Diskussion:Satz von Kirszbraun

Prüfung des Zusammenhangs mit dem Lemma von McShane

Hallo Pugo! Soweit ich sehe, ist der Satz von Kirszbraun eine Folgerung aus dem McShane'schen Lemma, was man daher erwähnen sollte. Zudem habe ich in diesem Zusammenhang gewisse Zweifel an der Behauptung, der Satz von Kirszbraun gelte nicht unbedingt für beliebige Banachräume, denn das Lemma gilt für alle metrischen Räume. Es wäre also zu präzisieren, was gemeint ist.--Schojoha (Diskussion) 20:39, 27. Okt. 2016 (CEST)

Nein, das Lemma von McShane behandelt nur Abbildungen nach $\R$. Im Satz von Kirszbraun geht es um den viel schwierigeren Fall von Abbildungen nach $\R^m$.--Pugo (Diskussion) 20:47, 27. Okt. 2016 (CEST)

Dein Einwand ist erst einmal richtig, zumindest was den Fall der Lipschitz-stetigen Abbildung zwischen beliebigen Hilberträumen angeht. Dennoch hatte ich den Eindruck, dass man mit dem Lemma von McShane den Fall der Lipschitz-stetigen Abbildungen nach $\R^m$ mitgeliefert bekäme. (Muss ich mir aber noch einmal überlegen.)

Wie auch immer: Wenn auch keine direkte Folgerung vorliegt, so doch eine offenkundige Verwandschaft, was man zumindest anmerken könnte. Zumal ja auffällt, dass beide Resultate etwa zeitgleich (1934/35) veröffentlicht wurden.

--Schojoha (Diskussion) 22:06, 27. Okt. 2016 (CEST)

Das würde mich wundern in Anbetracht des Beispiels auf der Vorderseite für m=1, das sich jedenfalls so nicht für andere m verallgemeinern lässt.--Pugo (Diskussion) 22:15, 27. Okt. 2016 (CEST)

Ich habe mir gerade mal die Originalarbeit von McShane angesehen, die dort angegebene Funktion ist tatsächlich die im Beispiel auf der Vorderseite. Der Fall $m>1$ ist aber viel schwieriger, insofern ist McShanes Lemma nur der einfachste Spezialfall von Kirszbrauns Theorem.--Pugo (Diskussion) 23:07, 27. Okt. 2016 (CEST)

Abschließend wiederhole ich noch einmal den wesentlichen Punkt: Sowohl das Lemma von McShane als auch der Satz von Kirszbraun behandeln die gleiche Fortsetzungsfrage. Man hat also zu einer Fragestellung gleich zwei Antworten! Und ich denke, dies ist interessant genug, um in einer Anmerkung oder in einem Querverweis festgehalten zu werden. (Ob der von mir vermutete weitergehende Zusammenhang tatsächlich besteht, kann ich derzeit nicht sagen.)--Schojoha (Diskussion) 21:08, 29. Okt. 2016 (CEST)

Wie gesagt, McShanes Lemma ist der einfachste Spezialfall von Kirszbrauns Theorem und das wird ja jetzt auf der Vorderseite auch gesagt im Beispiel-Abschnitt.--Pugo (Diskussion) 22:13, 29. Okt. 2016 (CEST)

So ist es nicht. Man muss hier nämlich sowohl nach Trägermengen als auch nach Zielmengen unterscheiden.

A) McShane geht bei der Fortsetzungsfrage, was die Trägermengen der lipschitzstetigen Abbildungen angeht, von Teilmengen metrischer Räume aus. Jedoch geht er von lipschitzstetigen reellwertigen Funktionen aus, hat also auf der Zielmengenseite die Beschränkung auf den Körper der reellen Zahlen.

B) Bei der Fortsetzungsfrage setzt Kirszbraun auf der Trägermengenseite sehr viel Spezielleres, nämlich Teilmengen von Hilberträumen voraus . Was jedoch die Zielmengen der lipschitzstetigen Abbildungen angeht, hat er mehr Allgemeinheit, indem er hier beliebige Hilberträume voraussetzt.

Wie gesagt: Zu einer Fragestellung zwei Antworten!

--Schojoha (Diskussion) 23:13, 29. Okt. 2016 (CEST)

Wie gesagt, für Funktionen mit Bildmenge $\mathbb {R} ^{1}$ funktioniert einfach die Formel, die auf der Vorderseite steht, und zwar für beliebige metrische Räume als Definitionsbereich. Wenn man das als "Lemma von McShane" bezeichnen will, meinetwegen. Es ist aber eigentlich eine Ubungsaufgabe, die man auch Studenten im ersten Semester stellen könnte. In McShanes Originalarbeit werden dann ja durchaus auch noch schwierigere Sätze bewiesen als nur dieses elementare Lemma.--Pugo (Diskussion) 23:21, 29. Okt. 2016 (CEST) McShane schreibt ja in seiner Arbeit auch wörtlich: "In order to exhibit the simplicity of the method we first consider the special case of Lipschitzian functions." Er betrachtet also das später nach ihm benannte Lemma auch nur als einfachen Einstieg, mit dem man die Methode verstehen kann, um dann die schwierigeren Sätze seiner Arbeit zu beweisen. (Die dann aber eben in eine andere Richtung gehen als Kirszbrauns Theorem.)--Pugo (Diskussion) 23:27, 29. Okt. 2016 (CEST)

Das Wesentliche siehst Dir immer noch nicht. Oder Du willst es vielleicht lieber übersehen. Ich beschreibe den Sachverhalt also noch einmal vereinfacht (unter Bezugnahme auf die Pfeile von Abbildungen und Funktionen):

Links macht das Lemma von McShane allgemeinere Voraussetzungen als der Satz von Kirszbraun und rechts macht der Satz von Kirszbraun allgemeinere Voraussetzungen als das Lemma von McShane. Keines der beiden Resultate schließt das jeweils andere in sich ein und beide stehen nebeneinander.

