Diskussion:Satz des Pythagoras/Archiv/1

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[[Diskussion:Satz des Pythagoras/Archiv/1#Thema 1]]

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https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Satz_des_Pythagoras/Archiv/1#Thema_1

Gärtnerdreieck

Bitte den Suchbegriff Gärtnerdreieck in den Text mit einbauen. Danke!

hallo ich hab gerade mein Abi gemacht und ich fände es sehr schön, wenn der vektorielle beweis mit hineingenommen würde. Wäre das möglich? Danke an Euch! (nicht signierter Beitrag von 91.5.180.5 (Diskussion) ) --QaeS 20:23, 7. Mai 2007 (CEST)

Link hinzu

Ahoi! Ich fänds schön, wenn es in dem Artikel einen Link zu einem Pythagoras-Rechner geben würde. Es gibt sicher viele, die wie ich hin und wieder auf der Suche danach sind. Und der Wikipedia-Link steht bei "Pythagoras" nunmal an erster Stelle in Google.

ein guter Beispielrechner wäre zB.: http://jumk.de/pythagoras/index.shtml

Danke!

Die Aussage bezüglich Google ist falsch. Und es benötigt ein besseres Argument als „Es gibt sicher viele, die wie ich hin und wieder auf der Suche danach sind.“ um den Link aufzunehmen. --Stefan Birkner 16:25, 16. Dez. 2006 (CET)

Gebt bei Google das ein und ihr findet viele infos zu dem Thema!

Formulierung des Satzes

Die Formulierung hier ist unvollständig (es fehlt die Rückrichtung, dass ein dreieck rechtwinklig ist, wenn die summe der flächeninhalte der kathetenquadrate gleich der fläche des hypothenusenquadrat ist). Der Satz heißt korrekt:"Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist." Man kann ihn natürlich auch andersherum formulieren. um ihn für "nichtmathematiker" leicht und einprägsam zu formulieren dann meinetwegen a²+b²=c² <-> das dreieck ist rechtwinklig. mit der allgemeinen standardbezeichnung. stoffelp

Ich will jetzt nicht wild im Artikel herumwüten, aber bei $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ kräuseln sich mir die Nackenhaare. Der Satz lautet "Die Summe der Quadrate über den Katheten ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse" und kann, je nachdem, wie die Seiten heißen, auch mal $b^{2}+c^{2}=a^{2}$ ergeben. Im Artikel steht zwar immer dabei, daß $c$ die Hypotenuse sein soll, von daher ist nicht falsch. Nur geht der ei.B. im gentliche Inhalt des Satzes verloren, wenn man ihn auf eine Formel reduziert, die eine nicht zwingende Benamsung voraussetzt. Es soll etliche Menschen geben, die völlig hilflos sind, wenn man ihnen ein rechtwinkliges Dreieck vorsetzt, in dem $a$ die Hypotenuse ist, weil für sie der Satz mit der Formel identisch ist. Dieser Form der Halbbildung sollte man hier doch bitte entgegenwirken statt sie noch zu fördern. Caballito

Na ja, aber der Artikel beschreibt im nächsten Halbsatz, was a und b sind und daneben gibt's auch noch ein Bild. Meines Erachtens mehr als genügend. --Hubi 07:59, 9. Jul 2004 (CEST)

Dem Mathematiker ist damit alles klar. Der weiß, dass a, b und c willkürliche Benennungen sind, und der weiß auch, wie er damit umzugehen hat. Nur ist dieser Artikel nicht für Mathematiker geschrieben. Und dem Nicht-Mathematiker ist das vielleicht weniger klar. Bei dem könnte zum Beispiel ankommen: Die Hypotenuse ist die Seite, die c heißt ... --Caballito

Ja, und? Was nicht dasteht, kann man auch nicht herauslesen. a) kein Platz für Missionierung, b) unwichtig an dieser Stelle. --Hubi 09:10, 13. Jul 2004 (CEST)

Hubi hat m.E. völlig recht, Kontext und Bild reichen zur exakten Erklärung vollkommen aus. --Lienhard Schulz 09:29, 13. Jul 2004 (CEST)

Was heißt hier "Missionierung", und wieso ist es unwichtig, wie etwas beim Nichtexperten ankommt? Und im Übrigen: "Wobei c die Länge der dem rechten Winklel gegenüberliegenden Seite ist" steht da wörtlich und kann also sehr wohl herausgelesen werden. Dass die Erklärung mathematisch exakt ist, hab ich nie bestritten. Ob sie aber für den Nichtmathematiker verständlich ist, das ist hier die Frage. Im übrigen ist mir kein Grund ersichtlich, wieso die Benennung der Seiten immer so hervorgehoben wird - der Satz ist jahrhundertelang ohne sie ausgekommen ... Caballito 15:01, 13. Jul 2004 (CEST)

Der Satz lautet Σ quakquak Θ kicki Γ, wobei Σ usw. für die Quadrate über den Seiten, quakquak der Operator + und kicki die Relation = darstellt. "Die Summe der Quadrate über den Katheten a und b ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse c" - wir halten uns lediglich an Konventionen. Wo ist da was unverständlich? Ah, mit ob sie für den Nichtmathematiker verständlich ist meinst du wohl ...nicht missverständlich ist. Ja ja, die Nichtmathematiker. Wenn sie was verstehen (Hypotenuse c, jawoll!), dann missverstehen sie's gleich wieder. Also ich schreib in WP immer noch + statt quakquak, Nichtmathematiker hin oder her (oder war es kicki?) --Hubi 17:13, 13. Jul 2004 (CEST)

Danke für diesen tiefen Einblick in das Seelenleben des Users Hubi. Eine weitere Auseinandersetzung erübrigt sich damit wohl.

Ich verstehe hier die Aufregung gar nicht. Der Vorschlag von Caballito ist doch vernünftig. Den Ausfall von Hubi verstehe ich noch viel weniger. Viele Gruesse --DaTroll 19:46, 13. Jul 2004 (CEST)

Was sagst du deinem Lehrer wohl, wenn er nach dem Satz des Pythagoras fragt? Natürlich a²+b²=c²! Caballito verhält sich meines Erachtens altklug und kommt immer wieder mit denselben Behauptungen. Einsteins Gleichung heißt heute ja auch griffig E=mc² (ursprünglich in Einsteins Arbeit: m=L/c², die Masse ist gleich der Energie L durch ...)--Hubi 08:04, 14. Jul 2004 (CEST)

Noch 2 Zitate:

• "Nur geht der eigentliche Inhalt des Satzes verloren, wenn man ihn auf eine Formel reduziert, die eine nicht zwingende Benamsung voraussetzt. " - Eine Formel hat immer eine leicht willkürliche Benamsung. Und der (eigentliche???) Inhalt geht durch eine - im übrigen gut erklärte - Formel niemals verloren. Konventionen helfen bei den Bezeichnungen.

• "Ob sie aber für den Nichtmathematiker verständlich ist, das ist hier die Frage." - vorher wurde aber eine andere Frage gestellt, nämlich die der potentiellen Missverständlichkeit, wenn ich zur Hypothenuse c sage? Dass ich zur Hypotenuse c sage, ist ja wohl verständlich. Benamung von Dreieckseiten ist aber hier gar nicht das Thema. Hier sollte man der Halbbildung entgegenwirken, dass durch Formeln bzw. durch Verwendung konventioneller Bezeichnungen in Formeln eigentliche Inhalte verlorengehen.

--Hubi 08:52, 14. Jul 2004 (CEST)

Wenn sich hier einer altklug und besserwisserisch verhält, dann ist es ja wohl Hubi.

Was sagst du deinem Lehrer wohl, wenn er nach dem Satz des Pythagoras fragt? Natürlich a²+b²=c²!

Es soll sogar Lehrer geben, die das durchgehen lassen. Es soll aber auch welche geben, die dann ein rechtwinkliges Dreieck an die Tafel malen, die Hypotenuse mit a benamsen, und dich fragend ansehen. Letztere sind die guten.

"Nur geht der eigentliche Inhalt des Satzes verloren, wenn man ihn auf eine Formel reduziert, die eine nicht zwingende Benamsung voraussetzt. " - Eine Formel hat immer eine leicht willkürliche Benamsung.

Der Unterscheid zwischen "leicht willkürlich" und "nicht zwingend" ist ja auch schwer zu verstehen.

Und der (eigentliche???) Inhalt geht durch eine - im übrigen gut erklärte - Formel niemals verloren. Konventionen helfen bei den Bezeichnungen.

Ich habe nicht geschrieben, dass der eigentliche Inhalt durch Formeln verlorengeht, sondern dass er in diesem Fall durch eine Reduzierung auf diese Formel verloren geht. Nämlich dann, wenn der Satz Pythagoras als eine Beziehung zwischen den drei Buchstaben a, b und c gelernt wird, und in übrigen im Hinterkopf bleibt, dass das Ganze irgendwas mit Dreiecksseiten zu tun hat. Genau so wird der Satz nämlich von vielen Schülern rezipiert. Konventionen helfen bei Bezeichnungen - aber nur, wenn hinreichend klar ist, was die Konvention eigentlich beinhaltet. In diesem Falle nämlich, dass man, wenn man a priori weiß, wo der rechte Winkel ist, die Hypotenuse c nennt. Wenn man allerdings nur ein Dreieck hat, von dem im Folgenden erst festgestellt werden soll, ob es rechtwinklig ist (die im Artikel auch angesprochene Umkehrung des Satzes - Wenn sich z.B. a posteriori herausstellt, dass $b^{2}+c^{2}=a^{2}$ ist, ist das Dreieck dann rechtwinklig oder nicht?), dann besteht eine Wahrscheinlichkeit von zwei Dritteln, dass die Hypotenuse wohl eher nicht c sein wird.

Hier sollte man der Halbbildung entgegenwirken, dass durch Formeln bzw. durch Verwendung konventioneller Bezeichnungen in Formeln eigentliche Inhalte verlorengehen.

Ja, und um diesen Strohmann kräftig lächerlich zu machen, hast du den Schwachfug mit kicki gebracht ... Nein, Es ging nicht um Halbbildung durch Formeln an sich, sondern um Halbbildung durch Reduktion dieses speziellen Satzes auf diese spezielle Formel. Ein Zusammenhang mit Einsteins Formel ist mir da irgendwie nicht ersichtlich. Und es geht in meiner Kritik im Übrigen sehr wohl und ausschließlich um die Benamung der Dreiecksseiten, und zwar nicht um die Benamung der drei Seiten mit a,b, und c, sondern ausschließlich um die Festlegung, dass c die Hypotenuse zu sein hat.

Mal abgesehen davon, dass es ohnehin sinnvoll ist, einen Satz, der Jahrtausende als ist, in einer Form zu präsentieren, wie er vor eben diesen Jahrtausenden schon formuliert werden konnte. Auch das ist nämlich ein mathematisch-historischer Aspekt: Wie die alten Griechen derartige Sätze bereits formulieren konnten, ohne den modernen Formalismus zur Verfügung zu haben.

--Caballito 11:35, 14. Jul 2004 (CEST)

Übrigens: Wenn einer $E=mc^{2}$ auswendig aufsagen kann, ist das ebenfalls bestenfalls Viertelbildung, wenn er nicht weiß, was es bedeutet. Für die kinetische Energie einer Gewehrkugel und die Masse des Gewehrs gilt die nämlich auch nicht. --Caballito 11:48, 14. Jul 2004 (CEST)

ja, ja, aber die Schüler lernen doch auch eingängige Formeln und nicht ausformulierte Sätze und das mit dem Buchstabenvertauschen wird doch ständig geübt. Beispiel: Die binomische Formel (a-b)²=a²-2ab+b² wird doch auch auswendig gelernt. Wenn ich eine binomische Formel dann beim algebraischen Höhensatzbeweis einsetze, muss ich dann auch p und q statt a und b einsetzen. Genauso kann es sein, dass ich mal für a b und für b a einsetzen muss. Das ist doch elementare Algebra. Da muss ich nicht noch ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse a bringen. Sogar im Artikel beim Ähnlichkeitsbeweis wird davon Gebrauch gemacht. --Hubi 12:06, 14. Jul 2004 (CEST)

ja, ja, aber die Schüler lernen doch auch eingängige Formeln

Und womöglich ist genau das eine der Ursachen, wieso Schüler in der Schule zwar viele Formeln aufsagen können, aber außerhalb der Schule nichts damit anfangen können, weil ihnen jeglicher Bezug der Formeln zur Realität fremd ist. Mathematik ist kein Sammelsurium von Formeln ... --Caballito 20:05, 14. Jul 2004 (CEST)

Hier muß ich Caballito zustimmen. Wenn der Lehrer sich mit "$a^{2}+b^{2}=c^{2}$" als Antwort auf die Frage nach dem S.d.P. zufriedengibt, dann überprüft er damit nur die Gedächtnisleistung des Schülers, nicht sein Verständnis. Diesem Lehrer traue ich zu, daß er auf $a*a+b*b=c*c$ nur die halbe Punktzahl (oder gar keine Punkte) gibt. Was ist nur aus unserem Volk von Dichtern und Denkern geworden... --Modran 16:22, 24. Sep 2004 (CEST)

deswegen spricht der Artikel von Baukunst und hat eine Abbildung mit einer Pyramide. Mit "auch" meinte ich "auch" und nicht "nur". Durch Weglassen der Formel wird ein Bezug von Formeln zur Realität übrigens auch nicht gerade eingeübt. --Hubi 08:01, 15. Jul 2004 (CEST)

Meine Güte, was für eine Diskussion. Also, meine Meinung zu den bisherigen Beiträgen: Es stimmt, dass Schüler oft Formeln auswendiglernen und dass sie damit nichts anfangen können, wenn die Bezeichnungen vertauscht werden. Die binomische Formel (a+b)² können (fast)alle auflösen, aber bei (v+w)² geht es in den meisten Fällen daneben.

Die Frage ist also, was will dieser Artikel? Wenn ein Schüler hier eilig (!!) den Satz nachschlägt, weil er ein Dreieck hat, deren fehlende Seitenläge er berechnen muss, dann dürfte das in den Fällen in die Hose gehen, in denen das Dreieck anders bezeichnet ist. Und das dürfte der Normalfall sein. Frage: Warum macht keiner eine Zeichnung, in der das Dreieck mit den Worten Kathete und Hypotenuse beschriftet ist, also ohne Buchstaben?

Es läuft aber doch darauf hinaus, das man klären sollte, welchen Zweck die Beiträge hier eigentlich erfüllen sollen. Es kann sich ja eigentlich nicht um ein mathematisches Lehrwerk handeln. Oder? Und gerade deshalb müsste man eigentlich versuchen, gerade am Anfang des Beitrags so wenig Formalismus wie möglich zu bringen.

Ganz meine Meinung. --Modran 16:22, 24. Sep 2004 (CEST)

• Ich teile die Bedenken gegen das mantaähnliche "a Quadrat plus b Quadrat gleich c Quadrat" (so kommt es z.B. im Artikel über Pythagoras vor!) - und habe die Einleitung entsprechend umgeschrieben. --Peter S 13:07, 25. Jan 2005 (CET)

Nur mal so ganz nebenbei: wieso meinst Du, dass das auf Gegenliebe stoesst? Die Diskussion ist doch recht eindeutig? Ganz abgesehen davon, dass der Fluss der Einleitung jetzt empfindlich gestoert ist. --DaTroll 13:14, 25. Jan 2005 (CET)

??? In der Diskussion sind Caballito, Modran, und DaTroll:-) gegen Hubi (und Lienhard Schulz) für eine möglichst eingängige Formulierung der Einleitung, also 3:2 (bzw. mit mir 4:2) für eine Änderung - oder etwa nicht???

Wieso ist der "Fluß der Einleitung" durch eine Formel weniger gestört als durch einen anschaulich formulierten Satz? (Wenn die "Bemerkung" gemeint ist: Die erscheint mir nützlich, kann aber auch an anderer Stelle stehen, oder gestrichen werden.) Und die übliche Formulierung steht ohnehin weiter unten.

Kurz: Ich verstehe Deinen (vorwurfsvollen) Einwand nicht. --Peter S 17:57, 25. Jan 2005 (CET)

Eine Diskussion ist keine Abstimmung, aber Du hast Recht, dass ich da wohl nochmal haette drueber schauen sollen. Der komplette erste Abschnitt las sich fluessig, Deine Bemerkung (die ich ziemlich belehrend finde), stoert das. Als Kompromissvorschlag koennen wir ja einfach beide Formulierungen in die Einleitung bringen. Etwas genervt war ich uebrigens deswegen, weil Aenderungen gerade in Exzellenten Artikeln wirklich wohldurchdacht sein sollten. Viele Gruesse --DaTroll 11:45, 26. Jan 2005 (CET)

Das 4:2 war auch nicht als Abstimmungsresultat gemeint, sondern als Zusammenfassung. :-)

Wenn "exzellente Artikel" praktisch tabu sein sollen, dann müßte man bei der Vergabe des Prädikats noch wesentlich restriktiver vorgehen. Ich jedenfalls sehe noch einige Schwachstellen (und würde wohl nur ein "sehr gut" vergeben).

Bei den Artikeln zur Mathematik geht es selten darum, konkrete Fehler auszubessern. Meist - und gerade bei den Artikeln zum Thema Schulmathematik - sind es die Formulierungen (Fachkauderwelsch, vage Formulierungen, durch Vokabular und Formeln überwucherte inhaltliche Aussagen, mangelnde Trennung von Voraussetzung, Definition und Aussage) die das schiefe Bild der Mathematik in der Öffentlichkeit weitergeben anstatt es zu korrigieren. Es ist schwer, die Elementarmathematik korrekt und in gut verständlichen Sätzen so zu beschreiben, daß der gutwillige, aber mathematisch nicht gebildete (eventuell von der Schule sogar verbildete) Leser das wesentliche erkennt. (Es ist verhältnismäßig leicht, Artikel zu schreiben, die dem mathematisch vorgebildeten Leser ein Thema nahebringen, vgl. Geometrisierung.)

Daher darf (bzw. soll) eine Enyklopädie auch vor verbreiteten Mißverständnissen warnen - auch wenn es belehrend wirkt! (Ist es nicht eine Aufgabe von Enzyklopädien, den Leser zu belehren?)

--Peter S 14:30, 26. Jan 2005 (CET)

• Zu der Neugestaltung:

  Auch mich hat das "Grellbunte" an der Zeichnung gestört. Im Gegensatz zu dem nichtssagenden rechtwinkeligen Dreieck hat es jedoch die Aussage des Satzes gezeigt.

  Warum ist denn die umständliche Formulierung mit a,b,c, Hypothenuse und Kathete so wichtig? Sie gibt doch genau das wieder, was Mathematik nicht ist - ein unnötig kompliziertes und (für viele) unverständliches Gestammel! (Wie gesagt: Weiter unten im Artikel kann/darf/soll/muß sie dann stehen!)

  "motiviert das Konzept des Senkrechtstehens" ist für mich ein Beispiel für schwammige, mißverständliche Formulierungen - er motiviert nicht das Konzept, sondern er wird als typisch erkannt, und dient daher zur Definition/Kennzeichnung.

  Ich will keinen "Krieg", aber ich werde über nochmalige Änderungen nachdenken. --Peter S 14:48, 26. Jan 2005 (CET)

• • i) Nein, es ist nicht unsere Aufgabe, belehrend zu sein. Wer nichts lernen will, dem bringt das nicht, wer doch, der fuehlt sich dadurch bevormundet. ii) Die grellbunte Zeichung macht Augenkrebs. Wenn Du eine schoenere machen koenntest waere ich sofort dabei, sie nach oben zu packen, ansonsten sperre ich mich strikt dagegen. iii) Tja, weil ganz viele andere Leute die Formulierung ganz prima fanden, verstaendlich und von Gestammel weit entfernt? Mal ganz im Ernst, Deine Erklaerung finde ich auch nicht wirklich toll. iv) Schlag was besseres vor. Deine Formulierung zum Senkrechtstehen ist es nicht, weil zur Definition des Winkels immer das Skalarprodukt genommen wird, aber nie der SpD. v) Aha, Du willst keinen Krieg. Aber Du wirst einen fuehren oder wieso erwaehnst Du das explizit? Was soll denn sowas? vi) Natuerlich sollten exzellente in gewissem Sinne Tabu sein. Die Artikel sind meist in muehsamer Arbeit von verschiedenen Autoren entstanden, die sich dabei sehr viel gedacht haben, von der Auswahl der Abschnitte bis zur Struktur und (ganz wichtig) die Einleitung. Da gross was zu aendern fuehrt eigentlich immer zu einer Verschlechterung des Artikels, weswegen man sich sehr genau ueberlegen sollte (repeat), was man da macht. --DaTroll 16:23, 26. Jan 2005 (CET)

i) Du scheinst "belehrend" anders zu verstehen als ich: gefällt Dir "vor Mißverständnissen bewahren" oder "auf das Wesentliche hinweisen" besser?

ii) "Augenkrebs": tja, dann gehört die Zeichnung wohl überhaupt weg ... und der - wohl auch nur für den bereits "Eingeweihten" verständliche - animierte Scherungsbeweis auch.

iii) Wieviele Nichtmathematiker wurden gefragt? Wieviele waren bloß froh, weil sie die "Zauberformel" wiedererkannt haben? Der Satz ist ein Satz über Flächen, nicht über Längen oder Zahlen.

iv) Darüber werde ich nachdenken -- wie ich ja schon gesagt habe. (Ich habe es nicht so eilig wie Du :-) Aber was ist den a^2+b^2=(a+b)^2 anderes als ab=0? Die motivierende "Idee" des Senkrechtstehens ist der halbierte gestreckte Winkel, nicht der "Pythagoras" (wo wäre denn dann der rechte Winkel in der nichteuklidischen Geometrie?)

v) Weil ich mich (ein wenig) bekriegt fühle ;-)

vi) "mühsame Arbeit" und "viel gedacht" -- ja, anerkannt. Aber daraus abzuleiten, daß alles optimal sei und nur mehr schlechter werden könne -- nein! Auch ich habe mir das "sehr genau" überlegt :-)

P.S.: Zur Anregung und zum Nachdenken: (a) Die Fermatsche Gleichung hat hier (wie schon an anderer Stelle zu lesen) nichts verloren. Er ist eine Verallgemeinerung der diophantischen Gleichung, nicht des geometrischen Satzes. (b) Stattdessen wäre z.B. ein Absatz über die Diagonale im Quader durchaus passend. (c) Die Gliederung des geschichtlichen Teils gehört überdacht. Schließlich ist der Satz kein europäisches Monopol. (d) Auch das steht schon anderswo: Die Inkommensurabilität von Seite und Diagonale des Quadrates ist nur vielleicht über den pythagoräischen Satz entdeckt worden, und auch das möglicherweise erst nach der Entdeckung dieses Umstands bei der Fünfeckdiagonale. ("irrational" ist ein moderner Ausdruck, der im geschichtlichen Zusammenhang nicht so ohneweiteres verwendet werden sollte!)

--Peter S 18:41, 26. Jan 2005 (CET)

i) Wie man es nennt, ist egal: wenn es belehrend rueberkommt, ist es belehrend. Das finde ich nicht gut und das ist mein Punkt. ii) Nein, sie sollte aber nicht direkt abschreckend am Anfang stehen. iii) An der Kandidatenabstimmung beteiligen sich regelmaessig eigentlich nur Nichtmathematiker. Leider wurde die Abstimmung nicht archiviert :-( Widererkennung ist uebrigens nicht schlecht, ganz im Gegenteil, sie foerdert ganz massiv das Verstaendnis. Meiner Meinung nach ist das besondere am Satz auch nicht das mit den Flaechen, sondern dass ein rein geometrischer Sachverhalt nur mit den Mitteln der euklidischen Geometrie durch Zahlen ausgedrueckt werden kann. Sprich: die Formel ist zentral. Ohne die Formeln der Satzgruppe des Pythagoras waere die rein euklidische Geometrie ziemlich belanglos. Ich meine auch, dass das Problem des mangelnden Abstraktionsvermoegens von a, b, c, nach etwa d, e, f oder c, a, b auch bei einer formellosen Beschreibung erhalten bleibt. Ich behaupte einfach mal, dass der typische Leser mit der Formel mehr anfangen kann, als mit der Formulierung ueber die Flaechen, bei der er dann gar nicht mehr weiss, was er machen soll.

iv) Tja, ich weiss ja eh nicht wieso Du die urspruengliche Formulierung geaendert hast. Die gefaellt mir immer noch am besten. v) und vi) Weder Lienhard noch ich konnten in Deiner Aenderung der Einleitung eine Verbesserung erkennen. Mir persoenlich liegt der Artikel hier am Herzen, deswegen auch die deutliche Reaktion. Ich sehe aber kein Problem, dass wir nicht konstruktiv diskutieren koennen. Zum P.S.: Solange die Hauptsache nicht geklaert ist, macht es denke ich keinen Sinn, neue Baustellen anzufangen. Ruhig der Reihe nach. Viele Gruesse --DaTroll 11:48, 27. Jan 2005 (CET)

• • In die mathematische Fachdiskussion kann ich mich mangels Kenntnis nicht einmischen. Wie auch immer Ihr Euch einigt: die Einleitung lässt inzwischen den seinerzeit gemeinsam erzielten Lesefluss und jede Stringenz vermissen. Die beiden Definitionen stehen verbal unvermittelt hintereinander. Die Wendung über das Konzept des Senkrechtstehens wirkt wie ein Fremdkörper an dieser Stelle und erklärt in der vorhandenen Kurzform (zumindest dem Laien) - nichts. Die Überleitung zum historischen Teil erscheint nunmehr vollkommen unmotiviert. Insgesamt ein Sammelsurium von unvermittelten Bruchstücken - in der vorliegenden Form ist die Einleitung alles andere als "exzellent". Solltet Ihr damit nicht klar kommen, versuche ich gerne, das wieder ins Lot zu bringen, wenn Einigkeit besteht, welche Aspekte und Formulierungen einleitend unverzichtbar sind. Hallo DaTroll, sprich mich dann ggfs. einfach an. --Lienhard Schulz 15:36, 26. Jan 2005 (CET)

• • • Na klar! --DaTroll 16:25, 26. Jan 2005 (CET)

Was ist denn jetzt mit dieser Diskussion hier? --DaTroll 13:04, 10. Feb 2005 (CET)

Ich habe zuletzt immer nur recht kurz vorbeischauen können, und dann lieber unstrittige (und rasch zu erledigende) Dinge getan ;-) Auch jetzt nur zu einigen Punkten:

• die englischen und französischen Artikel verwenden eine nur dezent gefärbte Figur -- vielleicht ist sie für Dich akzeptabel? (Nebenbei: beide Artikel betonen den Aspekt der Flächen.)
• Historisch ist der Satz eindeutig ein Satz über die Flächen. Für die Pythagoräer und Euklid ging es darum, das Verhältnis von Flächen mit dem Verhältnis der Seiten in Zusammenhang zu bringen. Das zeigt sich auch an der verallgemeinerten Form für ähnliche Figuren!
• Kürzlich gab es ein "nano" wieder einmal ein Beispiel für den gedankenlosen Umgang mit der Formel: In der Lösung zur Rätselfrage über "Winkel" wurde vom "Satz des Pythagoras a Quadrat plus b Quadrat gleich c Quadrat" gesprochen, ohne den Variablen a, b, und c einen Sinn zu geben.
• Warum sollte man nicht andere Teile des Artikels bearbeiten, wenn man sich über die Einleitung nicht einig ist?

