Diskussion:Tensor/Archiv/1

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[[Diskussion:Tensor/Archiv/1#Thema 1]]

oder als Weblink zur Verlinkung außerhalb der Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Tensor/Archiv/1#Thema_1

Tensor

http://www.tensortrucks.com/ es gibts also nicht nur Tensor (Mathematik)

OK, es gibt also eine Marke die so heißt, die Aluminiumteile für Sportgeräte herstellt....

Aber was noch wichtiger ist, es gibt den Ausdruck Tensor noch für Einhand-Ruten, also für einarmige Banditen, äh sorry Geomanten ;-) Naja, da wird auf jeden Fall eine Vorschaltseite für die Begriffsauswahl nötig! --Manorainjan 23:52, 14. Sep. 2008 (CEST)

Zur Überarbeitung bzw. Neufassung

Der Artikel ist, wie mehrfach bemerkt, eine Wüstung. Leider ist es nicht einfach, eine lineare Struktur in dieses komplexe Thema zu bringen. Andererseits birgt die Aufteilung in mehrere Artikel das Problem, dass Dinge mehrfach erklärt werden oder auch das Bearbeitungsniveau sehr ungleichmäßig wird. Vorerst habe ich versucht, diese Diskussion etwas durch Umstellen thematisch zu ordnen.--LutzL 16:02, 9. Mär 2005 (CET)

*vordrängel* / Trennung des Artikels in (mindestens) zwei Versionen

Erstens drängele ich mich hier in der Hierarchie mal weit nach vorn, verweise zweitens auf meine Kommentare weiter unten und möchte drittens sogleich noch anmerken, dass ich den Verdacht hege, dass, solange Mathematiker der "reinen Lehre" und pragmatische Physiker "gemeinsam" *hust* an diesem Artikel schreiben, nie etwas Brauchbares dabei herauskommen wird. Nicht unbedingt so auffällig wie bei diesem Artikel hier, aber doch fast schon durchgehend sieht man das bei so gut wie jedem Thema, das mathematisch und physikalisch mehr oder weniger unterschiedlich prag- bzw. dogmatisch gesehen wird. Kaum schreibt ein Mathematiker, kommt eine Ergänzung eines Physikers im impliziten Sinn "(das braucht aber keine Sau)", und kaum schreibt ein Physiker, kommt eine Ergänzung eines Mathematikers im impliziten Sinn "(das ist streng genommen natürlich alles nur Blödsinn)".

Wie weiter unten bereits geschehen, schlage ich deswegen vor, dass in solchen Fällen der Hauptbegriff als Unterscheidung dient bzw. höchstens eine "Oma" ist mit sonst nur einer Begriffsunterscheidung, und dazu entsprechende, eigenständige Artikel kommen, in denen sich die Sichtweisen austoben können. Unterstreichen möchte ich hier aber auch gleich, dass ich die "Oma" ausgesprochen wichtig finde, auch dann, wenn sie weder dem mathematischen Dogma noch dem physikalischen Pragmatismus standhalten mag. Was man seiner Oma oder seinem 10-jährigen Kind nicht wenigstens auf Lesch-Niveau erklären kann, hat in einem Wörterbuch nichts verloren. Denn das Wörterbuch gewinnt gar nichts dadurch, dass irgendwer seine Brillanz dadurch "beweist", dass er die Definitionen aus seinem Lieblings-Fachbuch abtippt und es dann noch mit "eigentlich trivial, (Name)" garniert. Das interessiert echt keine Sau, bis auf (Name).

Wenn es nur darum geht, einen Begriff so darzustellen, dass jemand sich an bereits Gelerntes erinnern kann, gehört das Lemma ins Commons. Freilich kann Pedia nicht zu jedem Lemma ein Lehrbuch sein, denn dann gehörte es in die Books oder die Versity. Dennoch, eine Erklärung, die am besten noch mehr Wissen voraussetzt (im Sinne einer üblichen Lernkurve bzw. -Biografie) als der Begriff, ist so sinnvoll wie eine Hupe im Vakuum.

VillaStraylight 22:34, 3. Feb. 2008 (CET)

Weg damit!

Dieser Artikel lässt mich an ein gelingen des Projektes Wikipedia zweifeln. Der Artikel ist eine absolute Katastrophe, zum davonlaufen. Deshalb gibt es mittlerweile mehrere Artikel zum selben Thema, nämlich Tensorprodukt, Vergleich von Tensordefinitionen und dieser Artikel Tensor. Einige Autoren haben wohl eingesehen, dass die Überarbeitung dieses Artikels zwecklos ist.

Ich möchte alle hochbegabten Mathematiker (vor allem Lutzl) daran erinnern, dass es hier nicht darum geht einen Artikel für eine Fachzeitschrift zu erstellen. Ihr solltet Euch den Beitrag "Oma-Prinzip" zu Herzen nehmen. Diese Kritik habe ich in ähnlicher Form schon mehrfach gelesen. Der Artikel Differentialrechnung ist ein Beispiel dafür, dass es auch anders geht. Es behaupte hier keiner, dass Tensoren schwieriger zu verstehen sind! --Kilian Klaiber 10:21, 17. Apr 2005 (CEST)

Falls Du diese Diskussion hier gelesen hast, und evtl. auch Dir die Geschichte dieses Artikels anschaust, wirst Du feststellen, dass die Aufteilung in mehrere Artikel genau aus diesem Grund erfolgte und noch in Arbeit ist. Im Prinzip bräuchte es noch eines Physikers, der darauf achtet, dass auch die Indexjongliererei nicht zu kurz kommt. Um was Konstruktives beizusteuern, und da Du das Oma-Prinzip ins Spiel bringst: Zu welchem Anlass kommt ein Abiturient, evtl. im Leistungskurs, mit Tensoren in Kontakt? Im Mathe-Studium tauchen Tensoren erstmals indirekt bei der mehrdimensionalen Taylorformel und Flächenintegration auf, also 2.-3. Semester. Physik ist unklar, aber in auf systematische Art wohl erst nach dem Grundstudium.--LutzL 08:21, 18. Apr 2005 (CEST)

PS:Ich habe mir erlaubt, Deinen Beitrag in die laufende Diskussion etwas einzusortieren. PPS: Kannst Du auch direkte Kritik beisteuern, Abschnitte, die unleserlich sind, oder gar falsch, benennen...

Gerne, nur weil Tensoren üblicherweise nicht im Schulunterricht behandelt werden, bedeutet das nicht, dass wir nicht um Verständlichkeit bemüht sein sollten. Im Gegenteil, wir müssen besonders verständlich formulieren, da wir wenige Kenntnisse voraussetzen können. Die Begriffe des Trägheitstensors oder Spannungstensors sind ja nichts Exotisches und beschreiben Alltagsgegenstände. Über solche relativ einfachen Konzepte sollte man den Leser zum Begriff des Tensors hinführen.

Als erstes sollten meiner Meinung nach alle bisher gegebenen Definitionen von Tensoren einander gegenübergestellt werden. Das meine ich ganz wörtlich. Wenn sich herausstellen sollte das der Begriff des Tensors im mathematischen Sinne von demjenigen im physikalischen Sinne abweicht, sollten zwei vollkommen getrennte Artikel erstellt werden. Wir müssen herausfinden, ob hier wirklich alle von demselben Gegenstand reden. Ich kann das derzeit nicht beurteilen. Vielleicht bedarf das eines Austausches zwischen den unterschiedlichen Fakultäten, die hier versammelt sind. --Kilian Klaiber 19:29, 18. Apr 2005 (CEST)

Trägheits- und Spannungstensoren sind keineswegs einfache Gegenstände, da geht sowas wie die Massendichte oder die Gestalt eines Körpers bzw. ein Verschiebungsvektorfeld ein. Der Spannungstensor ist sogar ein Tensorfeld. Falls Du lesen kannst, der erste Abschnitt ist die Gegenüberstellung der Tensorbegriffe in mathematischer, physikialischer und altmodischer Darstellung. Falls Du weiter die Diskussion gelesen haben solltest, wüßtest Du, dass genau diese Aufspaltung vorgeschlagen wurde und durch die Verlinkung in der Gegenüberstellung schon teilweise vollzogen. Es hat nur noch niemand so richtig Zeit und Muße gefunden, diesen Artikel hier zu entrümpeln und endgültig auf Übersichtsartikel umzustellen.--LutzL 09:07, 19. Apr 2005 (CEST)

Gut, die mathematische Definition stimmt mit der physikalischen Definition nicht überein. Während bei der mathematischen Definition die Tensoren T jeweils multilineare Abbildungen aus den Dualräumen V* in den Körper K sind, stellen die "physikalischen Tensoren" multilineare Abbildungen sowohl aus den Dualräumen V* als auch aus den zu gehörigen Vektorräumen V in den Körper K dar. Das hieße dann, dass die mathematische Definition einen Spezialfall der physikalischen Definition ist? Das würde doch die Ehre jedes Mathematikers kränken. Umgekehrt muss es sein!

Die entscheidende Passage ist die folgende:

"In den meisten Texten der Physik "vergißt" man nun, dass die Symbole mit den Indizes Koordinaten in einer Basisdarstellung sind, betrachtet diese Zusammenballung von Zahlen also nur noch als Abbildung mit etwas unüblicher Indexschreibweise..."

Häufig werden Tensoren T durch Ihr Transformationsverhalten unter Koordinatentransformation in der Physik festgelegt. Als Tensor wird (häufig) nicht die Abbildung T in den Körper K bezeichnet sondern deren Darstellung Tij in einer Basis ei, ej. Es gibt also tatsächlich unterschiedliche Definitionen. Für die "physikalische Definition" ist das Transformationsverhalten von Tij unter Koordinatentransformation entscheidend. Das ergibt sich zwar zwangsläufig aus dem Transormationsverhalten der Basistensoren, aber genau das muss herausgearbeitet werden. -- Kilian Klaiber 10:55, 20. Apr 2005 (CEST)

Hi, du vergißt, dass der doppelte Dualraum eines endlichdimensionalen Vektorraums wieder der Vektorraum ist. Ausserdem sollte zu erkennen sein, dass in der mathematischen Definition s verschiedene Vektorräume vorkommen können, während in der physikalischen nur zwei vorkommen, bei Bedarf mehrfach. Die Herausarbeitung des Transformationsverhaltens steht im extra Artikel Tensordarstellungen der Physik. Das wäre hier doch etwas zu lang. - LutzL 11:33, 20. Apr 2005 (CEST)

Sorry, der "doppelte Dualraum" - du meinst wohl Bidualraum V** - ist nicht gleich dem Vektorraum V. Im endlich-dimensionalen gibt es einen Isomorphismus zwischen dem Bidualraum V** und dem Vektorraum V. In der mathematischen Definition der Tensoren sind unterschiedliche Dualräume V1*, ..., V*s angegeben. Gleichwohl sind ausschließlich Dualräume Teil des Definitionsbereichs, während bei der physikalischen Definition sowohl Dualräume V* als auch Vektorräume V angegeben sind. Hier der Vergleich:

$T:V_{1}^{*}\times V_{2}^{*}\times \dots \times V_{s}^{*}\to \mathbb {K}$.

$T:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to \mathbb {K}$

Hast du das etwa nicht erkannt? Schmeiß doch die "Physiker" und "Ingenieur"-Definitionen raus aus dem Artikel und benenne Ihn zu "Tensor in der Mathematik" um. Ich glaube das wäre am sinnvollsten. -- 84.151.172.54 16:38, 20. Apr 2005 (CEST)

Du hast eine etwas zu enge Vorstellung von der Bedeutung des Wortes "gleich". Oben meint $V=V^{**}$, dass die natürliche Abbildung $V\to V^{**}$ ein Isomorphismus ist. Ganz ähnlich wird (fast?) jeder die rationale Zahl $3/2$ und die reelle Zahl $3/2$ "gleich" nennen, obwohl letztere formal eine Äquivalenzklasse von Cauchyfolgen rationaler Zahlen ist; gemeint ist natürlich so etwas wie die Aussage, dass das Bild von $(3/2)_{\mathbb {Q} }$ unter dem einzigen Körperhomomorphismus $\mathbb {Q} \to \mathbb {R}$ gleich $(3/2)_{\mathbb {R} }$ ist. In der Mathematik geht es nicht darum, sich immer zu 100% formal korrekt auszudrücken, sondern darum, stets zu wissen, wie man eine Aussage formal korrekt ausdrücken könnte. Ansonsten landet man bei Russell und Whitehead und dem 1000-Seiten-Beweis von $1+1=2.$

Es gibt nur einen Tensorbegriff, und der sollte auch in einem Artikel zusammen mit den verschiedenen Sichtweisen beschrieben werden. Schon im Interesse der Verständlichkeit sollte man aber hier nicht mit der mathematischen Definition (siehe die zweite Hälfte von Tensorprodukt) anfangen.-- Gunther 17:16, 20. Apr 2005 (CEST)

Hallo Gunther, ich weiß nur, dass zwischen Isomorphismen und Automorphismen in der linearen Algebra unterschieden wird. Das habe ich nicht erfunden. Entscheidend ist aber, dass die Definitionen in diesem Artikel einander derzeit widersprechen. Was mir auch nicht behagt, ist die Art, wie in dem Artikel mit Physikern und Ingenieuren umgegangen wird. Die Physiker "vergessen" einfach Dinge und benutzen eine unübliche Schreibweise. Schließlich hat der Erfolg der Relativitätstheorie sogar den mathematischen Wissensstand konserviert. Wie gemein! Die Ingenieure müssen eh nur rechnen.... Das ist herablassend und polemisch. So etwas gehört einfach nicht in so einen Artikel. Meine Meinung. -- Kilian Klaiber 21:00, 20. Apr 2005 (CEST)

Niemand hat behauptet, dass Isomorphie und Gleichheit dasselbe ist. Aber manchmal ist es praktisch, einen Isomorphismus als Identifizierung anzusehen. Weiteres Beispiel: Für drei Mengen $X,Y,Z$ sind $X\times (Y\times Z)$ und $(X\times Y)\times Z$ strenggenommen verschiedene Mengen, aber man identifiziert beide mit der Menge der Tripel $\{(x,y,z)\mid x\in X,y\in Y,z\in Z\}.$ "Natürlichkeit" ist dabei ein zentraler Begriff, siehe Kategorientheorie.-- Gunther 21:47, 20. Apr 2005 (CEST)

Gunther, ich zitiere Lutz: "Hi, du vergißt, dass der doppelte Dualraum eines endlichdimensionalen Vektorraums wieder der Vektorraum ist" Diese Aussage ist schlicht und einfach falsch! Natürlich kann ich einen Isomorphismus als Identifizierung ansehen. Ich kann auch zwei Mengen (z.B. 10 Äpfel und 10 Birnen) bijektiv aufeinander abbilden. Ich kann jeden Apfel mit genau einer Birne "identifizieren". Nur ist die Schlussfolgerung "Äpfel sind Birnen" falsch! Darüber sollten wir keine weiteren Worte verlieren, sondern lieber versuchen, den Artikel zu verbessern. -- 84.151.172.54 23:22, 20. Apr 2005 (CEST)

Du hast recht, besser keine weiteren Worte. Die fragliche Definition der Mathematik ist ohnehin etwas ungewöhnlich und nicht ausgesprochen allgemein. Ich frage mich, wie sinnvoll die Doppelung der Dreiteilung ist, einerseits im Abschnitt "Gebrauch des Tensorbegriffs...", andererseits in die einzelnen Teile "Tensoren für Physiker/Ingenieure/Mathematiker". Auch die physikalische Kurzdefinition scheint mir ziemlich unverständlich. Wäre nicht das Beispiel Trägheitstensor eine bessere Einleitung?-- Gunther 01:26, 21. Apr 2005 (CEST)

mehrdimensionale Taylor-Polynome

Wieso löschst Du den Hinweis auf die Taylorentwicklung? Das dürfte für viele die erste Begegnung mit einem Tensor sein.--Gunther 00:14, 22. Apr 2005 (CEST)

Ich meine, dass man nicht jede Matrix oder jeden Vektor als Tensor bezeichnen kann. Die Bezeichnung ist nur gerechtfertigt, wenn diese ein bestimmtes Transformationsverhalten haben. Kann man das von den Taylor-Koeffizienten immer sagen? Vielleicht war ich etwas voreilig. -- 84.151.172.145 09:55, 22. Apr 2005 (CEST)

Also sprach der Physiker. Aber lass Dich versichert sein, dass in

$f(x+h)\approx f(x)+f'(x)(h)+{\frac {1}{2}}f''(x)(h\otimes h)+{\frac {1}{6}}f'''(x)(h\otimes h\otimes h)+...$

die auftretenden Ableitungsgebilde vollsymmetrische Tensoren aufsteigender Stufe sind, nach physikalischer Diktion rein kovariant. -LutzL 10:13, 22. Apr 2005 (CEST)

Kannst Du das auch begründen? -- Kilian Klaiber 12:22, 22. Apr 2005 (CEST)

Ja, sie sind multilinear auf den Tangentialvektoren. Das Transformationsverhalten ergibt sich daraus. -- LutzL 13:24, 22. Apr 2005 (CEST)

Verstehe ich nicht, welche Tangentialvektoren? welches Transformationsverhalten?Kilian Klaiber

Was ist nun Lutzl, kannst du das nicht begründen?

Auch wenn Du als Physiker das nicht verstehen willst, in der Mathematik ist es vollkommen ausreichend, dass eine Funktion eine Multilinearform ist, um ihr einen Tensor zuzuordnen. -- LutzL 08:46, 25. Apr 2005 (CEST)

Du vergreifst dich im Ton und das nicht zum erstes mal! -- Kilian Klaiber 12:10, 25. Apr 2005 (CEST)

Im Vergleich mit Deiner nachgeschobenen Frage finde ich den Ton der Antwort völlig ok.--Gunther 12:36, 25. Apr 2005 (CEST)

Wenn Ihr Euch so unterhalten wollt, bitte!

Zu den aktuellen Änderungen Mitte April 2005

Kleiner Kommentar zu Deinen heutigen Änderungen:

• Ich denke, dass der mathematische Abschnitt noch nicht seine endgültige Form gefunden hat; von daher sollte man nicht allzu explizit Bezug darauf nehmen.
• $V$ und $V^{**}$ "sind derselbe Vektorraum", während $V^{*}$ etwas völlig anderes ist und bis auf die Dimension nicht viel mit $V$ und $V^{**}$ gemein hat.
  (Formal korrekte Formulierung: Unter den drei Funktoren

$F\colon V\mapsto V,\quad G\colon V\mapsto V^{*},\quad H\colon V\mapsto V^{**}$

von der Kategorie der endlichdimensionalen Vektorräume in sich sind $F$ und $H$ natürlich äquivalent, während $G$ aus trivialen Gründen nicht äquivalent zu $F$ oder $H$ ist.)

• Es würde mich sehr wundern, wenn Physiker über Elemente von Bidualräumen sprächen.
• Den Satz mit dem "Wissensstand von 1915" halte ich für richtig, aber NPOV war er in dieser Formulierung definitiv nicht.

--Gunther 18:20, 23. Apr 2005 (CEST)

Die Definition im mathematischen Abschnitt nutzt übrigens schon die Identifizierung eines Vektorraums mit seinem Dualraum, denn das, was da steht, sind eigentlich Elemente von $(V_{1}^{*}\otimes V_{2}^{*})^{*}$ (bis auf die Identifizierung mit den Multilinearformen).--Gunther 20:22, 23. Apr 2005 (CEST)

Die Definition eines kontravarianten Tensors der Stufe 1 als Element des Bidualraums ist ungewöhnlich und im unendlichdimensionalen Fall falsch.--Gunther 17:24, 26. Apr 2005 (CEST)

Hallo Gunther, diese Definition findest Du bei Eckhard Rebhan: "theoretische Physik I", Kapitel 25: "Mathematische Grundlagen der ART", S. 968 bis 973. Dort werden kontravariante Vektoren als (10)-Vektoren bezeichnet und kovariante Tensoren als (01)-Tensoren bezeichnet. -- Kilian Klaiber 18:43, 26. Apr 2005 (CEST)

Hi, Kilian: da wird im Buch wohl nicht an die mathematische Definition hier gedacht worden sein. Gunther: Und deshalb sollte in der mathematischen Definition auch was von endlichdimensionalen Vektorräumen drinstehen. Das sollte schnellstens nachgeholt werden. Kilian: Evtl. sollte man das umschreiben: Ein kontravarianter Tensor ist ein Vektor, was mit der allgemeinen Definition in Ordnung geht, weil, wie es schon dasteht, endlichdimensionale Vektorräume reflexiv sind, d.h. zu ihrem Bidual kanonisch isomorph sind.

Apropos Dimensionen: Es sollte wirklich noch ein Warnhinweis hin, dass Tensorprodukte unendlichdimensionaler Vektorräume nach der Universalkonstrution (s. Tensorprodukt) etwas messy sind, also eine Alternative Konstruktion über einen Normabschluss von endlichen Summen gebraucht wird. Z.B. im Tensorprodukt von Funktionenräumen, wie es z.B. beim Produktansatz zur Lösung der Wellengleichung benutzt wird.

-- LutzL 08:51, 27. Apr 2005 (CEST)

Ob das Tensorprodukt messy ist, hängt ganz davon ab, wie messy die Faktoren sind. Z.B. ist

$\mathbb {Q} [T]\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} \cong \mathbb {C} [T],\quad \mathbb {Q} [X]\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} [Y]\cong \mathbb {Q} [X,Y].$

Für die Zwecke der Funktionalanalysis, oder um

$\mathbb {Q} [[X]]{\hat {\otimes }}_{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} [[Y]]\cong \mathbb {Q} [[X,Y]]$

zu erreichen, braucht man ein anderes Tensorprodukt, aber wie ausführlich man hier darauf eingehen sollte, bin ich mir nicht sicher. Das sollte vielleicht besser nach Tensorprodukt.--Gunther 10:58, 27. Apr 2005 (CEST)

Hallo Lutzl: Es wird dort eine Definition für (10)-Vektoren gegeben. Genauer gesagt werden (10)-Vektoren als lineare Abbildungen von kovarianten Vektoren in R definiert. Die kovarianten Vektoren bzw. (01)-Vektoren spannen laut Rebhahn den dualen Vektorraum auf. Die Bezeichnung (01) und (10) hängt mit der üblichen Position der Indizes (oben oder unten) von Ko- und Kontravarianten Vektoren zusammen. Ich glaube du meinst, dass die Identifikation zwischen V und V** (kanonischer Ismorphismus) nur im endlichdimensionalen Fall definiert ist. Das fehlt im Artikel. Ich denke auch die Darstellung von Tensoren als Tensorprodukte funktioniert nur im Falle abzählbar unendlichdimensionaler Vektorräume (vielleicht auch nur im Falle endlichdimensionaler Vektorräume?). Was Du zum Schluss sagst verstehe ich allerdings nicht mehr: " eine Alternative Konstruktion über einen Normabschluss von endlichen Summen gebraucht wird. Z.B. im Tensorprodukt von Funktionenräumen, wie es z.B. beim Produktansatz zur Lösung der Wellengleichung benutzt wird." Ich weiß nicht, was Du damit meinst. Alles Gute -- Kilian Klaiber 11:04, 27. Apr 2005 (CEST)

Damit ist vermutlich die Vervollständigung von $E\otimes F$ bezüglich

$\|v\|=\inf \left\{\left.\sum \|e_{i}\|\cdot \|f_{i}\|\right|v=\sum e_{i}\otimes f_{i}\right\}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ v\in E\otimes F$

gemeint. Damit gilt dann vermutlich $C(I){\hat {\otimes }}C(I)\cong C(I\times I)$ (I = Intervall, C = stetige Funktionen). Ich hatte schon angefangen, einen Abschnitt in Tensorprodukt zu schreiben, habe aber aufgehört, als ich feststellen musste, dass das nicht das einzige vervollständigte Tensorprodukt zweier Banachräume ist. Das muss wohl jemand anderes weiterschreiben, denn ich weiß nicht, wie wichtig die beiden Begriffe jeweils sind.--Gunther 12:01, 27. Apr 2005 (CEST)

Ich denke, die Frage, ob der Raum der Tensoren 2.ter Stufe, auf denen eine Norm definiert ist, einen vollständigen Vektorraum bilden (Banachraum) bilden, sollte im rein mathematischen Teil des Artikels behandelt werden könnte. Der sieht zur Zeit noch wie Kraut und Rüben aus. Deshalb denke ich, dass einer von Euch da mal aufräumen sollte. -- Kilian Klaiber 15:52, 27. Apr 2005 (CEST)

Hallo Gunther, wenn Du Tensoren als Elemente von Tensorprodukten definierst, kannst Du meiner Meinung nach einfach den Artikel Tensorprodukt übernehmen. Jedenfalls brauchen wir dann nicht einen Artikel zum Tensorprodukt und einen über Tensoren! -- Kilian Klaiber 23:20, 29. Apr 2005 (CEST)

Zur allgemeinen Struktur des Artikels

(Ausgelagert Diskussion:Tensor/Alt ???)...Insgesamt teile ich die Meinung, dass der Text grausam ist, was auch mit der Ablehnung der Physiker gegen geometrische Objekte zu tun hat, d.h. den mathematischen Weg: geometrisches Objekt zuerst, Koordinatendarstellung dann. Die Physiker mögen es gern andersherum, d.h. Koordinaten und deren Transformationseigenschaften zuerst, um dann auf ein geometrisches Objekt zu schließen, Galilei rotiert im Grabe. Deshalb sieht die Reihenfolge hier auch aus wie:

1.) ein Tensor ist eine Abbildung T:I^s->IR, I={1,2,...,n}, also eine Art Hypertupel, bei s=1 kommt ein normales n-Tupel raus, bei s=2 eine Matrix.

2.) Ein Tensor ist eine Äquivalenzklasse von Tripeln aus einer Basis B eines fixierten n-dim. Vektorraums V, einer Signatur S in {h,t}^s und eines Hypertupels T:I^s->IR, I={1,2,...,n}, wobei {h,t} für Hoch- und Tiefstellen des entsprechenden Index steht und zwei Paare über die Basiswechselmatrix verbunden sind, welche (t)-ko- und (h)-kontravariant die Hypertupel verknüpft. Dann stellt man fest, dass (B,(h),T) den Koordinaten eines Vektors in der Basis B, d.h. einem Vektor aus V entspricht, dass (B,(t),T) genauso einem Kovektor/1-Form/linearen Funktional auf V entspricht, dass (B,(t,t),T) einer Bilinearform VxV->IR entspricht, dass (B,(h,t),T) einer linearen Abbildung V->V bzw. einer Bilinearform V^*xV->IR, insgesamt dass jeder Tensor eine Multilinearform definiert, was dann zu

3.) führt, dass ein Tensor ein Element eines Tensorproduktraums $V_{1}\otimes V_{2}\otimes \dots \otimes V_{s}$ ist und dieser als der Vektorraum aller Multilinearformen, d.h. Abbildungen die in jedem Argument einzeln linear sind, $V_{1}^{*}\times V_{2}^{*}\times \dots \times V_{s}^{*}\to \mathbb {R}$ definiert werden kann. Jede simultane Basiswahl in allen Faktoren im Tensorprodukt ergibt eine Basis des Tensorprodukts, wenn die Faktoren entweder V oder der Dualraum V^* sind, und die Basen alle gleich bzw. gleich der dualen Basis sind, dann landen wir wieder bei 2.)

4.) gibt es alternierende Tensoren bzw. Multilinearformen, s. Graßmann-Algebra, diejenigen n-ter Stufe in einem n-dimensionalen Vektorraum sind die sog. Pseudoskalare, die alternierenden Tensoren der Stufe n-1 sind die sog. Pseudovektoren.

--LutzL 14:40, 1. Feb 2005 (CET)

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Nachdem einige Zeit vergangen ist, bin ich doch dafür, diese Reihenfolge in etwa einzuhalten, wobei man über die Aufteilung in mehrere Artikel, und vor allem die Bezeichnung dabei, diskutieren könnte.

1.) Tensorrechnung als Erweiterung der Matrixrechnung. Es ist auf die richtige Mischung aus Verständlichkeit und mathematisch korrekten Definitionen zu achten. Inhalt:

• Tensoren sind Abbildungen aus dem kartesischen Produkt endlicher Indexmengen mit Werten in IR (im Prinzip in einem Ring), bezeichnet in Indexschreibweise.
• Produkt als Hintereinanderhängen zweier Tensoren als Produkt der Abbildungen, Verbindung zu Matrizen vom Rang 1, xy^t.
• Verjüngen von Tensoren, Beziehung zum euklidischen Skalarprodukt.
• Überschieben von Tensoren, z.B. als (auch mehrfache) Verjüngung des Produkts.

2.) Genauso, wie Matrizen geometrischen Sinn als Koordinatendarstellungen linearer Abbildungen oder Bilinearformen erhalten, kann man obige Tensoren als Koordinatendarstellungen von Elementen eines Tensorprodukes von Vektorräumen geometrisch, und damit koordinatenfrei, definieren, genau wie die Operationen, s. den Vorschlag Benutzer:Gunther/Tensorprodukt. In diesen Zusammenhang, genauer zur Basiswahl im Tensorprodukt, gehört ein Bezug zum Kronecker-Produkt hinein, dies entspricht einer lexikalisch geordneten Produktbasis. Vertauschungsoperatoren, Eigentensoren dazu und die Beziehung zur Teilchenphysik als Beispiel.

3.) Die Physiker und ihre ko- und kontravarianten Tensoren. Unbedingt auf der vollen mathematischen Beschreibung bestehen, als Datenstruktur wäre diese (Pointer zur Basis, Bitfeld zum Hoch- und Tiefstellen, Multiarray mit den Koeffizienten). Auf dem Computer muss man natürlich so oder ähnlich (Summen von Vektortupeln) rechnen, aber warum auch auf dem Papier? Insbesondere auf die Schwierigkeit bei Benutzung von zwei oder mehr Vektorräumen eingehen, die sich unterschiedlich transformieren, lateinische und griechische sowie gepunktete Indizes.

--LutzL 16:02, 9. Mär 2005 (CET)

Ein großer Artikel oder mehrere kleine

Tensorprodukt

Ich bin unglücklich über den Redirect von Tensorprodukt auf diesen Artikel. Zum Tensorprodukt gäbe es viel mehr zu sagen, und aus dieser Kurzfassung der universellen Eigenschaft wird vermutlich niemand schlau. Dennoch ist natürlich das Tensorprodukt die (theoretische) Basis des ganzen Tensorbegriffs. Vorschlag: Aufteilung des Artikels in

• Charakterisierung von Tensoren über das Transformationsverhalten
• Formale Definition und universelle Eigenschaft (kann eigener Artikel werden)
• Beziehung zwischen beiden

Die Aufgliederung nach Fächern kommt mir etwas künstlich vor. Auch Mathematiker können sich Tensoren als Fortsetzung der Reihe Vektor, Matrix, ... vorstellen.

Meinungen?--Gunther 14:57, 27. Feb 2005 (CET)

Nachtrag: unter Benutzer:Gunther/Tensorprodukt schreibe ich gerade an einem möglichen Artikel für Tensorprodukt.--Gunther 13:52, 1. Mär 2005 (CET)

Die Aufspaltung dieses Artikel halte ich fuer sehr sinnvoll. --Matthy 14:49, 10. Mär 2005 (CET)

Das Oma-Prinzip

Hej zusammen,

es ist gut, daß Ihr Euch über die mathematische (Un-)Bedenklichkeit auseinandersetzt. Allerdings sollte in einer Enzyklopädie Allgemeinverständlichkeit vordringliches Anliegen vor fachlicher Brillianz sein. Ich arbeite auf mein Diplom hin (sprich: zur "Dummheitselite" gehöre ich bestimmt nicht; nur war Mathe nie meine Stärke), bin aber nach Lektüre des Artikels genau so schlau wie vorher. Das ist übrigens leider ein generelles Problem von vielen mathematischen Artikeln hier in der Wikipedia! Wäre schön, wenn sich darum mal wer kümmern könnte. --Carbenium 08:17, 5. Jul 2004 (CEST)

Generell: Gegen die Unverständlichkeit mathematischer Artikel gibt es ein probates Mittel: Stelle auf der Diskussionsseite des jeweiligen Artikels konkrete Fragen - und ich möchte wetten, dass sich recht bald jemand bemüht, diese Fragen zu beantworten. Radikaler: lege im jeweiligen Artikel einen Absatz "naive Herleitung" oder "anschauliche Definition" oder "XY in der Ingenieurmathematik" an, tippe einfach mal ein, was Du von der Sache in erster Näherung schon verstanden hast, und ich wette wiederum, dass nette Menschen Deinen Ansatz aufgreifen und ausarbeiten werden.

