Diskussion:Satz vom ausgeschlossenen Dritten

Dies ist nicht ganz dasselbe wie das Prinzip der Zweiwertigkeit, welches aussagt, daß jede Aussage entweder wahr oder falsch sein muß.

Vergleich mit dem Prinzip der Zweiwertigkeit

Ich sehe keinen Unterschied. Kann das jemand genauer erklären?

-- tsor 11:59, 19. Mär 2004 (CET)

Antwort

Ich probiers mal. Also erstens würde ich das Prinzip der Zweiwertigkeit anders ausdrücken, nämlich: Eine Aussage kann nicht zugleich wahr und falsch sein.

Satz vom Widerspruch: P ∧ ¬ P => #Falsch

Satz vom ausgeschlossenen Dritten: P ∨ ¬ P => #Wahr.

Nach dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten wird nun üblicherweise ¬ P widerlegt, also ¬ P => #Falsch bewiesen und daraus P gefolgert:

¬ P => #Falsch

P ∨ &not P => #Wahr

-------------------------

:P

Nach dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten wird der klassische Existenzbeweis geführt:

1. Annahme:

$\lnot \exists x.P(x)$

1. Die Annnahme wird zum Widerspruch geführt, d.h. es wird gezeigt:

$\lnot \exists x.P(x)=>Falsch$.

1. Daraus wird nach dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten gefolgert:

$\exists x.P(x)$.

D.h. es wird zwar bewiesen, daß die Annahme, es gebe kein x, falsch ist. Das x mit P(x) wird aber nicht konkret hergeleitet. D.h. man weiß zwar das es ein x gibt, aber nicht, welches; d.h. der Beweis ist nicht konstruktiv.

Klassischer Fall hierfür: Mittelwertsatz.

Sei f(x) stetige Funktion, a<b, und f(a) < f(b). Dann existiert für alle y mit f(a) <= y <= f(b) ein x mit f(x) = y.

Beweis siehe übliche Lehrbücher.

Die Richtung der Mathematik, die das Tertium non datur ablehnt, heißt Intuitionismus (begründet von Brouwer.

Was ist nun der Unterschied zum Satz von der Zweiwertigkeit?

Der Satz von der Zweiwertigkeit (präziser: Satz vom Widerspruch) sagt, daß keine Aussage zugleich wahr und falsch sein kann: P ∧ ¬ P => #Falsch

Dieser Satz leuchtet im Gegensatz zum Tertium non datur sofort ein.

Ein Beispiel: Es leuchtet unmittelbar ein, daß ein bestimmter Fleck auf der Oberfläche eines Objektes nicht zugleich rot und blau sein kann. Das heißt aber noch nicht, daß es nur rot oder blau geben kann. Entsprechend gibt es Logiken, in denen es außer wahr und falsch noch anderer Wahrheitswerte geben kann (mehrwertige Logiken). In diesen Logiken gilt dann das Tertium non datur auch nicht.

-- shannon 14:58, 19. Mär 2004 (CET)

Langer Diskussion, kurzer Sinn, die Sache lässt sich einfach auflösen. Klingt paradox, ist aber so: Es gibt mehrwertige Logiken, in denen tertium non datur gilt. Anzunehmen, dem wäre nicht so, ist der fundamentale Denkfehler. Betrachte z.B. die vierwertige Logik, bei der die Wahrheitswerte Paare (gestern wahr, heute wahr) sind. Intuitiv, wenn nun ¬ alle Wahrheitswerte invertiert, ∨ sie elementweise verknüpft, so sind die Wahrheitswerte von P und ¬P komplementär, und P ∨ ¬P vollständig wahr (beide Tupelemente wahr). => tertium non datur erfüllt trotz Mehrwertigkeit. Lasse den formalen Beweis mal aus, dass alle zur Herleitung von tertium non nötigen Axiome bei dieser Logik erfüllt sind (sie sind es). Also:

1. tertium non datur: Abstraktes Gesetz, das die Mehrwertigkeit nicht ausschließt und bei dem die Intuition "es gibt kein drittes" nur für die zweiwertige Logik stimmt.
2. Prinzip der zweiwertigkeit: die tatsächliche Beschränkung auf wahr und falsch als Wahrheitswerte.
3. Satz vom Widerspruch: wieder etwas anderes; dualer Satz zum tertium non datur.

--Rtc 02:34, 21. Jul 2005 (CEST)

Ich dachte der Satz vom ausgeschlossen Dritten und Satz vom Widerspruch hätten ihren Urspruch im Prinzip der Zweiwertigkeit. Wobei Satz vom ausgeschlossenen Dritten die Umkehrung vom Satz vom Widerspruch ist. Aber ich wollte eigentlich fragen, ob diese Abgrenzung richtig ist: Das Prinzip der Zweiwertigkeit enthält nur Aussagen "wahr" oder "falsch". Keine weiteren. Mit dem Prinzip der Zweiwertigkeit können keine Schlußfolgerun gezogen werden. Währenddessen man mit Hilfe vom "Satz vom Widersprcuh" und "Satz vom ausgeschlossenen Dritten" SChlussfolgerung ziehen kann. Durch den "Satz vom Widerspruch" kann man sagen "weil das richtig ist, muss das andere falsch sein.". Während man mit Hilfe des "Satzes vom ausgeschlossenen Dritten" sagen kann: "weil das falsch ist, ist das andere richtig."?? Ich bitte um evtl. Korrektur. Danke im Voraus!

Einfügung des Artikels principium ...

Ich hab den Doppeleintrag principium.. einfach mal platt hiermit reingestellt und hierhin ein redirect gesetzt. Der zweite Artikel ist in der philosophischen Tradition, die Formeln und Kalküle, mathematische Symbole etc. scheut wie der Teufel das Weihwasser und damit natürlich auch nicht verständlicher ist. Statt Gegeben seien x, y und z, mit x+y=z wird gesagt: dieses etwas, jenes etwas und ein weiteres etwas, welches sich durch Hinzufügen des ersten an das zweite etwas ergibt u.ä. Dennoch sind solche Texte in der Regel besser, wenn es um die Geschichte geht, habe daher den Link auf die Denkgesetze zusätzlich eingefügt. Wie man hier in der Wikipedia aber sowas wie zeitgemäßes Allgemeinverständliches zur Logik hinkriegt, weiß ich auch nicht. --Hansjörg 21:45, 15. Jul 2004 (CEST)

Da dieser Artikel exklusiv unter Logik eingeordnert ist, habe ich den philosophieteil weiterverschoben auf den unter Philosophie eingeordneten, mir besser erscheinenden Artikel Denkgesetze. In der englischen Wikipedia ist es grob genauso. --Rtc 21:21, 19. Jul 2005 (CEST)

Korrektur

Im Artikel wurde behauptet, das, weil bei einer Aussage "p" weder die Aussage selbst, noch ihre negation bewiesen ist, das Prinzip tertium non datur "problematisch" würde.(was soll eigentlich "problematisch" in diesem Zusammenhang bedeuten?!) Diese Behauptung ist sozusagen grottenfalsch, daher habe ich den Artikel ensprechend ergänzt.

"Problematisch" heißt in diesem Zusammenhang, dass unter den Mathematikern strittig ist, ob dieser Satz ein logische Wahrheit ist. Es gibt eine Mehrheit, die das meint, und eine Minderheit, die es bestreitet. Schließlich gibt es noch eine große Gruppe, die meint, man solle sich um "richtig" oder "falsch" in diesem Zusammenhang nicht kümmern, es gehe einfach um verschiedene Axiomensysteme, aus denen sich verschiedene Folgerungen ergeben.

Du schreibst:

"Achtung: das im oberen Beispiel bisher weder "p" noch "nicht p" bewiesen werden konnten, berührt "tertium non datur" überhaupt nicht, da unbestritten entweder eine solche Darstellung aus Primzahlen möglich ist oder eben nicht; und genau letzeres sagt tertium non datur!"

"unbestritten" ist das nun nachweislich nicht.

Du schreibst:

"Wenn es eine gerade Zahl a>2 gibt, so das a nicht als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist, dann stimmt nicht, das sich jede gerade Zahl als solche Summe darstellen läßt, und umgekehrt."

Ein Intuitionist würde erwidern: Bei keiner deiner beiden Sätze ist die Prämisse erfüllt: Weder "gibt es" eine ... Zahl a, die nicht als Summe ... dargestellt werden kann (denn mit "es gibt sie" meint der Intuitionist: jemand kann sie nennen!), noch sind nachweislich alle ... Zahlen als Summe ... darstellbar. Denn (und das sagt nicht nur der Intutionist) nur was bewiesen ist, darf als wahr bezeichnet werden. Solange diese Situation andauert, so schließt er, darf auch dein Satz nicht als wahr bezeichnet werden.

Du schreibst:

"Es gibt viele Vermutungen, die noch nicht bewiesen sind, doch für jede von Ihnen gilt: Sie stimmt oder Sie stimmt nicht ;-)."

Ein Intuitionist würde dies als "Glaubenssatz" bezeichnen. Beweisen läßt sich: Deine Behauptung lässt sich nicht aus den übrigen Axiomen der Aussagenlogik herleiten. Wenn sie gelten soll, muss man sie (oder eine eng verwandte Behauptung) als Axiom "postulieren".

Du schreibst:

"...(Stichwort vollständige Induktion) mit diesem Argument ("...weil [es] unendlich viele sind") wäre keine Aussage über reelle Zahlen möglich"

Natürlich gibt es die vollständige Induktion und viele andere Verfahren, die einwandfrei beweisen, dass eine bestimmte Aussage für unendlich viele Zahlen gilt. Aber für die Goldbach'sche Vermutung gibt es kein solches Verfahren. Und für ihre Negation auch nicht.

Die Abschnitte, die du hier angreifst, wollen nicht die Beweisverfahren der Mathematik einschränken, sondern nur illustrieren, dass er Beweis von P und der Beweis von ¬P zwei grundsätzlich verschiedene Aufgaben sind und nicht jedermann die Überzeugung teilt, eine von beiden müsse in jedem Fall lösbar sein.

Da schreibst du nun: "der Satz (vom tertium non datur) sagt nichts über mögliche Beweisbarkeit von "P" ("nicht P")aus, er sagt lediglich: ist "a" wahr, dann ist "nicht a" falsch und vice versa!

Intuionisten würden da lesen: Es gehe (jedenfalls für a=P) nicht um Beweisbarkeit, sondern um Wahrheit. Wer Wahrheit außerhalb der Beweisbarkeit sucht, verlasse aber den Bereich der Mathematik.

Um auf den Artikel zurückzukommen: Dieser besagt nichts über die "Wahrheit" des "tertium non datur"! Er will lediglich ein Problem mit langer philosophie-geschichtlicher Tradition darstellen. Wenn du meinst, dass dies nicht von einem neutralen Standpunkt aus geschieht, sind deine Korrekturen willkommen. Wenn du darlegen willst, einer dieser Standpunkte sei absurd, musst du das anderswo tun als in wikipedia.

Vorläufig habe ich deine Änderungen mal rückgängig gemacht.

-- Peter Steinberg 23:38, 17. Jul 2005 (CEST)

"Problematisch" heißt in diesem Zusammenhang, dass unter den Mathematikern strittig ist, ob dieser Satz ein logische Wahrheit ist. Es gibt eine Mehrheit, die das meint, und eine Minderheit, die es bestreitet. Schließlich gibt es noch eine große Gruppe, die meint, man solle sich um "richtig" oder "falsch" in diesem Zusammenhang nicht kümmern, es gehe einfach um verschiedene Axiomensysteme, aus denen sich verschiedene Folgerungen ergeben.

Was Mathematiker persönlich denken ist irrelevant. Bezüglich den Mathematikern in ihrer Funktion als solche gibt es per Definition nur welche von der letztgenannten 'Gruppe' -- sie erheben nicht den Anspruch, die Frage nach der Wahrheit des Satzes zu beantworten. Sie nehmen seine Wahrheit axiomatisch an, ohne sich überhaupt Gedanken darüber zu machen, ob er nun wahr oder falsch ist. Diese Frage wird in der Mathematik einfach offengelassen. Dies ist ein häufig auftauchendes Missverständnis. Die Philosophen streiten sich auch nicht darüber, sie stellen nur fest, in welcher Weltanschauung der Satz plausibel ist. Die einzigen Leute, die sich streiten sind Idealisten, die behaupten, ihre eigene Weltanschauung sei die einzig richtige.

"unbestritten" ist das nun nachweislich nicht.

Es ist meiner Meinung nach nicht Aufgabe der Wikipedia, wissenschaftlich gesehen irrelevante Strittigkeiten zwischen Idealisten zu dokumentieren.

Ein Intuitionist würde dies als "Glaubenssatz" bezeichnen.

Glauben ist irrelevant. Man muss an eine Logik nicht glauben, um sie anzuwenden. Du gibst Dingen emotionale Färbung, die für die Diskussion irrelevant ist.

Natürlich gibt es die vollständige Induktion und viele andere Verfahren, die einwandfrei beweisen, dass eine bestimmte Aussage für unendlich viele Zahlen gilt. Aber für die Goldbach'sche Vermutung gibt es kein solches Verfahren. Und für ihre Negation auch nicht.

Kein solches ist bekannt, was nicht heißt, dass es ein solches nicht gibt.

Die Abschnitte, die du hier angreifst, wollen nicht die Beweisverfahren der Mathematik einschränken, sondern nur illustrieren, dass er Beweis von P und der Beweis von ¬P zwei grundsätzlich verschiedene Aufgaben sind und nicht jedermann die Überzeugung teilt, eine von beiden müsse in jedem Fall lösbar sein.

Dann sollte das zu den Beschreibungen der jeweiligen Weltanschauungen geschrieben werden, aber nicht die Weltanschauung in diesen Artikel.

Um auf den Artikel zurückzukommen: Dieser besagt nichts über die "Wahrheit" des "tertium non datur"! Er will lediglich ein Problem mit langer philosophie-geschichtlicher Tradition darstellen. Wenn du meinst, dass dies nicht von einem neutralen Standpunkt aus geschieht, sind deine Korrekturen willkommen. Wenn du darlegen willst, einer dieser Standpunkte sei absurd, musst du das anderswo tun als in wikipedia.

Die Wikipedia ist in diesem Punkt erklärterweise nicht neutral. "Daher sollte das Ziel darin bestehen, eine für alle rational denkenden Beteiligten akzeptable Beschreibung zu formulieren." Dies bedeutet, dass die Beschreibung in der Wikipedia der klassischen Logik folgen muss, nicht der intuitionistischen. 99% der Leser denken klassisch-logisch und können aus den Beschreibungen nur eine Erkenntnis ziehen, wenn sie auch in dieser logik geschrieben wurden. Da aber jedes Argument gegen die Klassische Logik unter der Annahme ihrer Konsistenz von diesem Standpunkt aus ihr widerspricht und somit gemäß ihr selbst falsch ist, dürfen solche Argumente in der Wikipedia nicht stehen. Täte man es doch, enthielte die Wikipedia Aussagen, die ihren erklärten Grundsätzen widersprechen würden (dass die Beschreibung für alle rational denkenden Beteiligung akzeptabel ist). Es hat aber sicherlich niemand etwas dagegen, wenn Du eine Intuipedia startest, die im Gegensatz zur Wikipedia den Grundsatz verfolgt, dass die Beschreibungen für intuitionistisch denkende Menschen akzeptablen sein müssen.

PS: Meine Darlegungen erfolgten alle aufgrund klassischer Logik. Bitte lies sie in diesem Kontext und falls Du antwortest, benutze Folgerungen, welche nach der klassischen Logik erlaubt sind, auch wenn Du persönlich nicht an diese Logik glauben solltest. Sonst wäre diese Meta-Diskussion für mich sinnlos, da sie mir keine Erkenntnisse brächte.

--Rtc 01:52, 18. Jul 2005 (CEST)

Ich habe überhaupt keine Problem, nur Folgerungen zu benutzen, die nach der klassischen Logik erlaubt sind, obwohl ich nicht an diese Logik "glaube" (was imer das auch heißen soll). Nur postuliert die klassische Logik noch ein paar mehr Sätze, als mir einleuchten. Zum Beispiel das "Tertium non datur". -- Peter Steinberg 00:09, 20. Jul 2005 (CEST)

An Peter Steinberg

Nun, da ich den Intuitionismus nicht kenne, kann ich wenig dazu sagen, und ich würde diesen daher auch nicht absurd nennen; das im Artikel gewählte Beispiel habe ich aus den erwähnten Gründen falsch genannt.

Um das nochmal aufzugreifen:

Auf meine Aussage "da unbestritten entweder eine solche Darstellung aus Primzahlen möglich ist oder eben nicht" meintest Du, das dies eben nicht unbestritten wäre. Nun, dann nenne mir die dritte Möglichkeit - denn das es eine solche in diesem konkreten Fall nicht gibt, ist die einzige Aussage des Prinzips "Tertium non datur"; gibt es sie doch, dann hast Du Recht, das Beispiel stimmt und Du kannst mir die dritte Möglichkeit nennen.

Hic Rhodos hic salta. Schabadu

Es ist müßig, mit klassisch-logischen Argumenten gegen die intuitionistische Logik zu argumentieren. Sie lässt einfach Widersprüche zu. Du könntest sie klassisch-logisch mit einem Widerspruch widerlegen und hättest doch intuitionistisch-logisch nichts widerlegt, sondern nur einen Satz gefunden, der weder wahr noch falsch ist. --Rtc 02:21, 18. Jul 2005 (CEST)

Nun, die "dritte Möglichkeit" ist genau die, die wir bei der Goldbachschen Vermutung haben: Weder gibt es einen Beweis dafür (also kann ich sie nicht "wahr" nennen), noch gibt es eine Widerlegung (also kann ich sie nicht "falsch" nennen).

@Rtc: Die intuitionistische Logik lässt keine Widersprüche zu. A∧¬A ist auch inutitionisch-logisch falsch. Richtig ist, dass sie Widerspruchsbeweise nicht zulässt, wenn die Grundgesamtheit unendlich ist: (¬A→f) → A ist keine intustionistisch-logische Wahrheit.

-- Peter Steinberg 23:53, 18. Jul 2005 (CEST)

Nun, die "dritte Möglichkeit" ist genau die, die wir bei der Goldbachschen Vermutung haben: Weder gibt es einen Beweis dafür (also kann ich sie nicht "wahr" nennen), noch gibt es eine Widerlegung (also kann ich sie nicht "falsch" nennen).

Nun, dann weißt Du mehr als die Mathematik. Es gibt tatsächlich solche Sätze für die weder ein Beweis existiert noch ein Beweis für das Gegenteil (siehe Unvollständigkeitssatz), aber es hat noch niemand gezeigt, dass die Goldbachsche Vermutung ein solcher Satz ist. Richtig ist hingegen, dass noch niemand einen Beweis des Satzes oder des Gegenteils gefunden hat. Aber das, wie Du sicher leicht einsehen wirst, sagt nichts über die Existenz eines solchen Beweises aus.