--Peter S 16:32, 14. Feb 2005 (CET)

Was ich noch fragen wollte: Wie kommt es, daß die die Abstimmung über den Artikel nicht archiviert ist? Muß sie nicht zumindestens als frühere Version irgendwo auftauchen? (In der französischen Fassung habe ich bei einem exzellenten Artikel jedenfalls einen Verweis auf die Diskussion gefunden.) --Peter S 16:42, 14. Feb 2005 (CET)

Das englische Bild trägt keine Lizenz. Es wird dort vermutet, daß es Fair Use ist, Fair Use ist aber keine hier verwandte Lizenz. Ansonsten stelle ich mir die Bilder so in etwa vor. Ich habe aber gerade eine Idee, wer uns helfen könnte.

Klar _können_ wir uns auch über alles mögliche andere unterhalten. Aber bitte nicht im selben Diskussionsthread, das wird dann ja noch unübersichtlicher. Viele Gruesse --DaTroll 09:35, 15. Feb 2005 (CET)

Die Abstimmung ist versehentlich nicht aufgenommen worden - ich habe sie jetzt unter die Review-Diskussion kopiert. --Lienhard Schulz 17:28, 14. Feb 2005 (CET)

Irrationalität und S.d.P.

Was hat denn der S.d.P. mit ${\sqrt {2}}$ und dessen Irrationalität zu tun? --Blubbalutsch 19:45, 8. Jun 2004 (CEST)

Der Satz liefert eine Gleichung für die Länge der Diagonalen eines Quadrats mit Seitenlänge Eins: $1^{2}+1^{2}=2=c^{2}$, wobei c die Länge der Hypothenuse ist. Die positive Lösung dieser quadratischen Gleichung nennen wir Wurzel 2. Der Ansatz einer rationalen Lösung für genau diese Gleichung liefert einen Widerspruch, also ist Wurzel 2 irrational. Das sollte durchaus noch in den Artikel rein. Ich weiss nur nicht genau, wo. --DaTroll 22:53, 8. Jun 2004 (CEST)

Ok, ich finde auch, dass das unbedingt im Artikel erläutert werden sollte, ich schau mal, ob ich sehe, wo man es am besten einfügen kann. --Blubbalutsch 09:20, 9. Jun 2004 (CEST)

Ok, ich will jetzt nicht in den Artikel reinschreiben, weil das sicher andere besser formulieren können. Aber die Irrationalität von Zahlen überhaupt hat Hippasos (ein Pythaoräer) entdeckt, aber eben nicht über die Diagonale des Einheitsquadrates; so abstrakt wie "Zahlen" war der Begriff der Rationalität nicht ganz. Er hat vielmehr versucht, Verhältnisse von Längen in einem 5-Eck zu bestimmen (die nach den Pythagoräern immer eben Verhältnisse ganzer Zahlen sein sollten) und ist dabei darauf gestoßen dass das mit ganzen Zahlen nicht hinhauen kann. Eine recht gute Beschreibung gibt dazu z.B. Beutelspacher hier:
http://www.geo.de/GEO/wissenschaft_natur/2001_12_GEO_unendlichkeit_denker/?SDSID=
wird aber auch sehr gut erklärt im Geometriebuch "Anschauliche Geometrie 9" von Barth/Ossiander(?)
Könnte man das vielleicht noch reinbringen? Ich finde es schon wichtig, dass die Griechen auf Streckenverhältnisse und nicht abstrakte Zahlen aus waren. --Anna

Interessant. Wenn das so stimmt, muessen wir den Artikel entsprechend aendern. Viele Gruesse --DaTroll 16:08, 5. Jul 2004 (CEST)

Start der Diskussion

(auf ausdrücklichen Wunsch Vorschlag zurückgezogen, war kein böser Wille -- Necrophorus 04:43, 9. Jun 2004 (CEST)) Es wird mal langsam Zeit für den ersten Mathematik-Artikel bei den Exzellenten, in der Diskussion auf dem Portal Mathematik wurde der Satz des Pythagoras vorgeschlagen, was haltet ihr davon? --Blubbalutsch 03:27, 5. Jun 2004 (CEST)

Hab den Artikel noch nicht gelesen, aber eines fehlt auf dem ersten Blick: die Anwendung! Das war bereits bei meiner Facharbeit ein wichtiger Punkt, auf den mich mein Lehrer gleich am Anfang hingewiesen hat. -- srb 03:35, 5. Jun 2004 (CEST)

Vorweg: optisch ist der Artikel prima gemacht und weitestgehend ist er auch super verständich,. Kleinigkeiten: Bei dem Scherungsbeweis sollte nicht davon ausgegangen werden, dass jeder Leser den Begriff "Scherung" kennt. Die animierte Grafik stört an der Stelle etwas die Konzentration (obwohl ich die auf der anderen Seite klasse finde), ausserdem tauchen darin nicht erklärte Formelzeichen auf (Buchstaben a, b, h, p und q), die zwar vielen bekannt sind, als solches jedoch nicht vorrausgesetz werden können. Was ist ein euklidischer Raum? Ya, und die oben angefragte Anwendungen fehlen mir auch noch (Physik, Architektur). Liebe Grüße, -- Necrophorus 09:56, 5. Jun 2004 (CEST)

Wenn bei mir überhaupt etwas hängen blieb aus der Schulzeit zu diesem Satz, dann die Geschichte, Pythagoras habe den Satz zur Vereinfachung von Kornfeldberechnungen im Nildelta entwickelt. Das stimmt wohl nicht, wenn nicht einmal sicher ist, ob der Satz auf Pythagoras zurückgeht. Aber irgendetwas in der Richtung sollte in den Artikel rein. Der Satz ist nicht vom Himmel gefallen (bitte hierzu jetzt keine Diskussion mit dem Portal Religion), sondern ist in einer ganz konkreten historischen Situation und in einem ganz konkreten gesellschaftlichen Umfeld entstanden. Dazu und warum er gerade in dieser Zeit entstand (entstehen konnte) fehlt meines Erachtens ein Abschnitt bzw. der Abschnitt Geschichte ist zu kurz. Der Beitrag scheint von einem waschechten Mathematiker geschrieben zu sein, dem, wie vielen in seiner Zunft, die geschichtlich-gesellschaftliche Dimension ggfs. ein rotes Tuch ist und dem vor lauter Unlust nichts Rechtes dazu gelingen wird. Sollte dem so sein, Vorschlag: einen Geschichtler (o.ä.) um Hilfe bitten bzw. entsprechender Aufruf an einen Geschichtler hier und jetzt.--Lienhard Schulz 12:02, 5. Jun 2004 (CEST)

Das mit der Geschichte ist meines Erachtens das größte Problem. Mathematikgeschichte ist weder Schulstoff, noch Pflichtstoff eines mathematischen, naturwissenschaftlichen oder historischen Studienganges. Dementsprechend gering ist dazu das Wissen, was so insgesamt bei Wikipedianern und auch Mathematikern dazu rumschwirrt. Hier hilft häufig nur die Recherche. Ganz so wie Du es darstellst, ist der Satz übrigens auf keinen Fall entstanden. Pythagoräische Tripel sind schon extrem alt und der Satz wurde bestimmt von mehreren Leuten zu unterschiedlichen Zeiten gefunden und bewiesen, schon lange vor Pythagoras. Aber da Euklid ihn Pythagoras zuschreibt und die Leute 2000 Jahre nur Euklid als Lehrbuch benutzt haben, heißt er jetzt halt so.

Das ist ja auch der Grund, warum hier so viel Wert auf die Geschichte gelegt wird - die kommt in anderen Darstellungen, wie Lehrbüchern etc., meist viel zu kurz. Nur in den seltensten Fällen kann man gute Artikel ganz ohne Recherche schreiben, von exzellenten ganz zu schweigen - ich bin auch schon bei dem einen oder anderen Artikel fast verzweifelt. ;-) -- srb 03:17, 6. Jun 2004 (CEST)

Was die Anwendungen angeht, das ist ein eher klassisches Problem. Sie sind a) extrem vielfältig und b) dem Mathematiker offensichtlich, so daß "wir" manchmal gar nicht auf die Idee kommen, daß da noch was fehlen könnte :-( --DaTroll 17:19, 5. Jun 2004 (CEST)

Dazu ist ja der Review da. -- srb 03:17, 6. Jun 2004 (CEST)

Meiner Meinung nach hat sich dieser Artikel spätestens wenn man noch praktische Anwendungen hinzufügt und vielleicht auch noch etwas von Historie ergänzt (wobei ich von dieser nichts weiß) das Prädikat "Exzellenter Artikel" verdient. Zudem finde ich, dass man bei mathematischen Artikel zwar versuchen sollte, alles so einfach wie möglich zu erklären, aber er sollte doch ein gewisses Niveau haben und einige Dinge muss man doch vorraussetzen können. --Thomas G. Graf 18:12, 5. Jun 2004 (CEST)

Gilt meines Erachtens nicht nur für mathematische Artikel: Alle Artikel sollten so einfach wie möglich sein, ohne an Präzision und Vollständigkeit einzubüßen. Der erste Teil sollte auch absoluten Laien eine Einordnung gestatten und wenigstens eine grobe Vorstellung vom behandelten Thema geben, der restliche, vertiefende Teil darf durchaus angemessene Grundkenntnisse voraussetzen (so viel wie nötig, so wenig wie möglich). In dieser Hinsicht scheint mir der Artikel eigentlich schon gut gelungen. – "Remember me" 18:35, 5. Jun 2004 (CEST)

Natürlich muss man nicht bei Adam und Eva anfangen, in jedem Artikel alles neu zu erkären - aber dazu sind ja auch die Links da: Auch wenn z.B. Scherung nicht erklärt werden muss, so sollte doch zumindest ein Link auf eine Erklärung angegeben sein. Die Scherungsgrafik finde ich sehr gut, aber sie sollte erklärt werden - wer nicht so vertraut ist mit der Mathematik, sieht eigentlich nur ein paar springende Linien und Flächen, weiß aber nichts mit anzufangen. -- srb 03:53, 6. Jun 2004 (CEST)

Der Unterschied zwischen gut und exzellent liegt häufig in Kleinigkeiten - es heißt ja nicht umsonst, "das Auge ißt mit". Einige Ideen dazu:

• Am Layout könnte auch noch einiges gedreht werden, z.B. die obere Flächengrafik neben das Inhaltsverzeichnis und die anderen Grafiken nicht zentriert, sondern außen und den Text daneben.
• Da die Satzgruppe des Pythagos schon in der Einleitung erwähnt wurde, würde sie sich eigentlich auch in der Gliederung anbieten.
• Beim Cosinussatz würde ich eine Umkehrung der Logik empfehlen, nicht mit Verallgemeinerung, sondern ist ein Spezialfall
• der Punkt kartesisches Koordinatensystem wirkt unter Verallgemeinerungen deplaziert.
• die Verlinkung sollte noch mal überprüft werden, da könnte m.E. noch einiges verlinkt werden. -- srb 03:53, 6. Jun 2004 (CEST)

Zitat: * der Punkt kartesisches Koordinatensystem wirkt unter Verallgemeinerungen deplaziert.

Ist aber eine Verallgemeinerung, nämlich für den Fall, wenn das Dreieck irgendwo in der Ebene liegt. Ist natürlich auch irgendwie eine Anwendung. Was schlägst du vor?

Zitat: * Beim Cosinussatz würde ich eine Umkehrung der Logik empfehlen, nicht mit Verallgemeinerung, sondern ist ein Spezialfall

Dass der S.d.P. ein Spezialfall ist, wird ja zu Anfang des mathematischen Teils gesagt. Ich halte es für das Verständnis in diesem Fall eigentlich für besser, nicht erst mit dem komplizierteren Speziallfall anzufangen.

Zu den anderen Punkten: Mir gefällt das Layout jetzt besser (Änderung von Lienhard Schulz). --Blubbalutsch 09:35, 8. Jun 2004 (CEST)

Ich möchte noch einmal nachdrücklich auf die Relevanz eines historischen Absatzes hinweisen. Wenn die historische Dimension in den mathematischen Studiengängen weitgehend fehlt, muss man sich tatsächlich die Mühe machen, diese Hintergründe zu recherchieren oder eine Bibliothek aufzusuchen, wie es bereits für viele exzellente Artikel nötig war und auch gemacht wurde. Zum grundsätzlichen Problem, mathematische Themen in exzellenter Art und Weise enzyklopädisch darzustellen, habe ich versucht, bei Portal Diskussion:Mathematik einige Überlegungen beizusteuern.--Lienhard Schulz 09:18, 6. Jun 2004 (CEST)

Statt weiter zu meckern, habe ich mal die Einleitung umgeschrieben, das Ganze umgegliedert, den Abschnitt "Literatur" und zwei historische Kapitel ergänzt, dabei im zweiten das bisher dazu Vorhandene integriert. Folgendes an die Autoren/Mathematiker:
- bitte prüfen, ob mathematisch Bestand hat, was ich gezwungenermaßen an Mathematik in die Geschichtsteile einbauen musste.
- 1) Erhebt man die Zahlen ins Quadrat und bringt sie in eine Gleichung, ergibt sich ... - kann man das wirklich so ausdrücken ???
- 2) bei Teil 2 der Geschichte bin ich unsicher: ... diesen Satz weiterentwickelt zu haben. Stimmt das? Haben die Pythagoreer ihn weiterentwickelt?
- 3) Ihr hattet geschrieben, der Satz sei erstmals auf babylonischen Tontafeln, der Hammurabi Dynastie abgebildet. Wo habt Ihr das her bzw.: was genau ist auf den Tafeln dazu dargestellt? Nach den mir vorliegenden Informationen stellen die Tafeln "lediglich" Pythg. Zahlentripel und teils ihre je konkrete Quadratur dar, aber nicht den abstrakten Satz. Pythagoros könnte also durchaus Urheber des "Satzes" (als Verallgemeinerung der Zahlentripel) gewesen sein !!?? - Ich habe Eure Passage dazu erst einmal dahingehend geändert. Wäre aber wichtig, diesen Sachverhalt noch fundierter zu klären. (Ich weiß, dass es bei Google viele Passagen gibt in Richtung: War selbst der Satz des Pythagoras den Babyloniern schon bekannt ... . Das will aber noch nicht viel heißen, da schreibt einer vom Anderen ab. Kommt jemand an eine richtige, glaubwürdige und ausführliche Quelle ran?)
- 4) Bitte wenigstens ein Buch, möglichst zwei, bei der Literaturliste, Teil 2 zufügen !!!!
Ich kann nicht beurteilen, ob die oben mehrfach beanstandete fehlende Anwendung nach wie vor ergänzt werden muss. Ansonsten denke ich, dass der Artikel jetzt den berühmten runden Eindruck macht und bald vorgeschlagen werden könnte, was meint Ihr?--Lienhard Schulz 07:55, 8. Jun 2004 (CEST)

Der Artikel hat sich seit Eintrag ins Review super entwickelt, obwohl er schon als gut eingetragen wurde! (Zu Necrophorus oben). Scherung sollte man zwar erklären, aber nicht unbedingt in diesem Artikel -> werde mal einen Verweis zu Scherung (Geometrie) (wahrscheinlich noch zu erstellen) anbringen, das sollte genügen. Die Kleinbuchstaben sind einfach Bezeichnungen für Hilfslinien und Seiten, sind also reine Konventionen. Anwendungen/Geschichte usw. sind jetzt genügend drin. Mal was anderes. Ich hatte mal überlegt, einen Feature Request <print>, </print> bzw. <noprint>, </noprint>. Alles zwischen den print-Tags erscheint (nur) in der Druckversion, alles zwischen noprint im Artikel. Eine ähnliche Funktion haben z.B. auch Programme wie TexInfo etc. Die Veranschaulichung des Scherungsbeweise als Animation macht den Sachverhalt viel besser klar als einzelne Bilder. In der Druckversion könnte man stattdessen dann die einzelnen Bilder unterbringen. Wen die Animation stört, kann den Artikel dann hilfsweise auch in der Druckversion betrachten. Meinungen? --Hubi 08:36, 8. Jun 2004 (CEST)

Super! Es freut mich sehr, dass sich jemand der Geschichte angenommen hat :-). Noch 1 bis 2 Tage um noch ein paar kleinere Korrekturen/Ergänzungen zu erledigen, dann kann der Artikel IMHO auf die Liste. --Blubbalutsch 09:14, 8. Jun 2004 (CEST)

Ich habe mal einen Grafiker zu den Diagrammen gefragt, der sie allgemein als "zu bunt" einstufte. Na ja, Grafiker sind halt immer Fans von Mischfarben (Magenta) und Farbverläufen --Hubi 08:36, 8. Jun 2004 (CEST)

Ja, die Farbgebung der Diagramme gefällt mir auch nicht soo gut, da sehen die Bilder aus der englischen Wikipedia schon deutlich stylischer aus: en:image:Pythagorean.png und en:Image:Pythagorean_proof.png. Allerdings demonstriert nur das Zweite einen gleichen Sachverhalt wie unsere Bilder mit der "bunten Farbgebung".--Blubbalutsch 09:35, 8. Jun 2004 (CEST)

Mit den Zusätzen von Lienhardt und der Anlinkung der Fachbegriffe bin ich auch mittlerweile überzeugt, mit den Kleinbuchstaben in der Grafik kann ich leben (ich weiß ja, was sie bedeuten). Mathematische Fachliteratur wie angeregt wäre noch prima, ansonsten käme von mir jetzt wohl auch ein pro. Liebe Grüße, -- Necrophorus 10:14, 8. Jun 2004 (CEST)

Ja, die dezenteren Farben in den englischen Bildern sind schon angenehmer, allerdings schauen mir die konkret dann doch zu stark nach Babyfarben aus. Die Schattierung im zweiten Bild ist zwar nett und grafisch ansprechend, hier aber meiner Meinung nach absolut kontraproduktiv, eigentlich sogar etwas irritierend. /Ausdruck gelöscht/ --Hubi 10:42, 8. Jun 2004 (CEST)

Mathematische Fachliteratur zu Pythagoras ist schwierig, da nichteuklidische Geometrie zu weit weg vom Thema ist und euklidische bereits in der Schule abgehandelt wird. --Hubi 10:42, 8. Jun 2004 (CEST)

Danke an Lienhard Schulz, der Artikel hat durch die Erweiterungen und Bilder sehr gewonnen. --DaTroll 11:51, 8. Jun 2004 (CEST)

Der Arikel ist jetzt vorgeschlagen, die Farbnuancierierungen sollten einer Exzellenz ja wohl nciht im Wege stehen. Liebe Grüße, -- Necrophorus 22:02, 8. Jun 2004 (CEST)

Wäre nicht eine historische Münzabbildung von Pythagoras besser als eine "Nachzeichnung" ? Darauf sieht (sorry !!!) Pythagoras biserl doof aus. Gruss thomas 00:44, 9. Jun 2004 (CEST)

aus der Vorschlagsdikussion

• pro: Durch das Wikipedia:Review wurde an dem Artikel noch ordentlich gefeilt, sodass er in der jetzigen Form sowohl als Fachartikel der Mathematik als auch als historischer Artikel das Prädikat "exzellent" verdient. -- Necrophorus 22:01, 8. Jun 2004 (CEST)
• abwartend: Mir ist unverständlich, warum der Artikel bereits hier eingestellt ist. Blubbalutsch z.B. hatte sich ausdrücklich vor einer Einstellung hier ein bis zwei Tage an weiterer Bearbeitungszeit für Korrekturen und Ergänzungen gewünscht. Warum wird dieser Wunsch nicht ernst genommen ??. In der Wikipedia:Review, jetzt nachzulesen bei Diskussion:Satz des Pythagoras, wurden ebenso ausdrücklich vor einer Einstellung hier u.a. die Mathematiker darum gebeten, die Literaturliste, Teil 2, zu ergänzen. Dies ist noch nicht erfolgt (die Bitte liegt auch gerade mal rund 16 Stunden zurück). Welchen Vorteil bringt es, diese Wünsche von Benutzern zu ignorieren? Um einen oder zwei Tage früher auf dieser Liste zu erscheinen?? Warum ??? fragt sich --Lienhard Schulz 23:00, 8. Jun 2004 (CEST)
  • Sorry, ich habe das etwas anders verstanden: Die letzen Diskussionen drehten sich beinah ausschliesslich um die Farbgestaltung der Bilder, deshalb ging ich davon aus, dass sich die anderen Fragen innerhalb dieser Einstellung wohl klären werden. Wenn es tatsächlich gewünscht ist, kann ich die Einstllung auch gern wieder rückgängig machen. Bezüglich der Mathematik-Literatur gab es den Einwurf, dass die wohl nicht zu beschaffen. Ich wollte niemandem weh tun, und vor allem nehme ich den Wunsch durchaus ernst, wenn er besteht.
• neutral (vorläufig): Ich denke der Artikel ist übersichtlich, sehr informationsgeladen und gut illustriert. Bei der Gliederung würde ich anregen, den Geschichtsabschnitt weiter nach hinten zu setzen und erstmal etwas ausführlicher darauf einzugehen, was der Satz des Pythagoras denn überhaupt aussagt. Detailkritik: Ich verstehe nicht ganz, was der Große Satz von Fermat hier zu suchen hat. Außer der oberflächlich ähnlich aussehenden Gleichung hat dieser Satz aus der Zahlentheorie mit dem geometrischen Satz des Pythagoras schlichweg gar nichts zu tun. Trotzdem schon ein sehr guter Artikel. --mmr 23:59, 8. Jun 2004 (CEST)

Letzte Verbesserungen vor Kandidatur

So, m.E. fehlt jetzt nur noch Fachliteratur und evt. Anwendungen. Wobei beides sehr schwierig ist.

Fachliteratur: In meiner Fachliteratur (ist allerdings noch nicht wirklich viel ;-) finde ich nur Sachen nach dem Motto: "Beweisen Sie den Satz von Pythagoras" (mehr steht im ganzen Buch nicht ;-)). Hat jemand irgenwas, was zumindest mal ne ganze Seite zum Pythagoras auf hohem Niveau enthält?--Blubbalutsch 20:05, 9. Jun 2004 (CEST)

Falls Ihr nichts findet, den zweiten Absatz unter Literatur ganz streichen.--Lienhard Schulz 21:02, 9. Jun 2004 (CEST)

Anwendungen: Auch Problematisch, was für Anwendungen hat z.B. die Addition? Ist natürlich etwas überspitzt ausgedrückt. In einer mathematischen Newsgroup wollte jemand mal wissen, was es für einen Beruf gibt, der konkret mit Determinanten zu tun hat, Antwort in der Newsgroup: Determinantenschlosser ;-). Zumal es mit den Kartesichen Koordinaten und dem Konzept des Senkrechtstehens schon die Hauptanwendungen genannt sind.--Blubbalutsch 20:05, 9. Jun 2004 (CEST)

Ich finde gut, dass Ihr den Absatz über die Entdeckung der Irrationalität aus der Einleitung wieder rausgenommen habt. Die neue Stelle finde ich allerdings auch denkbar schlecht, weil sie den einheitlichen Stil der bisherigen historischen Kapitel brutal zerschneidet. Vorschlag: entweder davor, oder besser noch: danach, also als dritter historischer Abschnitt - das wäre dann m.E. eine gelungene Überleitung zum dann folgenden "strengen" mathematischen Teil, die vorher etwas abrupt war. Und unbedingt umbennenen das Kapitel. Jetzt: "Einfluss für die Mathematik"; wenn schon so, dann: "Einfluss auf die Mathematik". Ist aber eh fragwürdig, denn der Satz drückt so aus, dass Mathematik Einfluss auf die Mathematik hat ... der SdP ist Mathematik. Vorschlag Überschrift: "Die Entdeckung der Irrationalität". (Passt gut und leitet gut über).--Lienhard Schulz 21:02, 9. Jun 2004 (CEST)

Ich fand die Überschrift auch seltsam, dein Vorschlag ist natürlich besser. Das nächste mal: Wikipedia:Sei mutig. --Blubbalutsch 23:57, 9. Jun 2004 (CEST)

Zur Kritik von Aglarech: Die Einleitung wurde ja leicht angepasst und diese Art der Gliederung kam ja durch den Wunsch nach einer leichtverständlichen Einleitung zu stande. Desweiteren ist Fermat doch ziemlich offensichtlich eine Veralgemeinerung des S.d.P., bei n = 3 würde man halt nach räumlichen Pytagoräischen Tripeln fragen (die es ja nicht gibt).${\sqrt[{n}]{2}}$ ist ja auch ne Verallgemeinerung von ${\sqrt {2}}$.--Blubbalutsch 20:05, 9. Jun 2004 (CEST)

So, von mir aus koennen wir ihn jetzt vorschlagen. Ich finde, wir haben exzellente Arbeit geleistet :-) --DaTroll 14:43, 10. Jun 2004 (CEST)

Ganz meine Meinung, ich hab ihn mal eingestellt --Blubbalutsch 15:41, 10. Jun 2004 (CEST)

verwaistes Bild

Beim Durchforsten der verwaisten Bilder habe ich gefunden. Falls es nicht mehr gebraucht wird, bitte unter Wikipedia:Löschkandidaten/Bilder eintragen. --Raymond 20:41, 13. Jul 2004 (CEST)

Eigentlich bin ich dagegen, Bilder zu löschen, auf die alte Versionen von Artikeln verweisen. Die Aussage kein Artikel verweist auf dieses Bild heisst ja genauer keine aktuelle Version eines Artikels verweist auf dieses Bild. Es geht mir nicht konkret um dieses Bild, aber einige Artikel (ich meine hier nicht S.d.P) sind in älteren Versionen einfach besser und später verschlimmbessert worden, könnten später aber aus der Versenkung geholt werden. Die alten Versionen sind abrufbar und genaugenommen auch veröffentlicht unter GNU FDL. Daher sollte die Strategie, Bilder "ohne" Artikel nochmals überdacht werden. (Oder ist dies schon diskutiert worden?) --Hubi 07:57, 15. Jul 2004 (CEST)

39:15:36 ist 13:5:12 ?

Im Artikel ist vom Verhältnis 39:15:36 (Inder) die Rede. Die Zahlen sind aber durch drei teilbar, oder ich steh auf dem Schlauch, also eigentlich 13:5:12. Wieso also 39:15:36? --Hubi 07:51, 15. Jul 2004 (CEST)

Weil 39^2=15^2+36^2. Viele Gruesse--DaTroll 14:16, 16. Jul 2004 (CEST)

Sehr interessant, aber es ist auch 13^2=5^2+12^2 und

3*13=39,

3*5=15,

3*12=36,

also kann man 39:15:36 durch drei kürzen? Wieso also 39 nehmen und nicht 13. Läuft beim Verhältnis auf dasselbe hinaus.--Hubi 14:24, 16. Jul 2004 (CEST)

ganz richtig - man kann jedes pythagoräische tripel kürzen oder erweitern, da

(x*c)^2 = (x*a)^2 + (x*b)^2

=> x^2 * c^2 = x^2 * a^2 + x^2 * b^2 und diese gleichung lässt sich offensichtlich durch x^2 teilen.

