammen Im Abschnitt "Definition" steht: Die n-te Partialsumme ist die Summe der ersten n Glieder von (a_i). Direkt danach werden aber die ersten n+1 Glieder summiert (beginnend beim 0-ten Folgenglied!). Müsste man das nicht korrigieren? LG Kevin

Ja, muss man - gut erkannt. Ich drehe es einmal auf n+1. Wenn jemand die andere Definition haben will, dann umdrehen. --Haraldmmueller (Diskussion) 23:25, 1. Dez. 2018 (CET)

Hab mal nen Hinweis hinzugefügt, dass das nur gilt, wenn man 0 zur Indexmenge zählt. --TranslationTalent (Diskussion) 23:35, 29. Jun. 2019 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Googolplexian (Diskussion) 18:49, 5. Mai 2023 (CEST)

Weitere Aufklärung, Vorschlag

(Nach dem zweiten Satz einschalten:)

Welches impliziert dass jeder Zahlenfolge auch  ‘Reihe’  heißen kann,  weil ihrer Glieder (a₁, a₂, a₃, ···) immer die Partialsummen der Folge  a₁,  a₂−a₁,  a₃–a₂, ···  sind.

(Und nach dem vierten Satz, wie neuer Absatz:)

Nomenklatur.   Wenn die Glieder einer Folge/Reihe/Abbildung-auf-N  zusammenlaufen (gegen einem Grenzwert streben) spricht man von “konvergente Folge”, “Grenzwert der Folge”.   Wenn auch ihrer Partialsummen zusammenlaufen, von “summierbare Folge”, “summierbare Reihe”, “Summe der Folge”, “Summe der Reihe”, und auch manchmal von “konvergente Reihe”. Im letzten Fall ist mit ‘konvergent’ die traditionelle – bis etwa 1900 die einzige - Bedeutung ‘zusammenlaufen der Partialsummen der Glieder’ gemeinnt.

(Verbesserungen? Dank.  Grüße aus Holland.) --Hesselp (Diskussion) 18:17, 8. Mär. 2021 (CET)

Erweiterte Version

(Nach dem zweiten Satz einschalten:)

Welches impliziert dass jeder Zahlenfolge auch  ‘Reihe’  heißen kann,  weil ihrer Glieder (a₁, a₂, a₃, ···) immer die Partialsummen der Folge  a₁,  a₂−a₁,  a₃–a₂, ···  sind.

(Und nach dem vierten Satz, wie neue Absätze:)

Nomenklatur. Das Wort 'Folge' (für: Abbildung auf N, Glieder nicht spezifiziert)  ist nur seit etwa Anfang 20. Jahrhundert ein Fachwort in der Mathematik.  Bei das ältere 'Reihe' (auch 'Progression' und 'Series') geht es meistens um addierbare Glieder.
Wenn die Glieder einer Folge /Reihe/Abbildung-auf-N zusammenlaufen (gegen einem Grenzwert streben) spricht man von "Grenzwert der Folge" und von "konvergente Folge".
Wenn auch ihrer Partialsummen zusammenlaufen, spricht man von "summierbare Folge", "summierbare Reihe", "Summe der Folge", "Summe der Reihe",  und auch manchmal von "konvergente Reihe".  Im letzten Fall hat  'konvergent'  die traditionelle – bis etwa 1900 die einzige - Bedeutung:  'zusammenlaufen der Partialsummen der Glieder'.

Symbolische Schreibweisen für eine Aufeinanderfolge von Glieder ${\textstyle a_{n}}$, sind (auch mit Anfangsindex ungleich 1):

(i)   $(a_{n})_{n=1,2,\cdots }$   oder   $a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots$   oder   $a_{1},\,a_{2},\,\cdots ,\,a_{n},\,\cdots$

(ii)   $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$   oder   $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots$

(iii)  $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$   oder   $\sum _{n=1}a_{n}\,$   oder   $\sum a_{n}\,$ .
Die Formen ii und iii werden fast ausschließlich gebraucht wenn das Anhäufen der Partialsummen relevant ist.   Mit dieselben Formen kann auch die Folge  $(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})_{n=1,2,\cdots }$  gemeint sein. Und auch noch die Zahl  ${\textstyle \,\lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})}$ .

Komplizierend ist weiter, dass das Wort  'Reihe'  auch vorkommt in Sätze wie
"Die Folge $(n)_{n=1,2,\cdots }$ wird  'Reihe der Folge $(1)_{n=1,2,\cdots }$'  genannt" ;
gleichbedeutend mit
"Die Folge $(n)_{n=1,2,\cdots }$ wird  'Partialsummenfolge der Folge $(1)_{n=1,2,\cdots }$'  genannt" .
Die Wörter 'Reihe' und 'Partialsummenfolge' beziehen sich hier auf eine Abbildung zwischen Mengen von Folgen. Ein solcher Abbildung kann nicht 'konvergent' oder 'divergent' sein, und kann keine 'Summe' und keine 'Glieder' haben.

(Verbesserunge? Dank.  Erweiterde Grüße aus Holland.) --Hesselp (Diskussion) 20:37, 11. Mär. 2021 (CET)

Neun Quellen, von die Beziehung zwischen den Namen 'Reihe' und 'Folge'

Die folgenden Zitate haben den Absicht der Inhalt meiner vorherigen Beiträge 1. März 2021,  8. März 2021,  11. März 2021 und auch 20. Januar 2016,  zu unterstützen.
Kurz: Es gibt nur EINEN Begriff  'Abbildung auf N',  traditionell 'Reihe' und heutzutage (etwa letztes 100 Jahre) oft 'Folge' genannt.  'Konvergent' erscheint in ZWEI Bedeutungen: 'Summenkonvergent' (traditionell, wenn die Folge 'Reihe' heißt) versus 'Gliederkonvergent' (modern, wenn die Folge 'Folge' heißt).

1.  R. Geigenmüller, Leitfaden und Aufgabensammlung zur höheren Mathematik, I. Band, 7. Aufl. 1907, S.264

Jene Folge von Zahlen wird eine  R e i h e  und die einzelnen Zahlen werden die  G l i e d e r  der Reihe genannt.

2.  L. Bieberbach, Differentialrechnung, 3.Aufl. 1928, S.34  [4]

Wir legen unseren Betrachtungen eine Zahlenfolge  u₁, u₂, u₃, ···  zugrunde und nehmen uns vor, den Summenbegriff auf diese Folge von unendlich vielen Zahlen zu übertragen. Zum Zeichen dieses Vorhabens pflegt man gern die Glieder der Folge durch Pluszeichen zu verbinden statt sie durch Kommata zu trennen und von einer unendlichen Reihe statt einer unendlichen Folge zu reden: u₁ + u₂ + ···  Durch diese neue Schreibweise ist natürlich der Begriff "Summe einer unendlichen Folge oder Reihe"  noch nicht festgelegd, sondern dadurch sind nur die Reihenglieder  u  erneut aufgeschrieben.

3.  K. Hoffman , Analysis in Euclidean Space, 1975, S.35  [5] [6]  (Neue Ausgabe 2007)

In many problems, we are given a sequence  ${\textstyle \{X_{n}\}}$  and we are interested in the convergence of the successive sums. We then speak of the infinite series  ${\textstyle \sum _{n}X_{n}}$

4.  E. Bishop, D.S. Bridges, Constructive Analysis, 1985, S.31  [7] [8]

A sequence which is meant to be summed is called a series.  A series is said to converge to its sum.  Thus the sequence  ${\textstyle \{2^{-n}\}_{n=1}^{\infty }}$  converges to 0 as a sequence, but as a series it converges to 1.  [...]  The series  ${\textstyle \{x_{n}\}}$  is often loosely referred to as the series  ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$  .   (Hesselp: Wer kann diese Sätze hier aus der deutschen Version dieses Buches zitieren?)

5.  H.J. Keisler, Elementary Calculus, 2nd Edition 1986, revised Jan. 2021, S.501   [9]  (1st Edition 1976)

When we wish to find the sum of an infinite sequence $\langle a_{n}\rangle$, we call it an infinite series and we write it in the form $a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots$

6.  remarque (Pseud.), Les-Mathématiques.net, “Définition de la notion de série numérique”, 2011, 21. Beitrag  [10]

En fait la série et la suite sont vraiment à la base le même objet, mais ce sont les notions de convergence pertinentes qui diffèrent (plus les opérations algébriques comme le produit) et on introduit naturellement un vocabulaire différent et une notation différente et naturelle.

7.  user 2913 (Pseud.), Mathematics Educators Stack Exchange, “How can I teach my students the difference between a sequence and a series?”, 2014, 4. Antwort  [11]

In modern terms, one might say that a sequence or a series is simply a function $f{:}\,\mathbb {N} {\to }\mathbb {R}$  --  the same in both cases. I think the significance of these observations is that a sequence and a series are not (readily) distinguished by what they are. They are distinguished by how they are used. We speak of the "sum" of series and the limit of the "terms." The words "sequence" and "partial sum" began to be used, I suppose, to help clarify the intended use. [...] To me, the notion of a sequence and a series are intrinsically difficult to keep straight, the capital sigma being the main difference (or the plus dot-dot-dot).

