Diskussion:Satz von Bernstein-Doetsch

Das Korollar von Kuczma verstehe ich nicht. Auf der rechten Seite steht doch einfach die Definition der Konvexität. In der jetzigen Formulierung steht da also, dass eine Funktion stetig und konvex ist genau dann, wenn sie konvex ist. Fehlt auf der rechten Seite viellleicht eine Beschränktheitsvoraussetzung.--S. K. Kwan (Diskussion) 01:39, 28. Mai 2017 (CEST)

Nein. Es fehlt nichts. Es ist so: Die eine Schlussrichtung ist selbstverständlich, aber die andere nicht. Und Du hast ganz recht, wenn Du verblüfft bist! Hier zeigt sich aber eigentlich nur, dass einerseits der Satz von Bernstein-Doetsch wirklich stark ist und dass andererseits Konvexität ein weitreichendes Konzept ist. Aus dem Bestehen der Ungleichung und der Tatsache, dass die Funktion auf einer offenen konvexen Menge des euklidischen Raums lebt, lässt sich nämlich die Beschränktheit nach oben folgern, was dann nach Bernstein-Doetsch die Stetigkeit erzwingt. Soll sagen: Konvexe Funktionen auf offenen konvexen Mengen des euklidischen Raums sind notwendigerweise schon stetig. --Schojoha (Diskussion) 20:14, 28. Mai 2017 (CEST)

Nachtrag: Aber ich will Deine Einlassung gern aufnehmen. Es ist nämlich unproblematisch, aus dem "konvex" ein "Jensen-konvex" zu machen, was ich nun auch tun werde. Wegen der Stetigkeit der betrachteten Funktionen fallen Konvexität und Jensen-Konvexität ohnehin zusammen. Und diese Darstellung ist auch durch Kuczmas Fußnote auf S. 130 des Buchs gerechtfertigt.--Schojoha (Diskussion) 21:14, 28. Mai 2017 (CEST)