Mit "Es gibt keinen Beweis..." meine ich: Niemand hat einen solchen Beweis gefunden. Das sagt schon etwas über die Existenz eines solchen Beweises aus: Nämlich dass niemand diese Existenz behaupten kann. -- Peter Steinberg 00:09, 20. Jul 2005 (CEST)

Ich behaupte hiermit, dass ein solcher Beweis existiert.

Wie Du siehst, stimmt es nicht, dass es niemand kann, ich kann es nämlich, habe es ja grade getan. Behaupten kann man vieles, wenn der Tag lang ist.

--Rtc 23:07, 20. Jul 2005 (CEST)

@Rtc: Die intuitionistische Logik lässt keine Widersprüche zu. A∧¬A ist auch inutitionisch-logisch falsch. Richtig ist, dass sie Widerspruchsbeweise nicht zulässt, wenn die Grundgesamtheit unendlich ist: (¬A→f) → A ist keine intustionistisch-logische Wahrheit.

Ich kenne mich nicht genügend mit der inutitionischen Logik aus, um dem zuzustimmen oder zu widersprechen. Fakt ist jedoch, dass es unterschiede zwischen intuitionistischer und normaler Logik gibt und die BEschreibung der intuitionistische Logik in der Wikipedia mit Sätzen geschehen muss, die normaler Logik folgen.

--Rtc 21:07, 19. Jul 2005 (CEST)

Du sagst: "A∧¬A ist auch [intuitionistisch]-logisch falsch" <=> ¬(A∧¬A)<=> A → A

Andererseits sagst Du weiterhin:"(¬A→f) → A ist keine [intuitionistisch]-logische Wahrheit" jedoch ist (¬A→f)<=> ¬¬A also hast du im letzten Zitat gesagt ¬(A → A )

damit hast Du oben gesagt :A→A

und unten: ¬ (A→A)

-- also doch (A→A)∧¬(A→A) oder wie?

oder willst Du sagen: wenn etwas nicht intuitionistisch-logisch wahr ist, ist es deswegen nicht intutionistisch-logisch falsch ? schabadu

P.S.: Diese "dritte Möglichkeit" trifft nicht, es ist egal, ob ich die Goldbachsche Vermutung wahr oder falsch oder keines von beiden nennen kann, das einzige was tertium non Datur sagt, ist:

falsch ist, das, wenn die Vermutung nicht Wahr ist, es falsch ist, das sie falsch ist (siehe: Wahrheitstafel).

schabadu

Hm, Du verwendest die Axiome der klassischen Logik um irgendwelche Schlussfolgerungen über die zu intuitionistische logik zu treffen, das ist müßig wie bereits mehrmals erwähnt.

Du sagst: "A∧¬A ist auch [intuitionistisch]-logisch falsch" <=> ¬(A∧¬A)<=> A → A

Du hast einige Zwischenschritte ausgelassen und meinst vermutlich ¬(A∧¬A) <=>... <=> A →¬¬A <=> A → A. Jedoch ist in der intuitionistischen logik der letzte Schritt nicht möglich, da es dort im Gegensatz zur normalen Logik das Axiom ¬¬A => A nicht gibt.

--Rtc 21:07, 19. Jul 2005 (CEST)

"Du hast einige Zwischenschritte ausgelassen..." Nein, denn die Äquivalenz ist direkt aus den Wahrheitstafeln der jeweiligen Aussagen ersichtlich, daher sind keine Zwischenschritte nötig (man kann welche benutzen, aber die sind absolut trivial).

und hier nochmal ganz langsam, nur von wegen "Zwischenschritte".Also nicht von wegen "gilt das oder nicht in Logik 1 oder 2".

A |B |¬(A∧¬B)|A=>B|

W |W | W |W

W |F | F |F

F |W | W |W

F |F | W |W

Die Tafel sagt laut und deutlich: ¬(A∧¬B)<=> A→B.:

Da das für beliebige A,B gilt, darf ich B=A setzen ... et voilà: ¬(A∧¬A)<=> A=>A

Warum eigentlich "vermutlich"? Ist die Aussage, die Du dann 1:1 wiederholst, schwer zu verstehen?

Und der letzte Schluss ist kein Schluss, sondern eine Äquivalenz; sozusagen 1<=>1.

Gilt natürlich nur in der klassischen Logik.

P.S. in der klassischen Logik heißt das: "¬¬A = A", nicht: "¬¬A => A"

Schabadu

Hi, Du verwendest zum Ausrechnen der Wahrheitstafel die Denotationsfunktion der klassischen Logik. Du musst, falls es eine gibt (ich kenne mich bis auf die Unterschiede bei den Axiomen mit Intuitionistischer Logik nicht aus), die Denotationsfunktion der intuitionistischen Logik verwenden, um die Gültigkeit der Formel für den Intuitionismus zu beweisen. Normalerweise führt man übrigens Beweise mittels Folgerungen aus Axiomen. Dass irgendwelche Gleichheiten in einer Wahrheitstabelle, die Mithilfe einer Denotationsfunktion ausgerechnet wurde, irgendeine Aussage treffen ist garnicht mal so einfach zu beweisen.

¬¬A = A ist im übrigen keine gültige Formel der klassischen Logik. Vielleicht bei der Logikvorlesung nicht aufgepasst? ;)

--Rtc 23:01, 20. Jul 2005 (CEST)

Hallöchen mal wieder, wie Du Dir wahrscheinlich schon gedacht hast, fällt mir zu Deinen Einwänden das ein oder andere ein.

Zunächst mal zu "Normalerweise führt man übrigens Beweise...". Das stimmt so nicht.

Denn Wahrheitstafeln und Formalismus sind insofern äquivalent, als die Axiome des letzteren durch die Tafeln definiert werden.

Nein, das stimmt schon. Da liegt bei Dir ein grundlegendes Missverständnis vor. Man definiert die Axiome nicht über die 'Wahrheitstafeln' (Du meinst denotationsfunktion), sondern umgekehrt zeigt Eigenschaften der denotationsfunktion über die Axiome. Die Definition der Denotationsfunktion wäre extrem redundant, und eine Axiomenmenge sollte keine solchen Redundanzen enthalten. Wie es gemacht wird siehe Systeme natürlichen Schließens. Überhaupt ist die Denotationsfunktion eben grade lt. Unvollständigkeitssatz bei hinreichend mächtigen axiomatischen Systemen nicht mehr berechenbar. --Rtc 18:42, 21. Jul 2005 (CEST)

Weiterhin besteht formal eine Bijektion zwischen Wahrheitstafeln und Formalismus, also sind Beweise mittels Tafeln äquivalent mit solchen, die per Formalismus (Kalkül) geführt werden.

Behaupte ja garnicht das Gegenteil, aber diese Äquivalenz ist nicht so offensichtlich und wenn es um andere als die klassische Logik geht, sieht die Denotationsfunktion meist völlig anders aus und sie lässt sich oft auch nicht so ohne weiteres angeben.. Übrigens sind auch Wahrheitstafeln ein Kalkül.--Rtc 18:42, 21. Jul 2005 (CEST)

Analog werden zum Beispiel Äquivalenzen zwischen Operatoren im Hilbertraum (bez. einer festen Basis) und darstellenden Matritzen gezeigt, indem man die Wirkung von Operator und Matrix auf die Elemente der jeweiligen Menge vergleicht. Dieses Verfahren enspricht dem Vergleichen von Wirkung des Formalismus auf die Aussagen (A,B...) und Darstellung der möglichen Werte als Wahrheitstafel.

Ich denke auch nicht, das eine Diskussion über die zuordnende Funktion f(A)=W bzw f(A)=F nötig ist(ich weiß, klassisch..), diese ist einfach zu trivial.

NUR im Fall der klassischen Logik. Die Denotationsfunktion der intuitionistischen Logik ist soweit ich es verstanden habe garnicht für alle Formeln definiert.

Der Sinn meines Kommentares war, zu zeigen, das offensichtlich mit intuitionistischer Logik es möglich ist, in ein und demselben Artikel zu sagen "A∧¬A" gilt nicht und gleichzeitig zu sagen "¬¬A→A" gilt nicht.In meinen Augen gibts hier nen klitzekleines Konsistenzproblem.

Du verwechselst Wahrheit mit Beweisbarkeit bzw. benutzt Gültigkeit für beides synonym. A∧¬A ist nicht wahr, weil ¬(A∧¬A) beweisbar ist. ¬¬A→A ist weder beweisbar, noch widerlegbar, weil mit intuitionistischer Logik weder ¬¬A→A noch ¬(¬¬A→A) bewiesen werden können. Deshalb ist ¬¬A→A weder wahr noch falsch. Und deshalb gibt es kein Konsistenzproblem. Also nicht Beweisbarkeit mit Wahrheit verwechseln. Übrigens gibt es auch in ZFC Sätze, die weder bewiesen noch widerlegt werden können, siehe Unvollständigkeitssatz. Das ist also nichts wirklich ungewöhnliches und keine Eigenheit der intuitionistischen Logik.--Rtc 18:42, 21. Jul 2005 (CEST)

Und zuletzt: vielleicht hätte ich besser "¬¬A<=>A" geschrieben, ich fand den anderen Term ein wenig ausdrucksstärker.

P.S.: Nichts liegt mir ferner, als weiter über Gültigkeit oder Nichtgültigkeit der Logiken zu schwadronieren (werd ich jetzt auch nicht mehr tun), auffällig ist einfach, das im oberen Artikel selbst Wert darauf gelegt wird, Aussagen à la "¬A→A;" zu vermeiden was doch eigentlich intuitionistisch gesehen unproblematisch sein sollte !? Naja, wie auch immer... Grüße Schabadu

Letzter Kommentar von mir zu Deinen Anmerkungen und diesem Thema: Du vergleichst Äpfel mit Birnen, und anstatt konkreter Aussagen kommen schwammige Erzählungen.

Ich kann nichts schwammiges erkennen und ich vergleiche auch nicht Äpfel mit Birnen. Ich wollte nur aufzeigen, warum Deine Folgerungen so falsch sind.

Und sei ein bißchen vorsichtiger mit "Du verwechselst .." und "...Mißverständnis...", Herr Lehrer,ich habe z.B.: nirgendwo gesagt, das Wahrheitstafeln kein Kalkül seien (bißchen exakt bleiben, ja?) und zur Definitionsgeschichte... denk mal selber nach.

Und das Du klassische Logik (ge)brauchst, um in deinen Artikeln zu argumentieren, ist Dir wohl auch noch nicht aufgefallen, was?

Ein Grundsatz der Wikipedia ist es, dass man für rational (IMO klassisch logisch) denkende Menschen schreibt. Du wirst doch nicht sagen wollen, dass man hier nur intuitionistische Logik gebrauchen darf, wenn man mit Dir diskutiert? Dann, tut mir leid, bin ich nicht mehr bereit, an der Wikipedia weiter mitzuarbeiten, ich sehe den ganzen Intuitionismus und Konstruktivismus sowieso schon kritisch, aber dazu *zwingen*, seine Methodik zu benutzen lass ich mich nicht.--Rtc 22:50, 21. Jul 2005 (CEST)

Schabadu

Neutralität

Inzwischen stehen in diesem Artikel keine Hinweise mehr darauf, dass der Satz zum Teil heftig umstritten ist. Zudem wird er hier nur begründet und plausibel gemacht, anstatt auch mit Beispielen zu zeigen, dass Kritiker und Bezweifler dieses "Satzes" nicht nur Widersprüche aufstellen wollen.

Neutralitätsbotton gesetzt. PaCo 19. Juli 2005 18:54 CEST

Nochmal. Was für eine Neutralität des Artikels mindestens erwähnt werden muss ist der Inhalt des folgenden Absatzes:

"Some logics do not accept the law of excluded middle, most notably en:intuitionistic logic. The article en:bivalence and related laws discusses this issue in greater detail."

aus dem englischen Artikel en:law of excluded middle PaCo 19. Juli 2005 19:54 CEST

Dieser Aussage ist ihrerseits nicht neutral. Ein neutraler Standpunkt kritisiert diesen satz nicht. Er erwähnt nur, dass es verschiedene Logiken gibt und er in manchen nicht gilt. Es ist übrigens durchaus ein Satz im Mathematischen Sinn, kein Grund das Wort in Anführungszeichen zu setzen.

Die alte 'Kritik' steht jetzt bei Intuitionismus. Die momentane Situation stellt ein falsches Bild dar, in wirklich fast jedem Artikel über Logik steht fast mehr Pseudokritik an der klassischen Logik und Verweise auf Intuitionismus drin als brauchbare Informationen. Die englischen Artikel sind da bereits bedeutend neutraler. Es gilt, Philosophie und Formalismus strikt zu trennen.

Ich werde Intuitionismus nicht mehr direkt verlinken, sondern auf eine einigermaßen neutrale seite, die bereits existiert und welche die Eigenschaften der verschiedenne Logiken auflistet.

Ansonsten bitte Geduld. Ich bin grade dabei, den Artikel grundlegend zu überbearbeiten. Bin nicht der schnellste. --Rtc 20:09, 19. Jul 2005 (CEST)

Artikel jetzt neutralisiert. Philosophisches zu einem Artikel im Philosophiebereich verschoben. Bei Einwänden bitte bescheid sagen. --Rtc 20:28, 19. Jul 2005 (CEST)

Ich denke, es ist nicht konstruktiv, sich hier gegenseitig mangelnde Neutralität vorzuwerfen. Die grundsätzliche Frage sollte in einer Diskussion an einer zentralen Stelle geklärt werden, z.B. Wikipedia:Artikel, die etwas mehr Neutralität benötigen, oder Portal Diskussion:Mathematik. Die Diskussion sollte später leicht wiederzufinden sein, da die Frage, wie die konstruktive Mathematik berücksichtigt werden soll, mit Sicherheit wieder auftauchen wird.--Gunther 20:05, 19. Jul 2005 (CEST)

Für mich ist die Zusammenarbeit sehr schwierig. Es ist nicht zu akzeptieren, die axiomatische Methode als alleinseeligmachend hinzustellen. Das ist durchaus nicht neutal!--PaCo 20:39, 19. Jul 2005 (CEST)

Dieser Artikel ist unter Logik eingeordnet, deshalb behandelt er ausschließlich die axiomatische Methode. Den philosophischen Standpunkt habe ich nach Denkgesetze verschoben, der unter Philosophie eingeordnet ist. Diese Trennung zwischen Logik und Philosophie ist IMHO korrekt und erwünschenswert, z.B. in der englischen Wikipedia schon viel mehr realisiert als hier und IMHO im Sinne der Leser. --Rtc 21:15, 19. Jul 2005 (CEST)

HAbe die änderungen von Paul Conradi rückgängig gemacht:

Umgekehrt gibt es jedoch auch Logiken, die ohne das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten auskommen.

Dieser Satz ist emotional gefährbt. Entweder lässt sich der Satz aus einer Logik ableiten, oder nicht, 'kommt ohne aus' ist unsachlich und ideologisch.

Umstritten ist dies Prinzip

für die Aussagen, die aus Quantoren mit unkonstruierten unendlichen Definitionsmengen bestehen

bei Aussagen über die Zukunft oder die Vergangenheit

Das hängt von der Verwendeten Logik ab. Es kann unter weltanschaulichen fundamentalisten umstritten sein, welche Logik 'die richtige' ist, aber die konzepte an sich sind völlig neutral.

in der Fuzzy-Logik

Er ist dort nicht umstritten sondern er gilt dort schlicht und ergreifend nicht. Steht aber schon auf der Seite zum Wahrheitswert

im Intuitionismus

Dass er dort bestritten wird ist ein philosophischer Aspekt und sollte wenn, dann auf der philosophischen Seite Denkgesetze diskutiert werden.

Weitere Details dazu finden sich im Artikel über den Wahrheitswert.

Dieser hinweis genügt völlig, um erschöpfend zu beschreiben, wo die unterschiede zwischen den einzelnen logiken auf formaler seite sind sind. Ein neutraler Standpuntk ist es *nicht* bei jedem Thema alle nur erdenklichen standpunkte explizit im artikel aufzuzählen. Bitte lass den artikel so wie er ist, ich denke die neutralität ist nun wirklich nicht mehr zu überbieten. Wenn Du philosophische Askepte hast, dann füge die bitte unter Intuitionismus oder Denkgesetze hintzu. Danke --Rtc 21:43, 19. Jul 2005 (CEST)

Es gibt keine philosophiefreie Logik. Du hast Dich mit Deiner trennung total verrannt.--PaCo 21:51, 19. Jul 2005 (CEST)

Grade deswegen sollte es streng getrennt werden, weil es sonst in dem Artikel in einem Ideologiekrieg auf Kosten der formalen Beschreibung ausarten würde. Bei der englischen Wikipedia ist die Trennung in Logikartikeln jedenfalls schon viel deutlicher zu sehen als hier. Dort sind Intuitionismus (Philosophie) und Intuitionistische Logik (Formalismus) inzwischen z.B. getrennt während es in der deutschen Wikipedia noch oft synonym verwendet wird und auch nur eine Seite für beides exisitert. --Rtc 22:06, 19. Jul 2005 (CEST)

Lemmata

Ich nehme an, dass Einigkeit darüber herrscht, dass es nur einen Satz vom ausgeschlossenen Dritten gibt. Deshalb sollte dieser eine Satz auch in einem Artikel dargestellt werden.--Gunther 23:56, 19. Jul 2005 (CEST)

Wenn es aber zwei gibt, muss eine sehr strikte Trennung sein. Auf keinen Fall dürfen sie aufeinander verweisen. ;) --PaCo 23:59, 19. Jul 2005 (CEST)

Ich denke, Du weißt, was ich meine.--Gunther 00:09, 20. Jul 2005 (CEST)

Ja. :) Und ich denke Du weißt, dass ich Deiner Meinung bin.--PaCo 00:14, 20. Jul 2005 (CEST)

Es gibt leider zwei fundamental unterschiedliche Auffassungen des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten, und zwar einmal eine philosophische und dann die formale. Eine Zusammenfassung in einen Artikel hat sich in der Vergangenheit als problematisch erwiesen; die beiden Aspekte wurden zu sehr vermischt. Deshalb hatte ich die philosophischen Aspekte wie in der englischen Wikipedia nach Denkgesetze verschoben, von wo sie nun jemand analog ähnlicher Artikel aus der englischen Wikipedia in einen Philosophie-Artikel aufgesplittet hat. --Rtc 00:23, 20. Jul 2005 (CEST)

Das wäre ja ein Weltuntergang. Zwei Auffassungen in einem einzigen Artikel. Schlimmer als der 11. September--PaCo 00:30, 20. Jul 2005 (CEST)

So kanns nicht bleiben!