Speziell zu Tensor: Dieser Begriff ist so schwer zu erklären, weil er in ganz unterschiedlichen Anwendungen in ganz unterschiedlicher mathematischer Tiefe eingeführt wird. Ich versuche hier etwas Konsistentes zu schaffen, während in der englischen Wikipädie an mehreren Tensor-Artikeln parallel gearbeitet wird. Bin aber selber mit dem bisher Geschriebenen noch nicht zufrieden. Auch hier kann ich Dir nur antworten: Stelle konkrete Fragen, kritisiere konkrete Teile des existierenden Textes, liefere Rohmaterial zu. -- Weialawaga 08:58, 5. Jul 2004 (CEST)

Das alles ist immer dann schwierig, wenn man gar nichts versteht und auch keine entsprechende Grundbildung in dem betreffenden Fachgebiet (also hier: in der höheren Mathematik) hat. In dieser Situation kann man aus eben jenen Gründen oft noch nicht mal sagen was man nicht versteht... --Carbenium 15:32, 24. Okt. 2008 (CEST)

Im Prinzip stimme ich der Forderung nach Allgemeinverständlichkeit zu, aber es ist schwierig, dies einfach zu formulieren, ohne sich zunächst der Details bewusst zu werden. Was ich gerne hätte wäre eine Art objektorientierte Vorgehensweise, bei der Themen sowohl verallgemeinert als auch weiter spezialisiert werden können. Allerdings weiss ich momentan nicht, wie man das realisieren könnte. Eine nur allgemeinverständliche Beschreibung eines Sachverhaltes kann auch ziemlich langweilig sein, wenn man nach einem Verständnis des Begriffes sucht. Wichtig ist auch, dass das Geschriebene begründet wird, sonst kann ein Leser den Text glauben oder auch nicht. Den Abschnitt über Tensor-Würfel verstehe ich z.B. überhaupt nicht.

Gruss WoSa

Oma-Prinzip bei Mathematik:Ich glaube, dass das sehr schwierig ist, da die Mathematik mitunter davon lebt, dass man sich auf Axiome, bzw. schon bewiesenes(erklärtes) beruft, und darauf etwas neues aufbaut.Ihr werdet mir sicherlich zustimmen, wenn in anderen Artikeln Frendwörter die der Erklärung,Definition,Beschreibung,etc., eines Wortes dienen, nicht im selben Artikel erklärt werden sollten. Warum sollte das dann ausgerechnet hier(im Gebiet Mathematik) so sein? Es wäre in meinen Augen sogar genauso kontraproduktiv wie wenn man alles durch Fachausdrücke verkompliziert.Sturmklinge 21:51, 15.04 2008 (CEST)

Aber daß es doch geht, zeitgt die jetztige einleitende Definition - zumindest kann man sich jetzt eine ganz grobe Vorstellung machen, worum es überhaupt geht. --Carbenium 15:28, 24. Okt. 2008 (CEST)

Gabelung der Begriffswelten

Interessant finde ich den Abschnitt zur Gabelung der Begriffswelten. Das ganze ist mir schon früher aufgefallen, und ich habe mich schon öfter gefragt warum das eigentlich so ist. Man sollte meiner Meinung nach aber die Schuld nicht alleine bei den Ingenieuren und Physikern suchen, letztendlich sind auch die Mathematiker für die Akzeptanz ihrer Begriffsstrukturen verantwortlich, und viele der Begriffe, die in der "modernen" Differentialgeometrie Verwendung finden, wurden bereits 1930 von Wheeler eingeführt. Warum gibt es innerhalb der letzten 70+ Jahre dafür keine Akzeptanz in weiten Teilen der theoretischen Physik? Liest man das Buch von Straumann, so sehen viele der detaillierteren Rechnungen auch nicht anders als bei Fliessbach aus, und letzterer benutzt ausschließlich die "veraltete Terminologie". Zur Zeit von Newton war es so, dass er die Mathematik zur Lösung seiner Probleme gleich mitenwickeln mußte.

Vielleicht eignet sich ein etwas unpräziserer Formalismus auch eher zur Anpassung an neu auftauchende Problemstellungen, als wenn eine Modifizierung der axiomatischen Grundlagen vorgenommen werden muss, z.B. habe ich viele der in der Allgemeinen Relativitätshteorie verwendeten Formalismen in einem Seminar über Hadronen wiedergefunden.

Dass ein höherer Abstraktionsgrad in der Mathematik allein zu einem besseren Naturverständnis führt, glaube ich nicht. In der Riemannschen Geometrie gibt es z.B. keine Nullgeodäten, die brauchte Einstein aber zur Klassifizierung von Lichtstrahlen.

TeXurierung

So Leute, ich habe versucht alles was noch ging von HTML auf TeX zu schreiben. Ich bitte um Wikifizierung. Ich hoffe es sind keine Fehler passiert, ist ja nie auszuschließen... Tom1200 00:31, 23. Mai 2005 (CEST)

Generelle Überarbeitung dringend notwendig

Warum wirft niemand mal einen Blick auf die englischsprache Version von Wikipedia? http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor Dort ist für meinen Geschmack das gelungen, was hier kritisiert wurde. Vielleicht sollte man ausgehend von der englischsprachigen Fassung einen neuen Anlauf nehmen. Nur so einen Idee --Ralf Scholze

Dort hat man es halt aufgegeben, einen einzelnen Artikel zu schreiben, sondern jede Disziplin darf sich in einem eigenen austoben. MMn sind derzeit die Physiker am Zug, das Chaos aufzuräumen, das ein gewisser Benutzer in dem Abschnitt vor einiger Zeit angerichtet hat (Stichwort Bidualräume).--Gunther 23:09, 22. Nov. 2006 (CET)

Tensorprodukt

Ich bin unglücklich über den Redirect von Tensorprodukt auf diesen Artikel. Zum Tensorprodukt gäbe es viel mehr zu sagen, und aus dieser Kurzfassung der universellen Eigenschaft wird vermutlich niemand schlau. Dennoch ist natürlich das Tensorprodukt die (theoretische) Basis des ganzen Tensorbegriffs. Vorschlag: Aufteilung des Artikels in

• Charakterisierung von Tensoren über das Transformationsverhalten
• Formale Definition und universelle Eigenschaft (kann eigener Artikel werden)
• Beziehung zwischen beiden

Die Aufgliederung nach Fächern kommt mir etwas künstlich vor. Auch Mathematiker können sich Tensoren als Fortsetzung der Reihe Vektor, Matrix, ... vorstellen.

Meinungen?--Gunther 14:57, 27. Feb 2005 (CET)

Nachtrag: unter Benutzer:Gunther/Tensorprodukt schreibe ich gerade an einem möglichen Artikel für Tensorprodukt.--Gunther 13:52, 1. Mär 2005 (CET)

Die Aufspaltung dieses Artikel halte ich fuer sehr sinnvoll. --Matthy 14:49, 10. Mär 2005 (CET)

Beseitigung der Redundanz

Vergleich von Tensordefinitionen könnte man unter Metrischer Tensor einfügen, da der Artikel nur den unterschiedlichen Gebrauch von Definitionen des Metrischen Tensors miteinander vergleicht.

Gruss WoSa 20:10, 14. Nov 2004 (CET)

Vergleich von Tensordefinitionen kann vielleicht nach Metrischer Tensor der speziellen Relativitätstheorie integriert werden und ist ansonsten verzichtbar.--Gunther 14:38, 27. Feb 2005 (CET)

Kritik aus mathematischer Sicht

kovariant/kontravariant: Ein Vektor als geometrisches Objekt transformiert sich immer mit den Basisvektoren, was gemeint ist, ist der Spaltenvektor der Koordinaten, welcher sich, bei gleichbleibendem Vektor, entgegen der Basistransformation transformiert.

Das Skalarprodukt mit einem Punkt zu bezeichnen ist veraltet und mißverständlich.

Das Differential ist die Jacobi-Matrix der Ableitungen, also das ursprüngliche Objekt. Es ist die 1-Form, die einem Vektor seine Richtungsableitung zuordnet. Der Gradient ist der mittels Metrik aus dem Differential gewonnene Vektor. Der Unterschied von Differential und Gradient, der in der invertierten Metrik-Matrix besteht, ist in der allgemeinen Relativitätstheorie und generell auf gekrümmten Mannigfaltigkeiten immens wichtig.

In der Differentialgeometrie zählen nicht nur Differentialformen, so ist das bewegte Dreibein bzw. Cartans "Moving Frame" ein Tupel von Tangentialvektoren, ebenfalls wichtig sind Vektorfelder, u.a. auch Gradientenfelder, für dynamische Systeme und in der Differentialtopologie.

--LutzL 18:40, 13. Dez 2004 (CET)

Tensordefinition

ich hab da zwar nicht so viel ahnung, aber wie kann man einen tensor definieren als objekt, das invariant gegenüber koordinatentransformationen ist, und gleichzeitig vektoren als tensor bezeichnen. vektoren sind ja gerade *nicht* invariant. sehe ich das falsch?

Das siehst Du falsch. Beispiel: Im Raum, der Dich gerade umgibt, gibt es eine Richtung "oben". Wenn Du zu dieser Richtung noch eine Länge wählst, erhältst Du einen Vektor. Egal, wie Du jetzt ein Koordinatensystem wählst, der Vektor ist immer derselbe, nur seine Koordinatendarstellung hängt vom Koordinatensystem ab.--Gunther 16:20, 28. Mai 2005 (CEST)

das heißt: koordinatentrafos sind eigentlich koordinatendarstellungstrafos? danke!

Das wiederum hängt von der Sichtweise ab. Man kann sagen, ein Satz Koordinaten definiert in erster Linie eine Darstellung des Vektorraums. Dann sind Koordinatentransformationen Änderungen der Darstellung des Vektorraums. Oder man sieht die Koordinaten in erster Linie als lineare Funktionale an, dann wäre Koordinatendarstellungstransformation als Begriff angebracht.--LutzL 08:25, 1. Jun 2005 (CEST)

Na ja, ich würde sagen, dass Gunther das schon sehr gut erklärt hat. Jeder Vektor eines Vektorraums kann in jeder beliebigen Basis des Vektorraums durch einen Satz von Koordinaten dargestellt werden, d.h. v=ei*xi. Dabei wird über i summiert. ei für i = 1,..., n stellen Basisvektoren dar. n ist die Dimension des Vektorraums. xi sind die sogenannten Koordinaten. Die Koordinaten sind keine Vektoren des Vektorraums sondern Skalare. Wenn der Vektor v in einer anderen Basis ei' dargestellt werden soll, so transformieren sich die Basisvektoren ei->ei' (Basistransformation) und die Koordinaten xi->xi' (Koordinatentransformation) und zwar so, dass der Vektor v unverändert bleibt.-- Kilian Klaiber 21:50, 1. Jun 2005 (CEST)

"Unsymmetrische" Tensoren höherer Stufe

Moin, bei der Datenauswertung aus einem GPS-Gerät, bot es sich mir an, die Informationen in einem Datenfeld der Dimension 3x4x4 anzuordnen. Da beim Tensor dritter Stufe auch die Rede von Videosequenzen ist, wollte ich fragen, ob es zulässig ist solch eine "unsymmetrische" 3x4x4-Matrix ebenfalls als Tensor dritter Stufe darzustellen, weil er ja eigentlich nicht kubisch ist? --DB1BMN 22:13, 26. Nov 2005 (CET)

Hi, was Du hast, ist ein Tupel mit 3 Indizes (2 explizit, ein "Bezeichnungsindex"). Man darf es aber gerne als Tensor bezeichnen. Insbesondere, wenn es irgendwelche Invarianzen oder sonstige Gesetze bei Transformation in andere Bezugssysteme gibt. --LutzL 11:31, 28. Nov 2005 (CET)

Ah sehr schön, dankeschön. Wollte nur wissen ob es zulässig ist, solch ein Gebilde als Tensor zu bezeichnen. Ob es invariant etc. ist weiß ich nicht und brauch ich wohl auch nicht, es ist ja einfach nur eine Methode der Speicherorganisation. Beste Grüße, --DB1BMN 12:54, 28. Nov 2005 (CET)

Wirrwarr

Hallo zusammen, dieser Artikel ist ein absolutes Wirrwarr. Das einzig Sinnvolle, was man ihm entnehmen kann, ist die Einführung (bis einschließlich des Abschnitts "Anwendungen") und der Hinweis auf das Buch von Levi-Civita. Ich schreibe gerade an einer Einführung zur Tensorrechnung für meine Kommilitonen, vll. setze ich mich mal an eine Artikelneufassung, wenn ich fertig bin. Könnte aber noch bis Mitte nächsten Jahres dauern ;) Zwischenzeitlich empfehle ich das Buch "Vektoren, Tensoren, Spinoren" von Siegfried Kästner, und (für die Webenthusiasten) auch das Skript von Wolfgang Ebenhöh (http://www.icbm.de/~ebenhoeh/tens_k1.pdf). Nichts für ungut, aber sowas schreckt einfach nur ab.

Du solltest noch erwähnen, "woher Du kommst". Eines der Hauptprobleme dieses Artikels besteht ja darin, dass ein Physiker sich unter einem Tensor etwas völlig anderes vorstellt als ein Mathematiker, obwohl es sich um dasselbe Objekt handelt. Der "Physiker"-Abschnitt ist momentan mMn ziemlich schlecht, weil da jemand päpstlicher als der Papst sein und zwischen Raum und Bidualraum unterscheiden wollte. Den mathematischen Teil habe ich vor einiger Zeit mal etwas überarbeitet und die technischen Teile nach Tensorprodukt ausgelagert, aber so grundsätzlich bin ich mit diesem Teil eigentlich nicht unglücklich; ich denke, man muss mit Tensoren umgehen, um sie wirklich begreifen zu können.--Gunther 11:57, 21. Dez 2005 (CET)

Ich studiere Physik und will ab nächstem Jahr als obligatorisches Nebenfach Mathematik belegen. Für mich ist ein Tensor eine multilineare Abbildung des kartesischen Produktes von K-Vektorräumen V_1 bis V_k in den Körper K. Physiker lassen dann auch nur einen festen Vektorraum und dessen Dualraum als Kandidaten zu, aber das muß ja nicht ausschließlich gelten. Die ganze Betrachtung in Bezug auf eine feste Basis dieses Vektorraums, das Transformationsverhalten bei Basiswechsel folgt dann, ist aber erstmal nicht wesentlich. Unter "Tensorbegriff der Mathematik" steht dann aber, daß erst der Dualraum des Tensorprodukts - dessen Elemente Tensoren sind - isomorph zum Raum der multilinearen Abbildungen ist. Dies ist schon verwirrend.

Aber ganz davon abgesehen, ist mMn der Artikel unübersichtlich, wiederholt sich und verwirrt einen Leser. Ich will nichts gegen die fachliche Darstellung sagen, da ich mich da noch nicht so gut auskenne, und auch deine Mühe bei der Bearbeitung nicht schmälern. Aber nimm z.B. den Artikel "Funktional". Der Begriff eines Funktionals ist sicherlich etwas einfacher zu verstehen als der Begriff eines Tensors, aber in diesem Artikel gibt es eine Aufbauhierarchie: Definition, Beispiele, Spezialfälle, schwierigere Sachen. Das fehlt mir an diesem Tensorartikel und ist auch der Grund, warum er als Wirrwarr erscheint.

Noch ein kurzer Nachtrag: ich habe mir eben mal den Artikel über Tensorprodukte durchgelesen, von dem bin ich letztens noch zu Tensor weitergeleitet worden. Das ist auch ein übersichtlicher und verständlicher Artikel, der gefällt mir auch sehr gut. So müßte der Artikel über Tensoren auch aussehen.

Der Grund dafür, dass der mathematische Teil Tensoren nicht als Multilinearformen definiert, besteht darin, dass Elemente von Tensorprodukten über allgemeineren Ringen eben keine Multilinearformen sind, sondern erst ihr Dualraum. Man will Tensorprodukte $A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ bilden können, aber es gibt keine nichttrivialen Bilinearformen $A\times \mathbb {Q} \to \mathbb {Z}$, weil es keine nichttrivialen Linearformen $\mathbb {Q} \to \mathbb {Z}$ gibt. Zusätzlich gibt es das Ko-/Kontravarianzproblem: Arbeitet man mit $\mathrm {Bilin} (V,W):=(V\otimes W)^{*}$ statt des Tensorproduktes, kann man das Analogon von $V\otimes W\otimes X$ nicht ohne zusätzliche Dualisierung ausdrücken ($\mathrm {Bilin} (\mathrm {Bilin} (V,W)^{*},X)$).

Und ich freue mich über jede Anregung zu dem Artikel, nimm' also bitte kein Blatt vor den Mund :-) --Gunther 00:34, 23. Dez 2005 (CET)

Bitte schau auch mal nach Indexdarstellungen der Relativitätstheorie, das wollte ich mal zu "Tensordarstellungen .." ausbauen, hab' aber ein Zeitproblem. Als ich das letzte mal intensiv diesen Tensorartikel bearbeitet habe, war er unübersichtlich und lang. Jetzt ist der Physikteil einfach nur noch grausam, der Matheteil, naja, zumindest leicht ungeordnet. Was sucht das Tensorprodukt am Ende, wenn es schon zur Definition benutzt wird? Wie gesagt, keine Zeit für große Aufräumarbeiten.--LutzL 12:29, 23. Dez 2005 (CET)

Dann sprechen Mathematiker und Physiker aber doch von zwei verschiedenen Sachen, wenn sie Tensoren sagen. Deine Argumentation ist auch verständlich. Heißt das dann, daß im Falle, daß die verwendeten Vektorräume über einem Körper definiert sind, Tensorprodukt und Dualraum isomorph sind? Das wäre doch eine Aussage, die unbedingt in den Artikel gehören würde. Oder verwechsle ich da etwas Grundsätzliches?(nicht signierter Beitrag von 84.184.228.181 (Diskussion) )

Nein, es ist das gleiche, nur eine andere Betrachtungsweise. Und die Physiker haben ein leichtes Problem, wenn Raum und Spin verheiratet wird. Ansonsten sollte die Äquivalenz der Begriffe im endlichdimensionalen leicht einzusehen sein. Die Komplikationen stammen daher, dass man auch Tensorprodukte von normierten unendlichdimensionalen Vektorräumen betrachten möchte. Das passiert bei den Physikern spätestens dann, wenn der Fock-Raum konstruiert wird. Und spätestens bei der Konstruktion von Operatoralgebren in der Quantenfeldtheorie wird es hochgradig mysteriös. Das Tensorprodukt ist der duale Vektorraum zum Raum der bilinearen Funktionen.--LutzL 13:49, 23. Dez 2005 (CET)

Jetzt hast du mich doch durcheinandergebracht, trotzdem ich in der Zwischenzeit nochmal im Netz nach Skripten geschaut habe. Ich habe sowohl gefunden als auch im Artikel gelesen, daß der Raum der Multilinearformen der Dualraum zum Tensorprodukt ist, und nicht umgekehrt.

Und egal, was nun dual zu wem ist, sind Tensoren der Mathematiker und Tensoren der Physiker dann doch zwei unterschiedliche Sachen! Sie können miteinander identifiziert werden, ja, das habe ich verstanden. Aber Identifikation ist keine Gleichheit, und gerade bei einem solchen Thema sollte man - der Verständlichkeit halber - doch diese Klarstellung zumindest einmal deutlich betonen. R^(nxn) kann auch mit R^(n^2) identifiziert werden, aber beide sind nicht identisch. Wenn du mir dies bestätigen würdest, könnte ich denken, daß ich das Konzept verstanden habe. Und ich habe auch schon gemerkt, daß Physiker sich gern mal auf mathematisch unsicheres Land wagen. 84.184.237.147 00:02, 24. Dez 2005 (CET)

"Miteinander identifiziert werden können" ist oft genausogut wie Gleichheit (eine der möglichen mathematischen Präzisierungen ist ein natürlicher Isomorphismus, siehe Kategorientheorie). Bei endlichdimensionalen Vektorräumen muss man deshalb zwischen Raum und Bidualraum nicht unterscheiden, also ist bei zwei Vektorräumen egal, welcher der Dualraum des anderen ist. Verallgemeinerungsfähig ist die Aussage, dass die Bilinearformen der Dualraum des Tensorproduktes sind und nicht umgekehrt.--Gunther 00:58, 25. Dez 2005 (CET)

Alles i.O., jetzt ist mir das ganze Thema doch etwas klarer geworden. Ich habe mich mal der Abschnitte zum physikalischen Tensor (Tensorbegriff der Physik bis einschließlich ko- und kontravariante Tensoren) angenommen. Wenn ihr an dieser Fassung nichts auszusetzen habt, könnte man das einfügen (natürlich noch verlinken, TeX und so).

In der Physik werden, wie im Abschnitt "Tensorprodukte und Multilinearformen" erklärt, die mathematischen Tensoren mit den ihnen zugeordneten Multilinearformen identifiziert. Der physikalische Zugang ist dabei ein sehr pragmatischer, in dem die Handhabbarkeit der Tensoren und deren physikalische Deutung im Vordergrund steht. Im Folgenden werden daher die Multilinearen Abbildungen selbst als Tensoren bezeichnet. Tensoren im physikalischen Sinne sind also multilineare Abbildungen vom kartesischen Produkt mehrerer Vektorräume in den zugrundeliegenden Skalarkörper. Dabei sind nur ein fester Vektorraum V (z.B. der R^3) und sein Dualraum V* zugelassen. Ein Tensor T:Vx...xV x V*x...xV* -> K heißt r-fach kovariant und q-fach kontravariant, oder kurz (r,q)-Tensor. Diese Begriffe haben mit Koordinatentransformationen zu tun und werden später noch erläutert. Die Stufe dieses Tensors ist einfach r+q.

Einfache Tensoren

Ein (0,0)-Tensor ist eine lineare Abbildung "ohne Argumente". Sie kann also nur einen einzigen Wert haben, und wird daher mit einem Skalar identifiziert. (0,0)-Tensoren "sind" Skalare. Ein (0,1)-Tensor ist eine lineare Abbildung vom Dualraum in den Körper, also ein Element des Bidualraums. Da im Endlichdimensionalen der Bidualraum mit dem Vektorraum selbst identifiziert werden kann, "sind" (0,1)-Tensoren Elemente des Vektorraums, also Vektoren. Ein (1,0)-Tensor ist eine lineare Abbildung vom Vektorraum in den Körper, also ein Element des Dualraums, welches auch als Linearform bezeichnet wird.

Koordinatendarstellung

Ein Tensor beschreibt eine physikalische Realität. Diese ist natürlich unabhängig von einem gewählten Koordinatensystem. Oft ist es jedoch zweckmäßig, die Komponenten eines Tensors in Bezug auf ein festgelegtes Koordinatensystem (z.B. das kartesische Koordinatensystem) zu berechnen und dann nur mit diesem Komponenten zu rechnen. Bei einem Wechsel des Koordinaten- oder Bezugssystems werden sich dann auch diese Komponenten ändern müssen, da die Physik, also der Tensor an sich, ja gleich bleiben muss. Dies versteht man unter dem Transformationsverhalten des Tensors, obwohl damit eigentlich die Transformation der Komponenten gemeint ist.

Legen wir eine Basis des Vektorraums e_i fest, so gibt es dazu eine entsprechende Basis des Dualraums \beta^j, die durch \beta^j(e_i)=delta^j_i eindeutig bestimmt ist. In diesem Zusammenhang sei auf folgende Konventionen hingewiesen: -Elemente aus dem Vektorraum heißen kovariant, sie besitzen untere Indizes -Elemente aus dem Dualraum heißen kontravariant, sie besitzen obere Indizes -die Einsteinsche Summationskonvention: über doppelt vorkommende Indizes, von denen einer unten und einer oben stehen muß, wird automatisch summiert, ohne daß dies explizit gesagt wird -auf beiden Seiten einer Gleichung müssen die selben Indizes vorkommen, und auch in der selben Position

Mit diesen Festlegungen kann man jeden Vektor (also einen (0,1)-Tensor) aus dem Vektorraum folgendermaßen schreiben:

vec(v) = v^i e_i

Die v^i stellen die kontravarianten Komponenten des Vektors bezüglich der kovarianten Basis e_i dar. Hier beginnt spätestens in der Welt der Physiker die babylonische Sprachverwirrung: Die Basis e_i ist kovariant: sie besitzt untere Indizes und ist ein Element des Vektorraums. Die Komponenten sind kontravariant, sie besitzen obere Indizes. Der Vektor vec(v) selber ist auch ein Element des Vektorraums, müßte also auch eine kovariante Größe sein. Da man aber meist nur mit den Komponenten rechnet, setzt man den Vektor vec(v) mit seinen Komponenten v^i gleich und spricht dann von einem kontravarianten Vektor, was auch mit der Bezeichnung eines (0,1)-Tensors als einfach kontravariantem Tensor übereinstimmt.

Analog läßt sich jede Linearform (ein (1,0)-Tensor) aus dem Dualraum schreiben als:

\gamma = g_i \beta^i

Die g_i stellen die kovarianten Komponenten der Linearform bezüglich der kontravarianten Basis \beta^i dar. \gamma selbst wird wieder oft mit den Komponenten g_i gleichgesetzt und als kovariant bezeichnet, obwohl es eigentlich ein Element des Dualraums ist und somit kontravariant heißen müßte.

Könnte man so machen. Aber ich bin kein Physiker, hatte Physik nur als Nebenfach. a) Ich finde die einleitende Bemerkung zu den Multilinearformen etwas unklar. Entspricht das wirklich dem Gebrauch in der Physik? b) Wenn man Physikern ihre Tensoren erklärt, gehört die Konvention der oben- und untenstehenden Indizes erläutert. Diese können auch gemischt vorkommen, was mit der ansatzweisen Erläuterung im Vorschlag nicht erfasst ist. Insgesamt ist die Physik-Darstellung zu sehr Stufe-1-lastig. Interessante Beispiele beginnen aber erst ab Stufe 3, weil Stufe 2 auch als Matrix noch gut darstellbar ist.--LutzL 13:34, 29. Dez 2005 (CET)

Nun, die Resonanz auf den Tensorbegriff der Physik ist offensichtlich deutlich größer als auf den mathematischen Abschnitt dieses Artikels. Das freut mich. Das Wirrwarr scheint sich auch nach Lektüre des physikalischen Abschnitts aufgelöst zu haben, denn der Autor hat den physikalischen Tensorbegriff treffend erklärt. Ach ja, Lutzl, wenn du in einem Einführungsartikel zunächst die komplizierten Begriffe (Tensor der Stufe 3) einführst, bevor du Dich mit den einfacheren Begriffen (Tensor der Stufe 0 und 1) ausführlich beschäftigst, sorgst Du mit Sicherheit dafür, dass der Leser nichts versteht. Möglicherweise erfüllt Dich der mathematische Abschnitt mit höherer Befriedigung, aber Du erreichst offenbar keine Leser damit. Gruß --Kilian Klaiber 16:30, 20. Jan 2006 (CET)

Interessante Interpretation, denn die IP hat ja oben vorgeschlagen, den Physik-Abschnitt zu ersetzen.--Gunther 16:44, 20. Jan 2006 (CET)+

Hallo Gunther, ich wollte mich einfach mal wieder melden. Schön, dass ich so schnell eine Reaktion bekommen habe. Inhaltlich kann ich dem obigen Beitrag nur zustimmen. IMHO fügt der Beitrag dem bestehenden physikalischen Artikel nichts neues hinzu. Man kann an dem Beitrag recht genau verfolgen, was der Autor tatsächlich gelesen hat. Er schreibt nämlich: "Das einzig Sinnvolle, was man ihm entnehmen kann, ist die Einführung (bis einschließlich des bschnitts "Anwendungen") und der Hinweis auf das Buch von Levi-Civita." Darauf folgt nämlich der mathematische Abschnitt. Den hat er nicht gelesen, weil er ihm nicht sinnvoll erschien. Den Inhalt des physikalischen Artikels hat der Autor oben gut zusammengefasst. Zu dem mathematischen Abschnitt wollte er sich offenbar gar nicht äußern. Insofern interessant, ich gebe Dir recht. Gruß --84.151.164.177 16:57, 20. Jan 2006 (CET)#

Ach ja besonder gefreut hat mich folgendes Zitat: "Alles i.O., jetzt ist mir das ganze Thema doch etwas klarer geworden. Ich habe mich mal der Abschnitte zum physikalischen Tensor (Tensorbegriff der Physik bis einschließlich ko- und kontravariante Tensoren) angenommen." --84.151.164.177 17:09, 20. Jan 2006 (CET)

Quaternionische Tensoren

Hi, ich beschäftige mich derzeit intensiv mit Tensoren und habe eine Frage diesbezüglich: Wenn man sich einen Raum aus drei Raumdimensionen und einer Zeitdimension vorstellt, wird dieser am besten in quaternionischer Schreibweise beschrieben. Hierbei sehe ich aber gleich zwei Möglichkeiten die Tensoralgebra mit den Quaternionen zu kombinieren:

1. Abbildung des dreidimensionalen Raumes auf eine Dyade und Beibehaltung der Zeit als komplexe, skalare Größe (10 Dimensionen).

   $\left(t,{\vec {V}}\right)\mapsto \left(t,\mathbf {V} _{ij}\right)$

2. Abbildung des vierdimensionalen Raumes auf eine Dyade (16 Dimensionen):

   $\left(t,{\vec {V}}\right)\mapsto \left(\mathbf {T} _{ij}\right)$

Beide Versionen scheinen für mich ihre Berechtigung zu haben und sind vermutlich sogar gleichwertig. Ich bitte die Physiker/Mathematiker um ein Kommentar ob ich dies richtig oder falsch sehe. — MovGP0 15:28, 3. Sep 2006 (CEST)

Tetrade

Beispiele für Tensoren
mit n Dimensionen

Tensor- Stufe	Darstellung	Name
0	Skalar	-
1	n-Vektor	(Monade)
2	n×n-Matrix	Dyade
3	n×n×n-Matrix	Triade
4	n×n×n×n-Matrix	Tetrade

@Gunther:
Ich verstehe nicht weshalb eine Tetrade etwas anderes sein soll - es ist lediglich nicht in dieser Form auf der Begriffsklärungsseite zu finden. Vermutlich habe ich hier einen Übersetzungsfehler, denn im Englischen heißt es korrekt "Monad", "Dyad", "Triad", "Tetrad", "Pentad", "Hexad", "Heptad", "Oktad", "Ennead", "Dekad", etc.. Zur Übersetzung ins Deutsche kommt aber afaik nur ein "e" als Postfix hinzu, da es sich ja um "Zahlenwörter" handelt. Wenn du eine richtigere Bezeichnung kennst, bitte ich um Aufklärung. Die Entfernung der Tabelle verstehe ich nicht. Ich habe sie als zusätzliche Übersicht für Laien eingeführt, da für mich der Text zu schwer zu erfassen war. (Ich bin selbst ein halber Laie, deshalb kann ich mich da vermutlich besser einfühlen) — MovGP0 13:37, 4. Sep 2006 (CEST)

Siehe Link im Bearbeitungskommentar: [1] In der Mathematik würde man von (4,0)- oder (3,1)- oder usw. -Tensoren sprechen.--Gunther 13:49, 4. Sep 2006 (CEST)

kann man natürlich auc machen - aber im Wesentlichen handelt es sich um nichts weiter als einen Namen für mehrere Dinge - also ein typischer Fall einer Begriffsklärung:

• Tetrade (Tensor)
• Tetrade (Relativitätstheorie)

Ich sehe also kein Problem.

Btw.: mit (4,0)-Tensor meinst du vermutlich einen vierdimensionalen skalaren Tensor und mit (3,1)-Tensor vermutlich eine dreidimensionale Dyade. Mit der entsprechenden Erklärung im Artikel kann ich nämlich, vermutlich mangels Mathematikstudium, exakt null anfangen.

— MovGP0 14:01, 4. Sep 2006 (CEST)

Wer sagt denn überhaupt Tetrade, wenn weder Mathematiker noch Physiker das tun?