8.  E.P. van den Ban, Opgaven Inleiding Analyse (Univ. Utrecht), 2003, S.18  [12]

Een reeks is zodoende een rij, waarbij de notatie aangeeft dat we de intentie hebben te sommeren.  (Eine Reihe ist deshalb eine Folge, wo die Notation darauf hinweist dass wir die Absicht haben zu summieren.)

9.  E.P. van den Ban, Dictaat Functies en Reeksen (Univ. Utrecht), 2019, S.54  [13]

We gebruiken de notatie ${\textstyle \sum _{k\geq 0}a_{k}}$  om aan te geven dat we de intentie hebben om de elementen van de rij $(a_{n})$ te sommeren.  (Wir wählen die Notation ${\textstyle \sum _{k\geq 0}a_{k}}$  um zu zeigen dass wir beabsichtigen die Elemente der Folge $(a_{n})$ zu summieren.)

Diese Autoren unterscheiden deutlich zwischen dem Inhalt eines Konzepts und seinem Namen und Schreibweisen. Wichtig (mMn). --Hesselp (Diskussion) 12:22, 17. Mär. 2021 (CET)

10. (Nachtrag)   Grote Nederlandse Larousse Encyclopedie, in 25 delen (1972-79), 20. Band 1978, S. 138-9  R e e k s

R e i h e  (Math.) Unbegrenzter Folge von Glieder, die nach einem bestimmten Gesetz gebildet werden. Eine Reihe wird $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+\ldots +a_{n}+\ldots \$geschrieben; [..] . --Hesselp (Diskussion) 09:57, 27. Mai 2021 (CEST)

11. (Nachtrag2)   D.A. Quadling, Mathematical Analysis, 1955, VIII Infinite Series, S.85 [14]

When the sequence u_r is being considered in relation to its sum sequence, it is frequently referred to as an INFINITE SERIES. The series is denoted by the symbol Σu_r ; no numerical value is associated with this symbol, which is simply a convenient name for the series whose rth term is u_r .

S. 86 (verkürzt):  If the sum sequence of u_r has a limit, the infinite series Σu_r is said to be CONVERGENT [..].

S. 74 (verkürzt):  If there is a number l with [..] then the sequence TENDS TO l . --Hesselp (Diskussion) 14:00, 7. Jun. 2021 (CEST)

Wien bleibt Wien

Erläuterung bei dieser Bearbeitung, 25. März 2021.

Eine Folge (eine nach einem bestimmten Gesetz gebildeten Aufeinanderfolge von Glieder / eine Abbildung-auf-N) bleibt eine Folge, bleibt dasselbe mathematische Object/Begriff,
auch wenn man nur an dem Zusammenlaufen ihrer Partialsummen interessiert ist,
auch wenn man das Object mit Pluszeichen oder dem Sigmazeichen notiert,
auch wenn man das Object mit der traditionellen Name "Reihe" benennt (vor etwa 1900 war "Folge" kein Fachwort),
auch wenn man eine summierbare Folge mit "konvergente Reihe" benennt  (mit dem Wort "konvergent" gemeinnt in der traditionellen Bedeutung: 'zusammenlaufen der Partialsummen der Glieder' ).

Weiter.
Eine Reihe (eine nach einem bestimmten Gesetz gebildeten Aufeinanderfolge von Glieder / eine Abbildung-auf-N) bleibt eine Reihe, bleibt dasselbe mathematische Object/Begriff,
auch wenn man an etwas anderes wie das Zusammenlaufen ihrer Partialsummen interessiert ist,
auch wenn man das Object mit Kommas zwischen der Glieder notiert (wie z.B. Cauchy, von Mangoldt-1929) statt Pluszeichen,
auch wenn man das Object mit dem moderneren Name “Folge” benennt.

Und noch dieses Faktum.
Eine Folge/Reihe (eine nach einem bestimmten Gesetz gebildeten Aufeinanderfolge von Glieder / eine Abbildung-auf-N) bleibt eine Folge/Reihe, bleibt dasselbe mathematische Object/Begriff,
auch wenn man das Objekt mittels die Differenzen seiner Glieder notiert.
Beispiel: Die Quadratenfolge/Quadratenreihe bleibt die Quadratenfolge/Quadratenreihe,
auch wenn man das Objekt notiert wie  ${\textstyle (\sum _{i=1}^{n}2i{-}1)_{n=1,2,\cdots }}$  oder  ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }2i{-}1}$  oder  $1+3+5+7+\cdots$  .

--Hesselp (Diskussion) 18:27, 25. Mär. 2021 (CET)

Vorschlag 26. März

Haraldmmueller schreibt:  " Aus der Definition folgt, dass jede Zahlenfolge als Reihe betrachtet werden kann, indem ihre Glieder $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ als Partialsummen der Folge $a_{0},(a_{1}-a_{0}),(a_{2}-a_{1}),(a_{3}-a_{2}),\dots$ aufgefasst werden. "

Meine Antwort (Hesselp):  Okay.  Aber auch indem Haraldmmueller und Hesselp und ... und ..., die Glieder einer beliebigen Zahlenfolge (a_n) NICHT als Partialsummen ihrer Differenzenfolge auffassen, sind die Glieder der Folge (a_n) die Partialsummen einer anderen Folge. Deshalb folgt aus der WP-Definition (3. Satz) dass eine beliebigen Zahlenfolge auch eine “Reihe” ist.  Wo bleibt den Unterschied?  Gibt es ein Unterschied?

Also ist informativ für den Leser, und ist mein Vorschlag: " Achtung. Aus der präzise Definition folgt, dass jede Zahlenfolge eine "Reihe" ist. Weil die Glieder  $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\cdots$  immer die Partialsummen der Folge   $a_{0},(a_{1}-a_{0}),(a_{2}-a_{1}),(a_{3}-a_{2}),\cdots$  sind. "
--Hesselp (Diskussion) 00:27, 26. Mär. 2021 (CET)

Ich schreibe Deinen Vorschlag gern einmal in korrektem Deutsch und nach WP-Konventionen hin, damit wir die relevanten Unterschiede sehen:

Aus der präzisen Definition folgt, dass jede Zahlenfolge eine "Reihe" ist, weil die Glieder $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\cdots$ immer die Partialsummen der Folge $a_{0},(a_{1}-a_{0}),(a_{2}-a_{1}),(a_{3}-a_{2}),\cdots$ sind.

Änderungen: "Achtung" weg - sowas schreiben wir in der WP nicht; Grammatikkorrektur bei "präzise"; Grammatikkorrektur ". Weil" --> ", weil" (keine alleinstehenden Gliedsätze); einige &nbsp weg, weil unnötig.

Inhaltlich willst Du offenbar mein "Betrachten" und "Auffassen" durch ein "Sein" ersetzen. Das ist nicht von der Hand zu weisen (ein grob analoges Beispiel: Der Satz "Einen Hund kann man als Säugetier sehen" ist anfechtbar; "Ein Hund ist ein Säugetier"!). Historisch und m.W. heute noch im Schulunterricht allerdings wurde ein (wie immer wolkiger) Unterschied zwischen den beiden gemacht, daher ist meine Darstellung als "Auffassung" auch legitim. Ich finde meine Version didaktisch/erklärend etwas besser, weil sie den "Prozess" vom Historischen/schulisch Gelehrten zur Vereinheitlichung expliziter macht. Darüberhinaus stellt sich im Hintergrund natürlich wie immer die ontologische Frage mathematischer Kosntrukte(!)/Entitäten(!) ... Eine Formulierung, mit der ich leben könnte:

Aus der obigen präzisen Definition folgt, dass umgekehrt jede Zahlenfolge $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ eine Reihe ist, weil ihre Glieder ja die Partialsummen der Folge $a_{0},(a_{1}-a_{0}),(a_{2}-a_{1}),(a_{3}-a_{2}),\dots$ sind.

Das "umgekehrt" weist darauf hin, dass einerseits eine Reihe eine bestimmte Folge ist (nämlich der Partialsummen), andererseits nun aber eine Folge auch eine bestimmte Reihe ist (nämlich der gliedweisen Differenzen).

--Haraldmmueller (Diskussion) 10:44, 26. Mär. 2021 (CET)

&Haraldmmueller. Vielen Dank für deine Reaktion. Die deutsche Grammatik bleibt ein Problem für mich.

Du schreibst: "Historisch .. wurde .. ein Unterschied zwischen den beiden [Hesselp: der Begriff mit Name Folge, und der Begriff mit Name Reihe; ja?] gemacht ."   Meine Suche in der Literatur – über fünfzig Jahre – zeigt jedoch nur dass viele Autoren (sehr grob gesagt: seit 1922, Konrad Knopp) weltweit VERSUCHT HABEN zwei Begriffe zu beschreiben/definieren. Und dass das NIEMALS gelungen ist (kann jemand ein konkretes Gegenbeispiel nennen?).