Danke Flominator, für deinen Tag. Leider ist es aber so: Aus keinem der gegenwärtigen Artikel kann irgendjemand entnehmen, worum es bei der Frage des "tertium non datur" eigentlich geht, nämlich:

• dass es zwei grundverschiedene Aufgaben sind, eine Behauptung zu beweisen oder sie zu widerlegen;
• dass, wenn die Grundgesamtheit unendlich ist, niemand behaupten kann, eine dieser beiden Aufgaben sei lösbar (es sei denn, sie ist bereits gelöst);
• dass es deshalb keine einheitliche Meinung gibt zu der Frage, ob die Aussage "A∨¬A" eine logische Wahrheit sei. Daraus folgen dann unterschiedliche Systeme logischen Schliessens.

Ähnlich sieht es bei anderen Begriffen aus, die mit den Grundlagen der Mathematik zu tun haben: Es ist alles ganz wirr und unverständlich, obwohl lange und erbittert darüber diskutiert worden ist.

Ich bin gespannt, wie wikipedia diess Problem löst.

(Wenn ich kann, misch ich mich auch ein.) -- Peter Steinberg 01:42, 9. Sep 2005 (CEST)

Die von Dir gebrachten Punkte stellen den intuitionistischen Standpunkt dar, ein Satz wäre nur wahr, wenn man ihn beweisen kann und die disjunktion sei nur wahr, wenn mindestens eine der beiden teilaussagen beweisbar ist. Dieser Standpunkt ist neutral durch den folgenden Satz dargestellt: "Umgekehrt gibt es jedoch auch zwei- und mehrwertige Logiken, aus deren Axiomen er sich nicht ableiten lässt. Details dazu finden sich im Artikel über den Wahrheitswert." Dieser Satz stellt keine Logik unverhältnismäßig als einzige alternative dar und trifft keine philosophischen Wertungen, so wie es Deine Darstellung tut und wahrt deshalb die Neutralität. Wenn Du eine genauere Erklärung des Standpunktes bezüglich des tertium non datur hinzufügen willst, tust Du das wohl am besten bei Intuitionismus.

Konstruktive Mathematik ist nicht wirr. Der Artikel ist im Gegenteil nun in einer einigermaßen slangfreien Fassung, bei der man zumindest versteht, was gemeint ist. Ich habe gestern noch einen Literaturverweis auf eine Quelle aus einem wissenschaftlichen Fachjournal hinzugefügt, aus der sich bestimmt noch einige Sachverhalte nehmen lassen, die den Artikel bereichern können.

Der Artikel über KM ist momentan nicht perfekt, das ist klar. Aber es ist auch nicht einfach, ihn besser zu machen. Ergänzungen sind natürlich immer willkommen, aber es wäre gut, wenn Du inhaltliche Änderungen vorher auf der Diskussionsseite besprechen könntest. --Rtc 12:46, 9. Sep 2005 (CEST)

Ich habe keinen "Standpunkt dargestellt", sondern drei Tatsachen benannt, die meines Wissens außer dir niemand bestreitet. Vielleicht wäre es hilfreich, wenn du mal erklärst, welche der drei Aussagen du für falsch hältst:

1. dass es zwei grundverschiedene Aufgaben sind, eine Behauptung zu beweisen oder sie zu widerlegen? - oder
2. dass, wenn die Grundgesamtheit unendlich ist, niemand behaupten kann, eine dieser beiden Aufgaben sei lösbar (es sei denn, sie ist bereits gelöst)? - oder
3. dass es deshalb keine einheitliche Meinung gibt zu der Frage, ob die Aussage "A∨¬A" eine logische Wahrheit sei? -

oder mehrere davon? -- Peter Steinberg 23:05, 10. Sep 2005 (CEST)

Ich würde gerne das "deshalb" in 3 anzweifeln. Wenn Du es so angehst, ist der Grund für 3 eher darin zu suchen, dass Du und ich verschiedene Interpretationen der Formel $A\lor \neg A$ wählen. "A ist beweisbar oder nicht-A ist beweisbar" ist im allgemeinen falsch, keine Frage. "A ist wahr oder nicht-A ist wahr" ist innerhalb der konventionellen Logik wahr, auch wenn dieses "wahr" relativ wenig mit dem philosophischen Wahrheitsbegriff zu tun hat, zumindest insofern als manchen Aussagen keine "absolute" Wahrheit zukommt. Man könnte sagen, sie sind sowohl wahr als auch falsch, nur nicht gleichzeitig ;-) --Gunther 00:29, 11. Sep 2005 (CEST)

Ok, ok, aus meiner Sicht wird das immer besser:

" dass es verschiedene Interpretationen der Formel $A\lor \neg A$ gibt, von denen einige darauf hinauslaufen, dass dies keine logische Wahrheit sei." - Oder so ähnlich.

Nur: wie kommen wir mit unserem Neo-Platonisten Rtc zu Rande? -- Peter Steinberg 01:06, 11. Sep 2005 (CEST)

Ich verstehe jetzt nicht, wo das Problem ist. Im Artikel wird doch erwähnt, dass es Logiken gibt, in denen tertium non datur nicht herleitbar ist. In einer Form, die ihrer Relevanz im Bezug auf die klassiche Logik mehr als gerecht wird. Darüber hinaus könnte ich nur wiederholen, was Gunther gesagt hat.

--Rtc 20:19, 11. Sep 2005 (CEST)

@Rtc: Dass du nicht verstehts, wo das Problem ist, habe ich schon bemerkt. Vielleicht versuchts du einfach mal, auf meine Frage zu antworten:

Welche der drei Aussagen hältst du für falsch:

1. dass es zwei grundverschiedene Aufgaben sind, eine Behauptung zu beweisen oder sie zu widerlegen? - oder
2. dass, wenn die Grundgesamtheit unendlich ist, niemand behaupten kann, eine dieser beiden Aufgaben sei lösbar (es sei denn, sie ist bereits gelöst)? - oder
3. dass es deshalb keine einheitliche Meinung gibt zu der Frage, ob die Aussage "A∨¬A" eine logische Wahrheit sei? -

oder mehrere davon?

Gunther hat schon geantwortet, dass ihn das "deshalb" in Behauptung 3 nachdenklich macht. Darüber kann man reden. Und nun du? -- Peter Steinberg 01:19, 13. Sep 2005 (CEST)

Ich habe bereits erwähnt, dass ich nur wiederholen könnte, was Gunther gesagt hat. Ich bitte Dich, vernünftig und konstruktiv zu diskutieren und mich nicht als Neo-Platonisten oder jemand, der nicht versteht, wo das Problem ist zu bezeichnen (in anderer Bedeutung als meine aussage, ich verstehe jetzt nicht, wo das problem sei). So kommen wir nicht weiter. Es ist schön, dass Du wieder mitarbeitest; wenn Du jedoch alte Diskussionen wieder aufwärmen willst, dann erwarte nicht sonderlich große Begeisterung und Beteiligung von mir. Bereichere die Diskussion mal mit Dingen, die nicht schon tausendmal durchgekaut wurden. --Rtc 01:33, 13. Sep 2005 (CEST)

@Rtc: Na Klasse: Da du nur wiederholen kannst, was Gunther gesagt hat, überarbeite ich im Laufe der Woche den Artikel auf dieser Grundlage. "Große Begeisterung und Beteiligung von dir" ist mir nicht so wichtig. Ich hoffe eher, dass sich Gunther u.a. mit meinen Formulierungen auseinandersetzt.

@ Gunther: Ich bin zzt. beruflich allerdings ziemlich angespannt; es kann ein bisschen dauern.

-- Peter Steinberg 01:55, 13. Sep 2005 (CEST)

Ok, ich sags nochmal deutlich: Stimmt der erste Punkt? Ja. Stimmt der zweite Punkt? Nicht in allen Logiken. Prädikatenkalkül erster Stufe ist entscheidbar (Vollständigkeitssatz), einwertige Logiken sogar trivialerweise, überhaupt völlig unabhängig von der Grundgesamtheit. Stimmt der dritte Punkt? Selbst wenn man die ersten beiden als gegeben voraussetzt, ist es keine logische Schlussfolgerung. Meinungen haben nichts mit mathematischen Gegebenheiten zu tun. Und nun das grundsätzliche Problem: Deine Darlegung enthält eine nicht zutreffende Annahme: 'worum es bei der Frage des "tertium non datur" eigentlich geht' – a) ist das tertium non datur keine Frage, sondern eine Aussage b) geht es darum primär bei dieser Aussage nicht. Du willst eine Kontroverse über den Satz sehen, die in dieser Form nicht existiert. Inbesondere charakterisiert sich das tertium non datur nicht über diese hypothetische Kontroverse, auch wenn Intuitionisten das gerne so sehen. --Rtc 02:57, 13. Sep 2005 (CEST)

Nochmal: Hilbert war klug!

"Stimmt der zweite Punkt? Nicht in allen Logiken." - "Meinungen haben nichts mit mathematischen Gegebenheiten zu tun..."

Hallo Rtc, mir scheint, ich kann nun genauer erkennen, wo wir uns nicht verständigen können: Wir müssten unterscheiden zwischen "allen Logiken" (die so oder so sein können, aber nicht blödsinnig. A∧¬A ist keine Logik, das sieht jeder) und den "mathematischen Gegenbenheiten". Das hat Hilbert perfekt getan! - Wenn du dieser Frage (oder Aussage) mal nachgehst, kommen wir vielleicht besser zusammen. -- Peter Steinberg 00:55, 15. Sep 2005 (CEST)

Und Du willst jetzt eigentlich was genau im Bezug auf diesen Artikel? --Rtc 01:26, 15. Sep 2005 (CEST)

Absatz Intuitionismus eingefügt

Bitte breit diskutieren, und nicht *nur* Rtc PaCo 22:43, 11. Sep 2005 (CEST)

Mit solchen Änderungen verfällt das ganze nur auf das Niveau vergangener Zeiten, die längst ausdiskutiert sind. Im übrigen hast Du anders als angegeben was völlig anderes gemacht als etwas an die englische Wikipedia angepasst -- dort wird nur erwähnt, dass der Satz in der intuitionistischen Logik nicht gültig ist, was hier bereits durch den Hinweis auf Wahrheitswert abgedeckt ist. Ich bitte, die etablierte Version wiederherzustellen und nicht alle paar Monate erneut zu versuchen, den Artikel mit einer unverhältnismäßigen Darstellung des Intuitionismus anzureichern, insbesondere wenn sie Logik wie eine Weltanschauung erscheinen lässt, bei der es ein für oder ein wider gäbe, anstatt das ganze einfach als das zu beschreiben was es ist: eine Abgrenzung mehrerer Logiken, wo der satz mal gilt und mal nicht. --Rtc 00:45, 12. Sep 2005 (CEST)

Wir haben das ganze ja sehr ausführlich auf icq miteinander diskutiert. Die intuitionistische Kritik, ja, man *darf* in diesem Zusammenhang von Kritik sprechen, am Satz ist einschlägig. Einschlägige Kritik nicht äußern zu dürfen ist nicht neutral. Es ist sinnvoll, wenn andere als wir, Gunther, Peter St., Fuzzy, wer auch immer diskutieren, ob die Nennung der Kritik hier stehen bleiben darf. Goggle einfach mal mit "Brouwer Kritik Dritten" und Du siehst, dass nicht nur ich es bin, der die Kritik einschlägig findet. Das Kriterium der Nennung der Kritik *hier* ist, dass es *zum Wesentlichen des logischen Intuitionismus* gehört, dass der Satz v.a.Dr. kritisiert wird. Nicht jede Kritik an etwas soll beim Kritisierten Artikel hineingenommen werden. Aber diese fast 100 Jahre alte (seit 1908 mit großem Erfolg in Deutschland in den 1920er Jahren) einschlägige Kritik sollte (ich würde sogar sagen: muss) hier erwähnt werden.PaCo 07:31, 12. Sep 2005 (CEST)

Habe nochmal ein paar Typo-Fehler entfernt und den Absatz präzisiert. Hoffe er ist so jetzt OK.PaCo 10:36, 12. Sep 2005 (CEST)

Ein paar grundsätzliche Anmerkungen: Man kann das Verständnis von Sätzen oder Definitionen immer auf zwei Arten angehen: Entweder mit der Frage "was folgt daraus?" oder der Frage "was, wenn nicht?" Wenn es wie hier um die Grundlagen geht, ist die erste Frage nur sehr schwer zu erfassen, weil aus der Aussage selbst nur sehr wenig folgt ("welches der ZFC-Axiome ist für den Beweis des großen fermatschen Satzes besonders wichtig?" ist keine sinnvolle Frage). Dazu kommt in diesem konkreten Fall, dass vermutlich jeder, den man auf der Straße fragt, die Aussage Joe ist blond, oder Joe ist nicht blond als offensichtlich wahr ansehen wird; das Gefühl dafür, wann der Satz vom ausgeschlossenen Dritten verwendet wird, ist dementsprechend schwach ausgeprägt. Deshalb sollte sich der Artikel mMn eigentlich hauptsächlich damit befassen, inwiefern der Satz nicht "offensichtlich" ist oder unter welchen Umständen er sogar falsch sein könnte. Wirkliche "Kritik" gehört allerdings in den Philosophie-Abschnitt, denn sie bezieht sich ja auf die Wahrheit des Satzes und nicht auf seine Ableitbarkeit in irgendwelchen formalen Betrachtungen.

Konkret fehlen mir folgende Punkte:

• Eine Erklärung bzw. ein Verweis auf die "Axiome der Logik", die so ziemlich mysteriös bleiben.
• Eine Erklärung, worin sich der S.v.a.D. vom Prinzip der Zweiwertigkeit und vom Satz vom Widerspruch unterscheidet. Insbesondere die Ausformulierung des P.d.Z. in der Form, dass P entweder wahr oder falsch ist, ist im Beispiel nicht vom S.v.a.D. zu unterscheiden.
• Eine Abgrenzung zwischen "wahr" im philosophischen Sinne und "wahr" in einer booleschen Algebra o.ä.
• Wer einen Satz ablehnt, der aus irgendwelchen Axiomen folgt, muss auch eines der Axiome oder irgendwelche Schlussregeln ablehnen. Diese sollten genannt werden. In Wahrheitswert steht, dass $\neg \neg A\to A$ durch $A\land \neg A\to B$ ersetzt wird. Ist das der einzige Unterschied?

--Gunther 16:44, 12. Sep 2005 (CEST)

Zum letzten Punkt: Je nach Axiomatisierung. Es gibt Axiomatisierungen, da ist die Doppelnegationsbeseitigung (analog auch tertium non datur direkt, ist in gängigen Fällen äquivalent) explizit drin und unabhängig von den restlichen Axiomen, in diesem Fall reicht obige Maßnahme völlig aus.

Jedoch wird in der Praxis meist auf die elegante Axiomatisierung von Jan Łukasiewicz zurückgegriffen, weil die außer der Modus-Ponens-Regel [1] nur drei Axiome [2] [3] und [4] hat. Tertium non datur folgt hier nur mit allen drei Axiomen und der Definitionen für $\lor$ zusammen [5] – insofern kann man nicht mehr von einer Ablehnung eines bestimmten Axioms reden; es sind wohl Änderungen an allen drei Axiomen oder alternativ an der Definition notwendig, um daraus eine intuitionistische Logik zu erhalten.

--Rtc 00:09, 13. Sep 2005 (CEST)

Der erste Punkt über die Axiome ist ja oben nun abgedeckt. Zum zweiten Punkt: Das Prinzip der Zweiwertigkeit besagt, dass jeder Aussage, der ein Wahrheitswert zugeordnet wird, dieser entweder 'wahr' oder 'falsch' ist. Das spielt ausschließlich für die Semantik von logischen Formeln eine Rolle und hat keinerlei Bedeutung im Hinblick auf eine rein syntaktische formalistische Axiomatisierung! Wenn ich z.B. sage 'es regnet', dann besagt das Prinzip der Zweiwertigkeit, dass dieser Aussage semantisch einer der Wahrheitswerte 'wahr' oder 'falsch' zugeordnet wird, und nicht z.B. eine Menge von Zeitpunkten, an der diese Aussage richtig ist.

Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten besagt nun in diesem Zusammenhang, dass 'es regnet oder es regnet nicht' gültig ist, bei der zweiwertigen Semantik also, dass dies eine wahre Aussage ist (und keine falsche); bei der mit zeitpunkten, dass diese aussage zu *jedem* Zeitpunkt stimmt; der Aussage im Bezug auf die Semantik also die Menge *aller* Zeitpunkte zugeordnet wird.

Im Bezug auf eine boolesche Algebra $(A,\vee ,\wedge ,1,0)$ also:

• Satz vom ausgeschlossenen Dritten: $x\vee \neg x=1$
• Satz vom Widerspruch: $\neg (x\wedge \neg x)=1$
• Prinzip der Zweiwertigkeit: $|A|=2$

Der Satz vom Widerspruch sieht auf den ersten Blick aus als könnte er durch einige Umformungen in den Satz vom ausgeschlossenen Dritten umgeformt werden. Der Denkfehler zeigt sich bei genauer Betrachtung schnell – dazu würde die Doppelnegationsbeseitigungsregel benötigt: $\neg (x\wedge \neg x)\Rightarrow \neg x\vee \neg \neg x\not \Rightarrow \neg x\vee x\Rightarrow x\vee \neg x$

--Rtc 02:01, 13. Sep 2005 (CEST)

Der Punkt ist in etwa der folgende: Im alltäglichen Sprachverständnis gibt es keinen Unterschied zwischen einer Aussage "x" und der Aussage "x ist wahr", genausowenig zwischen "nicht x" und "x ist falsch". Da hilft auch das Regenbeispiel nicht wirklich weiter, weil mit "x" auch "x ist wahr" zeitlich unbestimmt ist, man kann sich also gewissermaßen aussuchen, wann man die Zweiwertigkeit verlässt. Es geht aber genau darum, den Unterschied zwischen "x oder nicht x" und "x ist wahr oder x ist falsch" zu erklären, in Formeln den Unterschied zwischen $(x\lor \neg x)=1$ und $(x=1)\lor (x=0)$; an den Formeln sieht man auch, dass zwei völlig verschiedene Bedeutungen von "oder" verwendet werden.--Gunther 02:25, 13. Sep 2005 (CEST)

Könnte man fast auch so darstellen. -- das Problem ist, dass Dein $(x=1)\lor (x=0)$ noch den degenerierten Fall $1=0$ zulässt (BTW, sorry für Postedits oben.) --Rtc 02:36, 13. Sep 2005 (CEST)

Das ist das geringste Problem. Dass wahr nicht dasselbe wie falsch ist, muss man dem Leser eher nicht erklären, und in der Formel kann man ja irgendsoein exotisches Symbol wie ${\dot {\lor }}$ für "entweder-oder" verwenden.--Gunther 02:47, 13. Sep 2005 (CEST)

Naja, wichtig ist es schon, weil darum gehts ja beim Prinzip der Zweiwertigkeit: dass es eben genau zwei sind, nicht mehr, und, was für diesen Fall wichtig ist, auch nicht weniger. Ich würde $\oplus$ für entweder-oder verwenden, Punkte übersieht man leicht. --Rtc 03:02, 13. Sep 2005 (CEST)

Vielleicht sind 1 und 0 überhaupt die falschen Symbole (hab das jetzt einfach aus dem Artikel für boolesche Algebren so übernommen), weil das sonst für einen unnötigen Bezug zu Zahlen bringt, was den Leser bestimmt unnötig verwirrt und diesbezüglich ja schon $1\neq 0$ implizierte. Stattdessen lieber 'unverdorbene' Symbole wie $\top$ und $\bot$ nehmen. --Rtc 03:07, 13. Sep 2005 (CEST)

Für den Laien ist klar, dass vernünftige Logiken nicht einwertig sind, und für die Unterscheidung zwischen S.v.a.D. und P.d.Z. kann man einwertige Logiken auch vergessen. Zu 0/1 oder anderen Symbolen: Ich hielte es für wichtiger, den Unterschied der beiden "oder" auch in Sprache zu fassen, Formeln können bei der Erklärung helfen, sollten sie aber nicht ersetzen, zumal das Symbol $\lor$ ja zweimal dasselbe ist. ($\oplus$ würde ich jedenfalls nicht als Symbol für "oder" erwarten.)--Gunther 01:37, 15. Sep 2005 (CEST)

Formale Korrektheit sollte schon gegeben sein, man sollte die Einwertigen nicht unter den Tisch fallen lassen, auch wenn Laien das voraussetzen. $\oplus$ ist ein recht gängiges Symbol für entweder-oder, weil diese logische Verknüpfung in zweiwertigen booleschen Algebren grade die Addition mod 2 darstellt. Klar sollte man auch verständlich erklären, was der Unterschied ist, nicht nur mit einer Symboltirade. --Rtc 02:08, 15. Sep 2005 (CEST)

Interpretationen

...sollte sich der Artikel mMn eigentlich hauptsächlich damit befassen, inwiefern der Satz nicht "offensichtlich" ist oder unter welchen Umständen er sogar falsch sein könnte. (Gunther)

Dem kann ich nur zustimmen. Deshalb habe ich einen Abschnitt aus einer Fassung vom 19. Juli wieder eingefügt und im Sinne von Gunthers Hinweis auf unterschiedliche Interpretationen überarbeitet. Ich finde, dass sich nun wieder erkennen lässt, worum es eigentlich geht.