Also auch meine frage: warum nicht durch 3 kürzen?--Nikolaus 15:04, 16. Jul 2004 (CEST)

Das muesst ihr glaube ich die Inder fragen :-) Mal mehr im Ernst, Lienhard Schulz hat meines Wissens diesen Beitrag geleistet. Seine Quellen sind unten angegeben. Ich habe keine Ahnung, wieso die Inder ausgerechnet dieses Tripel benutzt haben. Viele Gruesse --DaTroll 15:18, 16. Jul 2004 (CEST)

... das wird wohl wirklich das Geheimnis der Inder bleiben. Ich habe diese Angaben jedenfalls gleichlautend in vier verschiedenen unabhängigen Quellen gefunden; nicht etwa bei Google, wo einer ungeprüft bei'm anderen abschreibt ... . Könnte man nicht auch ähnlich fragen, warum die Inder dann nicht gleich das einfache Tripel der ägyptischen Seilspanner verwendet haben? (Laienfrage, Nicht-Mathematiker -:)). --Lienhard Schulz 15:49, 16. Jul 2004 (CEST)

PS Aber im Grunde passen Eure Informationen gut zu den Inhalten, wie sie sich mir bei der Arbeit an der Sache dargestellt haben: dass diese Zahlentripel in dieser Zeit tatsächlich in rein probierender Anwendung - mehr zufällig oft - gefunden wurden und nicht auf ihren abstrakt-mathematischen Gehalt hinterfragt wurden. Irgendein Inder wird wohl diese Kombination 39-15-36 gefunden haben und auf die Idee, dass man das durch 3 kürzen könne, ist wohl damals keiner gekommen!? | Oder diese Aufteilung erschien den Indern aus heute nicht mehr nachvollziehbaren Gründen besonders praktisch. --Lienhard Schulz 15:57, 16. Jul 2004 (CEST)

also reine Empirie. Und vier Quellen genügen wohl. Für den geschulten Menschen ist halt Brüche kürzen quasi täglich Brot. Jedenfalls herzlichen Dank. --Hubi 08:35, 21. Jul 2004 (CEST)

Ne Anregung von ner Mathematik Studentin: Der Beweis von Euklids Elementen zum Satz des Pythagoras fehlt leider noch - ist allerdings einwenig eklig - aber der Vollständigkeit halber wär es nicht schlecht - zumal Euklid ja kein "Noname" ist.

Steht da nicht der Ergänzungsbeweis? --DaTroll 21:59, 10. Feb 2006 (CET)

Bedeutung des Beweises für Innenprodukträume

Benutzer daTroll hat ja erst auf den zweiten Blick bemerkt, dass der Beweis des Satzes für Innenprodukträume kein Beweis de elementargeometrischen Aussage ist, also hatte ich das wohl nicht klar genug formuliert. Auch die aktuelle Version finde ich nicht klar. Die Sache ist die: Um die bewiesene Aussage für die Norm im R^2 zu nutzen, muss man Norm mit Länge identifizieren. Die Norm des euklidischen Raums ist aber nichts anderes als der SdP. Um also die abstrakte Aussage zu nutzen, braucht man den SdP. Versucht man so einen Beweis der elementargeometrischen Aussage mit der abstrakten, hat man einen wunderbaren Ringschluss (der "Beweis" scheint natürlich zu klappen, ist aber wertlos). Ich finde diese Tatsache sehr wichtig, sie sollte also klar formuliert sein.

Nein, das stimmt nicht: in jedem Raum, in ich ein Orthogonalsystem (definiert über das Skalarprodukt) aufstellen kann (insbesondere in jedem Hilbert-Raum) kann ich auf die angegebene Weise den SdP beweisen. Das ist ja die Prämisse in dem Abschnitt den ich bearbeitet habe. Es ist nur kein Beweis der elementargeometrischen Aussage, weil hier Skalarprodukte zum Beweis benötigt werden und die gibt es in der Elementargeometrie nicht. Viele Gruesse --DaTroll 18:24, 10. Sep 2004 (CEST)

Ich will ja gar nicht widersprechen, aber es doch verstehen. Wir sind uns einig, dass der SdP in jedem Innenproduktraum gilt. Wir sind uns auch einig, dass es kein Beweis der elementargeometrischen Aussage ist. Nur warum nicht, ist mir noch unklar. Ich denke: Um die Abstraktion des Vektorraums mit der Geometrie identifizieren zu können, braucht man den elementaren SdP. Denn dann sieht man, dass die durch das kanonische Innenprodukt im R^n induzierte Norm mit dem übereinstimmt, was man sich unter Länge vorstellt, und kann Zirkel und Lineal weglegen. Du sagst: Die Elementargeometrie hat keine Skalarprodukte. Sind das nicht zwei Sichtweisen auf die gleiche Sache? Denn sobald man elementargeometrisch den SdP hat, kann man Norm und Skalarprodukt eindeutig mit Länge und Winkel/Kosinus identifizieren und das Innenprodukt rechtfertigen, und erhält so natürlich die Richtigkeit des SdP, was ich oben mit Ringschluss meinte. Ich sehe aber keinen Weg, streng den elementaren SdP mit den Mitteln der Abstraktion im Vektorraum zu beweisen. --Marcel Wiesweg 21:18, 10. Sep 2004 (CEST)

Man braucht nicht den elementaren Satz des Pythagoras für den abstrakten Innenproduktraum. Der SpD hat hier bestimmt eine wichtige Rolle gespielt, insbesondere bei der Entdeckung des kartesischen Koordinatensystems. Allerdings mehr als Inspiration. Der SpD wie man ihn so kennt gehört zum euklidischen Skalarprodukte. Man kann ja aber für jedes Skalarprodukt den rechten Winkel definieren und erhält so das Analogon zum SpD in dem jeweiligen Innenproduktraum.

Jetzt wo ich länger drüber nachdenke, muss ich das mit dem "kein elementargeometrischer Beweis" wohl doch streichen. Natürlich ist es das. Man definiert das Skalarprodukt und das Senkrechtstehen (sprich Abstände und rechte Winkel in der Elementargeometrie) und schon steht alles da wenn man das euklidische Skalarprodukt genommen hat. Das ist keineswegs ein Ringschluss sondern eine Folgerung aus den Eigenschaften des skalarprodukts. Viele gruesse --DaTroll 11:41, 11. Sep 2004 (CEST)

Der Ergänzungsbeweis ist nicht der Beweis von Euklid! Euklid nimmt einen recht umständlichen Beweis der auf Kongruenzeigenschaften und der Theorie der Flächengleichen Dreiecke und Parallelogramme beruht, da er sonst die Proportionentheorie benötigt hätte die er noch nicht kannte.

Fermatscher Satz

"...$a^{n}+b^{n}=c^{n}$ für n größer als zwei gibt, also ob es natürliche Zahlen gibt, die z.B. die Gleichung $a^{3}+b^{3}=c^{3}$ erfüllen..." Unter dem verlinkten Lemma "natürliche Zahlen" wird aber die 0 als solche aufgeführt. Wird 0 zugelassen, gibt es für jedes n eine Lösung! Unter natürliche Zahlen steht: "Oftmals wird die Menge der natürlichen Zahlen aus historischen Gründen ohne die Null definiert...Für eine formale Definition der Menge der natürlichen Zahlen und der zugehörigen Rechenregeln ist es aber sinnvoll, auch die Null als natürliche Zahl zu bezeichnen." Nun, HIER ist die Definition der n.Z. ohne die 0 relevant und sollte explizit vermerkt werden. --Modran 16:40, 24. Sep 2004 (CEST)

Dazu ein paar kleine Anmerkungen: bitte neue Diskussionsthemen grundsätzlich unten anhängen. Ansonsten muss eine so kleine Änderung wie die oben angesprochene nicht unbedingt diskutiert werden: Sei mutig. Viele Gruesse --DaTroll 18:08, 24. Sep 2004 (CEST)

Danke für den Hinweis. Leider weiß ich nicht, wie es am besten nach der Änderung aussehen sollte, nur daß da etwas geändert werden muß. Btw: zum Thema "im Stichwort nicht verlinken": Es wäre trotzdem wünschenswert, den Direktlink auf Pythagoras irgendwo in der Einleitung vorzufinden. OK, ich probiers nochmal, bitte nich schimpfen wenn es wieder nicht korrekt ist... ;) --Modran 18:49, 24. Sep 2004 (CEST)

Es gibt zwar jede Menge Gepflogenheiten in der Wikipedia, wie was zu laufen hat, aber keine Angst, niemand beißt wenn sowas mal falsch gemacht wird :-) So wie Pythagoras jetzt in der Einleitung auftaucht, gefällts mir gut. viele Gruese --DaTroll 19:22, 24. Sep 2004 (CEST)

Mir auch, gratuliere. Jetzt sieht es professionell aus. :) --Modran 19:53, 24. Sep 2004 (CEST)

Da es den Artikel Großer Fermatscher Satz ja schon gibt, genügt doch ein kürzerer Verweis. Ein eigener Abschnitt ist jedenfalls übertrieben. Darüberhinaus erweckt der gegenwärtige Text den Eindruck, auch die Frage der Lösbarkeit von a³ + b³ = c³ sei ungeklärt geblieben; das ist falsch.--Gunther 00:41, 28. Feb 2005 (CET)

Wirklich lang ist der Abschnitt doch nicht. Also ich finde die Länge genau richtig. Man muss den Leser ja nicht zum Surfen zwingen. Viele Gruesse --DaTroll 11:15, 28. Feb 2005 (CET)

Hm, wenn Du meinst. Wie ich gerade sehe, gibt es ja auch Pythagoräische Zahlentripel. Zu Deiner Änderung: Wenn man Wiles erwähnt, muss man eigentlich mit derselben Berechtigung auch Gerhard Frey, Kenneth Ribet, Richard Taylor, Jean-Pierre Serre, Robert Langlands und noch ein Dutzend andere Namen erwähnen. "Letzte Lücke" finde auch ich nicht glücklich, aber Wiles hat wirklich nur den letzten Schritt getan. Und was ich oben meinte: der Fall n = 3 war IIRC schon Euler bekannt, n = 4 ist einfache elementare Zahlentheorie.--Gunther 14:36, 28. Feb 2005 (CET)

Ich muss zugeben, dass mir der Satz "Das ist erstaunlich, weil es für n ≤ 2 unendlich viele Lösungen gibt." irgendwie widersprüchlich vorkommt, oder stehe ich auf dem Schlauch?-- Toeffifee 22:54, 29. Jul. 2010 (CEST)

Bild des Pythagoras

Sollte man nicht erwähnen, daß es sich um eine fiktive Darstellung handelt? MatthiasKabel 06:26, 2. Nov 2004 (CET)

Ich setz das mal in die Bildbeschreibung. Viele Gruesse --DaTroll 12:25, 2. Nov 2004 (CET)

Beweis durch Ähnlichkeiten

Der Beweis durch Ähnlichkeiten, den ich schon mal eingefügt hatte, ist durch das Wüten eines Administrators zerstört worden. Es wurde das Bild (eine Konstruktionszeichnung) entfernt, weil die entsprechende Bildbeschreibung nicht den Vorgaben des Administrators hinsichtlich Copyright-Vermerke genügte. Ich habe das Bild nochmals hochgeladen (hoffentlich mit richtigem juristischem Background) und den auskommentierten Teil wieder eingefügt. Weil zwei Bilder dicht aufeinander folgen, habe ich sie in eine Tabelle rechts gesteckt. --Rene_Grothmann 14:10, 14. Dez 2004 (CET)

Danke, dass Du es wieder hochgeladen hast. Administratoren wueten hier uebrigens nicht. Viele Gruesse --DaTroll 15:31, 14. Dez 2004 (CET)

Das Bild wäre auch in der neuen Form wieder durch's Raster gefallen, da weder gemeinfrei, PD, GFDL etc. in der Bildbeschreibung zu finden sind. Ich hab das mal, Renes Einverständnis vorausgesetzt, in die Beschreibung eingefügt und ihm eine Nachricht geschrieben. Da S.d.P. GFDL ist und Rene als Urheber das Bild dort haben will, kann von GFDL für das Bild ausgegangen werden. In der WP müssen Bilder aber explizit mit Bild-GFDL o.ä. gekennzeichnet werden, um Unklarheiten zu vermeiden. Eigene Zeichnung etc. genügt leider nicht. Beim (unbedingt nötigen) Aufräumen von möglichen Urheberrechtsverletzungen ist leider das Bild gelöscht worden. Rene ist aber vorher auf seiner Dikussionsseite auf den unklaren Lizenzstatus hingewiesen worden, er hätte alles also vermeiden können. Jetzt ist wieder alles ok. Übrigens Z.u.L. heißt wohl Zirkel und Lineal, das Bild ist also wirklich gezeichnet! lg --Hubi 17:29, 14. Dez 2004 (CET)

Neuer Text vom dritten Januar

Da ich ein Freund davon bin, den Artikel schlank zu halten, würde ich den neuen Text oder zumindest Teile davon auslagern: i) der Teil über pythagoreische Tripel ist hier fehl am Platz und sollte dort eingebaut werden. ii) Der zweite Teil ist ganz nett, er beschreibt nicht ganz den Kosinussatz und ist insofern schon ganz nett. Trotzdem vielleicht da beschreiben, weils ja eine Variante ist? Viele Gruesse --DaTroll 09:33, 3. Jan 2005 (CET)

Lieber DaTroll! Zu Deinem Ersuchen, mich zu melden: Ich kenne mich mit den Routinen bei Wikipedia noch nicht gut aus, deshalb schreibe ich mich da jetzt einfach hinein. Auch ich glaube, dass der Ansatz "ohne Winkelfunktionen" ganz nett ist. Er führt zu einer (der zahlreichen) Verallgemeinerungen des Pythag.Lehrsatzes auf beliebige Dreiecke und geht von einer jedem Primaner geläufigen Methode der Dreieckskonstruktion aus. Er führt bei rechtwinkligen Dreiecken auf eine einfache Methode, pythagoräische Zahlentripel zu erzeugen (gehört klarerweise nicht hierher), aber auch dazu (was ich nicht erwähnt habe), daß aus jedem pythagoräischen Zahlentripel x,y,z ein Zahlenquadrupel a,b,c,d gefunden werden kann, für das gilt a^2+b^2+c^2=d^2. Mithin beschreibt dieser Artikel etwas mehr als den Kosinussatz. Wohin er am besten einzuordnen wäre, das weißt Du sicher besser. Liebe Grüße --Günther P. 14.1.05

Ich habs mal ein bisschen bearbeitet und von mir aus kanns jetzt so bleiben. Viele Gruesse --DaTroll 13:25, 25. Jan 2005 (CET)

Ich hab noch eine fehlerhafte Aussage gefunden (dass u immer eine gerade Zahl ist; das stimmt nur im Falle von pythagoräischen Zahlentripeln als Dreiecksseiten)und eliminiert. Günther 31.1.05

Lieber Günther, bleib cool... du musst doch nicht den dummen datroll gleich zum gespött der gesellschaft machen... Aber ich finde es trotzdem gut!

Geometrischer Beweis durch Ergänzung

In disen Abschnitt sollte eine Grafik sein. Rechts steht "Diagramm zum Ergänzungsbeweis - Bild nicht gefunden - Zwei Quadrate mit Seitenlänge a+b": Warum fehlt sie? Gruß --Micgot 15:31, 13. Feb 2005 (CET)

Das Bild hatte die Lizent Fair Use, deswegen wurde es gelöscht. Es wäre schön, wenn jemand ein neues machen könnte. Viele Gruesse --DaTroll 16:28, 13. Feb 2005 (CET)

Und was ist mit diesen  ? --217.9.29.30 18:28, 13. Feb 2005 (CET)

Super, danke! --DaTroll 19:07, 13. Feb 2005 (CET)

Philosophische Abschweifungen

Da ich der Meinung bin, dass die Philosophie nicht in den Sachartikel zum Satz gehört, hab ich sie zunächst mal auskommentiert. Natürlich müssten sie noch in den eigentlichen Pythagorasartikel verlagert werden.

Bei der Gelegenheit hab ich den Chinaabsatz, der mir etwas angehängt erschien, umgestellt. Jetzt muss nur noch jemand die richtigen chinesischen Schriftzeichen einfügen.

Erlanger 19:48, 17. Feb 2005 (CET)

Meines Erachtens haben die auskommentierten Teile sehr wohl einen direkten Bezug zum Satz und gehören entsprechend auch hierhin (ich habe die Auskommentierung wieder entfernt). Im Zweifelsfall spricht auch nichts gegen kleine Redundanzen mit dem Pythagoras-Artikel. Gruß -- Achim Raschka 10:39, 18. Feb 2005 (CET)

Kann ich überhaupt nicht nachvollziehen.
In den auskommentierten Abschnitten kommt der Satz kein einziges mal vor. Auch nicht implizit. Was anderes wäre es, wenn dadurch klar würde, dass Pythagoras wegen seiner Philosophie gar nicht anders konnte, als den Satz zu entdecken.
Dass Euklids Buch Elemente heißt und dass Petron an 183 Welten glaubt, die in einem gleichseitigen Dreieck (nicht rechtwinklig!) angeordnet sind, hat auch nur einen sehr entfernten Bezug.
Ausserdem wird der Text- und Gedankenfluss durch die Einschiebungen völlig zerrissen. Naja, und für China müsste man ja auch wieder eine andere Stelle finden.
Die Absatzüberschrift 'Pythagoras - Suche nach der Harmonie der Welt' ist in der unphilosophischen Fassung aber wirklich falsch. Hab ich übersehen.-(
Redundanzen mit dem Pythagorasartikel sind natürlich nichts schlechtes per se. Aber sie sollten nicht zu weit gehen. Der Pythagorasartikel wirkt auch noch etwas unstrukturiert, da wären die beiden Absätze durchaus eine Bereicherung.
Und zum Papyrus Rhind: Wenn da nichts zum Satz drinsteht, flöge er am besten auch raus. -- Erlanger 13:20, 18. Feb 2005 (CET)

Ich denke ebenfalls, dass der Abschnitt etwas abschweift (uebrigens kann so wies jetzt ist der Artikel nicht bleiben, wo wir uns aber wohl einig sind). Allerdings erst ab "Dabei stand für die Pythagoräer nicht die Mathematik,...". Im Teil davor geht es um die Abstraktion von den Zahlentripeln zum Satz. Viele Gruesse --DaTroll 13:26, 18. Feb 2005 (CET)

Ich hab jetzt mal die Sätze die letzten drei Sätze des Abschnitts rausgenommen. Viele gruesse --DaTroll 17:50, 1. Mai 2005 (CEST)

Formulierung des Satzes (II)

Auch mir wird schwindelig, wenn ich mir die Formulierung "...die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypothenusenquadrat" auf der Zunge zergehen lasse. (Diese Formulierung habe ich nun schon des öfteren mit der Absicht geändert, sie genauer zu definieren um zum Ausdruck zu bringen, was denn nun exakt welche Größe besitzt)

Demnach ist die Summe der Kathetenquadrate gleich 2. Es existiert eine Kathetenquadrat über der Seite a und ein Quadrat über der Kathetenseite b. Die Summe der beiden Quadrate lautet eindeutig 2. (Wer es nicht glaubt, möge bitte nachzählen...)

Das ein Quadrat nun eine Fläche besitzt, darüber bin ich mir schon im Klaren (vielen Dank für den überflüssigen Hinweis Nikolaus). Auch der Hinweis, das meine Formulierung falsch ist, weise ich von mir (siehe Änderung von DaTroll)

Jedoch muß man der Korrektheit erwähnen, das hier nicht die Summe von Quadraten gebildet wird, sondern exakterweise deren Flächeninhalte addiert werden, wobei der Flächeninhalt des Hypothenusenquadrates exakt den gleichen Betrag aufweist, wie die Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate. (Für vollkommen Uneinsichtige oder Ignoranten empfehle ich einen Blick in die entsprechende und maßgebende Fachliteratur (beispielsweise Mathematikduden). Dort ist diese Tatsache schriftlich fixiert).

Diese meiner Meinung nach etwas zu oberflächlich geratene Erklärung hat ungefähr den gleichen Charakter wie die Antwort auf die Frage, was denn nun Seife ist. Eine Antwort hierauf könnte ebenso lauten: "Seife ist, wenn man sich wäscht..."

Ende des Beitrages.

--Gepe 18:36, 31. Aug 2005 (CEST)Gepe,31.08.2005

Man kann geometrische Objekte nicht addieren, insofern ist die Summe auch nicht 2 (das ist ihre Anzahl). Man kann Flächeninhalte addieren, denn diese sind Zahlen.--Gunther 18:46, 31. Aug 2005 (CEST)

i) Schön, dass Du die Diskussionseite gefunden hast. Beim nächsten mal diskutiere doch erst bevor Du mehrmals revertest. ii) Die Formulierung die ich revertet habe, war falsch, weil die Katheten eben die Katheten sind und _nicht_ die Seiten a und b per se. Es ist auch so gewollt, dass der erste Satz nicht mit a, b und c arbeitet, sondern mit rein geometrischen Begriffen. iii) Ansonsten kann ich mit beiden Formulierungen leben (mit Flächeninhalt und ohne). --DaTroll 18:59, 31. Aug 2005 (CEST)

Verallgemeinerung auf beliebige (nicht notwendig rechtwinklige) Dreiecke ohne Winkelfunktionen

In der Beschreibung zur Konstruktion eines (beliebigen) Dreiecks ist meines Erachtens ein begrifflicher Fehler aufgetreten. Es soll zunächst die längste Seite des Dreiecks gezeichnet werden (die Strecke AB). Soviel ich weiß, ist die Bezeichnung „Hypothenuse“ für die längste Seite eines Dreiecks aber nur in rechtwinkligen Dreiecken zulässig (und angemessen), da sie in diesem Fall eindeutig bestimmt ist (und daher einen besonderen Namen „verdient“). Das das mehr als nur Haarspalterei ist, läßt sich einsehen wenn man bedenkt, daß bei beliebigen Dreiecken alle folgenden drei Fälle möglich sind: a) Genau eine längste Seite, b) zwei längste Seiten (bestimmte gleichschenklige Dreiecke), c) drei bzw. keine längste Seite (gleichseitiges Dreieck). In beliebigen Dreiecken gibt es also unter Umständen nicht „die“ längste Seite sondern nur eine von eventuell mehreren längsten Seiten. Würde man die Bezeichnung „Hypothenuse“ in beliebigen Dreiecken zulassen, gäbe es also entsprechend auch Dreiecke mit zwei, drei bzw. gar keiner Hypothenuse. Ich wollte dies nicht ohne vorherige Diskussion abändern. Irgendwelche Kommentare?

Ist ein guter Hinweis und der Abschnitt müsste eh nochmal überarbeitet werden. Also frisch ans Werk :-) --DaTroll 20:58, 21. Sep 2005 (CEST)

Bild: Herleitung

Hab ich in den verwaisten Bildern gefunden: Bild:Herleitung emc2 Pythagoras.png - Falls es hier verwendet werden kann, dann bitte einbauen, falls nicht, macht es wenig Sinn das Bild weiterhin zu lagern, zumal es ohnehin nur in den "unusedimages" gefunden werden kann (Nr. 5.203) - in diesem Fall dann bitte eine LA stellen. SG -- Otto Normalverbraucher 10:40, 23. Dez 2005 (CET)

Sperrung

Ich habe diesen Artikel zur Sperrung vorgeschlagen auf Wikipedia:Exzellente Artikel/Sperrung. Der Antrag wird dort eine Woche diskutiert. --DaTroll 11:27, 8. Jan 2006 (CET)

Die Woche ist rum und die Sperrung wurde als indiskutabel abgelehnt; bitte den Artikel wieder für IP'ler entsperren! --172.181.5.215 16:16, 20. Jan 2006 (CET)

Dabei ging es um eine Sperrung für alle Benutzer, die Sperrung für unangemeldete Benutzer ist davon unabhängig. Was möchtest Du denn ändern?--Gunther 23:16, 20. Jan 2006 (CET)

Groß

Napoleon war groß aber von Länge her kurz. In Bezug auf Pythagoras ist daher das Wort groß bei den Pyramiden falsch. Da es um Längenprobleme geht waren diese im Grundriss lang oder in der Ansicht hoch, aber nicht groß. --Störfix 12:48, 19. Jan 2006 (CET)

"Lang" bei Gebäuden suggeriert "länglich", und das trifft auf Pyramiden definitiv nicht zu.--Gunther 12:52, 19. Jan 2006 (CET)

Und laenglich kann als "zeitlich laengliches Bauprojekt" missverstanden werden, waehrend gross bei Pyramiden ganz klar raeumlich gemeint ist. --DaTroll 12:57, 19. Jan 2006 (CET)

Da schau mal nach, was für eine Seitenlänge die Dinger hatten. Der Satz Schon eine kleine Abweichung vom rechten Winkel führt bei Bauwerken zu katastrophalen Ergebnissen, insbesondere bei großen Konstruktionen wie Pyramiden konnten sich die historischen Ingenieure nicht die geringste Abweichung erlauben. ist inhaltlich nicht ganz korrekt. Kleine Abweichungen vom rechten Winkel führen nicht generell zu katastrophalen Ergebnissen. Es sollte m.E. besser lauten: Schon eine kleine Abweichung vom rechten Winkel kann auf großen Längen bei Bauwerken zu katastrophalen Ergebnissen führen. Bei Konstruktionen wie den Pyramiden, mit einer Seitenlänge von mehr als 200 Meter, konnten sich die Baumeistzer aber nicht die geringste Abweichung erlauben. --Störfix 13:09, 19. Jan 2006 (CET)

Länglich = wesentlich länger als breit.--Gunther 13:27, 19. Jan 2006 (CET)

Da hast Du Recht, dass dies nicht bei beliebigen Bauwerken gilt. Jetzt in Ordnung? --DaTroll 14:09, 19. Jan 2006 (CET)

...konnten sich die Baumeistzer aber nicht die geringste Abweichung erlauben ist auch falsch wenn wir schon beim Korinthenk.. sind. Denn naturgemaess treten immer geringe Abweichungen in der Realitaet auf. Vorschlag ersetze nicht die durch nur.

Ein paar Formulierungsmängel...

...zu Beginn des Artikels sind mir aufgefallen:

• ist einer der fundamentalen mathematischen Sätze der euklidischen Geometrie. Gibt es auch nichtmathematische Sätze der euklidischen Geometrie? fundametalen Sätze würde m.E. ausreichen.
• Oder als Gleichung ... ergibt keinen ganzen, zusammenhängenden Satz. Als Gleichung ausgedrückt... oder ähnlich würde das ganze sprachlich etwas unholpriger gestalten.