Immer wieder geht es um verschiedene Schreibweisen/Notationsformen (oder um Unsinn wie bei James Stewart: If I try to add the terms of an infinite sequence (a_n), I get an expression of the form a₁+a₂+a₃+ ··· which is called an infinite series.).  Ich habe etwa dreißig (!) inhaltlich unterschiedliche 'Definitionen' gefunden für was eine Reihe 'ist'.  In diesem Text, mit Quellen (Abschnitt  6. Grote Variatie ...; in meiner Muttersprache) ist das vielleicht auch für Deutschsprachigen zu sehen.

In den Niederlanden ist das Wort reeks (= Reihe) im Jahre 1960 im Schulunterricht konsequent ersetzt durch rij (= Folge). Und convergente reeks heißt sommeerbare rij (= summierbare Folge).

Dein Satz "Das 'umgekehrt' weist darauf hin ..."  bleibt für mich ganz unklar. Soll ich die wachsenden Quadratzahlen "eine Reihe" nennen - "Quadratenreihe" - weil ich schreiben kan (oder denken kann):  1, 1+3, 1+3+5, ··· (A) , oder  1+3+5+··· (B)?  Oder "Quadratenfolge", wenn ich nicht an jener Notationsform gedacht hatte?   Ist es "Quadratenreihe" oder "Quadratenfolge" wenn das Objekt (die Abbildung der natürlichen Zahlen in den Quadratzahlen) irgendwo notiert steht wie  1, 2+2, 3+3+3, ···(C), oder  1×1, 2×2, 3×3, ···(D), oder ...?

Deine Formulierung

Aus der obigen präzisen Definition folgt, dass umgekehrt jede Zahlenfolge $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\dots$ eine Reihe ist, weil ihre Glieder ja die Partialsummen der Folge $a_{0},(a_{1}-a_{0}),(a_{2}-a_{1}),(a_{3}-a_{2}),\dots$ sind.

hat nicht meine Anführungszeichen bei das Wort Reihe. MMn geht dabei etwas sehr wesentliches verloren. Ich sehe nun dass ich meinen Absicht mit die Anführungszeichen verständlicher/prägnanter formulieren kan wie:

Aus der obigen präzisen Definition folgt, dass jede Zahlenfolge $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\cdots$ eine Reihe ist, weil ihre Glieder ja die Partialsummen der Folge $a_{0},(a_{1}-a_{0}),(a_{2}-a_{1}),(a_{3}-a_{2}),\cdots$ sind. Die Wörter Reihe und Folge sind beiden Namen für einen Begriff das im Fachsprache definiert werden kann wie "Abbildung auf den natürlichen Zahlen".

--Hesselp (Diskussion) 13:40, 27. Mär. 2021 (CET)

Wenn Mathematikinteressierte diskutieren, sollten sie ihre impliziten Annahmen klar statuieren, damit sie die Herkunft ihrer Urteile und Bewertungen möglichst deutlich begründen können. Ich mache das einmal:

Annahme 1: Du verstehst perfekt deutsch (auch wenn Du Dir beim Formulieren im Deutschen schwer tust). Grund der Annahme: Wenn das nicht so ist, dann wird bei Argumenten Deinerseits nie klar sein, ob sie auf einer sachlichen Einschätzung oder einem Missverständnis des Deutschen Deinerseits beruhen; diese Unklarheit will ich mir und uns ersparen.

Annahme 2: Ein Lexikontext darf keine Annahmen zur Semantik und Pragmatik von Zeichen machen, die fachspezifisch sind, oder wo die Semantik oder Pragmatik nicht weit verbreitet sind. Der Grund dafür ist, dass ein Lexikontext für alle Interessierten vorgesehen ist, und insbesondere gerade die, die fachspezifische oder spezielle Konventionen nicht kennen.

Zu Deinen Sätzen, die ich jeweils kursiv und eingerückt setze:

1. Du schreibst: "Historisch .. wurde .. ein Unterschied zwischen den beiden [Hesselp: der Begriff mit Name Folge, und der Begriff mit Name Reihe; ja?] gemacht ."   Meine Suche in der Literatur – über fünfzig Jahre – zeigt jedoch nur dass viele Autoren (sehr grob gesagt: seit 1922, Konrad Knopp) weltweit VERSUCHT HABEN zwei Begriffe zu beschreiben/definieren. Und dass das NIEMALS gelungen ist.

Du widersprichst mir nicht, sondern stimmst mir zu: Ich sage, dass ein Unterschied gemacht wurde; Du sagst ebenso, dass "viele Autoren versucht haben zwei Begriffe zu beschreiben", dass sie also einen Unterschied gemacht haben. Dass sie keinen Erfolg hatten, irgendeinen Unterschied mathematisch präzis zu fassen, sagt ja nicht, dass es dennoch einen pragmatischen, also Verwendungsunterschied gab - der ja genau der Grund für Versuche der "vielen Autoren" war (und dafür, dass wir einen getrennten Artikel hier in der WP haben).

2. In den Niederlanden ist das Wort reeks (= Reihe) im Jahre 1960 im Schulunterricht konsequent ersetzt durch rij (= Folge). Und convergente reeks heißt sommeerbare rij (= summierbare Folge).

Leider kenne ich den Zustand in Österreich, der Schweiz und Deutschland nicht (ich bin kein Mathematiklehrer); ich weiß nur, dass in meinem Gymnasialunterricht in den späten 1970ern in Österreich der Unterschied gemacht wurde.

3. Dein Satz "Das 'umgekehrt' weist darauf hin ..."  bleibt für mich ganz unklar.

Zuerst allgemein: Das deutsche "umgekehrt" (wie z.B. auch das englische "conversely") dient dazu, eine "gerichtete Denkfigur" im Verständnis umzukehren. Beispiele gibt es in der Mathematik und in vielen anderen Bereichen zuhauf. Ich nehme hier nur zwei Beispiele aus willkürlichen WP-Artikeln:

Priorität: Dabei kann der Rang sich aus der zeitlichen Reihenfolge von Ereignissen ergeben (Dringlichkeit) oder umgekehrt eine Reihenfolge aufgrund einer Bewertung (Priorisierung) festgelegt werden. - die Denkfigur ist "aus Reihenfolge ergibt sich Rang", die durch das "umgekehrt" zur Denkfigut "aus Rang ergibt sich Reihenfolge" wird.

Newton (Einheit): ... erfährt ein Körper der Masse 1 kg dort eine Gewichtskraft von 9,81 N. Umgekehrt ist 1 Newton die Gewichtskraft, die auf einen Körper mit der Masse 102 Gramm wirkt. Die Denkfigur ist "Masse führt zu Gewichtskraft"; durch das "umgekehrt" wird die Vorstellung "Gewichtskraft bedeutet Masse" geweckt.

Nichts anderes sagt mein Satz. In der Definition steht ja aus [einer Folge] $(a_{i})$ kann man eine neue Folge ... der Partialsummen bilden ... Die[se] Folge der Partialsummen heißt Reihe. Die Denkfigur ist also "Aus Folge bilde Reihe." Diese Denkfigur wird nun für das Verständnis umgedreht: "Aus Reihe kann man auch Folge bilden", nämlich indem man die Folge der Glieddifferenzen erzeugt.

Es geht hier, um das noch einmal klar zu sagen, um einen (alten) didaktischen Kunstgriff: "Du verstehst schon X, durch einen einfachen Gedankengang - das "Umkehren" - kannst Du Dich nun auch einem neuen Sachverhalt Y nähern." - mehr nicht.

4. Zu Deinen Fragen

Soll ich die wachsenden Quadratzahlen "eine Reihe" nennen - "Quadratenreihe" - weil ich schreiben kan (oder denken kann):  1, 1+3, 1+3+5, ··· (A) , oder  1+3+5+··· (B)?  Oder "Quadratenfolge", wenn ich nicht an jener Notationsform gedacht hatte?   Ist es "Quadratenreihe" oder "Quadratenfolge" wenn das Objekt (die Abbildung der natürlichen Zahlen in den Quadratzahlen) irgendwo notiert steht wie  1, 2+2, 3+3+3, ···(C), oder  1×1, 2×2, 3×3, ···(D), oder ...?

sehe ich nicht, was das mit didaktisch motivierten (und nicht von mir stammenden) Erklärung der wechselweisen Beziehungen von bestimmten Reihen und Folgen zu tun hat. Ich wüsste auch nicht, wie man eine bessere Erklärung in diesem WP-Artikel durch solche Überlegungen erreichen kann (es kann sein, dass man diese Überlegungen didaktisch einsetzen kann - ich habe nicht drüber nachgedacht). Mit den Themen "Partialsummenfolge" und "Glieddifferenzenreihe" haben sie, soviel ich sehe, nichts zu tun.

5. Deine Formulierung ... hat nicht meine Anführungszeichen bei das Wort Reihe. MMn geht dabei etwas sehr wesentliches verloren.

