Diskussion:SEIR-Modell

Kurzreview

Danke an Benutzer:Rumil für den Artikel! Für Leser mit Vorkenntnissen gut verständlich.

Wünschenswert wäre noch ein bisschen Meta: Wer hat's erfunden (sofern man bei einem so simplen Gleichungssystem überhaupt von Erfinden sprechen kann), wann wurde es erstmals publiziert, bei welchen Fallbeispielen vor COVID-19 hat man damit gearbeitet, wo stößt das Modell an seine Grenzen, welche auf SEIR aufbauenden Modelle gibt es?

Hier [1] wird ein Modell ebenfalls als SEIR bezeichnet, das zusätzlich die natürliche Sterblichkeit und eine mögliche Impfung berücksichtigt.

Ein paar Kleinigkeiten:

• Die einmonatige strenge Quarantäne sollte durch einen Beleg unterfüttert werden.
• Im verlinkten Artikel Basisreproduktionszahl heißt die Nettoreproduktionszahl R oder R_t, hier heißt sie R_q. Das könnte den einen oder anderen Leser verwirren.
• Die Herleitung der Beziehung zur Brep ist etwas verwirrend. $R_{q}=SR_{0}$ gilt per def. immer. Den Umweg über $S\approx 1-R$ mit den Annahmen $E\approx 0$ und $I\approx 0$ braucht es hier nicht.
• In der Anfangsphase (exponentielles Wachstum) ergibt die Näherung $S\approx 1$ ein lineares System für E,I, das mit dem üblichen Kalkül explizit gelöst werden kann. Damit kann man die Wachstumsrate bzw. die Verdopplungszeit als Funktion von $\alpha ,\beta ,\gamma$ angeben. Könnte man mit Beleg einbauen, ich finde gerade keine passende Literaturstelle.

--FüFiFa (Diskussion) 12:44, 28. Mär. 2020 (CET)

Die Notation R_t für die effektive Reproduktionszahl oder Nettoreproduktionszahl erscheint mir hier zu ähnlich zu R(t), das könnte dann zu Verwirrungen führen. Die Abhängigkeit bezüglich der nichtsuszeptiblen/immunen Bevölkerung erscheint mir auch didaktischer als eine wie auch immer geartete Zeitabhängigkeit, wenn das mit dem Index t gemeint sein soll. Eine solche Zeitabhängigkeit würde außerdem q = 0 bei t = 0 implizieren, was nicht unbedingt stimmen muss. Es gäbe da auch noch die Notation R_e, die kommt in der Literatur auch vor.

Meine Formulierung »einmonatige strenge Quarantäne« ist vlt. etwas unglücklich. Gemeint ist die folgende elementare Überlegung: Wenn die effektive Reproduktionszahl schon unter eins liegt, die Epidemie also langsam ihr Ende nimmt, kann dem nachgeholfen werden, indem man für eine mehr oder weniger kurze Zeit die effektive Reproduktionszahl runterdrückt, das können z.B. irgendwelche Quarantänemaßnahmen sein.

Die restlichen Punkte habe ich ausgebessert. Geschichte muss später kommen. Was die Modellannahmen und -grenzen angeht, das wird wohl ein wenig komplizierter. In der Literatur steht, die Population muss sich möglichst gut durchmischen und die Wahrscheinlichkeit eines Individuums noch infektiös zu sein muss zeitlich einer Exponentialverteilung folgen. Dann ist das Modell auch deterministisch, berücksichtigt also nicht stochastische Fluktuationen. Da stecken ganz viele wahrscheinlichkeitstheoretische Untiefen drin, und man will ja auch etwas schreiben was nicht so sehr den Rahmen sprengt. --Rumil (Diskussion) 18:47, 3. Apr. 2020 (CEST)

Übertrag von der Qualitätssicherungsseite

Grundsätzlich finde ich den Artikel sehr gut, nur die Einleitung ist meiner Meinung nach teils wertend, teils begrifflich unklar (was ist IBM?). Die Beispielrechnung mit der Simulation für Deutschland finde ich hochinteressant, einzig der angenommene Wert der Basisreproduktionszahl ist unsicher: Das RKI geht in seinen Beispielszenarien von $R_{0}=2{,}0$ aus. Der noch nicht gesichtete Abschnitt "Exponentielle Anfangsphase" ist aus meiner Sicht korrekt und an der Stelle richtig.