Und was ein "skalarer Tensor" sein soll, ist mir schleierhaft. Ein (r,s)-Tensor ist etwas, bei dem "r Vektoren hineingehen und s herauskommen". (1,1)-Tensoren sind gewissermaßen schiefe Proportionalitätsfaktoren wie die Permeabilität, die aus einer vektoriellen Größe eine andere vektorielle Größe machen, die aber im Unterschied zu einem skalaren Zusammenhang nicht in dieselbe Richtung zeigen müssen. (2,0)-Tensoren beschreiben quadratische Zusammenhänge, die aber richtungsabhängig sind, wie im Fall des Trägheitstensors. Ein Vektor geht hier zweimal hinein, und null Vektoren = ein Skalar kommt heraus. Man könnte da so eine nette Vergleichstabelle machen: skalar/tensoriell gegen (1,1)/(2,0) mit den genannten Beispielen für die Tensoren und beispielsweise ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ und $E_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}mv^{2}$ als Beispiele für Skalare. Der ganze Koordinaten- und Formelwust könnte dann danach kommen.--Gunther 15:12, 4. Sep 2006 (CEST)

Den Begriff habe ich vom Physiker "Joseph C. Kolecki" gelernt. Er verwendet den Begriff "Tetrad" z. B. in diesem Artikel (Seite 13; erster Absatz). Es handelt sich, wenn man es logisch betrachtet, ganz einfach um Griechische Zahlwörter und nicht etwa um spezielle Bezeichungen. Deshalb müsste man etwa "Dyade" wörtlich mit "Zwei-Einheit" übersetzen.

Die (x,y)-Tensoren nehm ich wieder raus bis ich es verstanden habe. Deine Vergleichstabelle könnte dabei helfen - mach eine. — MovGP0 15:31, 4. Sep 2006 (CEST)

"Tetrad" kommt in diesem Text nur einmal in Anführungszeichen vor, und die Begriffe beziehen sich meiner Interpretation nach ausschließlich auf Tensoren der Form $U_{1}\otimes \ldots \otimes U_{n}$, wobei $n$ die Stufe ("rank") des Tensors ist.--Gunther 15:46, 4. Sep 2006 (CEST)

Lesen, nicht überfliegen:

If we form a “tetrad,” its components comprise a tensor of rank 4.

was du meinst ist die "n-ade" zwei Absätze weiter unten *g*. — MovGP0 15:50, 4. Sep 2006 (CEST)

Nein, das bezieht sich auf Dyaden, Triaden, "Tetraden" und "n-aden" gleichermaßen. Ich finde keine Stelle, an der gesagt wird, dass Summen dieser Objekte wieder so genannt werden. Dyaden scheinen auch in diesem Text nur Produkte $UV$ mit Vektoren $U,V$ zu sein.--Gunther 16:11, 4. Sep 2006 (CEST)

Der Autor definiert den Ausdruck $\mathbf {U} \,\mathbf {V}$ als Kurzform für $\mathbf {U} \otimes \mathbf {V}$. — MovGP0 17:04, 4. Sep 2006 (CEST)

Ja, schon, aber nicht jeder Tensor der Stufe 2 lässt sich so schreiben. Darum geht es doch die ganze Zeit.--Gunther 17:11, 4. Sep 2006 (CEST)

P.S. Mir ist schleierhaft, was der Autor mit dem folgenden Satz sagen will: Therefore, we conclude that the direction of B must be independent of the direction of H. (S. 8) Die Schlussfolgerung, die ich dort erwarten würde, nämlich dass die Permeabilität eben nicht durch eine Dyade darstellbar ist, sehe ich jedenfalls nicht.--Gunther 16:13, 4. Sep 2006 (CEST)

Das sagt im Prinzip, dass die magnetischen Feldlinien im gegebenen Fall (richtungsabhängige Magnetisierbarkeit) vom Material in einer Weise abgelenkt werden, in der sie unabhängig von der Richtung von H sind (entlang der besten Magnetisierbarkeit). Gegenfrage: Wie würdest du die Permeabilität darstellen? — MovGP0 16:59, 4. Sep 2006 (CEST)

Das ist physikalischer Blödsinn. Man muss beliebige Tensoren der Stufe 2 zulassen.--Gunther 17:10, 4. Sep 2006 (CEST)

Kannst du das in einem Beispiel verdeutlichen? — MovGP0 17:13, 4. Sep 2006 (CEST)

Vakuum. B und H zeigen immer in dieselbe Richtung, der Permeabilitätstensor ist $\mu _{0}$ mal der Einheitsmatrix, und letztere lässt sich nicht als Dyade schreiben (dyadische Produkte haben stets Rang $\leq 1$).--Gunther 17:16, 4. Sep 2006 (CEST)

Es geht aber nicht um das Vakuum, sondern um spezielle Materialien mit richtungsabhängiger Magnetisierbarkeit. Im Fall des Vakuums kann man einfach den Skalar $\mu _{0}$ einsetzen. Und ein Skalar lässt sich afaik mit einer Dyade darstellen.

${\underline {\mu }}={\underline {\mu _{r}}}\cdot \mu _{0}$

— MovGP0 17:23, 4. Sep 2006 (CEST)

Ich verstehe weshalb man einen Skalar nicht als Vektor schreiben kann: Ein Vektor ist Richtungsabhängig, ein Skalar nicht. Frage: Kann man aus dem selben Grund einen Skalar nicht als Dyade schreiben? — MovGP0 17:34, 4. Sep 2006 (CEST)

Wenn es nur isotrope Medien und Medien, in denen das B-Feld nur in einer Richtung zeigen kann, gäbe, dann wäre ein Ausdruck wie "highly anisotropic" sinnlos.

Weshalb man Skalare nicht als Dyade schreiben kann, ist eher eine philosophische Frage. Ein Argument hatte ich ja oben schon genannt: Als lineare Abbildungen aufgefasst sind dyadische Produkte Parallelprojektionen orthogonal zum einen Vektor mit einer Drehstreckung auf die Ursprungsgerade in Richtung des anderen Vektors, damit ist ihr Bild einfach zu klein. Daran sieht man auch, dass sie nicht richtungsunabhängig sein kann, "tiefere" Gründe fallen mir momentan aber nicht ein.--Gunther 17:55, 4. Sep 2006 (CEST)

Da hilft wohl nur eines: Rechnen. Ich hab die Struktur aus [2] entliehen und mit Pseudowerten gefüllt.

${\underline {\mu }}=\mu _{0}\cdot {\begin{pmatrix}0{,}9&0&-i\,0{,}435\\0&1&0\\i\,0{,}435&0&0{,}9\end{pmatrix}}$

Interessant scheinen mir die komplexen Anteile zu sein. Jetzt muss man das theoretische Material nur noch aus verschiedenen Winkeln magnetisch erregen. Ich habe aber derzeit keine Zeit um es zu rechnen. — MovGP0 06:05, 5. Sep 2006 (CEST)

Hab es mir beim Frühstück durch den Kopf gehen lassen. Die komplexen Anteile bewirken ja lediglich eine Phasenverschiebung. Wenn man H nun als Wellenfunktion betrachtet hat man den selben Effekt wie mit Licht, dass von Vakuum in Glas (optisch dichterer Körper) eindringt. Man kann das Beispiel also als Übergang von Vakuum in Eisen betrachten, welches aufgrund einer Phasenverschiebung das magnetische Feld vom Vakuum in das Eisen ablenkt. Ist aber bisher nur eine erste Vermutung - Das durchrechnen steht noch aus... — MovGP0 07:10, 5. Sep 2006 (CEST)

Ich denke, wir sollten uns nicht in physikalischen Details verlieren. Die Matrix hat offensichtlich Rang $\geq 2$, lässt sich also nicht als dyadisches Produkt schreiben. Es wäre nett, wenn Du die Tabelle selbst wieder entfernst.--Gunther 10:33, 5. Sep 2006 (CEST)

Was hat das eine mit dem anderen zu tun? Die Tabelle ist dazu da, die Namen und Repräsentation der Tensorstufen zu erläutern. Zum anderen geht es um die korrekte Repräsentation des Permeabilitätstensors. Wenn du mich zum Entfernen der Tabelle bringen willst musst du mich überzeugen, andernfalls wird nichts daraus, vor allem, da ich in der Tabelle den Sinn einer besseren Übersicht sehe. — MovGP0 17:41, 5. Sep 2006 (CEST)

Du warst bislang nicht dazu in der Lage, zu belegen, dass (1) die Begriffe Monade und Tetrade überhaupt in diesem Zusammenhang etabliert sind (die Anführungsstriche in der von Dir benannten Quelle belegen für mich eher das Gegenteil), und (2) dass "Dyade" synonym mit "Tensor der Stufe 2" verwendet wird; in der Quelle ist nur die Rede von Tensoren der Form $U\otimes V$.--Gunther 17:50, 5. Sep 2006 (CEST)

Ich habe schon einige Tensor-Literatur gelesen und mir ist der Begriff Dyade dabei nur für Tensoren der Form $U\otimes V$ begegnet, nicht für allgemeine Tensoren der Stufe zwei. Auch die Bezeichnung von Zahlen-Arrays der Dimension größer zwei als Matrix halte ich für unüblich. Dass Du, MovGP0, den Artikel übersichtlicher und verständlicher machen willst, ist ja prinzipiell löblich, nur ist es leider kontraproduktiv, zu diesem Zweck Bezeichnungen einzuführen, die in dieser Form falsch bzw. völlig ungebräuchlich sind. --Thomas Schultz 18:39, 5. Sep 2006 (CEST)

Das ist doch mal eine Antwort - thx 2 Thomas - die Tabelle wurde entfernt. — MovGP0 19:43, 5. Sep 2006 (CEST)

Danke, Thomas. Kannst Du ihm dann auch gleich noch sagen, dass das mit der Permeabilität Unsinn ist, ich bin da anscheinend wenig überzeugend?--Gunther 21:28, 5. Sep 2006 (CEST)

Skalarprodukt vs Kreuzprodukt

In der Section "Grundrechnungsarten" steht, dass der Betrag des Kreuzprodukts aus zwei Vektoren gleich dem Betrag des Skalarprodukts ist. Wie bitte? Themel 16:56, 12. Okt. 2006 (CEST)

Ich habe den gesamten "Grundlagen"-Abschnitt rausgeworfen. Er basiert auf einer Quelle zweifelhafter Qualität mit sehr ungewöhnlicher Notation (s.o.). Die Beispielliste ist nicht wirklich hilfreich, weil überhaupt nicht klar ist, was daran "der Tensor" ist. Auch die Frage der Koordinatenunabhängigkeit ist irgendwo schief dargestellt, Vektoren sind nicht dasselbe wie Punkte im Raum, die Basispunktabhängigkeit ist nicht das Entscheidende bei Tensoren, weil sie typischerweise entweder nicht vom affinen Raum, sondern vom zugehörigen Vektorraum abhängen oder ohnehin Tensorfelder sind, so dass die einzelnen Tensoren zu einem festen Basispunkt gehören.--Gunther 17:08, 12. Okt. 2006 (CEST)

Nun gut, dass meine Quelle eine schlechte Qualität hat bzw. nicht richtig ist, lass ich mir einreden. Nicht-Desto-Trotz schlage ich in diesem Fall vor, dass du als Experte, mein lieber Gunther, versuchst den Artikel auch für Laien zugänglich zu machen. Zumindest würde das verhindern, dass ein Tensor-Noob wie ich irgend welchen Unsinn in den Artikel einbringt. MovGP0 23:00, 27. Okt. 2006 (CEST)

Hab' mich an einer halbwegs nachvollziehbaren Einleitung zur Physik versucht.--Gunther 13:29, 1. Nov. 2006 (CET)

Tensoren im physikalischen Sinne als Multilinearformen

Tensoren $T$ sind multilineare Abbildungen in einen Körper $K$:

Nicht einen Körper $K$ sondern $\mathbb {R}$, denn Überschrift lautet ""im physikalischen Sinne""--Ralf Scholze

Ich würde nicht soweit gehen und behaupten, dass Physiker den Körper $\mathbb {C}$ nicht kennen.--V4len 13:44, 4. Dez. 2006 (CET)

Manche Physiker kennen sogar den Schiefkörper der Quaternionen bzw. $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H}$ und betreiben damit Quantenelektrodynamik.--LutzL 20:09, 4. Dez. 2006 (CET)

Lutz, Du wirst lachen, die Quaternionen kennen auch die Mathematiker. Aber mal Scherz beiseite. Tensoren $T$ sind multilineare Abbildungen in einen Körper $K$. Okay, nehmen wir als Körper $\mathbb {Q}$. Ich beobachte hier ein wenig die Tendenz, die Artikel derart mit -- für das Verständnis nich unbedingt notwendigen -- Details anzufüttern, dass man quasi vor lauter Kraft nicht mehr laufen kann. Immerhin soll es sich ja hier nicht um ein mathematisches Lehrbuch, sondern um ein Online-Lexikon handeln. Mit anderen Worten, wenn $\mathbb {C}$ oder $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H}$ hier auftauchen sollen, dann an dieser Stelle konkrete Beispiele oder komplett weglassen. --Ralf Scholze 10:09, 5. Dez. 2006 (CET)

Moechte zur Aussage " Multilineare Abbildungen sind genau dann Tensoren, wenn jeder der Vektorräume entweder V * oder V ist." nur folgendes anmerken: I)Es muss eine gewisse Entartungsfreiheit gefordert werden, die mit der Dimensionsformel ( Produkt der Dimensionen der V und V* gleich Dimension des Tensorraumes ) einhergeht. Eine Multilinearform ist also im allgemeinen noch kein Tensor. II)Es mag in der Physik ueblich sein, nur V oder V* zu verwenden, fuer eine mathematisch saubere Definition ist lediglich ein gemeinsamer Skalarenkoerper noetig. Quelle: G.Fischer, Vieweg, 'lineare Allgebra'.--Eberhard Kriege 06:00, 3. Jan. 2007 (CET)

Hierzu einige Ergänzungen:

1. Jede multilineare Abbildung läßt sich als Tensor darstellen. So ist der Raum $\operatorname {Bil} (V,W;K)$ der bilinearen Abbildungen $f:V\times W\to K$ von $K$-Vektorräumen $V$ und $W$ isomorph zu $V^{*}\otimes W^{*}$.
2. Eine Entartungsfreiheit von bilinearen Abbildungen ist nicht notwendig. Die bilineare Nullabbildung etspricht dem entsprechenden 0-Tensor.

--V4len 10:14, 3. Jan. 2007 (CET)

Ich wollte etwas dazu sagen. Ich bin auch im Besitz des Buches "Lineare Algebra" von Gerd Fischer. Allerdings enthält meine Ausgabe keine Definition oder Besprechung des Begriffs Tensor. Selbst der Begriff "Entartung" wird nicht ausdrücklich erwähnt (Eigenwerte und Vektoren werden selbstverständliche besprochen). Multilinearformen kommen nur insoweit vor, wie sie für die Definition des Skalarproduktes notwendig sind. Ich verstehe auch nicht, weshalb Entartungsfreiheit gefordert wird. Was hat denn das überhaupt mit der Dimension des Vektorraums zu tun? Was hat das mit der Definition von Tensor zu tun? V4len scheint den Tensor als indizierte Größe aufzufassen. Danach kann jede Multilinearform als indizierte Größe (Tensor) dargestellt werden. Ist das eine ausreichende Definition oder gibt es nicht doch einen Unterschied zwischen der Multilinearform und dem Tensor? Man könnte einwenden, dass umgekehrt nicht jede indizierte Größe eine Multilinearform darstellt. Könnte man vielleicht sagen, dass eine indizierte Größe genau dann ein Tensor ist, wenn sie eine Multilinearform in einer bestimmten Basis darstellt? Kilian Klaiber 15:02, 13. Mai 2007 (CEST)

Wie ich oben erklärt habe, hat Entartungsfreiheit nichts mit Tensoren zu tun. Außerdem kann man jede Bilinearform als Tensor darstellen. Lediglich die Anschauung der beiden Begriffe ist unterschiedlich. Bei der Menge der Bilinearformen handelt es sich um einen Funktionenraum und bei Tensorräumen um das Tensorprodukt von Vektorräumen. Beides sind aber Vektorräume und unter gewissen Bedingungen gibt es einen Isomorphismus zwischen diesen Vektorräumen. Eine Beispiel dafür habe ich oben angeführt:$V^{*}\otimes W^{*}\simeq \operatorname {Bil} (V,W;K)$ --V4len 08:06, 15. Mai 2007 (CEST)

Vielen Dank für die Reaktion. Irgendwie verstehe ich die Antwort nicht. Übereinstimmung scheint darin zu bestehen, dass Entartungsfreiheit nichts mit der Definition von Tensoren zu tun hat. "Außerdem kann man jede Bilinearform als Tensor darstellen." Diese Aussage verstehe ich noch. Meine Frage war allerdings, ob man umgekehrt jeden Tensor auch als Multilinearform darstellen kann. Ich vermutete die Antwort Nein. "Beides sind aber Vektorräume und unter gewissen Bedingungen gibt es einen Isomorphismus zwischen diesen Vektorräumen." Das scheint darauf hinzudeuten, dass man im allgemeinen nicht jeden Tensor als Multilinearform darstellen kann. Was sind das für Bedingungen? Sie scheinen jedenfalls nicht in dem Artikel enthalten zu sein. Kilian Klaiber 13:52, 15. Mai 2007 (CEST)

Na ja, ich vermute, dass du von der mathematischen Definition ausgeht, wonach jedes Element eines Tensorproduktes ein Tensor ist. Da jede Multilinearform als Tensorprodukt aufgefasst werden kann, stellt jede Multilinearform einen Tensor dar. Denn die Rechenregeln für das Tensorprodukt gelten ja auch für die Argumente des Multilinearform. Da gibt es gar keinen Widerspruch. Allerdings gibt es nach mathematischer Definition auch Tensoren, die keine Multilinearformen sind. Jene nämlich, die keine Abbildung in einen Körper darstellen. Inwiefern "gewisse Bedingungen" erfüllt werden müssen, ist mir nach wie vor schleierhaft. Kilian Klaiber 17:56, 17. Mai 2007 (CEST)

Ich muss sagen, dass mir die mathematische Definition überhaupt nicht gefällt. Die Bezeichnung Tensorprodukt scheint zu implizieren, dass es sich dabei um ein Produkt handelt. In der Mathematik bezeichnet der Begriff Produkt das Ergebnis bestimmter Verknüpfungen. Das bekannteste Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation von Zahlen. Da wird man gleich auf eine falsche Fährte geschickt. Denn das Tensorprodukt ist gar kein Produkt, sondern es handelt sich um einen Vektorraum!! Wie unglücklich!? "Das Tensorprodukt V_1 \otimes \cdots \otimes V_s von V_1,\ldots,V_s ist ein K-Vektorraum" Daher rührt auch die Bezeichnung "Element des Tensorprodukt". Das Element eines Produktes scheint eine widersinnige Formulierung zu sein. Denn ein Produkt hat üblicherweise keine Elemente. Ein Vektorraum stellt eine Menge dar, die natürliche Elemente besitzt. So erklärt sich diese seltsame Formulierung. Ferner bleibt bei der Definition Tensorprodukt vollkomment unklar, was die sogenannte Verknüpfung überhaupt auszeichnet. Daher auch die Formulierung "Das Symbol \otimes hat dabei keine tiefere Bedeutung,...". Das einzige, was an ein Produkt erinnern lässt, ist das Distributivgesetz für die Multiplikation a*(b+c)=a*b+b*c. Diese Tensorprodukt-Definition ist wirklich meilenweit von der üblichen Verwendung des Wortes Tensor in Physiklehrbüchern entfernt. Außerdem ist die Bezeichnung Tensorprodukt "counterintuitive"; sie widerspricht den üblichen Vorstellungen von einem Produkt. Mir scheint diese Defintion mehr zu verschleiern als aufzuklären.Kilian Klaiber 19:02, 17. Mai 2007 (CEST)

Überarbeitungsvorschläge

Mai, die Definition ist so schlecht, ich kann mich richtig darüber aufregen. Es wird der Tensor als Element eines Vektorraumes definiert. Wieso eigentlich? Die Verknüpfung wird sowohl zur Verknüpfung von Vektorräumen V also auch von einzelnen Vektoren v verwendet. Es wird also dasselbe Symbol in zwei vollkommen verschiedenen Bedeutungen verwendet. Ferner wird der Raum selbst wiederum durch die Verknüpfung seiner Elemente definiert; Ohhh Gottt. Die ganze Definition könnte man auch viel einfacher haben:

Ein Tensor ist eine Verknüpfung mehrerer Vektoren v1, ..., vs, die jeweils aus beliebigen Vektorräumen V1, ..., Vs über einem gemeinsamen Körper K stammen. Für die Verknüpfung müssen die angegebenen Rechenregeln gelten:

• $v_{1}\otimes \cdots \otimes (v_{i}'+v_{i}'')\otimes \cdots \otimes v_{s}=(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i}'\otimes \cdots \otimes v_{s})+(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i}''\otimes \cdots \otimes v_{s})$
• $v_{1}\otimes \cdots \otimes (\lambda v_{i})\otimes \cdots \otimes v_{s}=\lambda (v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i}\otimes \cdots \otimes v_{s}),\quad \lambda \in K$

Die Menge der Tensoren bildet selbst einen Vektorraum über dem Körper K. Das war's! Ende der Definition.

Die Menge der Tensoren sollte man sinnvollerweise Tensorraum nennen. Wer Verwirrung stiften mag, möge den Tensorraum Tensorprodukt nennen. Ich halte es für sinnvoller den Verknüpfungsoperator selbst $\otimes$ als Tensorprodukt zu bezeichnen, wie es im physikalischen Artikel auch geschieht. Kilian Klaiber 22:09, 17. Mai 2007 (CEST)

Ach ja, und um die Verallgemeinerung von Skalar, Vektor und Matrix einzufangen, könnte man sagen: s bezeichnet die Stufe des Tensors. Tensoren der Stufe null (s=0) sind Defintionsgemäß Skalare. Tensoren der Stufe 1 (s=1) sind definitionsgemäß Vektoren. Danach geht es erst mit den Verknüpfungen los. Kilian Klaiber 22:22, 17. Mai 2007 (CEST)

Ach ja, und aus der obigen Definition lässt sich zwanglos Ableiten, weshalb jede beliebige lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen einen Tensor darstellt. Die lineare Abbildung verknüpft Elemente der Definitionsmenge mit Elementen der Zielmenge; beides sind Vektorräume. Die Menge der linearen Abbildungen bildet einen Vektorraum. Die Rechenregeln ergeben sich aus der Linearität der Abbildung. Kilian Klaiber 23:24, 17. Mai 2007 (CEST)

Dann finde bitte eine belastbare Quelle für Deine Änderungen und setze sie um. Die Begriffe sind so, weil sie sich historisch so entwickelt haben. Es gibt das kartesische Produkt von Mengen und das Tensorprodukt von Vektorräumen. So unvernünftig ist das nicht. Die ganze, Dir scheinbar unverständliche, Konstruktion kommt daher, dass man die Existenz des Produktraumes erstmal sichern muss, bevor man von Eigenschaften seiner Elemente spricht. Das ist im Artikel Tensorprodukt ganz gut abgehandelt. Weil, nach Deiner verkürzten Definition käme jetzt die Frage: Ja aber was ist diese Verknüpfung eigentlich? Aber für die Einleitung wäre das sinnvoll, falls es nicht schon da steht.--LutzL 08:49, 18. Mai 2007 (CEST)

Weil, nach Deiner verkürzten Definition käme jetzt die Frage: Ja aber was ist diese Verknüpfung eigentlich? Gute Frage. Der Artikel Tensorprodukt enthält die Antwort: "Das Symbol $\otimes$ hat dabei keine tiefere Bedeutung..." Insofern hat sich an der Fragestellung nichts geändert, egal ob man meine "verkürzte Definition" wählt oder nicht. Die Existenz des "Tensorproduktes" =Tensorraum ist dadurch gesichert, dass die Tensoren definitionsgemäß einen Vektorraum bilden. Kilian Klaiber 09:51, 18. Mai 2007 (CEST)

Ach ja, was sie Bezeichnung angeht: Die historische Entwicklung scheint ziemlich kraus zu sein. Laut Artikel wurde die Bezeichnung ursprünglich von einem Physiker eingeführt. Die Mathematik hat sich später auch dieses Begriffes bemächtigt. Jetzt haben wir den Salat, der sich im Artikel ziemlich deutlich ablesen lässt. Aber die Verbindung mit dem kartesianischen Produkt macht tatsächlich Sinn. Da muss ich Dir Recht geben. Da gibt es Parallelen. Allerdings nur wenn man $\otimes$ als Verknüpfung von Vektorräumen betrachtet. Denn das kartesianische Produkt ist ja eine Verknüpfung zweier Mengen. In dem Artikel stellt $V\otimes W$ allerdings nur einen Namen bzw. eine Bezeichnung für einen bestimmten Vektorraum dar. Das Tensorprodukt wird ja nicht als Produkt zweier Vektorräume definiert. Hier muss man wieder Kritisieren, dass $\otimes$ in unterschiedlichen Bedeutungen verwendet wird. Zum einen ist es Bestandteil eines Namens, zum anderen stellt es eine Verknüpfung von Vektoren dar. Auch finde ich diesen Produktbegriff der Mengenlehre (kartesianische Produkt) etwas abseitig im Rahmen von Tensoren. Genauso wie der Vektorraum ein Raum von Vektoren ist verstehe ich unter einem Tensorraum einen Raum von Tensoren. Der Tensorproduktartikel selbst enthält jedenfalls eine andere Erklärung für die Begriffswahl, nämlich: "Diese Regeln sehen aus wie Distributivgesetze bzw. Assoziativgesetze; auch daher der Name Tensorprodukt." Hier sind offensichtlich die Multiplikation im Rahmen der Körperaxiome gemeint. Das hst nichts mit dem kartesianischen Produkt (besser Produktmenge) zu tun. Der Verknüpfungsoperator selbst wird mit dem Tensorprodukt identifiziert. Das ist letztlich ein Widerspruch zur angegebenen Definition des Tensorproduktes als Tensorraum. Die Assoziation mit dem kartesianischen Produkt scheint also nicht die ursprüngliche Motivation gewesen zu sein, denn selbst der Mathematik-Artikel spricht nicht davon. Das unterstützt meine These, dass die Begriffswahl unglücklich ist und keinesfalls notwendig. Kilian Klaiber 10:23, 18. Mai 2007 (CEST)

Die englischsprachigen Wikipedia-Definitionen, sind auch sehr disparat, hier einige Beispiele:

1. In mathematics, the tensor product, denoted by $\otimes$ may be applied in different contexts to vectors, matrices, tensors, vector spaces, algebras, topological vector spaces, and modules. In each case the significance of the symbol is the same: the most general bilinear operation.

2. Tensor (intrinsic definition): Let V and W be two vector spaces over a common field F. Their tensor product

$V\otimes _{F}W$

is a vector space over the same field F together with a bilinear map

$\otimes :V\times W\rightarrow V\otimes _{F}W$

Da kann man sich ja fast aussuchen, was man will. In beiden Fällen wird der Operator $\otimes$ einfach als bilineare Abbildung definiert. Ein Spezialfall davon ist die Bilinearform. Für das Tensorprodukt zwischen Vektorräumen wurde vorsichtshalber - weil es einfach was anderes ist - ein neues Symbol eingeführt, nämlich :$\otimes _{F}$. Die allgemeine Verwirrung bzw. Verwicklung hat sich offenbar historisch entwickelt und ist wohl sehr schwer wieder zu entwickeln. 84.151.171.224 12:46, 18. Mai 2007 (CEST)

Das wird immer schöner: Editing Tensor (intrinsic definition):

The tensor product $V\otimes W$ can be constructed as the vector space spanned by a basis

$\{\mathbf {v} _{i}\otimes \mathbf {w} _{j}\}$

where in the basis, the symbol $\otimes$ is alternatively seen as a formal symbol for forming a pair, and the value of the bilinear map $\otimes$ on the basis vectors.

Ich glaube der mathematische Abstraktions-Fetischismus führt bisweilen ins Chaos. Jetzt werden dem Symbol $\otimes$ gleich zwei verschiedene Bedeutungen gleichzeitig zugesprochen. Aufhören!! BUUHHH! 84.151.171.224 13:06, 18. Mai 2007 (CEST)

Hi, schlaf' mal ein paar Nächte darüber. Es besteht ein Unterschied zwischen "der allgemeinsten" bzw. der universalen bilinearen Abbildung und einer Bilinearform. Der Zielraum ist einmal der kleinste Vektorraum W, mit welchem eine injektive bilineare Abbildung $\phi :U\times V\to W$ besteht, und zum anderen der Skalarkörper.

Es muss in der Tat differenziert werden zwischen dem Tensorprodukt von Vektorräumen, oder, wenn Du willst, Tensorproduktraum, $W=U\otimes V$, dem Tensorprodukt von Vektoren $\phi (u,v)=u\otimes v$, was beides zum "normalen" Tensorpodukt der linearen Algebra gehört, sowie dem algebraischen Tensorprodukt von Moduln (wieder mit den zwei Bedeutungen) und dem topologischen Tensorprodukt zweier Banachräume (wieder zwei Bedeutungen).

Die Grundkonstruktion ist aber immer dieselbe, nur dass das topologische Tensorprodukt nicht bis auf Isomorphie eindeutig ist, es gibt bei unendlichdimensionalen Faktoren verschiedene Banachräume mit nicht kompatiblen Normen, so dass $\phi :U\times V\to W$ bilinear, injektiv und stetig ist. Ich erzähl mal nichts vom Tensorprodukt von Hilbert-Moduln...

--LutzL 14:25, 18. Mai 2007 (CEST)

Na ja, danke für die moralische Unterstützung. Ich bleibe erst mal bei Vektorräumen und Körpern das reicht mir. Ich glaube, dass es da auch nicht viel zu verstehen gibt. Das meiste ist Hokuspokus, d.h. bekannter Kram in neuem Gewandt. Den Tensor $u\otimes v$ einfach mit einer bilinearen Abbildung zu identifizieren ist gut. Dann ist ein Tensor einfach eine mutlinieare Abbildung in einen Vektorraum. Das wars. Das steht auch im Einklang mit meiner Definition. Mit Produkten hat das eigentlich gar nichts zu tun. Weder die Verknüpfung $\otimes$ noch die Verknüpfung $\otimes F$ ist notwendig um einen Tensor zu definieren. Wunderbar, denn die ganze Indexdarstellungen sind letztlich nur Darstellungen des Tensors in einer bestimmten Basis. Die Basistransformation ist das Transformationsverhalten der indizierten Größe. Aber wieso einfach, wenn man's auch kompliziert definiert kann? Da muss ich den Faust zitieren: "Im ganzen - haltet euch an Worte (Symbole für Mathematiker) ! Dann geht ihr durch die sichre Pforte zum Tempel der Gewissheit ein. Doch ein Begriff muss bei dem Worte (Symbole) sein? Schon gut! Nur muss man sich nicht allzu ängstlich quälen; Denn eben wo Begriffe fehlen, da stellt ein Wort (Symbol) zur rechten Zeit sich ein... Goethe wollte damit zwar nur die Theologie persiflieren, aber auf die Mathematik passt es bisweilen genausogut. 84.151.171.224 18:03, 18. Mai 2007 (CEST)

So, und jetzt möchte ich auf meine Eingangsfrage zurückkommen, nämlich: Könnte man vielleicht sagen, dass eine indizierte Größe genau dann ein Tensor ist, wenn sie eine Multilinearform in einer bestimmten Basis darstellt? Wenn man Multilinearform durch multilineare Abbildung ersetzt, dann ist die Antwort auf die Frage: Ja! So einfach ist das. Tensoren und multilineare Abbildung sind mathematisch ein und dasselbe. Die Menge der Multilinearen Abbildungen - definiert auf einem bestimmten Wertebereich und Definitionsbereich - bilden einen Vektorraum, den die Mathematiker Tensorprodukt nennen - das machens sie aber nur zur Verwirrungsstiftung. Man muss die Physiker nur verwirren, sie zu befriedigen ist schwer. Die Indexdarstellung stellt nichts anderes als die Koordinaten eines Tensors in einer bestimmten Basis dar. So lässt sich jede einfache lineare Abbildung als Matrix darstellen; absolute Basics der linearen Algebra. Läääve Leut. Das ganze Gelaber auf der Seite ist doch nichts als Hokus-Pokus Fidibus! Ich vermute, die Geschichte mit den Moduln und Ringen hat nicht viel mehr Tiefgang. Wahrscheinlich hat sich nur irgendwer überlegt, welche Axiome des Vektorraums und Körpers man weglassen kann, ohne die Definition der Multilinearen Abbildung Ad Absurdum zu führen.84.151.171.224 19:58, 18. Mai 2007 (CEST)

So, jetzt werde ich mich mal eine Überarbeitung des Artikels wagen, so dass der Zusammenhang zwischen indizierter Größe, multilinearer Abbildung und Tensorproduktoperator klar wird.

