Diskussion:Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)

Schiefkörper über einem Körper K

Mit einem Schiefkörper über einem Körper K ist vermutlich einer gemeint, dessen Zentrum isomorph zu K ist? --Pugo (Diskussion) 06:58, 18. Jul. 2016 (CEST)

Ja, wie in Schiefkörper definiert (K-Vektorraum-Struktur).--Claude J (Diskussion) 08:21, 18. Jul. 2016 (CEST)

Zum Beweis

Eigentlich haben wir ja kaum Beweise in der Wikipedia, von besonders eleganten oder solchen, die die Begriffe bzw. deren Anwendung erhellen, einmal abgesehen. Wenn wir diesen Beweis hier behalten wollen, dann müssten wir ihn etwas lesbarer machen. "Folglich enthält $D$ einen maximalen Teilkörper $\mathbb {C} '$ mit $(\dim _{\mathbb {R} }\mathbb {C} ')^{2}=\dim _{\mathbb {R} }D.$. Warum?--FerdiBf (Diskussion) 12:49, 24. Jul. 2016 (CEST)

Ich halte den Beweis für verzichtbar. --Christian1985 (Disk) 13:47, 24. Jul. 2016 (CEST)

Das ist jedenfalls ein ganz wesentlicher Punkt im Beweis. Der Beweis ist aus dem Skript von Kersten und dort wird auf einen dort ebenfalls zuvor bewiesenen satz verwiesen. Vielleicht fällt dem Autor ja noch was dazu ein, wie er das darstellen will, den Satz von Skolem-Noether hat er ja auch schon mit einem Artikel versehen, wo ebenfalls noch einige Erläuterungen fehlen (wenn man will kann man sich die auch aus dem Skript holen, in erster Linie ist da aber der Autor gefragt). Der Beweis von Koecher, Remmert ist übrigens auch ziemlich lang, da sie die Gelegenheit nutzen andere Begriffe aus der Theorie der Algebren zu erläutern, wie ja Kersten auch. Sie geben aber eine Literaturstelle an, in dem ein ziemlich elementarer Beweis steht (Palais, The classification of real division algebras, American Mathematical Monthly, Band 75, 1968, S. 366-368). Dort wird auch wie hier zunächst gezeigt, dass ein maximal kommutativer Unterkörper F der Algebra D existiert, erzeugt durch ein Element i, dass nicht aus dem Zentrum der Algebra (dessen Zentrum R ist) stammt (man zeigt leicht dass i^2=-1 gewählt werden kann). Der wesentliche Punkt ist, dass dieser Unterkörper F isomorph C ist (i. W. Fundamentalsatz der Algebra). Dann betrachtet er D als Vektorraum über C, mit Skalarmultiplikation von rechts (während die normale Multiplikation in F=C als Linksmultiplikation definiert ist), betrachtet lineare Abbildung Tx=xi mit T^2= -id und EW +i und -i, mit entsprechender Zerlegung von D in eine direkte Summe von D+, D- und zeigt, dass D+=F=C ist (folgt aus Definition) und D- leer (D dann C) oder D- die komplexe Dimension 1 hat (da aus x, y aus D- folgt, dass xy aus D+ und damit eine nichtsinguläre lineare Abbildung von D- auf D+ existiert durch Multiplikation von D- von rechts mit einem nichtverschwindenden Element aus D+). Letzterer Fall liefert die Quaternionen. Die Basis von D- bilden die Elemente j (mit j^2=-1, gezeigt ähnlich wie im Artikel für u) und ij=k (die von D+ 1 und i).--Claude J (Diskussion) 10:19, 25. Jul. 2016 (CEST)

Wenn da nicht bald was passiert entferne ich den Beweis bzw. ersetze ihn durch einen anderen Text.--Claude J (Diskussion) 11:37, 29. Aug. 2016 (CEST)

K-Theorie, Vektorfelder auf Spharen und die Klassifikation der Divisionsalgebren

Es gibt doch einen bekannten Beweis der Klassifikation von (nicht notwendig assoziativen) Divisionsalgebren, der topologische K-Theorie und die Klassifikation der parallelisierbaren Sphären benutzt. Dieser Beweis wird zum Beispiel in Kapitel 10 des bekannten Buches Zahlen von Ebbinghaus-Hermes-Hirzebruch-Koecher-Mainzer-Prestel-Remmert dargestellt und er sollte im Artikel zumindest erwähnt werden. Möglichst auch mit ein paar Details, das Kapitel ist ja online.--Pugo (Diskussion) 10:39, 25. Jul. 2016 (CEST)

Bei Divisionsalgebra aufgeführt (da auch Oktaven umfassend).--Claude J (Diskussion) 10:45, 29. Aug. 2016 (CEST)