Mein Vorschlag ist, die Einführung wie folgt zu ändern, einen Absatz ans Ende des Abschnitts zur Beipielrechnung hinzuzufügen und die ungesichtete Ergänzung "Exponentielle Anfangsphase" zu akzeptieren.

Einleitung:

Als SEIR-Modell bezeichnet man in der mathematischen Epidemiologie, einem Teilgebiet der Theoretischen Biologie, einen grundlegenden Ansatz zur Beschreibung der Ausbreitung von ansteckenden Krankheiten. Das Modell ist eine Erweiterung des SIR-Modells, indem berücksichtigt wird, dass ein Individuum nach seiner Infektion nicht sofort selbst infektiös ist. Die Beschreibung ist makroskopisch, d. h. die Population wird nur als Gesamtheit betrachtet, nicht aber einzelne Individuen.

Beispielrechnung:

Das Robert-Koch-Institut geht in seinen Modellierungen von einer kleineren Basisreproduktionszahl $R_{0}=2{,}0$ aus, was zu einem niedrigeren Ansteckungsgrad von etwa 80 % führt. --Averoess (Diskussion) 23:50, 1. Apr. 2020 (CEST)

... dafür habe ich mit dem letzten Satz im Abschnitt „Anteil der Erholten am Ende der Epidemie“ ein Problem: Die Näherungslösung kann ich aus den mir bekannten Näherungsformeln für die Lambertfunktion beim besten Willen nicht herleiten, da muss unbedingt eine Quelle her! (Oder zumindest noch ein, zwei Zwischenschritte der Herleitung). Außerdem gibt es den Tippfehler R(0)=0 ganz am Anfang, hier muss es sinnvollerweise R(0)>0 heißen. Ansonsten ist der Abschnitt korrekt. --Averoess (Diskussion) 18:02, 2. Apr. 2020 (CEST)

Mit solcherlei Glättungen am Inhalt bzw. in der Formulierung kann ich d'accord gehen. Das Vorhandensein von mikroskopischen Modellen muss an der Stelle nicht unbedingt erwähnt sein; falls doch, siehe en:Agent-based model. Die Angabe von Unsicherheiten zur Basisreproduktionszahl schafft sicherlich etwas mehr Klarheit über Ungenauigkeiten. Lieber als Angaben des RKI wären mir Metastudien wie diese [2], solche gibt es wohl aber nicht speziell für Deutschland.

Zur Näherungsformel gibt es wohl keine einfache Herleitung, die würde sonst auch den Rahmen sprengen. Das Problem dabei ist auch, dass die Herleitung für den Nachweis der Korrektheit bzw. der maximalen absoluten Abweichung nicht ausschlaggebend ist. Aufgrund der analytischen Eigenschaften der Funktionen genügt es wenn man diese auf einem hinreichend feinen endlichen Gitter nachrechnet. Dann verbleit noch zu überprüfen ob die Abweichung für $R_{0}\to 1$ und $R_{0}\to \infty$ streng monoton fällt. Ich schreibe das, weil es sich hier um ein elementar-mathematisches Problem handelt; gesucht ist lediglich eine Approximation der Umkehrfunktion zu $-\ln(1-x)/x$. Im Zweifelsfall können wir die Formel auch erst einmal aufs Abstellgleis bringen. Lieber wäre mir auch eine Näherung für den relevanten Teil der W-Funktion, den könnte man mit einer guten Anfangsnäherung und einer Iteration des Newton-Verfahrens beschaffen. Aber dabei steht man dann vor genau dem gleichen Problem wie beschrieben; und ggf. will man da noch ein wenig an den Termen herumjustieren um die max. Abweichung noch etwas zu drücken.