Die Einleitung und der Abschnitt nach dem eingefügten Teil haben m.E. noch Schwächen (z.B. ist es zumindest sehr schief ausgedrückt, wenn man sagt, jener Satz über Joe lasse sich "mit den Axiomen der Logik ableiten" - er ist schlicht und einfach logisch wahr. Eh ich mich an solche Feinheiten mache, will ich aber abwarten, ob nicht alles wieder revertet wird. -- Peter Steinberg 21:24, 23. Sep 2005 (CEST)

Der Absatz

„G" kann nicht in der Weise bewiesen werden, dass für jede gerade Zahl g zwei Primzahlen p₁ und p₂ aufgeschrieben werden, deren Summe g ergibt. Denn es gibt ja unendlich viele gerade Zahlen. Nötig ist vielmehr ein Verfahren, das es erlaubt, in irgendeiner Weise aus der Zahl g, wie groß sie auch sei, die Zahlen p₁ und p₂ zu berechnen. Ein solches Verfahren ist bis heute aber nicht bekannt.

überzeugt mich nicht: Ein Beweis ist unabhängig von einem derartigen Verfahren. Wenn G wahr ist, dann funktioniert das Verfahren "Probiere alle Paare von Primzahlen kleiner als g durch".--Gunther 00:40, 24. Sep 2005 (CEST)

Wenn G wahr ist, kann ich zu einer beliebig vorgegebenen Zahl g in endlich vielen Schritten p₁ und p₂ finden. Ich kann mir diese Suche dann aber auch sparen, denn ich weiß ja schon, wie sie ausgeht. Es geht doch aber darum, herauszufinden ob G wahr ist. Und das kann man aber nicht für alle Zahlen durchprobieren, auch wenn die Probe für jede einzelne Zahl endlich ist. Bis 4*10¹⁴ hat man's ja schon probriert (wenn diese Angabe stimmt). Es bleiben aber noch verteufelt viele Zahlen übrig. -- Peter Steinberg 21:45, 24. Sep 2005 (CEST)

Die Verknüpfung von Algorithmus und Beweis ist halt irgendwie schief. Es kann nur dann einen Algorithmus geben, wenn G wahr ist, aber dann ist es auch trivial, einen anzugeben. Was hat das jetzt mit einem Beweis von G zu tun?--Gunther 22:00, 24. Sep 2005 (CEST)

Klar: Es kann nur dann einen Algorithmus geben, wenn G wahr ist. Aber wir wissen halt nicht, ob das zutrifft. Ein Beweis dafür wäre es, wenn wir einen solchen Algorithmus angeben könnten. (Das ist die Verknüpfung von Algorithmus und Beweis). Oder wie sonst soll ein Beweis aussehen? -- Peter Steinberg 23:22, 26. Sep 2005 (CEST)

Parallelbeispiel: G = "es gibt unendlich viele Primzahlen", Algorithmus = "probiere alle natürlichen Zahlen der Reihe nach durch", Beweis = "$\prod {\frac {p}{p-1}}=\infty$".--Gunther 23:26, 26. Sep 2005 (CEST)

"Probiere alle natürlichen Zahlen der Reihe nach durch" ist kein Algorithmus, sondern die Aufforderung, etwas Unmögliches zu tun, und beweist natürlich gar nichts. Im Übrigen sind die beiden Sätze schwer zu vergleichen: Die Goldbachsche Vermutung behauptet, dass eine gewisse Eigenschaft für jede Zahl gilt, "dein" Satz behauptet die Existenz von unendlich vielen Zahlen mit einer gewissen Eigenschaft.

Trotzdem: Ein Algorithmus ist ein Programm. Wirft man oben eine Zahl g rein, kommen unten zwei Zahlen p₁ und p₂ raus. "Den Beweis der Goldbachschen Vermutung führen" heißt: Den Algorithmus beschreiben und völlig zweifelsfrei darlegen, dass, welche gerade Zahl g auch immer "reingeworfen" wird, die produzierten Zahlen p₁ und p₂ immer Primzahlen sind und ihre Summe g ist. Bisher ist das leider nicht gelungen, aber wenn es irgendwann geht, geht es nur mit argumentieren, nicht mit probieren.

Zu "deinem" Satz: Die Beweisskizze mit dem Pi versteh ich nicht. Aber der Beweis, den ich kenne (und du sicher auch) ist ebenfalls ein Algorithmus: Man wirft oben eine lückenlose Folge von Primzahlen rein, und unten kommt eine Zahl raus, von der man einsehen kann: sie ist (a) eine Primzahl und (b) größer als alle "reingeworfenen" Zahlen. Und jeder, der sich genügend damit befasst hat, kann einsehen: Das geht nicht nur bis 4*10¹⁴, sondern tatsächlich immer. -- Peter Steinberg 00:33, 28. Sep 2005 (CEST)

Ok, ich korrigiere mich ein klein wenig: G = "zu jeder Zahl n gibt es eine größere Primzahl", Algorithmus = "probiere alle Zahlen größer als n der Reihe nach durch". Der Beweis sollte nur irgendein nichtkonstruktiver Beweis sein (im klassischen Sinne, also nicht konstruktiv = KM), konkret ist das die Aussage, dass das Produkt

${\frac {2}{2-1}}\cdot {\frac {3}{3-1}}\cdot {\frac {5}{5-1}}\cdots$

über alle Primzahlen gegen unendlich divergiert.--Gunther 00:48, 28. Sep 2005 (CEST)

Auch ich muss mich ein wenig korrigieren: Wenn ich von "Algorithmus" rede, denke ich immer nur an einen terminierten Algorithmus. Im Artikel ist ja auch nicht von "Algorithmus" die Rede, sondern von "ein(em) Verfahren, das es erlaubt, in irgendeiner Weise aus der Zahl g, wie groß sie auch sei, die Zahlen p1 und p2 zu berechnen." Das bedeutet, dass nach endlich vielen Schritten ein Ergebnis vorliegt. Dein Algorithmus "probiere alle Zahlen größer als n der Reihe nach durch" erfüllt diese Bedingung offenbar nicht.

Dagegen gibt es, wie oben angedeutet, einen so schönen, sogar für einen Teil meiner Sechstklässler einsichtigen (und obendrein terminierten) Algorithmus, der immer noch eine höhere Primzahl liefert!! - "Dein" Beweis, von dem du meinst, er sei nichtkonstruktiv, ist mir nicht vertraut. Ich habe zzt. nicht die Kapazität, dem weiter nachzugehen. Ich seh auch nicht so recht, was das zu unserem Lemma beiträgt.

Bitte sagt doch mal, ob es von deiner Seite noch schwerwiegende Bedenken gegen eine Formulierung in dem Artikel gibt. Andernfalls würde ich mich an die verbliebenden kleineren Probleme machen. (Den "blonden Joe" möchte ich z.B. durch eine "eingeschaltete Lampe" ersetzen, weil "blond oder nicht blond" bei meinen Schülerinnen zu endlosen Debatten führt und das "tertium non datur" in dieser Frage weitgehend nicht anerkannt ist...)

Im Übrigen hoffe ich, wenn ich mal die Luft dazu habe, auch endlich bei "Mengenlehre" weitermachen zu können... -- Peter Steinberg 00:36, 29. Sep 2005 (CEST)

Ja, ich habe noch das Problem, dass Du so tust, als bestünde jeder Beweis in der Angabe eines Algorithmus. Der oben genannte nichtkonstruktive Beweis beruht auf der Rechnung

$\prod _{p}{\frac {p}{p-1}}$

${}=\prod _{p}{\frac {1}{1-1/p}}$

${}=\prod _{p}{\Big (}1+{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p^{2}}}+\ldots {\Big )}$

${}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+\ldots$

liefert also keine konkreten Primzahlen, sondern nur indirekt die Aussage, dass es unendlich viele sein müssen.

Ähnlich dazu könnte es einen Beweis der goldbachschen Vermutung geben, der nichts mit einem Algorithmus zu tun hat.--Gunther 00:53, 29. Sep 2005 (CEST)

Man braucht nicht die Äquivalenz von Beweis und Algorithmus. Es reicht aus, mathematische Beweise zu haben, die kein zusätzliches *logisches* Prinzip benutzen. Da fallen zwar die Algorithmen drunter, aber es gibt keine Beschränkung auf Algorithmen. PaCo 12:38, 29. Sep 2005 (CEST)

@Gunther: Schönen Dank für deine Erklärung zu dem Beweis für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen. Die letzte Umformung versteh ich leider nicht. Mir scheint das aber auch nicht so wichtig, weil es ja um einen Beweis für die G'sche Vermutung geht und nicht um einen für die Unendlichkeit der... Dein Einwand läuft offenbar darauf hinaus, dass es doch auch einen "nicht konstruktiven" Beweis dafür geben könnte. Wenn dieser das tertium non datur benutzt, gerätst du in einen Zirkel: Du kannst die Zulässigkeit des tnd nicht mit dem tnd begründen. Vielleicht benutzt "dein" Beweis aber statt dessen den Schluss ¬¬A→A; soweit ich mich erinnere, ist der nicht gleichwertig mit dem tnd. Wenn ich dies nachgeschlagen habe, schreibe ich mal einen Artikel über den Satz vom doppelten Widerspruch. Falls mir nicht vorher der Spass vergeht...

Für die Goldbachsche Vermutung allerdings gibt es zzt. überhaupt keinen schlüssigen Beweis, und das ist doch das einzige, was hier zählt (da hat PaCo durchaus Recht).

Ehrlich gesagt, werde ich auch allmählich ein bisschen ungeduldig: Meine Formulierung des Artikels ist absolut lehrbuchmäßig (fast bedenklich nahe an Schütte), bestens belegt (die Einfügung von Hajo Keffer bestätigt das noch mal), und für Kenner der Materie altes Stroh... Warum also muss ich hier ewig und noch einmal argumentieren? - Können wir die Diskussion jetzt beenden, damit ich im Artikelraum weitermachen kann? -- Peter Steinberg 23:31, 3. Okt 2005 (CEST)

Deine Einstellung ist bedenklich. --Rtc 14:59, 4. Okt 2005 (CEST)

Ich habe den Satz, der mich stört, mal rausgeworfen. Der ist einfach in dieser Form falsch. Solange man sich nicht für die KM entschieden hat (und das ist an dieser Stelle des Textes definitiv nicht der Fall), ist ein Algorithmus nicht "nötig" für einen Beweis.--Gunther 23:58, 3. Okt 2005 (CEST)

Wenn ich mal einen Tip geben darf: Bitte kein Beispiel wie die Goldbachsche Vermutung nehmen, das nur von Intuitionisten akzeptiert wird. Stattdessen einfach ein Beispiel für einen Satz P wählen, wo klar ersichtlich ist, dass er auch in der klassischen Mathematik keinen Wahrheitswert hat, aber bei tertium non datur trotzdem $P\lor \neg P$ gilt. Beispielweise P = Kontinuumshypothese. Dann hören diese ständigen sinnlosen Diskussionen auf. --Rtc 14:58, 4. Okt 2005 (CEST)

Nachfrage

"Wer den Satz (oder das Prinzip) vom ausgeschlossenen Dritten ablehnt oder kritisiert, behauptet nicht notwendig, dass es etwas Drittes gibt, sondern er lehnt logische Schlüsse ab, bei denen man aus der Logik und nicht aus den Tatsachen über den jeweiligen wissenschaftlichen Gegenstand etwas für wahr oder existent hält. Eine solche Kritik wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts sehr polemisch geäußert." - Verstehe ich nicht. Wer hat solche Kritik vorgebracht? Warum ist das eine Kritik an LEM? Ca$e 17:27, 14. Jul 2006 (CEST)

Brouwer, wer sonst? --Rtc 20:12, 14. Jul 2006 (CEST)

Hi Ca$e, hi Rtc. Luitzen Egbertus Jan Brouwer kritisierte (übrigens begann das genau vor 100 Jahren) das axiomatische Vorgehen in der Mathematik. Relevant wird die Kritik besonders beim Streit um das so genannte Kontinuum der reellen Zahlen. Sind diese (analytisch-axiomatisch betrachtet in überabzählbarer Menge vorhanden oder nicht. Die konstruktive Mathematik geht nicht von einem Kontinuum aus. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten wird dabei eigentlich nur kritisch bei Verwendung von Quantoren. Brouwer kritisierte also Aussagen der Form:

Wenn für kein x gilt: nicht A(x), dann gilt für alle x: A(x)

Aber was ist LEM? Hat mit Lem nichts zu tun, oder?--PaCo 21:06, 14. Jul 2006 (CEST)

Law of the Excluded Middle --Rtc 21:08, 14. Jul 2006 (CEST)

Thx :)--PaCo 21:10, 14. Jul 2006 (CEST)

Brouwer

Der Artikel sagt, Brouwer habe Logikkalküle vorgestellt, in denen der Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht gelte. Ich dachte, Brouwer habe wider Kalküle und Formailisierung der Logik gestritten und deswegen nur sprachliche Argumente vorgestellt, die seinen Einspruch erhellen sollten. Kalküle kamen später, unter anderem mit Heyting. -- ZZ 19:31, 7. Mai 2007 (CEST)

Klingt nicht unplausibel. Wenn Du details weißt, scheu Dich nicht, zu korrigieren. --rtc 22:24, 7. Mai 2007 (CEST)

Stimmt. Klingt nicht unplausibel, ist aber falsch. Der Name Intuitionismus lädt zu dem Vorurteil ein.--PaCo 22:34, 7. Mai 2007 (CEST) Nachtrag: In der Zeit des ersten Weltkrieges gestaltete Brouwer eine Mengenlehre nach intuitionistischen Prinzipien. Seine Begründung der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten (1918/1919) ist eine technische Arbeit, frei von der Polemik seiner Dissertation, und versucht, auf einer konstruktiven Basis die Analysis zu fundieren; weitere derartige Arbeiten folgen und bauen auf dieser Studie auf. Es gibt übrigens den nach ihm benannten Brouwerkalkül. Es kann allerdings sein, dass der tatsächlich von Heyting ist.--PaCo 22:54, 7. Mai 2007 (CEST) google: "Brouwerscher Verband" führt zu weiteren Infos.--PaCo 23:01, 7. Mai 2007 (CEST)

Wenn Brouwer einen Kalkül in einem Werk veröffentlicht, das seinen Namen trägt - selbst wenn der Teil aus Heytings Feder stammt -, ist es abgehakt. Wieder was gelernt. -- ZZ 18:48, 8. Mai 2007 (CEST)

Was ist sind denn "einander widersprechende Gegensätze" - Logik-Newbie - aber ernst gemeint

Dachte immer der Gegesatz definiert sich gerade eben durch die konträre Beziehung, ist also automatisch "seinem Gegenüber entgegen gesetzt", und im Sinne der Aussagenlogik somit per Definition "seinem Beziehungspartner wiedersprechend". Also Falsch wenn A Wahr, und Wahr wenn A Falsch. So zu sagen das Komplement.

Will mich wirklich nicht wichtig machen, fand's nur grad lustig das selbst im Wiki "falsche Fehler" vorkommen :) Wahrschlich bin ich einfach pedantisch wenn ich über meinen sprachgebrauch nachdenke.

Genauso find ich es unverständlich warum es heißt

"von zwei einander widersprechenden Gegensätzen mindestens einer zutreffen muss"

Das würde ja bedeuten, dass es auch möglich ist, dass zwei sich widersprechende Gegensätze zutreffen können. Aber wenn sie sich schon widersprechen, wie können sie dann beide zutreffen? Es müsste doch eher heißen:

"von zwei einander widersprechenden Gegensätzen genau einer zutreffen muss"

Ich bitte darum dies aufzuklären. Danke im Voraus! (nicht signierter Beitrag von 129.187.87.10 (Diskussion) )

Ich versuche es mit einer Analoge: Der (deutsche) § 211 StGB verbietet Mord, er verbietet aber nicht Diebstahl. Folgt daraus, dass Diebstahl erlaubt ist? ;-) Viele Grüße, --GottschallCh 18:50, 17. Jul. 2008 (CEST)

Ei,ei,ei, diese Analogie ist aber total daneben. Es geht, um in diese Beispiel zu bleiben, um Mord oder nicht Mord, und sonst gar nichts. Im übrigen müsste es korrekt heissen: ..."von zwei einander widersprechenden Sätzen mindestens einer zutreffen muss". Viele Grüsse --81.62.140.176 09:08, 4. Mär. 2009 (CET)

Noch einmal ganz langsam lesen und mitdenken. --GottschallCh 00:02, 5. Mär. 2009 (CET)

Ich kenne noch das Gegensatzpaar: Raucher - Nichtraucher. Ist damit ein Säugling ein Nichtraucher? -- Room 608 20:02, 5. Mär. 2009 (CET)

Definieren wir einen "Raucher" als eine Person, die mehr oder weniger regelmäßig 'aktiv' Tabakwaren raucht. Dann können wir eine, die das nicht tut als "Nichtraucher" bezeichnen, einschließlich Säuglingen.