Es gibt keine allgemein verständliche Pragmatik und halbwegs genaue Semantik für (unqualifizierte) Anführungszeichen um einzelne Worte - siehe z.B. den zweiten Absatz des WP-Artikels Anführungszeichen. Damit ist eine unqualifizierte Verwendung von Anführungszeichen wegen meiner Annahme 2 im besten Fall irrelevant, im schlechtesten Fall irreführend (weil sich etwa jemand fragen kann, ob der Begriff unter Anführungszeichen nun ironisch verstanden werden soll). Daher muss man unqualifizierte Anführungszeichen in Lexikontexten weglassen (während qualifizierte Anführungszeichen in Formulierungen wie das Wort "Folge" oder er sagte: "Ja." in Ordnung sind - hier ist jeweils klar, was mit den Anführungszeichen gemeint ist).

6. Deinen letzten Satz habe ich einmal umformuliert - zum einen in ein korrektes Deutsch gebracht; zum zweiten Abbildung auf den [ich nehme an, die] natürlichen Zahlen zu Abbildung von den natürlichen Zahlen [auf eine Menge] geändert, da m.E. das erste falsch ist: Wenn eine Menge M auf die natürlichen Zahlen abgebildet wird, entsteht keine Folge, da ein Element M nur auf eine Zahl abgebildet werden kann; die Folge (1, 1, 1, ...) könnte daher keine "Abbildung auf die natürlichen Zahlen" sein. Umgekehrt geht's aber.

... oh, ich sehe grade, dass das niederländische "af" auf deutsch "ab" bedeutet (und nicht "auf"). Ich meine, Du hast das falsch übersetzt, weil's so nahe dran ist. Wenn man Deinen Satz umformuliert zu Abbildung ab den natürlichen Zahlen, dann würde das in besserem Deutsch tatsächlich Abbildung von den natürlichen Zahlen heißen, und Du hast Dir das Richtige gedacht - nur bei der Formulierung im Deutschen kam dann was Falsches raus. Interessant, was aus Kleinigkeiten werden kann ...

Den damit umformulierten Satz

Die Wörter Reihe und Folge sind beide Bezeichnungen für einen Begriff, der fachsprachlich "Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine Menge" bedeutet.

können wir gern aufnehmen,

--Haraldmmueller (Diskussion) 11:21, 28. Mär. 2021 (CEST)

@Haraldmmueller. Kommentar bei Deinem Punkte 1 - 6.

Ad 1.   Bei Deinem "dass es dennoch einen pragmatischen, also Verwendungsunterschied gab" :

Stimmt. Und dieser Verwendungsunterschied - die Kontextabhänglichkeit der Wahl zwischen die Namen Folge und Reihe, und die Wahl der Notationsform - muss auch im Artikeltext enthalten sein/werden.  Mit dabei unbedingt auch: "konvergente Folge" bedeutet zusammenlaufen der Glieder, "konvergente Reihe" bedeutet zusammenlaufen der Partialsummen.

Der obige Abschnitt "Neun Quellen, ..."  zeigt was andere zum Thema 'Verwendungsunterschied' schrieben.

Ad 1-3-4.   In Bücher der letzten etwa 350 Jahre (seit Gregory und Brouncker, beide 1667) sieht man das Wort Reihe auf verschiedene Weisen introduziert. Dabei sind:

- Reihe = Folge = Unendliche Aufeinanderfolge von Größen welche nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind = Folge = Abbildung von N in eine Menge.  Weil nach dieser Auffassung die Wörter Reihe und Folge beide Bezeichnungen sind für denselben Begriff, scheint es mir Unsinn um hinzuzufügen:  " Umgekehrt: die Wörter Folge und Reihe sind beide Bezeichnungen für denselben Begriff ".

- Reihe von ... = Partialsummenfolge von ... , wie in:  "Die Folge 1, 4, 9, ... ist (die) Partialsummenfolge (oder: ist die Reihe) der Folge 1, 3, 5, ... ".  Hier könnte man sicherlich sagen:  "Umgekehrt: die Folge 1, 3, 5, ... ist (die) Glieddifferenzenfolge der Folge 1, 4, 9, ... ".  Aber, nun kann man nicht reden von "eine konvergenten Reihe", weil die Abbildung (von einer Folgenmenge in eine Folgenmenge) mit Name "Partialsummenfolge/Reihe" nicht konvergent oder divergent sein kann.

- Reihe = Ausdruck / Symbol  = eine Ausdruck wie $\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,$ und auch wie ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$.

Aber, nun kann man ebenfalls nicht reden von "eine konvergenten Reihe", weil Konvergenz und Divergenz Eigenschaften sind einer Folge (eines Begriffs), nicht eines Ausdrucks.

Dabei kommt, dass es unmöglich ist zu formulieren welcher Begriff mit dem Symbol $\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,$ ausgedrückt wird. Nicht die Folge ${\textstyle (\sum _{i=1}^{n}a_{i})_{n=1,2,\cdots }}$, denn die Glieder dieser Folge korrespondieren nicht mit was man die Glieder der Reihe $\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,$ nennt. Und ebensowenig den Grenzwert der Folge ${\textstyle (\sum _{i=1}^{n}a_{i})_{n=1,2,\cdots }}$, weil eine Zahl keine Glieder hat.

Ad 5.   Du hast recht. Der Satz: "Die Wörter Reihe und Folge sind beide Bezeichnungen für einen Begriff, der fachsprachlich 'Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine Menge' bedeutet."  ist eindeutiger/informativer wie nur das Wort Reihe mit Anhäufungszeichen.

Ad 6.   Einverstanden mit die 'umformuliertem Satz'.  (Hier - 7. Satz - sehe ich dass "Abbildung auf D" auch existiert.)

7.   Das die Bedeuting des Worts Reihe immer etwas 'wolkig' war, zeigen folgenden Zitate:

- Fr. Autenheimer, Elementarbuch der Differential- und Integralrechnung, 5. verbesserte Aufl. bearbeitet von A. Donadt, 1901, Kap. IV :  "Da also die Existenz einer bestimmten Summe das unterscheidende Merkmal der konvergenten und divergenten Reihen ist, so versteht man unter einer Reihe nicht nur die Folge der Glieder  u₀,  u₁,  u₂, ....  sondern nennt man in prägnantem Sinne die Summe   u₀ + u₁ + u₂ + ... + u_n + ...  die  R e i h e ."   Ergänzung:  Das Zitat steht nicht bei Autenheimer (1821-1895) 1. Aufl. 1865 bis 4. Aufl. 1895.  Es erscheint in der von Alfred Donadt (1857-?) bearbeitete 5. Aufl.1901, S.60  bis  7. Aufl.1922, S.62.

- J.A. Serret (aus dem Französischen übersetzt von A. Harnach, 1884), Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung, I. Band, 2. Aufl. bearbeitet v. G. Bohlmann, 1897, S.133:

"Die Summe einer Reihe  u₀, u₁, u₂, ... u_n , ...  oder auch kürzer die Reihe selbst  heißt konvergent,  wenn die Summe der n ersten Glieder einer bestimmten endliche Grenze zustrebt."   Ergänzung: Das französischen Original gab nur einfach  " Une série  u₀, u₁, u₂, ... u_n-1 , ...   est dite convergente lorsque la somme des n premiers termes tend vers une limite finie"  (Cours de Calcul Différentiel et Intégral, 1-e Éd.1868, p.135  bis  4-e Éd.1894, p.132)

Hesselp (Diskussion) 13:48, 30. Mär. 2021 (CEST).   Zwei Ergänzungen eingeführt. -- Hesselp (Diskussion) 19:25, 29. Apr. 2021 (CEST)

Fehlt noch im Artikeltext

Es soll noch gesagt werden dass traditionell (sehr?) häufig "Reihe" - und nicht "Folge" - gewählt wird in Kontexten wo das Zusammenlaufen DER PARTIALSUMMEN der Glieder relevant ist. (Also auch: wenn die Absicht ist mittels der Zahlenfolge eine (irrationale) Zahl zu repräsentieren.) Und dazu, dass in diesen Kontexte die Folge (Reihe genannt) oft mit Pluszeichen oder mit dem Sigmazeichen notiert wird. Schließlich, dass "konvergent" in "konvergente Reihe" steht für das zusammelaufen der Partialsummen der Glieder, und in "konvergente Folge" für das zusammenlaufen von nur den Glieder. Siehe oben:30. März unter "Ad 1.", und 17. März 'Neun Quellen'.
Wie kann das, besser wie ich, auf richtig deutsch formulieren? --Hesselp (Diskussion) 15:15, 2. Apr. 2021 (CEST)

Fragen bei die Einzelnachweisen 'Walz' und 'Forster'

- Kann jemand hier zitieren was im "Lexikon der Mathematik" (Guido Walz, 2000) steht als Definition des Begriffes (oder des Ausdrucks) "Reihe" ?  Ist das geeignet zur Aufname ?