Da die Herleitungen aus dem Modell rein mathematischer Natur sind, kommt mir eine eventuelle Eintragung in die News der QS Mathematik angebracht vor. Die können dann noch mal über diese Aspekte des Artikels drüber gehen.

Die Änderung zu »[...], und dass isolierte (in Quarantäne befindliche) Individuen als nicht infektiös betrachtet werden« von Benutzer:Altkatholik62 erscheint mir nicht zutreffend. Der Unterschied zum SIR-Modell liegt eigentlich nur in der Phase exponiert. Hinsichtlich Isolierung von Infektiösen sind beide Modelle agnostisch. Zwar verringert sich dadurch die mittlere infektiöse Zeit, die Modelle berücksichtigen dies aber nicht explizit. Was man machen kann, ist das Hinzufügen von weiteren Phasen wie hospitalisiert oder isoliert als Modellerweiterung. --Rumil (Diskussion) 10:56, 5. Apr. 2020 (CEST)

Danke für den Hinweis, Rumil, ich habe diesen möglicherweise unzutreffenden Halbstz wieder entfernt. --Altkatholik62 (Diskussion) 15:34, 5. Apr. 2020 (CEST)

Danke, Rumil, für die Hinweise zur Herleitung der Näherungsformel. Ich sehe es auch so, dass eine zu umfangreiche Herleitung hier nicht hingehört. Aber sie muss doch irgendwo dokumentiert sein und kann hier als Quelle referenziert werden. Beim Lesen des Artikels fällt das Ergebnis halt wie aus dem Nichts vom Himmel, man muss es einfach glauben oder nicht. Es sollte aber doch prinzipiell für jeden nachprüfbar sein, auch wenn der Aufwand für den Einzelnen sehr hoch ist. Ein Zitat würde daher aus meiner Sicht das Problem heilen, ohne das große Rad zu drehen und die QS Mathematik einzuschalten. --Averoess (Diskussion) 09:58, 6. Apr. 2020 (CEST)

Vorschlag zur Güte: Für den relevanten Teil der W-Funktion die Anfangsnäherung

$W(x)\approx w_{0}=x\exp({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {e} x+3)-{\sqrt {2\mathrm {e} x+2}}),\quad x\in [-{\tfrac {1}{\mathrm {e} }},0].$

Das ergibt sich aus den ersten Termen einer asymptotischen Entwicklung, wofür es auch Literaturquellen gibt. Ich habe aber eine Fixpunktiteration $W\mapsto x\mathrm {e} ^{-W}$ vorgenommen und einen Term modifiziert, womit die max. Abweichung unter 6×10⁻³ gebracht ist. Nun zwei Iterationen des Newton-Verfahrens:

$W(x)\approx \varphi (\varphi (w_{0})),\quad \varphi (w)={\frac {w^{2}+x\mathrm {e} ^{-w}}{w+1}}.$

Das macht einmal Quadratwurzel und dreimal Exponentialfunktion, die max. Abweichung liegt unter 2×10⁻⁹, sofern x nicht gerade extrem dicht bei −1/e liegt. Diese Berechnung ist schnell in einer beliebigen Programmiersprache implementiert und man kann zur Not auch den Taschenrechner bemühen. --Rumil (Diskussion) 21:57, 8. Apr. 2020 (CEST)

Hat sich erledigt. Bei zwei Iterationen mehr bietet sich ein kürzerer Term mit einer didaktischen und sehr kurzen Herleitung an. --Rumil (Diskussion) 00:19, 9. Apr. 2020 (CEST)

Hallo Rumil, das hört sich ja sehr vielversprechend an. Wie ich gerade in der noch ungesichteten Version des Artikels gesehen habe, ist Dir die Herleitung gut nachvollziehbar gelungen. Ich befürworte daher, wenn ich das beeinflussen kann, die ungesicherte Änderung zu akzeptieren.