Grüssle, --Gnu1742 10:35, 20. Jan 2006 (CET) der diese auf admins beschränkte Editiermöglichkeit merkwürdig findet

Du kannst selber editieren. --DaTroll 11:13, 20. Jan 2006 (CET)*

• mir ist aufgefallen, dass der satz in worten nich korrekt dargestelt is: statt "summe der quadrate über den katheten..." müsste es "summe der flächeninhalte der quadrate über den katheten ist gleich dem flächeninhalt des quadrates über der hypotenuse" heissen

Die ägyptischen Seilspanner

die mit ihren 3 - 4 - 5-Knoten auf die Felder gehen, sind soviel ich weiß doch eine Legende, oder ? UlrSchimke 20:45, 5. Feb 2006 (CET)

Ich habe den Quellen-Baustein an die besagte Stelle des Artikels gesetzt. Wenn ich mehr über die Entstehung und Verbreitung dieser Vermutung weiß, werde ich den Abschnitt entsprechend anpassen. --Stefan Birkner 23:56, 29. Okt. 2008 (CET)

Hier das Ergebnis einer kurzen Recherche:

Also die Geschichte mit den Harpedonapten und der Umkehrung des Satzes von Pythagoras ist nicht nur eine Anektdote, sondern wird tatsächlich von einigen/vielen Forschern schon seit dem 19. Jahrhundert so vermutet (siehe Einzelnachweise im Artikel). Allerdings ist das nicht ganz unumstritten und es scheint ein "harter", eindeutiger Beweis bisher nicht zu existieren. Auch die Auslegung/Deutung diesbezüglicher Quellen (z.B. Demokrit über die Ägypter/Harpedonapten) ist umstritten. Die meiste allgemeine Mathematikliteratur scheint im Wesentlichen die Vermutung der Forscher wiederzugeben, gleiches gilt für populärwissenschaftliche Artikel, allerdings habe ich keinen Zugriff auf (neuere) fachwissenschaftliche Artikel aus der Mathematikgeschichte gehabt. Eine vermutlich interessante, wenn auch nicht mehr ganz aktuelle, Quelle ist ein Artikel von Solomon Gandz (1930), falls da jemand Zugriff hat. Eine Quelle, die die Darstellung im Artikel bestreitet ist: [1], die ist zwar so nicht zitierfähig, legt aber nahe, dass eventuell neuere fachwissenschaftliche Publikationen existieren, die dies behaupten.--Kmhkmh 16:15, 4. Nov. 2008 (CET)

Das Problem ist, dass Moritz Cantor in seiner Geschichte der Mathematik das Gedankenmodell (!) aufgestellt hat (dort auf S. 64 nachzulesen). Dieses wurde dann in folgenden Veröffentlichungen bei anderen Wissenschaftlern zum Fakt. Der im Artikel genannte Vortrag von Emil Weyr ist ein Beispiel dafür. Ich werde noch das Buch von Corinna Rossi lesen. Wenn es sich auch dort wieder nur um ein Abschreiben handelt, werde ich den entsprechenden Abschnitt aus diesem Artikel löschen und im Artikel Zwölfknotenschnur die Quellenlage klarstellen, da ich bis jetzt noch keine Quelle gesehen habe, die die These stützen kann. Danke für die Hinweise. --Stefan Birkner 19:51, 5. Nov. 2008 (CET)

Ich weiss nicht, ob das unbedingt eine Löschung rechtfertigt. Auch Anekdoten bzw. bekannte/etablierte Vermutungen können bzw. sollten in WP dargestellt werden, allerdings müssen sie als solche zu erkennen sein. Ich habe deswegen zunächst einmal einfach ein "vermutlich" hinzugefügt, allerdings könnte man es auch weitergehend umformulieren, um den Status einer Vermutung klaeer herauszustellen. Rossi ist immerhin eine aktuelle Quelle, die diese Vermutung auch erwähnt - im wesentlichen sagt sie nur, dass einige Forscher (u.a. Alexander Badawy) vermuten, dass die Ägypter die Umkehrung des Pythagoras verwendet haben und verweist noch auf Solomon Gandz. Kurz gesagt Cantor ist zwar vielleicht der erste aber er steht mit seiner Vermutung nicht alleine. Löschen würde ich die Sache aus dem Artikel nur, wenn sich eine überzeugende Quelle findet, die die widersprechende Behauptung der oben angegeben Webseite bestätigt, solange das nicht der Fall ist, sollte die Seispannergeschichte im Artikel enthalten bleiben, aber klar als Vermutung erkennbar. Da populärwissenschaftliche und allgemeine Matheliteratur (vor allem auch Schulbücher) mit dieser Geschichte durchsetzt sind, sollte der aktuelle bzw. korrekte Wissensstand zu diesem Thema sich auch in WP nachschlagbar und über den Satz des Pythagoras auffindbar sein.--Kmhkmh 21:15, 5. Nov. 2008 (CET)

Nachtrag: Den von dir angesprochenen Artikel zu Zwöfknotenschnur hatte ich bisher noch garnicht angeschaut. Der muss unabhängig von eventuellen Veränderungen/Verbesserungen hier auf alle Fälle überholt werden. Abgesehen vom Freimaurer-Abschnitt ist der noch bar jeglicher Quellen und auch der Freimaurer-Abschnitt erscheint mir zumindest auf den ersten Blick trotz der Quellen doch etwas fraglich. Gruß--Kmhkmh 23:34, 5. Nov. 2008 (CET)

Noch ein Nachtrag: Ich habe noch einmal etwas weiter gesucht/geforscht vor allem auch unter dem Stichwort Harpedonaptai/Seilspanner und bin dabei unter anderem über ein Buch des Mathematikers Eli Maor [2] gestolpert, das die oben erwähnte Webseite bestätigt und außerdem auch für den Artikel insgesamt eine sehr nützliche Referenz ist. Zusammengefasst ergibt sich damit das folgende Bild:

• Es gibt das Denkmodell bzw. die Vermutung des Mathematikhistorikers Moritz Cantor aus dem 19.Jahhundert und einige Mathematiker die dies in der Folgezeit übernommen haben.
• Es gibt Einzelmeinungen von Archäologen/Ägyptologen des 20. Jahrhunderts (z.B. Badawy) die verschiedene historische Quellen (Demokrit, Herodot, Papyrus von 1600 v.Chr.) als (indirekte) Hinweise für die Verwendung der Zwölfknotenschnüren durch die Ägypter deuten. (siehe Rossi)
• eindeutige, direkte historische Quellen gibt es nicht (siehe Maor)
• Die (Mehrheit der) Mathematikhistoriker des 20./21. Jahrhunderts lehnt die Zwölfknotenschnur-Vermutung bei der momentanen Quellenlage ab. (siehe Maor)

Aufgrund dieser (neuen) Sachlage bin ich dann auch dafür den Abschnitt zu den ägyptischen Seilspannern aus dem Artikel zu entfernen, allerdings sollte ein kurzer Satz bzw. Link auf Zwölfknotenschnur stehen bleiben und in Zwölfknotenschnur sollte dann eine genaue Erläuterung der Sachlage stattfinden. Damit müssten die Abschnitte Seilspanner und Mathematik und Pythagoras – Suche nach der Harmonie der Welt überarbeitet werden. Die Seilspanner/Zwölfknotenschnur der Ägypter muss raus und auch die Behauptung, dass die Ägypter pythagoräische Tripel gekannt hätten bzw. das man sie im Papyrus Rhind findet, ist falsch. Die Informationen zu Babyloniern, Indern, Chinesen scheinen aber korrekt zu sein. --Kmhkmh 01:15, 6. Nov. 2008 (CET)

Ich habe im Artikel Zwölfknotenschnur einen Abschnitt zu diesem Themenkomplex begonnen. Allerdings muss ich mich auch noch mit mehr Literatur eindecken. Dies kann leider einige Zeit dauern. --Stefan Birkner 22:05, 7. Nov. 2008 (CET)

Ich würde aber trotzdem noch einen kurzen Hinweis auf die Zwölfknotenschnur im Artikel lassen, da es nun einmal eine weit verbreitete Fehlinformation ist die eben mit dem Satz von Pythagoras in Verbindung gebracht wird.--Kmhkmh 01:49, 9. Nov. 2008 (CET)

Verallgemeinerungen

@DaTroll: wieso? mindestens so sehr wie das Innenraumprodukt. - AlterVista 14:16, 8. Mär 2006 (CET) Pardon, habe gerade gesehen, dass Du Mathematiker bist. Vielleicht können wir uns darauf einigen, dass das einen gewissen "physikalischen Blickwinkel" beinhaltet. - AlterVista 14:19, 8. Mär 2006 (CET)

Ich kann mich da nur wiederholen, dass ein Abstand bei einem Koordinatenwechsel erhalten bleibt, hat mit dem SdP nichts zu tun. Die Formel fuer die Diagonale im Quader ist eine Folgerung aus dem SdP und keine Verallgemeinerung, besonders erwaehnenswert ist sie darueberhinaus einfach nicht. Die Minkowski-Metrik ist eben mit dem Innenraumprodukt eigentlich schon abgedeckt, eine Erwaehnung ist am Thema vorbei. --DaTroll 14:26, 8. Mär 2006 (CET)

Aha, geht doch. Das nächste mal schenken wir uns den Umweg über den Doppelrevert, was? Mit der Folgerung hast Du recht. Man kann die Formel für den Abstand in jeder höheren Dimension induktiv aus der Dimension darunter und dem SdP herleiten. Dennoch ist es eine Verallgemeinerung. Die Verwendung des SdP bei der Aufstellung dieser ändert imho nichts daran. Und die Ableitung der Abstandsformeln in höheren Dimensionen ist dem Mathematiker vielleicht klar. Aber gerade Mathematiker werden diesen Artikel vielleicht eher weniger lesen. Minkowsiki ist mit Innenraumprodukt abgedeckt, ok. Aber meinst Du nicht, dass zum einen die spezielle Bedeutung von Minkowski, zum anderen eine etwas weniger formellastigere Beschreibung eine Erwähnung rechtfertigen? Ich meine das jetzt ganz ganz sachlich: Nach meiner Einschätzung Deiner Äußerungen hier und beim Review zum Braess-Paradoxon hast Du einen ziemlichen Mathematiker-Blick auf - zugegeben - mathematische Themen. Ich glaube aber, dass ein Fachthema in einer allgemeinen Enzyklopädie in gewisser Weise "umständlich" behandelt werden muss, da die "Shortcuts", die der Experte im Kopf hat, 90% der Lesern nicht bekannt sind. Geh mal davon aus, dass ein Großteil der Leser dieses Artikels Schüler unterschiedlicher Altersstufen sind. Natürlich dürfen Elemente eines solchen Artikels auch überfordern. "Leitern", die zu komplizierteren Teilen hinführen, die dem Fachmann evtl. überflüssig erscheinen, gehören aber auf alle Fälle hin. In diesem Sinn sehe ich Minkowski als Leiter zum Innenraumprodukt und als Beispiel einer nichteuklidischen Geometrie. Ähnlich würde ich die höheren Dimensionen sehen. - AlterVista 15:01, 8. Mär 2006 (CET)

Nur kurz zu Deiner flapsigen Frage "Das nächste mal schenken wir uns den Umweg über den Doppelrevert, was?": Dein Revert ohne Begründung war nicht o.k.--Gunther 15:06, 8. Mär 2006 (CET)

Begründen kann man mit Ausnahme sehr einfacher Sachverhalte nur in einer Diskussion. Ich habe mit dem Re-Revert hier die Diskussion eröffnet (vergleiche die Zeiten). Das: Komplettrevert: die Invariante hat nur am Rande was mit dem SdP zu tun, die Verallgemeinerungen sind keine ist keine Begründung, sondern eine Behauptung. - AlterVista 15:11, 8. Mär 2006 (CET)

Wenn Du zum zweiten Mal einen Edit vornimmst, ohne vorher eine Begründung anzugeben, fängst Du einen Edit-War an. Ich wollte darauf jetzt aber nicht herumreiten.--Gunther 15:14, 8. Mär 2006 (CET)

Man sollte sich bitte vorher genau ueberlegen, was man an einem exzellenten Artikel aendert, da muss man sich nicht wundern, wenn ein Beitrag erstmal nicht akzeptiert wird. Dann mal zum Artikel: Die Verallgemeinerung auf n Dimensionen steht auf den zweiten Blick sogar explizit da, naemlich im Abschnitt Innenproduktraum. Nichteuklidische Geometrien haben mit dem SdP nun wirklich nichts mehr zu tun, weil er da einfach nicht mehr gilt. Ansonsten ist der SdP so grundlegend, dass er fast ueberall eine Rolle spielt. Das heisst aber nicht, dass man hier alles erwaehnen muss, wo er reinspielt sondern eben nur die wichtigsten Dinge. Schlussendlich halte es nicht fuer schlecht, mathematische Artikel mathematisch zu behandeln (und den Artikel zum Braess-Paradoxon in der Hinsicht immer noch fuer duerftig) und im diesem konkreten ARtikel kann sich keiner beschweren, dass er ihn nicht verstehen koennte. Es faengt an auf Schulkindniveau und dann ganz am Ende gehts ganz leicht ab. Ich sehe da kein Problem. --DaTroll 15:19, 8. Mär 2006 (CET)

Okay, ich habe meine Argumente gebracht. Du bist länger am Artikel dran. Ich hab's versucht, ich konnte Dich nicht überzeugen. Wenn sich hier niemand sonst mehr einmischt, ändere Du wieder. Ich nehm den Artikel von meiner Liste. - AlterVista 15:26, 8. Mär 2006 (CET)

Änderungswunsch

Phytagoras -> Pythagoras

erl. --Alfred 12:49, 20. Apr 2006 (CEST)

"Perfect Cuboid"

Im Zusammenhang mit pythagoreischen Zahlentripeln könnte man noch folgendes ergänzen: Pythagoreische Zahlentripel entsprechen der Frage nach Rechtecken mit ganzzahligen Seiten und Diagonalen. Die entsprechende Frage für Quader (ganzzahlige Seiten sowie Flächen- und Raumdiagonalen) ist anscheinend ungeklärt, es ist nicht bekannt, ob es Lösungen gibt. Vgl. en:Euler brick. Leider kenne ich die übliche deutsche Bezeichnung für dieses Problem nicht.--Gunther 13:12, 20. Apr 2006 (CEST)

Ist das nicht besser beim Artikel zu den Zahlentripeln selbst aufgehoben? --DaTroll 13:19, 20. Apr 2006 (CEST)

Der Gedanke kam mir nur, weil ich mal wieder über den großen Fermat gestolpert bin, der hier mMn noch weniger zu suchen hat :-) --Gunther 13:28, 20. Apr 2006 (CEST)

Dann koennten wir das ja mal endgueltig ausdiskutieren, da das immer mal wieder angemerkt wird, nicht nur von Dir :-) Was spricht dagegen, den grossen Fermat hier zu erwaehnen? --DaTroll 13:54, 20. Apr 2006 (CEST)

Ist halt irgendwie einen Schritt zu weit weg. Es geht um den Satz des Pythagoras, also um die Äquivalenz zwischen Rechtwinkligkeit und irgendsoeiner Gleichung. Dann kann man sich natürlich auch fragen, welche Lösungen diese selbe Gleichung in einem anderen Kontext (Zahlentheorie) hat, und wie das einer geometrischen Fragestellung entspricht. Aber eine andere Gleichung (andere Exponenten) im anderen Kontext trägt für mein Gefühl einfach zu wenig zum eigentlichen Thema bei. Beim perfect cuboid wäre immerhin noch der Bezug zur Geometrie vorhanden, und es schließt sich auch vom mathematischen Gehalt etwas dichter an, weil es um pythagoreische Zahlentripel mit besonderen Eigenschaften geht.--Gunther 14:36, 20. Apr 2006 (CEST)

Das ist irgendwie schluessig. Ich entferne den Abschnitt mal. --DaTroll 12:41, 21. Apr 2006 (CEST)

Pythagoras für 1D

Wie könnte ich einem Wesen aus einem eindimensionalen Raum, dem ich den zweidimensionalen Raum erklären will, begründen, dass die Diagonale des Einheitsquadrats in einer 2D-Welt genau Wurzel 2 ist, und nicht 2? Wäre denn eine ebene zweidimensionale Welt denkbar, in der ich von (0,0) nach (1,1) einen anderen Abstand habe (z.B. 1 oder 1,5 oder 2), oder ergebe sich in einer solchen Welt ein Widerspruch? --Abe Lincoln 13:32, 26. Mai 2006 (CEST)

In der Manhattan-Metrik ist der Abstand zwei und der SdP gilt nicht. Man muss schon die Euklidische Metrik nehmen. --P. Birken 17:15, 26. Mai 2006 (CEST)

Danke, das bringt mich schon weiter. Ich habe mir mal Normierter_Raum#p-Normen durchgelesen. Wie erkläre ich dem 1D-Wesen, dass es vorteilhaft ist, in einem Raum zu leben, in dem der euklidische Abstand gilt und nicht der Manhattan-Abstand (der für das 1D-Wesen sicher deutlich intuitiver ist)? Ich könnte ihm sagen, dass man in einer euklidischen Ebene das Koordinatensystem um einen beliebigen Winkel drehen kann, aber ich fürchte, ein 1D-Wesen würde weder mit Rotation noch mit Winkel etwas anfangen können. Also wie erkläre ich ihm, dass unser Gott sich das mit dem euklidschen Abstand ausgedacht hat? Was ist der „Mehrwert“? --Abe Lincoln 23:01, 26. Mai 2006 (CEST)

Das 1D-Wesen kennt ja schon die reellen Zahlen. Abmessung der zwei Wege dürfte es also sofort überzeugen, dass Wurzel 2 kleiner ist als 2 und somit die Strecke besser ist als das um die Ecke gehen. Es sei denn natürlich, man ist in Manhattan und die direkte Verbindung der beiden Punkte ist nicht gangbar, womit Wurzel 2 eine rein theoretische Aussage ist. --P. Birken 15:26, 28. Mai 2006 (CEST)

Änderungswunsch

" ... eines langen Seils durch Knoten im Verhältnis 5:3:4 unterteilten ... " wäre es nicht einprägsamer und schöner zu schreiben: " ... im Verhältnis 3:4:5 ... "? Die russische Wiki bezeichnet das Dreieck 3:4:5 als Ägyptisches Dreieck (Египетский треугольник). Ist diese Bezeichnung im Deutschen auch üblich?--stefan 23:00, 24. Feb. 2007 (CET)

Der Begriff scheint mir nicht gebräuchlich: [3]. Ich selbst habe ihn noch nie gehört. Wenn Dir 3:4:5 besser gefällt als 5:4:3, mach ruhig :-) --P. Birken 11:21, 25. Feb. 2007 (CET)

Satz von de Gua

Der Abschnitt über den Satz von de Gua sollte nach meiner Meinung nicht gelöscht werden, da dieser Satz ein naheliegendes dreidimensionales Analogon zum Satz des Pythagoras ist. Erwähnt ist der Satz z.B. bei Eric Weisstein: http://mathworld.wolfram.com/deGuasTheorem.html 84.155.242.65 13:02, 21. Mär. 2007 (CET)

Ich verstehe auch nicht, warum er geloescht wurde, ich hatte zwar eine Referenz noch nicht eingefuegt, aber dennoch ist der Satz schliesslich sowohl ein mathematisches Faktum als auch eine (vielleicht weniger gelaeufige) Verallgemeinerung von Pythagoras. Besser eine kleine nuetzliche Information als keine, im englischen Artikel ist der Hinweis im Uebrigen auch enthalten.--Kmhkmh 21:32, 21. Mär. 2007 (CET)

Eben, das ist der Punkt. "Wenig gelaeufig" ist eher noch eine Untertreibung. Ich denke nicht, dass man das hier erwaehnen muss. --P. Birken 09:41, 22. Mär. 2007 (CET)

Naja, es geht aus meiner Sicht eher darum, was man unter Verallgemeinerungen erwähnen kann oder sollte und weniger um was man mindestens muss. Zusätzliche korrekte Informationen (sofern strukturiert eingefügt) sind fast immer sinnvoll, Wikipedia hat schliesslich keine Platzbegrenzung wie ein gedrucktes Lexikon und andere (Fach)lexika verweisen auch auf diesen Satz (siehe Mathworld).--Kmhkmh 15:27, 22. Mär. 2007 (CET)

Wenn ich mich ausserhalb der nichteuklidischen Geometrie befinde, gibt es quasi keine Aussage, die nicht mit dem Satz des Pythagoras zusammenhaengt. Konkret halte ich den Satz eher bei Tetraeder als hier sinnvoll. --P. Birken 16:35, 22. Mär. 2007 (CET)

Ja, aber der Satz von de Gua bewegt sich eben nicht in der nichteuklidischen Geometrie, sondern im euklidischen Raum und dort ist er eben das raeumliche Analogon zum Satz von Pythagoras in der Ebene. Wenn dein Argument ist, das es ausserhalb der euklidischen Geometrie zuviele Zusammenhaenge mit Pythagoras gibt, dann ist das eher ein Argument fuer die Erwaehnung des Satzes, da es ja ein verwandtes Resultat innerhalb der euklidischen Geometrie ist. Ich stimme zu, das eine Erwaehnung bei Tetraedern ebenfalls sinnvoll. Idealerweise sollte ein eigener Artikel existieren und sowohl vom Tetraeder und von Pythagoras auf diesen verlinkt werden.--Kmhkmh 00:40, 23. Mär. 2007 (CET)

Beweise

Alle hier angeführten Beweise beruhen auf geometrischn Spielereien, wenn ich das so formulieren darf. Soll man der Vollständigkeit/Exzellenz zuliebe nicht auch einen Beweis einbringen, der durch Algebra oä auf den SvP. kommt? Oder spricht da etwas dagegen?

PS: Ich frag einfach vorher - ich will nämlich nicht die Struktur eines Exzellenten durcheinanderbringen -- ^منشMan∞77_龍 14:14, 22. Aug. 2007 (CEST)

An welchen Beweis dachtest Du denn? --P. Birken 21:31, 25. Aug. 2007 (CEST)

Dass ich an gerade den denke ist eine persönliche Angelegenheit, keine im enzyklopädischen Sinn, aber ich erwähne ihn einfach mal so: Es gibt neben der "normalen" Formel zur Berechnung des Inkreisradius eines Dreiecks (ρ=2A/u) auch eine (oder eigentlich wahrscheinlich mehrere) Formel(n), die speziell für rechtwinklige Dreiecke gilt/gelten (ich denke dabei an ρ=0,5*(a+b-c)). Setzt man die beiden gleich, erhält man schließlich a²+b²=c². Das ist "mein" Beweis, aber ich akzeptiere jede andere Lösung auch, nur halte ich es persönlich für den Artikel besser, wenn eine rechnerischere Beweisführung erwähnt werden könnte. lg, -- ^منشMan∞77_龍 18:51, 27. Aug. 2007 (CEST)

Mh, das ist ja nun auch geometrisch? --P. Birken 18:58, 27. Aug. 2007 (CEST)

Da muss ich dir absolut Recht geben - aber wie gesagt, ich akzeptiere andere Vorschläge oder den Jetztzustand auch, wobei mir persönlich ein anderer Vorschlag lieber wäre. Ob die jetzt erwähnten Beweise ein wenig einseitig sind oder nicht ist POV aber ich wollte in erster Linie die Thematik mal ansprechen. -- ^منشMan∞77_龍 19:21, 27. Aug. 2007 (CEST)

Es ist nicht möglich, einen "ungeometrischen Beweis" des S. d. P. anzugeben. Jeder algebraische Beweis benötigt zunächst eine algebraische Formulierung der Ausgangssituation des rechtwinkligen Dreiecks und basiert somit auf einer geometrischen Intuition (das, was oben irrtümlich als "Spielerei" kritisiert wird). Es ist nicht möglich, die "Korrektheit" dieser Übersetzung einer Anschauung in algebraisches Formelwerk zu beweisen, da ein mathematischer (d.h. formaler) Beweis erst einsetzen kann, wenn man die Algebra schon hat. Einziger Ausweg wäre ein Beweis auf axiomatischer Ebene a la Hilbert, aber dann sind eben wiederum die Axiome zu rechtfertigen, das Dilemma wird dadurch nur auf eine andere Ebene verschoben. Hinter dem Wunsch nach einem "rein rechnerischen" Beweis liegt der falsche Gedanke, man könne "absolute mathematische Wahrheiten" rein rechnerisch ermitteln, ohne eine von Intuition gelenkte Übersetzung anschaulicher Konzepte (wie "Punkt", Gerade", etc.) in Formelausdrücke verwenden zu müssen.

ck, 02.08.2008

Geometrien sind wie alle anderen Gebiete der Mathematik heute axiomatisch aufgebaut und im Fall der klassischen euklidischen Geometrie ist das nicht anders. Wie der algebraische Beweis der Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises zeigt, können geometrische Beziehungen sehr wohl algebraisch formuliert und dann algebraisch gelöst werden. Natürlich ist die algebraische Lösung dann noch geometrisch zu interpretieren bzw. zurückzuübersetzen. Die Korrektheit der Übersetzung ergibt sich aus der Tatsache, dass z.B. im zweidimensionalen reellen oder eindimensionalen komplexen Vektorraum mit Skalarprodukt Punkte, Strecken usw. sowohl geometrische Gebilde als auch Zahlen sind. Es spricht also prinzipiell nichts dagegen, den Satz des Pythagoras formal algebraisch zu beweisen. --RPI 12:38, 2. Okt. 2008 (CEST)

be:Тэарэма Піфагора

Bitte be:Тэарэма Піфагора einbauen! Danke! (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von So-lassen (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner 18:24, 29. Dez. 2007 (CET))

OK. Was ist der Unterschied zwischen be und be-x-old ? --NeoUrfahraner 18:24, 29. Dez. 2007 (CET)

Rolle des Pythagoras

Bezüglich der Rolle des Pythagoras habe ich Änderungen vorgenommen zwecks Anpassung an den Forschungsstand; wie bei Pythagoras üblich, ist auch in diesem Punkt alles umstritten, ich habe aber so formuliert, daß die verschiedenen Positionen einigermaßen berücksichtigt sind. Lit.: Leonid Zhmud, Wissenschaft, Philosophie und Religion im frühen Pythagoreismus, Berlin 1997, S. 162ff., B.L. van der Waerden, Die Pythagoreer, Zürich 1979, S. 358ff.; Walter Burkert, Weisheit und Wissenschaft, Nürnberg 1962, S. 405f. Nwabueze 15:02, 15. Jan. 2008 (CET)

sin & cos - Satz des Pythagoras

Könnte / sollte man nicht auch das hier: $\sin ^{2}\left(\alpha \right)+\cos ^{2}(\alpha )=1$ aus dem Artikel Sinus_und_Kosinus#Wertebereich_und_spezielle_Funktionswerte in diesem Artikel hier ergänzen? --Philipp Grunwald 12:24, 9. Sep. 2008 (CEST)

Kritik

Der "exzellente" Artikel dürfte in seiner sprachlichen Ausgestaltung noch sehr überarbeitungsbedürftig zu sein. Im ersten Satz der Einleitung ist das Wort "Satz" missverständlich, weil das Wort in der Mathematik eine andere Bedeutung hat als sonst. Man könnte ststt dessen "Theorem" nehmen. Das Wort "fundamental" ist ein überflüssiges Füllwort (Der Artikel enthält noch viel mehr von davon.), und seine Verwendung eine Angelegenheit subjektiver Bewertung. Im zweiten Satz ist offenbar gemeint, dass für alle rechtwinkligen Dreiecke der "Euklidischen Ebene" der Satz von Pythagoras gilt. Für Dreiecke auf einer Steppe, ebenfalls eine "Ebene", gilt er dagegen streng genommen nicht. Am Ende des dritten Satzes "stellt" c nicht die Länge der Hypothenuse "dar", vielmehr "ist" c diese Länge. Das "Senkrechtstehen" in abstrakten Räumen wird in der modernen Mathematik nicht durch den Satz von Pythagoras, sondern dadurch motiviert, dass das normierte innere Produkt zweier Vektoren der cosinus des eingeschlossenen Winkels ist. Der letzte Satz der Einleitung ist vollständig "vermurkst". Gemeint ist hier, dass bereits in früheren Zeiten der betreffende Sachverhalt praktisch genutzt worden ist. Von einem Zusammenhang zwischen Pythagoras und "babylonischen Baumeistern" lässt sich bei einem zeitlichen Abstand von mehr als 1.000 Jahren aber nichts erkennen. Die von den alten Baumeistern zustande gebrachten rechten Winkel konnten naturgemäß nicht "präzise" sein. "Präzise" rechte Winkel gibt es nämlich nur in der idealisierenden Gedankenwelt der Mathematik.

Als verbesserte Version der Einleitung schlage ich die folgende Formulierung vor. (Das Bild lasse ich an dieser Stelle zur Vereinfachung weg.)

Der Satz des Pythagoras ist ein Theorem, das eine Eigenschaft rechtwinkliger Dreiecke in der Euklidischen Ebene beschreibt. Werden die Längen der beiden Schenkel des rechten Winkels, der Katheten, quadriert und die beiden Quadrate addiert, dann stimmt diese Summe mit dem Quadrat der Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der Hypothenuse, überein. Dies wird häufig in folgender Art als Gleichung formuliert.

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Hierbei sind a und b - wie im Bild rechts - die Längen der Katheten, und c die Länge der Hypothenuse.

