Diskussion:Riemannsche Zahlenkugel

Weitere Notation?

Ich habe gelernt: $\mathbb {C} \cup \{\infty \}=\mathbb {P} _{1}\mathbb {C}$

Eventuell könnte man das in den Artikel aufnehmen.

-- 85.3.153.62 21:45, 17. Dez. 2007 (CET)

Nur zu, sei mutig. --Digamma 20:43, 19. Dez. 2007 (CET)

Drüben in der Englischen W sind auch die Notationen $\mathbb {CP} ^{1}$ und $\mathbb {\hat {C}}$ notiert. Und wie finden Sie die Bilder von dort?

[Image:Riemann_sphere1.jpg] und [Image:Stereographic_projection_in_3D.png]

(nicht signierter Beitrag von 217.248.84.131 (Diskussion) 8:15, 17. Mai. 2008 (CEST))

Durchmesser und andere Schwierigkeiten

Also: Ist der Durchmesser jetzt 2 oder 1? Ich dachte immer, es spielt keine Rolle, ob man sich die Kugel auf, unter oder in der Ebene denkt. Liegt sie in der Ebene (also der Äquator bildet den Schnittkreis), dann sind imho die Formeln einfacher. Der Schnittkreis ist dann der Einheitskreis, 1 und -1 sind Fixpunkte. Aber: Einheitskreisdruchmesser = 2. DAS würde mMn auch eben zur Graphik passen. Was war das Argument für Durchmesser = 1 ?

Weiterhin gehen die Kartenabbildungen immer VON der Mannigfaltigkeit nach C! Der Satz "Die komplexe Strktur...wird gegeben durch..." ist mehrfach falsch, denn die Kartenabbildungen werden mit der biholomorphen Verträglichkeit der Karten vermischt (der Teil z --> 1/z oder 0) --χario 20:35, 22. Mai 2008 (CEST)

Wenn man eine Linie vom Nordpol durch den Äquator zeichnet... so wie die Grafik das darstellt, müsste der den Einheitskreis in der Ebene treffen; dazu braucht man Durchmesser 1. Die Sache mit der komplexen Struktur ist etwas kurz gehalten, die Abbildungen gehen aber schon von der Kugel nach C, nur wird ein Teil der Kugel gleich mit C identifiziert. --Enlil2 20:49, 22. Mai 2008 (CEST)

Klick, damit hat sich das Missverständnis des Durchmessers aufgelöst, wenn ich mal Lust habe, werde ich das Ganze hier etwas präziser ausformulieren. Merci für die Antwort :-) --χario 21:55, 22. Mai 2008 (CEST)

minus-unendlich

Es gibt keine Zahl minus-unendlich auf der Riemannschen Zahlenkugel, oder? (Warum eigentlich nicht?)(Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 217.248.86.16 (Diskussion • Beiträge) 17:35, 11. Jun. 2008 (CEST))

Die komplexe Ebene hat keine Orndungsrelation wie die reellen Zahlen. Wird sie also mit nur einem Punkt kompaktifiziert, geht nix verloren, im Gegenteil, es ist äußerst sinnvoll, weshalb die Riemannsche Zahlenkugel ein sehr interessantes Objekt ist, viiiel interessanter als eine Kompaktifizierung von $\mathbb {R}$. im Gunde gilt "in" $\mathbb {C} :\infty =-\infty =\pm i\infty$. --χario 22:08, 11. Jun. 2008 (CEST)

Achso, danke!(nicht signierter Beitrag von 217.248.87.105 (Diskussion) 16:47, 12. Jun. 2008 (CEST))

Das sieht man Imho besonders anschaulich, wenn man eine komplexe Folge spiralförmig nach $\infty$ marschieren lässt. Die Projektionspunkte liegen dann trotz allen möglichen Richtungen vom ursprung beliebig nahe am selben Punkt.--goiken 17:06, 12. Okt. 2009 (CEST)

Südpol auf (0,0,0)?

Der südpol der Kugel liegt gemäss Artikel auf (0,0,0). Das untere Bild passt da nicht dazu, denn dort liegt er auf (0,0,-1). (nicht signierter Beitrag von 92.104.125.222 (Diskussion | Beiträge) 01:59, 21. Mär. 2010 (CET))

Richtig, ich habs korrigiert. --Tolentino 16:25, 21. Mär. 2010 (CET)

Naja, jetzt gibt es aber einen Widerspruch zu der Erklärung auf http://www.thphys.uni-heidelberg.de/~hefft/vk1/k8/816b1.htm. Dort ist nämlich der Südpol auf (0,0,0). Klausmach 11:59, 20. Okt. 2010 (CEST)