Es folgt nicht, dass Diebstahl erlaubt ist. Dennoch: eigene Analogie noch einmal ganz langsam lesen und mitdenken, und dann erläutern, was zu was genau analog sein soll. Nun zum Thema: Im Kontext der Satzes vom ausgeschlossenen Dritten geht es nicht um normative Eigenschaften, sondern darum, dass es unmöglich sei, das gleichzeitige Zutreffen eines Elementarsatzes und seines Gegenteils zu denken – als tertium non datur formuliert: A oder nicht-A. Dabei ist das 'oder' ein exklusives [das ist nicht richtig. M.S.], es gilt entweder das eine, oder das andere, nicht keines und auch nicht beides. Das ist im Rahmen des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten (= principium exclusi tertii, ≠ tertium non datur) schon aus historischen Gründen allemal korrekt. Daher trifft eben nicht mindestens eines zu, sondern genau eines. -- Morton Shumway 22:03, 7. Okt. 2009 (CEST)

"Im Kontext der Satzes vom ausgeschlossenen Dritten geht es nicht um normative Eigenschaften, sondern darum, dass es unmöglich sei [meine Hervorhebung], das gleichzeitige Zutreffen eines Elementarsatzes und seines Gegenteils zu denken" Nein, darum geht es beim Satz vom Widerspruch, nicht beim Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Natürlich kann man den Satz vom Widerspuch, wie Du ihn hier angegeben hast, leicht aus dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten unter zuhilfenahme weiterer Regeln relativ leicht herleiten, und da man das im Alltag ständig tut, ist es sehr natürlich und man merkt es fast nicht, aber prinzipiell ist es dann nicht mehr der Satz vom ausgeschlossenen Dritten und benötigt auch zwingend diese zusätzlichen Regeln, um den Schluss zu ziehen! Man versucht sich leider gerne, den Satz vom ausgeschlossenen Dritten klar zu machen, indem man ihn umformt, um ihn verständlicher zu machen, aber genau solche Umformungen sind auf dieser Ebene der Logik gefährlich. PS: Hier ist die Schlussfolge, die Du auf das Tertium non datur angewendet hast:

A ODER NICHT A ("tertium non datur", "für eine beliebige Aussage muss mindestens die Aussage selbst oder ihr Gegenteil gelten")

|- NICHT (NICHT (A ODER NICHT A))

|- NICHT ((NICHT A) UND (NICHT NICHT A))

|- NICHT ((NICHT A) UND A)

|- NICHT (A UND NICHT A) ("Satz vom Widerspruch", "es ist unmöglich, das gleichzeitige Zutreffen eines Elementarsatzes und seines Gegenteils zu denken")

Das sind also gleich vier Schlüsse, die keineswegs einfach mal so vorgenommen werden dürfen. --rtc 23:40, 8. Okt. 2009 (CEST)

Das ist richtig, ich habe allerdings nicht gesagt, dass meine Umschreibung dem S.v.a.D. entspricht, sondern worum es in seinem Kontext geht, um der Frage nach der Bedeutung von "einander widersprechenden Gegensätzen" entgegenzukommen. Davon abgesehen: finden Sie es im klassisch-aristotelischen Rahmen des principium exclusi tertii problematisch, das moderner formulierte "A oder nicht-A" als "es muss entweder die Aussage oder ihr Gegenteil/ihre Negation gelten" wiederzugeben? Bedeutet das 'mindestens', dass auch etwas anderes (Drittes) gelten könne? --Morton Shumway 16:17, 9. Okt. 2009 (CEST)

Ich halte es für falsch, "A oder nicht-A" als "es muss entweder die Aussage oder ihr Gegenteil/ihre Negation gelten" wiederzugeben, denn dies disambiguiert das mehrdeutige Wort "oder" genau in die falsche Richtung. Es handelt sich ja gerade nicht um ein exklusives Oder. tertium non datur sagt nur, dass "A oder nicht-A" in jedem Falle gültig ist, dass es also nicht sein kann, dass "A oder nicht-A" ungültig ist, aber etwa etwas drittes wie "vielleicht-A" sich als gültig erweist. Das Tertium non datur für sich genommen bekräftigt jedoch nicht etwa, dass "A und nicht-A" ungültig ist (auch wenn es in der klassischen Logik gültig ist), d.h. alleine besagt es nicht, dass zwei einander widersprechende Gegensätze unmöglich beide zutreffen können. PS: "es muss entweder die Aussage oder ihr Gegenteil/ihre Negation gelten" ist im wesentlichen die Verundung (Konjunktion (Logik)) von Tertium non datur und Satz vom Widerspruch; ist also eine viel stärkere Aussage als das Tertium non datur. --rtc 18:32, 9. Okt. 2009 (CEST)

Tatsächlich, das mit dem exklusiven oder müsste ich wohl korrigieren, da sich der entsprechende Umstand aus dem Satz des Widerspruchs ergibt. Aber man lernt ja zum Glück nie aus! Allerdings möchte ich nun nachfragen, wie ist Ihr "auch wenn das in der klassischen Logik so ist" hier zu verstehen? --Morton Shumway 12:41, 10. Okt. 2009 (CEST)

Sorry wegen der Verwirrung, ignoriere es einfach. Das ist ein Überbleibsel von einer früheren Version meines Beitrags und sollte nur betonen, dass "A und nicht-A" in der klassischen Logik natürlich gilt. --rtc 13:10, 10. Okt. 2009 (CEST)

Das Tertium non datur spricht von einem Dritten. Bei A oder Nicht- A sehe ich nur zwei. Da es gilt, betracchte ich es als viel schärfer (und spezieller) als das tertium non datur. Es wäre auch mal schön als Beispiel A=wahr und nicht-A=falsch einzusetzten und zu sehen was herauskommt, gerade da sieht man, dass nichts Drittes herauskommt, denn beim oder ist "oder beides" falsch, und A und nicht-A ist ebenso falsch, also gleich nicht-A. Was das Dritte sein soll belibt immer offen. Aristoteles hätte ja auch sagen können A oder nicht-A, ein Drittes ist falsch. Er sagte aber wohl eher ein Drittes existiert nicht. Jetzt sollte man sich überlegen was das beides bedeutet. -- Room 608 15:52, 10. Okt. 2009 (CEST)

Du redest so wirr, dass es fast nicht möglich ist, zu verstehen, was Du zu sagen versuchst. Im übrigen wiederhole ich nochmals gerne die genauere Erklärung von oben dazu, was mit dem Dritten gemeint ist: "tertium non datur sagt [..], dass 'A oder nicht-A' in jedem Falle gültig ist, dass es also nicht sein kann, dass 'A oder nicht-A' ungültig ist, aber etwa etwas drittes wie 'vielleicht-A' sich als gültig erweist." Und man könnte auch sagen: Das Tertium non Datur besagt, dass es nicht sein kann, dass sich 'A oder nicht-A' als ungültig erweist, aber etwa 'A oder nicht-A oder vielleicht-A' als gültig. 'vielleicht-A' wäre hier 'das Dritte'. Das Tertium non datur ist prinzipiell mit der Aussage vereinbar, dass sowohl A als auch Nicht-A zugleich gelten kann, auch wenn diese Aussage in der klassischen Logik nicht gilt. --rtc 20:01, 10. Okt. 2009 (CEST)

Inwiefern? Wenn Du mir sagst, ob das Falsche ein nichtexistentes Element (wenn Du so willst etwas Nichtexistierendes) der leeren Menge ist oder ein Widerspruch, Aristoteles sagt so, das Dritte existiere nicht, Ihr sagt es sei ein Widerspruch. Sich darüber klar werden womit man umgeht, ist nötig sobald man in einem formalen logischen System mit Inhalt umgehen will. Es hat sonst keine Bedeutung. Aristoteles betrieb im allgemeinen Begrifflogik, in der wahr und falsch keine besondere Bedeutung hatten, wie es in einer Urteilslogik der Fall ist. Wenn Ihr Aristoteles interpretieren möchtet, solltet Ihr versuchen Euch in seinem logischem System formal korrekt auszudrücken und nicht in einem modernen, das Aristoteles nicht kannte. Da sein System nachweislich einwandfrei (mit Erweiterungen) funktionert, kann man ihm nicht Fehler vorhalten, die aus einem ganz anderen logischem System resultieren. -- Room 608 20:19, 10. Okt. 2009 (CEST)

Wo sage ich, "das Dritte" sei ein Widerspruch oder irgendetwas auch nur entfernt danach klingendes? Aristoteles sagt, dass es nur zwei Möglichkeiten gibt, die eine ist A, die andere ist Nicht-A. Es ist nicht der Fall, dass es drei Möglichkeiten gibt, etwa A, Nicht-A und Mittles-zwischen-A-und-nicht-a, oder sogar vier oder fünf etc. wie dreiviertel-zwischen-A-und-nicht-A usw. Wenn wir nun sagen, wir lassen den Widerspruch zu, d.h. "A und Nicht-A" soll gelten (was der Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht verbietet), dann ist dieser Widerspruch noch nicht automatisch ein Mittleres oder Drittes. Das wäre er nur, wenn weder A noch Nicht-A alleine gelten würden. Die Begriffe Wahr und Falsch bringst Du hier ins Spiel, nicht ich. Ich verstehe nicht, was Du mit "formal korrekt ausdrücken" meinst. Es hält auch Aristoteles keiner einen Fehler vor ebenso wenig wie hier aus irgendeinem anderen System irgendwelche angeblichen logischen Fehler resultieren. Und bitte lerne Dich verständlicher auszudrücken. Sag mal bitte klar, was Du eigentlich willst. --rtc 21:48, 10. Okt. 2009 (CEST)

Kurz gesagt Aristoteles kommt anders zu seinem Tertium non datur: Aus alle a sind b, und alle a sind nicht-b folgt a ist widersprüchlich oder 0 oder falsch in Eurem Sinne, das kommt sicher daher, dass "b und nicht-b" falsch ist. Man kann es bei ihm ableiten. Er sagt so, dass b und nicht-b nicht zugleich gelten. Es ist dabei ganz irrelevant, ob a oder b oder nicht-b wahr sind. -- Room 608 20:30, 10. Okt. 2009 (CEST)

In diesem Artikel geht es rein um den den Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Es geht nicht darum, was man mit ihm unter Zuhilfenahme eines Systems, d.h. unter Zuhilfenahme weiterer Schlussregeln schließen kann. Insbesondere können wir nicht schließen, dass "b und nicht-b" irgendwie 0 oder falsch sei ("in unserem Sinne" schon gar nicht, niemand von "uns" außer Dir hat hier irgendwie den Begriff falsch oder 0 eingeführt, das bist Du, und Du unterstellst mir das nur!) Er sagt nicht, dass b und nicht-b nicht zugleich gelten. Das ist nur das Resultat der Anwendung von (oft natürlich und alltäglich erscheinenden) Regeln (deren Anwendung man oft gar nicht mal mehr bemerkt). --rtc 21:48, 10. Okt. 2009 (CEST)

Formal: $\vdash ((S\to P)\lor (S\to \neg P))\land \neg (S\to (P\land \neg P))$

Vielleicht ist es ohne S schöner: $\vdash (P\lor \neg P)\land \neg (P\land \neg P)$

Der hintere Zusatz ist trivialerweise wahr oder gleich 1, und nach den booleschen Regeln kann man ihn weglassen, wobei dann nur noch Euer Satz dasteht. Die Frage ist doch jetzt, warum Aristoteles ihn nicht gleich weggelassen hat. Das ist nämlich der Satz vom Widerspruch, der Vorraussetzung für das Tertium non datur ist. Wo ist er in der Aussagenlogik versteckt? In der Zweiwertigkeit???-- Room 608 20:47, 10. Okt. 2009 (CEST)

Auf dem Gebiet der elementaren Logik sind keine Umformungen nach angeblich "trivialerweise" geltenden Regeln oder Umformungen "nach den booleschen Regeln" oder irgendwelchen sonstigen Regeln erlaubt! Genauso könnte ich ja sagen, dass ich den ersten Teil oder gleich das Ganze weglassen kann und "gleich 1" setzen kann. Der Satz vom Widerspruch ist keine Voraussetzung für das Tertium non datur. Tertium non datur und Satz vom Widerspruch sind unabhängig. Es sind logische Systeme konstruierbar, in denen keiner der beiden Sätze gilt; in denen der eine oder der andere gilt, aber nicht beide (Intuitionistische bzw. vermutlich parakonsistente logik); und in denen beide gelten (klassische Logik). --rtc 21:48, 10. Okt. 2009 (CEST)

Das Wörterbuch der philosophischen Begriffe behauptet übrigens auch fälschlicherweise: "es können nicht beide Urteile zugleich und in derselben Beziehung wahr [meine Hervorhebung] oder falsch sein. Der Satz folgt unmittelbar [meine Hervorhebung] aus dem Satze des Widerspruches (s. d.)." --rtc 22:02, 10. Okt. 2009 (CEST)

Jetzt drückst Du Dich aber unklar aus, in welchem System bewegst Du Dich bevorzugt? In intuitionistischen Logiken gilt die doppelte Verneinung nicht: $A\not =\neg \neg A$. Die erforderlichen Voraussetzungen haben auch eine Fachnamen. Schließlich geht es doch darum Aristoteles einen Fehler nachzuweisen oder nicht. Das geht nur nicht auch aus heutiger "moderner" aussagenlogischer Sicht. In deinem Sinne ist der Satz eine Ableitung aus dem Satz vom Widerspruch, allerdings nur mit vollständiger Verneinung. Man kann, natürlich nicht so wie ich, verschiedene Systeme auf ihrer gemeinsamen Grundlage der booleschen Algebra vergleichen, und dabei punktgenau fetstellen, wo Veränderungen zu anderen Systemen vorliegen. In Deinem Webbeitrag etp steht es ja auch oben, ein Drittes ist nicht möglich, das heißt, wenn der Satz gilt ist a nicht möglich, also widersprüchlich oder falsch. Hat sich Aristoteles in genau dieser Weise festgelegt? -- Room 608 00:01, 11. Okt. 2009 (CEST)

Du redest total wirres Zeug. Was hat das alles mit dem zu tun, was ich in dem von Dir beantworteten Beitrag geschrieben habe? Wo habe ich irgendetwas geschreiben

• von einem System, in dem ich mich bewege
• von einer Doppelten Verneinung (und wozu zauberst Du plötzlich Symbole wie das Ungleichheitsymbol hervor, von denen weder vorher noch nachher die Rede war und ist, und was willst Du damit ausdrücken?)
• von Voraussetzungen
• vom angeblichen Ziel, Aristoteles einen Fehler nachzuweisen
• von einer angeblichen in-meinem-Sinne-Ableitung aus dem Satz vom Widerspruch

Verschiedene Systeme haben keine gemeinsame Grundlage, schon gar nicht die boolesche Algebra, aber ich sehe auch bei dieser Behauptunge keinen Zusammenhang zu dem, was ich geschrieben habe. "das heißt, wenn der Satz gilt ist a nicht möglich, also widersprüchlich oder falsch"??? Was soll diese wirre Aussage bedeuten? Drück Dich klar aus, sag, was Du eigentlich willst und bezieh Dich bitte auf etwas gesagtes, wenn nötig mit Zitaten aus meinen Beiträgen. --rtc 00:27, 11. Okt. 2009 (CEST)

Schlicht, bei P oder nicht-P wäre doch auch (P und nicht-P) eine Lösung, die aber nicht geht, weil sie der sich "widersprechende Gegensatz" ist, natürlich nur mit vollständiger Negation. Im Sinne von Aristoteles ist die Formulierung unvollständig und unangemessen, da Aristoteles solche Sätze nicht ableiten konnte, die Möglichkeiten, die er hätte erreichen können, wäre eben obiger Satz mit dem Zusatz, dass die Lösung nicht darin besteht eine Lösung mit ihrem Gegenteil (dem Fehler) zusammenzuwerfen also gerade nicht-(P und nicht-P). Das geht nur bei zwei Fehlern, die bleiben falsch, was ja richtig ist. Die richtige Lösung und die falsche Lösung ergeben die falsche Lösung, das ist auch in der Mathematik so. -- Room 608 02:40, 11. Okt. 2009 (CEST)

Tut mir leid, ich habe mich redlich bemüht, aber was Du hier wieder schreibst, ist wieder komplett unverständliches wirres Zeug. Bitte gib durch wörtliche Zitate aus meinen Beiträgen an, worauf Du Dich beziehst. Wieder wirfst Du Wörter um Dich, die hier zum ersten mal auftreten ("Lösung") --rtc 03:24, 11. Okt. 2009 (CEST)

Warum steht außerdem in der Einleitung exclusi, was in der Übersetzung davon nicht auftaucht? Übrigens sagt das Zweiwertigkeitsprinzip nicht. dass eine Aussage wahr ist oder falsch, das kommt daher, dass sie ein Urteil ist und die Aussage A dasselbe bedeutet wie A ist wahr, das wußte sogar schon Leibniz, die Zweiwertigkeit sagt aus, dass eine Aussage einen der zwei Werte wahr oder falsch annimmt und es nur diese zwei Werte gibt. Die klassische Logik hat diesen Satz auch nicht aufgestellt, also was war los, als er noch nicht trivial folgte, wie war er einsichtig? Aristoteles hat zuerst den Satz vom Widerspruch aufgestellt, damit läßt sich das t.n.d. ableiten, warum ist die Sichtweise heute eine andere? -- Room 608 02:57, 11. Okt. 2009 (CEST)

"Warum steht außerdem in der Einleitung exclusi, was in der Übersetzung davon nicht auftaucht?" das ging versehentlich beim editieren verloren, habe es wiederhergestellt. "Übrigens sagt das Zweiwertigkeitsprinzip nicht. dass eine Aussage wahr ist oder falsch" Das wird auch nicht behauptet. Es wird behauptet, dass jede Aussage *entweder* wahr oder falsch ist. "die Zweiwertigkeit sagt aus, dass eine Aussage einen der zwei Werte wahr oder falsch annimmt und es nur diese zwei Werte gibt." Das ist das gleiche wie "dass jede Aussage *entweder* wahr oder falsch ist". "die Aussage A dasselbe bedeutet wie A ist wahr, das wußte sogar schon Leibniz" Das Prinzip der Zweiwertigkeit äußert sich dazu nicht; das ist eine Frage der Wahrheitstheorie, und die von Dir hier behauptete Redundanztheorie ist nicht die einzige Wahrheitstheorie. "Die klassische Logik hat diesen Satz auch nicht aufgestellt" Das Zweiwertigkeitsprinzip ist kein Satz der Logik, sondern ein semantisches Prinzip. Das Zweiwertigkeitsprinzip sagt mir, wie die Sätze der Logik zu interpretieren sind. "Die klassische Logik hat diesen Satz auch nicht aufgestellt, also was war los, als er noch nicht trivial folgte, wie war er einsichtig?" da er kein Satz ist, "folgt" auch heute nicht. Er ist auch nicht "einsichtig", da die Sätze der klassischen Logik grundsätzlich auch mehrwertig interpretiert werden können. "Aristoteles hat zuerst den Satz vom Widerspruch aufgestellt, damit läßt sich das t.n.d. ableiten, warum ist die Sichtweise heute eine andere?" Die Sichtweise ist heute keine andere. Mithilfe der Schlussregeln der klassischen Logik lässt sich auch heute noch das t.n.d. aus dem Satz vom Widerspruch ableiten (und umgekehrt). Es geht aber hier in diesem Artikel grundsätzlich darum, was rein das t.n.d. aussagt, nicht, was ich daraus möglicherweise unter zuhilfenahme noch weiterer Regeln herleiten kann. --rtc 03:24, 11. Okt. 2009 (CEST)