Aber eine Verstndnisfrage habe ich dazu. Gesucht ist nach meinem Verständnis eine Näherungsgleichung für die Konstante $q=\lim _{t\to \infty }R(t)$, die den Zusammenhang des Anteils der Genesenen am Ende einer Epidemie mit der Basisreproduktionszahl $R_{0}$ herstellt. Dazu konnte als Zwischenschritt die Gleichung $q=1+{\frac {1}{R_{0}}}W(-R_{0}{\mathrm {e} }^{-R_{0}})$ für den Anfangswert $S(0)=1$ hergeleitet werden, also den Fall, dass alle Individuen zu Beginn anfällig sind. Daraus hast Du nun eine Näherung herleiten können. Mit $-R_{0}e^{-R_{0}}<0$ gibt es aber ja zwei mögliche Lösungen der W-Funktion, nämlich neben $W_{0}(-R_{0}e^{-R_{0}})$ noch $W_{-1}(-R_{0}e^{-R_{0}})$. Mit den auf der englischen Wikipedia-Seite angegeben Identitäten

${\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}$

gilt dann für $R_{0}\geq 1$ einfach $W_{-1}(-R_{0}e^{-R_{0}})=-R_{0}$. Damit verschwindet $q$, d.h. unabhängig von der Basisreproduktionszahl ist der Anteil der Genesenen am Ende immer null. Gibt es eine anschauliche oder mathematische Begründung, warum hier der Ast $W_{0}$ der W-Funktion zu verwenden ist? --Averoess (Diskussion) 14:14, 11. Apr. 2020 (CEST)

Sei $\gamma \neq 0$. Beachte $I\geq 0$. Infolge ist $R'\geq 0$ wegen $\gamma >0$, also $R$ monoton steigend. Wenn $R(0)=0$ ist, verbleibt demzufolge für $q=0$ nur $R\equiv 0$. Dann ist $R'\equiv 0$, was nun $I\equiv 0$ und damit auch $I'\equiv 0$ und $S'\equiv 0$ nach sich zieht. Andererseits gilt: Mit $\gamma \neq 0$ gilt $S'=-R_{0}SR'$. Nun ist $S=\mathrm {e} ^{-R_{0}R}$ laut Kettenregel eine Lösung dieser Gleichung, welche wiederum durch die konstanten Funktionen $S\equiv 1$ und $R\equiv 0$ erfüllt wird. --Rumil (Diskussion) 23:51, 11. Apr. 2020 (CEST)

Schwaches Beispiel

In dem Beispiel wird gezeigt, wie man das System via num. Verfahren löst. Das ist zwar grundsätzlich gut, geht aber am Thema vorbei und gehört wohl eher auf die Seite zum Verfahren (zudem gibt es weitere Lösungsmöglichkeiten die teilweise einfacher sind). Zum Verständnis wäre ein Beispiel interessant, welches mit dem Modell berechnet wird und vielleicht auch ein Bezug zur Realität hat. Da hat die Berechnung einen guten Ansatz, in der Quelle sind die Berechnungen aber anders, zudem deutlich besser erklärt. Wie kommt man auf die Koeffizienten und was bedeuten diese praktisch für das Beispiel? Warum die Startwerte, die es real nie gegeben hat?

Zudem sind die Infos im Code versteckt, sollte man sauber im Text darstellen und erläutern. Zudem macht es nur Sinn die Ergebnisse (und daraus ggf. die Schwachstellen der Modellierung) am Schluss anzugeben. Der eine Satz ist wenig aussagend. Ansonsten bitte lieber kein irreführendes Beispiel hier darstellen (d.h. lieber Abschnitt löschen). Nur um seinen Code zu präsentieren ?? Stattdessen nur auf die Quelle verweisen, genügt als Beispiel, und Link zu möglichen Verfahren zur Lösung, genügt auch völlig.[[Benutzer:Torben81|Tobbe]] (Diskussion) 11:06, 5. Apr. 2020 (CEST)