Die stereographische Projektion von der dort zitierten Seite liefert eine andere Zuordnung von C auf die riemannsche Zahlenkugel. Beispielsweise liegt das Pendant zur reellen Zahl 1 auf einmal nicht mehr auf dem Äquator, wenn mich meine Intuition nicht täuscht. Diese "beiden" Versionen einer riemannschen Kugel sind bestimmt topologisch äquivalent, aber man muss sich schon irgendwann entscheiden, welche Version unter unendlich vielen denkbaren hier dargestellt wird (man kann den Pol auch auf (0,0,-42) legen). Ich meine, dass die (0,0,-1)-Variante weiter verbreitet und auch irgendwie "natürlicher" ist. --Tolentino 19:34, 23. Okt. 2010 (CEST)

Auf der zitierten Seite hat die Kugel den Durchmesser 1. Im Artikel den Radius. Die beiden Versionen führen zum selben Ergebnis. Die Kugel im Artikel entsteht aus der Kugel auf der zitierten Web-Seite durch Streckung um den Faktor 2 vom Projektionszentrum aus. Das ändert nichts am Ergebnis der Projektion. -- Digamma 20:06, 23. Okt. 2010 (CEST)

Vielen Dank, das ist mir tatsächlich entgangen. Viele Grüße, --Tolentino 09:30, 24. Okt. 2010 (CEST)

Die Kugel ist beliebig, solange ihr Nordpol (0,0,1) ist, da kann der Radius auch 0,234567 sein. Wenn man freilich die Kugel am Südpol fixiert, dann muss natürlich auch der Radius so angepasst werden, dass der Nordpol (0,0,1) ist. So etwas nennt man "das Pferd vom Schwanz her aufzäumen" :-). Belege sind unnötig, der Beweis (über gleichschenklige Dreiecke) ist realschulen-elementar. --Heinrich Puschmann 11:23, 8. Feb. 2011 (CET)

Text von Klaus Hefft in den Artikel übernehmen?

Sollte man wegen der Kürze des Artikels nicht die verlinkte wichtige und sehr gute Erklärung von Klauss Hefft mit in den Artikel übernehmen? (nicht signierter Beitrag von Mikeslash (Diskussion | Beiträge) 15:04, 12. Mär. 2015 (CET))

Wir können nicht einfach von jemand anderem abschreiben, das währe eine Urheberrechtsverletzung. Man müsste schon das, was dort steht, mit eigenen Worten wiedergeben. --Digamma (Diskussion) 19:55, 12. Mär. 2015 (CET)

Äquator

Bei der Beschäftigung mit der Riemannschen Zahlenkugel ist mir aufgefallen, daß wenn die Zahlenkugel auf einer Gaußschen Ebene mit gleicher Metrik (Kugelradius = i = 1) liegt, die Punkte i, -i, 1, -1 nicht auf dem Äquator liegen, sondern weiter südlich (ca 32° südlicher Breite).

Wäre es dann, falls ich keinem Irrtum unterliege, nicht sinnvoll die Bezeichnung am Äquator in Im, -Im, Re, -Re umzuwandeln? --2A01:C22:769B:2200:1577:FF56:1E39:AD31 15:21, 15. Dez. 2022 (CET)

Abstände spielen eigentlich gar keine Rolle. Für rechnerische Zwecke nimmt man an, dass der Äquator in der Gaußschen Ebene liegt. Das Bild, wo die Kugel auf der Ebene aufliegt, dient nur der Veranschaulichung. --Digamma (Diskussion) 19:06, 15. Dez. 2022 (CET)

PS: Bei der Darstellung im Artikel durchdringt die Zahlenkugel die Gaußsche Ebene am Äquator und liegt nicht auf. --Digamma (Diskussion) 19:07, 15. Dez. 2022 (CET)

PPS: Siehe auch den Abschnitt "Südpool (0,0,0)" darüber. Da wird das schon mal diskutiert. --Digamma (Diskussion) 19:10, 15. Dez. 2022 (CET)

Rechenregeln

Den Abschnitt über Rechenregeln halte ich für Theoriefindung, auch wenn "directed infinity" in MathWorld (Weisstein) zu finden ist. Die mir bekannten Lehrbücher der Funktionentheorie verwenden die Riemannsche Zahlenkugel, um einen Abstand und damit eine Topologie für $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ einzuführen, aber nicht zur Definition einer algebraischen Struktur. --84.133.28.94 10:36, 14. Jun. 2024 (CEST)

Auch die Aussage über den Grenzwert von ${\frac {1}{x}}$ ist obskur. Wenn man von einer reellen Funktion ausgeht, dann erhält man den einseitigen Grenzwert $\lim \limits _{x\to 0,x>0}{\frac {1}{x}}=+\infty$. Legt man die Riemannsche Zahlenkugel zugrunde, dann gilt einfach $\lim \limits _{z\to 0}{\frac {1}{z}}=\infty$. Es ist wesentlich für die Riemannsche Zahlenkugel, dass nur ein einziger Punkt $\infty$ zu $\mathbb {C}$ hinzugefügt wird. Für "gerichtete Unendlichkeiten", was immer das sein mag (ich vermute so etwas Ähnliches wie Fernpunkte in der projektiven Geometrie), ist auf der Zahlenkugel kein Platz. --84.133.28.94 16:52, 14. Jun. 2024 (CEST)