Die Absorptionsgesetze meinte ich. Der Zusammenhnag mit der Negation wird aber nicht herausgehoben. Sie hätten ja auch mal einen fundierten eigenen Artikel Absorption (Logik) verdient. -- Room 608 03:13, 11. Okt. 2009 (CEST)

"Die Absorptionsgesetze meinte ich." Wo? Worauf beziehst Du Dich? --rtc 03:25, 11. Okt. 2009 (CEST)

Bekanntes aus der Verbandstheorie. -- Room 608 12:24, 11. Okt. 2009 (CEST)

Schön, aber worauf in der vorangegangenen Diskussion beziehst Du Dich? --rtc 13:30, 11. Okt. 2009 (CEST)

Auf die Verwirrung in der Einleitung. Entweder man macht darauf aufmerksam, dass die Einleitung das Tertium non datur allein ais Sicht der klassischen Logik beschreibt, und weist den Leser darauf hin, dass er dann selber wissen muss, was er damit anfängt. Ich bin der Meinung, dass man den gesamten Einleitungstext ohne Schaden löschen kann, auch weil es ein wiki ist. Oder man beschreibt den Satz in seiner historischen Entwicklung, jeweils mit den zeitgemäßen Mitteln, und endet mit der Sicht der klassischen Logik heute, ohne das zu bewerten. Und dann schreibt man den Satz ganz formal in der Aussagenlogik hin, erläutert die Vorgehensweise und weist dabei darauf hin, dass der Logik dann noch eine Bedeutung zugeordnet werden muss, weil sie selbst keine liefert. Das kann man dann auch machen wie es heute üblich ist. Falls es verrschiedene Sichtweisen (dreiwertige Logik, Modallogik, Begriffslogik mit Allgemeinbegriffen, Logik mit unvollständiger Negation also intuitionistische Logik, etc.) gibt kann man die angeben. Das Ganze hätte den Vorteil, dass man das Thema immer aktualiseren kann. -- Room 608 09:27, 12. Okt. 2009 (CEST) Hier steht etwas über den mittelalterlichen Nominalismus-Realismus-Streit [6], der ein schönes Beispiel abgibt, wie sich Bedeutungen umkehren können, weshalb bei historischen Begriffen Genauigkeit gefragt ist. In dem anderen Artikel wird erklärt man könne diese Probleme durch Explikation wertfrei klarstellen, was ich nicht glaube. -- Room 608 09:48, 12. Okt. 2009 (CEST)

Ein Lösung für das Problem, modernen Logiken, gleichzeitig aber auch dem klassisch-philosophischen Kontext gerecht zu werden, habe ich unten vorgeschlagen : "Principium exclusi tertii vs. tertium non datur" --Morton Shumway 12:45, 12. Okt. 2009 (CEST)

Niemand hält Dich davon ab, einen Abschnitt über den "Satz in seiner historischen Entwicklung" zu schreiben. Die Einleitung halte ich in der aktuellen Fassung jedoch für in Ordnung. Nur aus sicht der Klassischen Logik ist sie gerade nicht geschrieben; sie verwendet nicht mehr an Interpretation als für den Satz nötig ist und wie sie für alle Systeme gilt, in denen dieser Satz gilt. --rtc 20:30, 12. Okt. 2009 (CEST)

Zweiwertige Logik ohne Satz vom ausgeschlossenen Dritten

Im Artikel wird behauptet, es gäbe zweiwertige Logiken, in der der Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht gilt. Hat jemand ein Beispiel dafür? --Tillmo 16:21, 22. Mai 2008 (CEST)

Wir können das Zweiwertigkeitsprinzip akzeptieren, ohne gleichzeitig den S.v.a.D. akzeptieren zu müssen, da das zweite nicht aus dem ersten folgen muss, je nachdem, welche Kriterien wir für die Akzeptanz logischer Sätze haben (vgl. den Anschnitt zum Intuitionismus ("Ablehnung"). -- Morton Shumway 22:02, 7. Okt. 2009 (CEST)

Principium exclusi tertii vs. tertium non datur

In der "Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie" (Hg. Mittelstraß) weist Kuno Lorenz unter den Lemmata "tertium non datur" und "principium exclusi tertii" ausdrücklich auf deren Unterschied hin. Entscheidend ist, dass das von Aristoteles stammende p.e.t. ("es ist unmöglich, dass es zwischen kontradiktorischen Urteilen ein Mittleres gibt" (Met. Γ 7.1011b23f.)) außerdem noch der Wahrheitstafeln für Konjunktion und Negation bedarf, um dem t.n.d. zu entsprechen, da dem historischen Kontext des p.e.t. explizite Definitionen der logischen Partikel 'und' und 'nicht' fehlen.

In diesem Zusammenhang ist auch zu beachten, dass p.e.t. = "Satz vom ausgeschlossenen Dritten" (im Gegensatz zum einführenden Abschnitt des Artikels) und t.n.d. = "ein Drittes gibt es nicht".

Problematisch finde ich auch den einleitenden Satz: "dass für eine beliebige Aussage mindestens die Aussage selbst oder ihr Gegenteil gelten muss", da es nicht um die Geltung der Aussage für sich selbst, sondern um ihren Wahrheitswert geht. Mir scheint, dass im Zusammenhang mit Rtcs Hinweis, dass es mehrwertige Logiken gibt, für die das t.n.d. gilt, versucht wurde, das p.e.t. ohne Bezug auf das Zweiwertigkeitsprinzip zu erläutern. Das erschwert das Verständnis unnötig. Tatsächlich ist es so, dass im Rahmen der klassischen, heißt hier: an die Aristotelische anschließenden, Logik (unter Einschränkung auf Vergangenes und Gegenwärtiges, sowie Elementarsätze) das p.e.t. eben doch mit dem Zweiwertigkeitsprinzip zusammenhängt und es unproblematisch ist, es als z.B. "entweder gilt eine Aussage oder die ihr kontradiktorische Aussage" wiederzugeben.

Soll über diese unbedingt zu berücksichtigende historische Sachlage hinausgegangen werden, empfiehlt sich vielleicht ein separater Artikel für das t.n.d., was aus historischer, philosophischer wie auch logischer Perspektive zu rechtfertigen ist.

-- Morton Shumway 21:29, 7. Okt. 2009 (CEST)

Ich hatte das schon mal dagelegt, es wurde aber gelöscht. Ein Problem ist, dass mit unserer heutigen Sichtweise die Geschichte gedeutet wird, und dort Fehler entdeckt werden, die aus der Sichtweise der Alten keine waren. Zuerst hat Aristoteles Begriffslogik betrieben und keine Urteilslogik. Dass immer die Zweiwertigkeit als Erklärung herhalten muss, liegt daran, dass heute nur noch ein logisches System verbreitet ist, die zweiwertige Aussagen- und Prädikatenlogik ist aber eine angewandte, es existiert der Begriff „wahr“ wirklich, wobei bei der Begriffslogik diese Voraussetzung nicht sicher ist. Aus dieser bestimmteren Voraussetzung folgen einfach Sätze, die bei Aristoteles und Nachfolgern nicht folgen, also kann er mit solchen Sätzen zu keinen Widersprüchen kommen. Außerdem ist das ganze auch wissenschaftlich erledigt und gar nicht das Problem zu dem es hochstilisiert wird, denn die Frage ist nicht richtig gestellt und in einem Begriffslogiksystem ist dieser Satz sogar ableitbar. -- Room 608 08:49, 8. Okt. 2009 (CEST)

Die Partikel „und“ und „nicht“ hat Leibniz definiert, dessen Fehler allerdings erst 1975 korrigiert wurden. Die Scholastik hat ihre Begriffslogik nie über die Syllogistik hinausgebracht.

Es gibt ein Axiom der Urteilslogik, das besagt, dass „die Aussage“ und „die Aussage ist wahr“ dasselbe sind: In Zeichen P = (P = 1). -- Room 608 09:00, 8. Okt. 2009 (CEST)

Auch wenn wir nur die Logiksysteme betrachten, bei denen das Prinzip der Zweiwertigkeit gilt, scheint es nicht zwangsläufig richtig zu sein, dass das Tertium non Datur in jedem Fall mit der stärkeren Aussage "entweder gilt eine Aussage oder die ihr kontradiktorische Aussage" (d.h. mit dem exklusiven Oder) gleichgesetzt werden muss. So sind durchaus zweiwertige Logiksysteme denkbar, in denen zwar das Tertium non datur gilt, nicht aber die stärkere Aussage "entweder gilt eine Aussage oder die ihr kontradiktorische Aussage". Ich vermute, dass ein solcher Fall bei parakonsistenten zweiwertigen Logiken sogar tatsächlich vorliegt. --rtc 18:59, 9. Okt. 2009 (CEST)

Ich denke, das ist ein weiterer Grund, um zwischen modernen und klassischen Ansätzen zu unterscheiden. Die Grundaxiome stehen in der klassich-aristotelischen Logik in engem Zusammenhang. Eure DIskussion oben zeigt, dass das nicht unbedingt geteilt wird bzw. klar ist. Der Satz des Widerspruchs kann in mehreren Hinsichten eine Bedeutung für den S.v.a.D. haben. Die Axiome sind nicht unabhängig voneinander. --Morton Shumway 12:53, 12. Okt. 2009 (CEST)

Es gibt eine zweiwertige Begriffslogik, in der der Satz vom ausgeschlossenen Dritten ableitbar ist, und aus Falschem alles, aber nicht in der oben genannten Form darstellbar. Ich sage es noch mal, es ist nicht die Zweiwertigkeit die Voraussetzung für diesen Satz in dieser Form, sondern die Art der Logik, eben eine Urteilslogik. Da bei Aristoteles bis ins 19. Jh, die Urteilslogik gegenüber der Begriffslogik eine untergeordnete Rolle spielte, muss man für diese Zeit diesen Satz anders plausibel darstellen, erst nach Frege, steht er in Eurer modernen Form fest. Die Darstellung lässt sich aber kaum umgangssprachlich verwirklichen, wenn ich (p oder nicht-p) und nicht-(p und nicht-p) ausprechen will, wer kann schon Klammern aussprechen.

Schließlich anhand Eurer Wahrheitstafeln könnt Ihr Euch überzeugen, dass nicht(p und nicht-p) wahr, also 1 ist, somit haben wir (p und nicht-p) und 1 was zu (p und nicht-p) wird. Wenn (p und nicht-p) flasch ist wird auch voriges falsch und wenn (p und nicht-p) whar ist bleibt voriges ebenso wahr. DIe Frage ist wieso geht nicht-(p und nicht-p) verloren. Besser ist die Darstellung aus s ist p und s ist nicht-p folgt s ist falsch. Wenn das falsch ist, ist auch s ist p und nicht-p falsch. Die Negation von p und nicht-p ist aber gerade nicht-p oder p, also Eurer Satz, als gültiges Subjekt käme dann aber nicht-s, das dann wahr ist nur in Frage. Das setzt wieder die vollständige Negation voraus, nämlich dass nicht-(nicht-s) gleich s ist. Dass der Satz nun bei Euch auch ohne vorausgestztes s oder nicht-s gilt ist die Besonderheit der Urteilslogik, in der etwas ohne logische Folgerungsbeziehung dennoch eine Aussage ist. -- Room 608 14:12, 12. Okt. 2009 (CEST)

"Schließlich anhand Eurer Wahrheitstafeln könnt Ihr Euch überzeugen, dass nicht(p und nicht-p) wahr, also 1 ist" Nein; Wahrheitstafeln setzen bereits eine Semantik voraus. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten setzt jedoch keine bestimmte Semantik voraus. Er enthält auch gar nicht das Symbol "und"; der Satz vom ausgeschlossenen dritten kann also in Systemen gelten, wo dieses Symbol gar nicht existiert oder etwas völlig anderes bedeutet als in der klassischen Logik. "Das setzt wieder die vollständige Negation voraus, nämlich dass nicht-(nicht-s) gleich s ist." Das auch, aber das kann man nicht voraussetzen. Ich denke, es war schon immer so, dass, damit etwas eine Aussage ist, eine wie auch immer geartete logische Folgerungsbeziehung in keinster Weise notwendig ist. --rtc 20:33, 12. Okt. 2009 (CEST)

Wahrheitstafeln setzen überhaupt keine Semantik voraus. Sie sind sogar eine kombinatorische Spielerei. Schließlich sollte doch jede Logik primär vom Inhalt abstrahieren und nur Beziehungen aufzeigen. Jeder Rechner, der nichts von ihnen versteht, kann mit ihnen umgehen, es sei denn, es gibt schon den Rechner, der eine Semantik braucht, weil er mir eine Bedeutung mitteilen will. Wir bleiben bei unterschiedlichen Explikationen, die sich nicht decken werden.

Die alten Systeme (Aristoteles, Leibniz, Boole, Schröder) sind untersucht und teils vervollständigt worden, also kann man schon umformen und den modernen Zeichenvorrat nutzen.

Die Negation ist glaube ich sogar in den Axiomen drin.

Die Aussagenlogik ist doch tautologich, also kommen keine falschen Aussagen vor, wie die darin auch aussehen. Aber Folgern will ich schließlich schon, ich gehe schließlich mit irgendwelchen Voraussetzungen eines Problems in den Formalismus hinein und sehe, ob das, was herauskommt, meinen Erwartungen entspricht, wenn nicht, korrigiere ich meine Erwartungen.

P.S.: Falls Du studierst, brauchst Du meinen Standpunkt gar nicht zu widerlegen, er wird im Studium nicht vorkommen, und falls Du sogar etwas davon gebrauchen wolltest, wird er Dir sicherlich großen Ärger einbringen. Und entschuldige das viele Geschwafel. -- Room 608 23:25, 12. Okt. 2009 (CEST)

Leider kann ich nicht nachvollziehen, inwiefern Ihre Beiträge auf meine Fragen bzw. Vorschläge bezogen sind. Ich bitte um Aufklärung! Zum Thema: Dennoch stimmt, dass der Satz Nicht (A und nicht-A) wahr ist, er ist immer wahr und nie falsch, insofern eine Tautologie. Fragen wir aber genauer: Spreche ich von der allgemeinen Form einer Aussage (bei der ich also für A einsetzen kann, was ich will), oder spreche ich von dem, was die Wahrheit dieser Aussage gewährleistet? Und für den letzteren und hier interessanteren Fall habe ich nun zwei Möglichkeiten: entweder, ich versuche es wieder mit meiner Logik, dann habe ich allerdings ein semantisches Problem! Warum? Weil es problematisch ist, mit einem Kalkül über dieses Kalkül selbst zu sprechen, anders ausgedrückt, in einer Sprache kann nicht ihre Semantik besprochen werden (da gibt es dann wohlgemerkt verschiedene Lösungsangebote). --Morton Shumway 00:59, 13. Okt. 2009 (CEST)

Die allgemeine Form der Aussage: Genau davon spreche ich. Du hast Formen der Aussage, in die Du einsetzen kannst, was Du willst, die Aritsoteles nicht bilden konnte. Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten. Es gibt Sätze von Aristoteles, die er in dieser Form als Aussage hätte bilden können und es gibt Sätze die er nicht hätte bilden können, so zum Beipiel diese Form des t.n.d.

Richtig, genau wie ich im ersten Beitrag dieses Abschnitts sagte. --Morton Shumway 01:01, 13. Okt. 2009 (CEST)

Beispiel: Barbara: Alle a sind b und alle b sind c, also sind alle a c.

$a\to b,b\to c\vdash a\to b$ Ist für mich dasselbe. Das haben beide.

Anderes Beispiel: Subalternationen sind in beiden nicht dasselbe, Aristotels braucht Existenzvoraussetzungen.