Bitte das Beispiel behalten und nach den vorstehenden Anregungen verbessern. Ist sehr nützlich für das Verständnis. --Udo (Diskussion) 13:20, 5. Apr. 2020 (CEST)

Abschnitt Lösung für $S=1$

Die Annahme $S=1$ fürht von dem nicht-linearem Differentialgleichungs-System zu einem linearen System mit

${\begin{pmatrix}E'\\I'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-a&\beta \\a&-\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E\\I\end{pmatrix}}$

soweit so gut, aber:

a) Wann soll diese Annahme zutreffen? Wenn $S=1$ ändert sich doch nichts und alle bleiben gesund??[[Benutzer:Torben81|Tobbe]] (Diskussion) 11:35, 5. Apr. 2020 (CEST)

Am Anfang ist in sehr guter Näherung $S\approx 1$. Die Anzahl der Kranken I ist dann sehr klein gegenüber S:

$S>>I$--Udo (Diskussion) 13:16, 5. Apr. 2020 (CEST)

b) Im Text: Alle weiteren Betrachtungen sind damit überschattet durch die wohlbekannte Theorie.. Solche bewertenden Wörter sollte man in keinen Artikel schreiben. Überschattet klingt auch eher negativ, dafür das man die Gleichung analytisch (!) lösen kann!!?[[Benutzer:Torben81|Tobbe]] (Diskussion) 11:35, 5. Apr. 2020 (CEST)

c) Im Text: die bereits gefundene Gleichung bekommt man aus... Welche Gleichung? Das System? Die Gleichung darunter gibt die Berechnung der Eigenwerte an, was bekommt man aber daraus? (Die Eigenwerte lassen sich auch direkt aus der Det und Spr der Matrix angeben, s. Algorithmus von Faddejew-Leverrier) Vielleicht sollte man die Matrix nicht $J$ sondern $S$ nennen, etwas verwirrend zur Jacobi-Matrix.[[Benutzer:Torben81|Tobbe]] (Diskussion) 11:35, 5. Apr. 2020 (CEST)

d) Die Lösung des Systems mit konst. Koeffizienten wird über die Matrix-Exponentialfunktion erhalten. Bitte diesen Link als Info einfügen. Das Eigenwertproblem ist die indirekte Lösung (durch Zerlegung der Matrix in eine Diagonalmatrix).[[Benutzer:Torben81|Tobbe]] (Diskussion) 11:35, 5. Apr. 2020 (CEST)

Zu a), c): Es handelt sich tatsächlich um die Jacobi-Matrix. Hier liegt ein autonomes System $x'=f(x)$ mit $x=(S,E,I)$ vor (die Gleichung für $R$ ist offenbar redundant). Nach einem Grundresultat der Stabilitätstheorie ist das lokale Verhalten bei einer Ruhelage $x_{0}$ unter gewissen Voraussetzungen beschrieben durch das lineare System $x'=Jx$, wobei $J=(Df)(x_{0})$ die Jacobi-Matrix von $f$ ist. Ruhelage heißt, die Zeitentwicklung zum AWP $x(t_{0})=x_{0}$ ist konstant, infolge ist $x'(t_{0})=0$ und damit $f(x_{0})=0$. Das macht

$(Df)(x)={\begin{pmatrix}-\beta I&0&-\beta S\\\beta I&-a&\beta S\\0&a&-\gamma \end{pmatrix}}.$

Für die Ruhelage $x_{0}=(1,0,0)$, auch krankheitsfreies Equilibrium genannt (engl. DFE für disease free equilibrium), ergibt das Teilsystem für $(E,I)$ dann diese Matrix

${\begin{pmatrix}-a&\beta \\a&-\gamma \end{pmatrix}}.$

--Rumil (Diskussion) 13:48, 5. Apr. 2020 (CEST)