Gut, werde ich beobachten.--LutzL 08:05, 21. Mai 2007 (CEST)

Kurzer Kommentar noch: "Es besteht ein Unterschied zwischen "der allgemeinsten" bzw. der universalen bilinearen Abbildung und einer Bilinearform. Der Zielraum ist einmal der kleinste Vektorraum W, mit welchem eine injektive bilineare Abbildung besteht, und zum anderen der Skalarkörper." Hmmm, das stimmt so nicht. Der Unterschied zwischen einer Bilinearform und einer Bilinearen Abbildung ist, dass die Bilineare Abbildung jeglichen Vektorraum als "Zielraum" zulässt, während die Bilinearform nur bilineare Abbildungen in den zugrundeliegenden Körper umfasst. "Kleinste Vektorraum" und "injektiv" hat damit nichts zu tun. Dem Rest mag ich jetzt nicht auf den Grund gehen. Es hat prima Facie mit der Definition des Tensors nichts zu tun.

Hi, Deine letzte Antwort legt nahe, dass Du von Tensorprodukten nicht wirklich Ahnung hast. Es gibt eine Universaldefinition für das Tensorprodukt zweier Vektorräume, genauso wie es ein Axiomensystem der reellen Zahlen gibt. Und es gibt mehrere isomorphe Realisierungen der geforderten Eigenschaften. Beim Tensorprodukt ist eine Realisierung die über Multilinearformen auf den dualen Vektorräumen. Das Kroneckerprodukt ist eine weitere Realisierung im endlichdimensionalen Kontext. Ich möchte ja nicht altmodisch klingen, aber hast Du denn schonmal eine Datenquelle auf Zellulosebasis konsultiert?--LutzL 08:05, 21. Mai 2007 (CEST)

Hmm, wer den Unterschied zwischen Bilinearform und bilinearer Abbildung im Allgemeinen nicht verstanden hat, sollte vielleicht nicht so große Töne spucken. Sorry, Lutzl, wir sollten uns jetzt nicht zoffen. Deine Kommentare sind schon hilfreich. Dafür möchte ich mich bedanken. Ich hoffe, dass die Überarbeitung des physikalischen Teils zumindest einen gewissen Fortschritt bedeutet. --Kilian Klaiber 12:31, 21. Mai 2007 (CEST)

Hi, nun hast Du aber richtig Mist gebaut. Wenn T eine Bilinearform ist, dann ist T(u,v) ein Skalar. T selbst ist ein Tensor, und zwar aus dem Tensorproduktraum der Dualraeume. Das ist im Artikel Tensorprodukt eigentlich unmissverstaendlich erklaert. Ich sehe mal zu, wie ich das repariert kriege, ohne zuviel von Deinen guten Absichten zu zerstoeren.--LutzL 21:15, 22. Mai 2007 (CEST)

Du hast nich aufmerksam gelesen. Ich hatte gesagt, dass T eine bilinear Abbildung sein muss. Damit ist T(u, v) nicht notwendigerweise ein Skalar. Ich glaube ich rede mir hier noch den Mund fusselig. Durch deine Reparatur ist die gesamte Gliederung durcheinander gekommen. Jetzt findet sich unter "einfache Tensoren" bereits die allgemeinste Definition. Ich finde es nun vollkommen unübersichtlich. Die Definition als Multilineare Abbildung hast du gelöscht und den Zusammenhang zu den Tensorprodukten auch, weil du es nicht verstanden hast. So geht der Zusammenhang zwischen den unterschiedlichen Definitionen wieder vollkommen unter, worauf es mir besonders ankam. --Kilian Klaiber 11:01, 23. Mai 2007 (CEST)

Gut, aber jetzt will ich Dich auch mal loben. Die Ergänzung zu der Definition als Tensorprodukt von Vektoren ist gut. Ein Fragezeichen möchte ich hinter die folgende Formulierung stellen: "In diesem sollen außer den angegebenen Rechenregeln keine weiteren Identitäten gelten, außerdem soll dieser Vektorraum nicht größer sein, als es für das Produkt notwendig ist." Ich finde das zumindest missverständlich. Die Erweiterung auf Tensorprodukte höherer Stufe ist Dir gut gelungen. Das hatte ich ganz fortgelassen. Ich glaube es gibt jetzt auch keine Differenz mehr zwischen der "phyiskalischen Definition" und der mathematischen Definition. Allerdings wird in der überwiegenden Zahl der physikalischen Lehrbücher - insbesondere im Bereich der allgemeinen Relativitätstheorie - der Tensor als indizierte Größe mit vorbestimmten Transformationsverhalten definiert. Allein deshalb habe ich die Koordinatendarstellung und die Basistransformation erläutert. Ich glaube, dass es deshalb sehr wichtig ist den Zusammenhang zwischen diesen Definitionen zu erläutern. Das fehlt!! Denn du hast es gelöscht. --Kilian Klaiber 11:18, 23. Mai 2007 (CEST)

Ich habe mir Deine "Universaldefinition" reingezogen. Ich möchte vorschlagen, das zu dem rein mathematischen Kapitel zu verschieben. Es wird hier wiederum versucht das Tensorprodukt von Vektorräumen zu definieren. Das ist im mathematischen Teil bereits erheblich besser abgehandelt als hier. Außerdem leidet der Abschnitt unter dem Kardinalfehler, dass für das Tensorprodukt von Vektoren und das Tensorprodukt von Vektorräumen - Äpfel und Birnen - jeweils dasselbe Symbol verwendet wird. Ich werde es zu der mathematische Definition verschieben, denn da gehört es hin. --Kilian Klaiber 12:49, 23. Mai 2007 (CEST)

Wieso hast du den Artikel so verunstaltet? Es passt jetzt nichts mehr zusammen. Kümmere dich doch um den mathematischen Abschnitt, den physikalischen Abschnitt hast du wirklich vollkommen durcheinander gebracht. Hoch- und Tiefstellen von Indizes wird "Zur besseren Kontrolle der Gültigkeit von Rechenregeln können einzelne Indizes auch nach oben gestellt werden." So ein Unsinn. Es geht dabei um Ko- und Kontravarianz. Das wird später im Artikel erläustert. Also, wieder einmal doppelt gemoppelt und unstrukturiert. Mai, bitte!!--Kilian Klaiber 13:00, 23. Mai 2007 (CEST)

Lutzl, ich möchte Dich bitten, Dich im mathematischen Abschnitt auszutoben, bevor Du den physikalischen Teil wieder komplett umgestaltest. Ich habe Deine Ergänzungen zum Tensorprodukt beibehalten und die Unviversaldefinition in den mathematischen Teil verschoben.--Kilian Klaiber 17:01, 23. Mai 2007 (CEST)

So, ich muss sagen, dass ich jetzt zufrieden mit dem Artikel bin. Der Abschnitt "Tensoroperationen" ist allerdings noch etwas kraus. Es geht wohl um die Kontraktion von Tensoren. Aber das sind Details, die noch verbessert werden können. Ich glaube so hat jeder etwas vom Artikel. Der Anwender erhält die einfache Definition als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor oder Matrix. Der Physiker bekommt noch den Zusammenhang mit dem Transformationsverhalten und der Definition als multilineaer Abbildung erklärt. Der Mathematiker kann noch weiter abstrahieren und sich mit Modulen über Ringen beschäftigen. --Kilian Klaiber 18:51, 23. Mai 2007 (CEST)

Abschließender Kommentar: Der Vergleich mit den entsprechenden englischen und französischen Artikeln über Tensoren ist aufschlussreich. Überall wird eine Vielzahl von Definitionen angeboten, deren innerer Zusammenhang sich nicht erschließt. Die ausführlichen Diskussionen auf diesen Seiten wie auch hier belegen, dass der Begriff nicht immer einheitlich verwendet wird. Es ist aber schon viel besser geworden.--Kilian Klaiber 20:53, 23. Mai 2007 (CEST)

Tensororganisation (BWL)

Beim Lernen eines Management-Fachs, bin ich auf den Begriff "Tensororganisation" gestoßen.

Tensororganisation heißt, dass eine Organisation drei Dimensionen haben kann, z.B. divisional, also nach Produkten gegliedert, funktional, also nach Abteilungen und Funktionen gegliedert und regional, also geographisch gegliedert.

Wenn jemand Zeit hat, wäre es gut, auch diesen Begriff mit zu übernehmen.

Ich kann auch gerne mitschreiben, wenn wieder mehr Zeit ist...

Gruß,

Valerio

Ich denke, dass es sinnvoller wäre einen neuen Artikel Tensororganisation zu erstellen und evenuell auf den Artikel Tensor zu verweisen.

Wobei ich mir nicht ganz sicher bin, ob es wirklich irgend einen Zusammenhang gibt. Hierzu müsste man vielmehr ausarbeiten, inwieweit die verschiedenen Beschreibungen der Organisation durch Vektorräume beschrieben werden können. Ansonsten würde eine Verlinkung wahrscheinlich nicht zu mehr Klarheit führen--V4len 01:23, 26. Feb. 2007 (CET)

Wissenschaftsgeschichte - eine Frage ...

Halloechen Leute,

da ich sehr an Wissenschaftsgeschichte interessiert bin,
wuerde ich mich freuen, wenn mir jemand auf die Frage:

"Warum Herr Woldemar Voigt (u.a.) die Tensoren >erfand< ?"

einen Tip bzw. eine Antwort gibt. (Das im Artikel ange-
gebene Buch von Woldemar Voigt habe ich leider noch nicht
in einer Bibo finden koennen.)

Vielen Dank
Olaf Eitner, --77.177.2.144 09:54, 22. Aug. 2007 (CEST)
Email: olaf_eitner@olaf-eitner.de

PS.: Ich finde uebrigens den Artikel ganz OK. Eine bessere
Quellenangabe waere wuenschenswert. Aber das betrifft
so ziemlich alle Artikel von Wiki ...
.

"Neue Version"

Ich habe die sogenannte neue Version entfernt, da sie weder sprachlich noch inhaltlich akzeptabel ist. Einige Zitate:

"Es existieren keine allgemeinen Rechen-Methoden für Tensoren wie sie beispielsweise für Matrizen oder Vektoren existieren"

wird direkt weiter unten im alten Artikel widerlegt

"Dadurch ergeben sich für Tensoren Vielfältige Möglichkeiten, allerdings auch ein extrem komplexer Umgang, da man bei jeder Operation zusätzlich die Vektorräume zu den Tensoren beachten muss, damit die Zuweisungen in der Form möglich sind, wie man sie als Autor vorschreibt. (Dies gilt insbesondere für streng mathematische Ausführungen, für deren Schreiben eine Lektüre der entsprechenden Fachliteratur sehr zu empfehlen ist!)"

Ja, Lektüre von Fachliteratur ist zu empfehlen.

"In der Differentialgeometrie werden durch Tensorfelder Richtungsableitungen und Flächenelemente in invarianter Form dargestellt."

Man kann aus einigen Tensor(felder)n Invarianten bilden, aber z.B. Richtungsableitungen sind keine Invarianten. Und dann die Hauptdefinition:

"Ein Tensor kann durch ein n-dimensionales Raster von Zahlen (oder auch Elementen anderer Körper) dargestellt werden, die ihre Anordnung durch n entsprechende Indizes erhalten."

Wichtig ist das Transformationsverhalten des Tensors.

Wenn der Autor einen Artikel neu fassen will, kann er das in Sandboxen tun. --Claude J 10:32, 14. Nov. 2007 (CET)

Da der Artikel inzwischen gleich zwei QS gemeldet wurde bitte die Diskussion dort beachten (insbesondere QSMathematik).--Claude J 10:48, 14. Nov. 2007 (CET)

@Transformationsverhalten: Das ist nur für den Physiker wichtig, der nie Tensoren als geometrische Objekte, d.h. in Koordinatenfreier Darstellung, kennengelernt hat. @Invariante Form: Das meint nicht, dass das Zahlen sind, sondern dass die Form invariant bleibt. D.h. wieder, dass die ganze Konstruktion auch koordinatenfrei darstellbar ist. Ist wohl eher nicht für eine Einführung geeignet. --- Aber Du kannst auch gerne die "neue" Version vor meinen Änderungen/Korrekturen begutachten, auf die trifft Deine Kritik noch viel mehr zu. Insgesamt Zustimmung zu Deiner Aktion.--LutzL 12:43, 14. Nov. 2007 (CET)

Es mag ja sein, dass das Transformationsverhalten "nur" in der Physik wichtig ist. Das ist kein Grund, das im Artikel unter zu verschweigen. Die Anwendungen in der Physik haben historisch gesehen, die mathematisch korrekte Form der Tensor-Algebra stimuliert. ---<(kmk)>- 15:04, 14. Nov. 2007 (CET)

Das bestreitet ja keiner, und deshalb gehört es auch, historisch einigermaßen korrekt, in den Artikel. Das Transformationsverhalten ist auch in der Mathematik wichtig, wenn es um Kartenübergänge von Tensorbündeln über Mannigfaltigkeiten geht. Aber welcher Physiker weiß, dass dieses rituelle Übergangsverhalten etwas mit einem Basiswechsel im zugrundeliegenden Vektorraum zu tun hat? Dass überhaupt ein Vektorraum zugrunde liegt? Dass Tensoren über mehreren strukturverschiedenen Vektorbündeln gebildet werden können? Wer weiß wirklich, was rein geometrisch mit den gepunkteten und ungepunkteten alphas und betas gemeint ist?

Es verzichtet doch heute keiner auf Stahlmesser, weil unseren Vorfahren Stein- und Knochenmesser auch ausgereicht haben.--LutzL 17:34, 14. Nov. 2007 (CET)

Anmerkungen zum Artikel

Hi, beim Lesen des Artikels sind mir ein paar Dinge aufgefallen, die ich anmerken möchte. Sie sind als konstruktive Kritik gemeint, in der Hoffnung, dass aufgrund dieser Hinweise jemand den Artikel weiter verbessern kann:

• Mischung von latex und anderer Schreibweise: im Artikel werden teilweise Formeln und Indizes mit Latex geschrieben, teilweise mit Hilfe der Wiki-Formatierungen. Das ist uneinheitlich und erschwert das Lesen, da die Darstellung bei der einen Formatierung auch von der Schriftart des Systems abhängt: v₁ und $v_{1}$. Zusätzlich erschwert der Nutzen von Wiki-Formatierung in einigen Browsern oder aber bei bestimmten Schrifteinstellungen das Lesen deutlich. Es wäre besser, durchgängig Latex zu benutzen, sobald eine Formel oder eine Variable ins Spiel kommt.
• unerklärte Begriffe: es werden nicht alle Begriffe bei der Einführung erklärt oder verlinkt. Besonders hinderlich ist dies beim Beispiel "duale Vektorräume", da es elementar für das Verständnis der verschiedenen Vektorräume ist.
• Indizes nur knapp erklärt: die Indizes sind meist nur allgemein oder zu knapp erklärt, oder erschließen sich nur beim dritten Hinsehen. Für "normale" Leser kann das Erfassen der Indizes durch einen kurzen, noch einmal erklärenden Satz deutlich verbessert werden. Beispiel: zu "Als Basisvektoren der jeweiligen Vektorräume werden $e_{i_{1}},\dots ,e_{i_{n}}$ bezeichnet." könnte noch der Satz "Dabei beschreibt der zweite Index den Vektorraum und der erste Index unterscheidet die Basisvektoren eines Vektorraums."

So weit erst mal, wenn mir noch was weiter auffällt, schreibe ich es hier auf. Ich selbst nehme die Änderungen übrigens nicht vor, da ich aufgrund mangelnden Wissens befürchte, mehr Schaden anzurichten als zu nutzen. --79.213.39.199 22:46, 18. Dez. 2007 (CET)

Hab' keine Scheu, solche Formatierungssachen selbst zu beheben. (Zeit dafür ist natürlich immer ein Problem.) Es gibt genug Leute, die diesen Artikel in ihrer Beorbachtungsliste haben und Änderungen nachkontrollieren. Das schlimmste, was passieren kann, ist, dass jemand eine Quelle für Mißverständnisse erkennt und eine richtige Erklärung anfügt.--LutzL 14:20, 19. Dez. 2007 (CET)

Hm, oder so, alles klar :) --141.35.179.46 15:11, 19. Dez. 2007 (CET)

Schreibweise von Vektoren?

Wie wird in diesem Artikel die Schreibweise von Vektoren gehandhabt? Im Artikel Vektor werden sie mit Pfeilen gekennzeichnet - hier werdne sie entweder dgar nicht gesondert gekennzeichnet, oder aber fett geschrieben. Auf jedem Fall sollte es hier im Artikel einheitlich sein, im Idealfall einheitlich in der gesamten Wikipedia. Ich habe dort, wo ich bei kleinen Änderungen auf Vektoren stoße, Pfeile eingefügt, damit der unbedarfte Leser unterscheiden kann zwischen Vektoren und den Komponenten des Vektors. --141.35.179.46 15:29, 19. Dez. 2007 (CET)

Die Einigung war, in mathematischen Texten entweder durch Fettschreibung oder gar nicht zu kennzeichnen, evtl. in Geometrie-Artikeln und in Elementarphysik Pfeile. Finde nur gerade keine Seite, auf der der Konsens vermerkt wäre.--LutzL 17:20, 19. Dez. 2007 (CET)

Ich mag jetzt nicht wie der Elefant im Porzellanladen (aka. Troll) hier auftreten, aber ich finde es schon ein wenig... nun... seltsam anmutend, dass sich Fließtext und Formelsatz in so einem elementaren Punkt unterscheiden. Entweder überall Pfeile oder überall kursives Fett, aber nicht mal so und mal so, nur weil es beim Schreiben einfacher ist. Wolf Schneider fragt da gerne, wer sich anzustrengen habe: der eine Autor oder die im Zweifel zigtausend Leser? Ich denke, die Antwort ist "trivial"... *hust*. VillaStraylight 22:11, 3. Feb. 2008 (CET)

Da stellt sich doch zuersteinmal die Frage was ist ein Vektor? Auf Mengen mit Körperstruktur also den Reellen Zahlen ist ebenfalls eine natürliche Vektorraumstruktur. Dafür finde ich die Trennung zwischen Matrix, Vektor und skalar für unnatürlich und wenig hilfreich. --Christian1985 14:06, 17. Jul. 2008 (CEST)

Allgemeinverständliche Einleitung

In meinen Augen fehlt dem Artikel eine kurze, allgemeinverständliche Einleitung, die dem "interessierten Laien" zumindest klarmacht, worum es geht. Wie wäre es mit:

Als Tensor bezeichnet man eine Verallgemeinerung des Vektorbegriffs in der Differentialgeometrie und der Physik.

Und weiter (schon nicht mehr ganz so allgemeinverständlich):

In der Physik tauchen Vektoren und Matrizen vor allem als Darstellungen linearer Abbildungen auf (z.B. das Trägheitsmoment). 
Dies hat zur Folge, dass sich die Darstellungen dieser Größen bei einer Koordinatentransformation in charakteristischer Weise ändern. 
Mehrdimensionale 'Matrizen' mit entsprechendem Transformationsverhalten werden als Tensoren bezeichnet.
In der Mathematik wird der Begriff allgemeiner über das Tensorprodukt von Vektorräumen definiert.

Christian Gawron 22:49, 2. Jan. 2008 (CET)

"Allgemeinverständlich"

Hallo Christian,

ich bin mit Dir einer Meinung darüber, dass diesem Artikel eine allgemeinverständliche Einleitung fehlt - aber das gilt für sehr viele Artikel, die sich mit mathematischen Begriffen bzw. Objekten bzw. Kalkülen befassen. Meinem Gefühl (!) nach liegt das beim Tensor daran, dass es eben (mindestens) dreierlei Sichtweisen auf Tensoren gibt, nämlich

1. die "saubere", mathematische Definition, für die sich Mathematiker interessieren
2. die etwas weniger saubere Kette "Skalar", "Vektor", "Matrix", "Tensor"
3. die Art und Weise, wie Physiker Tensoren benutzen

Wie manche andere hier schlage ich deswegen vor, eine tatsächlich allgemeine, kurze und fachübergreifende Einführung zu verfassen und danach die drei genannten Betrachtungsweisen in getrennten Artikeln zu behandeln. Persönlich halte ich die zweite Sichweise für die, die sich mit Oberstufenwissen am leichtesten "intuitiv" erfassen lässt, auch wenn Intuition in der Mathematik ja eigentlich nix verloren hat. Dass und warum in der Physik dauernd Tensoren 2. Stufe vorkommen, aber nicht Matrizen genannt werden, kann man den Physikern überlassen.

In der Einführung würde ich versuchen, einen möglichst simplen Begriff des Tensors darzustellen, auch dann, wenn diese Darstelluung nur "intuitiv" und nicht korrekt ist. Kritik an dieser ersten Darstellung kann dann gerne in den verlinkten Folgeartikeln stattfinden, eben aus der jeweiligen Sicht der Autoren. Zur Einführung gehören dann sonst nur Verweise auf diese Spezialisierungen und auf Beispiele, wie etwa auf Levi-Civita und den metrischen Tensor.

Was diese Einführung betrifft, sollten sich die Autoren davon lösen können, ihr jeweiliges Fachgebiet bzw. ihre Sichtweise in den Vordergrund zu drängen, insbesondere sollten sie es unterlassen, einen Abschnitt, der offenbar von einem Physiker geschrieben wurde, mit Besserwissertum der Sorte "Das ist aber offenbar falsch, denn mathematisch..." zu vernichten, und genau dasselbe gilt andersherum.

(nur mein halber Euro)

VillaStraylight 21:43, 3. Feb. 2008 (CET)

Was das betrifft empfehle ich eine Aufteilung des Artikels nach

• Tensor - allgemeine Einführung des mathematischen Begriffs; "Skalar", "Vektor", "Matrix", "Tensor"
• Tensor (Physik) - Tensorbegriff in der Physik; aufbauend auf Tensor
• Tensor (Mathematik) - aufbauend auf Tensor aber 100% korrekt
• Tensor (Anatomie) - fehlt derzeit völlig

— MovGP0 01:57, 12. Feb. 2008 (CET)

Überarbeitung des Artikels

Ich nehme mich mal ein bischen dem Artikel an. Einen Entwurf zu einem neuen Artikel findet man hier. Ich werde versuchen, so viel material wie möglich aus dem (bestehenden) Artikel herauszulösen, und koheränt bei mir einzusetzen. Wichtig sind mir folgende Punkte:

• Einleitung: Tensor: Mathematische objekt, dass sich über seine eigenschaften definiert etc. Wo gibt es Tensoren? Mit was werden sie gerne verwechselt (z.B. Tensorfelder) etc.
• Definition: Hier werde ich mich an die 3 Definitionen von Penrose/Rindler halten. Es gibt im wesentlichen 3 Definitionen, was Tensoren sind, die aber alle Aequivaltent sind (Somit sollten sowohl die Physiker wie auch die Mathematiker zufrieden sein).
• Anwendungen und Beispiele von Tensoren.
• Operationen von Tensoren: Addition, skalarmultiplikation, äusseres Produkt, index-substitution, kontration, symmetrisierung, antisymmetrisierung.
• Tensorkalkül, indexjongliererei (nach Penrose).
• Kontext Tensoren

Ich habe mich dabei entschlossen, nicht die ganze diskusion durchzugehen (Es geht darin mehr darum, wer jetzt der bessere Mathematiker ist, als dass die sache durchleuchtet wird). Sollte jemand nicht mit diesem Vorgehen einverstanden sein, so schreibt mir rasch (und frühzeitig) einen Komentar hierhin. StollenTroll 14:40, 11. Jan. 2008 (CET)

Lieber StollenTroll, ich habe Deinen Entwurf mal kurz ueberflogen. Gut finde ich zunaechst klarzustellen, dass es mehrere gleichwertige Sichtweisen gibt, um die immer wieder aufkommenden Diskussionen, ob nun die multilin. Abb. $\otimes$ oder eher ihre Bilder als Tensoren zu bezeichnen sind usw. endlich zu beenden.

Sonst scheint es ein schoenes Lehrbuch fuer Mathematikstudenten ab dem 8. Semester zu werden... Mal nichts fuer ungut, aber wir sollten doch versuchen, diesen Begriff allgemeinverstaendlich zu fassen. Derart abstrakte Verallgemeinerungen, anspruchsvolle Notationen mit Symbolen, die ich in meinen ganzen Physikstudium nicht gesehen habe usw. schiessen doch voellig ueber das Ziel hinnaus. In diesem Sinne wuerde ich mit einer ganz einfachen Definition beginnen und daran das wesentliche -kurz und buendig - diskutieren. Danach koennte der Begriff auf Tensoren hoeherer Stufe, ueber unendlich dimensionalen Raeumen ... fortgesetzt werden. Die einschlaegigen Beispiele aus der klassischen Physik ( Traegheitsmoment, Spannungstensor ) sind alle schon etwa mit folgender einfacher Definition erfassbar, wenn man anschliessend noch etwas zur Spezialisierung in symmetrische und antisymmetrische Tensoren sagt:

---

Seien V, W und T endlich-dimensionale Vektorräume über einem gemeinsamen Skalarenkörper K und $\otimes$ eine bilineare Abbildung $\otimes :V\times W\to T$ mit

i) $\operatorname {Span} (\operatorname {Im} (\otimes ))=T$

ii) $\dim(V)\cdot \dim(W)=\dim(T)$

Dann heißen die Vektoren aus T Tensoren und $\otimes$ heißt Tensorprodukt. Statt $\otimes (v,w)$ schreibt man einfach in Produktnotation $v\otimes w$. Ferner schreibt man $V\otimes W$statt T und nennt es das Tensorprodukt der Räume V und W. Gibt es zu einem t aus T ein v aus V und ein w aus W, so dass $t=v\otimes w$, so nennt man t einen elementaren Tensor.

Diskussion

i) bedeutet, das der Tensorraum von Bildern von $\otimes$, kurz von elementaren Tensoren, aufgespannt wird.(lat.tenso: ich spanne (auf)), sonst wären es einfach nur Bilder irgendeiner bilinearen Abbildung.

ii) kann so interpretiert werden, dass es maximal viele lin. unabh. Bilder von $\otimes$ geben muss, um von Tensoren reden zu koennen. Genauer:

Sei $e_{i}$, i=1,..., n, eine Basis von V und $f_{j}$, j= 1,...,m, eine Basis von W. Dann ist die Menge der elementaren Tensoren $e_{i}\otimes f_{j}$ eine Basis von $T=V\otimes W$. Da es n*m Kombinationen gibt, kann $\dim T$ auch nicht größer sein.

Weitere Anmerkungen

• Das Bild einer bilinearen Abbildung ist (i.A.) kein UVR, es ist also – anders als bei linearen Abbildungen – die lineare Hülle des Bildes Span(Im $\otimes$) i.a. nicht gleich dem Bild Im $\otimes$ selbst. So sind allgemeine Elemente von T keine elementaren Tensoren, sondern in der Hülle des Bildes zu suchen, also nur als Linearkombination von elementaren Tensoren darstellbar. Dies ist ein wesentlicher Unterschied zwischen linearen und multilinearen Abb.

• Um zu entscheiden, ob ein Vektor aus T nun ein Tensor, oder einfach nur ein Element eines n*m dimensionalen VR ist, kommt es auf den Zusammenhang an, also ob es in einer gegebenen Situation die VR V und W und eine bilineare Abb. mit den angegebenen Eigenschaften gibt.

Elementares Beispiel:

Fasse V als Raum von Spaltenvektoren und W als Raum von Zeilenvektoren auf. $\otimes$ sei die bekannte Matrixmultiplikation, so dass $v\otimes w$ eine $n\times m$ Matrix ergibt (s. dyadisches Produkt). Nur in diesem Sinne sind Matrizen als Tensoren (2. Stufe) auffassbar.

---

Dies mag nun Einigen, die zum Thema bereits tiefsinnige Anmerkungen beigetragen haben, etwas trivial vorkommen. Dennoch gebe ich zu bedenken, dass i) und ii) wie hier diskutiert den Tensorbegriff wesentlich ( wenn auch nicht auf die einzig mögliche Weise ) charakterisieren. Und diese Eigenschaften sind im bisherigen Artiklel vollkommen untergegangen. Hier und da könnte man gar meinen, Tensoren 2. Stufe seien nichts weiter als Matrizen...

Ferner bin ich auch fuer die Anregung, Teile auszulagern, die im engeren Sinne nichts mit Tensoren zu tun haben: etwa Allgemeine mutililineare Abb, Definition von Ko- und kontravarianz, ... .. oder aber den Tensorbegriff selber zur Voraussetzung haben wie etwa Tensoralgebra, -analysis, -felder,...

Das ganze Gerede vom Objekten mit mehreren Indices, formalen Symbolen, die ja im Grunde keine Bedeutung haben, einer Verallgemeinerung der Begriffe Skalar, Vektor ... ist vorab, also vor einer ersten Definition, kaum erhellend. Solche Anmerkungen koennen weiter unter kommen, wenn man dann verstehen kann, wie das gemeint ist. --Eberhard Kriege 23:01, 17. Jan. 2008 (CET)

Ich hab' mir mal erlaubt, den Vorschlag zu verschönern. Wäre eine sinnvolle Einleitung. Auslagern wurde auch schon diskutiert, s.o., hat aber nie jemand genug Zeit gehabt. Tensor kommt historisch aber doch eher von dessen Benutzung zur Beschreibung von Festkörpern unter Spannung.--LutzL 11:28, 18. Jan. 2008 (CET)

Ich halte es für keine gute Idee die Diskussion der Metrik in die Anwendungen zu verschieben. Die Diskussion war gerade im Abschnitt ko-und kontravariante Vektoren gut aufgehoben, da sie in den Anwendungen meist über eine Metrik eingeführt werden, und nicht über das allgemeinere Dualitätskonzept.--Claude J 17:08, 13. Jun. 2009 (CEST)

Diskussionsseite + Artikel

Mir ist hier nicht mehr klar, ob und inwieweit dieser Artikel noch Überarbeitungsbedürftig ist. Ich sehe lediglich das Schild, dass dieser Artikel auf der Qualitätssicherrungsseite des Portals Mathematik eingetragen sei. Die meisten Diskussionsbeiträge sind von 2007 abwärts. Vielleicht wäre es besser die Diskussionsseite aufzuräumen (Archiv), beziehungsweise das Hinweis-Schild zu entfernen. mfg --91.5.160.197 19:07, 6. Dez. 2008 (CET)

Also der Artikel muss immernoch gründlichst überarbeitet werden. Vieles steht doppelt darin, alleine schon die Unterscheidung zwischen Physik und Mathematik ist unnatürlich. Bei Zeit schaue ich mal, ob ein paar kleinere Diskussionspunkte als erledigt makiert werden können. --Christian1985 12:03, 7. Dez. 2008 (CET)

Der Abschnitt Anwendungen am Schluß kann entfallen, da das alles schon oben erwähnt wurde.--Claude J 21:24, 8. Dez. 2008 (CET)

Ich möchte folgenden Vorschlag zur Überarbeitung des Artikels machen, wobei ich mich im Wesentlichen auf den Physikteil beziehe:

1. Im Abschnitt Tensor-Produkt sollte das Beispiel entfernt werden und gegebenenfalls im Abschnitt Koordinaten des Tensors aufgenommen werden, wo es inhaltlich hingehört.

2. Der Abschnitt Beispiel wichtiger Tensoren sollte am Ende des Physik-Abschnitts angefügt werden. Also nach dem Verjüngungsabschnitt. Das Beispiel mit den Kronecker-Delta finde ich besonders schön und gut gelungen.

3. Verjüngung ist zwar eine wichtige Operation, aber ich finde nicht, dass es gut erklärt ist. Das müsste auf jeden Fall nachgebessert werden.

4. Zum Mathematik-Artikel möchte ich nur so viel sagen: Ich finde es äußerst unglücklich beim mathematischen Artikel den Begriff Tensorfeld zu erläutern, bevor der Tensor überhaupt definiert ist. Man kann das Tensorfeld doch nicht begreifen, bevor man den Tensor begriffen hat. Deshalb geht das gar nicht! Außerdem erfüllt der Mathematische Artikel nicht, was die Einleitung verspricht, nämlich "das Tensorprodukt von Moduln und Algebren" zu definieren.

5. Der Abschnitt "Anwendungen" kann entfallen, da im Verlaufe des Artikels bereits diverse Anwendungen angesprochen und diskutiert werden.