Mit einem Kalkül üner ihn zu sprechen ist eine Metaebene des Kalküls und liefert überhaupt keine Semantik, sowenig, wie der Kalkül selbst. -- Room 608

Die logischen Grundaxiome – Satz der Identität, Satz vom (verbotenen) Widerspruch, Satz vom ausgeschlossenen Dritten – stellen ja gerade die Bedingungen für das Kalkül dar. Ich will also den Satz der Identität beweisen: A = A. Ist das ein Beweis? Nein, allerdings: die Wahrheit der Aussage A = A beruht auf dem Satz der Identität. Ich muss Identität voraussetzen (wohlgemerkt: klassisch-aristotelischer Kontext), hier allerdings als Eigenschaft des Seins, nicht als Eigenschaft des Denkens (der Logik). Anders ausgedrückt, wenn mein Gedanke A = A nicht unter der Bedingung stattfände, dass dieses A auch unter anderen Bedingungen dieses A wäre, dann hätten wir ein großes Problem (nicht: unter allen Bedingungen, nicht zu vergessen die sich hier schon empfehlende Unterscheidung von Substanz und Akzidenz). Als nächstes will ich den Satz des Widerspruchs beweisen: Nicht (A und nicht-A). Ich erkenne, dass diese Satz wahr, auch wieder unabhängig von was A hier sein soll, also tautologisch ist … aber wieso? Wegen: des Satzes des Widerspruchs … es ist unmöglich, dass eine Eigenschaft einer Sache gleichzeitig zugesprochen und nicht zugesprochen wird. Aristoteles ist also Logiker, oder es ist es nicht, darüber kann man streiten, aber klassisch würden wir eben nicht zugeben, dass er (gleichzeitig) Logiker und es nicht sein könne, sondern wie würden uns eben streiten, ob we es ist oder nicht. Damit habe ich wieder etwas aus der Thematik der philosophischen Frage nach Denken und Sein festgestellt: die Identität des Seins besteht nicht nur auf der Ebene des Seins, sondern auch für das Denken. Was ich als wahr denke (dass ich etwa gerade das hier schreibe) ist erstens dieses 'was' (was ich als wahr denke …), fällt also unter den Satz der Identität, und zweitens denke ich es auch als wahr, und das heißt so viel wie: nicht als nicht-wahr (Satz des Widerspruchs). --Morton Shumway 00:29, 13. Okt. 2009 (CEST)

@Room 608: Doch, Wahrheitstafeln setzen eine Semantik voraus bzw. beschreiben eine. Sie abstrahieren gerade nicht vom Inhalt, sondern geben ihn vor: Sie sagen, dass die Aussagen Wahrheitswerte haben, welche Wahrheitswerte das sein können und wie sich der Wahrheitswert eines Gesamtausdrucks aus den Wahrheitswerten der Teilausdrücke für die jeweilige logische Verknüpfung ergibt. Beziehungen aufzeigen tun logische Schlussregeln; nicht Wahrheitstafeln. Aber auch sie können nicht einfach so systemunabhängig vorausgesetzt werden, da sie systemspezifisch sind. Nein, wenn man den Satz vom ausgeschlossenen Dritten Systemunabhängig beschreiben will, darf man eben nicht sie oder ihren Zeichenvorrat nutzen. Das darf man nur, wenn man den Satz vom ausgeschlossenen Dritten im Kontext eines solchen Systems beschreibt, und nicht unabhängig. Das wird in der Einleitung auch getan: "stehen jedoch [..] die Schlussregeln der klassischen Logik zur Verfügung, so folgt der eine Satz [vom ausgeschlossenen Dritten] trivial aus dem [Satz vom Widerspruch] und umgekehrt". "Die Negation ist glaube ich sogar in den Axiomen drin." Es gibt nicht "die Axiome". Es gibt viele verschiedene logische Systeme, die teilweise sehr unterschiedliche Axiome haben, und es gibt keinen gemeinsamen Nenner, kein Kernaxiome, die jedes System haben muss. "Aber Folgern will ich schließlich schon, ich gehe schließlich mit irgendwelchen Voraussetzungen eines Problems in den Formalismus hinein und sehe, ob das, was herauskommt, meinen Erwartungen entspricht, wenn nicht, korrigiere ich meine Erwartungen." Das streite ich doch gar nicht ab. Dies ist aber ein Enzyklopoädieartikel, und die Einleitung sollte nicht auf "Voraussetzungen eines Problems" zurückgreifen, sondern unabhängig davon formuliert werden. Solche Voraussetzungen kann man einführen um zu diskutieren, wie der Satz vom ausgeschlossenen Dritten nun in diesem oder jenem Kontext verwendet wird, welche Beziehungen es gibt u.ä. "Falls Du studierst, brauchst Du meinen Standpunkt gar nicht zu widerlegen, er wird im Studium nicht vorkommen, und falls Du sogar etwas davon gebrauchen wolltest, wird er Dir sicherlich großen Ärger einbringen." Ich verstehe leider nicht, was Du meinst. "Und entschuldige das viele Geschwafel." Ich habe kein Problem mit Deinem "Geschwafel", ein Problem habe ich eher dabei, es zu verstehen. Oft kommen Aussagen bei Dir aus dem blauen heraus, die ich nicht zu- und einordnen kann. Nochmals meine Bitte, genau zu zitieren, woraus Du Dich beziehst, wenn Du auf etwas etwas eingehst. --rtc 00:33, 13. Okt. 2009 (CEST)

Die Aussagenlogik ist eine Urteilslogik, dort wird A = A est vera vorausgesetzt. In einer Begriffslogik gilt das nicht. Die Aussagenlogik ist eine sehr spezielle, somit enge Logik.

Die Aussagenlogik hat Axiome. Unterschiedliche Logiken haben verschiedene Axiome. Die Aussagenlogik hat zum Beipiel keine Grundformeln, weil sie es nicht braucht. A ist A wäre eine solche, die ich lieber A < A schreiben würde. Und dann gibt es Grundregeln, eben zum Beipiel Barbara. In der Aussagenlogik sind das beides Formeln, natürlich dabei Aussagen.

Die Aussagenlogik setzt die Existenz der Wahrheit voraus, und ist damit nicht mehr allgemein, wie Aristoteles Logik, der nichts Existierendes voraussetzte.

Ich gehe auf Aristoteles Sichtweise ein, die Ihr nicht teilt, weil die klassische Logik anders funktioniert, als seine. Ihr wollt mit der klassischen Logik über Aristoteles reden? Das ist kompliziert soweit ich weiß (s. Lukasiewicz).

Schließlich, Aritoteles gab schon eine Urteilslogik an, es ist aber doch Konsens, dass er Begriffslogiker (s. Syllogistik) war, wenn Begriffe bei ihm in Beziehung standen, war nicht die Frage, ob das richtig oder falsch war, sondern ob es widersprüchlich oder nicht ist. Seine Begriffe mußten nicht existieren wenn es Allgemeinbegriffe waren.

Die Aussagen und Prädikatenlogik, baut aber auf existierenden Elementen auf, das ist ein großer Unterrschied.

Nur mal zum Schluß zu kommen: Ihr wollt eine Einleitung schreiben, und richtig auf die klassische Logik beziehen. Erstens versteht das kein Leser. Ihr könnt versuchen, es allgemeingültig zu schreiben, es wird aber unvollständig. Ich sehe nicht worauf Ihr hinauswollt, ich kann die Aussagenlogik gut lesen, mit oder ohne Bedeutung, irgendwelche Worte darüber fallen zu lassen verdeutlicht mir gar nicht mehr.

Es geht darum Aristoteles System nachzuzeichnen und plausibel zu machen, das muss historisch geschehen, und in einem formalen System auch, aber dazu würde ich eher eine Halbordnung vorschlagen, als die Aussagenlogik. Seht doch mal nach, welche Regeln sich alle in der Mengenlehre mit Aritoteles decken, barbara ja wohl auf jeden Fall. Aber Aritoteles geht weiter. Und die Aussgenlogik geht wieder weiter. Wieso muss man das Ergebnis P oder nicht-P bei Aristoteles suchen, es wird dort nur mit dem Zusatz und_nicht-(P und nicht-P) auftauchen, auch wenn das aussagenlogisch trivial ist. -- Room 608 01:23, 13. Okt. 2009 (CEST)

Die Aussagenlogik verhält sich vollkommen neutral zur Frage A=A. Sie redet überhaupt nicht über Gleichheit; keine Ihrer Regeln und Axiome enthält überhaupt das Gleichheitszeichen. In der Aussagenlogik gilt der Satz vom ausgeschlossenen Dritten, ja. Aber was hat das nun konkret mit diesem Artikel zu tun?

Aristoteles ist Begriffslogiker, ja. Dies ist kein Artikel über die aristotelische Begriffslogik. Es ist ein Artikel über das Tertium non datur. Wenn Du etwas schreiben willst, was das Tertium non Datur im Kontext der aristotelischen Begriffslogik beleuchtet, gerne. Wenn Du einen Artikel über die aristotelische Begriffslogik schreiben willst, dann tu das, aber bitte nicht als Abschnitt hier, sondern in einem eigenständigen Artikel. "und_nicht-(P und nicht-P)" Was ist "und_nicht"? Junge, junge. Ich habe Dir jetzt schon mehrmals gesagt, dass Deine Ausdrucksweise extrem schwer zu verstehen ist; Du hast ein erhebliche Probleme damit, Dich verständlich auszudrücken. Nimm doch mal den Rat an, Stellen, auf die Du Dich beziehst, erst zu zitieren, so dass man zumindest halbwegs zuordnen kann, was Du meinst. Du springst mit den Gedanken wild von hier nach da und beziehst Dich dabei über weite Strecken gar nicht auf das, was in dem von Dir beantworteten Beitrag steht. --rtc 02:43, 13. Okt. 2009 (CEST)

Meinetwegen $A\to A$. Das kann ich nach einer Regel der Aussagenlogik umformen zu $\neg A\lor A$. (Ebenso; $\neg A\to \neg A$ zu $A\lor \neg A$) Diese Umformung ist so nur in der Aussagenlogik, oder einer Urteilslogik möglich. Vorher also vor dem neunzehnten Jahrhundert konnte dieser Satz diese Form nicht annehmen, das ist doch die ganze Erklärung. -- Room 608 08:51, 13. Okt. 2009 (CEST)

$A\to A$ umzuformen nach $\neg A\lor A$ benutzt keine Regel der Aussagenlogik, sondern einfach nur die Definition von $\to$. Die Umformung von $\neg A\to \neg A$ zu $A\lor \neg A$ hingegen ist in der Aussagenlogik eben nicht "ebenso" möglich; es ist die Doppelnegationsbeseitigung notwendig. Es ist also möglich, ja, aber nein, nicht "ebenso", sondern über eine Regel, nicht eine Definition. Diese Umformung ist auch nicht "nur" in der Aussagenlogik oder einer Urteilslogik möglich, sondern genauso in einer Begriffslogik mit Komplement. $\neg A\to \neg A$ entspricht dann "Alles, was kein A ist, ist kein A", $A\lor \neg A$ wird zu "Alles ist ein A oder kein A (oder beides)". Das hat auch nichts mit dem 19. Jahrhundert zu tun. --rtc 18:03, 13. Okt. 2009 (CEST)

Könnte es nicht eher sein, dass der Satz vom Widerspruch in der Aussagenlogik nicht formulierbar ist, weil sie tautolgisch ist? -- Room 608 09:01, 13. Okt. 2009 (CEST)

Der Satz vom Widerspruch ist natürlich in der Aussagenlogik formulierbar: $\neg (A\land \neg A)$. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten ist ja auch formulierbar, obwohl er tautologisch ist. --rtc 18:03, 13. Okt. 2009 (CEST)

Ich möchte Sie zuerst einmal bitten, Rtc, meine Beiträge nicht mit denen des Benutzers Room 608 zu vermengen, und auch nicht seine Signatur an den entsprechenden Stellen zu entfernen, ich habe daher seine Beiträge im vorangehenden Abschnitt gekennzeichnet (und diese Kennzeichnung mit meiner Signatur signiert ...) --Morton Shumway 01:08, 13. Okt. 2009 (CEST)

Lieber Morton, ich habe Ihre Beiträge nicht vermengt, etwas entfernt oder sonst irgendetwas verändert. Schauen Sie selbst, dies war meine letzte Bearbeitung: [7] Ich bitte sie umgekehrt jedoch, meine Beiträge nicht zu verändern: [8] Mein Beitrag war eine Antwort an Room 608, nicht an Sie, wie Sie an der Einrückung erkennen können.--rtc 01:13, 13. Okt. 2009 (CEST)

Oh ja, entschuldigung, ich hatte es als eine Antwort auf meinen Beitrag wahrgenommen - ich bin noch nicht so gut mit der richtigen Einrückung vertraut. Stellen Sie gerne die Version wieder her, bevor ich gemeckert habe! Dann hätten wir wieder mehr Übersicht für's Thema ... (nicht signierter Beitrag von Morton Shumway (Diskussion | Beiträge) 01:25, 13. Okt. 2009 (CEST))

Siehe meinen Beitrag etwas oben. Da steht es ja, in der Halbordnung ist der Satz der Identität schon mal die Antisymmetrie, oder besser umgekehrt die Antisymmetrie ist für die Identität zuständig. -- Room 608 01:37, 13. Okt. 2009 (CEST)

Wieter unten unter Verbandsordnung steht noch folgendes Interessantes:

• $v\leq w\iff v\cup w=w$ wenn aus Falschem alles folgt, auch Wahres, so gilt doch
• $\neg p\leq p\iff \neg p\cup p=p$. Da ist man doch schon fast beim t.n.d vor allem wenn p = 1. -- Room 608 01:52, 13. Okt. 2009 (CEST)

Was hat das alles mit dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten zu tun? --rtc 02:43, 13. Okt. 2009 (CEST)

Entschuldigung, dass ich hier mit A = A angefangen habe - ich dachte, das wäre im Kontext meines Beitrags als Satz der Identität kenntlich. Meine Behauptung war es ja, dass für die an Aristoteles anschließende Logik der Zusammenhang verschiedener Behauptungen, die man später auch als Grundaxiome bezeichnet hat, relevant ist. Der Zusammenhang von dem, was ich sagen möchte, und diesem Artikel, wird vielleicht in meinem ersten Beitrag dieses Abschnitts deutlich, aber ich versuch's noch einmal: Der Artikel beschäftigt sich mit dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Dieser kommt von Aristoteles und ist auch als principium exclusi tertii bekannt. Es ist nicht so, dass der S.v.a.D. dem tertium non datur entspricht. Zu dem Unterschied im Namen und im Inhalt: s. oben. Der Artikel, um den es hier geht, hat den Titel S.v.a.D., übersetzt das mit t.n.d. und erwähnt dann noch das p.e.t. Eben das ist nicht ganz richtig, und es wäre keine Katastrophe, wenn diese Ungenauigkeit nicht für Schwierigkeiten sorgen würde. Von einem Artikel zum S.v.a.D. würde ich eigentlich erwarten, dass er er aus dem Kontext der Begründung der Logik durch Aristoteles den Sinn des Satzes vermittelt, auf die Sätze von Identität und Widerspruch bezieht (statt nur zu sagen, das sei nicht das gleiche), und aufzeigt, welche Konsequenz das für ein logisches System hat. Anmerkungen dazu, dass diese Sätze keine eigentlichen Ergebnisse des aufgestellten Systems sind wären auch willkommen. Stattdessen sieht es aber so aus: ich lese den vorhandenen Artikel, und muss, um den S.v.a.D. zu verstehen, zwischen zwei- und mehrwertiger, intuitionistischer Logik und solcher, die das nicht ist, unterscheiden, und zwar schon, um den Definitionsteil zu verstehen. Ich habe dagegen behauptet, dass es so nicht nötig wäre, wenn man zwischen p.e.t. und t.n.d. unterscheiden würde. Dann könnte das p.e.t. in einem Rahmen abgehandelt werden, der überschaubarer ist, da er zum Beispiel garnicht erst die Frage aufwirft, wie es denn in mehrwertigen logischen Systemen aussieht. Mehrwertigkeit ist doch gerade das, was von Aristoteles ausgeschlossen wird, und zwar mit Hilfe des p.e.t. (zusammen mit anderen Hilfen). -- Morton Shumway 15:04, 14. Okt. 2009 (CEST)

Einleitung

Ich schrieb hier nur so viel, weil die Einleitung des Artikels schlecht ist.

Der erste Satz beginnt mit einem Wust von Fachtermini, lateinisch und englisch, dann wird von Axiomen geredet, aber oben wurde der Standpunkt vertreten es gäbe keine, also sollte es bei Grundprinzip bleiben, und dann folgt völlig unmotiviert der Begriff Aussage, der auch ein Fachterminus ist, der Satz handelt aber von Logik (logisches Grundprinzip), nicht von klassischer Logik. Die Erklärung dafür erhät man erst im letzen Satz der Einleitung. Ein Leser denkt doch im allgmeinen bei Logik nicht daran, ob eine Aussage gilt, sondern ob ein Zusammenhang zwischen Dingen logisch folgt. Das Prinzip der Zweiwertigkeit hat mit dem Ganzen überhaupt nichts zu tun, das kann man am Schluss des Artikels unter Anmerkungen notieren. Ein Hinweis auf den Satz vom Widerspruch ist ja schön, aber in welcher Beziehung steht er zum t.n.d.? Nur dass er verwechselt werden kann, gehört in die Anmerkungen. Die Klammer ist dann vollends unklar. Ist das t.n.d. wirklich neutral zum Satz vom Widerspruch? Bei Aristoteles sicher nicht, weil dort vorher das Grundprinzip des Satzes vom Widerspruch angegeben wird, und das t.n.d., sieht dann fast wie ein abgeleiteter Satz aus. Nach der Klammer ist der Satz vom Widerspruch eine Behauptung, kein Grundprinzip. Sprachlich ungeschickt gelöst ist die Formulierung der eine Satz folge aus dem anderen und umgekehrt. Welcher Satz folgt woraus? Schließlich folgte bei Aristoteles nicht beides und auch nicht trivial aus dem jeweils anderen. Das t.n.d. konnte nicht zuerst gelten. Dann werden hier Schlußregeln erwähnt, der Leser fragt sich natürlich, was für Schlußrgeln, für logisches Schließen? Nein gemeint sind hier die speziellen Regeln der "klassischen" Logik, das ist auch verwirrend. Schließlich stellt die klassische Logik mit ihren Schlußregeln Sätze auf, die allein aus dem t.n.d und Aritoteles Logik nicht folgen, zum Beipiel das Paradox der materialen Implikation. Also zum Schluß ist der informierte Leser doch völlig verwirrt, wie nun logische Schlußregeln überhaupt gehen, wenn je nach Logik einmal mehr und einmal weniger folgt.