Unterschiedliche Verwendung der Variablen hier und in den Artikeln SI-Modell, SIS-Modell und SIR-Modell

Hallo, wenn man sich in die Materie einliest, fällt auf, dass die Variablen S, I, R usw. in den Artikeln SI-Modell, SIS-Modell und SIR-Modell absolute Zahlen repräsentieren, während in diesem Artikel damit relative Zahlen, also Anteile der Gesamtpopulation gemeint sind, was u.a. zu kleinen Unterschieden in den Formeln führt, etwa, dass das β dieses Artikels dem β/N in dem Artikel SIR-Modell entspricht usw. Sollte man nicht mit irgendeiner Art von Warnung darauf hinweisen? Weil, dass verschiedene Autoren verschiedene Symboliken benutzen, wohl nie zu vermeiden sein wird, der eine die Schreibweise dX/dt bevorzugt, der andere X', noch ein anderer die mit dem Punkt drüber - wichtig wär allerdings für den noch nicht so fitten Leser, darauf hinzuweisen, dass hier eine sich von der Größe der Ausgangspopulation N lösende Symbolik gewählt wird.

Toll natürlich wäre außerdem, das SEIR- zu einem SEIRD-Modell zu erweitern, wie es gerade bei Corona nützlich wäre, wo die Toten ja einen nicht zu vernachlassigenden Anteil der Infizierten ausmachen (in dem Artikel SIR-Modell wird zumindest gegen Ende auch auf solch eine Erweiterung desselben zu einem SIRD-Modell hingeweisen) --Qniemiec (Diskussion) 21:28, 20. Apr. 2020 (CEST)

Eine Harmonisierung der epidemiologischen Artikel wäre eigentlich erstrebenswert – dabei sollte man die englische Wikipedia am besten gleich mit einbeziehen, da die Größen ja den Anfangsbuchstaben der englischen Namen tragen. Hier würde sich die Nomenklatur anbieten, wo die absoluten Größen mit Großbuchstaben notiert sind, die relativen – zunächst nur für konstantes N definiert – mit Kleinbuchstaben. Leider gibt es auch noch andere Stellen wo die relative Größe der Suszeptiblen einen Großbuchstaben trägt. Inwiefern und in welchem Umfang man dazu nun bereit wäre, müssen auch andere entscheiden. Alternativ lässt man das bleiben und erläutert diese Überlegung zur Notation nur einmal im Artikel. Es gibt da auch noch den Trick, einfach N := 1 zu setzen, so wie in der Physik mit natürlichen Einheiten gerechnet wird.

Das β, so wie es dort beschrieben ist, ist allerdings das gleiche. Die Gleichung $S'=-{\tfrac {\beta }{N}}SI$ ist ja äquivalent zu $s'=-\beta si$; das N kürzt sich gerade überall raus. --Rumil (Diskussion) 17:27, 28. Apr. 2020 (CEST)

Das kürzt sich nicht raus. Die Verwendung unterschiedlicher Parameter, wie sie auch in der Epidemiologie verwendet werden, hat zur Folge, dass der in diesem Artikel angegebene Wert für R_0 falsch ist. In den beim Basisreproduktionsfaktor im Artikel angegebenen Referenzen 1,2 werden jeweils die beiden unterschiedlichen Formen der Gleichungen behandelt. Unklar ist aber ob dort auch N=1 gesetzt wird, also relative Zahlen verwendet wie hier im Artikel. Benutzt man die Form der Gleichungen in diesem Artikel mit absoluten Zahlen muss mit dem hier verwendeten $\beta$ das $R_{0}={\frac {\beta N}{\gamma }}$ sein. Das steht so auch in der Literatur, zum Beispiel hier (wobei sie dort $S_{0}=N$ verwenden). Die Form von R_0 wie sie im Augenblick im Artikel steht entspricht der anderen Form der Gleichungen (wie im SIR-Artikel) oder man setzt, wie eigentlich unüblich N=1. Wenn das nicht erläutert wird führt das zu Verwirrung.--Claude J (Diskussion) 07:29, 21. Mai 2020 (CEST)