- Das in die Quelle "Otto Forster, Analysis-1" bezeignete Buch fängt der Reihe-Abschnitt an mit (ein wenig verkürzt):
Wenn man die Glieder einer Folge reeller Zahlen durch ein Pluszeichen verbindet, entsteht - grob gesprochen - eine (unendlichen) Reihe.
und
Die Partialsummenfolge einer Folge reeller Zahlen (a_n) heißt:  (unendliche) Reihe mit den Gliedern a_n .
Also ist  "Reihe mit Glieder a_n"  eine Name für eine Partialsummenfolge mit Glieder (a₁+...+a_n).
Kann ein Leser das verstehen? Oder muss es nur auswendig gelernt werden ('im Kopf gestampft', ist das deutsch?)   Wer nennt Argumente zur Beibehaltung dieser Forster-Quelle?  Mit Aufname dieser zwei Definitionszitate?
(Beide Quellen kommen von Christian1985, 3./7. Jan. 2013)  -- Hesselp (Diskussion) 18:03, 15. Apr. 2021 (CEST)

Bitte Argumente

Wer gibt hier Argumente gegen Erwähnung im Reihe-Artikel auf welche Weise der Begriff 'Reihe' eingeführt wird in 'Forster' (S. 37) und 'Amann-Escher' (S. 195) ?  Sehe meinen Artikel-Beitrag 22. Apr. 2021 (und 24. Apr. 2021). -- Hesselp (Diskussion) 22:42, 24. Apr. 2021 (CEST)

Nochmal   (@Haraldmmueller: @Googolplexian1221: @Christian1985: @Kmhkmh:)
Welche Benutzer halten es nicht für sinnvoll, den Inhalt zu zeigen der mit Titel und Seite genannte Quellen zur Unterstützung einer Definition im Artikel?   Auf Grund von welche Argumente?
Dreimal wurde von Benutzer Kmhkmh zurückgesetzt:

3. Otto Forster: Analysis Band 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2, S. 37 (12. Aufl. 2016, S. 43).   Hier wird "Reihe" auf zweierlei Weise introduziert:

- Aus eine Folge reeller Zahlen entsteht eine Reihe, indem man, grob gesprochen, die Folgenglieder durch ein Pluszeichen verbindet.

- Die Folge $(s_{n})$ der Partialsummen einer Folge $(a_{n})$ reeller Zahlen heißt: Reihe mit den Gliedern $a_{n}$ .

4. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1, Birkhauser, 3. Aufl. 2006, S. 195:

Die Folge ${\textstyle \,(s_{n}):=(\sum _{k=0}^{n}x_{k})_{n\in \mathbb {N} }\,}$ einer Folge $(x_{k})$ heißt Reihe.

Die $x_{k}$ sind die Summanden der Reihe.   Die $s_{n}$ sind die Partialsummen der Reihe, auch: die Glieder der Reihe.

-- Hesselp (Diskussion) 23:44, 28. Apr. 2021 (CEST)

"Glieder einer Reihe":  $a_{n}$ oder $s_{n}$ ?

Quelle 'Foster' hat $\,a_{n}\,$ (Reihe mit den Gliedern $a_{n}$).
Quelle 'Amann-Escher' hat $\,s_{n}\,$ (Eine Reihe ist [ ] eine Folge [ ] deren Glieder $s_{n}$ [ ] ) .
Das Reihe-Artikel hat beide:
- Glieder der Reihe auch abgekürzt als $s_{n}\,$  (Sektion "Notation"),
- Man kann innerhalb einer konvergenten Reihe die Glieder [$a_{n}$] durch Klammern zusammenfassen.  ("Klammerung"),
- die Reihe ihrer Absolutglieder [$|a_{n}|$]  ("Absolute und unbedingte Konvergenz"),
- alle Glieder $a_{n}$ der Reihe $S$   ("Konvergenzkriterien>Majorantenkriterium").

Und noch "Summanden".   'Amann-Escher' hat:  Die $x_{k}$ [= $a_{n}$] sind die Summanden der Reihe.  Entsprechend das Reihe-Artikel ("Konvergenzkriterien>Nullfolgenkriterium"):  die Folge $(a_{n})$ der Summanden.

Wer kann hier zeigen was Quelle 'Walz' hat?

Soll es im Reihe-Artikel einheitlich gemacht werden? -- Hesselp (Diskussion) 12:40, 22. Apr. 2021 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Googolplexian (Diskussion) 18:50, 5. Mai 2023 (CEST)

Darstellungsweisen für Folgen und Zahlen

Die viele Widersprüche ins heutigen Reiheartikel sind - mMn - nur zu vermeiden, wenn scharf Unterscheid gemacht wird zwischen:
- einerseits, "Reihe" (Reihe^H) als Name, genau wie "Zahlenfolge", für eine Abbildung von $\mathbb {N}$ in eine Menge-mit-Addition;
- anderseits, "Reihe" (oder "Reiheform") als Name für eine Darstellungsweise (Darstellungsform, Representation) einer Folge bzw. einer Zahl.

Um deutlich zu machen was ich unter "Darstellungsweise" verstehe (was man darunter versteht?) zeige ich hier einige, für Zahlenfolgen und für Zahlen. Fast alle ausgehend von einer gegeben unendliche Folge (a_n); nur die Determinantform basiert sich auf Matrizen (Abbildungen von $\mathbb {N} ^{2}$).
Sind Quellen erwünscht?
- Enzyklopädie der Mathematischen Wissenschaften, II. Analysis, 3.Teil,1. Hälfte, Heft 1 (1909, Pringsheim/Faber), S.4:  "Methoden zur Darstellung der Elementarfunktionen durch unendlichen Reihen, Produkte und Kettenbrüche" .
- K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, (1. Aufl. 1922) 6. Aufl. 1996, S. 100:  "Eine Zahlenfolge kann in der mannigfachsten Weisen gegeben sein [..] vor allem drei Arten [..]unendlichen Reihen, Produkte und Kettenbrüche" .

Summendarstellung einer Reihe^H/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$ und die Teilsummenabbildung.
Siehst aus wie $\ a_{1},\ a_{1}{+}a_{2},\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3},\ \cdots \quad$oder$\quad (a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})_{n=1,2,\cdots }\quad$oder$\quad \Sigma \,(a_{n})\quad$oder$\$ . . .   .

Produktendarstellung einer Reihe^H/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$ und die Teilprodukteabbildung.
Siehst aus wie $\ a_{1},\ a_{1}a_{2},\ a_{1}a_{2}a_{3},\ \cdots \quad$oder$\quad \Pi \,(a_{n})\quad$oder   . . .  .

Kettenbrüchedarstellung einer Reihe^H/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$ und die Kettenbrücheabbildung.
Siehst aus wie $\quad a_{1},\quad a_{1}{+}a_{2}^{-1},\quad a_{1}{+}(a_{2}{+}a_{3}^{-1})^{-1},\quad a_{1}{+}(a_{2}{+}(a_{3}{+}a_{4}^{-1})^{-1})^{-1},\ \cdots \quad$oder $\quad {\bf {(}}a_{1}{+}(a_{2}{+}(\cdots {+}a_{n}^{-1})\cdots )^{-1}{\bf {)}}_{n=1,2,\cdots }\quad$ oder$\quad {\bf {[}}a_{1};\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots ,\,a_{n}{\bf {]}}_{n=1,2,\cdots }\quad$oder  . . .  .

Cesàromitteldarstellung einer Reihe^H/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$ und die Cesàromittelabbildung.
Siehst aus wie $\ {\bf {(}}\,(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})/n\,{\bf {)}}_{n=1,2,\cdots }\quad$oder   . . .  .

Cesàrosummendarstellung einer Reihe^H/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$ und die Cesàrosummenabbildung.
Siehst aus wie $\ {\bf {(}}\,(na_{1}+(n-1)a_{2}+\cdots +2a_{n-1}+a_{n})/n\,{\bf {)}}_{n=1,2,\cdots }\quad$oder$\quad {\bf {(}}\,(a_{1}{+}(a_{1}{+}a_{2}){+}\cdots {+}(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n}))/n\,{\bf {)}}_{n=1,2,\cdots }\quad$oder$\quad {\text{C-}}\Sigma \,(a_{n})\quad$oder   . . .  .

Determinantendarstellung einer Reihe^H/Zahlenfolge, mittels einer Ausgangsmatrix $(a_{i,j})$ und die Determinantabbildung.
Siehst aus wie $\ (\det(a_{i,j})_{n\times n})_{n=1,2,\cdots }\$.

Summendarstellung einer Zahl, mittels einer Ausgangsfolge $(a_{n})$,  der Teilsummenabbildung  und der (partiellen) Grenzwertabbildung für Folgen.
Siehst aus wie ${\textstyle \ \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}\cdots {+}a_{n})\quad }$oder$\quad \Sigma ^{\infty }\,(a_{n})\quad$oder   . . .   .

Idem:  Produktendarstellung / Kettenbrüchedarstelling / Cesàromitteldarstellung / Cesàrosummendarstellung / Determinantendarstellung einer Zahl.

Kommentar?