-- Kilian Klaiber 10:55, 7. Jun. 2009 (CEST)

Habe Punkt 2 und Punkt 5 umgesetzt. Es gibt übrigens auch noch ein Kapitel Beispiele im Mathematik-Abschnitt, wo so was reinkann. Was Punkt 4 angeht: der Unterschied ist wohl mehr die invariante Notation und die Indexnotation, was nicht so deutlich wird, da beide im Physik Abschnitt benutzt werden.--Claude J 12:31, 7. Jun. 2009 (CEST)

Hallo Claude, ich habe mir jetzt den Mathematik-Artikel gneu durchgelesen. Nach meinem Verständing, enthält dieser Abschnitt nichts, was nichtt im Physik-Abschnitt angeprochen wird.

Die Mathematik-Definition fängt folgendermaßen an: "In der Physik wird „Tensor“ oft als Abkürzung für Tensorfeld verwendet" Das widerspricht eklatant dem Rest des Artikels, insbesondere dem Physik-Artikel, der in keiner Weise den Begriff Tensor als Abkürzung des Begriffs Tensorfeld verwendet. Insofern ist das schlicht und einfach falsch. Der Mathematik-Abschintt sollte sich weniger mit der Kommentierung des vermeintlichen Physiker-Verständnis sondern mit dem Mathematiker-Verständnis befassen. D.h. der Abschnitt "Unterschiedliche Betrachtungsweisen" ist zu löschen, weil der falsch ist.

Als Tensorprodukt der Vektorräume V und W. wird jeder Vektorraum X über dem gemeinsamen Skalarenkörper von V und W bezeichnet, zu dem...

D.h. Das Tensorprodukt X ist ein Vektorraum... Ferner wird das Tensorprodukt durch Verknüpfung zweier Vektorräume V und W gebildet. Wie müssen die Vektorräume also miteindander verknüft werden, damit sie ein Tensorraum sind?

Die Verknüpfung zweier Vektorräume ist nur dann ein Tensorprodukt, wenn es es eine bilineare Abbildung gibt, die die folgende universelle Eigenschaft erfüllt: Jede weitere bilineare Abbildung kann auf eindeutige Weise zu einer linearen Abbildung auf X erweitert werden. Dies heißt exakter, dass es eine einzige lineare Abbildung gibt, so dass für beliebige Paare von Vektoren gilt B(v,w) = B'(φ(v,w)). ... Das ist katastrophal, weil nun plötzlich Y eingeführt wird. Was ist denn nun Y? Ist Y das Tensorprodukt? Was ist mit „eindeutiger Weise“ gemeint? Was ist die „Erweiterung einer linearen Abbildung“? Was ist nun mit φ gemeint? Die vermeintlich mathematische Definition ist nicht eindeutig, geschweige denn eineindeutig. Der Mathematik-Abschnitt ist insgesamt zu löschen, weil er Schrott ist!93.133.248.252 23:56, 2. Jul. 2009 (CEST)

Welches sind die richtigen Basisvektoren?

Ich vermute im Abschnitt # 2.3 Tensor als Tensorprodukt von Vektoren hat sich ein Fehler eingeschlichen, bei der Formel:

$T=\sum _{j_{1}\in d_{1},\dots ,j_{n}\in d_{n}}T_{j_{1},\dots ,j_{n}}\;e_{j_{1}}^{(1)}\otimes \dots \otimes e_{j_{n}}^{(n)}$

sollte es sich meines Wissens nicht um e, die Basis von V sondern um die Basis der Dualräume handeln.

hanna (nicht signierter Beitrag von 89.217.1.208 (Diskussion | Beiträge) 20:00, 9. Jul 2009 (CEST))

Nein, warum Dualraum? Bitte inhaltlich neue Anfragen unten anfügen. Dazu gibt es das "+" in der Menuleiste.--LutzL 09:24, 10. Jul. 2009 (CEST)

ich versuchs mal mit 3 Vektoren:

$T(x,y,z)=x\otimes y\otimes z=x^{i}e_{i}\otimes y^{j}e_{j}\otimes z^{k}e_{k}=\epsilon ^{i}(x)e_{i}\otimes \epsilon ^{j}(y)e_{j}\otimes \epsilon ^{k}(z)e_{k}$

mit $T_{ijk}=e_{i}\otimes e_{j}\otimes e_{k}$ ergibt sich

$T=T_{ijk}\epsilon ^{i}\otimes \epsilon ^{j}\otimes \epsilon ^{k}$

wobei ich $\epsilon$ für die Dualbasis verwendet hab (ergibt ja auf den Vektor angewandt, die i,j,k-te Komponente

vielleicht hab ich auch was falsch verstanden, aber so stehts in meinen Unterlagen:

S.81,82

hanna (nicht signierter Beitrag von 84.226.4.232 (Diskussion | Beiträge) 22:25, 10. Jul 2009 (CEST))

Erstmal: Das Skript ist im Punkt Tensorkalkül gut. Knapp und für E-Technik vielleicht schon zu abstrakt. Im Sinne des Skriptes wird in obiger Formel ein rein kontravariantes Tensorprodukt definiert, aber beachte, dass hier alle beteiligten Vektorräume unterschiedlich sein können, während im Skript nur der Vektorraum und sein Dual vorkommen. Irgendwo im Artikel ist auch diese Situation diskutiert. Im oben angesprochenen Fall können die ersten Vektorräume mit dem Dual eines einzigen VR V* übereinstimmen und der Rest mit V selbst, dann ist auch wieder die Situation im Skript hergestellt.--LutzL 11:08, 11. Jul. 2009 (CEST) PS: Signiere bitte selbst auch mit 4 Tilden, der Nachtrag vom Bot sieht häßlich aus.

Fassung vom September 2009

Die Neufassung enthält in sich widersprüchliche Definitionen:

In der Einleitung: "Ein Tensor ist eine multilineare Abbildung, also eine Abbildung, welche in jeder Variablen linear ist."

RS-Tensorräume: "Elemente dieser Menge heißen Tensoren, kontravariant der Stufe r und kovariant der Stufe s. Kurz spricht man von Tensoren vom Typ (r,s)"

Tensorprodukt 1: "Als Tensorprodukt bezeichnet man eine Verknüpfung \otimes zwischen zwei Tensoren."

Tensorprodukt 2: "Als Tensorprodukt der Vektorräume V und W, das heißt als Vektorraum, in welchem die Tensorprodukte von Vektoren aus V und W „leben“, wird jeder Vektorraum X (über dem gemeinsamen Körper von V und W) bezeichnet, zu dem es eine bilineare Abbildung \varphi:V\times W\to X gibt, die die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:..."

Noch eine Anmerkung: Die Definition eines Vektors als kovariante Abbildung ist zumindest seltsam. Üblicherweise wird ein Vektor als Element eines Vektorraumes definiert.

Sorry, Ich hatte meine Signatur vergessen:-- Zt3hnuio 13:50, 4. Okt. 2009 (CEST)

Ich hoffe es ist in Ordnung, dass ich Ihre Kritik verschoben habe. Zum Thema... Sie haben nun vier Definitionen hier aufgelistet. Die Definition der RS-Tensoren soll die Hauptdefiniton für diense Artikel sein. Der Satz in der Einleitung meint etwa dasselbe nur einfacher und nicht ganz präziese. Jedes Element eines (r,s)-Tensorraums ist eine Multilinearform. Tensorprodukt 1 soll die Multiplikation zwischen zwei (r,s)-Tensoren erklären und nicht den Tensorbegriff definieren. Die Überschrift ist sehr unglücklich, ne Idee wie man sie anders nennen kann? Tensorprodukt 2 soll Tensorräume definieren, welche allgemeiner als die (r,s)-Tensorräume sind und zumeist in der Algebra betrachtet werden. Dies steht ja auch in der Einleitung des Abschnitts. --Christian1985 14:10, 4. Okt. 2009 (CEST)

Wenn RS-Tensor die Hauptdefinition ist, denn sollte man in der Einleitung nicht von einer multilinearen Abbildung sondern schlicht von einer Multilinearform sprechen; IMHO. Es bleibt das Problem, dass das Tensorprodukt einerseits als Verknüpfung von Tensoren und andererseits als Verknüpfung von Vektorräumen definiert ist. Im zweiten Beispiel wird sogar in einem Satz gleichzeitig von einem Tensorprodukt von Vektorräumen und einem Tensorprodukt von Vektoren gesprochen. Schließlich scheint mit die Einengung auf R,S-Tensoren im Widerspruch zur mathematischen Definition zu stehen...Zt3hnuio 19:18, 18. Okt. 2009 (CEST)

Ja natürlich ist dies eine Einengung, aber für Physiker und Differentialgeometer sollte diese Definition genügen. Die Algebraiker können sich mit Tensorprodukt auseinandersetzen. Dieser Artikel hier soll auch nur ein Überblicksartikels sein. Es gibt ja schließlich auch die Artikel Vektor und Vektorraum und Vektorraum ist der Artikel, den man öffnen sollte, wenn man das Thema in seiner Allgemeinheit erfassen will. Schön wäre es natürlich, wenn sich ein Algebraiker mit dem Hauptabschnitt Tensorproduktraum hier beschäftigen würde und diesen verbessern könnte. Aus meiner Sicht könnte man den Abschnitt Tensor#Tensorprodukt in "äußeres Tensorprodukt" umbenennen. Außerdem habe ich den letzten Satz dieses Abschnitts gelöscht, womit schonmal ein Problemchen gelöst wäre. In der Einleitung Multilineare Abbildung in Multilinearform umzubennen, ist glaube ich ganz sinnvoll. --Christian1985 21:21, 18. Okt. 2009 (CEST)

Korrekturen

Habe die Zeile "Um die Definition noch allgemeiner zu halten, ist es möglich, den Körper $\mathbb {R}$ durch einen beliebigen Körper $K$ zu ersetzen." entfernt - sie machte in der Definition keinen Sinn, da diese schon allgemein formuliert war (IR kam ueberhaupt nicht vor 92.195.245.209

Da hast du vollkommen Recht. Das IR verschwand wegen der Diskussion, welche hierrunter steht, und scheintbar ist dieser Satz übersehen worden. --Christian1985 15:27, 2. Dez. 2009 (CET)

Verständnisfragen zum Definitionsabschnitt

Ich glaube, da ist irgendwas durcheinander. Entweder im Artikel, oder in meinem Kopf:

• (r,s)-Tensorraum: Wenn E ein K-Vektorraum ist, bezeichnet $L(\cdot ,\mathbb {R} )$ nicht den Raum der Linearformen auf E. Denn E ist ein K-Vektorraum, kein R-Vektorraum.
• Warum kann man eine Bilinearform $E\times F\to \mathbb {K}$ als Element von $E^{*}\otimes E^{*}$ auffassen? Müsste das zweite nicht ein F sein?
• Warum ist das Kroneckersymbol ein Tensor? Elementarer: Warum ist eine Abbildung, die bei Identität der Operanden eins ist und sonst null, linear?
• Nach der Definition in Linearform sind Linearformen kovariante Tensoren erster Stufe, also (0,1)-Tensoren. Ergibt für mich auch Sinn, schließlich bilden sie ein Element des Vektorraums auf K ab. Warum aber sind dann Bilinearformen (2,0)-Tensoren? Müsste das nicht (0,2) sein?
  Und die selbe Frage noch einmal bei der Determinante

Danke, -- Pberndt _(DS) 20:36, 2. Nov. 2009 (CET)

Ok, damit hat sich das meiste wohl erledigt. Danke, Christian1985 ;-) Bleiben δ und ε. Mir fehlt da das Verständnis für deren Linearität. -- Pberndt _(DS) 21:33, 2. Nov. 2009 (CET)

Danke für diese Anmerkungen. Deine Fragen (außer der dritten) lassen sich durch Chaos in meinem Gehirn erklären. Du hast natürlich Recht und ich habe es geändert. Das Kronecker-Symbol kann man ja auch schreiben als

$\delta (e_{i},e_{j})=<e_{i},e_{j}>=e_{i}\cdot E\cdot e_{j}$.

Dabei ist E die Einheitsmatrix, somit kann man das Kroneckersymbol als Bilinearform verstehen. Welcher (r,s)-Typ es ist kann ich dir auch nicht genau sagen. Das Buch Manifolds, Tensor Analysis, and Applications von Abraham meint es sei ein (1,1)-Tensor mir wäre ein (0,2)-Tensor ersichtlicher. Jedoch diskutiert das Buch direkt im nächsten Abschnitt die musikalischen Isomorphismen. Dies sind basisunabhängige Isomorphismen und mit diesen kann der (r,s)-Typ verändert werden. So entsteht beispielsweise aus einem (1,1)-Tensor ein (0,2)-Tensor. --Christian1985 21:47, 2. Nov. 2009 (CET) Achja zu Deiner ersten Frage. Wäre es vielleicht sinnvoller, IR-Vektorräume oder C-Vektorräume zu betrachten anstatt K-Vektorräume? Dies schränkt die Allgemeinheit, denke ich, nicht zu sehr ein, könnte das Thema aber verständlicher machen. Die Definition ist ja sowieso nicht sonderlich allgemein. --Christian1985 21:52, 2. Nov. 2009 (CET)

Wichtig ist, denke ich, dass die Definition einheitlich K, R oder C benutzt. Was davon, ist denke ich egal. Die Verallgemeinerung dürfte sich jeder denken können. Nach Deiner Definition des Kroneckerdeltas finde ich auch (0,2) sinnvoller. Ansonsten müsste man es ja $\delta (E,f)=E(f)$ schreiben (was natürlich geht, aber halt anders ist). Nichtsdestotrotz ist diese Definition des Kroneckerdeltas schon sehr selten, oder? Ich habe es zumindest sowohl in der Physik als auch Mathematikvorlesungen bisher immer nur als $\delta _{i,j}=1{\text{ falls i == j, sonst }}0;\,i,j\in {\mathcal {I}}$ für eine Indexmenge ${\mathcal {I}}$ kennengelernt. Diese Definitionen sind nun nicht einmal mehr kompatibel: Sei ${\vec {a}}=2\cdot {\vec {e_{1}}}$, dann ist $\delta _{{\vec {a}},{\vec {e_{1}}}}=2\cdot \delta _{{\vec {e_{1}}},{\vec {e_{1}}}}=2$. Sollte man da vielleicht noch drauf hinweisen? -- Pberndt _(DS) 16:54, 3. Nov. 2009 (CET)

Ich glaube, Du bringst da was durcheinander. Das Kroneckersymbol ist wahlweise die Koordinatendarstellung der identischen Abbildung als (1,1)-Tensor oder die Koordinatendarstellung des standardeuklidischen Skalarproduktes (in der kanonischen oder irgendeiner orthonormalen Basis) als (0,2)-Tensor. Die Indizes sind immer Nummern, nie Vektoren.--LutzL 18:57, 3. Nov. 2009 (CET)

Dann verstehe ich wieder die Definition nicht. Als (1,1)-Tensor müsste es zwei Parameter geben: Einen aus dem Dualraum und einen aus dem Vektorraum. Die einzige Abbildung, die dort passen würde, ist so etwas wie $\chi _{\{{\vec {x}}_{1}\}}$ - das ist aber nicht linear. Kannst Du mal skizzieren, wie man das Kronecker-δ dann darstellen muss, damit's passt? _{(Das ist jetzt wirklich einfach nur 'ne Frage, ich versuch's zu verstehen...)} -- Pberndt _(DS) 21:24, 3. Nov. 2009 (CET)

Wieso linear? Als Tensorprodukt muss es bilinear sein, und das ist es.--LutzL 10:09, 4. Nov. 2009 (CET)

Na laut Definition im Artikel ist der (r,s)-Tensorraum die Menge aller Linearformen von $(E^{*})^{r}\times E^{s}$ nach $\mathbb {K}$. Und Elemente aus $E^{*}$ sind gerade die linearen Funktionale. -- Pberndt _(DS) 17:02, 4. Nov. 2009 (CET)

Ich verstehe Dein Problem glaube ich nicht mehr ganz. Ich fange mal weiter vorne an. Wir betrachten also die Abbildung $\delta :E^{*}\times E\to \mathbb {R}$ welche durch $\delta (T,\phi )=T(\phi )$ gegeben ist. Diese ist bilinear. Dies sieht man da

$\delta (S+T,\phi +\psi )=(S+T)(\phi +\psi )=(S+T)(\phi )+(S+T)(\psi )$

gilt. Das zweite Gleichheitszeichen gilt ja auf Grund der Linearität von S und T und die Gleichung

$(S+T)(\phi )+(S+T)(\psi )=S(\phi )+T(\phi )+S(\psi )+T(\psi )$

gilt, da die Auswertung eines Funktinals linear ist. Linearformen meint in dem Artikel Multilinearformen. --Christian1985 17:30, 4. Nov. 2009 (CET)

Dann hatte ich es oben doch richtig verstanden. D.h. in dieser Definition des Kroneckerdeltas kommen nur dann einsen und nullen raus, wenn man Basisvektoren reinschmeißt $(\delta ({\hat {e}}_{1},2\cdot {\hat {e}}_{1})=2)$ und man setzt dann einfach $\delta _{ij}=\delta ({\hat {e}}_{i},{\hat {e}}_{j})$ als Kurzschreibweise? Wenn ja, sollte auf diese Definition hingewiesen werden. Denn der Definition aus dem Artikel Kronecker-Delta nach müsste $\delta _{{\hat {e}}_{1},2\cdot {\hat {e}}_{1}}=0$ richtig und erlaubte Notation sein. -- Pberndt _(DS) 18:46, 4. Nov. 2009 (CET)

Da denke ich eher, dass der Artikel Kronecker-Delta eine Überarbeitung brauch. Vektoren, auf welche das Kronecker-Delta angewendet wird, in den Index zu schreiben habe ich auch noch nicht gesehen und natürlich gilt $\delta _{ij}(e_{i},2e_{i})=2$. Da habe ich noch nie etwas anderes gelesen. --Christian1985 19:13, 4. Nov. 2009 (CET)

Ok. Zur Definition des Kroneckerdeltas: Herje ;-) Ich habe noch nie etwas anderes gelesen als meine Definition. Die englische Wikipedia unterscheidet in en:Kronecker delta zwischen den Begriffen Kroneckerdelta und dem Kroneckertensor, der durch die 3x3-Matrix $(\delta _{ij})_{i,j}$ gegeben ist. Vielleicht könnte man so etwas hier auch machen (bzw in den Artikel Kroneckerdelta den Absatz aus der englischen Wikipedia übernehmen und auf die Namensgebung hinweisen)?! -- Pberndt _(DS) 19:25, 4. Nov. 2009 (CET)

Unklarheit in der Definition

Die Definition des Tensors beginnt mit "Mit L(A;B) bezeichne man die Menge aller stetiger Linearformen". Dabei verstehe ich nicht, weswegen man Stetigkeit fordert. Zum einen braucht man meines Wissens keine Stetigkeit, um Tensoren zu definieren, zum anderen trägt nicht jeder Vektorraum eine Topologie, daher ist der Begriff eigentlich unpassend. Außerdem kommen in der Definition die Größen A und B vor, ohne dass gesagt wird, was sie sind (wahrscheinlich K-Vektorräume). -- Patrick 03.02.10 10:55 (ohne Benutzername signierter Beitrag von 134.93.142.170 (Diskussion | Beiträge) )

Hm, ja gute Anmerkung. Ich habe den Abschnitt geschrieben und nach meiner Intension sollten A und B Banachräume sein. Diese dürften auch unendlich-dimensional sein. Habe ich wohl vergessen zu erwähnen.... Im Prinzip ist das wohl auch eine zu starke Forderung. Vielleicht sollte man sich auf normierte Vektorräume beschränken. Endlich dimensionale Vektorräume sind doch immer normierbar. Im unendlich-dimensionalen Fall wird die Forderung der Stetigkeit soviel ich weiß gebraucht. Oder man beschränkt sich bei der Definition erstmal nur auf endlich dimensionale Vektorräume und schreibt noch eine kleine Erläuterung für die unendlich-dimensionalen. --Christian1985 12:05, 3. Feb. 2010 (CET)

Die Verwendung von Linearform passt nicht zu der Erklärung in Linearform. -- Pberndt _(DS) 23:42, 3. Feb. 2010 (CET)

Stimmt, war wohl auch eben verwirrt. Die Verwendung wie in Linearform war schon gemeint. --Christian1985 00:03, 4. Feb. 2010 (CET)

Wieso sind denn das alles Linearformen, Linearformen sind doch wohl nur die Elemente von E*. Woher stammt eigentlich diese sich in der Bearbeitung immer mehr verkomplizierende Tensordefinition? Übrigens wird jetzt die Einsteinsche Summenkonvention vor der Definition ko- und kontravarianter Indices behandelt, was ja wohl nicht sein kann.--Claude J 11:22, 4. Feb. 2010 (CET)

Hallo, diese Definition stammt aus dem Buch Manifolds, Tensor Analysis, and Applications, welches als Literaturangabe im Artikel steht. Ja Linearformen sind Elemente aus $E^{*}$, aber man kann ja auch wieder Linearformen auf $E^{*}$ betrachten. Die Abschnitte einsteinsche Summenkonvention und ko- und kontravarianter Vektoren können gern getauscht werden. --Christian1985 20:04, 4. Feb. 2010 (CET)

Inneres/Internes Produkt

Was soll das sein? (Gerne auch in Koordinatendarstellung) Erschließt sich mir nicht aus der angegebenen Definition, die mir rechts nach (r,s) Tensoren aussieht. Einfaches Weglassen einer Komponente? Üblicherweise versteht man unter innerem Produkt gerade die Tensorverjüngung gemäss der Summenkonvention (hier mal ein Beispiel von den Ingenieuren Seume, Vorlesung Strömungsmechanik, pdf)--Claude J 11:47, 4. Feb. 2010 (CET)

Hallo, das soll eine Operation sein, die ähnlich zur Tensorverjüngung ist. Ich lokalen Koordinanten lautet sie:

$i_{e_{k}}(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{e_{i_{r}}}\otimes e^{j_{1}}\cdots \otimes e^{j_{s}})=\delta _{k}^{j_{1}}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{e_{i_{r}}}\otimes e^{j_{2}}\cdots \otimes e^{j_{s}}.$ --Christian1985 16:09, 5. Feb. 2010 (CET)

Metrik als (4,0) Tensorfeld?

Auch in der Relativitaetstheorie ist die Metrik ein (2,0)-Tensorfeld, oder wie ist das zu verstehen?

Die Metrik wird anderswo im Artikel als (0,2)-Tensorfeld bezeichnet, gleichzeitig wird der Riemannsche Kruemmungstensor als (3,1)-Tensorfeld bezeichnet. Die Reihenfolge sollte wohl vereinheitlicht sein (wierum auch immer). (nicht signierter Beitrag von 77.8.171.164 (Diskussion | Beiträge) 16:23, 9. Mär. 2010 (CET))

Definition von Tensor?

Der Artikel heißt Tensor, enthält aber keine Definition davon, was ein Tensor ist. Es wird lediglich ein (r,s)-Tensor definiert. Aber das scheint nur eine spezielle Form von Tensor zu sein. Insofern ist der Artikel mangelhaft. -- Zt3hnuio 01:57, 3. Apr. 2010 (CEST)

Also dieser Artikel hier soll keine umfassende mathematische Definition des Tensorbegriffs bieten. Dazu gibt es nämlich den Artikel Tensorprodukt. Dieser Artikel soll viel mehr einen Einstieg in die Thematik mit Tensoren vermitteln und selbst dafür ist er schon zu abstrakt. Ich halte deshalb die Beschränkung auf (r,s)-Tensoren für durchaus tragbar. Anfänger mit der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes zu erschlagen ist sicher nicht hilfreich. Schließlich gibt es ja auch die Artikel Vektor und Vektorraum. --Christian1985 14:53, 23. Apr. 2010 (CEST)

Der Wikipedia-Artikel zu dem Thema Tensor sollte den Begriff Tensor definieren und nichts anderes. Wenn lediglich der RS-Tensor definiert werden soll, dann sollte ein Artikel unter der Rubrik RS-Tensor erstellt werden. Wenn es sich bei Tensor und Tensorprodukt um ein und dasselbe handelt, was ich bestreite, dann müsste einfach Tensor zu Tensorprodukt verlinkt werden. Ich bleibe dabei: Der Artikel ist mangelhaft bzw. ungenügend. Das Thema des Artikels, die Definition und Erläuterung des Begriffs Tensors, wird verfehlt. -- Zt3hnuio 22:13, 30. Mai 2010 (CEST)

Vektor verlinkt auch nicht zu Vektorraum und in Vektor steht auch mehr drin als "Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraums" und anders sieht es bei den Tensoren auch nicht aus. Außerdem steht die allgemeine Definition des Tensors unter "Tensorproduktraum". Da dich dies aber nicht zufrieden stellt, mach doch einen Anfang und überarbeite den Artikel. --Christian1985 22:28, 30. Mai 2010 (CEST)

Ich habe mir den Artikel zum Tensorprodukt durchgelesen und finde ihn mehr als unglücklich. Jetzt bin ich kein Experte in dem Thema, aber ich würde Folgendes vorschlagen:

Das Tensorprodukt ist ein Vektorraum X über dem Körper K (bzw. K-Vektorraum), der durch eine Verknüpfung zweier K-Vektorräume V und W gebildet wird. Eine Verknüpfung zweier K-Vektorräume ist genau dann ein Tensorprodukt, wenn eine Abbildung $\phi$ mit den folgenden Eigenschaften existiert:

1. $\phi$ ordnet jedem Paar von Vektoren v und w genau einen Vektor x zu, wobei v€V, w€W und x€X ist. D.h. $\phi :V\times W\to X$;

2. Die Abbildung $\phi$ ist bilinear, d.h. sie ist linear in beiden Argumenten; und

3. Ist b eine bilineare Abbildung, mit $b:V\times W\to Y$, so existiert eine lineare bijektive Abbildung b':X->Y mit der Eigenschaft: b(v,w)=b'($\phi (v,w)$ ) Diese Eigenschaft bedeutet, dass das Tensorprodukt bis auf eine Isomorphie durch die Abbildung $\phi$ eindeutig festgelegt ist.

Tensor als Element des Tensorproduktes.

Die Elemente des Vektorraums "Tensorprodukt" werden Tensoren genannt. Die Tensoren werden durch die bilineare Verknüpfung $\phi$ von Vektoren v und w erzeugt.-- Zt3hnuio 11:44, 1. Jun. 2010 (CEST)

Noch eine kurze Anmerkung dazu. Letztlich bestimmt die bilineare Abbildung $\phi$ den entsprechenden Tensor. Hier wird der Tensor als Element der Zielmenge der Abbildung $\phi$ definiert. Bei der Definition des rs-Tensors wird der Tensor mit der Abbildung selber identifiziert. Denn der rs-Tensorraum ist der Vektorraum der Bilinearformen, welche spezielle bilineare Abbildungen sind. Die Elemente des rs-Tensorraums werden Tensoren genannt. Damit liegt ein Widerspruch zwischen der Defintion des rs-Tensors und des Tensors als Element eines Tensorproduktes vor. Nach meinem Verständnis ist der Tensor allerdings mit der Abbildung gleichzusetzen und nicht mit dem Bild der Abbildung. Man könnte auch viel einfacher Definieren. Ein Tensor T ist eine bilineare Abbildung von zwei k-Vektorräumen V und W in einen Zielvektorraum X. Die Menge der bilinearen Abbildungen T über V und W bilden ihrerseits einen Vektorraum über dem Körper K, der Tensorraum genannt wird. Ein Spezialfall ist der RS-Vektorraum der Bilinearformen. Vielleicht könnten ein paar Algebraiker hier dazu mal etwas sagen.-- Zt3hnuio 12:13, 1. Jun. 2010 (CEST)

Du bringst hier zwei Dinge durcheinander. Die (r,s)-Tensoren werden als Bilinearformen definiert. Die bilineare Abbildung der abstrakten Definition ist etwas ganz anderes, nämlich das Tensorprodukt von zwei Vektorräumen.

Das Tensorprodukt $E\otimes E$ des Vektorraums E mit sich selbst entspricht dem Raum der Bilinearformen über $E*$, also $L^{2}(E^{*},E^{*},K)=T_{0}^{2}(E)$, dem Raum der $(2,0)$-Tensoren

Der Raum der $(r,s)$-Tensoren entspricht somit dem Tensorprodukt

$\underbrace {E\otimes \dots ,\otimes E} _{r{\text{-mal}}}\otimes \underbrace {E^{*}\otimes \dots ,\otimes E^{*}} _{s{\text{-mal}}}$

-- Digamma 11:40, 3. Jun. 2010 (CEST)

Nein, ich habe das nicht durcheinander gebracht. Das Produkt der Vektorräume wird durch eine Bilineare Abbildung erzeugt. Dabei kann es sich insbesondere um eine Bilinearform handeln. Ich zitiere mal den Artikel:Als Tensorprodukt der Vektorräume $V$ und $W$, das heißt als Vektorraum, in welchem die Tensorprodukte von Vektoren aus $V$ und $W$ „leben“, wird jeder Vektorraum $X$ (über dem gemeinsamen Körper von $V$ und $W$) bezeichnet, zu dem es eine bilineare Abbildung $\phi :V\times W\to X$ gibt, die die folgende universelle Eigenschaft erfüllt....Es wird $X=V\otimes W$ und $\phi (v,w)=v\otimes w$ notiert.

$\phi$ kann also insbesondere eine Bilinearform sein. Jedes Element der Zielmenge dieser Abbildung ist Element des Tensorprodukt X. Deshalb wird der Vektorraum - Tensorprodukt - Durch die Zielmenge einer Bilinearen Abbildung definiert.-- Zt3hnuio 19:58, 4. Jun. 2010 (CEST)

Ach so, Sie meinen dass X = Raum der Bilinearformen ist? Dazu hätte ich eine Frage: Der Raum der (r,s)-Tensoren entspricht somit dem Tensorprodukt... Welche bilineare Abbildung erzeugt den Raum der (r,s)-Tensoren? Was sind der Vektorraum V, Was ist der Vektorraum W und wie sieht die Abbildung $\phi$ aus? Ach ja die universelle Eigenschaft und Isomorphie wären auch interessant zu kennen; Isomorphie?-- Zt3hnuio 20:08, 4. Jun. 2010 (CEST)

Der Raum der (r,s)-Tensoren ist ein (r+s-1)-faches Tensorprodukt, nämlich das Produkt

$\underbrace {E\otimes \dots ,\otimes E} _{r{\text{-mal}}}\otimes \underbrace {E^{*}\otimes \dots ,\otimes E^{*}} _{s{\text{-mal}}}$ aus r+s Faktoren.

Wie die Abbildung $\phi$ aussieht zeige ich Ihnen für das einfachste Beispiel, nämlich für $V=W=E^{*}$ und $V\otimes W=E^{*}\otimes E^{*}=L^{2}(E,E,\mathbb {R} )$.

Die Elemente von V und W sind Linearformen auf E, die Elemente von $V\otimes W$ sind Bilinearformen auf E. Sind f und $g\in V$ zwei Linearformen, so ist $\phi (f,g)=f\otimes g$ die Bilinearform, die durch

$\phi (f,g)(a,b)=f(a)\cdot g(b)$ für alle $a,b\in E$

definiert ist. Ich hoffe, ich konnte Ihnen helfen. -- Digamma 21:07, 4. Jun. 2010 (CEST)

Danke für die Hilfe, aber ich habe da gewisse Problem. In jedem Fall ist das, was sie sagen, nicht das, was im Artikel steht. Dort wird das Bild der Bilineare Abbildung mit den Tensoren identifiziert, die Elemente des Tensorproduktes sind. Ich zitiere nochmals:

Als Tensorprodukt der Vektorräume $V$ und $W$... wird jeder Vektorraum $X$ ..., zu dem es eine bilineare Abbildung $\phi :V\times W\to X$ gibt, die .... Es wird $X=V\otimes W$ und $\phi (v,w)=v\otimes w$ notiert. ...In der Mathematik sind Tensoren Elemente von Tensorprodukten... Das Tensorprodukt $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{s}$ von $V_{1},\ldots ,V_{s}$ ist ein $K$-Vektorraum, dessen Elemente Summen von Symbolen der Form

$v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{s},\quad v_{i}\in V_{i},$ -- Zt3hnuio 14:29, 5. Jun. 2010 (CEST)

Um es noch mal zusammenzufassen: Laut Artikel ist es folgendermaßen: Die eine bilineare Abbildung $\phi :V\times W\to X$ erzeugt das Tensorprodukt $X=V\otimes W$. Elemente dieses Tensorproduktes heißen Tensoren und werden folgendermaßen notiert: $\phi (v,w)=v\otimes w$. Und genau hier liegt der Knackpunkt. Die Tensoren werden hier mit dem Bild der erzeugenden bilinearen Abbildung $\phi :V\times W\to X$ identifiziert. -- Zt3hnuio 14:33, 5. Jun. 2010 (CEST)

Unabhängig davon, ob die von Ihnen definierte Abbildung alle weiteren Erfordernisse erfüllt, ist eines irritieren. Ein Tensor, insbesondere ein rs-Tensor ist in der Regel nicht kommutativ, d.h. in der Regel ist $v\otimes w$ ungleich $w\otimes v$. Das widerspricht Ihrer Definition, die stets kommutativ ist. -- Zt3hnuio 14:38, 5. Jun. 2010 (CEST)

Ihre Verständnisschwierigkeiten zeigen zumindest, dass an beiden Artikeln noch einiges gearbeitet werden muss.