Nee, das ist dieses ${\tilde {\beta }}:=\beta /N$. Das will man ja nicht benutzen, weil es erstens unhandlich ist und zweitens abhängig von der Bevölkerungszahl. Wünschenswert ist doch die Vergleichbarkeit von Parametern bspw. aus unterschiedlichen Studien bzw. die Vergleichbarkeit mit anderen epidemiologischen Größen. Zudem ist die Symmetrie dass alle Parameter die gleiche Einheit haben dann futsch. Außerdem kommt es mir paradox vor, Probleme durch unterschiedliche Bezeichnungskonventionen mittels Einführung weiterer inkompatibler Konventionen umgehen zu wollen. --Rumil (Diskussion) 12:43, 25. Mai 2020 (CEST)

Verstehe ich nicht, N ist dimensionslos. Der Faktor N kommt nun mal vor in der Formel für R_0 bei Benutzung dieser Form der Gleichungen, wie du der Literatur entnehmen kannst. Und die alternative Form der SEIR Gleichungen mit $\beta /N$ statt $\beta$ ist auch verbreitet, zum Beispiel hier. Nur in dieser anderen Form hat man kein N in R_0, was ein Grund sein mag warum ziemlich häufig die andere Form der Gleichungen genommen wird. Das N hat mich anfangs auch irritiert, bevor ich es in der Literatur überprüft habe (es folgt auch am einfachsten aus der Betrachtung der Differentialgleichung für I im SIR-Modell wobei S gleich N gesetzt wird am Anfang der Epidemie).--Claude J (Diskussion) 14:03, 25. Mai 2020 (CEST)

Da haben wir wohl aneinander vorbeigeredet. Es ging mir um β bezüglich s:=S/N, e:=E/N, i:=I/N, r:=R/N. Die angesprochene Literatur benutzt die absoluten Größen, unser Artikel bis jetzt die relativen, diese allerdings mit Großbuchstaben. Und naja, N ist zwar physikalisch betrachtet dimensionslos, aber nicht notwendigerweise einheitenlos. Mit einem Einheitensystem verhält es sich ähnlich wie mit einem Typsystem, dergestalt dass es eine fehlerhafte Einsetzung verhindert. Die Dinge sind klarer wenn man N pedantisch die Einheit Einwohner o. ä. gibt. --Rumil (Diskussion) 15:05, 25. Mai 2020 (CEST)

Werte der Parameter in der Beispielrechnung

Ich habe ein paar Fragen zu den Werten einiger Parameter der Beispielrechnung, die sich ja auf den aktuellen Fall von COVID-19 beziehen sollen::

Dem Code entnehme ich, dass als Wert für $\gamma$ 1/3 angesetzt wird, also 3 Tage für die Zeit, in der ein Infizierter infektiös ist. Als Wert für $a$ wird 1/5,5 angesetzt, also 5,5 Tage Latenzzeit.

Hier [3] findet man im Abschnit "5. Dauer der Infektiosität" aber für den aktuellen Fall von COVID-19: Basierend auf realen Daten wurde geschätzt, dass Patienten bereits 2,5 Tage vor Symptombeginn infektiös waren (58). Das Ende der infektiösen Periode ist momentan nicht sicher anzugeben. In einer Studie mit neun Patienten wurde die Ausscheidungsdynamik vermehrungsfähiger Viren aus Proben von Rachen und Sputum untersucht. Abstrichproben vom Rachen enthielten vermehrungsfähige Viren bis zum vierten, aus dem Sputum bis zum achten Tag nach Symptombeginn (33). Daraus entnehme ich als Wert für die Zeit, in der ein Infizierter infektiös ist: 10,5 (2,5 + 8), mithin für $\gamma$: 1/10,5.