Abschließend will ich noch festhalten: Die Bezeichnung "Lemma von McShane" stammt nicht von mir, sondern aus der genannten Monographie von Philippe G. Ciarlet. --Schojoha (Diskussion) 21:11, 2. Nov. 2016 (CET)

Ich habe dazu alles gesagt. Aber Du kannst natürlich Drittmeinungen auf dem Portal einholen.--Pugo (Diskussion) 01:57, 3. Nov. 2016 (CET)

Du hast zwar diskutiert, jedoch nichts zur Verbesserung des Artikels getan. Der von mir angemahnte Querverweis auf das Lemma von McShane fehlt immer noch. Mir ist es ein Rätsel, wieso Du Dich hier verweigerst!

Eine mögliche Erklärung wäre, dass Dir meine obige Argumentation deswegen immer noch nicht einleuchtet, weil Dir gewisse Zusammenhänge nicht klar sind.

Für diesen Fall füge hier noch folgende Erläuterung an. Nicht zuletzt auch deswegen, weil ich klarstellen möchte - auch für andere, die diese Diskussion einmal lesen - worum es mir hier geht:

Zunächst ist jeder Hilbertraum - insbesondere ein jeder $\mathbb {R} ^{m}$ - mit der Skalarproduktnorm ein normierter Raum und damit auf kanonische Weise ein metrischer Raum. Hingegen ist ein beliebiger metrischer bzw. ein beliebiger metrisierbarer topologischer Raum in aller Regel kein Hilbertraum. ( Ein sehr schönes Gegenbeispiel liefert der Hilbertwürfel $[0,1]^{{\aleph }_{0}}$ : Obwohl der Name etwas Anderes vermuten lässt, ist der Hilbertwürfel kein Hilbertraum, sondern nur ein metrisierbarer topologischer Raum und als kompakter topologischer Raum nicht einmal ein topologischer Vektorraum.) Jedenfalls gibt es erheblich mehr metrische Räume als Hilberträume.

Auf der anderen Seite ist $\mathbb {R}$ natürlich auch ein $\mathbb {R} ^{m}$ und damit ein Hilbertraum.

--Schojoha (Diskussion) 22:07, 5. Nov. 2016 (CET)

Den Querverweis gibt es, nämlich im Abschnitt Satz von Kirszbraun#Beispiel. Die dort genannte Formel funktioniert für Abbildungen von beliebigen metrischen Räumen nach $\mathbb {R}$. Schwierig wird es erst, wenn man Abbildungen in den $\mathbb {R} ^{m}$ für $m>1$ betrachtet.--Pugo (Diskussion) 23:22, 5. Nov. 2016 (CET)

Dein Querverweis erweckt immer noch den Eindruck, dass das Lemma von McShane dem Satz von Kirszbraun untergeordnet sei, was nicht der Fall ist. Ich habe dies doch nun mehrfach und überdeutlich dargelegt und auch ausdrücklich gesagt: Keines der beiden Resultate schließt das jeweils andere in sich ein und beide stehen nebeneinander. Diesen Zusammenhang musst Du korrekt darstellen. --Schojoha (Diskussion) 23:41, 5. Nov. 2016 (CET)

Wie gesagt, Du kannst gerne Drittmeinungen einholen. Das Lemma von McShane ist tatsächlich nur eine einfache Übungsaufgabe und auch McShane selbst hatte in seiner Arbeit nichts anderes behauptet.--Pugo (Diskussion) 00:06, 6. Nov. 2016 (CET)

Was Du hier bietest, ist lediglich substanzloses Gerede. Es geht um den inneren Zusammenhang der beiden Sätze. Diesen durchschaust nicht, was Du jedoch offenbar nicht eingestehen möchtest. Es geht weder um Meinungen noch um Bewertungen.--Schojoha (Diskussion) 14:35, 7. Nov. 2016 (CET)

Nachtrag: Meine letzte Kritik war zu scharf formuliert, wie ich eingestehen muss. Dafür entschuldige ich mich hiermit. Ich bin um Fairness und Kompromissbereitschaft bemüht und habe mir die Sache daher noch einmal angeschaut. Ich hielte den bestehenden Querverweis für ausreichend, wenn du in einer Fußnote den inneren Zusammenhang beider Sätze wie oben beschrieben darstelltest.--Schojoha (Diskussion) 19:24, 8. Nov. 2016 (CET)

Nachtrag II: Ich habe meinerseits im Artikel Lemma von McShane den einfachen Siehe-auch-Querverweis auf den hiesigen Artikel ersetzt durch einen neuen Abschnitt mit Überschrift "Verwandter Satz", in dem ich den inneren Zusammenhang zwischen beiden Resultaten kurz erläutere.--Schojoha (Diskussion) 22:06, 8. Nov. 2016 (CET)