Zu Ihren Ausführungen:

Ja, ein Tensor ist ein Element des Raums X, insbesondere sind die Bilder unter der Abbildung $\phi$ Tensoren. Die Abbildung $\phi$ ist jedoch nicht surjektiv. Es gibt Tensoren, die sich nicht in der Form $v\otimes w$ schreiben lassen.

Zur Kommutativität: Ein Tensor $v\otimes w$ kann nicht kommutativ oder nicht-kommutativ sein. Kommutativität ist für Verknüpfungen definiert. Sie meinen sicher die Verknüpfung $\otimes$. Ja, die ist nicht kommutativ. Sind V und W verschiedene Vektorräume, dann würde das ja auch gar keinen Sinn machen, wenn man die Faktoren vertauscht, liegen sie in den falschen Vektorräumen. Aber auch wenn die Vektorräume übereinstimmen, ist in der Regel $v\otimes w\neq w\otimes v$.

Aber wo ist meine Definition kommutativ? In der Regel ist
$(f\otimes g)(a,b)=f(a)g(b)\neq g(a)f(b)=(g\otimes f)(a,b)$

Noch etwas Allgemeines:

Die Definitionen in den zwei Artikeln verhalten sich zueinander wie folgende zwei verschiedene Erklärung der Menge der reellen Zahlen:

1. Der Körper der reellen Zahlen wird mit Hilfe der Axiome für einen vollständig angeordneten Körper erklärt. Die Elemente der Menge \R heißen reelle Zahlen. Dieser Zugang entspricht dem im Artikel Tensorprodukt

2. Eine reelle Zahl wird definiert als Dedekindscher Schnitt in der Menge der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$. Menge aller Dedekindschen Schnitte heißt $\mathbb {R}$. Dieser Zugang entspricht dem in diesem Artikel.

-- Digamma 15:17, 5. Jun. 2010 (CEST)

Sie haben doch f und g als Linearformen definiert. Nach meinem Verständnis bedeutet das, dass f(a) Element K und g(b) Element K ist, wobei K ein beliebiger Körper ist. f(a)g(b) ist demnach einfach das Produkt zweier Körperelemente. Für das Produkt zwischen zwei Körperelementen gilt axiomatisch die Kommutativität. Ansonsten wüsste ich nicht, von welchem Produkt die Rede sein soll. Aus f(a)g(b)=g(b)f(a) für alle a, b folgt aber fxg=gxf. O.K. jetzt habe ich es gesehen. Es müsste f(a)g(b)=g(a)f(b) gelten. Das ist nicht das gleiche wie f(a)g(b)=g(b)f(a) Sie haben also recht.-- Zt3hnuio 16:51, 5. Jun. 2010 (CEST)

Nun ja, und die Definition haben wir damit auch noch nicht vollständig abgehandelt. "Jede weitere bilineare Abbildung $b:V\times W\to Y$ kann auf eindeutiger Weise zu einer linearen Abbildung auf $X$ erweitert werden. Exakt heißt dies, dass es eine einzige lineare Abbildung $b':X\to Y$ gibt, sodass für beliebige Paare von Vektoren ::$b(v,w)=b'(\phi (v,w))$ :gilt. Die Abbildung (f,g)|-> b(f,g)=0 für alle f, g ist bilinear. mit 0 € Y. Jeder Vektorraum besitzt ein 0-Element. O.K. Jetzt gibt eine einzige Abbildung b' mit 0=b(f,g)=b'($\phi$(f,g)) für alle f und g. f und g sind jeweils beliebige Linearformen. Damit ein Isomorphismus zwischen Y und X existiert muss b' invertierbar sein. Aber b' ist doch nicht injektiv, also nicht bijektiv, also nicht invertierbar.-- Zt3hnuio 18:03, 5. Jun. 2010 (CEST)

Ich verstehe nicht, worauf Sie hinauswollen. Es ist keine Rede davon, dass Y isomorph zu X sein soll. Y ist irgendein Vektorraum und b irgendeine beliebige bilineare Abbildung von $V\times W$ nach Y Und wenn Sie für b die Nullabbildung wählen, dann erhalten Sie für b' trivialerweise auch die Nullabbildung.

Ich habe aber nicht die Absicht, das alles mit Ihnen durchzukauen. -- Digamma 20:18, 5. Jun. 2010 (CEST)

In dem Artikel ist aber von dem Isomorphismus die Rede, von eime Isomporphimus zwischen Vektorräumen? Welche Vektorräume und welcher Isomorphismus ist damit gemeint? Die Kandidaten wären X, Y, V und W. "Gibt es einen solchen Vektorraum, so ist er bis auf Isomorphie eindeutig." -- Zt3hnuio 15:06, 6. Jun. 2010 (CEST)

Hallo, ich bekomme gerade noch größere Zweifel an der Sinnhaftigkeit der Verallgemeinerung der Definition. Womöglich wäre es viel zweckdienlicher im Artikel zu erklären, warum die Definition ein Spezialfall des allgemeinen Tensorproduktes ist? --Christian1985 07:33, 6. Jun. 2010 (CEST)

Ich habe auch Zweifel an der sinnhaftigkeit der Verallgemeinerung. Der Zusammenhang zu der RS-Definition ist nicht klar. Es ist nicht klar, inwiefern die RS-Definition ein Spezialfall der verallgemeinerten Definition ist. Was bringt einem diese Definition? -- Zt3hnuio 15:06, 6. Jun. 2010 (CEST)

Für mich liegt an dem Artikel einiges im Argen. Zuviel, als dass ich mich daran wagen würde. -- Digamma 10:43, 6. Jun. 2010 (CEST)

Vielleicht hat die Diskussion aber eines gebracht. Sie zeigt die Verständnisschwierigkeiten und Missverständnisse aus, die sich aus der verallgemeinerten Definition ergeben. Der Begriff Tensorproduket wird im Laufe des Artikels in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet. Anfangs ist das "äußere Tensorprodukt" eine Verknüpfung zwischen Tensoren. Später wird das Tensorprodukt als Verknüpfung von Vektorräumen definiert. Schließlich wird das Symbol $\otimes$ gleich in drei verschiedenen Bedeutung verwendet, nämlich sowohl für die zwei verschiedenen Tensorprodukte als auch noch als bilineare Abbildung von Zwei Vektorräumen. Zitat: Es wird $X=V\otimes W$ und $\phi (v,w)=v\otimes w$ notiert." Bei so viel Mehrdeutigkeit ist es kein Wunder, wenn die Bilineare Abbildung mit dem äußeren Tensorprodukt aus der vorherigen Defintion verwechselt wird. Der Artikel ist ja nicht an jemanden gerichtet, der sich schon mit allen Varianten des Begriffes auskennt, sondern an jemanden der sich informieren will. Ich bin als unbedachter aber nicht ungebildeter Leser, der Sache nicht auf die Schliche gekommen.-- Zt3hnuio 15:23, 6. Jun. 2010 (CEST)

Ach ja und noch eins. Dieser Satz geht gar nicht: "Als Tensorprodukt der Vektorräume V und W, das heißt als Vektorraum, in welchem die Tensorprodukte von Vektoren aus V und W „leben“," Die Tensorprodukte "leben" also in einem Vektorraum. Seit wann "leben" eigentliche mathematische Objekte? Der Vektorraum, in dem die Tensorprodukte leben, ist aber das Tensorprodukt selber. Wie soll ein vernünftiger Mensch mit diesem Kauderwelsch irgendetwas anfagen können? Der Artikel sollte als sehr bedenklich und stark verbesserungswürdig markiert werden. -- Zt3hnuio 15:42, 6. Jun. 2010 (CEST)

Ach ja, und noch eins. In vielen einführenden Büchern zur Allgemeinen Relativitätstheorie (z.B. Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie) werden Tensoren als indizierte Größen definiert, die ein bestimmtes Transformationsverhalten an den Tag legen. Der einfachste Tensor ist ein Skalar, dann Vektor, Matrix, Dreidimensionale Matrix, man spricht von Tensoren 0ter Stufe, 1ster Stufe, 2ter Stufe..... Die erste Verallgemeinerung ist es, den Tensor als lineaer Abbildung zu verstehen und die indizierte Größe als Darstellung der Abbildung in einer bestimmten Basis. Die Basistransformation definiert dann das Transformatinsverhalten zwischen den indizierten Größen. .... Da sich der Artikel auch an Physiker wendet, wäre es noch schön, wenn zumindest diejenigen, die sich mit allgemeiner Relativitätstheorie beschäftigt haben, den Artikel verstehen können. -- Zt3hnuio 16:08, 6. Jun. 2010 (CEST)

@Digamma, ja hier ist immernoch sehr viel zu tun. Nur leider besteht das Problem, dass man vor lauter Arbeit nicht weiß, wo man anfangen soll und das schon seit zirka 2006. Ich habe letztes Jahr im Herbst einige Arbeit in den Artikel gesteckt um zumindest alle Redundanzen aus dem Artikel zu entfernen und hatte gehofft, dass sich dann ein Algebraiker der Thematik annehmen würde, weil ja ein erster Schritt gemacht wurde, wie ich fand. Leider war dem nicht der Fall.

@Hauptdiskussion, wie wäre es wenn wir einen nächsten kleinen Schritt machen und einen Definitionsabschnitt ähnlich wie in der englischen Wikipedia mit den unterschiedlichen Definitionsmöglichkeiten schreiben. Dass man Tensoren in der Physik über Koeffizienten, welche ein besonderes Transformationsverhalten haben, definiert, wusste ich noch gar nicht, macht aber Sinn. --Christian1985 21:25, 6. Jun. 2010 (CEST)

Yup, das ist heute noch die gängige Vorstellung unter Physikern. http://de.wikipedia.org/wiki/Einsteinsche_Feldgleichungen. Die Einsteinschen Feldgleichung - das Grundgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie - wird durch Tensoren als indizierte Größen dargestellt. Die Darstellung Dieser Gleichung in Form von Multilinearformen oder gar in Form einer noch abstrakteren Tensordarstellung ist unüblich, ich habe es jedenfalls noch nirgendwo gesehen. ---- Zt3hnuio 09:34, 7. Jun. 2010 (CEST) 09:34, 7. Jun. 2010 (CEST)

Einführung des Begriffes in seiner heutigen Bedeutung

Der Artikel gibt an, dass der Begriff Tensor "in seiner modernen Bedeutung, als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix" erstmals von Woldemar Voigt 1898 eingeführt" worden sei. Der Begriff wurde allerdings bereits von August Föppl in seiner Einführung in die Maxwellsche Theorie der Elektricität, Leipzig 1894 in diesem Sinn verwendet (allerdings vornehmlich als skalare Länge eines Vektors). Föppl war auch der erste, der Heavisides Vektorrechnung in Deutschland vertreten hat. Wem von den beiden gebührt die Priorität? --Walter Lorenz 14:20, 23. Apr. 2010 (CEST)

Bau deine Angabe doch einfach noch zusätzlich in den Artikel ein. Am Besten wäre es, wenn Du dazu noch einen entsprechenden Einzelnachweis liefern könntest. --Christian1985 14:49, 23. Apr. 2010 (CEST)

Wenn er Tensor als Betrag eines Vektors definiert, ist das nicht der moderne Tensorbegriff. Nach Karin Reichs Geschichte der Tensorrechnung führte Hamilton die Bezeichnung Tensor für den Betrag seiner Quaternionen ein, und in dem Sinn (als Betrag eines Vektors) wurde "Tensor" auch von anderen verwendet.--Claude J 20:15, 4. Jun. 2010 (CEST)

(aus Archiv wiederhergestellt): (nicht signierter Beitrag von Smml (Diskussion | Beiträge) 12:07, 1. Jul 2010 (CEST))

Artikel für Nichtmathematiker unverständlich!

Tensoren werden auch in der Physik und in den Ingenieurwissenschaften verwendet (und zwar in "praktischer"/"anschaulicher" Art und Weise), weshalb es meiner Meinung nach nicht gerechtfertigt ist, den gesamten Artikel so ausschließlich auf Theoretische-Mathematik-kundige Leser auszurichten wie es derzeit der Fall ist. Ich kann mit meinen ingnenieurmathematischen Kenntnissen kaum einen Satz des Artikels verstehen!

Es sollte zumindest einen Teilabschnitt im Artikel geben, der auf die "praktische" Verwendung von Tensoren im dreidimensionalen euklidischen Raum eingeht.

--Smml 15:21, 1. Feb. 2010 (CET)

Jo. Das ist ein ganz altes Problem. Leider nicht nur im Fachbereich Mathematik bisweilen die arrogante Einstellung zu finden, man könne einen Sachverhalt nicht verständlich ausdrücken... --Carbenium 15:29, 5. Feb. 2010 (CET)

Man nehme sich ein Beispiel an der englischen Version: ein gut geschriebener Artikel "Tensor", in dem Tensoren allgemeinverständlich und in einer für die Physik und Ingenieurwissenschaften brauchbaren Form eingeführt werden, und ein separater Artikel "Tensor_(intrinsic_definition)", in dem die Herangehensweise der theoretischen Mathematik erläutert wird. --Smml 12:06, 1. Jul. 2010 (CEST)

Ein Problem dabei ist möglicherweise: Wir Mathematiker wissen gar nicht unbedingt, wie die Physiker und Ingenieure da ran gehen. Und Tensoren spielen nun mal auch in der Mathematik eine große Rolle. Wenn ich da mitschreibe, dann aus der Sicht eines Differentialgeometers, so dass diejenigen es verstehen, die sich mit Differentialgeometrie beschäftigen. Da gehört die Allgemeine Relativitätstheorie natürlich prinzipiell auch dazu.

Könntest Du vielleicht deutlicher werden und schreiben, was Dir nicht gefällt? Was ist für Physiker/Ingenieure unverständlich? Was fehlt? -- Digamma 13:40, 1. Jul. 2010 (CEST)

Vielleicht hilft da der Hinweis auf Indexnotation von Tensoren, den ich jetzt ganz oben (Kapitel verschiedene Betrachtungsweisen) eingebaut habe.--Claude J 12:44, 18. Jul. 2010 (CEST)

Schlage Umreihung im 1. Absatz vor

Derzeit: »Der Tensor ist ein mathematisches Objekt aus der Algebra und Differentialgeometrie. Der Begriff wurde ursprünglich in der Physik eingeführt und erst später mathematisch präzisiert. Auch heute noch ist die Tensoranalysis ein wichtiges Werkzeug in den physikalischen Disziplinen. Ein Tensor ist eine multilineare Abbildung, also eine Abbildung, welche in jeder Variablen linear ist.«

Erst der LETZTE Satz definiert, was ein Tensor eigentlich ist. Ich schlage daher vor:

»Der Tensor ist ein mathematisches Objekt aus der Algebra und Differentialgeometrie. Es handelt sich um eine so genannte »multilineare Abbildung«, also eine Abbildung, welche in jeder Variablen linear ist. Der Begriff wurde ursprünglich in der Physik eingeführt und erst später mathematisch präzisiert. Auch heute noch ist die Tensoranalysis ein wichtiges Werkzeug in den physikalischen Disziplinen.«

So führt der erste Satz an das Gebiet heran, der zweite definiert, die nachfolgenden geben Auskunft über die Verwendung. So steht eine Erklärung imho auf den Füßen. -- bg phaidros 15:21, 9. Aug. 2010 (CEST)

Grundsätzlich gefällt mir Dein Vorschlag, die Sätze umzustellen, sehr gut.

Das Problem, das ich damit habe, ist, dass die Definition strenggenommen so nicht stimmt. Tensoren sind eigentlich als Elemente von Tensorprodukten definiert und diese durch ihre universellen Eigenschaften. Um es etwas elementarer auszudrücken: Tensoren sind durch ihre Eigenschaften definiert. Multilineare Abbildungen sind eine Möglichkeit, Objekte mit diesen Eigenschaften zu definieren. Das wird z.B. in der Differentialgeometrie in der Regel so gemacht und geschieht auch in diesem Artikel. Aber man muss Tensoren nicht so definieren. Es ist so ähnlich wie bei den reellen Zahlen. Diese sind als Elemente eines Körpers, der die Axiome eines vollständigen archimedisch angeordneten Körpers erfüllt, definiert. Man kann sie z.B. als Dedekindschen Schnitte realisieren oder als Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen oder als Dezimaldarstellungen, ... . Aber es wäre nicht richtig, zu schreiben, "eine reelle Zahl ist eine Äquivalenzklasse von Cauchyfolgen von rationalen Zahlen".

Der Einwand trifft die bisherige Form der Einleitung natürlich ebenfalls. -- Digamma 21:59, 9. Aug. 2010 (CEST)

Universelle Eigenschaft

Ich bezweifle nach wie vor die Sinnhaftigkeit der UniversellenEigenschaftenDefinition.

Ist X irgendein nicht-trivialer Vektorraum, d.h. ein Vektorraum mit mehr als einem einzigen Element, beispielsweise den Vektorraum der reellen Zahlen R, dann gibt es eine bilineare Abbildung, nämlich die Nullabbildung in den Nullvektorraum; d.h. X=R und Y=0. Die Abbildung b':X->Y bzw. b':R->0 ist nicht bijektiv und folglich kein Isomorphismus. Sie ist nicht invertierbar. Eine eindeutige Erweiterung der bilinearen Abbildung b in 0 zu einer Abbildung auf X ist folglich nicht möglich. -- Zt3hnuio 14:01, 12. Aug. 2010 (CEST)

Entscheidend ist, dass in der Definition von jeder weiteren bilinearen Abbildung b, die Rede ist. Das schließt die Nullabbildung ein, denn sie ist bilinear. Unter "Erweiterung der Abbildung b auf X verstehe ich die Abbildung b'hoch-1(b(v,w)). Wenn b' nicht invertierbar ist, dann ist eine Erweiterung nicht möglich. Der Vektorraum X soll laut Definition bis auf Isomorphie eindeutig sein. Die Isomorphie ist die eindeutige lineare Abbildung b', die für jeden beliebigen anderen Vektorraum Y existieren soll. Wenn Y allerdings der Nullvektorraum ist, dann gibt es eine solche Isomorphie für einen nicht-trivialen Vektorraum X nicht. Ein nicht-trivialer Vektorraum X ist also niemals bis auf Isomorphie eindeutig. Das ist natürlich fatal und führt die ganze Definition ad absurdum...-- Zt3hnuio 15:54, 12. Aug. 2010 (CEST)

Bitte mach dafür einen neuen Thread auf. (Habe ich hiermit getan.)

Nein, b' muss nicht bijektiv sein. Ist $b\colon V\times W\to Y$ die Nullabbildung, dann ist auch $b'\colon X\to Y$ die Nullabbildung. Die Isomorphie, von der die Rede ist, hat nichts mit $b'$ zu tun. Selbstverständlich ist $X$ nicht isomorph zum Nullvektorraum. -- Digamma 16:19, 12. Aug. 2010 (CEST)

Von welcher Isomporphie ist denn die Rede? Das ist in dem Artikel nicht definiert! Es wirt behauptet, dass der Vektorraum X bis auf Isomporphie eindeutig ist! Das heist, dass jeder andere Vektorraum Y isomorph zu X ist.

Nein, das heißt, dass jeder andere Vektorraum, der dieselbe universelle Eigenschaft erfüllt, zu X isomorph ist.

Von diesen Vektorräumen steht aber nichts in der Definition. Diese muss in sich stimmig sein. So, wie sie jetzt da steht, ist sie falsch.

Das ist allgemein die Bedeutung des Ausdrucks: "Etwas ist durch eine bestimmte Eigenschaft bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt." Das bedeutet: Haben zwei Strukturen beide diese Eigenschaft, so sind sie isomorph. Zum Beispiel ist der Körper der reellen Zahlen durch die Axiome eines vollständigen archimedischen Körpers bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Das heißt also: Erfüllen zwei verschiedene Strukturen diese Axiome, so sind sie isomorph. Wie man den Isomorphismus findet, dazu sagen die Axiome aber nichts aus.

Genauso ist es hier: Hat man zwei Kandidaten für $X$, die beide die angegebene universelle Eigenschaft haben, (nennen wir sie $X_{1}$ und $X_{2}$) zusammen mit den entspreichen Abbildungen $\phi _{1}$ und $\phi _{2}$, so sind $X_{1}$ und $X_{2}$ isomorph. Darüber, wie man diesen Isomorphismus findet, ist nichts gesagt. -- Digamma 21:46, 12. Aug. 2010 (CEST)

Und sie meinen, dass das für jeden beliebigen anderen Vektorraum X geht, der mittels irgend einer ganz anderen bilinearen Abbildung $\phi :V\times W\to X$ definiert ist? Die Vektorräume V und W können vollkommen verschieden sein. Sie können auch über andere Körper (Beispielsweise den Körper (0,1), Q, R, C,...) definiert sein.... ? Ich kann mich nur daran erinnern, dass es gar keine bijektive Abbbildung zwischen Q und R gibt, Cantor lässt grüßen! Kann sich das nicht auf den jeweiligen Vektorraum übertragen? Was ist, wenn X=R und X'=Q ist? Die universelle Eigenschaft werde jeweils erfüllt. Oder was heißt hier "dieselbe universelle Eigenschaft". Tut mir leid, aber so wie diese Definition da steht ist sie schlicht ungenügend. Der Artikel richtet sich nicht an jemanden, der anhand eines anderen Buches, seine richtige Interpretation herleiten kann. Er muss in sich schlüssig sein und das ist er nicht. Ich bleibe dabei, die Definition ist so wie sie da steht schlicht falsch!

Ach ja, und hier ein Beispiel dafür, dass das nicht stimmt. V und W seien jeweils der Körper (0,1) Die Abbildung $\phi _{1}$ ist einfach die Zuordnung des Zahlentupels (0,1). Das Tensorprodukt erfüllt die universelle Eigenschaft, weil die Abbildung injektiv ist. Das Tensorprodukt X1 hat genau 4 Elemente. Bilinear ist die Abbildung auch. Jetzt wählen für für $\phi _{1}$ als Körper R für V und W, ansonsten auch Tupelzuordnung. X2 hat unendlich viele Elemente. Tja, und da haben wir den Salat. Sie können keine endliche Menge auf eine unendliche Menge bijektiv abbilden. Hier hat man also zwei Tensorprodukte, es gibt keine Isomorphie....-- Zt3hnuio 07:09, 13. Aug. 2010 (CEST)

b' ist die einzige lineare Abbildung zwischen X und Y. Deshalb kann es sich bei der isomorphie nur um b' handeln. Was heißt denn dann überhaupt, dass die Abbildung b auf X erweiterbar ist? Inwiefern wird die Abbildung b überhaupt erweitert? Sagen sie nicht, dass werde danach definiert, denn eine Erweiterung von b steht da nicht. Die Abbildung b wird durch die nachfolgende Definition in keiner Weise berührt oder gar erweitert. Bei b' handelt es sich nur dann um eine "Erweiterung der Abbildung b", wenn die Abbildungen miteinander verknüpft werden. Das geht aber nur, wenn b' invertierbar ist. Ich meine, dass das was ich sage, die einzig sinnvolle Interpretation der angegebenen Definition ist. Die mathematische Definition ist so wie sie dasteht schlicht und einfach falsch!-- Zt3hnuio 17:10, 12. Aug. 2010 (CEST)

Ach ja und noch eins. Die Eindeutigkeit bis auf Isomorphie wird als unmittelbare Folge der Definition dargestellt. Denn es steht da: Gibt es einen solchen Vektorraum (das Tensorprodukt X), SOOOOO ist er bis auf Isomorphie eindeutig. Deshalb kann die Behauptung nicht stimmen, dass die Isomorphie mit b' nichts zu tun habe. Denn b' ist der zentrale Bestandteil der Definition. Wenn die Isomorphie mit b' nicht zusammenhängt, dann ist sie nicht Folge der Definition. Eindeutigkeit bis auf Isomorphie ist genau dann der Fall, wenn es sich bei b' um eine bijektive lineare Abbildung handelt. Denn dann sind alle anderen Vektorräume Y isomorph zu X. X ist eindeutig bis auf Isomorphie. Wenn das, was ich sage, nicht widerlegt werden kann, dann ist die mathematische Definition zu löschen -- Zt3hnuio 17:59, 12. Aug. 2010 (CEST)

Ich weiß nicht, was das soll. Möchtest Du etablierte Mathematik angreifen, oder möchtest Du sie verstehen?-- Digamma 19:36, 12. Aug. 2010 (CEST)

Das ist hier eine rationale Auseinandersetzung, die nicht durch Verweis auf Autoritäten sondern durch Argumente entschieden wird. Das Argumentum ad autoritatem ist ein klassischer Fehlschluss. Gegenargumente stehen aus. Wenn die nicht kommen, dann ist die Definition SELBSTVERSTÄNDLICH zu löschen! -- Zt3hnuio 19:46, 12. Aug. 2010 (CEST)

Die Definition ist nicht deshalb falsch, weil Du Dich weigerst, sie zu verstehen. -- Digamma 20:01, 12. Aug. 2010 (CEST)

Und sie ist nicht deshalb richtig, weil du behauptest sie verstanden zu haben;-) -- Zt3hnuio 20:09, 12. Aug. 2010 (CEST)

Hmm? X ist nicht frei wählbar, aber es gibt u.U. viele X, die die Forderungen erfüllen und mit rein lineare-Algebra-Mitteln nicht unterscheidbar sind (so kann man Isomorphie auch verstehen). Hilft das vielleicht? (Eigentlich drückt "die universelle Eigenschaft" fast nur eine Trivialität aus. Glaub' ich ;) ) --Daniel5Ko 23:59, 12. Aug. 2010 (CEST)

So, und nachdem ich mir eine Weile den Kopf zerbrochen habe, wie es gehen soll, aus zwei beliebigen Körpern einen dritten zu konstruieren, der für X verwendbar sein soll, habe ich mir mal Tensorprodukt angeschaut. Wohl ungünstiges Wording. Die Körper von V und W sind die selben, es wird also kein gemeinsamer Körper konstruiert, sondern V und W haben den einen gemeinsam. Und dieser eine taugt dann auf natürliche Weise für X. --Daniel5Ko 00:45, 13. Aug. 2010 (CEST)

Wo ist von Körpern die Rede? Der Körper ist immer derselbe. Es geht darum, aus 2 Vektorräumen einen neuen zu definieren. -- Digamma 01:28, 13. Aug. 2010 (CEST)

Im Abschnitt "Die universelle Eigenschaft". Da steht "(über dem gemeinsamen Körper von V und W)" und diese Formulierung kann versehentlich so verstanden werden, dass der erst noch konstruiert wird, und dies im allgemeinen geschehen muss, wenn V und W Vektorräume über verschiedenen Körpern sind. Aber wie gesagt, da das in den seltensten Fällen geht, ist die andere Interpretation, nämlich dass V, W und X Vektorräume über dem selben Körper sind, naheliegend. Vielleicht könnte man das trotzdem mal disambiguieren... --Daniel5Ko 10:23, 13. Aug. 2010 (CEST)

Es geht darum zwei beliebige Tensorprodukte (Vektorräume) X1 und X2 aufeinander abzubilden mittels einer bijektiven linearen Abbildung (Isomorphie). Jeder Körper ist aber auch ein Vektorraum, daher die Beispiele R und Q für X. Die Bijektion setzt voraus, dass die Mengen X1 und X2 entweder endlich und gleichgroß sind oder unendlich und gleichmächtig. Ich sehe da keinen Zusammenhang zur universellen Eigenschaft, die das garantieren müsste. Wenn sie das nicht tut, dann ist wieder Land unter.--Zt3hnuio 01:46, 13. Aug. 2010 (CEST)

Nein, X1 und X2 müssen die universelle Eigenschaft erfüllen und sind dann per Definition isomorph. Und dass der zugrundeliegenden Körper der selbe ist (nämlich der von V und gleichzeitig der von W), gibt es dort auch kein Problem. --Daniel5Ko 10:23, 13. Aug. 2010 (CEST)

Aha, dann sind wir ja wieder bei der Ausgangsfrage und sie bestätigen meine Interpretation. V und W und der zugrundeliegende Körper K müssen gleich sein?. Jetzt bitte erklären, wieso - bei zwei zwei verschiedenen Abbildungen von V,W in X und Y "per Definitionem" die Vektorräume X und Y isomporph sind! Ich vermute dass wir uns da sogar einig sind.-- Zt3hnuio 13:36, 13. Aug. 2010 (CEST)

Naja, "per Definition" ist vielleicht ein wenig voreilig. Aber in gewisser Weise "geht es nicht anders". Ein gewährloser Erläuterungsversuch:

1. Entgegen der normalen Definition von Vektorräumen, die erstmal nicht viel von Basen erzählt, nehmen wir hier mal einen anderen Standpunkt, der die Sache vereinfacht: Es ist eine Basis gegeben (deren Elemente ziemlich uninteressant sind und mehr oder weniger bloß Namen enthalten). Ein Vektorraum $V(B)$ ist einfach die lineare Hülle einer Basis $B$.
2. Wir legen uns auf einen Körper fest, da der in den betrachteten Vektorräumen überall der selbe ist.
3. Kennen wir die Bilder der Basisvektoren einer linearen Abbildung, dann kennen wir die ganze lineare Abbildung. $\mathrm {lift} _{1}:(A\to V(B))\to (V(A)\to V(B))$.
4. Auf ähnliche Weise lassen sich bilineare Abbildungen charakterisieren. Es reicht aus, die Bilder von Basiselementpaaren zu kennen. $\mathrm {lift} _{2}:(A\times B\to V(C))\to (V(A)\times V(B)\to V(C))$. Man bemerke, dass in dem $A\times B\to V(C)$-Teil alles drinsteckt, was man braucht. Und mit sehr wenig Glück kann man den auch aus einer opaken gegebenen bilinearen Abbildung extrahieren.
5. Jetzt können wir auf diesen Teil aber auch ein geeignet unifiziertes $\mathrm {lift} _{1}:(A\times B\to V(C))\to (V(A\times B)\to V(C))$ anwenden und erhalten etwas vom Typ $V(A\times B)\to V(C)$. (Das $Y$ aus dem Artikel entspricht einem $V(C)$.)
6. $\phi :V(A)\times V(B)\to V(A\times B)$ funktioniert also. D.h., wenn $A$ und $B$ Basen von $V$ und $W$ aus dem Artikel sind, dann ist $V(A\times B)$ ein geeignetes $X$. Das isomorphe $V(B\times A)$ aber auch... --Daniel5Ko 19:14, 13. Aug. 2010 (CEST)

Das verstehe ich nicht. Was ist denn hier die Isomporphie zwischen den Vektorräumen X und Y? Wie ergibt sich die Isomorphie aus der Definition der universellen Eigenschaft?-- Zt3hnuio 00:20, 14. Aug. 2010 (CEST)

Die Isomorphie ergibt sich daraus, dass alle Informationen aufgehoben werden müssen, damit die weiteren Forderungen erfüllt werden können. Und sie besteht nicht zwischen X und Y, sondern zwischen verschiedenen X-Kandidaten. --Daniel5Ko 00:48, 14. Aug. 2010 (CEST)

Es ist von jeder weiteren bilineare Abbildung die Rede, also auch derjenigen, die ein weiteres Tensorprodukt erzeugt. Deshalb ist jedes X auch ein Y. Was hat das "Aufheben von Informationen" mit einer Isomorphie, einer bijektiven linearen Abbildung, zu tun?-- Zt3hnuio 09:00, 14. Aug. 2010 (CEST)

Ja, jedes X ist ein Y, aber nicht jedes Y ist ein X. (Die Definition stellt keine Bedingungen an Y; das ganze Unterfangen der Definition besteht darin, X und phi festzunageln (bis auf Isomorphie)) Das Aufheben der Informationen dient genau diesem Zweck, ein X zu sein, das den restlichen Bedingungen genügt. --Daniel5Ko 11:26, 14. Aug. 2010 (CEST)

Welche "Information" wird aufgehoben? Was heist das überhaupt, eine Information aufheben? Was ist hier die Isomorphie? Wie ergibt sich die Isomorphie aus der universellen Eigenschaft? Ich glaube ehrlich gesagt nicht, dass sie das bislang wirklich beantwortet haben, aber ich könnte mich irren! Geben sie die Isomorphie an und leiten sie sie aus der universellen Eigenschaft ab! -- Zt3hnuio 14:25, 14. Aug. 2010 (CEST)

$\phi ({\vec {v}},{\vec {w}})$ enthält essentiell alle Koordinaten von ${\vec {v}}$ und von ${\vec {w}}$ bzgl. irgend einer Basis für V und irgend einer für W. Andernfalls ist es nicht möglich, für jedes bilineare $b:V\times W\to Y$ ein $b':X\to Y$ zu konstruieren, für das $b'\circ \phi =b$ gilt. Beweis: O.B.d.A vergesse $\phi$ die erste Koordinate des linken Vektors. Dann gibt es $b$, für die man kein $b'$ konstruieren kann, sodass $b=b'\circ \phi$. Das sind nämlich die b, die die erste Koordinate des linken Vektors beachten.