Im selben Dokument findet man in Abschnitt 4 "Inkubationszeit und serielles Intervall": Die Inkubationszeit gibt die Zeit von der Ansteckung bis zum Beginn der Erkrankung an. Sie liegt im Mittel (Median) bei 5–6 Tagen (Spannweite 1 bis 14 Tage) (21, 52). Nach meinem Verständnis ergibt sich die Latenzzeit aus der Differenz zwischen Inkubationszeit und Dauer der Zeit zwischen Beginn der Infektiosität und dem ersten Auftreten von Symptomen. Setzt man als Mittelwert für die Inkubationszeit 5,5, so ergibt sich die Latenzzeit zu 5,5 - 2,5 = 3 (Tage). Also sollte als Wert für $a$ 1/3 angesetzt werden. (nicht signierter Beitrag von 2003:E7:1730:A476:2545:BF2:BF73:D427 (Diskussion) 14:44, 23. Apr. 2020 (CEST))

Wann erfolgt eigentlich mal ein Vergleich zwischen Prognose und Realität?

Mit den Parametern und dem Modell ist ja auch eine Prognose verbunden.

Ein Modell sollte ja eine gewisse Nähe zur Realität besitzen. Die "Realität" wird abgebildet von den Zahlen, die das RKI als "Nowcasting" erhebt. Darin finden sich die Zahlen über "Neuinfektionen". In der sog. 1. Epidemie lag das Maximum bei 5.316 Neuinfektionen/Tag. Sagen wir mal, damit seien gleichzeitig 60.000 Personen in irgendeinem Stadium infiziert.

Das Modell sagt für das Maximum jedoch ca. 18 Mio Infizierte (Exposed + Infectious) voraus. Dunkelziffer hin, Dunkelziffer her, das ist ein Faktor von 300 (!), der nicht wegzudiskutieren ist. (nicht signierter Beitrag von 2003:C7:B74D:E050:1B8:1685:DF5A:FFC8 (Diskussion) 22:21, 7. Mär. 2021 (CET))

Ich denke, das Modell in diesem Artikel geht davon aus, dass sich das Virus ungehindert ausbreiten kann. Also ohne Schutzmaßnahmen. In der Realität verhindern die Schutzmaßnahmen diesen drastischen Anstieg.--Udo (Diskussion) 08:08, 8. Mär. 2021 (CET)

Tja, dieses Maximum war am 19.03.2020. Von Masken wurde noch abgeraten und es gab sie auch nicht. Empfohlen wurde Händewaschen und Abstandhalten. Und das soll 99,66% der Infektionen verhindert haben? Das müsste unbedingt mal breit diskutiert werden ... (nicht signierter Beitrag von 2003:C7:B74D:E022:2D9C:66:69A2:9C1F (Diskussion) 22:00, 8. Mär. 2021 (CET))

Kleiner Mangel bei der Stabilitätsbetrachtung

Im Abschnitt Exponentielle Anfangsphase habe ich eine kleine Schludrigkeit hinterlassen. Und zwar verbietet sich die direkte Nutzung des Hartman-Grobman-Theorems, weil zwei der Eigenwerte null sind, womit keine hyperbolische Ruhelage vorliegt. Zwar darf die Gleichung für die Resistenten aus dem System entfallen, weil sie entkoppelt ist, es verbleibt daraufhin aber immer noch ein verschwindender Eigenwert.

Man kann Hartman-Grobman aber über einen Umweg nutzen. Zur Vereinfachung die Problematik zunächst am SIR-Modell untersuchen. Das System mit demografischer Dynamik mit ν = μ betrachten. Weil N konstant bezüglich der Zeit ist, das äquivalente System definieren, in dem N eine explizite Konstante ist. Die Jacobi-Matrix hat dann keinen Eigenwert mit Realteil null mehr und das Modell geht mit einem hinreichend kleinen μ in eine beliebig gute Näherung des SIR-Modells ohne Demografie über.

Weiß jemand, ob es auf eine andere Art eleganter ginge? --Rumil (Diskussion) 10:55, 28. Dez. 2021 (CET)