Frage: Die Folge der wachsende Kwadratzahlen kann dargestellt als $\,\Sigma \,(2n-1)_{n=1,2,\cdots }\,$ und als $\,(n^{2})_{n=1,2,\cdots }\,$.  Eine Reiheform und eine ? ? form. Gibt's hier keine Name? -- Hesselp (Diskussion) 01:16, 1. Mai 2021 (CEST)

Drei Ergänzungen eingeführt. -- Hesselp (Diskussion) 23:29, 6. Mai 2021 (CEST)

Reihe^H für die historische Bedeutung

Im obigen Abschnitt (1. Mai 2021) änderte ich sechsmal "Reihe" zu " Reihe^H ". Um klarzustellen, dass hier die historische (in spezielle Kontexte zuweilen noch immer verwendete) Bedeutung gemeint ist.  Siehe: Unendliche Reihe (1929, von Mangoldt) = Zahlenfolge (1932, Knopp)  und  Mehrfache Bedeutung von "Reihe" – Brockhaus. --Hesselp (Diskussion) 12:08, 1. Jun. 2021 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Googolplexian (Diskussion) 18:51, 5. Mai 2023 (CEST)

Mehrfache Bedeutung von “Reihe” – Geschichtliches (Brockhaus)

Diskussion über den 'richtige' Bedeutung des Worts "Reihe" in der Mathematik, gab es schon längere Zeit. Und die Feststellung dass die Bedeutung von "Reihe" bei Benutzer der mathematischen Sprache nicht einheitlich ist, ist nicht meine Erfindung (Theoriefindung).  Zuverlässige(?) Quellen für diese Aussagen kann man finden in den Allgemeine deutsche Real-Encyklopädie für die gebildeten Stände — Conversations~Lexikon, Verlag F.A. Brockhaus.  Scans Brockhaus 1816-1908:

                                    Brockhaus-Zitate: "Progression" und "Reihe"

---

(Fett-Markierung: Hesselp)

- P r o g r e s s i o n  heißt jede nach einem bestimmten Gesetze fortlaufende Zahlenreihe, wie z. B. 5, 8, 11, 14 u.s.w.
2. Auflage (7. Band 1816 S. 896);   3. Auflage (7. Band 1817 S. 903).

- P r o g r e s s i o n , Fortschreitung, heißt in der Mathematik jede nach einem bestimmten Gesetze fortlaufende Zahlenreihe, wie z. B. 5, 8, 11, 14 u.s.w.
4. Auflage (7. Band 1817 S. 826);   5. Auflage (7. Band 1820 S. 849);   6. Auflage (7. Band 1824 S. 856)

- R e i h e , s. P r o g r e s s i o n
5. Auflage (8. Band 1820 S. 153);   6. Auflage (8. Band 1824 S. 138).

- P r o g r e s s i o n oder R e i h e , in der Mathematik eine Folge von Größen oder Zahlen, welche nach einem gegebenen Verhältnisse zu- oder abnehmen. [..] Die Lehre von den Progressionen findet nicht allein in der höhern Mathematik , sondern auch in mehren wichtigen Berechnungen im bürgerlichen Leben [..] ihre Anwendung.
7. Auflage (8. Band 1817 S. 873);   8. Auflage (8. Band 1835 S. 881).   (Nicht im 9. und 10. Auflage)

- R e i h e , arithmetische und geometrische, s. P r o g r e s s i o n .
7. Auflage (9. Band 1827 S. 143).

- R e i h e (series) nennt man jede Folge von Größen, welche nach einem gemeinschaftlichen Gesetze gebildet werden. Die in eine Reihe aufeinanderfolgenden Größen oder Theile heißen die Glieder derselben. Denjenigen Ausdruck hingegen, welcher das Bildungsgesetz der Glieder enthält, nennt man das allgemeine Glied der Reihe. [..] — Die zweite und viel ausgebreitere Gattung von Reihen enthält diejenigen, welche gleich von dem Anfangsgliede an die entwickelte Darstellung der Function einer veränderlichen Größe sind, nach deren Potenzen die Glieder der Reihe geordnet werden. Diese Reihen dienen zur genäherten Bestimmung des Werthes einer Größe, den man sonst entweder gar nicht, oder nur unter einer sehr verwickelten Gestalt zu finden vermag. Sollen solche Reihen für die Anwendung brauchbar sein, so mussen sie convergiren [..] Denjenigen Ausdruck, der die Summe einer bestimmten Anzahl von Gliedern finden lehrt, nennt man das summatorische Glied. [..] Die höhere Analysis befaßt sich vorzüglich und beinahe größtentheils mit der Auflösung der Function in unendliche Reihen [..].
8. Auflage (9. Band 1836 S.161).

- R e i h e , heißt in der Mathematik eine Folge von Größen, die nach einem gemeinschaftlichen Gesetze gebildet sind und die Glieder der Reihe heißen. Die einfachsten Reihen die arithmetischen Reihen der ersten Ordnung, z. B. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 u.s.w. Zu diesen Reihen gehört auch die Reihe der natürlichen Zahlen. [..] Eine geometrische Reihe ist eine solche [..] Alle bisher erklärten Reihen kann man auch Progressionen nennen. [..] — Eine ganz andere Gattung von Reihen sind solche, welche die Entwicklung irgend einer Function einer veränderlichen Größe bilden. [..] Ist die Summe einer Anzahl von Gliedern einer unendlichen Reihe, von Anfang an genommen, von dem vollständigen Werthe der ganzen Reihe desto weniger verschieben, je mehr Glieder genommen werden, so heißt die Reihe eine convergirende .
9. Auflage (12. Band 1847 S. 28);   10. Auflage (12. Band 1854 S. 659).

- P r o g r e s s i o n oder R e i h e nennt man in der Mathematik eine Folge von Größen oder Zahlen, welche nach einem gegebenen Gesetze zu- oder abnehmen. So ist z. B. die Reihe 3, 5, 7, 9, 11, 13 u.s.w. eine arithm. Reihe [..].
11. Auflage (12. Band 1867 S. 120).

- R e i h e , s. P r o g r e s s i o n.
11. Auflage (12. Band 1867 S. 388).

- P r o g r e s s i o n (lat.) nennt man in der Mathematik eine Reihe von Größen, deren jede aus der vorhergehenden nach einem gegebenen Gesetz gebildet wird.
12. Auflage (12. Band 1878 S. 123);   13. Auflage (13. Band 1886 S. 338)

- R e i h e , s. P r o g r e s s i o n.
12. Auflage (12. Band 1878 S.410).

- R e i h e (arithmet.), s. P r o g r e s s i o n.
13. Auflage (13. Band 1886 S. 586).

- P r o g r e s s i o n (lat.) [..]; in der Mathematik Bezeichnung für diejenigen Reihen (s. d.), in denen zwei auseinanderfolgenden Glieder entweder dieselbe Differenz (arithmetische P.) oder dasselbe Verhältnis (geometrische P.) haben.
14. Auflage (13. Band 1895 S. 455); . . . . . 14. Auflage (4. Nachdruck, 13. Band 1908 S. 454)

- R e i h e , in der Mathematik eine Folge von Gliedern, die nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind. Die einfachste R. sind die Progressionen (s.d.). — In der höhern Analysis versteht man unter einer unendlichen R. eine Summe a₁+a₂+a₃+... von unendlich vielen Zahlen a₁, a₂, a₃, ...; jedoch hat eine solche Reihe nur dann einen Sinn, wenn sie konvergiert, d.h. wenn die Summe s_n der n ersten Glieder [..] stets gleich einer endlichen Zahl ist, wie groß man auch die positive ganze Zahl auch wählen mag, und wenn es außerdem eine solche endliche Zahl s giebt, daß die Differenz s – s_n mit wachsendem n so klein wird, als man nur will. Diese Zahl s bezeichnet man dann als die S u m m e oder den G r e n z w e r t (limes) der unendlichen Reihe. [..] Man braucht die unendlichen R., um die irrationalen Zahlen [..] und die Funktionen darzustellen [..] (s. Taylorscher Lehrsatz.) [..] (S. Harmonische Reihe, Differenzenreihe.)
14. Auflage (13. Band 1895 S. 734); . . . . . 14. Auflage (2. Nachdruck, 13. Band 1898 S. 734)

- R e i h e , in der Mathematik eine Folge [fett Hesselp] von Gliedern, die nach einem bestimmten Gesetz gebildet sind. Die einfachste R. sind die Progressionen (s.d.). — In der höhern Analysis versteht man unter einer unendlichen R. den Grenzwert einer Summe a₁+a₂+a₃+... von unendlich vielen Zahlen a₁, a₂, a₃, ...; eine solche Reihe hat nur dann einen Sinn, wenn sie konvergiert, d.h. wenn die Summe s_n der n ersten Glieder [..] stets gleich einer endlichen Zahl ist, wie groß man auch die positive ganze Zahl auch wählen mag, und wenn es außerdem eine solche endliche Zahl s giebt, daß die Differenz s – s_n mit wachsendem n so klein wird, als man nur will. Diese Zahl s bezeichnet man dann als die S u m m e oder den G r e n z w e r t (limes) der unendlichen Reihe. [..] Man braucht die unendlichen R., um die irrationalen Zahlen [..] und die Funktionen darzustellen [..] (s. Taylorscher Lehrsatz.) [..] (S. Harmonische Reihe, Differenzenreihe.)
14. Auflage (3. Nachdruck, 13. Band 1903 S. 738); . . . . . 14. Auflage (4. Nachdruck, 13. Band 1908 S. 738)

Ist dies ausreichend zum Belegen der folgenden Beobachtungen?