Möglicherweise klärt das auch, welche Information aufgehoben wird, und warum die verschiedenen möglichen X isomorph zueinander sind: Man kann halt nicht mehr als alle Koordinaten aufheben. Aber man kann sie zum Beispiel skalieren und permutieren.

Das ganze kann man sicher auch ohne Rückgriff auf Koordinaten formulieren, aber darauf habe ich jetzt keine Lust.

Zur Angabe eines Isomorphismus bezeichnen wir das $b'$ zu einem gegebenen $\phi$ mal als $\phi [b]$. Seien folgende $\phi$ gegeben:

• $\phi _{1}:V\times W\to X_{1}$
• $\phi _{2}:V\times W\to X_{2}$

Dann folgt aus der universellen Eigenschaft:

• $\phi _{2}=\phi _{1}[\phi _{2}]\circ \phi _{1}$,
• $\phi _{1}=\phi _{2}[\phi _{1}]\circ \phi _{2}$.

Setzt man die ineinander ein, erhält man

• $\phi _{2}=\phi _{1}[\phi _{2}]\circ \phi _{2}[\phi _{1}]\circ \phi _{2}$,
• $\phi _{1}=\phi _{2}[\phi _{1}]\circ \phi _{1}[\phi _{2}]\circ \phi _{1}$.

Und nun fehlt nicht mehr viel (glaub' ich), um zu sehen, dass

• $\phi _{1}[\phi _{2}]:X_{1}\to X_{2}$ und $\phi _{2}[\phi _{1}]:X_{2}\to X_{1}$ die Hin- und Her- Isomorphismen sind. --Daniel5Ko 16:10, 14. Aug. 2010 (CEST)

Um zu zeigen, dass es ein Isomporphismus ist, müssen sie zeigen, dass die Abbildung injektiv und surjektiv ist. Der Isomporphismus $\phi _{1}[\phi _{2}]:X_{1}\to X_{2}$, den sie angeben, ist übrigens das b' zu der Abbildung phi - laut ihrer Schreibweise. Hmm, wenn mich nicht alles täuscht ist das genau das gleiche, was ich vorher gesagt habe... Wenn b' ein Isomorphismus ist, dann ist der Beweis gelungen. Jetzt müsssen sie den Disput nochmals mit Digamma aufnehmen, der dem vehement widersprochen hat. Er hat behauptet, das habe mit b' nichts zu tun...-- Zt3hnuio 17:06, 14. Aug. 2010 (CEST)

Hallo? Im allgemeinen ist $b'$ eben kein Isomorphismus. Der gezeigte Isomorphismus hier ist, wie schon mindestens 2mal geschrieben, einer zwischen verschiedenen der Definition genügenden X.

Und: Ich weiß, was ein Isomorphismus ist. Der Grund, die Betrachtung zu beenden, aber zu implizieren, dass noch etwas fehlt liegt hier: Eine mögliche Isomorphismus-Definition ist: f ist ein Isomorphismus, wenn es ein f^-1 gibt, sodass $f\circ f^{-1}$ und $f^{-1}\circ f$ Identitäten sind. Und dort sind wir oben fast angekommen. Störend ist, dass der Schluss $f=g\circ h\circ f\;\Longrightarrow \;g\circ h=\mathrm {id}$ im allgemeinen nicht möglich ist. Beweisvervollständigung Übungsaufgabe! ;) --Daniel5Ko 17:36, 14. Aug. 2010 (CEST)

Ja, jetzt müssen sich noch zeigen, dass die erzeugenden bilinearen Abbildungen des Tensorproduktes selber invertierbar sind. Erst dann ist der Beweis vollständig.-- Zt3hnuio 18:24, 14. Aug. 2010 (CEST) Injektivität können sie durch Widerspruch zeigen. Es gebe also v1,w1 und v2,w2, für die phi(v,w) gleich ist. Dann gehen sie davon aus, dass b injektiv ist. Dann wird die universelle Eigenschaft nicht mehr erfüllt. b' liefert vor phi(v1,w1) und phi(v2,w2) das gleich Resultat, aber b liefert ein unterschiedliches. Also existiert kein b'. Die univeselle Eigenschaft wird verletzt.-- Zt3hnuio 18:36, 14. Aug. 2010 (CEST) Tja, aber das mit der Surjektivität, vielleicht fällt Ihnen etwas dazu ein. Ich kann nicht sehen, dass ein Fehlen der Surjektivität zu einem Widerspruch führt. Man kann die überzähligen Elemente von X einfach auf irgendein Element von Y abbilden. -- Zt3hnuio 19:16, 14. Aug. 2010 (CEST)

Ja, sie haben recht, ich habe es mir für b1'(phi2) und b2'(phi1) mal aufgeschrieben. b1'ob2'=1 (Identität). Diese müssen invertierbar sein, damit die universelle Eigenschaft für X1 und X2 hält. Der Beweis ist richtig. -- Zt3hnuio 17:43, 14. Aug. 2010 (CEST)

Nun, das bisher von mir gesagte reicht mir eigentlich. (Das informelle "Koordinaten müssen aufgehoben werden", die Typen von lift₁ und lift₂, die Typen von $\phi _{1}[\phi _{2}]$ und $\phi _{2}[\phi _{1}]$) Im Zusammenhang mit z.B. dem Paper "Theorems for free!" und dem parametricity-Begriff, die beide auch hier einen sehr anwendbaren Eindruck machen, brauche ich den konkreten, wasserdichten, spezialisierten und detaillierten Beweis hier nicht. Aber trotzdem viel Spaß beim finden! :) --Daniel5Ko 21:06, 14. Aug. 2010 (CEST)

Jetzt schleichen sie sich aber davon;-) Aber sie haben sich ja immerhin redlich - wenn auch erfolglos - bemüht;-) Falls es da keinen wasserdichten Beweis gibt, dann löschen wir den Artikel!-- Zt3hnuio 03:07, 15. Aug. 2010 (CEST)

Ich versuche mich mal am Rest des Beweises. Wenn ich das richtig sehe, hat Daniel5Ko gezeigt, dass

$\phi _{2}=\phi _{1}[\phi _{2}]\circ \phi _{2}[\phi _{1}]\circ \phi _{2}$ und

$\phi _{1}=\phi _{2}[\phi _{1}]\circ \phi _{1}[\phi _{2}]\circ \phi _{1}$

und möchte daraus gerne schließen

$\mathrm {id} _{X_{2}}=\phi _{1}[\phi _{2}]\circ \phi _{2}[\phi _{1}]$ und

$\mathrm {id} _{X_{1}}=\phi _{2}[\phi _{1}]\circ \phi _{1}[\phi _{2}]$,

was im Allgemeinen nicht geht. Wie er sagt, der Schluss

$f=g\circ h\circ f\;\Longrightarrow \;g\circ h=\mathrm {id}$

ist im Allgemeinen nicht möglich. Hier aber doch. Und zwar benutzt man die Eindeutigkeit der Abbildung $b'$ und zwar dieses Mal für $X=X_{1}$, $\phi =\phi _{1}$, $Y=X_{1}$ und $b=\phi _{1}$. Die Bedingung für $b'$ lautet in diesem Fall:

$b'(\phi _{1}(v,w))=\phi _{1}(v,w)\qquad \forall (v,w)\in V\times W$.

Oder anders ausgedrückt:

$b'\circ \phi _{1}=\phi _{1}.$

Ein mögliches $b'$ ist offensichtlich die Identitätsabbildung auf $X_{1}$. Aus der Eindeutigkeit folgt, dass $b'$ die Identitiät sein muss. Andererseits hat Daniel5Ko oben ein $b'$ gefunden, nämlich $b'=\phi _{2}[\phi _{1}]\circ \phi _{1}[\phi _{2}]$. Also folgt daraus

$\phi _{2}[\phi _{1}]\circ \phi _{1}[\phi _{2}]=\mathrm {id} _{X_{1}}$.

Ganz entsprechend folgt

$\phi _{1}[\phi _{2}]\circ \phi _{2}[\phi _{1}]=\mathrm {id} _{X_{2}}$.

Das war zu zeigen. -- Digamma 10:43, 15. Aug. 2010 (CEST)

Aha! Ja, das müsste funktionieren. Es fehlte also tatsächlich nicht mehr viel. :) --Daniel5Ko 11:44, 15. Aug. 2010 (CEST)

Meiner Meinung nach funktioniert es so nicht, weil sie es bei $b'$ und zwar dieses Mal für $X=X_{1}$, $\phi =\phi _{1}$, $Y=X_{1}$ und $b=\phi _{1}$.Y=X2 und nicht für Y=X1 zeigen müssen. Hier wird das falsche b' behandelt. Man kann die Invertierbarkeit der erzeugenden Abbildung aber gang allgemein zeigen, siehe nachfolgenden Abschnitt.-- Zt3hnuio 23:27, 15. Aug. 2010 (CEST)

O.K. die Surjektivität der erzeugenden Abbildung kann man auch durch Widerspruch beweisen. Angenommen die Abbildung sei nicht surjektiv. Dann gibt es x aus X, die nicht Bild der erzeugenden Abbildung sind. Diese überzähligen x können nach belieben auf Y abgebildet werden, ohne dass dabei die folgende Eigenschaft verletzt wird: $b(v,w)=b'(\phi (v,w)).$. Das bedeutet, dass es mehr als eine Abbildung b' gibt, die diese Eigenschaft erfüllt, im Widerspruch zur universellen Eigenschaft. Also muss die erzeugende Abbildung sowohl injektiv (siehe oben) als auch surjektiv sein. Damit ist es invertierbar. Der Rest des Beweises ist wie oben dargestellt. Das ist jetzt zwar kein besonders schwieriger Beweis, aber es ist nicht selbstverständlich, so wie es derzeit dargestellt wird. Diese ganze Diskussion zeigt, dass es der derzeitigen Darstellung an Klarheit mangelt. -- Zt3hnuio 23:06, 15. Aug. 2010 (CEST)

Jetzt, wo ich für die Herren Mathematiker Ihren Beweis vervollständigt habe, möchte ich sie bitten, sich mal in Ruhe zurückzulehnen, ob Ihre schulmeisterlichen Belehrungen wirklich angebracht waren. -- Zt3hnuio 23:27, 15. Aug. 2010 (CEST)

Der Beweis war bereits vollständig. Er hat zudem die schöne Eigenschaft, dass er sich nur auf die Definition der universellen Eigenschaft und allgemeine kategorientheoretische Begriffe stützt. Ein "pointfree style"-Beweis war also möglich. (Die Einschränkung der Bilinearität von φ und b dient scheinbar lediglich dazu, dass X ein Vektorraum wird)

Und zu den "schulmeisterlichen Belehrungen": Es wurde einfach nur mehrfach versucht, ein grundlegendes Missverständnis auszuräumen. Beispielsweise ist die Isomorphie eben nicht zwischen X und Y, und b' ist kein Isomorphismus. Im Allgemeinen. Diese Klarstellungsversuche sind wiederholt ignoriert worden. --Daniel5Ko 21:57, 16. Aug. 2010 (CEST)

Der Beweis war nicht vollständig. Ich zitiere sie einfach, in Ihrer Hilflosigkeit: "... brauche ich den konkreten, wasserdichten, spezialisierten und detaillierten Beweis hier nicht. Aber trotzdem viel Spaß beim finden! :)" Sie hatten das zu diesem Zeitpunkt überhaupt nicht verstanden auch nicht Ihre Kollege Digamma. Den abschließenden Beweis habe ich erbracht. Zugleich haben sie die Frechheit mir irgendwelche Aufgaben zu stellen: "Beweisvervollständigung Übungsaufgabe! ;) " Diese Unverschämtheit steht Ihnen nicht zu. Die derzeitige Definition ist Ihren eigenen Aussagen gemäß auch nicht in Übereinstimmung mit der Kategorientheorie, das steht hier einen Absatz tiefer. Die derzeitige Definition ist nach wie vor fehlerhaft, weil sie von einer Erweiterung der Abbildung spricht, was überhaupt nicht zutrifft....--Zt3hnuio 20:38, 18. Aug. 2010 (CEST)

"Erweitert" steht inzwischen in Anführungszeichen. Aus der Formulierung sollte eigentlich klar werden, dass dies eine saloppe Bezeichnungsweise ist, die anschaulich sein soll. Die mathematische exakte Formulierung steht im nächsten Satz, eingeleitet durch "Exakt heißt dies". Wenn Dir das hilft, kann man auch die saloppe Formuierung im Satz zuvor streichen.

Ich möchte aber hier erklären, warum sie dasteht: Die Abbildung $\phi \colon V\times W\to X$ ist injektiv. Man kann deswegen (vermöge dieser Abbildung) die Menge $V\times W$ mit ihrem Bild in $X$ "identifizieren", also so tun, als wäre sie eine Teilmenge von $X$. Dann wäre $b$ also auf einer Teilmenge von $X$ definiert und $b'$ wäre tatsächlich eine Fortsetzung von $b$ auf ganz X. Das Bild von $V\times W$ unter $\phi$ erzeugt übrigens X (das ergibt sich aus der Eindeutigkeit der Fortsetzung).

Und doch: Mein Teil des Beweises war richtig und vollständig. -- Digamma 21:02, 18. Aug. 2010 (CEST)

Erweitert ist schlicht und einfach falsch. Das wird nicht dadurch richtiger, dass sie es jetzt in Anführungszeichen stellen. Der Begriff mus weg!-- Zt3hnuio 21:09, 18. Aug. 2010 (CEST)

Jetzt machen Sie mal einen Punkt. Wenn man nur ganz formal richige Aussagen verwenden dürfte, dann wäre die Mathematik tatsächlich wesentlich unverständlicher.

Ihr Teil des Beweises? Wieso haben sie den Beweis nicht gleich geliefert, wenn es Ihnen von Anfang an "Selbstverständlich" war. Ihr Teil war mitnichten richtig und vollständig. Der Beweis ist erst vollständig, wenn gezeigt ist, dass die erzeugende Abbildung für jegliches Tensorprodukt invertierbar ist. Denn die Isomorphie soll zu jeglichem Tensorprodukt bestehen. Den Beweis haben sie nicht erbracht.-- Zt3hnuio 21:08, 18. Aug. 2010 (CEST)

Ich habe nie gesagt, dass ich den Beweis aus dem Ärmel schütteln kann. Aber ich habe (aufbauend aus den von Daniel5Ko gezeigten Aussagen tatsächlich nachgewiesen, dass

$\phi _{2}[\phi _{1}]\circ \phi _{1}[\phi _{2}]=\mathrm {id} _{X_{1}}$ und
$\phi _{1}[\phi _{2}]\circ \phi _{2}[\phi _{1}]=\mathrm {id} _{X_{2}}$,

und damit, dass die Abbildungen $\phi _{1}[\phi _{2}]\colon X_{1}\to X_{2}$ und $\phi _{2}[\phi _{1}]\colon X_{2}\to X_{1}$ invertierbar sind.

Zu Vollständigkeit von Beweisen allgemein: In jedem Lehrbuch und erst recht in Fachartikeln werden Sie jede Menge Beweise finden, bei denen Details vom Leser nachzutragen sind. Sonst würden sie jeden Rahmen sprengen und man würde vor lauter Details das Wesentliche nicht sehen.

Und: Die Wikipedia ist kein Lehrbuch. Es ist nicht nötig und gar nicht möglich, dass jede mathematische Aussage hier auch bewiesen wird. -- Digamma 21:32, 18. Aug. 2010 (CEST)

Sie haben zu Anfang dieser Diskussion selber weder die Details noch das Wesentliche verstanden. Sie sind selber promovierter Mathematiker. Dieser Artikel ist in der derzeitigen Fassung absolut ungenügend-- Zt3hnuio 21:55, 18. Aug. 2010 (CEST)

Aber Aussagen, die sie im Rahmen einer Definition liefern, die müssen offensichtlich sein. Es kann nicht sein, dass ein promovierter Mathematiker diesen Zusammmenhang nicht auf anhieb versteht. Sie haben es nicht auf Anhieb verstanden! -- Zt3hnuio 21:42, 18. Aug. 2010 (CEST)

Ich habe die Aussage, die da steht auf Anhieb verstanden. Vom Beweis wusste ich, dass er nicht schwer ist. Ich hatte aber schlicht keine Lust, mir ihn zu überlegen. Zumal ich vollauf damit beschäftigt war, Ihnen zu erklären, was sie falsch verstanden haben.

Und warum sollte die Aussage offensichtlich sein? Es wird nirgendwo behauptet, dass sie eine einfache Folgerung aus der Definition sei. Sie steht hier, weil sie nötig ist, um die Definition zu erläutern. -- Digamma 21:56, 18. Aug. 2010 (CEST)

Ja ja, jetzt reden Sie sich in raus. Wieso haben sie meine Fragen zur Erzeugenden Abbildung nicht beantworten können? Wenn der Beweis so einfach war, wieso haben sie ihn nich gleich geliefert. Das hätte ihnen viel Zeit und Ärger erspart! Sie hatten keine Lust, aber haben hier unzählige Beiträge erbracht? Das hätten sie sich durch eine kurze und präzise Ausführung gleich erspart. Statt dessen liefern sie einen falschen "Beweis" als Beitrag. Verstanden haben sie es nicht. Kommen Sie von Ihrem hohen Ross runter, das glaubt Ihnen nach diesem Thread sowieso keiner mehr.-- Zt3hnuio 22:02, 18. Aug. 2010 (CEST)

Diese schlussfolgerung ist falsch. denn dass Bbild der erzeugenden Abbildung ist nicht gleich der Definitionraum von b'. Das ist zu zeigen!

$b'(\phi _{1}(v,w))=\phi _{1}(v,w)\qquad \forall (v,w)\in V\times W$.

Oder anders ausgedrückt:

$b'\circ \phi _{1}=\phi _{1}.$

Sie haben hier also einen vermeintlichen Beweis geliefert, der falsch ist. Sie gehen hier von der Surjektivität von phi aus, die sie zu zeigen haben, Zircelschluss. Trotzdem sagen sie mir gleich zu Anfang, dass das alles selbstverständlich ist.!, Bravo! -- Zt3hnuio 21:36, 18. Aug. 2010 (CEST)

Nicht nur das ist falsch, die ganze Formel ist falsch. So hätte es richtiger heißen müssen : $b'\circ \phi _{1}=\phi _{2}.$ -- Zt3hnuio 21:51, 18. Aug. 2010 (CEST)

Ihre Fehlvorstellung ist folgende: Zu jeder bilinearen Abbildung b gibt es genau eine lineare Abbildung b' bedeutet wahrlich nicht, dass b' für jede bilineare Abbildung b gleich ist. Für unterschiedliche bilineare Abbildungen b gibt es in der Regel auch unterschiedliche b', sie behaupten ja, dass b'= Id für jegliche erzeugende Abbildung ist. Oooohhhh wieeee peinlich für jemanden, der das alles verstanden habe will;-)-- Zt3hnuio 23:36, 18. Aug. 2010 (CEST)

Jetzt lesen Sie noch einmal, was ich geschrieben habe. Ich habe $b=\phi _{1}$ betrachtet. (Was meinen Sie eigentlich mit "erzeugende Abbildung"?) -- Digamma 23:40, 18. Aug. 2010 (CEST) Eben das ist falsch denn es geht um einen Isomporphismus zwischen zwei unterschiedlichen Tensorprodukten und nicht zu demselben Tensorprodukt. Natürlich erhalten sie bei demselben Tensorprodukt die Identitätsabbildung als Isomorphismus das ist trivial..-- Zt3hnuio 09:17, 19. Aug. 2010 (CEST)

"Dieser Artikel oder Abschnitt ist nicht allgemeinverständlich formuliert" Das kann man wohl sagen. Der Artikel wird selbst von Mathematikern oh Nachhilfe nicht verstanden! Siehe obige Diskussion! -- Zt3hnuio 21:02, 18. Aug. 2010 (CEST)

Noch mehr Verständinisschwierigkeiten von den Herren Mathematikern: vZur Erläuterung: Die Abbildung $\phi \colon V\times W\to X$ ist injektiv. Man kann deswegen (vermöge dieser Abbildung) die Menge $V\times W$ mit ihrem Bild in $X$ "identifizieren", also so tun, als wäre sie eine Teilmenge von $X$. Die Abbildung $b$ ist, so betrachtet, also auf einer Teilmenge von $X$ definiert und $b'$ ist dann eine Fortsetzung von $b$ auf ganz $X$.

Ach so, wenn ich injektiv eine Menge Äpfel auf eine Menge Birnen abbilde, dann kann ich die Äpfel mit den Birnen "identifizieren". so tun als ob die Äpfel eine Teilmenge der Birnen sind? Ohhh Goooottttt!!! Ich appelliere an Ihren Verstand!!!!! Sie haben ja noch nicht einmal kapiert, was eine Abbildung ist!-- Zt3hnuio 22:51, 18. Aug. 2010 (CEST)

Es gibt zwei Möglichkeiten: Entweder ist Zt3hnuio unglaublich dumm, oder ein Troll (was seine Beiträge in Richtung Vandalismus tendieren lassen, auch wenn das hier nur eine Diskussionsseite ist). Da ich ihn nicht beleidigen will, nehme ich letzteres an, und füttere nicht weiter. Ciao. --Daniel5Ko 23:02, 18. Aug. 2010 (CEST)

Es gibt weitere Möglichkeiten, nämlich Daniel5ko ist unglaublich dumn, ..... Sie sehen: Als Mathematiker ist Ihre Beweisführung sehr dürftig. Aber ich will sie nicht beleidigen;-)-- Zt3hnuio 23:07, 18. Aug. 2010 (CEST)

Universelle Eigenschaft, Nachtrag

An die Kategorientheoretiker: Könnte es sein, dass in der Abbildung mit dem kommutativen Diagramm der gestrichelte Pfeil eher von $V\times W$ nach $X$ gehen müsste? Das $X$ ist ja das, was bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist. $b'$ gehört eher zur Formulierung der Bedingungen. Siehe die ähnliche Konstruktion Produkt (Kategorientheorie). --Daniel5Ko 22:11, 13. Aug. 2010 (CEST)

Nein, die Pfeile sind alle richtig.--LutzL 12:37, 19. Aug. 2010 (CEST)

Universelle Eigenschaft; brandneu

Zu [3]: Doch, muss. Angenommen: $\phi _{1}:V\times W\to \mathbb {R} ^{6}$, und $\phi _{2}:V\times W\to \mathbb {R} ^{8}$. Wie soll man da eine Isomorphie zwischen $\mathbb {R} ^{6}$ und $\mathbb {R} ^{8}$ herstellen können? Wie wir weiter oben ja herausgefunden haben, muss es die geben, und zwar ohne reelle Zahlen strukturell irgendwie auseinanderzunehmen — reine lineare Algebra auf beliebigen Körpern. (Hehe, ich glaube, wir betreiben hier Theoriefindung übelster Sorte! :) Hat keiner ein Buch vorrätig?) --Daniel5Ko 00:12, 19. Aug. 2010 (CEST)

Wieso soll es da eine Isomorphie geben? Höchstens einer der beiden Vektorräume $\mathbb {R} ^{6}$ und $\mathbb {R} ^{8}$ kann die universelle Eigenschaft besitzen. Ich kann das jetzt nicht alles darstellen. Aber zumindest soviel hier: Hat $V$ die Dimension $n$ und $W$ die Dimension $m$, so hat $X$ die Dimension $n\cdot m$. Im Fall $V=\mathbb {R} ^{n}$ und $W=\mathbb {R} ^{m}$ kann man das Vektorprodukt von zwei Vektoren mit dem dyadischen Produkt identifizieren. Die Elemente von $X$ sind also $n\times m$-Matrizen. Die Abbildung $\phi$ bildet ein Paar von Vektoren der Standardbasen $(e_{i},e'_{j})\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}$ auf das Element $E_{ij}$ (das ist die Matrix, die nur an der Stelle $(i,j)$ eine 1 hat und sonst Nullen) der Standardbasis des $\mathbb {R} ^{n\times m}$ ab. Das Bild besteht aus den Matrizen vom Rang 1. Diese erzeugen den ganzen Vektorraum $X=\mathbb {R} ^{n\times m}$ (sie enthalten insbesondere die Standardbasis). Sie füllen ihn aber nicht aus. Die Abbildung $\phi$ ist nicht surjektiv. Weil das Bild aber den ganzen VR erzeugt, ist jede Abbildung auf $X$ durch ihre Werte auf dem Bild von $\phi$ eindeutig bestimmt.

Beachte: Die Abbildung $\phi$ ist nicht linear, sondern bilinear. Deshalb ist ihr Bild kein Untervektorraum von $X$, sondern eine Art Kegel. -- Digamma 00:44, 19. Aug. 2010 (CEST)

Die Isomorphie muss es geben, und wir haben sie für allgemeine $(\phi ,X)$-Paare erfolgreich konstruieren können. --Daniel5Ko 01:21, 19. Aug. 2010 (CEST)

Für allgemeine Paare, die die universelle Eigenschaft erfüllen. $\mathbb {R} ^{6}$ und $\mathbb {R} ^{8}$ sind nicht isomorph, also kann höchstens einer der beiden Vektorräume die universelle Eigenschaft erfüllen. Welcher (und ob überhaupt einer der beiden) hängt davon ab, was $V$ und $W$ sind (und natürlich auch $\phi$).

Vielleicht ist dies das Missverständnis: Ich habe nicht gesagt: „Nimm irgendeinen Vektorraum X und irgendeine injektive bilineare Abbildung $\phi \colon V\times W\to X$. Das tut's.“ Ich habe nur gesagt, dass die gesuchte Abbildung injektiv ist (das kann man aus der universellen Eigenschaft beweisen), und hier jetzt, dass sie im Allgemeinen (genauer sage ich jetzt: außer in trivialen Fällen) nicht bijektiv ist, dass ihr Bild aber den VR $X$ erzeugt. (Das habe ich im Prinzip oben gezeigt.) -- Digamma 08:03, 19. Aug. 2010 (CEST)

Ich erinnere an den einfachen Fakt, dass K-Vektorräume der selben Dimension isomorph zueinander sind. Die einzige Möglichkeit, eine injektive, aber nicht bijektive Abbildung $V\times W\to X$ zu haben, ist eine, wo X mehr Dimensionen als nötig hat. Solche X kann es aber eben nicht geben (wenn sie die sonstigen Forderungen erfüllen; insbesondere das abgeleitete Ergebnis der Isomorphie mit anderen erfüllenden X) . --Daniel5Ko 10:01, 19. Aug. 2010 (CEST)

Sorry, Digamma, injektiv ist falsch, aber aus einem anderen Grund, als es Daniel5Ko konstruieren will. Die Paare $(u,v)$ und $(2u,1/2\,v)$ haben dasselbe Tensorprodukt, da im Produkt skalare Faktoren aus dem Grundkörper zwischen den Vektorfaktoren verschoben werden können. Insbesondere bilden alle $(u,0)$ und alle $(0,v)$ auf das Nullelement des Tensorproduktes ab.--LutzL 10:26, 19. Aug. 2010 (CEST)

Ups, ja, du hast natürlich recht. Wenn es nicht schon jemand anderes getan hätte, würde ich den Abschnitt jetzt löschen. -- Digamma 11:43, 19. Aug. 2010 (CEST)

Ah, richtig. Die Bedingung an b, bilinear zu sein, erlaubt es $\phi$ entgegen meiner früheren Schnellschlüsse, Information wegzuwerfen. Und die Abbildung $b\mapsto b'$ ist tatsächlich eine Art Erweiterung (was mal im Artikel stand), aber nicht direkt von b. Sondern: Wenn ich das richtig verstehe, wird ein Definitionsbereich von der Bildmenge von $\phi$ (die nicht ganz $X$ ist, dieses aber gewissermaßen linear aufspannt) auf ganz $X$ erweitert. Ergebnis ist besagtes b' — aber das ist keine Erweiterung von b, denn in dessen Definitionsbereich $V\times W$ sind ja noch alle Informationen vorhanden und die Ergebnisse sollen ja auch übereinstimmen. Jetzt ergibt's langsam einen Sinn... --Daniel5Ko 12:14, 19. Aug. 2010 (CEST)

Weil vielleicht für andere hilfreich: Hier der Grund meiner Verwirrung: $V\times W$ und $V\otimes W$ sind als Mengen isomorph, wenn man ihre Elemente als Koordinatentupel betrachtet. Aber $\phi$ ist nicht der Isomorphismus und $V\times W$ ist kein Vektorraum. Aus letzterem folgt beispielsweise, dass obiges Dimensionsargument von mir Quark ist. --Daniel5Ko 20:40, 19. Aug. 2010 (CEST)

Nein, die sind nicht isomorph. $V\times W$ besteht aus allen geordneten Paaren, ist aber selbst kein Vektorraum. Paare von Koordinatentupeln haben die Länge $\dim V+\dim W$. Das Tensorprodukt $V\otimes W$ besteht aus Produktsummen $\sum _{k=1}^{m}u_{k}\otimes v_{k}$, es hat als Vektorraum die Dimension $\dim U\cdot \dim V$, was i.A. größer ist.--LutzL 22:44, 19. Aug. 2010 (CEST)

Genau den letzten Teil deines Änderungkommentars "Keine Isomorphie, außer als überhaupt strukturlose Mengen gleicher Mächtigkeit" meinte ich mit "als Mengen".  :) Und mir ist mal wieder klar geworden, dass ich mich mehrdeutig ausgedrückt habe. Daher hier so explizit wie möglich: Ich beschrieb eine bereits überwundene Verwirrung, für zukünftige Leser, die einen ähnlichen Fehler begehen. --Daniel5Ko 22:54, 19. Aug. 2010 (CEST)

Ach du Sch****! Nun, da ich auch mal den Inhalt deiner Botschaft gelesen und verinnerlicht habe, wird mir klar, dass ich wohl noch eine Weile brüten muss, um ein einigermaßen intuitives Verständnis zu bekommen. --Daniel5Ko 23:36, 19. Aug. 2010 (CEST)

Genug gebrütet. Einfach $\mathbb {K} ^{n}\times \mathbb {K} ^{m}=\mathbb {K} ^{n+m}\neq \mathbb {K} ^{nm}$, wie bereits gesagt. Ich glaub', ich bin blöd. :/ Das widerlegt aber auch die Isomorphie entsprechender unstrukturierter Mengen, nicht wahr? (Man nehme eine endliche Dimension und einen endlichen Körper.) --Daniel5Ko 00:22, 20. Aug. 2010 (CEST)

Ich verspreche auch, Vorgängerbeiträge genauer zu lesen. Im Prinzip hat das Digamma ja oben schon im zweiten Beitrag hingeschrieben. Und: ähnlich wie $\mathbb {Q} ^{n}$ immer noch abzählbar ist, haben alle endlichdimensionalen $\mathbb {R} ^{n}$ dieselbe Mächtigkeit wie $\mathbb {R}$. (s. z.B. Peano-Kurve)--LutzL 10:30, 20. Aug. 2010 (CEST)

Jupp, deshalb sagte ich ja, endlichen Körper nehmen. Dort funktioniert eine solche Trickserei nicht. Und an solche Tricksereien habe ich auch gar nicht gedacht. Erst du hast mich darauf gebracht. Ich war einfach grundlos temporär der haltlosen Meinung, $X^{n}\times X^{m}=X^{nm}$. Keine Ahnung, wie das zustande kam... Danke für's Geraderücken. :) --Daniel5Ko 19:35, 20. Aug. 2010 (CEST)