Auch in umgekehrter Richtung behält der Satz von Pythagoras seine Gültigkeit. In einem Dreieck in der Euklidischen Ebene, dessen Seitenlängen a, b und c der oben angegebenen Gleichung entsprechen, liegt Seite c einem rechten Winkel gegenüber.

Das nach Pythagoras von Samos benannte Theorem war, wenigstens empirisch, in Spezialfällen bereits indischen und babylonischen Baumeistern und Priestern bekannt. Durch Abmessen geeigneter Seitenlängen mit Seilen stellten sie rechte Winkel her.

Anstatt auch die folgenden Kapitel in Einzelheiten durchzugehen (Das Kapitel "Entdeckung der Irrationalität" wirkt reichlich verworren.), mag der Hinweis genügen, dass häufig unklar ist, an welche Vorbildung eines Lesers der Artikel appelliert. Das Kapitel "Innenprodukträume" mag hierfür ein geeignetes Beispiel sein. Der erste Satz, gelesen mit den Augen eines Mathematikers, ist falsch, da man beim Abstrahieren vom gewöhnlichen Euklidischen Raum zu allen möglichen Dingen, zum Beispiel zu nicht normierbaren Vektorräumen oder zur Riemann'schen Fläche kommen kann. Einem Laien sagt der Satz dagegen praktisch nichts. Der Fortgang ist wieder schlecht formuliert, da die als geltend behauptete Aussage erst sehr spät, gegen Ende des übernächsten Satzes kommt. Zuerst wird von einem "Skalarprodukt" und danach von einem "Innenprodukt" gesprochen. Für das "Innenprodukt" werden dann ohne Erklärung gewisse Klammern als Symbole eingeführt. Ein Laie, der dies verstehen soll, müsste Hellseher sein. Die Versicherung: "Der Beweis ist einfach." ist überflüssig, und der Anfang des folgenden Satzes mit "Denn" schlechter Stil. Wird dieses "Denn" ernstgenommen, so wäre nicht der im Anschluss gezeigte mathematische Sachverhalt, sondern die "Einfachheit" des Beweises die zu beweisende Behauptung gewesen. In dem skizzierten Beweis am Ende des Kapitels trifft es zu, dass die Stetigkeit des "Innenprodukts" benötigt wird, um die Grenzwertbildung aus dem "Innenprodukt" herausziehen zu können, doch reichen die geringen Andeutungen nicht aus, um einem mathematische Laien eine Vorstellung von dem logischen Zusammenhang zu vermitteln. (Die Gutachter in dem "Exzellenz"-Verfahren haben an dieser Stelle gutgläubig resigniert.) Auf ein Begreifen des logischen Zusammenhangs kommt es in der Mathematik aber gerade an. Aus der Stetigkeit "folgt" übrigens nicht "der Beweis", sondern es kann allenfalls die Richtigkeit der zu beweisenden Behauptung daraus folgen. Mit kurzen Worten gesagt: In seiner aktuellen Gestalt ist der Artikel unausgegoren und in seiner pädagogischen Anlage schlecht konzipiert. Der Artikel mag "exzellent" sein, ein exzellenter Artikel ist er jedenfalls nicht.

Als ergänzende Anmerkung: Mit der Syntax zur Darstellung der mathematischen Sonderzeichen kenne ich mich im Momnt nicht aus. Wenn möglich werden sie aber in ihrer Größe besser an die Größe der normalen Schriftzeichen angepasst. Das Ergebnis sieht dann viel ansprechender aus.85.22.5.252 11:08, 30. Dez. 2008 (CET)

Insoweit die Kritik am Abschnitt "Entdeckung der Irrationalität", er sei "reichlich verworren", auch den zweiten Absatz dieses Abschnitts betrifft, wäre ich für Präzisierung dankbar, wo genau und aus welchem Anlaß die Verwirrung dort einsetzt. Nwabueze 01:47, 31. Dez. 2008 (CET)

Im zweiten Absatz werden zuerst gewisse Meinungen und Legenden beschrieben. Danach wird dem Leser als aktuelle Meinung der Wissenschaftsgeschichte mitgeteilt, dass an den betreffenden Meinungen und Legenden nichts dran sein soll. Als Leser weiß ich dann nicht, welchen Zweck der Autor verfolgt. Um aber in besserer Hinsicht konstruktiv vorzugehen, schließe ich unten auf dieser Seite ein neues Kapitel zu dem Problem der "Irrationalität" an.85.22.23.42 12:07, 31. Dez. 2008 (CET)

Der Autor (in diesem Fall ich) verfolgt einfach den Zweck, über den aktuellen Forschungsstand zu informieren. Etwas ausführlicher ist das im Artikel Hippasos von Metapont dargelegt. Welchen Anlaß könnte ein Leser haben, dem Autor einen anderen Zweck als diesen zu unterstellen? Nwabueze 01:58, 2. Jan. 2009 (CET)

Problem der "Irrationalität"

Ob die Entdeckung der "Irrationalität" im klassischen Altertum eine Krise der Wissenschaft ausgelöst hat, wird kaum eindeutig festzustellen sein, zumal der Wissenschaftsbegriff dieser Zeit sich von demjenigen unserer Zeit radikal unterschied. Hiervon ist insbesondere die Anschauung vom Wesen der Zahlen betroffen. Pythagoras wurde im Mittelalter als "kanonischer" Autor anerkannt, d. h. der Inhalt seiner Schriften wurde als im Einklang mit Dogmen der katholischen Kirche gesehen. Damit mag es zusammenhängen, dass es noch wenigstens bis in die Zeit um 1600 hinsichtlich des Problems der Irrationalität Auswirkungen gab. Das Wort "Musik" hatte eine andere Bedeutung als heute. "Musik", als "Harmonie der Welt" verstanden, umfasste mehrere Wissenschaften, darunter die Mathematik, die Astronomie ("musica mundana") und die Medizin ("musica humana"). Dabei war mit "Harmonie" gemeint, dass alles in der Welt auf Verhältnisse ganzer Zahlen zurückgeführt werden kann. In der Anschauung des christlichen Abendlandes wurde dies als Ausdruck dafür gesehen, dass die Welt von Gott erschaffen und die Schöpfung von Gott als gut befunden worden ist. Kopernikus hat deshalb die von ihm gemessenen Daten der Umlaufbahnen der Planeten "korrigiert", um auf diese Weise zu einem aus Verhältnissen ganzer Zahlen zusammengesetzten Planetensystem zu gelangen. Dieses Planetensystem repräsentierte dann die von Gott als Idee erschaffene Welt, während die Irrationalität der wirklichen Verhältnisse Auswirkung von Aktivitäten des Teufels war.

In einem engeren Sinn auf "Musik" bezogen, gab es in der Zeit um 1600 eine Meinungsverschiedenheit zwischen den Wissenschaftlern Mersenne und Galilei. Dabei ging es um die Frequenz einer schwingenden Saite. Nach der Behauptung von Mersenne, in seinem Buch "Harmonie universelle" ("Harmonie der Welt"), war die Frequenz proportional zur Quadratwurzel der Länge. Wird dies angenommen, dann entspricht dem Intervall der Oktave mit dem Frequenzverhältnis 2:1 ein irrationales Verhältnis der Saitenlängen, aus der Sicht der Zeit um 1600 ein nahezu unfassbar schockierendes Ergebnis. Galilei behauptete deshalb, die Frequenz sei statt dessen einfach proportional zur Saitenlänge. Zwar hatte Mersenne (in der Hauptsache) recht, doch war eine definitive Entscheidung damals nicht möglich, weil eine Methode zur Messung typischer Frequenzen (mehrere hundert Hz) noch nicht zur Verfügung stand.85.22.23.42 12:14, 31. Dez. 2008 (CET)

Zu deiner Feststellung Ob die Entdeckung der "Irrationalität" im klassischen Altertum eine Krise der Wissenschaft ausgelöst hat, wird kaum eindeutig festzustellen sein, zumal der Wissenschaftsbegriff dieser Zeit sich von demjenigen unserer Zeit radikal unterschied: (1) es kann natürlich alles mögliche stattgefunden haben, worüber die Quellen nicht berichten. Hoffentlich besteht Einigkeit darüber, daß in solchen Fällen die Beweislast ganz bei denen liegt, die behaupten, da habe etwas stattgefunden. Die überzeugenden Gegenargumente stehen in der bei Hippasos von Metapont genannten Fachliteratur. (2) es ist im Artikel nicht von einer "Krise der Wissenschaft" die Rede, sondern von einer (angeblichen) Krise der Mathematik. Daß es sich beim Artikelthema und dem Thema des Abschnitts tatsächlich um Mathematik handelt, dürfte unstrittig sein, unabhängig von der Frage nach dem damaligen und heutigen Wissenschaftsbegriff. Daher sehe ich da kein Problem. Wie man die Irrationalität im Mittelalter und in der Frühen Neuzeit sah, ist ein anderes Thema, das in dem Abschnitt nicht behandelt wird. Dieser befaßt sich, wie seine Überschrift besagt, nur mit der Entdeckung der Irrationalität, welche in der Antike erfolgte. Daher verstehe ich die Kritik nicht. Nwabueze 01:59, 2. Jan. 2009 (CET)

Ausgangspunkt war mein Eindruck, dass der Zweck des Kapitels "Entdeckung der Irrationalität" unklar ist. Zum Verständnis des Satzes von Pythagoras trägt es nichts bei, und es kommt hinzu, dass - wenigstens für mich - kaum eine deutlich greifbare Aussage vermittelt wird. Der Begriff einer "Krise der Wissenschaft" besagt, dass eine wesentliche qualitative Veränderung stattgefunden haben muss. Ein Beispiel aus neuerer Zeit könnte das im späten 19. Jahrhundert akut gewordene Problem des "Schwarzen Strahlers" sein, der nach den Regeln der klassischen Thermodynamik eine unendliche Energiedichte emittieren müsste. Da die Vorstellung einer unendlichen Energiedichte aber physikalisch unsinnig ist, befand sich die physikalische Welt in einer Krise. Mit der Einführung der Quantenmechanik wurde diese Krise überwunden. Die Durchsetzung der Quantenmechanik als akzeptierte pkysikalische Theorie ist dann in weniger als 20 Jahren erfolgt, obwohl sie dem früher als absolute Wahrheit angesehenen Weltbild der klassischen Physik in vielen Aspekten radikal widerspricht.

Eine vergleichbare Krise im Zusammenhang mit der "Einführung der Irrationalität" würde bedeuten, dass hier der Umgang mit irrationalen Zahlen zum unproblematischen Normalfall geworden ist. Um sich in dieser Hinsicht eine Meinung zu bilden, ist die Geschichte der Musiktheorie ein gutes Studienobjekt. Der Ursprung des abendländischen Tonsystems geht auf Pythagoras und seine Schüler zurück, und es war wenigstens bis zur Renaissance üblich, Einzelheiten des Tonsystems durch Analogiebildungen mit Sätzen der Geometrie zu motivieren. Bei der sogenannten "pythagoräischen Stimmung", aber auch bei der "reinen Stimmung", bezieht man sich ausschließlich nur auf Verhältnisse ganzer Zahlen. Das von mir aus der Zeit um 1600 gegebene Beispiel zeigt, dass es als problematisch angesehen wurde, wenn schon das einfachste musikalische Intervall, die Oktave, in einem Zusammenhang mit irrationalen Zahlen stand. Wenigstens bisher glaube ich deshalb nicht daran, dass es in der Zeit von Pythagoras eine durch die "Entdeckung der Irrationalität" ausgelöste, wesentliche Veränderung der Wissenschaft gegeben hat. Das Problem als solches finde ich aber interessant. Die Bezeichnung "irrational" für die Quadratwurzel aus 2 besagt, dass diese Zahl nicht eigentlich existiert. Da andererseits ein Dreieck mit rechtem Winkel und Katheten der Länge 1 vorgestellt werden kann, gibt es einen Widerspruch, und ich wüßte gern, wie man in früheren Zeiten damit umgegangen ist.

Was den Artikel selbst betrifft, so sieht es für mich so aus, dass wir uns von seinem Gegenstand immer weiter entfernen. Die Kapitel "Entdeckung der Irrationalität" und "Jenseits der Mathematik" wirken auf mich wie Fremdkörper, die man besser ersatzlos streicht. Da ich an dem Artikel aber nur indirekt, mit den Beiträgen auf dieser Seite, beteiligt bin, werden es Andere sein, die darüber entscheiden müssen.85.22.26.132 10:44, 3. Jan. 2009 (CET)

Der Abschnitt "Jenseits der Mathematik" ist unvorteilhaft betitelt, sollte besser "Rezeption" heißen. Die dort von A. v. Chamisso verarbeitete Legende von den hundert Ochsen, die Pythagoras geschlachtet haben soll, ist völlig unhistorisch; unter dem Gesichtspunkt der Frage "wie es wirklich war" reiner Quatsch. Aber zur Rezeption einer Persönlichkeit, Idee oder Entdeckung gehört auch aller Unsinn, der sich im Lauf der Jahrhunderte daran geheftet hat, egal wie absurd er aus der Sicht des Historikers ist. Beispielsweise eine Verarbeitung eines Stoffs in Roman, Dichtung oder Drama, die mit der historischen Realität kaum etwas gemeinsam hat außer den Namen der Protagonisten. Daher gehört dieser Abschnitt nach dem in Wikipedia geltenden Standard schon zum Artikelthema, obwohl der historische Pythagoras sicherlich niemals auch nur einen einzigen Ochsen geschlachtet hätte.

Zugegeben, der Abschnitt "Entdeckung der Irrationalität" gehört nur am Rand zum Artikelthema und kann daher als Fremdkörper wirken, wie von dir bemängelt. Ihn ersatzlos zu streichen ist aber auch problematisch. Dann wird nämlich über kurz oder lang jemand einen neuen Abschnitt über diesen Punkt einfügen, der dann möglicherweise uralte Legenden als Fakten auftischt und somit viel schlechter ist als der jetzige Zustand, wo wenigstens der Forschungsstand korrekt wiedergegeben ist. Der Abschnitt dient auch und besonders dem Zweck zu verhindern, daß irgendein Unsinn über dieses Thema eingefügt wird. Nwabueze 03:08, 4. Jan. 2009 (CET)

"Satz des Pythagoras" war schon im Altbabylonischen Reich bekannt

Ich möchte darauf hinweisen, dass nicht nur "pythagoräische Tripel", sondern der sogenannte "Satz des Pythagoras" schon im Altbabylonischen Reich - also mahr als ein Jahrtausend vor Pythagoras - bekannt war und angewendet wurde (K. Vogel: Vorgriechische Mathematik. Teil II: Die Mathematik der Babylonier. Schroedel, Hannover und Schöningh, Paderborn 1959. S. 12, Mitte, und S. 67f, 2.1.). --RPI 11:15, 26. Jan. 2009 (CET)

Und was bis jetzt hier im Artikel unter "Von der historischen Praxis zur Irrationalität" bei "Babylon und Indien" steht, fällt eigentlich unter "Pythagoräische Tripel" und sollte noch besser dort im zugehörigen Hauptartikel stehen. --RPI 14:28, 26. Jan. 2009 (CET)

Unter "Pythagoras – Suche nach der Harmonie der Welt" steht zu dem einiger Unsinn:

"Mit der Entdeckung des Satzes, die die Überlieferung auf Pythagoras zurückführt, muss das Finden eines Beweises gemeint gewesen sein."

Das ist nicht nur reine Spekulation, sondern ausgesprochen unwahrscheinlich, denn das Finden von Beweisen kam erst viel später in der griechischen Philosophie und damit auch der Mathematik auf. Es ist sogar ziemlich zweifelhaft, dass Pythagoras (im Gegensatz den späteren Pythagoräern) überhaupt Mathematiker war (B.L. van der Waerden: Die Pythagoreer, Zürich 1979. S. 36ff).

Aus dem Proklos-Zitat weiter unten im Artikel kann man auch nur schließen, dass Pythagoras angeblich der erste war, der sich mit den "Wissenschaften" um ihrer selbst Willen beschäftigt hat, ohne einen praktischen Nutzen damit zu verbinden, um dadurch zu höherer Erkenntnis zu kommen - was ganz im Sinne der platonischen Philosophie ist (Proklos ist Neuplatoniker). Der Wissenschaftbegriff den wir heute haben und der, den Proklos zu seiner Zeit hatte, sind sicher andere als der, den Pythagogas zu seiner Zeit hatte, also selbst wenn Proklos das aus einer zuverlässigen Quelle entnommen hat, ist damit noch nichts darüber gesagt, was mit "Wissenschaft" gemeint ist, insbesondere ist - wie schon gesagt - das Finden von streng logischen Beweisen (im Stile eines Euklid) sicherlich nicht gemeint. --RPI 15:06, 26. Jan. 2009 (CET)

Dass frühe Wissenschaftler, orientalische ebenso wie griechische, jedoch nicht einfach nur aus ein paar speziellen empirischen Beobachtungen auf allgemeine Gesetze geschlossen haben werden, sondern Vermutungen wenigstens anschaulich auf Plausibilität prüften, darf man hingegen unterstellen. Ob man das dann einen Beweis nennen will, hängt vom Betrachter ab, nämlich wie gut für diesen ein Nachweis begründet sein soll. Es ist nicht erwiesen und auch nicht glaubhaft, dass frühe griechische Wissenschaftler sich von ihren orientalischen Kollegen in der Beweisführung grundlegend unterschieden, was sich aber später durch philosophische Betrachtungen geändert hat.

Der sogenannte "Satz des Pythagoras" lässt sich in seiner Allgemeinheit wohl kaum aus wenigen rechtwinkeligen Dreiecken, deren Seitenlängen "pythagoräische Tripel" bilden und die empirisch von Baumeistern gefunden werden konnten, entdecken: Wieso sollte jemand, der sich mit rechtwinkeligen Dreiecken beschäftigt und ein paar mit ganzzahligen Seitenverhältnissen gefunden hat, sich die Quadrate über deren Seiten betrachten und dann noch erkennen, dass die Fläche der Quadrate über den Katheten zusammen immer genauso groß sind wie die Fläche des Quadrates über der Hypothenuse? Der "Satz des Pythagoras" ist keinem rechtwinkeligen Dreieck anzusehen und deshalb auch empirisch so gut wie unmöglich zu finden. Sehr viel wahrscheinlicher ist es, dass der "Satz des Pythagoras" bei der Untersuchung oder Berechnung von Flächen aufgrund einer günstigen geometrischen Figur, der man den Satz relativ leicht ansehen kann, erkannt wurde. Wie er entdeckt wurde und man sich von seiner Richtigkeit überzeugt hat, kann aber nur vermutet werden - so lang kein antiker Text entdeckt wird, der dies belegt. Es lässt sich hingegen beweisen, dass er bereits im Altbabylonischen Reich bekannt war und angewendet wurde. --RPI 15:53, 27. Jan. 2009 (CET)

Ich habe das Diagramm zum geometrischen Beweis durch Ergänzung geringfügig verändert, so dass man den "Satz des Pythagoras" - wie ich meine - besser, nämlich auf einen Blick, erkennen kann:

Jemand der sich mit der ersten Binomischen Formel, (a + b)² = a² + 2ab+ b² (linkes Bild), beschäftigt hat, könnte so den "Satz des Pythagoras" schon im alten Babylon entdeckt haben. --RPI 20:52, 28. Jan. 2009 (CET)

Artikel aufspalten?

Aufgrund der recht ausführlichen Diskussion zu Hintergrund, Vorstufe, philosophischer Bedeutung des Satzes, frage ich mich, ob es nicht besser wäre für diese Thematik ein eigenes Auslagerungslemma zu erstellen. Gerade bei der historischen Erörterung besteht, das Problem, das vereinfachende Zusammenfassungen sehr schnell falsch werden und man deshalb die Quellen, was man aus ihnen sicher schließen kann und was nur plausible Vermutungen sind, detalliert erläutern muss. Irgendwo weiter oben wurde ja schon angesprochen, dass im Moment einzelne Abschnitte wie Fremdkörper im Artikel wirken. Ich würde daher dafür plädieren, den geschichtlichen, kulturhistorischen Abschnitte stark zu verkürzen (wenige Sätze) und auf ein Auslagerungslemma zu verweisen, während sich dieses Lemma dann fast ausschließlich mit dem mathematischen Eigenschaften beschäftigen sollte. Aus meiner Sicht würde das bei so einem stark überwachten, editierten, frequentierten Artikel auch eine sinnvolle Arbeitsteilung bedeuten und die Wartung erleichtern.--Kmhkmh 12:41, 26. Jan. 2009 (CET)

Hört sich vernünftig an. Für den mathematisch interessierten Leser ist der geschichtliche Hintergrund in der Regel sicherlich ziemlich uninteressant, wer eher ein geschichtliches, kulturhistorisches Interesse daran hat kann ja dann mit einem Link auf den entsprechenden Artikel gehen. Ich hätte da also keine Einwände. Gruss --RPI 14:12, 26. Jan. 2009 (CET)

Also mir gefällt es besser, wenn ein Artikel das thema aus allen wichtigen Perspektiven beleuchtet und bei dem Satz des Pythagoras gehört die Geschichte da einfach zu, und zwar ausführlich im Hauptartikel. Ich hätte auch kein Problem damit, wenn der Geschichtsteil noch eine Seite länger wäre. --P. Birken 19:03, 27. Jan. 2009 (CET)

Wie gesagt: Für den mathematisch interessierten Leser, der sich für den geschichtlichen Hintergrund nicht interessiert, ist die Geschichte unwichtig, ja sogar störend. Wen das Kulturhistorische interessiert, der sieht das natürlich völlig anders. Man kann sich also darüber streiten, was wichtig ist und was nicht und damit, was in den Artikel gehört und was nicht. Für die meisten Leser dürfte das ein rein mathematisches Thema sein und die Geschichte dazu gar nicht interessieren. Es gibt sicherlich eine Menge Artikel zu mathematischen Themen, in denen auch nichts zur jeweiligen Geschichte steht, die findet man dann - wenn überhaupt - am ehesten auf der Seite desjenigen, der die entsprechenden Sätze oder gar die entsprechende Theorie entwickelt hat. --RPI 19:57, 28. Jan. 2009 (CET)

Nein, das sehe ich anders und so sieht es auch Wikipedia:Wie schreibe ich gute Artikel und auch unsere Beschreibung davon, wie Matheartikel aussehen: Portal:Mathematik/Projekt#Gliederung eines mathematischen Artikels (Struktur, Formatvorlage). Auch finde ich es nicht gut, dass Du nun alles zu den pythagoreischen Tripeln aus dem Geschichtsabschnitt rausgenommen hast, die sind halt schon ein Vorläufer des Satzes. --P. Birken 18:44, 29. Jan. 2009 (CET)

Also die zitierten WP-Angaben sagen eigentlich nichts dazu aus, ob eine Aufspaltung/Auslagerung hier besser ist oder nicht. Unstrittig ist, das natürlich auch nicht-mathematische Aspekte mit in den Artikel gehören, aber die Frage ist eben wie auführlich Randthemen im (Haupt)Artikel selbst sein sollen. Die Auslagerung der pythagoreischen Tripel finde ich deswegen auch gut, die verdanken zwar ihren Namen zwar dem Satz des Pythagoras, haben aber inhaltlich als algebraisches, zahltentheoerisches Konstrukt mit dem geometrischen Lehrsatz eigentlich fast nichts zu tun. Auch stellen sie eben historisch gesehen vermutlich keine Vorstufe des Satzes von Pythagoras dar, sondern haben sich stattdessen schon damals direkt aus Berechnungsverfahren bzw. Algebraproblemen ohne geometrischen Hintergrund entwickelt (als Quelle dazu siehe Maor und auch die Diskussion oben zu den Seilspannern).--Kmhkmh 20:17, 30. Jan. 2009 (CET)

Zahlreiche Artikel haben historische oder auch etymologische Abschnitte, die nur einen relativ kleinen Teil der Leser interessieren. Ebenso haben zahlreiche historische Artikel Abschnitte über moderne Rezeption historischer Themen in Roman und Film, die für die meisten historisch interessierten Leser uninteressant sind. Eine Auslagerung solcher Abschnitte ist dann und nur dann sinnvoll, wenn die Gesamtlänge des Artikels und des auszulagernden Teils einen solchen Schritt nahelegt. Allerdings ist im vorliegenden Fall fraglich, ob der historische Teil ganz oben stehen muß. Eine Verlagerung nach ganz unten wäre zu erwägen. Nwabueze 02:44, 30. Jan. 2009 (CET)

Ich hab jetzt mal etwas umgestellt und umformuliert und hoffe damit den unterschiedlichen oben vorgetragenen Anliegen gerecht geworden zu sein. Nwabueze 12:01, 30. Jan. 2009 (CET)

Gefällt mir ganz gut. --P. Birken 18:04, 30. Jan. 2009 (CET)

Die Formulierung

Schon lange vor Pythagoras kannten indische und babylonische Baumeister und Priester die Kunst, bei Abmessungen von Feldern und Bauten mit Hilfe von Seilen präzise rechte Winkel zu erzielen.

ist leider unglücklich, weil dabei nicht der "Satz des Pythagoras" zu Grunde liegt, sondern seine Umkehrung:

Wenn für die Seiten a, b, c eines Dreiecks gilt: a² + b² = c², dann ist der Winkel gegenüber von c ein rechter.

Die Praxis mit Seilspannen rechte Winkel zu konstruieren beruht zwar auf empirisch auffindbaren "pythagoräischen Tripeln", sie hat aber mit dem theoretischen Interesse an geometrischen Aufgaben auf babylonischen Keilschrifttafeln nichts zu tun: Wenn z.B. für einen an eine senkrechte Wand angelehnten Balken der Abstand seines unteren Endes zur Wand berechnet werden soll, wobei keine einzige ganze Zahl vorkommt und der "Satz des Pythagoras" offensichtlich angewendet wird, dann ist das etwas ganz anderes als Seilspannen. Ich hatte bereits oben darauf hinweisen, dass nicht nur "pythagoräische Tripel", sondern der "Satz des Pythagoras" im Altbabylonischen Reich bekannt war und angewendet wurde - und das kann ich beweisen!

Die oben zitierte Formulierung habe ich nur leicht verändert aus der vorherigen Fassung übernommen. Ob der Satz oder seine Umkehrung zugrunde liegt, scheint mir in diesem Fall kein fundamentaler Unterschied, daher möchte ich die Formulierung nicht als unglücklich bezeichnen. Daß die Babylonier den Satz anwendeten, ist unstrittig und steht bereits im Artikel. Nwabueze 02:32, 31. Jan. 2009 (CET)

Es ist logisch und damit auch mathematisch im Allgemeinen ein fundamentaler Unterschied, ob der Satz oder seine Umkehrung zugrunde liegt: Nur wenn beide äquivalent sind, was meist nicht der Fall ist, macht das keinen Unterschied. --RPI 18:50, 3. Feb. 2009 (CET)

Die Babylonier wendeten den Satz als Rechenvorschrift nicht auf nur einzelne praktische Aufgaben an, sondern auch auf solche Aufgaben (altbabylonisch):

Ein Balken von gegebener Länge ist an eine senkrechte Mauer o.ä. schräg angelehnt und aus der Höhendifferenz zur senkrechten Stellung soll der Abstand seines unteren Endes von der Mauer berechnet werden.