- a. Früher wird allgemein "Reihe" (auch "Progression") gesagt wo es heute in der Regel "Folge" heißt. Noch in meinen Schuljaren ('50-er) war es: arithmetische Reihe 2, 4, 6, 8;  geometrische Reihe 2, 4, 8, 16; harmonische Reihe 1, 1/2, 1/3, 1/4 .

- b. "Folge" hat im Laufe des zwanzigsten Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt ("Folge" hat als Fachwort im Jahre 1908 noch keinen eigenen Artikel in der Brockhaus; kann jemand sehen wie das in der Auflagen 15 - 21 ist?).

- c. "Convergiren/konvergieren" bedeutete (auch noch in 1908) dass die Partialsummen (nicht die Glieder) einer 'Folge von Glieder' / 'Folge von Größen' / 'Folge von Größen oder Zahlen' einer Grenzwert nähern. (Wer kann sagen wenn 'summierbar' in der Brockhaus auftaucht?)

- d. Die 'zweite Gattung' und die Auffassung 'in der höhern Analysis' betrifft, gemäß der Zitate, nicht einen zweiten mathematischen Begriff aber die übliche Darstellung von Funktionen. Eine Darstellungweise welche zu beschreiben ist wie eine Darstellung mittels einer Ausgangsfolge, die direkte Multiplikation mit der Potenzfunktionenfolge, die Teilsummenabbildung, und die (partiellen) Grenzwertabbildung. Ein Ausdruck dieser Art in mathematischen Symbolen wird oft Reihe genannt.

Es gibt nicht nur der Brockhaus, aber auch Meyers Großes Konversations-Lexikon. Was "Reihe" betrifft habe ich noch keine Unterschiede im Vergleich mit Brockhaus gefunden. -- Hesselp (Diskussion) 21:01, 15. Mai 2021 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Googolplexian (Diskussion) 18:52, 5. Mai 2023 (CEST)

Eine Reihe ist ein spezielleres Objekt als eine Folge

Die obigen Bemerkung schrieb Googolplexian1221 hier (im vorletzten Satz); neben: "ist Z eine Menge, eine Gruppe oder ein Ring?". Ich kann ihm hier zustimmen. Denn "Abbildung auf N in einer Menge" (modern meistens 'Folge' genannt)  ist (etwas) allgemeiner als "Abbildung auf N in einer Menge mit definierten Differenzen der Elementen" (auch 'Reihe' genannt; das Existieren der Differenzen entspricht das Existieren der im Reihe-Artikel, Satz 3 genannte "anderen Folge".). Und dies ist allgemeiner als . . . und als . . . und als "Abbildung auf N in einer Zahlenmenge".

Hier, 13:22, 1. Jun. 2021 schreibt Googolplexian:  "Christian und ich haben in der Diskussion bereits ausführlich begründet, warum die Begriffe der Folge und der Reihe unterschiedlich sind [..] ".  Ich habe das nochmal studiert, und meine dass das dort genannte Kriterium paraphrasiert kann als:  "Die Elemente einer Folgenmenge-mit-Faltungsprodukt, nennt man Reihen".   Korrekt?   Aber . . . . ins Reihe-Artikel, Sektion 'Definition', sehe ich nichts davon. Dort steht etwas total anderes. Können hier Quellen gezeigt werden. --Hesselp (Diskussion) 20:29, 2. Jun. 2021 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Googolplexian (Diskussion) 18:54, 5. Mai 2023 (CEST)

Reihe-historisch vs. Reihe-modern vs. Reihe-Ausdruck

Im Hintergrund dieses Disk-Beitrag / Abschnitt-Vorschlag stehen zwei Zitate von Benutzer Kmhkmh:

- Der Hinweis  [Hesselp, Folge (Mathematik), 11:22, 19. Mai 2021‎] , dass die Bezeichnung Reihe historisch auch für Folgen verwendet wurde (und es in speziellen Kontexten auch noch wird), ist zwar nicht falsch aber Mmn. in der Anleitung unagemessen. (Kmhkmh, Diskussion:Folge (Mathematik), 18:31, 23. Mai 2021).

- [..] ich hatte das zurückgesetzt  [Kmhkmh, Folge (Mathematik), 15:00, 19. Mai 2021‎]  nicht weil es sach falsch wäre, sondern weil ich es nicht für zielführend halte direkt in der Einleitung und dort im ersten Satz auf historische and abweichende Alternativbezeichnungen zu verweisen, was auf Leser mMn. eher verwirrend wirkt. [..] Statt einer möglichen Verwirrung in der Einleitung kann man eventuell einen eigenen (kurzen) Abschnitt zu historischen Verwendungen und Alternativbezeichnungen verfassen, aber der Artikel außerhalb eines Abschnitts sollte sich an die üblichen modernen Bezeichnungen halten und nicht zwischen Alternativen jonglieren. (Kmhkmh Portal Diskussion:Mathematik, 09:22, 29. Mai 2021).

Nachstehend ein Konzept für Kmhkmh's vorgesehende "Abschnitt zu historischen Verwendungen und Alternativbezeichnungen".

Reihe-historisch vs. Reihe-modern vs. Reihe-Ausdruck   (Vorschlag 9. Jun. 2021)

Reihe-historisch   "Folge" hat im Laufe des 20. Jahrhunderts "Reihe" als Fachwort in der Mathematik teilweise ersetzt. Deutlich zu sehen in H. von Mangoldt - K. Knopp  Einführung in die höhere Mathematik zweiter Band:  Was in der 1.(1912) bis 5.(1929) Auflage  unendliche Reihe heißte, wurde in der 6. Auflage 1932 (bis 14. Auflage 1974)  Zahlenfolge.  (6. Auflage S. 206: "In dem letzten Jahrzehnt hat sich in der Mathematik allgemein [dieser] Sprachgebrauch durchgesetzt.").

Die historische Situation wird z. B. gezeigt in der 2.(1816) bis 14. (vierter Nachdruck 1908) Auflage der Brockhaus-Enzyklopädie.  "Reihe" und "Progression" waren synonym.  "Folge" war kein Fachwort.  "Konvergent" und "konvergieren" bezeichnete nur das Zusammenlaufen der Teilsummen (nicht das Zusammenlaufen der Glieder). Bedeutungsunterschied gab es meistens nicht zwischen der Ausdrücke $\ a_{1},a_{2},a_{3},\cdots \$, $\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \$ und später ${\textstyle \ \sum a_{i}\ }$. 1817, 1836, 1847, 1895, 1908.  Katalog Scans Brockhaus 1816-1908.

Reihe-modern   Satz 3 in der Anleitung sagt: "Präzise wird eine Reihe als eine Folge definiert, deren Glieder [a₁, a₂, a₃, ...] die Partialsummen einer anderen Folge [a₁, a₂−a₁, a₃−a₂, ...] sind."  Folglich müßen die Differenzen im Zielmenge der Folge definiert sein. Also ist Reihe die Name für:  Abbildung auf N in einer Menge-mit-Abziehung.

Reihe-Ausdruck   Die Ausdrücke ${\textstyle \ \sum a_{i}\ }$, ${\textstyle \ \sum _{i=1}a_{i}\ }$, ${\textstyle \ \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}\ }$, $\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \$ und $\ a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots {+}a_{n}{+}\cdots \$ werden  Reihe oder unendliche Reihe  genannt.   Ihrer Wert ist - abhängig vom Kontext - Folge $\,(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})_{n\geq 1}\$ oder Zahl ${\textstyle \ \lim _{n\to \infty }(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})\,}$.

<ref Konrad Knopp, H.v. Mangoldt's Einführung in die höhere Mathematik, zweiter Band, 11. Aufl. 1958, S. 196, 198 /ref>

<ref Konrad Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (1. Aufl. 1922) 5. Aufl. 1964, S. 100./ref>

Kein Teil vom Text-Vorschlag (scheint mir in der Praxis weniger üblich):

Reihe-Abbildung   Die Abbilding $\ (a_{n})_{n\geq 1}\to (a_{1}+\cdots +a_{n})_{n\geq 1}\$ wird zuweilen Reihe genennt. (Beispiel: Die Reihe der Folge der ungerade Zahlen, ist die Folge der Kwadratzahlen.  Gleichbedeutend mit: Die Teilsummenfolge/Partialsummenfolge der Folge der ungerade Zahlen, ist die Folge der Kwadratzahlen.)

