Diskussion:Standardskalarprodukt

Ein paar Anmerkungen

1. Ist die Bezeichnung "euklidisches Skalarprodukt" etabliert? Sie entspricht zwar der Bezeichnung "euklidische Norm" für die davon induzierte Norm, passt aber überhaupt nicht dazu, dass jeder endlichdimensionale reelle Vektorraum mit einem beliebigen Skalarprodukt als euklidischer Vektorraum bezeichnet wird.

2. Im Abschnitt "Definition" schreibst du Vektoren explizit als Spaltenvektoren (nämlich als transponierte von Zeilenvektoren), im Abschnitt "Beispiele" aber einfach als n-Tupel (also als Zeilen). Das passt nicht ganz. Außerdem finde ich, dass man das Transponieren (zumindest die Schreibweise $x^{T}$) und vor allem die Adjungiert $x^{H}$ erklären muss. Zumal bei letzterem die Schreibweise überhaupt nicht einheitlich ist, und nicht jeder, der die Adjungierte kennt, kennt auch die Schreibweise $x^{H}$. Ich würde die Spaltenvektoren ausschreiben, wie es im Artikel Skalarprodukt bisher war. Oder müssen wir so Platz sparen?

3. Ich würde bei den Eigenschaften den reellen Fall getrennt behandeln und nicht unter dem komplexen subsumieren. Symmetrie ist nicht einfach ein Spezialfall von hermitesch und Bilinearität nicht einfach ein Spezialfall von Sesquilinearität. Es sollte außerdem verständlich sein für jemanden, der komplexe Zahlen nicht kennt oder damit zumindest nicht so vertraut ist. Ich würde außerdem eher die Summenschreibweise forcieren als die Matrizenschreibweise, also eher $\textstyle \sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}y_{i}$ als $x^{H}\,y$.

4. Deshalb würde ich den Artikel vielleicht eher anders gliedern, nämlich erst den reellen Fall behandeln mit Definition und Eigenschaften und dann den komplexen Fall mit Definition und Eigenschaften. Zumindest was die Skalarprodukt-Axiome betrifft (und im reellen Fall den Winkel). Andere Eigenschaften und abgeleitete Begriffe, die für den reellen wie den komplexen Fall gleichermaßen gelten, wie z.B. die Norm, kann man dann in einem dritten Abschnitt behandeln.

5. Zumindest im reellen Fall ist auch die Schreibweise mit Malpunkt üblich. Beispiel: Herbert Federer, Geometric Measure Theory. Man sollte sie zumindest auch erwähnen. Im komplexen Fall ist natürlich nur die Schreibweise mit Klammern sinnvoll, wegen der Semilinearität, sonst müsste man Ausdrücke wie $\lambda x\cdot y$ klammern, denn $(\lambda x)\cdot y\neq \lambda (x\cdot y)=({\bar {\lambda }}x)\cdot y$. --Digamma (Diskussion) 20:39, 10. Mai 2012 (CEST)

Sorry, ich hatte übersehen, dass du $x^{T}$ und $x^{H}$ erklärt hast. --Digamma (Diskussion) 20:39, 10. Mai 2012 (CEST)

Erstmal vielen Dank für deine Anmerkungen. Zu den einzelnen Punkten:

Zu 1: Hab ich mir nicht ausgedacht, siehe Google Books. Der Zusatz "euklidisch" wird leider kreuz und quer verwendet.

Zu 2: Wir müssen zwar nicht unbedingt Platz sparen, aber ich finde den Text so ästhetischer, da kompakter. Ich habe daher einfach die Beispiele angepasst.

Zu 3: Spezialfall habe ich ja nicht geschrieben ;-). Ich gebe dir zwar grundsätzlich recht, wollte aber bei 7 nachzuweisenden Eigenschaften nicht zu repetitiv werden. Die Summenschreibweise habe ich ausprobiert aber dann verworfen, die lässt sich einfach nicht gut lesen.

Zu 4: Ja, das wäre die andere Variante der Gliederung. Kann ich ja mal ausprobieren.

Zu 5: Hab ich ergänzt.

Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:38, 10. Mai 2012 (CEST)

Danke für die schnelle Reaktion. Nochmal zur Bezeichnung "euklidisches Skalarprodukt": Ich gehe mal die Trefferliste durch: Brill benutzt die Bezeichnung im Sinn von Standardskalarprodukt, genauso Schmidt und Gerhardt. Scherfner und Volland benutzen die Bezeichnung im Sinn von "Skalarprodukt im reellen Vektorraum" (im Unterschied zum unitären im komplexen), genauso Bröcker. Bär schreibt vom üblichen euklidischen Skalarprodukt. Dass das Standardskalarprodukt gemeint ist, steckt hier wohl eher in "üblich". "Euklidisch" meint hier wohl eher "positiv definit", im Gegensatz zum indefiniten Minkowski-Skalarprodukt. Kühnel schreibt erst vom euklidischen Skalarprodukt im euklidischen Raum $E^{n}$. Erst im nächsten Schritt identifiziert er den euklidischen Raum mit dem $\mathbb {R} ^{n}$ und das euklidische Skalarprodukt mit dem Standardskalarprodukt. Das Bild ist also nicht ganz einheitlich. --Digamma (Diskussion) 23:22, 10. Mai 2012 (CEST)

Naja, ich hänge nicht dran. Ich habe den Begriff nun rausgenommen da er dann doch eher ungebräuchlich ist und uneinheitlich verwendet wird. Was machen wir mit der Umleitung Euklidisches Skalarprodukt, die hatte ich – schon in Vorahnung :-) – noch nicht angepasst? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:05, 11. Mai 2012 (CEST)

Ok, ich habe nun den reellen und komplexen Fall separat aufgeführt, wobei ich die Summen im reellen Fall jetzt ausgeschrieben habe. Die Winkel habe ich erstmal noch bei den abgeleiteten Begriffen gelassen. Mir gefällt diese Gliederungsvariante auch besser. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:33, 11. Mai 2012 (CEST)

Das ist schon beängstigend, wie hier meine Anregungen umgesetzt werden. Was die Bezeichnung "euklidisches Skalarprodukt" betrifft: da die Bezeichnung ja durchaus für das Standardskalarprodukt gebraucht wird, kann man sie doch aufführen, aber vielleicht weniger prominent, z.B. nur kursiv statt fett. Da die Bezeichnung auch mit der Bedeutung "Skalarprodukt in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum" benutzt wird, könnte man im Artikel Skalarprodukt nach der Definition darauf hinweisen, ebenso auf die Bezeichung "unitär" für das komplexe. Aus der Seite Euklidisches Skalarprodukt könnte man dann eine BKL machen. Ich hätte auch keine Problem damit, sie zu löschen, aber dann wird sie garantiert jemand neu anlegen. Die paar Links, die auf die Seite zeigen, kann man leicht umbiegen. --Digamma (Diskussion) 19:53, 11. Mai 2012 (CEST)

Ich habe mal hier die Bezeichnung euklidisches Skalarprodukt wieder eingebaut. Mit der Anmerkung in Skalarprodukt tue ich mich schwer, da schon die Bezeichnungen euklidischer Vektorraum und unitärer (Vektor-)Raum nicht einheitlich verwendet werden, siehe Prähilbertraum und die alte Diskussion dort. --Digamma (Diskussion) 20:09, 11. Mai 2012 (CEST)

Gute Anregungen nehme ich gerne an :-). Sieht gut aus. Die Weiterleitung Euklidisches Skalarprodukt können wir dann auch einfach so lassen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:18, 11. Mai 2012 (CEST)

Dimension

Nennt man wirklich einen Vektor aus dem $\mathbb {R} ^{3}$ dreidimensional? Ich kenne den Begriff Dimension nur als Eigenschaft des Raums aber nicht als Eigenschaft der Vektoren. --Digamma (Diskussion) 16:44, 12. Mai 2012 (CEST)

Besser so, oder soll ich Koordinatenraum schreiben? Ich versuche den Formeldschungel etwas zu minimieren, ansonsten hätte ich $x,y\in \mathbb {R} ^{3}$ geschrieben. Ich schreibe „dreidimensionaler Vektor“ an sich rein intuitiv (und in Euklidische Norm wurde es mir auch noch nicht angestrichen), aber laut Google Books wird diese Kombination schon verwendet und auch bei uns finden sich einige Beispiele für diese Schreibweise. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:51, 12. Mai 2012 (CEST)

