Diskussion:Satz von Mercer

Symmetrie

Ich nehme an, es ist gemeint, dass k(x,y)=k(y,x) gilt? --P. Birken 16:59, 20. Aug. 2011 (CEST)

Ich habe den Eindruck, dass der Artikel nur für reellwertige Funktionen geschrieben wurde. Dann würde Symmetrie genau k(x,y)=k(y,x) bedeuten. Für einen komplexwertigen Integralkern würde es eben $k(x,y)={\overline {k(y,x)}}$ bedeuten, aber dann müssten noch ein oder zwei Dinge komplex konjugiert werden.

Darstellung des Integralkerns

Kann es sein, dass bei

${\begin{aligned}k(x,x^{'})=\sum _{j=1}^{\infty }\phi _{j}(x)\phi _{j}(x^{\prime })\end{aligned}}.$

die Eigenwerte $\lambda _{i}$ in der Summe fehlen? --Christian1985 (Diskussion) 17:39, 20. Aug. 2011 (CEST)

Ja natürlich fehlen die Eigenwerte. Was da im Artikel steht, kann so nicht richtig sein. Wenn $\langle \phi _{j},\phi _{i}\rangle =\delta _{ij}$, dann ist $\|\phi _{i}\|_{2}=1$ und die angegebene Reihe kann beim besten Willen nicht konvergent sein. Weitere Einzelheiten finden sich bei unseren englischsprachigen Freunden unter en:Mercer's theorem.--FerdiBf 18:53, 24. Aug. 2011 (CEST)

Hallo Christian1985, ich habe gesehen, dass Du die Faktoren lambda_j im Haupttext eingeführt hast. Wir zwei wissen, dass es sich um Eigenwerte handelt. Für einen unbedarften Leser treten diese Faktoren unangekündigt aus heiterem Himmel auf, er kann nicht einmal sicher sein, dass es sich um komplexe Zahlen handelt. Die gleiche Kritik gilt für die Formulierung "zu einer gleichmäßig konvergierenden Reihe bezüglich der Funktionen phi_j". Die Verwendung des bestimmten Artikels suggeriert einen Verweis auf eine Einführung dieser phi_j weiter oben im Text, was aber leider nicht der Fall ist. Wer nicht schon weiß, worum es hier geht, kann eigentlich nichts aus diesem Artikel ziehen. Ich selbst habe die angegebene Literatur leider nicht zur Hand, daher folgende Bitte an den Autor Webbi1987: Bitte füge die fehlenden Informtionen ein, die oben erwähnte englische Version könnte hilfreich sein.--FerdiBf 10:38, 3. Sep. 2011 (CEST)

Ja ich weiß, dass meine Änderung mit dem Lambda ohne Erklärung nicht hilfreich war, ich dachte nur lieber unpräzise als falsch. --Christian1985 (Diskussion) 10:51, 3. Sep. 2011 (CEST)

Korrekte Formulierung

Entweder wählen wir stetige Eigenfunktionen (und erwähnen, dass das geht) oder wir schreiben, dass die Konvergenz der Reihe fast überall gilt. So wie es jetz dort steht, ist die Aussage nicht korrekt. Man könnte jedes phi an einer festen Stelle so abändern, dass der Wert 7 ist. Dann hat man immer noch eine L^2-Orthonormalbasis aus Eigenvektoren, aber die Konvergenz gilt an dieser Stelle nicht.--FerdiBf (Diskussion) 07:43, 17. Dez. 2020 (CET)