Reihe-Faltungsprodukt   Die Elemente einer Folgenmenge-mit-Faltungsprodukt (Cauchy-Produkt), nennt man Reihen. (Die Elementen einer Folgenmenge-mit-Direktprodukt, nennt man Folgen.)  Quelle: Hesselp, zweiter Absatz, 20:29, 2. Jun. 2021  und  Googolplexian1221, vierter Punkt, 17:16, 17. Apr. 2021

--Hesselp (Diskussion) 23:15, 9. Jun. 2021 (CEST) (Bis 1. Dez. 2021 gesperrt für ANR, 09:26, 5. Jun. 2021. Will jemand den obigen Abschnitt platzieren?)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Googolplexian (Diskussion) 18:57, 5. Mai 2023 (CEST)

Umgang

Was soll das Wort "Umgang" in dem Satz bedeuten: "Jahrhundert stiess dieser Umgang, der Fragen nach Konvergenz oder Divergenz aussen vor liess, auf Kritik"?--Sanandros (Diskussion) 08:12, 18. Mai 2023 (CEST)

„Umgang“ bedeutet die Art und Weise, wie mathematisch mit Reihen verfahren wurde. Also wie sie studiert, manipuliert, zum logischen Beweis von Sätzen etc. gebraucht wurden. -- Googolplexian (Diskussion) 09:33, 19. Mai 2023 (CEST)

OK thx.--Sanandros (Diskussion) 12:02, 19. Mai 2023 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Googolplexian (Diskussion) 12:43, 27. Mai 2023 (CEST)

Cauchy Theorie

Im Satzt: In einer wegweisenden Schrift aus dem Jahr 1821 legte Augustin-Louis Cauchy das Fundament der bis heute gebräuchlichen „quantitativen“ Theorie unendlicher Reihen und bereitete der rigorosen Aufarbeitung der Analysis, etwa durch Karl Weierstrass, den Weg" wird die Quantitativen Theorien erwähnt. Gibts dazu nicht ein Lemma das man verlinken könnte?--Sanandros (Diskussion) 08:20, 18. Mai 2023 (CEST)

Der quantitative Umgang mit Reihen hat als Grundstein das weiter unten beschriebene Cauchy-Kriterium. Auch auf Konvergenzkriterien wird im Artikel eingegangen. Eines eigenen Lemmas bedarf es daher meiner Meinung nach nicht. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 09:36, 19. Mai 2023 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Googolplexian (Diskussion) 12:43, 27. Mai 2023 (CEST)

Fett

Warum wird im Satzt: *Eine Reihe wird selten Summenfolge oder unendliche Summe und vor allem in älteren Darstellungen auch unendliche Reihe genannt." die Wörter Fett geschrieben?--Sanandros (Diskussion) 09:07, 18. Mai 2023 (CEST)

Dabei handelt es sich um Ausdrücke, von denen mittels einer Weiterleitung auf den vorliegenden Artikel verwiesen wird. Solche Ausdrücke sollen gemäß Wikipedia:Weiterleitung und Wikipedia:Typografie durch Fettdruck hervorgehoben werden.--SeemameeS (Diskussion) 09:29, 19. Mai 2023 (CEST)

Dann sollte es doch eigentlich auch einen Anker haben, falls jemand die Überschrift des Abschnitts wechselt.--Sanandros (Diskussion) 10:04, 19. Mai 2023 (CEST)

Der fragliche Satz im Abschnitt Definition und Grundlagen ist nur eine Kopie des Beginns des ersten Satzes der Einleitung. Aber auch andernfalls wären Anker wohl unnötig, weil die gefetteten Begriffe in jenem Abschnitt eigentlich nicht weiter thematisiert werden. Und falls man dies anders sähe, wäre eine Spezifizierung des Linkziels auf der jeweiligen Weiterleitungsseite das geeignete Mittel zum Erreichen des Zieles:

Wenn du z. B. die Weiterleitungsseite Unendliche Reihe öffnest, kannst du nach einem Klick auf den Reiter „Quelltext bearbeiten“ den dortigen Seiteninhalt

#REDIRECT Reihe (Mathematik)

zu

#REDIRECT Reihe (Mathematik)#Definition und Grundlagen

oder

#REDIRECT Reihe (Mathematik)#Begriff

erweitern.--SeemameeS (Diskussion) 13:36, 19. Mai 2023 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Googolplexian (Diskussion) 12:42, 27. Mai 2023 (CEST)

Zeichen erklären

Summenzeichen oder auch der Buchstaben für Natürliche Zahlen sollten erkährt werden, oder wenigstens verlinkt. Wer nicht das Gymnasium besucht hat weiss nicht was diese Zeichen bedeuten.--Sanandros (Diskussion) 09:15, 18. Mai 2023 (CEST)

Hallo Sanandros, danke, ist erledigt. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 12:38, 18. Mai 2023 (CEST)

Ausser dem habe ich noch $R[[z]]$ gefunden. Was hat es mit der Doppelklammer genau auf sich? Die Notation kennen ich nicht.--Sanandros (Diskussion) 22:36, 18. Mai 2023 (CEST)

Das ist der Ring der formalen Potenzreihen $\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}z^{j}$ mit Koeffizienten $a_{j}$ in $R$. -- Googolplexian (Diskussion) 08:07, 19. Mai 2023 (CEST)

Also ist $\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}z^{j}|a_{j}\in R[[z]]$ gemeint?-Sanandros (Diskussion) 08:21, 19. Mai 2023 (CEST)

Nicht ganz, es ist $\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}z^{j}\in R[[z]]$ gemeint. Es handelt sich gewissermaßen um einen „Abschluss“ des Polynomrings $R[z]$. -- Googolplexian (Diskussion) 08:39, 19. Mai 2023 (CEST)

OK Danke, hatte leider Ringe (fast) nie gehabt. War auf jedenfall nicht Prüfungsrelevant. Jetzt aber noch was. Gestern habe ich die Betragsstriche verlinkt, und heute sind sie wieder weg gekommen. Aber immer mal wieder fragen Erstsemestler was diese Striche bedueuten daher finde ich es schon gut wenn man das bei der ersten auftrauchen erklährt.--Sanandros (Diskussion) 10:07, 19. Mai 2023 (CEST)

Das war ich, weil ich der Meinung bin, dass ein dezenterer Hinweis ausreichend ist. Meine Version lautet derzeit:

Eine Reihe $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ heißt absolut konvergent, wenn auch die zugehörige Reihe der Absolutbeträge $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }|a_{k}|$ konvergiert.

Hier findet sich unmittelbar vor dem Term mit den Betragszeichen der Link Absolutbeträge zum Lemma Betragsfunktion.--SeemameeS (Diskussion) 10:14, 19. Mai 2023 (CEST)

[Einschub nach Bearbeitungskonflikt: Von mir aus kann man es gerne auch durch

Eine Reihe $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ heißt absolut konvergent, wenn auch die zugehörige Reihe $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }|a_{k}|$ der Absolutbeträge konvergiert.

ersetzen, dann kommt der Link wieder – wie bei dir – erst (diesmal aber unmittelbar) nach dem Vorkommen der Betragsstriche.
Außerdem sehe ich gerade, dass man das Wort „auch“ ersatzlos streichen könnte (sollte?). Aber das soll der Hauptautor entscheiden.--SeemameeS (Diskussion) 11:43, 19. Mai 2023 (CEST)

Wenn ein Kollege einen Eintrag macht zur Verdeutlichung von Inhalten (u.a. Darin bedeutet |+| den Betrag), sollte man – bei anderer Meinung – dies nicht löschen. Für eine evtl. bessere Ausdrucksweise reicht meist eine geringe Umformulierung → sie wertschätzt den vorherigen Eintrag. Meine Erfahrung zeigt: Die eigene Meinung zur Diskussion stellen, ist oft besser... Liebe Grüße--Petrus3743 (Diskussion) 11:35, 19. Mai 2023 (CEST)

Hallo SeemameeS, also ich weiss nicht was deine Erfahrungen sind, aber finde die Notation sollte schon erklärt werden. Vorallem weil Reihen durchaus im Ersten Semester dran kommen und das nicht nur im Mathestudium. Und da kommt immer mal wieder diese Frage auf was die Striche bedeuten.--Sanandros (Diskussion) 12:12, 19. Mai 2023 (CEST)

Sorry, Petrus3743, ich hielt es für unnötig, wegen so eines (aus meiner Sicht) kleinen Verbesserungsversuches eine eigene Diskussion zu starten. Denn natürlich können auch meine Versionen jederzeit abgeändert werden, wenn es angebracht erscheint. Für den von dir zitierten Fall habe ich das gerade gleich selbst getan, das mit „u.a.“ Gemeinte kannst du gerne selbst rücksetzen oder beliebig abändern. Liebe Grüße, SeemameeS (Diskussion) 12:24, 19. Mai 2023 (CEST)

Sanandros, ich habe doch nur die (mir zu langatmig erscheinenden) Erklärungen in jeweils eigenen Sätzen durch bessere (?) Platzierung der Links zu den zu erklärenden Begriffen und Symbolen ersetzt – ich bin also keineswegs gegen Erklärungen, habe aber eine etwas andere Art und Weise vorgeschlagen, wie diese aussehen könnten.--SeemameeS (Diskussion) 12:24, 19. Mai 2023 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Googolplexian (Diskussion) 12:42, 27. Mai 2023 (CEST)

Supremum

Im Artikel kommt ein paar mal das Supremum vor aber so weit ich das sehe wird das Supremum niergends verlinkt könnte man das noch machen?--Sanandros (Diskussion) 09:58, 27. Mai 2023 (CEST)

Hallo Sanandros, ist erledigt. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 10:44, 27. Mai 2023 (CEST)

Vielen dank.--Sanandros (Diskussion) 11:11, 27. Mai 2023 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Googolplexian (Diskussion) 12:42, 27. Mai 2023 (CEST)