Deshalb kann meines Erachtens die ganze Einleitung weg und muss auf das Grundprinzip reduziert werden. Was damit womit auch immer gemacht werden kann, gehört in einzelne Absätze. Jedes Zeitalter hatte ihre eigene klassische Logik, es bringt nichts wenn man mit dem Grundprinzip der klassischen Logik der Antike in die klassische Logik der Moderne springt und dabei alles verwirrt. -- Room 608 09:42, 13. Okt. 2009 (CEST)

Die Fachtermini sind lediglich Angaben von alternativbezeichnungen für den Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Das ist bei Einleitungen in der Wikipedia so vorgegeben. Nirgendwo wurde der Standpunkt vertreten, es gäbe keine Axiome. Ja, es wird von Aussage gesprochen, und das setzt natürlich eine aussagenlogische Sicht voraus, aber das ist unproblematisch, weil es in allen anderen Logiken (Begriffslogiken) analog ist. Wenn Du unbedingt die Begriffslogische Sicht in einem Satz auch in die Einleitung schreiben willst, gerne. "Ein Leser denkt doch im allgmeinen bei Logik nicht daran, ob eine Aussage gilt, sondern ob ein Zusammenhang zwischen Dingen logisch folgt." Das ist aber nur ein Teil der Logik. Der andere Teil sind die Axiome, und da kann man nur von Gültigkeit reden (Axiom ist in der Logik enthalten oder nicht) ohne eine Schlussregel vorauszusetzen und so für eine Logik besonderes Partei zu ergreifen, die über reine Analogien wie Aussage vs. Urteil vs. Begriff hinausgeht. Natürlich sind Beziehungen unter den Axiomen im Hinblick auf die Schlussregeln auch wichtig, aber diese sind eben nicht mehr in dieser Form (d.h. bis auf Analogien) unbedingt Systemneutral. "Das Prinzip der Zweiwertigkeit hat mit dem Ganzen überhaupt nichts zu tun" richtig, das wird ja auch betont! Es ist wichtig, das so früh zu nennen, weil es eben erfahrungsgemäß oft mit dem tnd verwechselt wird und Leute sich dann vielleicht wundern. "Ist das t.n.d. wirklich neutral zum Satz vom Widerspruch? Bei Aristoteles sicher nicht, weil dort vorher das Grundprinzip des Satzes vom Widerspruch angegeben wird" Das tnd ist nicht immer neutral zum Satz vom Widerspruch, je nachdem welche Schlussregeln vorhanden sind. Es ist aber für sich genommen neutral zum Satz vom Widerspruch. Auch Aristoteles kann den Satz vom ausgeschlossenen Dritten aus dem Satz vom Widerspruch nur deshalb herleiten, weil er Schlussregeln benutzt, und diese Schlussregeln sind weder mit dem Satz vom Widerspruch noch mit dem Satz vom ausgeschlossenen dritten identisch. "t.n.d., sieht dann fast wie ein abgeleiteter Satz aus" Es sieht nicht nur so aus, es ist es auch. Aber Ableitung aus Axiom mithilfe von Schlussregeln und Axiom für sich sind unterschiedliche Dinge. "Nach der Klammer ist der Satz vom Widerspruch eine Behauptung, kein Grundprinzip" Der Satz vom Widerspruch ist beides. Es ist ein Grundprinzip der klassischen Logik, der Begriffslogik, der Urteilslogik etc. Aber Logikübergreifend ist es natürlich eine Behauptung, die z.B. von den Intuitionisten bestritten wird und daher im intuitionistischen System nicht gültig ist und weder als Axiom, noch als herleitbarer Satz beinhaltet ist. "Welcher Satz folgt woraus" Der Satz vom Widerspruch aus dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten und umgekehrt der Satz vom ausgeschlossenen Dritten aus dem Satz vom Widerspruch. Im Beisein der entsprechenden Schlussregeln sind in der klassischen Logik alle Axiome und Sätze zueinander äquivalent! "Schließlich folgte bei Aristoteles nicht beides und auch nicht trivial aus dem jeweils anderen." Wohl doch; wenn, dann hat Aristoteles die umgekehrte Richtung nur nicht durchgeführt. "Schließlich stellt die klassische Logik mit ihren Schlußregeln Sätze auf, die allein aus dem t.n.d und Aritoteles Logik nicht folgen, zum Beipiel das Paradox der materialen Implikation." Nein, dies sind keine Sätze der klassischen Logik selbst, sondern Sätze von metalogischen Untersuchungen der klassichen Logik! Zudem ist das kein echtes "Paradox", sondern schlicht eine triviale Konsequenz der Unterscheidung von Schluss und Satz; und zudem dürfte es bei der aristotelischen Begriffslogik nicht anders aussehen, da diese weitestgehend lediglich ein Spezialfall der Aussagenlogik ist. "Also zum Schluß ist der informierte Leser doch völlig verwirrt, wie nun logische Schlußregeln überhaupt gehen, wenn je nach Logik einmal mehr und einmal weniger folgt." Besser als wenn er sich gar nicht bewusst geworden wäre, dass da ein Problem im üblichen naiven Logikveständnis ist, das Schlüsse und Aussagen vermischt. Ich denke nicht, dass die Einleitung gelöscht werden sollte. Verbessern und leicht erweitern gerne. --rtc 18:27, 13. Okt. 2009 (CEST)

Chronologischer Vorschlag (Skizze). In der griechischen Artike wurde in einer ersten Logik von Aristotels das Grundprinzip des ausgeschlossenen Dritten aufgestellt. Es sagt, ... Ein X ist A oder nicht A (Erklärung) ... + ,,Es ist notwendig, daß ein Teil des Widerspruchs wahr sei; weiter: wenn es notwendig ist, alles entweder zu behaupten oder zu verneinen, können nicht beide zugleich falsch sein.`` (Zitat Aritsoteles) . Dieses Prinzip taucht durchgehend im weiteren Verlauf der Entwicklung der Logik in verschiedenen Systemen von Logik, nicht in allen, in verschiedenen Formen bis heute auf.

Dann der Artikel, mit allen anderen Auslassungen.

So eine Einleitung dürfte doch reichen.

P.S.: Die Paradoxie der mat. Impl ist keine Metalogik und Aristoteles konnte nicht die umgekehrte Richtung zeigen. Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten bezieht sich bei ihm auf das Verhältnis dreier Urteile aufeinander, er braucht ihn für Bocardo, Baroco und die Regel conversio syllogismi. Das sind aber streng genommen schon hypothetische Schlüsse (Aussagen, Urteile). Ebenso aus diesem Prinzip läßt sich leicht die Regel conversio per accidens ableiten. Diese Umformung heißt heute ,,inkonsitente Triade`` oder ist eine zweifache Anwendung der ,,Peirceregel``. Deshalb ist ein Schluß, der dieses Prinzip anwendet, gültig. Die Anwendung der Regel conversio syllogismi geschieht außerhalb des Kalküls, sagt sozusagen über ihn etwas aus, weshalb ich nicht glaube, dass Aristoteles einen Weg hatte, das direkt in seine Schlussregeln einzubauen. Auch hier fehlten Aristoteles die formalen Mittel, es in sein System einzubauen. Sie betrifft die Modi Darapti, Felapton, Fesapo und Bamalip. Für Prädikatenlogiker fehlt bei ihnen jeweils eine Existenzforderung, was Aritoteles nicht so gesehen hat.

Nochmal: conversio syllogismi Ein ,,c`` nach einem Vokal deutet eine conversio syllogismi an. Der Beweis wird indirekt geführt. Man nimmt Ungültigkeit der Konklusion an. Das kontradiktorische Gegenteil seiner Konklusion müßte sich mit den beiden Prämissen vertragen. Diese Annahme wird dann zum Widerspruch mit einer seiner beiden Prämissen geführt, also muß der Schluß gelten. Es ist sozusagen ein Widerspruchsbeweis. Das nennt man auch die inkonsistente Triade, was einer zweimaligen Anwendung einer anderen, der Peirceregel, entspricht. Beispiele sind Bocardo und Baroco. Diese Regel benutzt den Satz vom ausgeschlossenen Dritten. -- Room 608 20:04, 13. Okt. 2009 (CEST)

"In der griechischen Artike wurde in einer ersten Logik von Aristotels das Grundprinzip des ausgeschlossenen Dritten aufgestellt. Es sagt, ... Ein X ist A oder nicht A (Erklärung) ... + ,,Es ist notwendig, daß ein Teil des Widerspruchs wahr sei; weiter: wenn es notwendig ist, alles entweder zu behaupten oder zu verneinen, können nicht beide zugleich falsch sein.`` (Zitat Aritsoteles)" Das ist ja im wesentlichen nichts anderes als was jetzt schon in der Einleitung steht (abgesehen davon, dass Aristoteles mit "notwendig ist, alles entweder zu behaupten oder zu verneinen" noch eine übergeordnete Aussage angibt, aus der das Tertium non datur, aber auch der Satz vom ausgeschlossenen dritten folgt). Aristoteles spricht in semantischen Begriffen; sagt "...können nicht beide zugleich falsch sein". Das ist im wesentlichen völlig analog zur syntaktischen Ausdrucksweise "mindestens die Aussage selbst oder ihr Gegenteil gelten"; man könnte auch formulieren "die Aussage selbst und ihr Gegenteil nicht zugleich ungültig". Ich halte das in einem Abschnitt "Geschichte" oder "Das TND im Kontext von Aristoteles Logik" o.ä. für passend, denke aber schon, dass vor allem die moderne formal- und aussagenlogische Fassung in der Einleitung den Schwerpunkt bilden sollte, da dies eine Enzyklopädie ist, wo das aktuellste Wissen berücksichtigt werden soll, kein Geschichtsbuch, wo man vielleicht mit den Ursprüngen anfangen würde. Die Paradoxie der mat. Impl. ist natürlich ein metalogischer Satz, da sie über die Ableitbarkeitsrelation sprechen muss. Die Logik spricht nur über materiale Implikationen. Nicht ohne Grund nennt man die Ableitbarkeitsrelation auch "metasprachliche Implikation" (siehe unter Implikation). Den Zusammenhang Deiner übrigen Ausführungen im Hinblick auf unsere Diskussion sehe ich nicht --rtc 20:27, 13. Okt. 2009 (CEST)

Ich denke eher er spricht nicht semantisch sondern auf einer Metaebene. Da man in Prädikate auch Prädikate einsetzten kann, ist dort die Metaebene auch ein semantisches Problem, nicht so bei Aritsoteles.

In irgendeinem Atrikel stand die P.d.m.I. so : $\vdash (P\to Q)\lor (Q\to P)$

Verschiedene logische Systeme begeben sich an verschiedenen Stellen auf ihre jeweiligen Metaebenen.

Jede Logik muss angeben, wie sie abtrennt.

Ansonsten mach ruhig und baue meine Argumente ein. Ich verstehe Dich schon, teile Deine Ansicht an gesagten Punkten aber nicht. -- Room 608 21:24, 13. Okt. 2009 (CEST)

Na ja, fast: Klassische_Logik#Beispiele klassisch gültiger Aussagen. -- Room 608 21:34, 13. Okt. 2009 (CEST)

Semantische Untersuchungen sind immer metalogisch. Das gilt auch bei Aristoteles; dass er auf eine "Metaebene" spricht, widerspricht daher nicht meiner Aussage, dass er semantisch spricht, sondern folgt aus ihr. Ein logisches System kann sich nicht auf seine eigene "Metaebene" begeben, da die Metalogik eines logischen Systems außerhalb des logischen Systems selbst liegt. $\vdash (P\to Q)\lor (Q\to P)$ kann nicht die ganze "Paradoxie" sein, sondern nur ihr logischer Bestandteil. Die "Paradoxie" ergibt sich erst, wenn man dies mit den metalogischen Eigenschaften von $\vdash$ selbst vergleicht. --rtc 22:39, 13. Okt. 2009 (CEST)

Du bist voreilig, Logik auf sich selbst angewandt ergibt immer noch nicht ihren Sinn oder ihre Bedeutung. -- Room 608 03:45, 14. Okt. 2009 (CEST)

Einen innewohnenden Sinn oder eine Bedeutung in Form eines Wesens gibt es weder bei der Logik noch sonst wo. --rtc 03:58, 14. Okt. 2009 (CEST)

Logik ist nichts Wesentliches. Ein logischer Sachverhalt ist unabhängig davon gültig, ob er gedacht wird oder nicht, sozusagen denkextern. Was soll er da bedeuten? Wenn ich alles, was der Computer macht, mitdenken sollte, dann schönen Dank. Aber ich gebe Dir recht, ich habe auch einen einseitigen Standpunkt, man kann mich fragen, was mein Allgemeinbegriff Logik wirklich bedeutet und ich würde erstmal auch nicht antworten. Die Frage, was Logik mit Wesentlichem zu tun hat, muss jeder selbst klären und mir scheint ich vertrete einen idealistischen Standpunkt, Du einen realistischen, wenn Du mir jetzt nur sagen würdest, wie Du zu Deinem Standpunkt kommst, ihn also begründest. Meiner ist ja zur Zeit nicht "modern." -- Room 608 17:24, 14. Okt. 2009 (CEST)

"wenn Du mir jetzt nur sagen würdest, wie Du zu Deinem Standpunkt kommst, ihn also begründest" Ich gehe davon aus, dass der Satz vom zureichenden Grund falsch ist und glaube nicht, dass Begründungen existieren. Aber das schweift zu sehr vom Artikelthema ab.--rtc 22:53, 16. Okt. 2009 (CEST)

Wenn Du Bedarf siehst, entrümple doch mal die Einleitung. -- Room 608 01:25, 17. Okt. 2009 (CEST)

Sprache? Der erste Satz der Einleitung endet erst nach 70 Worten mit einem Doppelpunkt! Zum Vergleich: Der einleitende Satz zum Gödelschen Unvollständigkeitstheorem findet bereits nach 11 Worten einen Punkt. Und das ohne unvollständig zu werden ... (nicht signierter Beitrag von 146.52.52.248 (Diskussion) 00:05, 2. Jun. 2021 (CEST))

Ergänzungen

Wie bei dem Stichwort 'Wahrheit' fehlt auch hier die Einarbeitung der Begriffe Implikatur, Präsupposition und der Gedanken von Paul Grice. --Delabarquera 09:40, 30. Okt. 2009 (CET)

Ich seh's soeben: Seit 10 Jahren hat sich niemand dieser Fragen annehmen mögen! Ja muss man denn alles selbst machen!? :-) --Delabarquera (Diskussion) 19:48, 4. Apr. 2019 (CEST)

Verständnisfrage

"Der S.v.a.D. ist ein logisches Grundprinzip bzw. Axiom, das besagt, dass für eine beliebige Aussage mindestens die Aussage selbst oder ihr Gegenteil gelten muss." Heißt das, dass der Wahrheitswert der Aussage "vorhanden" sein muss? Ich frage mich nämlich, warum die Aussagen "Morgen findet eine Seeschlacht" und ihr Gegenteil nicht alle "Möglichkeiten" von Wahrheit einschließen sollen, und wenn das nicht das Problem wäre, muss es wohl um die Vorhandenheit gehen, richtig? -- 89.196.12.158 05:37, 25. Okt. 2010 (CEST)

Referenzproblem

Als ich vor vielen Monaten auf diesen Artikel gestoßen bin, habe ich mir die Frage gestellt, was mit Aussagen ist, die falsche Prämissen haben. Beispiel: "Der König von Frankreich trägt eine Krone"

Ist diese Aussage nun wahr oder falsch? Oder gilt beides nicht? Dann wäre der S.v.W. verletzt.

Hab nun heute den Artikel Referenzproblem entdeckt, der darauf eine mögliche Antwort gibt. Ich halte es daher für sinnvoll, diesen hier zu verlinken.

Vielleicht gibt es hier jemanden, der sich in der Aussagenlogik besser auskennt und dazu Stellung nehmen kann? ;)

-- TcShadowWalker 13:13, 10. Nov. 2010 (CET)

Logik

„Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten […] ist ein logisches Grundprinzip bzw. Axiom, das besagt, dass für eine beliebige Aussage mindestens die Aussage selbst oder ihr Gegenteil gelten muss […].“

Wieso mindestens? --Seth Cohen 22:49, 29. Sep. 2012 (CEST)

Weil sonst die Möglichkeit bestünde, dass weder die Aussage noch ihr Gegenteil gilt. --Mussklprozz (Diskussion) 23:31, 29. Sep. 2012 (CEST)

Mit dem „mindestens“ weist man recht explizit darauf hin, dass das Prinzip nicht ausschließt, dass sowohl die Aussage als auch „ihr Gegenteil“ gilt. Letzteres macht der Satz vom Widerspruch. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:56, 29. Sep. 2012 (CEST)

Danke euch. --Seth Cohen 16:51, 30. Sep. 2012 (CEST)

EInleitung

Der einleitende Satz ist unlesbar. Besser wäre es klassisch "Der Satz ...." ist .... der Erkenntnistheroie, Aussagenlogik und dann die Begriffe erklären. Hardwareonkel (Diskussion) 14:37, 10. Aug. 2020 (CEST)

Änderung von Benutzer:Ralf Preußen

In diesem Beispiel wird mittels des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten über die in beiden Satz-Alternativen gebildete Vereinigung des (zeitlichen) Allquantors "immer" mit dem Existenzquantor "irgendwann" en passant der Begriff der "Zeit" geschöpft, wodurch eine (teleologische) Verwendbarkeit dieses Satzes gegeben ist.

Was soll das bedeuten, mit welcher Quelle ist das belegt, und was hat das mit dem Thema des Artikels zu tun?—Hoegiro (Diskussion) 18:22, 10. Aug. 2020 (CEST)

Schlechtes Beispiel

Bei dem Satz "Entweder war die Welt schon immer da oder sie hat irgendwann angefangen" handelt es sich um ein schlechtes Beispiel. Denn er setzt voraus, dass alle das gleiche Verständnis von "Zeit" haben. Alle scheinen ja das gleiche Verständnis von Zeit zu haben. Das hatte man auch von Temperatur, bis sich herausgestellt hat, dass Temperatur nur eine makroskopische Erscheinung einer mikroskopischen Bewegungsenergie ist. Wenn Zeit sich auch anders verhält als "erwartet", ist der Satz einfach Unsinn. Hawkings hat die Zeit ja als komplexe Zahlen vorgestellt, was dem üblichen Verständnis ja komplett widerspricht. Kann jemand ein besseres Beispiel einfügen? "Newton ist gestorben oder er lebt noch" ist aber auch irgendwie doof. (nicht signierter Beitrag von 77.191.253.156 (Diskussion) 19:15, 8. Jul. 2021 (CEST))

Philosophisches Widerspruchbeispiel

Aus Paul Watzlawick - Vom Schlechten des Guten entnommen: Ein Angeklagter wird vom Richter gefragt: Haben Sie aufgehört, ihre Frau zu missbrauchen? Ja oder Nein! Der Angeklagte, der nie seine Frau missbraucht hat, steht vor einem Dilemma.

Suche nach einer Quelle

"Ein interessantes Problem hierbei ist, dass das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten durch Axiome der Mengenlehre beweisbar werden kann, auch wenn die zugrundeliegende Logik allein das Prinzip nicht zur Verfügung stellt. "
Kann jemand damit was anfangen und es belegen oder vorsichtshalber rausnehmen? --2A02:908:424:9D60:7100:3AFC:91AC:329B 21:20, 3. Okt. 2022 (CEST)

Klingt wie ein Hinweis auf Satz von Diaconescu-Goodman-Myhill. --2A02:908:424:9D60:7100:3AFC:91AC:329B 20:26, 4. Okt. 2022 (CEST)

Nicht nur AC, sondern auch z.B. die üblichen Formulierungen des Fundierungsaxioms sind "betroffen", was ja auch im darauffolgenden Text steht. Hier ist ein SEP-Text dazu. --Daniel5Ko (Diskussion) 10:34, 5. Okt. 2022 (CEST)

Willst du das als Quelle rein oder och? --2A02:908:424:9D60:7100:3AFC:91AC:329B 17:17, 9. Okt. 2022 (CEST)

Füge es hinzu, wenn du dies als sinnvoll erachtest. Ganz allgemein: WP:Sei mutig. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:11, 10. Okt. 2022 (CEST)

Praktische Bedeutung von "tertium non datur" im Alltag

Zwei Büroangestellte hatten einen unerledigten Ordner auf dem Tisch liegen. Der Chef schäumte, weil er einen von beiden vor Wochen bereits mit der Bearbeitung beauftragt hatte. Einer der beiden Angestellten wusste aber genau, dass ihm selber der Auftrag nicht erteilt worden war. Daraus wiederum folgte für ihn messerscharf, dass - vorausgesetzt, der Chef litt nicht an Einbildung - sein Kollege der Schuldige gewesen sein musste. Ist das nicht eine praktische Anwendung vom ausgeschlossenen Dritten? --2003:CE:BF0F:52C6:E97A:E4BC:AABD:44D 14:32, 4. Feb. 2024 (CET)

Nein. Das ist so etwas wie ein Beispiel dafür, dass aus $A\lor B$ und $\lnot A$ gerade $B$ folgt (was auch in intuitionistischer Logik gilt). --Daniel5Ko (Diskussion) 21:29, 29. Aug. 2024 (CEST)