Intuitiv ist es auf jeden Fall. Zumindest algebraisch betrachtet. Ich denke eher geometrisch, da kommt es mir seltsam vor, dass ein Vektor dreidimensional sein soll. Punkte im dreidimensionalen Raum nennt man ja auch nicht dreidimensional. Schließlich hat ein Punkt keine Ausdehnung. Und ein Vektor hat, wenn man ihn als Pfeil auffasst, höchstens eine Ausdehnung, ist als geometrisches Objekt also wie eine Strecke oder eine Gerade eindimensional. --Digamma (Diskussion) 18:58, 12. Mai 2012 (CEST)

orthogonal

Ich habe leider außer einer Vorlesungsmitschrift keine Quellen zur Hand. Aber meines Wissens lässt man bei Orthogonalität auch den Nullvektor zu. Der Nullvektor ist dann zu jedem Vektor orthogonal. Grund: Man möchte, dass das orthogonale Komplement einer Menge ein Untervektorraum ist. Zu einem Untervektorraum gehört aber immer der Nullvektor. --Digamma (Diskussion) 23:53, 12. Mai 2012 (CEST)

Das wird uneinheitlich gehandhabt: im Bronstein steht es ohne, aber die ersten paar Googletreffer [1] [2] [3] und unser Artikel Orthogonalität schließen den Nullvektor aus. Ich nehme an, die eher elementargeometrisch orientierten Bücher machen das, damit man so rechte Winkel definieren kann. Ich hab es mal hier durch Verschieben der Bedingung gelöst, die Frage sollte aber auch auf Orthogonalität geklärt werden. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:56, 13. Mai 2012 (CEST)

Nach mehrmaligem Lesen denke ich, der Abschnitt in Orthogonalität ist nur etwas missverständlich geschrieben. Gemeint ist wohl, dass sich die Positivitätsbedingung nur auf die Winkeldefinition und nicht auf die Orthogonalitätsdefinition bezieht. Hast du eine Idee, wie man das besser formuliert? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:04, 13. Mai 2012 (CEST)

Im dritten von dir verlinkten Buch steht interessanterweise weiter unten auf der Seite:

„In einem allgemeinereren Kontext werden wir dies unten umdrehen und zwei Vektoren $a$ und $b$ als orthogonal definieren, wenn $a\cdot b=0$, wobei $a\cdot b$ das Skalarprodukt von $a$ und $b$ ist.“

Hier ist nicht davon die Rede, dass die Vektoren vom Nullvektor verschieden sein müssen. Diese Bedingung ist dann nötig, wenn man Orthogonalität über den Winkel definiert, weil der Winkel sonst nicht definiert ist.

Der Artikel Orthogonalität bräuchte sowieso eine gründliche Überarbeitung. Konkrete Formulierungsvorschläge habe ich leider nicht. --Digamma (Diskussion) 21:23, 13. Mai 2012 (CEST)

Vorschlag den Artikel in den Artikel zum Skalarprodukt einzuarbeiten

Wenn ich nach einem Artikel über das Skalarprodukt suchen würde, würde ich den über das Skalarprodukt nehmen. Ausserdem macht das es einfacher im zusammenarbeit mit fremdsprachlichen, zB. englischen Wikipedia, was haltet ihr von dem Vorschlag die beiden zusammenzuführen? VG --TheFibonacciEffect (Diskussion) 16:28, 25. Apr. 2020 (CEST)

Das war da mal drin und wurde dann ausgelagert. Ich finde, der Artikel hier ist zu lang um dort eingefügt zu werden. Wobei es natürlich andererseits einige Redundanzen gibt. --Digamma (Diskussion) 00:55, 26. Apr. 2020 (CEST)

Schließe mich an. Da sind einige Redundanzen. Die beiden Weblinks in Standardskalarprodukt sind leider auch schlecht. Zum einen ist die Syntax bei Wolfram nicht gleich (Brakets) und zum anderen ist Planetmath eine Baustelle. Einzelnachweise (Inline-Zitatonen) haben beide Seiten nur wenige. Das ist eine Menge Arbeit die Differenzen und Feinheiten zu trennen. Diese Art von Besprechung sollte aber über den Prozess https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Redundanz#Redundanzen_beseitigen gestartet werden. Gruß --17387349L8764 (Diskussion) 10:37, 17. Mär. 2022 (CET)