Das ist ebenso praxisrelevant die gleiche Aufgabe mit einer an einen Turm angelehnten Lanze bei Leonardo von Pisa. --RPI 19:27, 3. Feb. 2009 (CET)

Der Satz

Sie wendeten den Satz als Rechenvorschrift auf einzelne praktische Aufgaben an, doch gibt es keinen Anhaltspunkt dafür, dass sie versuchten, ihn zu beweisen.

ist auch nicht optimal, denn es geht nicht um die Frage, ob ein Beweis versucht wurde, sondern ob ein Beweis bekannt war. Von den Babyloniern sind kaum theoretische Lehrtexte bekannt, theoretische Texte sind in der Regel Tabellenwerke oder Übungsaufgaben, bei denen theoretische Inhalte angewandt wurden. Dass der "Satz des Pythagoras" allgemein verwendet wurde, spricht aber dafür, dass eine allgemeine Begründung bekannt war, die man auch Beweis nennen kann. Es fehlt nur noch ein empirischer Beweis in Form eines antiken Textes, der eine solche Begründung enthält. Deshalb kann nicht mit Sicherheit behauptet werden, dass die Babylonier einen Beweis kannten, es ist aber sehr wahrscheinlich und daher auch davon auszugehen. --RPI 19:25, 30. Jan. 2009 (CET)

Das verstehe ich nicht. Wenn da steht, daß soweit erkennbar kein Beweis gesucht wurde, dann bedeutet das, daß keiner bekannt war. Wäre einer bekannt gewesen, so hätte es keinen Anlaß gegeben, einen zu suchen, sondern dann hätte man sich einfach an den bereits bekannten (also schon früher mit Erfolg gesuchten) Beweis gehalten. Daß man keinen suchte, impliziert zwingend, daß man keinen hatte; was man hat, braucht man nicht zu suchen. In der Forschung dominiert die Auffassung, daß die Babylonier an Beweisen nicht interessiert waren, da sie sich nicht für Mathematik als solche, sondern nur für die erfolgreiche Anwendung von Rechenregeln in der Praxis interessierten. Wenn also der Satz für Strecken, die erheblich größer sind als babylonische Bauwerke, nicht mehr stimmen würde, so wäre das den Babyloniern völlig egal gewesen. Ebenso wenn er nur annäherungsweise stimmen würde, die Abweichung aber für praktische Zwecke vernachlässigt werden könnte, wäre ihnen das ebenfalls völlig egal gewesen. Wenn die Rechenregel funktionierte und niemand das bestritt, wozu brauchte man sich dann darüber den Kopf zu zerbrechen, ob und warum das ausnahmslos immer und mit absoluter Genauigkeit der Fall sein muß? Es ist nicht davon auszugehen, daß sie einen Beweis kannten, denn es ist keine Motivation erkennbar, die sie hätte veranlassen können, sich dafür zu interessieren. Nwabueze 02:32, 31. Jan. 2009 (CET)

Also im Prinzip sehe ich das ähnlich allerdings mit einer etwas anderen Akzentuierung. Bei dem momentanen Umfang finde ich die Behandlung in einem Lemma ok, wobei ich ebenfalls die jetzt vorgenommen Verlagerung des geschichtlichen Abschnitts ans Ende für sinnvoll halte. Ich hatte jedoch aufgrund der anderen Diskussionen (Abschnitte Kritik,Seilspanner,etc.) und kürzlichen Edits den Eindruck, dass der Umfang der "Randthemen" eventuell weiter wächst und dann evetuell eine Auslagerung angebracht ist. Außerdem verdienen unabhängig davon Themen wie pythagoreische Tripel und Entdeckung der Irrationalität aus meiner Sicht ohnehin ein eigene Lemmata.--Kmhkmh 20:17, 30. Jan. 2009 (CET)

Bei der jetzigen, nach heutigem Wiki-Maßstab noch sehr bescheidenen Gesamtlänge des Artikels dürfte sich das Problem einer Überlänge in absehbarer Zukunft kaum stellen. Da ist noch erheblicher Spielraum. Ein Lemma Pythagoreisches Tripel existiert bereits, und es wird darauf in diesem Artikel an prominenter Stelle hingewiesen. Wenn jemand ein Lemma "Entdeckung der Irrationalität" anlegen will, ist dagegen natürlich nichts einzuwenden; die eher knappe Behandlung des Themas in diesem Artikel braucht dann nicht unbedingt gekürzt zu werden. Wir haben im Bereich Wissenschaftsgeschichte wohl dringlichere Desiderate. Nwabueze 02:32, 31. Jan. 2009 (CET)

Daß man keinen suchte, impliziert zwingend, daß man keinen hatte; was man hat, braucht man nicht zu suchen.

Dass in diesem Satz die zweite Aussage der ersten (die unsinnig ist) logisch widerspricht, ist doch hoffentlich klar? Was man hat, braucht man nicht zu suchen: Also wenn man suchen muss, hat man keinen - und nicht dann, wenn man nicht sucht weil man es nicht muss.

Wenn - soweit erkennbar - kein Beweis gesucht wurde, dann kann das bedeuten, dass ein Beweis bekannt war, denn dann musste man nicht mehr danach suchen. Es kann aber auch bedeuten, dass man zwar danach gesucht hat, aber keinen Beleg für diese Suche bisher entdeckt hat, oder dass man an einem Beweis nicht interessiert war. Die Frage, was man unter einem Beweis versteht, ist nämlich ein Problem.

Bei den Babyloniern findet sich z.B. ein allgemeines Verfahren zur Berechnung der Quadratwurzel einer beliebigen Zahl (K. Vogel: Vorgriechische Mathematik. Teil II: Die Mathematik der Babylonier. Schroedel, Hannover und Schöningh, Paderborn 1959. S. 34f, 5.): Ist die Ausgangszahl das Quadrat einer natürlichen Zahl, dann lässt sich die Wurzel einer Tabelle entnehmen (die Babylonier haben zur Erleichterung von Rechnungen im 60ger-System oft Tabellen benutzt). Findet sich diese Wurzel nicht in einer Tabelle, dann wird sie näherungsweise berechnet. Dieses Verfahren zur Berechnung einer Näherung kann man auch geometrisch deuten als einen anschaulichen Beweis dafür, dass es sich tatsächlich (modern gesagt) um einen Algorithmus für eine Näherung handelt. Der Fehler, der dabei auftritt, lässt sich damit ebenso bestimmen, was auch tatsächlich so gemacht wurde.

Man kann sich darüber streiten, ob das ein Beweis ist - weil selbst erklärend - oder nur ein Rechenverfahren, das zum richtigen Ergebnis führt und anschaulich, aber nicht hinreichend streng begründet, richtig ist. Wenn ein Verfahren intuitiv das richtige Ergebnis liefert, dann kann man sich damit zufrieden geben, wobei das Finden des Verfahrens auch entsprechende Überlegungen erforderte, und es einfach weiter verwenden oder einen mehr oder weniger logisch lückenlos begründeten Nachweis dafür suchen, dass das Ergebnis tatsächlich das Forderte leistet.

Für Babylonier dürfte das Beispiel oben als Beweis genügt haben, für griechische Philosophen ab dem 4. Jahrhundert v.Chr. aus erkenntnistheoretischen Gründen nicht, diese hätten noch entsprechende Begründungen verlangt.

Ein anderes Problem ist die Tatsache, dass die entdeckten babylonischen mathematischen Texte fast ausschließlich aus Tabellenwerken und Übungsaufgaben bestehen und allgemeine theoretische Lehrtexte eine seltene Ausnahme sind. Daher sagt das Fehlen eines Beweises oder einer Suche nach einem Beweis nichts darüber aus, ob ein solcher unbekannt war oder danach nicht gesucht wurde. --RPI 18:50, 3. Feb. 2009 (CET)

Aus meiner Sicht war die Formulierung klar und ausreichend, ich habe aber kein Problem damit, in dem von dir gewünschten Sinn umzuformulieren, was ich jetzt gemacht habe. Nwabueze 10:45, 4. Feb. 2009 (CET)

Jetzt werden der Satz und die Tripel deutlicher getrennt. Das oben von mir genannte babylonische Verfahren zur Berechnung der Quadratwurzel einer beliebigen Zahl ist übrigens das Heron-Verfahren.--RPI 17:47, 4. Feb. 2009 (CET)

Entdeckung der Irrationalität: Satz des Pythagoras ist nicht notwendig

Für die Irrationalität von ${\sqrt {2}}$ braucht man nicht den Satz des Pythagoras, denn dass die Diagonale eines Einheitsquadrates die Länge ${\sqrt {2}}$ hat, kann man auch ohne den Satz des Pythagoras sehen:

Teilt man das Einheitsquadrat durch die Diagonalen in vier konguente, rechtwinklige Dreiecke (mit je einer Fläche von 1/4) und klappt man diese um ihre Hypothenusen (= Seiten des Einheitsquadrates) nach außen, so erhält man ein Quadrat mit den Seitenlängen der Diagonalen des Einheitsquadrates, bestehend aus acht dieser konguenten, rechtwinkligen Dreiecke. Dieses Quadrat hat also die Fläche 8·1/4 = 2, so dass die Seiten dieses Quadrats die Länge ${\sqrt {2}}$ haben.

Die Aussage im Artikel

Der Satz des Pythagoras führte die Pythagoreer zur Entdeckung der Irrationalität von ${\sqrt {2}}$.

ist daher reine Spekulation. Der Absatz „Entdeckung der Irrationalität“ ist deshalb völlig überflüssig und sollte – ohne den genannten Satz - in den entsprechenden Hauptartikel verschoben werden. --RPI 22:24, 9. Feb. 2009 (CET)

Indien und Babylon

Bevor ich die Versionsgeschichte weiter zumülle, steige ich auf die Dikussionsseite um. Zur Zeit steht im Artikel:

„Der Satz ist nach Pythagoras von Samos benannt, der als erster einen Beweis dafür gefunden haben soll, was allerdings in der Forschung stark bezweifelt wird. Schon lange vor Pythagoras war der „Satz des Pythagoras“ in Babylon und Indien bekannt, es gibt jedoch keinen Nachweis dafür, dass man dort bereits einen mathematischen Beweis hatte.“

Das halte ich für zu vereinfachend und zu gefärbt: Lange früher ist Fall Indiens möglicherweise gerade ein paar Jahre (Apastamba-Sulbasutra) und in Babylon kannte man den Satz möglicherweise gar nicht (Sondern nur einige pythagoreische Tripel). "Stark", "lange" sind zu wertend. Es müsste etwa heißen:

„Der Satz ist nach Pythagoras von Samos benannt, der als erster einen Beweis dafür gefunden haben soll, was in der Forschung zum Teil bezweifelt wird. Vor Pythagoras war in Ägypten, Babylon und Indien die Verwendung Pythagoreischer Tripel zur Konstruktion von rechten Winkeln oder der Satz selbst bekannt.“

--Erzbischof 12:15, 15. Feb. 2009 (CET)

Von den Ägyptern ist zwar die Kenntnis eine pythagoräisches Tripels überliefert, allerdings kann dies nicht mit der Kenntnis des Satzes oder seiner Umkehrung gleichgesetzt werden, außerdem ist zumindest im Falle Ägyptens zweifelhaft, ob pythagoräische Tripel zur Konstruktion rechter Winkel verwendet wurden oder überhaupt einen geometrischen Hintergrund haben. Details dazu inklusive relevanter Mathematikhistoriker stehen weiter oben in der Diskussion zu den Seilspannern.--Kmhkmh 12:27, 15. Feb. 2009 (CET)

Um Ägypten ging es mir eigentlich nicht, korrigiert... --Erzbischof 15:31, 15. Feb. 2009 (CET)

Der so genannte "Satz des Pythagoras" war schon im Altbabylonischen Reich bekannt, worauf ich schon weiter oben hingewiesen hatte. Weil hier offenbar manches durcheinander geht, noch einmal zur Klarheit:

Der "Satz des Pythagoras" wurde im alten Babylon zur Berechnung von Seiten in rechtwinkeligen Dreiecken benutzt, und zwar nach der bekannten Formel a² + b² = c². Dabei wurden das Quadrat der gesuchten Dreiecksseite aus den Quadraten der beiden anderen Seiten berechnet und daraus dann die Wurzel gezogen. Das hat offensichtlich weder mit der Konstruktion eines rechten Winkels – also der Umkehrung des "Satz des Pythagoras" – noch mit pythagoräischen Tripeln zu tun, weil diese aus ganzen Zahlen bestehen, aber bei babylonischen Anwendungen des Satzes, um die es hier geht, keine ganzen Zahlen verwendet wurden und die Aufgabenstellung geometrisch war. --RPI 15:02, 16. Feb. 2009 (CET)

Also ich will ja nicht bestreiten, dass die Babylonier den Satz schon kannten, aber was bitte hat dieser Abschnitt im Lemma zu Sexagezimal zu suchen??? Dieser Abschnitt ist dort mMn völlig fehl am Platz und gehört stattdessen in den Artikel hier oder von mir aus in ein Auslagerungslemma oder auch in einen Artikel zur Mathematik der Babylonier.--Kmhkmh 17:42, 16. Feb. 2009 (CET)

Der Abschnitt war schon im Artikel zum Sexagesimalsystem enthalten, ehe ich ihn letzte Woche dort gesehen und verbessert habe. Auch meiner Meinung nach gehört der hier in den Artikel. Auf der anderen Seite ist das aber auch ein historisches Beispiel für das Rechnen mit Sexagesimalzahlen, es gibt jedoch sicherlich besser geeignete Beispiele, die man statt dessen nehmen könnte. Wenn du also den Absatz in den Artikel hier verschieben willst, dann habe ich nichts dagegen.

Wie ich schon einmal oben angemerkt hatte, ist auch der Absatz „Entdeckung der Irrationalität“ hier im Artikel fehl am Platz, weil unbekannt ist, wie die Irrationalität entdeckt wurde. Es gibt dazu nur ein paar Vermutungen, eine davon beruht auf der Annahme, dass zuerst die Irrationalität von ${\sqrt {2}}$ gefunden wurde (wegen entsprechenden Beweisen in Euklids „Elementen“). Aber, wie schon oben gesagt, ist selbst dann der Satz des Pythagoras nicht notwendig, schon in Platons Dialog Menon (also vor Euklid) wird ein einfacher, geometrisch-anschaulicher Nachweis dafür beschrieben, dass man zu einem gegebenen Quadrat ein Quadrat mit doppelter Fläche erhält, wenn man das Quadrat über einer der Diagonalen des gegebenen Quadrates zeichnet. --RPI 18:56, 16. Feb. 2009 (CET)

Persönlich halte ich einen eigenen Artikel zur Entdeckung der Irrationalität auch für besser, in dem man die verschiedenen Ansätze detailliert bespricht, möglichst so dass es auch für Leser ohne größeres mathematisches oder historisches Hintergrundwissen nachvollziehbar ist.--Kmhkmh 15:56, 26. Feb. 2009 (CET)

Bilder/Text Verknüpfung

"Eine algebraische Lösung ergibt sich aus dem linken Bild"

Auf der linken Seite gibt es bei mir nur die Navigationsleiste, ich sehe weder ein linkes Bild (lasse mich doch nicht von einem Bild linken), noch ein Bild auf der linken Seite. Vielleicht kann jemand der weiß welches Bild gemeint, diesen Punkt so ändern, dass klar wird welches Bild gemeint ist.91.58.166.233 21:19, 3. Feb. 2010 (CET)

Es ist das rechte Bild. --P. Birken 18:31, 6. Feb. 2010 (CET)

"Gleiche" Dreiecke

Trotz der Exzellenz des Artikels habe ich noch eine Kleinigkeit gefunden, die mich sprachlich stört. Und zwar wird im geometrischen Beweis von gleichen Dreiecken gesprochen, obwohl kongruente Dreiecke gemeint sind. Da auf das Dreieck erst Operationen wie Drehungen und Spiegelungen angewendet werden müssen, um die anderen Dreiecke zu erhalten, ist es nicht mehr das gleiche Dreieck. Ich bin auch überzeugt, dass es genau aus diesem Grund das Wort "kongruent" im matehematischen Gebrauch gibt. Ich würde hier das Wort "gleich" jeweils durch kongruent ersetzen. Damit es aber allgemeinverständlich bleibt, sollte man in Klammern noch das Wort "deckungsgleich" hinzufügen. --NadineJ 16:27, 18. Mär. 2010 (CET)

Naja du hast zwar nicht ganz unrecht nur verhält sich das mit der Verständlichkeit eher umgekehhrt. "Gleich" ist das umgangssprachliche Wort und "kongruent" das exakte Fachwort. Man beachte auch den sprachlichen Unterschied zwischen dasselbe und das gleiche. Aus formal-mathematischer Sicht ist "gleich" zwar etwas ungenauer als "kongruent", aber dennoch genauso richtig, da Gleichheit nicht etwa nur für die Identität im Sinne von "dasselbe Objekt" steht, sondern allgemein für eine Äquivalenzrelation und die hier verwendete Äquivalenzrelation ist eben die (geometrische) Kongruenz.--Kmhkmh 18:09, 18. Mär. 2010 (CET)

geschickt... mit der richtigen Äquivalenzrelation wieder gerettet.. Ich bin nur deswegen drauf gestoßen, weil ich gerade Schülern der 7.Klasse vermitteln will, warum sie den Kongruenzbegriff benötigen und dass es tatsächlich Situationen gibt, in denen es wichtig ist, ob das Dreieck gespiegelt ist und es dann also nicht mehr das gleiche ist. --NadineJ 20:21, 18. Mär. 2010 (CET)

Textausschitt geometrischer Beweis

Textausschitt geometrischer Beweis:´Eine algebraische Lösung ergibt sich aus dem rechten Bild`. Sollte sein: linken Bild. (nicht signierter Beitrag von 91.66.65.65 (Diskussion) 19:55, 29. Jul 2010 (CEST))

Eigentlich nicht? --P. Birken 20:04, 2. Aug. 2010 (CEST)

Abbildung in Sibirien

Angeblich war in den achtziger Jahren geplant, in Sibirien riesige Waldflächen in Form der Satzdarstellung zEine algebraische Lösung ergibt sich aus dem rechten Bild.u roden, um quasi ein Kulturdenkmal zu schaffen. Kann dazu vielleicht jemand etwas belastbares beitragen ? (nicht signierter Beitrag von 91.67.217.90 (Diskussion) 13:18, 29. Jul 2010 (CEST))

Ein wirklich schöner Artikel

Glückwunsch an alle, die hier mitgearbeitet haben. (nicht signierter Beitrag von 217.7.160.114 (Diskussion | Beiträge) 12:19, 2. Jul. 2004 (CEST))

Herleitung

Zum Satz des Pythagoras sollte noch die Herleitung mittels den Kathetensätze (a^2=c*p und b^2=c*q) erwähnt werden. Wenn man die Hypotenuse AB als Basis verwendet und die Höhe aus c einzeichnet, so sind die beiden Dreiecke ähnlich und können somit addiert werden: $a^{2}+b^{2}=c*p+c*q$ Durch Vereinfachung stößt man auf den Satz des Pythagoras. (nicht signierter Beitrag von Cfischer1995 (Diskussion | Beiträge) 21:40, 15. Dez. 2008 (CET))

Trigonometrischer Pythagoras

Bin gerade auf den Artikel Trigonometrischer Pythagoras gestossen. Könnte/sollte man diesen Artikel nicht vielleicht hier einbauen? Als eigener Artikel scheint mir das Thema ein wenig dünn.--KMic 17:31, 29. Jun. 2011 (CEST)

Als Kurzartikel kann das aus meiner Sicht so bleiben, aber man sollte ihn hier zumindest verlinken.--Kmhkmh 12:29, 10. Okt. 2011 (CEST)

Abschnitt: Beweis mit Ähnlichkeiten

Der Abschnitt Beweis mit Ähnlichkeiten sagt:

Es ist nicht unbedingt notwendig, zum Beweis des Satzes von Pythagoras Flächen heranzuziehen. Geometrisch eleganter ist es, Ähnlichkeiten zu verwenden.

Was rechtfertigt die Aussage, die Verwendung von Ähnlichkeiten sei eleganter? Zur Beweisführung mit Ähnlichkeiten wird auf ein Bild verwiesen. Der im Bild dargesetllte Beweis setzt den Kathetensatz des Euklid voraus, welcher genauso wie der Satz des Pythagoras selbst zur Satzgruppe des Pythagoras gehört und daher kaum als bekannte Grundlage vorausgesetzt werden kann, um den Satz des Pythagoras zu beweisen. Insofern ist dieser Beweis nicht einmal intuitiv einleuchtend. – Ocolon 18:11, 6. Mär. 2011 (CET)

Kathetensatz wird hier nicht benutzt sondern gleich mitbewiesen, allerdings leidet das ganze unter einen Displayfehler von Wikimedia, den dass c^2 wird nicht mehr dargestellt (zumindest in meinem Browser), wenn du das Bild jedoch anklickst, dann kannst du es sehen.

Ansonsten ist Eleganz eine subjektive Sache, aber Ähnlichkeiten erlauben eine besonders "schnelle" Herleitung der gesamten Satzgruppe, das mag man dann schon als elegant bezeichnen. Das Flächen nicht verwendet werden, ist allerdings nur oberflächlich richtig, da diese implizit in den Ähnlichkeitssätzen für Dreiecke bzw. dem Strahlensatz stecken und deren Verhältnisgleichungen über Flächenvergleiche hergeleitet werden.--Kmhkmh 18:46, 6. Mär. 2011 (CET)

Vielen Dank für die Erklärung. Dass der Kathetensatz nicht nur verwendet, sondern ebenfalls bewiesen wird, habe ich unglücklicherweise übersehen. – Ocolon 16:43, 7. Mär. 2011 (CET)

Die drei Sätze der Satzgruppe sind alle äquivalent, d.h. aus jedem einzelnen dieser Sätze kann man die anderen zwei herleiten bzw. beweisen. --RPI 21:28, 6. Nov. 2011 (CET)

Bild der Herleitung über Ähnlichkeit ist abgeschnitten

Bei der Umwandlung von Pythagoras6.svg nach png ist leider das letzte c² verloren gegangen (im svg ist es noch drin, im png nicht mehr) -- 79.237.230.88 00:18, 4. Feb. 2012 (CET)

das ist das oben schon angesprochene Problem, aus irgendeinem Grund rendert Wikimedia dieses spezielle SVG-Bild nicht korrekt. Ich habe es jetzt durch ein neues, dass korrekt gerendert wird ersetzt.--Kmhkmh 02:48, 4. Feb. 2012 (CET)

Weblinks: Video?

Kann man dieses Video zum Satz des Pythagoras als einen der Weblinks setzen? http://www.youtube.com/watch?v=Pqy9TlNWxFg

--18:12, 18. Jun. 2012 (CEST)

Anmerkung zur Aussage über möglicherweise eigenen Entdeckung der Formel durch Pythagoras...

In einer stillen Stunde, als ich über die Story nachdachte, die sich um den berühmten Mathematiker Gaus windet, probierte ich die ihm zugeschriebene Vorgehensweise mit verschiedenen anderen Zahlen aus - was zu meiner stillen Befriedigung natürlich ebenso klappte. Ich kam auf den Gedanken, dass man hierfür ja eigentlich eine Formel einsetzen könnte und machte mich ans Werk. Einen halben Vormittag emsigen Nachdenkens ( bin selbst eine mathematische Null!)brachte den gewünschten Erfolg. Als ich anschließend hier bei Wiki nachschaute, erfuhr ich, dass ich gewissermaßen "das Fahrrad" zum dritten Mal erfunden hatte. Ich hatte die Gaussche Summenformel ( auch bekannt als "der kleine Gaus", ahnungslos selbstständig entwickelt. Auch Gaus war nicht der erste Entdecker, las ich dann. Diese Formel war bereits in der Antike bekannt und von Gaus nur wiederentdeckt worden. Fazit: Es ist m.E. durchaus denkbar, dass auch Pythagoras seine berühmte Formel völlig ahnungslos entwickelt hat, ohne wissen zu können, dass sie bereits existierte. Jürgen Reimann (nicht signierter Beitrag von 217.255.112.20 (Diskussion) 16:04, 6. Sep. 2012 (CEST))

Satz des Pythagoras#Die umstrittene Rolle des Pythagoras. --Quartl (Diskussion) 16:07, 7. Sep. 2012 (CEST)

Praxis

Bin Bau und Möbeltischler Das man immer a2 +b2 =c2 haben muß stimmt meiner Meinung nach so nicht ganz,denn ich kann aus gegeben c2 auch einen rechten winkel errechnen!! Wobei dann a2 +b2 gleich sind, in der Praxis kommt es oft vor, daß ich die Breite von c habe und a und b praktisch brauche!! 16.Oktober 2013 gez. H. D. Wellbrock (nicht signierter Beitrag von 91.60.139.5 (Diskussion) 10:18, 17. Okt. 2013 (CEST))

das bedeutet im Klartext: du versuchst die Formel a^2+a^2=2a^2=c^2 nach a aufzulösen, völlig gemäß dem Satz des Pythagoras! --Fritzbruno (Diskussion) 18:14, 17. Okt. 2013 (CEST)

Übersetzungshilfe gesucht

Wie muß man den letzten Satz der Einleitung "In der modernen Mathematik motiviert der Satz das Konzept.." in deutsche Sprache übersetzen? Obwohl ich seit über 50 Jahren deutscher Muttersprachler und studierter Mathematiker bin, verstehe ich insbesondere die Bedeutung des Wortes "motiviert" bezüglich seines Subjekts "der Satz" und dem Objekt "das Konzept" nicht: "der Satz motiviert das Konzept..." Bahnhof? Rembrandt?

Von einem "Konzept des Senkrechtstehens in mathematischen Räumen" der modernen Mathematik habe ich noch nie etwas gehört oder gesehen. Im Gegenteil, je moderner je krummer und vermurkster. In der Architektur und einigen technischen Fachrichtung mag es eine gewisse Vorliebe für Rechte Winkel geben, ebenso in cartesischen oder explizit orthogonalen Koordinatensystemen und bei der einfachen euklidischen Geometrie, aber bestimmt nicht als Konzept in "mathematischen Räumen der modernen Mathematik". --46.115.74.88 07:25, 4. Mär. 2013 (CET)

"X motiviert Y" = "X liefert eine Motivation für Y" (in meiner Erfahrung ist das typischer Mathematikerslang)

Ich habe aber sonst auch so meine Schwierigkeiten mit dem Satz, da das Konzept (Y) und sein konkreter _Zusammenhang mit dem Satz von Pythagoras sehr vage bzw. diffus erscheinen und mir auch nicht klar ist, was sie nun konkret bedeuten. Zudem macht der Satz die Einleitung oma-unfreundlich, ohne dabei einen wichtigen fachlichen Zugewinn zu lifern, da der ja offenbar auch Fachleuten Rätsel aufgibt. Dementsprechend sollte er entweder gestrichen werden oder zumindest so überarbeitet werden, dass die hier erwähnten Unklarheiten behoben sind.--Kmhkmh (Diskussion) 14:56, 4. Mär. 2013 (CET)

Sehr richtig: An der Formulierung <<In der modernen Mathematik motiviert der Satz das Konzept des Senkrechtstehens in mathematischen Räumen.>> ist viel Fragwürdiges.

Zwar kann man sich was zusammenreimen, etwa dass gemeint sein könnte, dass die mit dem Pythagoreischen Lehrsatz verbundenen geometrischen Betrachtungen in der Mathematik des 20. Jh. auch auf allgemeinere Räume übertragen werden, etwa auf Hilbert- und Prähilberträume. (Siehe etwa Paul Halmos, Introduction to Hilbert Space, 2. Auflage, Chelsea, NY 1957, Kapitel 1, The Geometry of Hilbert Space, Theorem 3: Hier ist der Pythagoreische Lehrsatz ausdrücklich angegeben, und zwar ungefähr so, wie es in dem Artikel unter Skalarprodukträume steht.)

Anderseits sollte ein Wikipedia-Artikel keinen Anlass geben zu Rätselraten darüber, was gemeint sein könnte. Insofern meine auch ich, dass man die obige Formulierung klarstellen oder streichen muss.

