Diskussion:Störungslemma

Weshalb wird das Lemma nicht mit $\|A^{-1}\cdot \delta A\|$ formuliert?--Gunther 15:16, 6. Nov. 2006 (CET)

Ist etwas schaerfer wegen $\|A^{-1}\cdot \delta A\|\leq \|A^{-1}\|\cdot \|\delta A\|$ und dem Nenner auf der rechten Seite der Ungleichung. --P. Birken 15:23, 6. Nov. 2006 (CET)

Genau deshalb bekomme ich doch eine schwächere Voraussetzung und eine stärkere Aussage?--Gunther 15:26, 6. Nov. 2006 (CET)

Ich hab den Beweis nicht parat, aber erstmal so kriegt man gar keine Aussage mehr, weil nicht klar ist, dass der Nenner auf der rechten Seite nicht Null wird oder negativ. --P. Birken 15:30, 6. Nov. 2006 (CET)

$A+\delta A=A\cdot (1+A^{-1}\delta A)$, und Neumannreihe für den zweiten Faktor gibt genau das Lemma, wenn man an *beiden* Stellen $\|A^{-1}\cdot \delta A\|$ schreibt.--Gunther 15:32, 6. Nov. 2006 (CET)

OK, dann ist der Grund vermutlich, dass man das Lemma in dieser Form braucht, um gewisse Abschaetzungen an die entsprechend gestoerte Loesung, bei der die Kondition (Mathematik) auftaucht (weswegen man eben $\|A^{-1}\|$ alleine dastehen haben muss), zu beweisen. --P. Birken 15:45, 6. Nov. 2006 (CET)

Konkreter brauche ich die Voraussetzung in der Form, um bsp. die Aussage $\min\{\|\delta A\|_{2}:A+\delta A$ singulaer $\}={\frac {1}{\kappa _{2}(A)}}$ zu beweisen. --P. Birken 15:51, 6. Nov. 2006 (CET)

So ist die linke Seite homogen vom Grad 1, die rechte vom Grad 0. Aber s.u.--Gunther 23:31, 6. Nov. 2006 (CET)

Hallo Gunther, Genau weiß ich das auch nicht aber man interessiert sich wohl für beliebige Störungen und da es z.B. in der Spektral-Norm Matrizen gibt mit ||A^-1*dA||=||A^-1||*||dA|| reicht das wohl auch so grüße --Mathemaduenn 16:07, 6. Nov. 2006 (CET)

In Anwendungen des Lemmas wird man von den zwei Matrizen die zwei Normen kennen, aber nicht unbedingt die Norm des Produktes. Das Lemma beweist man genau so, wie Du es machst, die zusätzlichen Bedingung braucht man einfach, um die Ungleichung weiter abzuschätzen, wenn man die Norm des Produktes nicht kennt. --Enlil2 21:10, 6. Nov. 2006 (CET)

Mein Interesse an dieser Aussage ist ehrlich gesagt nicht groß genug, um das zu vertiefen. Es kommt mir halt ungewöhnlich vor, auf eine offensichtliche Verschärfung der Aussage zu verzichten.--Gunther 23:31, 6. Nov. 2006 (CET)

Der Punkt ist denke ich, dass man eine gegebene Matrix hat, aber die Stoerungen nicht kennt, da sie aus Rundungsfehlern oder nicht direkt fassbareb Approximationen stammen. Haeufig kann ich jedoch eine Schranke fuer die Stoerungen angeben, die Norm der Inversen durch Eigenwertschaetzungen, etc. Was hilft eine verschaerfte Aussage, wenn ich die darin auftauchenden Groessen nicht habe? --P. Birken 10:17, 7. Nov. 2006 (CET)

Wenn man natürlich nie mehr weiß als $\|A^{-1}\cdot \delta A\|\leq \|A^{-1}\|\cdot \|\delta A\|$, dann bringt die Verschärfung auch keinen Mehrwert, das ist wahr.--Gunther 10:26, 7. Nov. 2006 (CET)