Die erzeugenden Abbildungen des Tensorproduktes müssen bilinear sein. Das folgt aus der universellen Eigenschaft. Wenn zwei Tensorprodukte auf demselben Vektorraum V und W definiert sind, dann muss das Bild der erzeugenden Abbildungen der jeweiligen Tensorprodukte die gleiche Dimension haben. Durch Inversion einer erzeugenden Abbildung kann man so auch ganz einfach die Isomorphie zwischen den Tensorprodukten berechnen. Deshalb kann es zu dem Fall R6 und R8 für unterschiedliche Tensorprodukte über denselben Vektorräumen V und W nicht kommen.-- Zt3hnuio 11:03, 19. Aug. 2010 (CEST)

Angenommen die erzeugende Abbildung sei nicht surjektiv. Dann muss das Bild der erzeugenden Abbildung ein Untervektorraum von X sein. Also konstruiere man eine Basis von X mit e Basisvektor des Untervektorraums und x Basisvektor der überzähligen Dimension bzw. Dimensionen. b' sei die lineare Abbildung zwischen X und Y. Jetzt definiere ich eine weitere Abbildung b'', nämlich b'' (e)=b'(e) und b''(x)=l*b'(x) mit l ungleich 1. Die Abbildung ist linear und erfüllt das Abbildungserfordernis der universellen Eigenschaft. Also gibt es mehr als eine Abbildung b'. Das darf nicht sein. Also ist die Annahme Nicht-Surjektiv falsch. Die erzeugende Abbildung muss surjektiv auf X sein.-- Zt3hnuio 11:03, 19. Aug. 2010 (CEST)

Ihr zweiter Satz ist falsch (und damit fällt das Argument). Das Bild einer bilinearen Abbildung muss kein Untervektorraum sein. In dem von mir angegebenen Beispiel ist das Bild von $\phi$ die Menge der Matrizen vom Rang 1 im Raum der $n\times m$ Matrizen. Diese Menge ist kein Untervektorraum. Die Summe von zwei Rang-1-Matrizen ist im Allgemeinen keine Matrix vom Rang 1, sondern typischerweise eine vom Rang 2. -- Digamma 11:43, 19. Aug. 2010 (CEST)

Hier noch einmal kurz der Beweis für die Injektivität: Injektivität können sie durch Widerspruch zeigen. Es gebe also v1,w1 und v2,w2, für die phi(v,w) gleich ist, also nicht injektiv. Dann gehen sie davon aus, dass b injektiv ist. Das können sie, denn die universelle Eigenschaft soll ja für jegliches b erfüllt werden. Dann wird die universelle Eigenschaft nicht mehr erfüllt. b' liefert für phi(v1,w1) und phi(v2,w2) das gleich Resultat, aber b liefert immer ein unterschiedliches Ergebnis. Also existiert kein b'. Die univeselle Eigenschaft wird verletzt. Reduktio ad absurdum. Deshalb muss die erzeugende Abbildung injektiv sein.-- Zt3hnuio 11:42, 19. Aug. 2010 (CEST)

Könnten Sie das auch noch kurz im Kontext der Entwicklung der chinesischen Mathematik in den letzten 3000 Jahren erläutern? (Und b ist nie injektiv, da bilinear, b(au,v)=ab(u,v)=b(u,av). b' kann, unter Umständen, injektiv und auch bijektiv sein.)--LutzL 11:47, 19. Aug. 2010 (CEST)

Ko- und Kontravarianz von Abbildungen

Was in diesem Abschnitt steht, entspricht nicht dem üblichen Sprachgebrauch in der Differentialgeometrie. Dort werden Tangentialvektoren als "kontravariant" bezeichnet und Kotangentialvektoren als "kovariant", soweit ich mich daran erinnere. Leider habe ich dazu keine Literatur greifbar. Könnte das jemand mal nachprüfen? -- Digamma 22:18, 12. Aug. 2010 (CEST)

Zumindest sagt das auch die englische Wikipedia en:Covariance and contravariance of vectors. -- Digamma 22:23, 12. Aug. 2010 (CEST)

Späte Einsicht, nach den zirkulären Diskussionen weiter unten: Hatte ich im Artikel nicht nachgesehen. Da hat jemand einen ursprünglich wesentlich längeren Abschnitt brutal zusammengehackt, so dass das für die Tensorrechnerei eigentlich Wichtige wegfiel. Unter linearen Abbildungen sind Vektoren kovariant und Linearformen kontravariant (was aber hier nur am Rande interessiert), bzgl. Basiswechsel sind die Koordinaten von Vektoren kontravariant und die von Linearformen kovariant.--LutzL 12:29, 19. Aug. 2010 (CEST)

Das ist die Definition, die die Physiker in der Regel verwenden. Die Vektoren/Tensoren werden als indizierte Größen dargestellt. Die Einsteinsche Summenkonvention wird eingehalten. Kovarianz/Kontravarianz hängt davon ab, ob der Index oben oder unten ist. Wenn die Vektoren Tangentialvektoren auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit sind, dann entspricht die Ko- und Kontravarianten Vektoren den Tangential und Kotangentialvektoren. Die Mathematiker der Wikipedia haben die Physiker dahingehend belehrt, dass diese Definition falsch ist und sie entfernt. Daraufhin wurde die mathematische Definition eingeführt. Das ist hier irgendwo in etwas anderer Form in den Analen dieses Artikels archiviert.-- Zt3hnuio 23:14, 12. Aug. 2010 (CEST)

Das ganze Problem wird hierdurch erklärt: "Eine Quelle der Verwirrung über diese Begriffe ist, dass in der Physik und älteren Lehrbüchern davon gesprochen wird, dass sich die Matrizen dieser Abbildungen ko- bzw. kontravariant unter Basiswechsel transformieren. Jedoch kehren sich dabei die Zuordnungen um – eine kovariante Abbildung hat eine Matrix, die kontravariant bzgl. Basiswechsel ist und umgekehrt." Sie haben offensichtlich Differentialgeometrie aus Physikbüchern oder älteren Bücherrn gelernt. Aber das ist natürlich falsch und eine große Quelle der Verwirrung. Als Leser der Wikipedia müssen sie jetzt erst einmal umlernen, Viel Spaß dabei;-) -- Zt3hnuio 00:27, 13. Aug. 2010 (CEST)

Nein, das sind immer noch die Physiker, die nicht ausreichend klar definieren, was sie unter Tensoren verstehen. Vektoren bzw. Tensoren sind invariante Objekte, der Koordinatenvektor bzgl. einer Basis ist kontravariant. Die Basis kann man als Symbol für kovariant sehen. Der Koordinatenvektor wird mittels der Koordinatenfunktionale gebildet, genauer mit der dualen Basis. Alles was aus der dualen Basis gebildet wird, ist kontravariant. Tensorprodukte eines Vektorraumes mit sich selbst sind kovariant, Tensorprodukte des dualen Vektorraumes mit sich sind kontravariant. Und da wir scheinbar mal wieder einen Experten unter uns haben: Ich suche immer noch eine Definition für ko- und kontragredient.--LutzL 11:23, 13. Aug. 2010 (CEST)

Das widerspricht also dem, was in der englischen Wikipedia steht und woran ich mich aus meinen Differentialgeometrievorlesungen erinnere. Wir sollten also jetzt nach Belegen suchen. -- Digamma 11:59, 13. Aug. 2010 (CEST)

Nein, das ist kein wirklicher Widerspruch. Das (bzgl. Basis- und Koordinatenwechsel) invariante Objekt Vektor eingesetzt in das kontravariante Objekt duale Basis ergibt das kontravariante Objekt Koordinatenvektor bzw. -tupel, dessen Komponenten dem Tensorkalkül gerecht obere Indizes haben. Man muss natürlich immer genau lesen, was genau gerade gemeint ist, der Vektor oder seine Koordinatendarstellung. Umgekehrt geht es natürlich genauso. Verknüpft man das invariante Objekt Linearform mit dem kovarianten Objekt Basis, so ergibt sich das kovariante Koordinatentupel der Linearform, mit unteren Indizes. (Das Basistupel hat auch untere Indizes.) Es wird natürlich gerne verkürzt und die invarianten "geometrischen" Objekte mit ihren Koordinatendarstellungen identifiziert, was dann allerhand Verwirrung stiftet.--LutzL 13:09, 13. Aug. 2010 (CEST)

Ich frage vor allem deshalb, weil ich statt (r,s)-Tensor (oder umgekehrt) lieber von r-fach kovariant und s-fach kontravariant (oder umgekehrt) gesprochen hätte, weil naturgemäß die Reihenfolge der Zahlen auf Konvention beruht. Wenn es aber auch für die Begriffe kovariant und kontravariant praktisch zwei unterschiedliche Konventionen gibt, dann ist das kein gangbarer Weg. Schade. -- Digamma 14:19, 13. Aug. 2010 (CEST)

Also, ich finde es überaus interessant, diesen Konflikt einmal hier zu beobachten. Ich wüsste jetzt nicht, weshalb Digammas Definition bzw. diejenige der englischsprachigen Wikipedia minderwertig ist. Digammma hat auch nicht von der Indexdarstellung gesprochen, sondern von Tangential- und Cotangentialvektor, man kann das auch koordinatenunabhängig definieren, so wie auf der englischsprachigen Seite und trotzdem den Zusammenhang zur Indexdarstellung erläutern. Üblicherweise spricht man von ko- und kontravarianten Tensoren. Die jetzige Defintion spricht von Abbildungen, die bezüglich des Definitionsbereichs bzw. Wertebereichs ko- oder kontravariant seien sollen. Ist das hier nicht deplatziert, wo es allein um Tensoren geht?-- Zt3hnuio 14:05, 13. Aug. 2010 (CEST)

Hi, soll das jetzt ein Witz sein? Der en-WP-Artikel sagt gleich in der Einleitung genau das, was ich oben sagte. Der Vektor $v=x^{k}e_{k}$ ist invariant gegenüber Basiswechsel, die Basis $(e_{1},\dots ,e_{d})$ ist naturgemäß kovariant gegenüber Basiswechsel, und dementsprechend das Koordinatentupel $(x^{1},\dots ,x^{d})$ kontravariant, $v=e_{k}\,A^{k}{}_{m}\,(A^{-1})^{m}{}_{n}\,x^{n}=e'_{m}x'^{m}$. Wenn ein Vektor, auch implizit, als Koordinatentupel gegeben ist, dann gehört da auch immer eine Basis als Verbindung zum "eigentlichen" Vektorraum dazu, und der Koordinaten"vektor" transformiert sich entgegengesetzt zur Basis.--LutzL 15:40, 13. Aug. 2010 (CEST)

Nein, eigentlich nicht. Neben der Koordinatendarstellung steht in der Einleitung des Artikels: "Vectors (as opposed to dual vectors) are said to be contravariant." und ein wenig später "Dual vectors (as opposed to vectors) are said to be covariant". Diese Definition ist koordinatenunabhängig. Später wird der Zusammenhang mit der Koordinatendarstellung und der Koordinatentransformation sehr ausführlich erklärt. Das ist nicht das gleiche wie die Abbildungsdefinition dieses Artikels. Ich glaube wir reden hier aneinander vorbei.-- Zt3hnuio 16:05, 13. Aug. 2010 (CEST)

Wenn man unbedingt falsch verstehen will, dann liest man natürlich nur das, was zum eigenen Standpunkt passt. Kurz davor steht nämlich, dass die "Komponenten" des Vektors betrachtet werden. Und nun sag' mal, was in einem abstrakten Vektorraum die "Komponenten" eines Vektors sind? Wie gesagt, es ist das Koordinatentupel gemeint, und da sagt niemand etwas anderes als dass es kontravarinant ist. Und da kein Physiker mit abstrakten Vektoren rechnet, ist Vektor immer schon gleich Koordinatentupel, ohne die Basis, die implizit dahinter steckt, zu erwähnen.--LutzL 16:56, 13. Aug. 2010 (CEST)

Sie haben ja Schaum vor dem Mund. Ich habe abgeschrieben, was da als Definition vorgetragen wird. Das sind Zitate. Dass davor die Komponentendarstellung des Vektors betrachtet wird, ändert nichts an der angegebenen Definition. Diese ist koordinatenunabhängig. Ich bin Physiker und rechne auch mit Abstrakten Vektoren. Ich habe als Physiker die gleichen Vorlesungen zur linearen Algebra gehört wie meine Mathematikerkollegen. Was bilden Sie sich eigentlich ein?-- Zt3hnuio 00:13, 14. Aug. 2010 (CEST)

War das jetzt eine Projektion der eigenen Befindlichkeit? Wer zu persönlichen Angriffen neigt, hat meist keine echten Argumente übrig. Und was genau ist jetzt der Streitpunkt? Die englische WP macht genau das, was ich oben beschrieb, den Vektor mit seiner Koordinatendarstellung identifizieren. Und das so selbstverständlich, dass die Komponenten noch nicht mal erklärt werden müssen. Und dann ist dieser identifizierte Vektor natürlich kontravariant. Haben Sie neben der en-WP auch mal in ein besseres Physikbuch (zur Relativitätstheorie) geschaut, welches auch etwas die Hintergründe des Tensorkalküls erklärt? Ist selten, aber gibt es.--LutzL 09:23, 14. Aug. 2010 (CEST)

Ich muss mich korrigieren. In den ersten zwei Sätzen des en-WP-Artikels wird ganz klar gesagt, dass Ko- und Kontravarianz Eigenschaften der Koordinatendarstellung sind. Womit als Streitpunkt nur noch übrig bleibt, wie Ko- und Kontravarianz eines Tensorproduktes gezählt wird. Da gebe ich gern zu, dass ich da auch nicht durchsehe. Die Konstruktion des Tensorproduktes ist kategorientheoretisch kovariant, aber wahrscheinlich werden, physikerorientiert, die Koordinatendimensionen gezählt, so dass $V\otimes V$ zweifach kontravariant genannt wird, da Tensoren in diesem Produkt Koordinaten $T^{ij}$ haben.--LutzL 09:34, 14. Aug. 2010 (CEST)

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Der Punkt ist, dass Sie sich mal etwas sachlicher äußern sollten. "Und da kein Physiker mit abstrakten Vektoren rechnet, ist Vektor immer gleich Koordinatentupel, ohne die Basis, die implizit dahinter steckt, zu erwähnen.." Das ist schlicht falsch. Sie sollten mal versuchen, sich hier respektvoll zu äußern. "For a vector (such as a direction vector or velocity vector) to be coordinate system invariant, the components of the vector must contra-vary with a change of basis to compensate. That is, the components must vary in the opposite "direction" (the inverse transformation) as the change of basis. Vectors (as opposed to dual vectors) are said to be contravariant. " Das heißt auf Deutsch. Damit ein Vektor invariant gegenüber einem Koordinatensystemwechsel ist, müssen sich die Komponenten des Vektors entgegen einem Basiswechsel verändern, um diesen zu kompensieren. Das heißt die Komponenten (des Vektors) müssen sich in der entgegengesetzten "Richtung" (die inverse Transformation) als die Veränderung der Basis verändern. Hier wird zwischen dem Vektor v, der Komponente des Vektors vi und der Basis eii unterschieden. Die angegebene Formel für den Vektor v ist: v=Vi*ei. (Einsteinschische Summenkonvention, Summation über i) v ist der Vektor, vi seine Komponenten und ei die Basis.-- Zt3hnuio 09:50, 14. Aug. 2010 (CEST)

Ich übersetze Ihnen nochmal die ersten Sätze des Artikels. Lesen sie bitte aufmerksam:"covariance and contravariance describe how the quantitative description of certain geometric or physical entities changes when passing from one coordinate system to another." Auf Deutsch heißt das: Covarianz und Contravarianz beschreiben, wie sich die QUANTITATIVE BESCHREIBUNG (Komponenten) eines bestimmte geometrischen Objektes (Vektor) oder physikalischen Objektes (Geschwindigkeitsvektor) verändern, wenn von einem Koordinatensystem auf ein anderes gewechselt wird"....-- Zt3hnuio 10:06, 14. Aug. 2010 (CEST)

Nächster Satz: "The components of a geometrical vector and of a dual vector can be measured with respect to a given basis." Die Komponenten eines geometrischen Vektors und eines Dualvektors können unter Bezugnahme auf eine gegebene Basis gemessen werden. -- Zt3hnuio 10:40, 14. Aug. 2010 (CEST)

Und wieder beweisen Sie genau meinen Standpunkt. Und was ist es genau, von dem Sie mich noch überzeugen wollen? Was sind die "components of the vector" denn anderes als die Komponenten einer Koordinatendarstellung? Und "The components ... can (!) be measured with respect to a given basis." ist natürlich schwach formuliert, diese Komponenten existieren gar nicht ohne die gegebene Basis, statt "can be" sollte es "are (to be)" lauten. -- Wie gesagt, im Wesentlichen stimmen wir überein. Das einzige, was Sie verstehen müssen ist, dass eine koordinatenfreie Behandlung von Vektoren wirklich koordinaten- und komponentenfrei ist. -- Jetzt haben wir uns schon zum dritten mal, oder mehr, im Kreis gedreht. Langsam komme ich mir vor wie der Igel aus der Fabel, der immer sagt "Ich bin schon da."--LutzL 12:03, 15. Aug. 2010 (CEST)

Wir sind uns überhaupt nicht einig. Die Definition des Vektors unterscheidet klar zwischen Vektor, Koordinatendarstellung und Basis. Der Zusammenhang wird klar erläutert. Ihre Ausführungen zu "den Physikern" sind also allesamt widerlegt. "Und da kein Physiker mit abstrakten Vektoren rechnet, ist Vektor immer gleich Koordinatentupel, ohne die Basis, die implizit dahinter steckt, zu erwähnen.." Das sollten sie zurücknehmen und in Zukunft sachlich diskutieren an Stelle Ihren Ressentiments freien Lauf zu lassen. -- Zt3hnuio 23:11, 15. Aug. 2010 (CEST)

Sie haben immer noch nicht erklärt, was die "Komponenten eines Vektors" sind. Es gibt eine Axiomatik für Vektorräume. Ein Vektor ist ein Element eines Vektorraumes. Bis hierhin gibt es keine Komponenten, Basen oder Koordinaten, diese gehen also in irgendwelche "Definitionen eines Vektors" gar nicht ein, sondern stellen zusätzliche Struktur dar, die auf dem abstrakten Begriff des Vektorraums aufbaut. -- Und was ist mit Ihrem Ironiedetektor los? Es sollte klar sein, dass eine solche extreme Verallgemeinerung falsch ist, also rein rhetorisch gemeint und sich die Aussage auf meine typischen Erfahrungen bezieht. Und warum sollen meine Erfahrungen mit Physikern widerlegt sein, nur weil ein WP-Nutzer implizit behauptet, Physiker zu sein und es etwas besser zu wissen? (Und nebenbei, so ganz neutral sind Ihre Diskussionsbeiträge auch nicht.)--LutzL 11:36, 16. Aug. 2010 (CEST)

Das muss ich Ihnen überhaupt nicht erklären. Ich habe Ihnen klipp und klar gezeigt, dass ihre Ausführungen zu "den Physikern" im Wesentlichen Polemik ist. Die Vektorraumaxiome habe ich als Physiker in meiner 3ten oder 4ten Vorlesung zur linearen Algebare gelernt, gemeinsam mit Mathematikern und Informatikern. Dabei habe ich eine ganze Menge Mathematiker in Ihrem eigenen Fach in die Tasche gesteckt. --Zt3hnuio 20:44, 18. Aug. 2010 (CEST)

Allgemeinverständlichkeit

Hallo, ich habe gesehen dass am 15. September der Aufkleber "Allgemeinverständlichkeit" entfernt wurde. Ich finde den Artikel nicht allgemeinverständlich. Schade, denn das Grundkonzept sollte man doch wohl ´rüberbringen können. Ich dachte das ist ewas das Wikipedia will. Wenn es bei der Relativitätstheorie versucht wird... warum dann gerade hier eben nicht?

Natürlich gibt es beliebig viele Mathematiker die es beliebig exkat haben wollen (in anderen Bereichen bin ich auch so einer), aber es gibt eben auch den mal-ein-wenig-an-Physik-interessierten... und für den wäre da eine "Für Dummies"-Erklärung echt genau das Richtige.

Im Englischen Wikipedia bekommen sie diesen Spagat irgendwie besser hin... schade, denn so wechsele ich von unseren deutschen Seiten recht oft auf die Englischen und bleibe dann da. Aber dass das deutsche Wikipedia in Schönheit stirbt kann es ja wohl nicht sein, das wäre Schade.

Ich habe mal was in den Artikel geschrieben das mir persönlich geholfen hätte... das muss nicht optimal sein... ich bin gespannt was jetzt da passiert und hoffe auf eine irgendwie konstruktive Reaktion. -- OlPr 04:30, 5. Dez. 2010 (CET)

Ja, dass der Artikel an Verständlichkeit krankt, ist mir bewusst. Bei meinen damaligen unfangreichen Änderungen ist mir der Spagat leider nicht gelungen. Deine Erweiterung der Einleitung finde ich gut. Jedoch kommt auch hier ein kleines aber. Ich habe ein Problem mit dem Begriff Vektor, denn aus Sicht der Mathematik ist jeder Tensor ein Vektor. Könnten wir "Vektor" vielleicht durch "Spaltenvektor" ersetzen? --Christian1985 (Diskussion) 08:10, 5. Dez. 2010 (CET)

Oh, danke! Ich hätte erwartet du machst deinen Änderungsvorschlag gleich selber... so probiere ich es halt. -- OlPr 12:53, 5. Dez. 2010 (CET)

Definition

Nun steht in der Definition wieder

Setze nun für einen fixierten Vektorraum $E$ mit Dualraum $E^{*}$

$T_{s}^{r}(E,K)=L^{r+s}(E^{*},\ldots ,E^{*},E,\ldots ,E;K)$

mit r Einträgen von $E^{*}$ und s Einträgen von $E$. Dieser Vektorraum realisiert das Tensorprodukt

$\underbrace {E^{*}\otimes \dots \otimes E^{*}} _{r{\text{ Faktoren}}}\otimes \underbrace {E\otimes \dots \otimes E} _{s{\text{ Faktoren}}}.$

Dies ist meiner Ansicht nach falsch! Der Raum $T_{s}^{r}(E,K)=L^{r+s}(E^{*},\ldots ,E^{*},E,\ldots ,E;K)$ wird durch das Tensorprodukt $\underbrace {E\otimes \dots \otimes E} _{r{\text{ Faktoren}}}\otimes \underbrace {E^{*}\otimes \dots \otimes E^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}}.$ und nicht durch $\underbrace {E^{*}\otimes \dots \otimes E^{*}} _{r{\text{ Faktoren}}}\otimes \underbrace {E\otimes \dots \otimes E} _{s{\text{ Faktoren}}}.$ realisiert. Auch die Begriffe kovariant und kontravariante habe ich mit dem Buch von Abraham et al. abgeglichen und stimmen dort mit der ursprünglichen Definition überein. --Christian1985 (Diskussion) 11:33, 31. Mär. 2011 (CEST)

Womit Du recht hast. Steht ja auch so in der allgemeinen Definition direkt drüber. Ko- und kontravariant bezieht sich auf die Koordinatendarstellung, damit ist das auch so richtig.--LutzL 11:38, 31. Mär. 2011 (CEST)

Was ist eine "invariante Notation"?

Aus dem Absatz "Unterschiedliche Betrachtungsweisen": "In der Mathematik wird dieses Objekt meistens in der Algebra und der Differentialgeometrie betrachtet. Dabei wird eine invariante Notation verwendet, ... " Frage eines interessierten Nichtmathematikers; danke für alle Erläuterungen. --J.Ammon 14:03, 24. Jul. 2011 (CEST)

Ich habe invariant einmal durch koordinatenunabhängig ersetzt. Ich hoffe dies löst Deine Frage. --Christian1985 (Diskussion) 14:08, 3. Aug. 2011 (CEST)

Verwirrend

Rechts oben im Bild gibt es einen dreistufigen Tensor. Links daneben stehen Beispiele von Tensoren verschiedener Ordnung. Unter "Definition" finden wir dann noch die Stufe oder den Rang: "Elemente dieser Menge heißen Tensoren, kontravariant der Stufe r und kovariant der Stufe s. Kurz spricht man von Tensoren vom Typ (r,s). Die Summe r+s heißt Stufe oder Rang des Tensors." Soll da einer schlau werden... (nicht signierter Beitrag von 89.247.176.178 (Diskussion) 15:12, 9. Aug. 2011 (CEST))

Ich ersetze den Begriff Ordnung in der Einleitung einmal durch Stufe. Reduziert dies die Verwirrung? --Christian1985 (Diskussion) 16:29, 9. Aug. 2011 (CEST)

..Eher nicht! Die Verwirrung besteht m.M. nicht zwi. "Ordnung" u. "Stufe", sondern zwi. den div. Stufen in: "... kontravariant der Stufe r und kovariant der Stufe s." bzw. "Die Summe r+s heißt Stufe oder Rang des Tensors." Die Parameter r, s und r+s alle "Stufe" zu nennen, ist tats. reichlich verwirrend... Ich schlage "Grad" für r & s vor u. "Rang" für r+s. -- aleph_wiki - 3.7.2012, 21.15 (ohne Benutzername signierter Beitrag von Aleph wiki (Diskussion | Beiträge))

Wir müssen uns aber beim Schreiben der der Wikipediatexte an den Begrifflichkeiten in der Literatur orientieren. Grad ist mir da noch nirgends untergekommen. Hast Du entsprechende Literatur in der das weniger verwirrend ist? --Christian1985 (Diskussion) 22:51, 3. Jul. 2012 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 10:26, 15. Mär. 2013 (CET)

Frage

"nicht alle Größen mit zwei oder mehr Indizes sind Tensoren" - sondern? (Ich suchte nach einem Begriff für Numerik, und da sind es nun mal mehrdimensionale Dinge.) (nicht signierter Beitrag von 80.187.111.159 (Diskussion) 10:37, 8. Nov. 2011 (CET))

Meinst du vielleicht eine Familie (Mathematik)? --Christian1985 (Diskussion) 10:41, 8. Nov. 2011 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 10:25, 15. Mär. 2013 (CET)

Fehler in der Indexierung

Ich möchte nicht behaupten, besonders vertraut mit Tensoren zu sein, dennoch sind mir Fehler bei der Indexierung sowie unübersichtliche Darstellung aufgefallen. Zunächst bei der Definition:

"... $~~T_{s}^{r}(E,K)=L^{r+s}(E^{*},\ldots ,E^{*},E,\ldots ,E;K)$

mit r Einträgen von{aus} $E^{*}$ und s Einträgen von{aus} $E$ ..."

Weiter geht es mit: "Dieser Vektorraum realisiert das Tensorprodukt

$\underbrace {E\otimes \dots \otimes E} _{r{\text{Faktoren}}}\otimes \underbrace {E^{*}\otimes \dots \otimes E^{*}} _{s{\text{Faktoren}}}$ ..", wo $r,s$ vertauscht sind!

Dann in:

"...

$~~\left(t_{1}\otimes t_{2})(\beta ^{1},\ldots ,\gamma ^{1},\ldots ,f_{1},\ldots ,f_{s_{1}},g_{1},\ldots ,g_{s_{2}}\right):=$

$t_{1}(\beta ^{1},\ldots ,\beta ^{r_{1}},f_{1},\ldots ,f_{s_{1}})~~t_{2}(\gamma ^{1},\ldots ,\gamma ^{r_{2}},g_{1},\ldots ,g_{s_{2}})$ ..."

Nicht nur, dass indizierte Indizes wie r1 o. s1 recht unübersichtlich sind, was vor allem fehlt, ist der Operator zwi. $t_{1}$ u. $t_{2}$ auf der rechten Seite. Ist das eine "gewöhnl." Multiplikation o. eine Kettenop.? Eher wohl letzteres, da $t_{1},t_{2}$ eine Art Abb. sind. Was ausserdem fehlt, ist eine "praktische" Rechenvorschrift, wie nun das Produkt (insbes. in Koordinatenform) tats. durchgeführt wird. Etwa als Matrix-Multipl.?

Eine weitere Unstimmigkeit ist folg.:

"Eine Bilinearform E x E -> K lässt sich als ein Element von $E^{*}\otimes E^{*}$ auffassen, also als ein (0,2)-Tensor. Insbesondere lassen sich also Skalarprodukte als (0,2)-Tensor auffassen..."

Der 1.Satz ist (formal) richtig, der 2. jedoch scheint mir ein Widerspruch zum Beginn zu sein, wo es heisst: "Eine Zahl ist ein Tensor 0-ter Stufe." Schliesslich ist das Skalarprodukt per Def. eine Zahl!

Schliesslich ist im Abschnitt "Basis" die Indexierung m.M. nicht konsistent mit der Def. In

"... $\left\{\left.e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{r}}\otimes e^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes e^{j_{s}}\right|\ldots \right\}$ ..."

scheint mir wieder $r,s$ vertauscht. In der Zeile darüber ist die duale Basis (also mit Elementen des _Dual_raums) mit hochgestellten Indizes gekennzeichnet. Lt. Def. von $T_{s}^{r}$ laufen die dualen Elemente aber bis r, nicht s wie hier; gleiches gilt umgekehrt für die Vektorbasis $\{e_{i}\}$. -- Aleph wiki (Diskussion) 06:32, 13. Jun. 2012 (CEST)

Zu "Nicht nur, dass indizierte Indizes wie r1 o. s1 recht unübersichtlich sind, was vor allem fehlt, ist der Operator zwi. $t_{1}$ u. $t_{2}$ auf der rechten Seite. Ist das eine "gewöhnl." Multiplikation o. eine Kettenop.? Eher wohl letzteres, da $t_{1},t_{2}$ eine Art Abb. sind."

Nein, das ist keine "Kettenop." (was meinst du damit?), sondern eine normale Multiplikation von Körperelementen (also im reellen Fall von reellen Zahlen). $t_{1}(\beta ^{1},\ldots ,\beta ^{r_{1}},f_{1},\ldots ,f_{s_{1}})$ ist der Funktionswert der Funktion $t_{1}$ angewendet auf $\beta ^{1},\ldots ,\beta ^{r_{1}},f_{1},\ldots ,f_{s_{1}}$.

Zu "Schliesslich ist das Skalarprodukt per Def. eine Zahl!". Nein, mit "Skalarprodukt" ist die Operation gemeint, nicht das Ergebnis. Das Skalarprodukt ist also keine Zahl, sondern eine Bilinearform E x E -> K. --Digamma (Diskussion) 09:56, 13. Jun. 2012 (CEST)

Fortsetung. Zu deinem ersten Punkt

"... $~~T_{s}^{r}(E,K)=L^{r+s}(E^{*},\ldots ,E^{*},E,\ldots ,E;K)$

mit r Einträgen von{aus} $E^{*}$ und s Einträgen von{aus} $E$ ..."

Weiter geht es mit: "Dieser Vektorraum realisiert das Tensorprodukt

$\underbrace {E\otimes \dots \otimes E} _{r{\text{Faktoren}}}\otimes \underbrace {E^{*}\otimes \dots \otimes E^{*}} _{s{\text{Faktoren}}}$ ..", wo $r,s$ vertauscht sind!

Das ist schon richtig. Es sind nicht r und s vertauscht, sondern E und E*. Beispiele:

r = 0, s = 1. Nach Definition ist $T_{1}^{0}(E,K)=L(E,K)$. Dieser Raum ist aber gerade $E^{*}$, also das Tensorprodukt mit 0-mal E und 1-mal E*. Es ist nämlich so, dass E* gerade aus den linearen Abbildungen von E nach K besteht.

r = 1, s = 0. Nach Definition ist $T_{0}^{1}(E,K)=L(E^{*};K)$. Dies ist der Bidualraum von E, der mit E selbst identifiziert werden kann, denn jedes Element v von E definiert eine lineare Abbildung $F_{v}$ auf $E^{*}$ durch $F_{v}(\beta )=\beta (v)$ für $\beta \in E^{*}$. Also: $T_{0}^{1}(E;K)$ entspricht dem Vektorraum E selbst, dem Tensorprodukt mit 1-mal dem Faktor E und 0-mal dem Faktor E*.

r = 0, s = 2. Dieses Beispiel wird auch im Text behandelt. Nach Definition ist $T_{2}^{0}(E,K)=L^{2}(E,E;K)$. Das ist der Raum der bilinearen Abbildungen von E nach K. Er entspricht dem Tensorprodukt $E^{*}\otimes E^{*}$. Auch hier r = 0, s = 2.

Damit erklärt sich auch dein letzter Punkt bezüglich der Basen. --Digamma (Diskussion) 14:01, 13. Jun. 2012 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Christian1985 (Disk) 10:24, 15. Mär. 2013 (CET)