Schojoha (Diskussion) 20:42, 5. Mär. 2013 (CET)

Ich wäre für Streichen. Es ist ja auch nicht so, dass man in beliebigen metrischen Räumen oder normierten Vektorräumen oder Längenräumen definieren würde, dass zwei Strecken oder Vektoren orthogonal sind, wenn der Satz von Pythagoras für sie gilt. Man muss schon den Weg über das Skalarprodukt gehen. Aber der Satz des Pythagoras ist nur eine Möglichkeit, die Definition von Orthogonalität zu motivieren. --Digamma (Diskussion) 21:29, 5. Mär. 2013 (CET)

Noch eine weitere Passage der Einleitung ist mir aufgefallen, die ich für diskussionswürdig halte, nämlich am Ende <<es gibt jedoch keinen Nachweis dafür, dass man dort auch einen Beweis hatte.>> Dies zu erwähnen, scheint mir nicht sinnvoll. Wie hätte denn ein Beweis des Pythagoras der alten Inder und Babylonier aussehen sollen? Beweise zu führen ist etwas, was im Rahmen einer mathematischen Theorie Sinn macht. Eine solche gab es jedoch bei vor Euklid nicht.Schojoha (Diskussion) 19:14, 3. Feb. 2014 (CET)

Nein, zum Einen gab es natürlich vor Euklid schon Beweise und mathematische Theorie und zum anderen setzt ein einzelner Beweis nicht unbedingt die Existenz (einer vollständig axiomatischen) Theorie im engeren Sinne voraus, so fallen z.B. praktisch die meisten Beweis in der Schulmathetik in diese Kategorie, inbesondere auch die meisten Bweise zum Satz des Pythagoras. Ein Beweis führt im Prinzip nur eine neue Aussage auf bekannte Aussagen bzw. beweist die neue Aussage an bekannter Aussage. Es wird zwar aus der modernen Sichtweise unterstellt, dass sich damit dann auch eine Beweiskette bis zu den Axiomen möglich ist. Jedoch zählt man diese normalerweise nicht zum eigentlichen Beweis. Insofern ist ein einzelner Beweis eigentlich auch nur ein neuer (bzw. der wichtigste) Baustein in einer Beweiskette. Solche einzelnen Bausteine bzw. Einzelbeweise existierten aber eben schon vor der axiomatischen Organisation der Mathematik durch Euklid. Mögliche Beweise zum Satz des Pythagoras vor Euklid sehen damit im Prinzip genau wie heute, nur ließen sich damals im Gegensatz zu heute nicht zu einer Beweiskette ausbauen. Zumindest einer der im Artikel behandelten Beweise (3. Grafik von oben) stammt soweit ich weiß auch aus dem indischen Kulturkreis (allerdings weiß ich nicht aus welchem Zeitraum).--Kmhkmh (Diskussion) 19:44, 3. Feb. 2014 (CET)

Hallo Kmhkmh! Ja, die moderne Sichtweise ist das Problem. Ich meine nämlich, dass die von mir bemängelte Passage diese moderne Sichtweise unwillkürlich zugrunde legt und halte es für unangemessen.

Was ich meine, will ich mal an einem (zugegebenermaßen leicht schrägen) Vergleichsbeispiel verdeutlichen: Nimm an, jemand schreibt einen Artikel über Erik den Roten und hier in die Einleitung, Erik sei nicht mit einer Motoryacht nach Grönland übergesetzt, obwohl er damit vermutlich viel schneller gewesen wäre. Richtige Feststellung, gar keine Frage! Aber sinnlos, wie ich denke. Und ich denke weiter, die meisten anderen Leser würden dies auch so sehen. Denn eine solche Erwähnung suggeriert, dass eine Motoryachtfahrt Eriks irgendwie in Frage steht. Dies ist aber selbstverständlich nicht der Fall, da Erik so etwa um 1000 herum lebte, als es bekanntlich noch keine Motoren gab.

Schojoha (Diskussion) 20:47, 3. Feb. 2014 (CET)

Ich halte das nicht für sinnlos, allerdings vermutlich eher eine Frage des Sprachgebrauchs des Wortes Beweises (in einem gegebenen Kontext). Selbst wenn Mathematiker unter sich sind und über einen Beweis diskutieren, dann beziehen fast nie auf die vollständige (implizite) Beweiskette sondern meist nur auf den Einzelbeweis. Außerdem ist bei der Sichtweise bzgl. Beweiskette zu beachten, dass sich auch bei den Axiomensystemen viel getan hat, d.h. macht man sich deine obige Sichtweise zu eigen, dann reicht ja auch Euklid nicht (weil sein Axiomensystem noch ungenau und unvollständig war, aus heutiger Sicht) sondern man bräuchte schon Hilbert bzw. allgemein wäre fast kein Beweis vor 1900 ein "echter" Beweis. Auch könnte man in WP eigentlich die von einen Beweis reden ohne explizit das zugrunde liegende Axiomensystem zu erwähnen (auch da gibt es Auswahlmöglichkeiten und deshalb wäre ohne exlizite Nennung der Beweis "sinnlos"). Man kann so einen Standpunkt zwar beziehen aber aus Sicht eines Lexikonlesers bzw. in Hinblick auf den "Normalgebrauch" des Wortes Beweis macht das mMn. wenig Sinn. Zudem macht ein (Einzel-)Beweis auch nichts anderes aus einer Reihe als richtig angenommener Aussagen eine weitere herzuleiten. Das besondere an einem Axiomsystems ist ja eigentlich nur, dass es die als richtig angenommenen Aussagen minimiert/optimiert. Soweit ich weiß verwendet auch entsprechende Literatur zur Mathematikgeschichte den Begriff des Beweises meist im Sinne eines Einzelbeweises und spricht dann eben auch unabhängig von Euklid von Beweisen. Wenn man aber unter Beweis nun primär den Einzelbeweis und nicht die Beweiskette bis zu den Axiomen versteht, dann macht die Formulierung ja Sinn, denn die Einzelbeweise hat es schon vor der (korrekten) Axiomatisierung gegeben und sie haben ja auch ihre Gültigkeit behalten, verändert hat sich ja nur der Unterbau der für den Einzelbeweis als korrekt angenommenen Aussagen. Anders ausgedrückt der Einzelbeweis im Sinne einer Wenn-Dann-Aussage ist ja auch aus moderner Sicht korrekt.--Kmhkmh (Diskussion) 22:44, 3. Feb. 2014 (CET)

Ich stimme Dir in vielem zu, denke aber dennoch, dass man den zeitlichen Aspekt nicht vernachlässigen darf. Zu erwarten, dass etwa die Astronomen des 3. Jahrtausends v. Chr. an so etwas wie einen mathematischen Beweis der pythagoreischen Sätze, die sie vermutlich alle kannten, gedacht hätten, halte ich für abwegig. Schojoha (Diskussion) 23:47, 3. Feb. 2014 (CET)

Ich stimme dir bezogen auf die Astronomen zu. Aber in Bezug auf den fraglichen Satz in der Einleitung gebe ich zweierlei zu Bedenken. Zum Einen ist dort nur von "vor Pythagoras" die Rede und zum Anderen wird etwas, das jemandem mit Kenntnissen in der Mathematikgeschichte zu recht als völlig abwegig erscheint, vom "Normalleser" ohne solche Kenntnisse nicht unbedingt als abwegig angesehen, insofern kann ein expliziter Hinweis schon sinnvoll sein.--Kmhkmh (Diskussion) 00:26, 4. Feb. 2014 (CET)

In Ordnung. Dein Hinweis auf den Normalleser ist berechtigt. Vielleicht ist es einfach so, dass man den gesamten Satz <<Die Aussage des Satzes ... einen Beweis hatte.>> präzisieren sollte, und zwar so, dass auch der Normalleser was versteht. Wie gesagt halte ich den zeitlichen, genauer: entwicklungsgeschichtlichen Aspekt für wichtig, was mE übrigens auch bedeutet, dass man auch Babylon und Indien getrennt behandeln müsste. Schojoha (Diskussion) 19:16, 5. Feb. 2014 (CET)

Französischer Artikel nicht mehr Exzellent

Die französische Fassung des Artikels wurde am 13. Juni 2013 von "Article de Qualité" ("Exzellent") zu "Bon Article" ("Lesenswert") herabgestuft. Ich weiss nicht, wie man den Stern ändert. Kann jemand es tun ? Danke Trassiorf (Diskussion) 14:44, 17. Jan. 2014 (CET)

Ich habe es jetzt angepasst. Die Interwiki Links sind ja jetzt nach Wikidata verschwunden bzw. müssen dort beartbeiten werden. Der Stern zur Markierung ausgezeichneter Artikel wird jedoch durch eine separate Vorlage kontrolliert (meist gegen Ende des Quelltextes), die man entsprechend abändern muss. Im konkreten Fall war {{Link FA|fr}} zu {{Link GA|fr}} zu ändern.--Kmhkmh (Diskussion) 15:37, 17. Jan. 2014 (CET)

Beweis:

$(2ab)^{2}+(a^{2}-b^{2})^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}$

??? was soll das beweisen??? Und Formelende und Signatur nicht vergessen -- Petflo2000 17:14, 28. Jun. 2014 (CEST)

Das ist eine Formel zum Auffinden pythagoräischer Tripel. Mit dem Satz von Pythagoras hat das nur insofern zu tun, als dass pythagoräsche Tripel rechtwinkligen Dreiecken mit ganzzahligen Seitenlängen entsprechen. --Digamma (Diskussion) 17:18, 29. Jun. 2014 (CEST)

Einleuchtender Beweis für den Satz im mehrdimensionalen Raum

Käme noch ein Z-Abstand dazu, dann drehte man das Dreieck ganz einfach so, daß es in der Z-Dimension parallel ist zu der X-Achse. Dann hat man wieder ein zweidimensionales Dreieck vorliegen. Die X-Länge muß nach der Drehung dann Wurzel(x*x+z*z) betragen. Also für das Dreieck nach der Drehung hätte man dann Wurzel(x*x+z*z + y*y). (nicht signierter Beitrag von 87.143.69.194 (Diskussion) 13:49, 19. Jul 2016 (CEST))

Keine Ahnung, was du damit sagen möchtest. --Digamma (Diskussion) 15:36, 19. Jul. 2016 (CEST)

In vier dimensionen werden aus den Koordinatenachsen, Koordinatenflächen. Von daher glaube ich ich weiß was er meint. Obwohl die verallgemeinerung vom S.d.P. einfach die Metrik ist.--Neoleviathan (Diskussion) 17:36, 19. Jul. 2016 (CEST)

Ich glaube, er redet von drei Dimensionen, und in Wirklichkeit nicht vom Satz von Pythagoras, sondern von der Formel zur Abstands- oder Längenberechnung in euklidischen Koordinatensystemen.

Der Satz von Pythagoras gilt einfach für Dreiecke. Dafür ist es völlig unerheblich, ob das Dreieck in der Koordinatenebene, im dreidimensionalen Raum oder in einem Raum noch höherer Dimension liegt. Drei Punkte und ihre Verbindungsstrecken liegen nämlich immer in einer Ebene. Man kann den umgebendenen Raum einfach ignorieren. --Digamma (Diskussion) 17:43, 19. Jul. 2016 (CEST)

Grafischer Beweis

neues Bild?

nicht unterschrieben von Frank Klemm 22:09, 28. Okt. 2016‎

ist ziemlich gleich dem ersten grafischen Beweis im Artikel - warum hast du das hier eingestellt? --Fritzbruno (Diskussion) 13:32, 30. Okt. 2016 (CET)

für viele ist der erste graphische Beweis unverständlich. Zwei unterschiedliche Bilder, die angeblich gleich sind. Deswegen Schritt für Schritt aufgedröselt ...

--Frank Klemm (Diskussion) 02:40, 17. Jul. 2017 (CEST)

für viele ist der erste graphische Beweis unverständlich - Woher weißt du das? --Fritzbruno (Diskussion) 15:20, 17. Jul. 2017 (CEST)

Beweis durch Addition abgeleiteter Volumina

... ist kein wirklicher mathematisch/geometrischer Beweis, sondern eine Veranschaulichung. Das sollte daher nicht unter Beweisen sondern irgendwo anders aufgeführt werden. --Fritzbruno (Diskussion) 21:02, 15. Aug. 2017 (CEST)

+1--Kmhkmh (Diskussion) 21:09, 15. Aug. 2017 (CEST)

"abgeleitete Volumina" ist zudem für meine Begriffe eine etwas unglückliche, missverständliche Ausdrucksweise, weil es ja nicht um von den einzelnen Seitenlängen abgeleitete Volumina (a³+b³=c³) geht, sondern um den Seiten-Quadraten entsprechende Größen (a²x+b²x=c²x). … «« Man77 »» (A) wie Autor 21:24, 15. Aug. 2017 (CEST)

@Fritzbruno, ich habe inzwischen den Artikel Beweis etwas genauer durchgelesen, deshalb möchte ich dir recht geben. Wo sieht du eine Möglichkeit den Beitrag unter einer geänderten Überschrift im Artikel einzuarbeiten? Gruß --Petrus3743 (Diskussion) 01:35, 16. Aug. 2017 (CEST)

... Addition der Volumina...?

Exponat im Universum-Museum in Mexiko-Stadt

Prinzipskizze vom Zentrum des Exponates als Animation

Das Universum-Museum in Mexiko-Stadt möchte seinen Besuchern den Satz von Pythagoras auf eine besondere Art und Weise veranschaulichen, die sich ebenso wie eine geometrische Zeichnung gut einprägen lässt. Das Exponat zeigt im Zentrum der runden durchsichtigen Scheibe ein dunkelfarbiges rechtwinkliges Dreieck. An den Seiten des Dreiecks sind in der runden durchsichtigen Scheibe Hohlräume ausgespart, deren quadratische Grundflächen gleich den Flächen der Kathetenquadrate und des Hypotenusenquadrates sind. Nennen wir die Hohlräume Kathetenraum $a^{2}\cdot t$, Kathetenraum $b^{2}\cdot t$ und Hypotenusenraum $c^{2}\cdot t$. Ihre ausgesparte Tiefe $t$ ist jeweils gleich, sie ist aber als Größe frei wählbar. Wird nun die runde durchsichtige Scheibe so gestellt, dass die beiden mit einer blauen Flüssigkeit randvoll gefüllten Kathetenräume $a^{2}\cdot t$ und $b^{2}\cdot t$, wie in der nebenstehenden animierten Prinzipskizze dargestellt, etwa senkrecht und oberhalb des rechtwinkligen Dreiecks sind, fließt die blaue Flüssigkeit auf Grund der Schwerkraft über die Ecken des Dreiecks $A$ und $B$ in den Hypotenusenraum $c^{2}\cdot t$. Ist der Durchfluss beendet, befinden sich nun die Volumina der Flüssigkeit aus den Kathetenräumen $a^{2}\cdot t$ und $b^{2}\cdot t$ in dem somit vollständig gefüllten Hypotenusenraum $c^{2}\cdot t$.

Daraus lässt sich folgern: Die Addition der Volumina aus den Kathetenräumen ergeben exakt das Volumen des Hypotenusenraums, oder als Formel geschrieben (VE = Volumeneinheiten)

$a^{2}\cdot t+b^{2}\cdot t=c^{2}\cdot t$ [VE]

werden beide Seiten der Gleichung durch $t$ geteilt, erhält man wieder

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

• Der Abschnitt wurde in den Artikel unter Exponat eingefügt. erledigtErledigt --Petrus3743 (Diskussion) 01:28, 17. Aug. 2017 (CEST)
• Eintrag an die geänderte Prinzipskizze angepasst.--Petrus3743 (Diskussion) 12:44, 17. Aug. 2017 (CEST)

Ich habe immer noch Zweifel, ob der Abschnitt so in den Artikel gehört. Ich denke, dass viele andere Science-Museen ähnliche Exponate haben, z. B. das Technorama in Winterthur, siehe http://www.technorama.ch/de/liste-der-experimente/einzelansicht/exponat/satz-des-pythagoras-ganz-fluessig/ . Dort gibt es auch ein Exponat, wo man der Satz von Pythagoras durch Wiegen mit einer Balkenwaage demonstriert wird. --Digamma (Diskussion) 10:57, 17. Aug. 2017 (CEST)

@Digamma, wie du jetzt im → Artikel sehen kannst, habe ich das Volumen in der Prinzipskizze durch die Ergänzung $t$ ausgedrückt. Danke für deinen Hinweis auf Technorama. Ich finde es einfach eine sehr gute Idee und denke dabei auch an Schüler, den Satz von Pythagoras in dieser Art und Weise verständlich zu machen. Es würde sich jetzt anbieten nochmals eine andere Überschrift zu wählen und Swiss Science Center Technorama in die Einzelnachweise aufzunehmen. Wie ist deine Meinung dazu? --Petrus3743 (Diskussion) 12:44, 17. Aug. 2017 (CEST)

Ich hab auch ein bisschen ein Problem damit, wie viel Raum dieses Exponat hier in diesem Artikel bekommt. Der Satz des Pythagoras ist wohl für dieses und ähnliche Exponate von zentraler Bedeutung, umgekehrt die Exponate für den Lehrsatz bzw. für den Artikel ziemlich marginal. Wir haben es hier mit einem exzellenten Artikel zu tun, da sollte dann auch gut gewichtet werden. Das hieße für mich: Ein halber Satz für das Exponat, vielleicht ein Absatz für solche Veranschaulichungen im Allgemeinen. … «« Man77 »» (A) wie Autor 15:14, 17. Aug. 2017 (CEST)

Überschrift geändert und Beschreibung angepasst.--Petrus3743 (Diskussion) 15:19, 17. Aug. 2017 (CEST)

Solche Exponante bzw. diese spezielle Konstruktion sind weit verbreitet, nicht nur in einzelnen Museen. Dementsprechend war die Überschrift "Exponant" irreführend. Allerdings ist seine Bekanntheit/Verbreitung schon ein Grund es im Artikel zu erwähnen oder zumindest zu verlinken. Allerdings benötigt das Ganze dann schon ein Bild der tatsächlichen Konstruktion und nicht nur die aktuelle Animation, die zweidimensional die Funktion illustriert. Ich finde ehrlich gesagt das Foto von der Konstruktion bzw. dem Exponat wichtiger als die aktuelle Animation, auf die man zur Not/im Zweifelsfall verzichten könnte.--Kmhkmh (Diskussion) 15:21, 17. Aug. 2017 (CEST)

@Kmhkmh, du siehst ich habe ein Problem mit den unterschiedlichen Meinungen. In der Animation sind zur Verdeutlichung der Dreidimensionalität die Behälter z. B. mit Kathetenraum $a^{2}\cdot t$ benannt. M. E. hilft die Prinzipskizze und die Beschreibung für ein rascheres Verständnis des Satzes ... Petrus3743 (Diskussion) 15:44, 17. Aug. 2017 (CEST)

An die Diskussionsteilnehmer, im Abschnitt Veranschaulichung vom 18. August 2017 um 00:25 habe ich versucht einige Bedenken und Vorschläge von euch zu berücksichtigen. Ich hoffe es ist mir einigermaßen gelungen... Da das Foto von Technorama im Einzelnachweis anklickbar ist und das Exponat darin eigentlich auch nur zweidimensional wirkt, habe ich es nicht eingefügt. Das Foto vom Exponat im Universum-Museum in Mexiko-Stadt ist wegen evtl. Missverständnisse nicht berücksichtigt. Wer meint, es sollte unbedingt aufgenommen werden, der kann es selbstverständlich einarbeiten. Petrus3743 (Diskussion) 01:09, 18. Aug. 2017 (CEST)

Scherungsbeweis

• Überschrift korrigiert nach Hinweis durch Kmhkmh, war irrtümlicherweise Beweis mit Ähnlichkeiten. --Petrus3743 (Diskussion) 00:13, 18. Aug. 2017 (CEST)

Mein Vorschlag wäre die Animation langsamer laufen zu lassen, z. B. ohne Schrift Pause min. 2 s, mit Schrift Pause min. 4 s, dann könnte man sie noch besser nachvollziehen. --Petrus3743 (Diskussion) 11:30, 16. Aug. 2017 (CEST)

Der Beweis mit Ähnlichkeiten hat derzeit keine Animation und ich halte eine Animation auch hier nicht für sinnvoll/hilfreich. Die beiden derzeitigen Animationen sind zu Scherungs- und Zerlegungsbeweisen.--Kmhkmh (Diskussion) 15:12, 17. Aug. 2017 (CEST)

@Kmhkmh, Pardon, ich meinte natürlich den Scherungsbeweis! --Petrus3743 (Diskussion) 15:23, 17. Aug. 2017 (CEST)

Umkehrung

Es fehlen noch Hinweise auf den Beweis der Umkehrung. Z.B. mittels satz des Thales. --Skraemer (Diskussion) 17:34, 16. Dez. 2018 (CET)

Ich habe jetzt mal einen Beweis ergänzt.--Kmhkmh (Diskussion) 03:35, 15. Mär. 2019 (CET)

Figurenzahlsätze

@Ralf.steiner: Autor mal angepingt--Kmhkmh (Diskussion) 22:34, 22. Sep. 2019 (CEST)

Ich verstehe nur Bahnhof. Was ist ein k-pythagoräisches Dreieck? --Digamma (Diskussion) 20:52, 22. Sep. 2019 (CEST)

Geht mir ähnlich, zudem fehlen Literaturangaben und einer Erklärung und/pver Verlinkung der verwendeten Begriffe.--Kmhkmh (Diskussion) 21:43, 22. Sep. 2019 (CEST)

Dann plädiere ich dafür, das zu löschen. --Digamma (Diskussion) 22:02, 23. Sep. 2019 (CEST)

Würde ich auch befürworten, zwar hat der Autor jetzt noch einige kleine Verbesserungen aber die grundlegenden hier angesprochenen Probleme bestehen weiterhin. Zudem ist das Ganze soweit ich es bisher verstehe ohnehin etwas off topic und scheint eher eine in den Bereich der Zahlentheorie fallende Anwendung des Satzes von Pythagoras (und deren Verallgemeinerung) zu sein und mit pythagoräischen Tripeln verwandt anstatt eine echter Verallgemeinerung des pythagoräischen Lehrsatzes zu sein.--Kmhkmh (Diskussion) 15:34, 24. Sep. 2019 (CEST)

Geschichte

Mir fehlt eine Angabe, wann (und wie) der Satz des Pythagoras in Mitteleuropa bekannt wurde. In einem seriösen TV-Film über gotische Kathedralen hieß es, dass den damaligen Baumeistern Pythagoras nicht bekannt gewesen sei, sie aber sehr wohl mit der Zwölfknotenschnur gearbeitet hätten, um rechte Winkel darzustellen und (mit einer entsprechenden Schablone und einem Lot) die waagrechte Lage eines Steins oder eines Bauteils zu überprüfen. Meine Vermutung ist, dass der Satz des Pythagoras, wie fast alles damals, über die Araber in al-Andalus und die Übersetzerschule von Toledo zu den sehr gläubigen, aber noch nicht sehr gebildeten Mitteleuropäern kam.
Wenn das stimmt und nach der archivierten Diskussion, muss der Artikel Zwölfknotenschnur gründlich überarbeitet und ergänzt werden. Grüße --AHert (Diskussion) 14:23, 7. Jun. 2020 (CEST)

Naja man muss wohl auch verschiedene Arten der Bekanntheit unterscheiden. Bekanntheit unter Dombaumeistern ist nicht unbedingt dasselbe wie Bekanntheit unter (Kirchen-)Gelehrten. Allerdings ist es natürlich richtig, das ein Grßteil der antiken Mathematik im mittelalterlichen Europa verlorengegangen war und erst im Lauf der Zeit durch arabische Vermittlung und die Renaissance wiederentdeckt wurde.

Ein Hinweis bzw. eine gute Einschätzung findet man wohl in der Überlieferungs und Rezeptionsgeschichte von Euklid's Elementen, dem wohl wichtigsten (und umfangreichsten) Mathematiktext der Antike. Dazu findet man z.B. auf en.wp:

Although known to, for instance, Cicero, no record exists of the text having been translated into Latin prior to Boethius in the fifth or sixth century.[3] The Arabs received the Elements from the Byzantines around 760; this version was translated into Arabic under Harun al Rashid c. 800.[3] The Byzantine scholar Arethas commissioned the copying of one of the extant Greek manuscripts of Euclid in the late ninth century.[8] Although known in Byzantium, the Elements was lost to Western Europe until about 1120, when the English monk Adelard of Bath translated it into Latin from an Arabic translation

Damit ergibt sich, dass zumindest einzelnen Gelehrten in West und Mitteleuropa Euklid's Elemewnte und damit auch der Satz des Pythagoras set dem 12. Jahrhundert bekannt waren.--Kmhkmh (Diskussion) 15:27, 7. Jun. 2020 (CEST)

Wo verwenden denn Bauleute den Satz des Pythagoras um rechte Winkel darzustellen? --Digamma (Diskussion) 16:09, 7. Jun. 2020 (CEST)

Das oben genannte Beispiel der 12-Knotenschnur ist ja eigentlich eine Anwendung des Pythagoras auch wenn da keiner edplizit mit Pythagoras rechnet. Wenn man allerdings in diverse heutige Ausbildungsbücher für Handwerkerberufe (z.B. Schreiner, Zimmermann) so wird dort der Satz explizit genannt bzw. unterrichtet (im Rahmen der Berufsausbildung nicht des allgemeinen Schulunterrichts).--Kmhkmh (Diskussion) 16:51, 7. Jun. 2020 (CEST)

@AHert: Mir ist nicht wirklich klar, was genau du bei Zwölfknotenschnur verbessert oder ergänzt haben möchtest. Ansonsten sollte die diesbzgl. Diskussion besser auf der Diskussionsseite des betroffenen Artikels anstatt hier geführt werden.--Kmhkmh (Diskussion) 16:56, 7. Jun. 2020 (CEST)

Das Zitat aus der en.wp ist eigentlich genau das, was ich hier suchte. Könnt ihr nicht ein oder zwei Sätze dazu hier in den Artikel einfügen? Ich bin dazu mangels mathe- und althistorischen Kenntnissen nicht so ganz in der Lage. Der Film besagte, dass die Dombaumeister von Pythagoras noch nichts gehört hatten, aber die Schnur benutzten. Setzt die Schnur die Kenntnis vom Satz des Pythagoras voraus? Oder konnte man ohne den Satz zu kennen auf andere (praktische?) Weise zur Anwendung der Schur kommen? Z. B. wenn man lange genug mit dem Rechenseil herumspielt? Gab es da eine getrennte Überlieferung des Wissens von der praktischen Anwendbarkeit der Schnur unabhängig von der gelehrten Mathematik? Wie haben das die alten Römer gemacht? Eine Menge Fragen, auf die es wahrscheinlich keine gesicherten Antworten gibt? Der Artikel über die Schnur liest sich in der en.wp ja ganz anders als in der de.wp., wo die Verwendung im alten Ägypten als Tatsache erzählt wird (in welchem alten Ägypten eigentlich?) Abgesehen davon, dass ich den Artikel nicht verstehe, enthält er ja keinerlei Bezug zu einer postägyptischen Zeit. Da lasse ich lieber die Finger davon. Dank und Grüße --AHert (Diskussion) 21:06, 7. Jun. 2020 (CEST)

Unter dem "alten Ägypten" versteht man normalerweise Ägypten im Altertum und zwar meist vor der römischen Eroberung, d. h. zur [Pharao]]nen-Zeit. Obwohl die Zwölfknotenschnur in der Theorie einen Anwendung des Satzes von Pythagoras ist, kann sie natürlich trotzdem natürlich trotzdem ohne Kenntnis des Pythagoras verwendet oder auch unabhängig von ihm entdeckt werden. Ich bin leider auch kein Historiker und habe im Moment keine Belege/Literatur zu Hand, um da Genaueres sagen zu können oder den Artikel zu ergänzen.

Was nun den Pythagoras im Mittelalter betrifft, so kann man leider auch das nicht so einfach einbauen. Aus der Kenntnis der Elemente des Euklid kann man zwar auf die Kenntnis des Pythagoras schließen und damit, dass er (einigen) Gelehrten ab 13. Jahrhundert in Europa bekannt war, aber das schließt nicht aus dass er unabhängig von Euklid auch schon im früheren Mittelalter bekannt war und zwar unabhängig von Euklid. Um das Auszuschließen bzw. explizit in WP zu sagen, dass er erst seitdem 12.13. Jahrhundert in Europa bekannt war, bedarf es eine Literaturstelle, die sich direkt mit Pythagoras und seiner Verbreitung im Mittelalter beschäftigt. Leider habe ich die ebenfalls nicht zur Hand, so dass eine Aussage der Art "seit dem 13. Jahrhundert wieder bekannt" zwar aller Wahrscheinlichkeit nach richtig ist, aber ohne entsprechenden Beleg in in einen WP-Artikel aufgenommen werden kann.--Kmhkmh (Diskussion) 08:44, 17. Jun. 2020 (CEST)

Hypotenusensatz?

„Hypotenusensatz“ habe ich noch nie gehört, und ich beschäftige mich schon mein Leben lang mit Mathematik. Wo ist die Verwendung des Begriffs belegt? 94.221.125.140 10:08, 8. Okt. 2021 (CEST)

Servus Interessierter der Mathematik,

vielleicht hilft dir das Folgende weiter ... Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 11:22, 8. Okt. 2021 (CEST)

Naja, reduziert man das mal auch die Buchpublikationen ist die Datenlage doch relativ dünn. Die Bezeichnung wird zweifellos verwandt und in sofern ist die Abgabe/Verwendung nicht falsch. Aber ich würde schon die Verwendung ist im Vergleich zu "Pythagoras" doch sehr marginal, d.h. relativ selten. Insofern verwundert mich der IP-Kommentar nicht. Vielleicht wäre es sinnvoll für diese Alternativbezeichnung einen expliziten Buch- oder Journalbeleg anzugeben, um klarzustellen, dass dies nicht nur eine gelegentliche umgangssprachliche Verwendung von Mathelehrern oder Unidozenten im Unterricht/Vorlesungen ist.--Kmhkmh (Diskussion) 11:58, 8. Okt. 2021 (CEST)

Ja, du hast recht. Bis jetzt habe ich nur als Buchpublikation die Berliner philologische Wochenschrift aus dem Jahr 1907 (rechte Spalte) gefunden. Vielleicht weißt du eine, die noch besser passt?--Petrus3743 (Diskussion) 14:05, 8. Okt. 2021 (CEST)

erledigtErledigt--Petrus3743 (Diskussion) 08:39, 9. Okt. 2021 (CEST)

Basiswnkel

Bitte reparieren! --77.8.96.227 20:50, 29. Okt. 2021 (CEST)

Ist erledigt. Danke für den Hinweis. --Digamma (Diskussion) 22:49, 29. Okt. 2021 (CEST)

Didaktische Motivation

Zugegebenermaßen habe ich die "Elemente" nicht gelesen. Aber es wird sich dabei doch wohl um ein systematisches Werk handeln und nicht um eine wirre Sammlung von "interessanten Tatsachen, gut zu wissen". Daher die - im Artikel zu beantwortende - Frage, wie denn die Behandlung des SdP motiviert war - wie paßt er in den Aufbau der Elemente hinein? (Und gehe ich ferner richtig in der Annahme, daß die Zuschreibung des Satzes zu P ausschließlich durch Euklid überliefert ist?) Ferner stellt sich die Frage nach der entsprechenden didaktischen Motivation im modernen Schulunterricht. Der Lehrer tritt bestimmt nicht vor die Klasse und erklärt: "Heute zeige ich euch mal den berühmten SdP", sondern das hat wohl auch einen Zusammenhang, auch, wenn sich daran keiner mehr erinnern kann - sonst ist nämlich mit der berühmten Frage des Trottels aus der letzten Bank "Und wozu braucht man das?" zu rechnen. (Ich denke mal, daß ich wohl kaum der einzige bin, der sich an diesen Zusammenhang nicht mehr erinnern kann - auch anderen ehemals guten Schülern dürfte wohl nur die Bedeutung der Flächensummen ähnlicher Figuren einfallen und vielleicht noch, daß das aber i. a. nur in Euklidischen Räumen gilt, und den ganz guten vielleicht auch noch, daß es nicht selbstverständlich und auch i. a. falsch ist, daß der physikalische Raum ein Euklidischer Raum ist.) Wie ich darauf komme? Weil der "klassische" Beweis bei Euklid "saublöd" und extrem umständlich ist und es viel einfacher ist, die leicht zu zeigenden Binomischen Formeln zu bemühen und dazu eine kleine Zeichnung nach Art des "Stuhls der Braut" zu machen. Wenn Euklid trotzdem den umständlichen Weg wählt, dann muß er sich dabei auch wohl etwas gedacht haben - was? --77.0.161.164 16:55, 28. Okt. 2021 (CEST)

Lt. des Artikels soll der SdP in den Elementen gar nicht P. zugeschrieben bzw. nach ihm benannt sein. Damit stellt sich aber die im Artikel nicht beantwortete Frage nach der Namenstradition: Warum glauben "wir", daß der Satz SdP heißt? --77.8.96.227 20:50, 29. Okt. 2021 (CEST)

Die Elemente sind nicht die einzige antike Quelle und Entsprechendes steht ja auch bereits im Artikel.--Kmhkmh (Diskussion) 15:46, 2. Nov. 2021 (CET)

Euklid

Der erste Beweis von Euklid am Ende von Buch 1 (es gibt zwei Beweise in den Elementen) sollte dargestellt werden (manchmal Windmühlen-Beweis genannt) wegen der historischen Bedeutung der Elemente. Er ist eine Mischung aus Beweis durch Ähnlichkeit, Konstruktion und Zerlegung.--Claude J (Diskussion) 08:13, 2. Nov. 2021 (CET)

Ich habe mal was ergänzt. Zudem war oder ist der Beweis auch immer populär in (Schul)lehrbüchern zur Geometrie.--Kmhkmh (Diskussion) 15:44, 2. Nov. 2021 (CET)

@Claude J: Hast du eine brauchbaren Beleg für die Bezeichnung Windmühlenbeweis? Ich kann auf die Schnell über Google nichts finden. Im Englischen die die Bezeichnungen windmill, bride's chair oder peacock für die geometrische Figur bzw. den zugehörigen Beweis relativ verbreitet. Im Deutschen jedoch ist mir bisher nur (sehr selten) die Bezeichnung "Stuhl der Braut" untergekommen. Wenn sich für die windmühle keine entsprechender Beleg auftreiben lässt sollten wir es in Anführungszeichen setzen bzw. darauf hinweisen, dass es sich um wörtliche Übersetzungen der im Englischen verbreiteten Bezeichnungen handelt. (siehe dazu auch [4], [5], [6])--Kmhkmh (Diskussion) 18:35, 2. Nov. 2021 (CET)

Die Aufzählung der Alias-Namen im Vorwort (S. XI) von Maor The pythagorean theorem führt für die charakteristische Figur die Bezeichnung "Windmühle" (windmill) auf, auch bride's chair ist erwähnt. "windmill proof" findet sich aber auch an vielen Stellen in John Sparks The Pythagorean Theorem. Crown jewel of mathematics, AuthorHouse, Bloomington, Indiana 2008, (z.B. S. 36 Euclid's wonderful windmill proof). Die "Brautstuhl"-Konfiguration ist dort übrigens in der Analyse von Thabit ibn Khurras Beweis die Nebeneinanderstellung der beiden Kathetenquadrate (der kleinere ist dann anscheinend der Sitz der Braut, der größere des Ehemanns). PS: nach der von Maor (S. 48) zitierten Mathematikgeschichte von David Eugene Smith kommt die Bezeichnung Brautstuhl möglicherweise von der von einem Sklaven im Nahen Osten auf dem Rücken getragenen Braut und bezieht sich auf die Gesamtfigur des Lehrsatzes und es gab im Griechischen auch die Bezeichnung Theorem der verheirateten Frau.--Claude J (Diskussion) 20:27, 2. Nov. 2021 (CET)

Das belegt aber nun nur englischsprachigen Begriffe, die sich ja gut belegen lassen (siehe Links oben), wobei sich Sparks allerdings nicht wirklich als Beleg eignet, da es meines Wissens nach eine BoD-Publikation ist.--Kmhkmh (Diskussion) 20:34, 2. Nov. 2021 (CET)

Kenne ich auch nur aus den englischen mehr oder weniger populärwiss. Quellen (wohl so eine Art Schul-Folklore) und hab das nach unten versetzt.--Claude J (Diskussion) 09:06, 3. Nov. 2021 (CET)

Kann sein, dass ich mich gewaltig irre (da mein Englsch aus der Schule schon zu weit zurück liegt), aber ist die im Artikel eingearbeitete Beweisführung, die gleiche, die Euklid im Buch I. Proposition 47 gemacht hat? Mit Gruß--Petrus3743 (Diskussion) 10:05, 5. Nov. 2021 (CET)

Jein, das ist eine sinngemäße und keine wörtliche Wiedergabe des Beweises, also so wie man ihn heute führt basierend auf Euklids Idee/Ansatz. Eine wörtliche Wiedergabe von Euklids Beweisen ist meist keine gute Idee, da die Einzelschritte oft sperrig und umständlich formuliert sind, was das Verständnis aus heutiger Sicht unnötig erschwert.--Kmhkmh (Diskussion) 10:57, 5. Nov. 2021 (CET)

Danke, alles klar!--Petrus3743 (Diskussion) 12:20, 5. Nov. 2021 (CET)

Platos Zahl 216 erwähnenswert?

226 ist die Summe der Kuben des Pythagoratripels 3-4-5

3³ + 4³ + 5³ = 6³

-dieser Algebra fehlt zwar die geometrische Schönheit des Pythagoradreiecks und die kubische Zerlegung gelingt hier nur mit acht klotzigen Tetraedern.

vmtl. kam der zehnjährige Plato beim Spielen mit Pythagoratrippel darauf oder ein Schüler hats ihm gesteckt.

eventuell unter siehe auch erwähnenswert - da auch ein bekannter Altgrieche - dann bitte einfügen--87.180.14.128 16:15, 8. Nov. 2021 (CET)

Anzahl Beweise

Im Abschnitt "Beweise" heißt es, dass mehrere hunderte Beweise bekannt seien. Die Loomis-Sammlung allein umfasst schon über 350, das wird ja auch im nächsten Satz erwähnt. Allerdings halte ich den großen Mangel dieser Sammlung, der momentan nur in einer Fußnote erwähnt wird, für so bedeutsam, dass er im Text selbst erwähnt werden sollte. In der Fußnote heißt es (etwas unglücklich, da noch nicht einmal das Buch richtig zitiert ist (ISBN fehlt)): "Mario Gerwig Der Satz des Pythagoras in 365 Beweisen, Springer Spektrum 2021, überarbeitete und ergänzte die Loomis-Sammlung und spricht von über 360 Beweisen bei Loomis (und einer ganzen Reihe von Fehlern, darunter auch der Aufnahme offensichtlich falscher Beweise)." Vorschlag: Zwei Sätze und eine Fußnote einfügen, und zwar: "Mario Gerwig überarbeitete, übersetzte, korrigierte und ergänzte im Jahr 2021 die Loomis-Sammlung, die in der Originalfassung zahlreiche Ungenauigkeiten und Fehler enthält. Seine Fassung enthält rund 365 Beweise - darunter ein Beweis, dass es unendlich viele Beweise für den Satz des Pythagoras gibt (algebraischer Beweis Nr. 15, S. 38) -, eine Einordnung in die Mathematik der Pythagoreer sowie eine didaktische Analyse des Satzes." Fußnote: Mario Gerwig: Der Satz des Pythagoras in 365 Beweisen. Mathematische, kulturgeschichtliche und didaktische Überlegungen zum vielleicht berühmtesten Theorem der Mathematik. 2021. Springer Spektrum. ISBN: 978-3-662-62886-7

Der erwähnte Beweis Nr. 15 wäre es im übrigen wert, im Artikel ausführlich behandelt zu werden, da aus ihm eben hervorgeht, dass es unendlich viele Beweise gibt. (nicht signierter Beitrag von 2001:1711:FA55:7AD0:B9DB:CDAB:DBC:896C (Diskussion) 21:01, 7. Apr. 2022 (CEST))

Das Buch ist in der Literatur aufgeführt und die Fußnote bezieht sich explizit auf die Anzahl verschiedener Beweise, da brauchen keine weiteren Angaben zum Buchinhalt gemacht werden. Die von Gerwig unterschiedene Anzahl kann aber in den Fließtext. Nr. 15 kann im Unterabschnitt Beweise durch Ähnlichkeit erwähnt werden.--Claude J (Diskussion) 09:26, 8. Apr. 2022 (CEST)

Beweis durch Zerlegung

Der Satz des Pythagoras, üblicherweise als $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ formuliert, kann auch gültig in der Form $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ geschrieben werden, d. h. $c^{2}$ kann eindeutig in die beiden Kathetenquadrate $a^{2}$ und $b^{2}$ zerlegt werden. Den Ansatz für den wohl einfachsten geometrischen Beweis des Satzes in dieser zweiten Form liefert das rechtwinklige Dreieck selbst: Die Verlängerung seiner Höhe auf $c$, $HH'$, teilt das angehängte Quadrat über $c$ genau in zwei Teile, $cq$ und $cp$. So muss nur gezeigt werden, dass die Fläche $cp$ geometrisch eindeutig in die Fläche $b^{2}$ überführt werden kann, analog $cq$ in $a^{2}$. Dies geschieht in beiden Teilbeweisen durch die Einfügung von nur zwei Linien (einmal zusätzlich durch die Verlängerung einer Kathete).

Die Konstruktion für den ersten Teilbeweis cp = b²,
die Konstruktion für den zweiten Teilbeweis cq = a² wird eingefügt.

Die zwei Linien für $cp=b^{2}$:

a) Mit dem Anfangspunkt $B'$ wird ein Strahl parallel zu $AC$ bis zum Schnittpunkt mit der Seite $CB$ (die u. U. verlängert werden muss) gezogen, die Punkte $D$ und $D'$ entstehen.

b) Ein Strahl mit dem Anfangspunkt $A$ parallel zur Seite $a$ bis zum Schnittpunkt mit der eben gezeichneten Linie. Der Punkt $C'$ entsteht.

Durch diese Einfügungen sind drei neue geometrische Formen entstanden: Das Dreieck $AB'C'$, das (zunächst nur:) Rechteck $ACD'C'$ und das Parallelogramm $ACDB'$.

Darauf aufbauend lautet der Beweis:

Auf Grund des Kongruenzsatzes $SWW$ - der Winkel in $A$ ist (Euklid, 3. Axiom) bei beiden gleich - sind die beiden Dreiecke $ABC$ und $AB'C'$ kongruent, somit ist die Länge der Seite $AC'$ gleich $b$, und weiter das Rechteck $ACD'C'$ ein Quadrat mit der Fläche $b^{2}$.

Das Parallelogramm $ACDB'$ wird unter zweierlei Rücksichten ausgewertet:

Die Seite $AB'$ sei die Grundseite, dann ist die Fläche des Parallelogramms gleich $cp$. Die Seite $AC$ sei die Grundseite, dann ist die Fläche des Quadrates $ACD'C'$ gleich der des Parallalelogramms: Folglich gilt nach Euklid $cp=b^{2}$.

Analog werden im zweiten Teilbeweis zwei Strahlen mit den Anfangspunkten $B$ und $A'$ gezeichnet, und $BA'$ bzw. $BC$ als Grundseiten des verbindenden Parallelogramms verwendet. Und es gilt $cq=a^{2}$.

Zusammengefasst: $c^{2}=cq+cp=a^{2}+b^{2}$. --Mamonoch (Diskussion) 17:09, 21. Sep. 2022 (CEST) --Mamonoch (Diskussion) 08:43, 26. Sep. 2022 (CEST)

Es spricht aus meiner Sicht nichts gegen die Ergänzung eines Zerlegungsbeweises, aber ich habe den entsprechenden Edit zunächst aus 3 formalen Gründen revertiert:

• Unterschrift zu Beginn des Artikels
• Ein ensprechender Beweis sollte vor dem Beweis der Umkehrung und nicht danach eingefügt werden.
• Es fehlen Belege/verweise auf Literatur für diesen Zerlegungsbeweis (gerade bei exzellenten Artikeln eigentlich ein Muss)

Unabhängig von diesen drei Punkten habe ich meine Zweifel ob dies für Leser die die beste Darstellung/Grafik für einen Zerlegugsbeweis ist. Auf Commons gibt es bereits eine Reihe von Grafiken zu Zerlegungsbeweisen die mMn. potenziell besser geeignet sind. In der Gallerie sind ein paar Beispiele gelistet:

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--Kmhkmh (Diskussion) 11:50, 6. Okt. 2022 (CEST)

Hallo, Kmhkmh, herzlichen Dank für deinen Kommentar, die Begründung für deine Zurückweisung. Ich möchte zunächst dazu was sagen:

Unterschrift zu Beginn des Artikels: Ich habe unmittelbar vor der Absendung, also am Ende des Übertragungsversuches die vorgeschlagene Zeichenfolge für Unterschrift angeklickt, konnte aber (im Gegensatz zu früheren Unterzeichnungen) nicht feststellen, wohin diese Zeichenfolge kopiert wurde; nochmals anklicken schien mir sehr fragwürdig. Wie mache ich das richtig?

Ein entsprechender Beweis sollte vor dem Beweis der Umkehrung und nicht danach eingefügt werden: Dies hat mich auch schon gestört, wollte mich aber nicht vordrängen.

Es fehlen Belege/Verweise auf Literatur für diesen Zerlegungsbeweis (gerade bei exzellenten Artikeln eigentlich ein Muss): Ganz einfach, weil ich höchstens mich selbst zitieren könnte. Ich  habe bei der ersten Einreichung in Wikipedia versichern müssen und es auch getan, dass meine Ausführungen keine Autorenrechte von anderen verletzen. Ich habe den Vorgang der Veröffentlichung bei Wikipedia genau so verstanden wie den bei einem Verlag: Überprüfung aufgrund der Voraussetzung, dass keine Autorenrechte verletzt werden. Der Beweis ist „mein“ Beweis.

Dann zu deinem Zweifel, „ob dies für Leser die beste Darstellung/Grafik für einen Zerlegungsbeweis ist“. Das ist nun eine grundsätzliche Diskussion: Ist es die Intention und selbsgestellte Aufgabe von Wikipedia, einen Zugang zu verlässlichen – auch:  wissenschaftlichen – Angaben und Ausführungen zu bieten, wo immer und soweit es möglich ist? Für Beweise im Bereich der Mathematik ist nun einmal gefordert, dass die Voraussetzungen und Ausführung mathematisch klar vorgelegt sind. Dabei können natürlich die Voraussetzungen  in Bereichen zusammengezogen sein: Die Euklidische Geometrie hat andere Voraussetzungen als die Nicht-Euklidische, sie ist etwas anderes als die Trigonometrie oder Algebra; schließlich auch etwas anderes als belebte geometrische Figuren, bei denen alles passt. - Meine Auffassung (wahrscheinlich weißt du das schon: ich hab in Mathe promoviert) ist also: Ein Beweis besteht  aus Voraussetzung und Ausführung: So habe ich es in den ersten Sätzen meiner Eingabe ausgeführt.

Und nun: BITTE verstehe es nicht und in keiner Weise als Retourkutsche: Dein so schöner, überzeugender Scherungsbeweis hat noch einen kleinen Fehler (meine ich), der den zweiten Absatz des Textes rechtfertigt; Nicht ganz exakt. Gibt es bei Euklid eine echte Bewegung als Beweis, bei der man nur feststellen kann: „Passt“? (Beim Kreis zählt nicht die Bewegung des Zirkels, sondern nur der gezeichnete Kreis, Kreisbogen)  Wenn du nach der Scherung nach oben hin einen kurzen Aufenthalt beim Rechteck machen, und dieses mittels zweier  parallelen Diagonalen auf cp durch Scherung verschieben würdest, könntest du den zweiten Absatz des sich selbst in Frage stellenden Textes streichen. - Und wenn du schon dabei wärest: Alle Parallelogramme über einer Grundseite sind gleichflächig; im ersten Absatz kommt dies nicht raus.

Viele Grüße und nochmals herzlichen Dank, Mamonoch --Mamonoch (Diskussion) 11:26, 7. Okt. 2022 (CEST)

Zum Scherungsbeweis: Weder der Abschnitt noch die Grafik stammen von mir. Ich hatte die alte Grafik gegen eine andere bereits auf Commons existierende ausgetauscht, die den Scherungsvoergang mMn. besser darstellt und ohne (zusätzliche) Rotationen. Was nun den aktuellen Text betrifft, da kann man sicher Verbesserungen vornehmen, wobei ich persönlich aber ganz gut finde dass der Text gerade nicht jedes formale Detail auswälzt, da dass aus meiner Sicht die Sache zu sehr aufbläht und wir haben ja in den anderen Abschnitten schon sehr detallierte Beweise.

Zu Belegen/Literatur: Da liegt vielleicht ein grundsätzliches Missverständnis der Arbeitsweise bzw. Funktionsweise von Wikipedia vor, denn Wikipedia unterscheidet sich da grundsätzlich von der Publikation bei Verlagen (Bücher, Journale). Wikipedia-Autoren sollen keine eigenen (originären) Erkenntnisse/forschungsresultate in Wikipedia einbringen, sondern nur das (möglichst verständlich) zusammenfassen, was bereits in externen Publikationen veröffentlicht wurde. Das mag auf den ersten Blick etwas irritieren, aber es gibt gute Gründe für diese Vorgabe und sie hat sich zur zentralen Säule der Wikipedia-Arbeit entwickelt (siehe dazu auch Wikipedia:Belege). Konkret bedeutet das für unseren Pythogasartikel, das wir nur Beweise aufnehmen können, die schon wo anders publiziert worden sind und dann auch mit einer entsprechenden Literaturangabe belegt werden können. Es gibt allerdings andere Wikimediaprojekte (z. B. Wikibooks) wo eine solche Vorgabe nicht existiert, da könntest du den Beweis gegebenfalls auch ohne Belege einbringen (u. a. das Beweisarchiv auf Wikibooks oder diverse andere Mathebücher/Projekte auf Wikibooks).--Kmhkmh (Diskussion) 12:23, 7. Okt. 2022 (CEST)

P.S. Vielleicht noch was zu Zerlegungsbeweisen, die streng mathematisch gesehen oft nicht ganz unproblematisch sind. Wichtiger als formale Exaktheit ist hier aus meiner Sicht (füt Laien, Schüler) die anschauliche Erkenntnis wie man die Kathetenquadrate zerschneiden und zum Hypotenusenquadrat zusammensetzen kann. Eine formale korrekte Darstellung ist jedoch für Laien vermutlich weitgehend ungenießbar, denn wenn man nachrechnet, warum und wie die Teile exakt so zusammenpassen wie es die Grafik illustriert, dann verwendet man schnell implizit oder explizit den Satz des Pythagoras und begeht so einen potenziellen Zirkelschluss. Man müsste dann alsi sehr genau festlegen, was man voraussetzen darf und was nicht, welche Rechenschritte/Schlüsse damit frei von Zirkelschlüssen sind und welche nicht. Eine derartige Darstellung wäre vermutlich viel zu umfangreich für einen Beweisabschnitt und für die meistene Leser (bis auf die Mathematik Affinen) eher uninteressant wen nicht gar ungenießbar.--Kmhkmh (Diskussion) 13:08, 7. Okt. 2022 (CEST)

Hallo, Kmhkmh, dann ist ja alles klar! (fast alles!) Dir wünsche ich in deinen Arbeitsbereichen viel Erfolg, und für dein Leben alles Gute. Mamonoch, --Mamonoch (Diskussion) 15:36, 7. Okt. 2022 (CEST)

Neuer Beweis von Calcea Johnson und Ne’Kiya Jackson

Es gibt einen neuen Beweis von Calcea Johnson und Ne’Kiya Jackson. Das besondere an diesem Beweis ist, dass er auf trigonometrischen Berechnungen beruht, ohne aber auf den trigonometrischen Pythagoras zurückzugreifen. Der Beweis wird in diesem YouTube-Video gut erklärt. Vielleicht hat je jemand Lust, den Beweis im Artikel einzubauen? 80.71.142.166 22:11, 9. Apr. 2023 (CEST)

Nein, sollte vorerst nicht eingebaut werden. Eine entsprechende Diskussion dazu gibt es bereits auf en.wp (siehe en:Talk:Pythagorean_theorem#Proof_using_trigonometry). Erst wenn der Beweis ordentlich veröffentlicht wurde (Buch oder Zeitschrift) und sich als populär erweist, kann man überlegen ihn in den Artikel aufzunehmen, bis dahin jedoch erfüllt er nicht wirklich die Beleg- und Relevanzktiterien von Wikipedia. Allerdings kann man den Beweis jetzt schon jetzt in das ProofWiki oder in ein Wikibookprojekt aufnehmen (z.B. Beweisarchiv:Satz_des_Pythagoras) und diese im Abschnitt Weblinks verlinken.--Kmhkmh (Diskussion) 03:07, 10. Apr. 2023 (CEST)

Es gibt hunderte Beweise des Satz des Pythagoras. Da muss ein Beweis schon etwas Besonderes sein, damit er hier aufgenommen wird. --Digamma (Diskussion) 20:49, 10. Apr. 2023 (CEST)

Alle 370 Beweise bis 1940

Es gibt eine Auflistung von etwa 370 Beweisen: https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED037335.pdf --91.62.162.104 20:40, 4. Jun. 2023 (CEST)

Das ist die klassische Sammlung von Loomis. Aus heutiger Sicht nicht unbedingt die beste Literatur zum Thema, aber bekannt und die erste große Sammlung. Ich habe es jetzt einmal unter Literatur hinzugefügt (hauptsächlich weil sie online frei zugänglich ist, gibt auch ne Kopie im Internetarchiv).--Kmhkmh (Diskussion) 10:04, 8. Jun. 2023 (CEST)

Beweis von Einstein

Ich glaube gern, dass Einstein den Beweis mit 12 Jahren gefunden hat ( auch wenn mir der Spektrum- Artikel als Beleg dafür nicht ausreicht). Was ich hingegen nicht glaube, und was der Artikel erst recht nicht belegt, ist die Aussage, dass dieser Beweis nicht schon vorher bekannt war. Dafür bräuchte es beessere Quellen. --Digamma (Diskussion) 16:41, 18. Aug. 2023 (CEST)

PS: Der Beweis steht in der oben genannten und verlinkten Sammlung als Beweis Nr. 230. --Digamma (Diskussion) 16:49, 18. Aug. 2023 (CEST)

Die Frage richtet sich an Benutzer:Ernsts. --Digamma (Diskussion) 14:13, 19. Aug. 2023 (CEST)

Ich habe nur diese Quelle. Schlage daher vor, es als "angeblich" oder "nach xyz' zu kennzeichnen. --Ernsts (Diskussion) 14:56, 19. Aug. 2023 (CEST)

OK. --Digamma (Diskussion) 17:09, 19. Aug. 2023 (CEST)