Diskussion:Tensorprodukt

Punkte, die die thematische Aufteilung zwischen Tensor und hier betreffen, bitte dort diskutieren.--Gunther 23:47, 15. Mär 2005 (CET)

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Einige Punkte zu dieser Seite wurden schon unter Benutzer Diskussion:Gunther/Tensorprodukt diskutiert.--Gunther 00:47, 16. Mär 2005 (CET)

To-Do-List

• Tensorprodukt mit K ist kanonisch V, Tensorprodukt mit eindimensionalem Vektorraum nicht
• Klären, inwieweit Einsen nötig sind (Tensorprodukt über Z/2Z?)

--Gunther 09:50, 18. Mär 2005 (CET)

Unter 'Kategorielle Eigenschaften' wird behauptet, dass das Tensorprodukt das Koprodukt in der Kategorie der Ringe mit 1 ist. Welcher Quelle wurde diese Aussage entnommen? Sie leuchtet mir für endliche Indexmengen ein, aber wieso sollte sie allgemein gelten? ---oo- 00:57, 5. Jun 2005 (CEST)

Die Aussage bezieht sich auf endliche Ko- bzw. Tensorprodukte, unendliche Tensorprodukte wurden ja auch gar nicht definiert. Kleine Erläuterung hinzugefügt.--Gunther 01:19, 5. Jun 2005 (CEST)

Änderungsvorschlag

Wie wäre es, für Laien wie mich erstmal eine Komponentendarstellung wie auf der englischen Seite zu Anfang zu machen, statt sofort sich über die Algebra des Problems zu werfen?

Ich habe mal den Artikel zum Tensorprodukt aus folgenden Gründen überarbeitet:

• Das Tensorprodukt sollte nicht über Basiselemente konstruiert werden, da das Produkt am Ende ja auch nicht von der (willkürlichen) Wahl dieser Basis abhängt
• Ich bin der Meinung, dass die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts im Vordergrund stehen sollte und nicht die konkrete Konstruktion als Quotient, soll heissen: Man nehme die universelle Eigenschaft zur Definition und lagere die Konstruktion in einen Satz aus, welcher besagt, dass das Tensorprodukt stets existiert. Der Grund hierfür ist, dass man mit dieser Konstruktion nie wieder konfrontiert wird, sobald man sich einmal vergewissert hat, dass das Tensorprodukt auch tatsächlich existiert. Von da an laufen alle Beweise über die universelle Eigenschaft
• Die Verallgemeinerung von Vektorräumen auf Moduln über kommutativen Ringen mit 1 ist darart zwanglos, dass es vollkommen redundant wäre, diese Fälle separat zu behandeln. Der Fall von allgemeinen Ringen sollte selbstverständlich weiterhin separat behandelt werden

-- AndreasK 17:39, 11. Aug 2005 (CEST)

(Der neue Text findet sich hier. Obige Kommentare hierher kopiert von Gunther 17:55, 11. Aug 2005 (CEST))

• Basen: Dieser Teil ist unpräzise, das ist klar. Aber Basen sind (leider) der beste Weg, um ein Gefühl für Tensorprodukte über Körpern zu bekommen. Man könnte hier ein wenig schummeln, indem man schreibt: "V tensor W ist ein Vektorraum, und wenn e_i und f_j Basen sind, dann ist e_i tensor f_j eine Basis von V tensor W, aber was das genau ist, verraten wir erst später".
• Die Reduktion auf die universelle Eigenschaft in bezug auf Multilinearformen erscheint mir bei Körpern (z.B. aufgrund der Anwendungen in der Differentialgeometrie) zulässig, im allgemeinen Fall eines kommutativen Grundringes gibt es aber drei wichtige universelle Eigenschaften:

• Multilinearformen
• $f_{*}\,$-$f^{*}\,$-Adjunktion: $Hom_{S}(S\otimes _{R}M,N)=Hom_{R}(M,N)$
• Koprodukt von Ringen/Algebren: $Hom_{R}(A\otimes _{R}B,C)=Hom_{R}(A,C)\times Hom_{R}(B,C)$

und diese sind nicht trivial auseinander herzuleiten (soweit mir bekannt). Die explizite Konstruktion kann auch bei Rechnungen hilfreich sein, z.B. um zu überprüfen, ob ein Element in einem Tensorprodukt gleich 0 ist.

• Das Tensorprodukt über Körpern ist ein wichtiger Spezialfall, der für die meisten Anwendungen in der Differentialgeometrie bzw. der entsprechenden Physik vollkommen ausreicht. Tensorprodukte über Körpern verhalten sich extrem gut, das rechtfertigt mMn durchaus einen eigenen Abschnitt (z.B. Dimensionen oder $V^{*}\otimes W=\mathrm {Hom} (V,W)$ und Identifizierung von kovarianten Tensoren mit Multilinearformen). Natürlich kann man sich immer auf freie Moduln einschränken, aber ich sehe keinen wesentlichen Gewinn, sondern hauptsächlich einen Verlust an Allgemeinverständlichkeit. (Man sollte dann ohnehin besser gleich über projektive Moduln sprechen.)

--Gunther 18:59, 11. Aug 2005 (CEST)

• Basen: In der Einleitung steht "Dieser Artikel beschreibt die mathematischen und koordinatenfreien Aspekte des Tensorproduktes." Wenn dann aber im ersten Abschnitt direkt wieder mit fixierten Basen gearbeitet wird, widerspricht das dieser Ankündigung einer koordinatenfreien Darstellung und ist somit zumindest verwirrend. Zudem lässt diese Herangehensweise nicht erkennen, wofür das Tensorprodukt überhaupt konstruiert wird, es hat so mehr den Anschein einer reinen "Rechenaufgabe" und ich halte es für wenig sinnvoll, dem Leser zunächst das Rechnen beizubringen, bevor man ihm verrät, was das ganze eigentlich soll. Ohne Zweifel ist die Methode, bei freien Moduln eine Basis zu fixieren und dann mit Koordinaten zu rechnen, wichtig, um konkrete Tensorprodukte zu bestimmen, und sollte deshalb natürlich im Text auftauchen, jedoch sollte man dies nicht zur Definition erheben.
• universelle Eigenschaft(en): sollten auf jedenfall rein, da es auf diese ja letztlich ankommt. Dass diese weiteren UEs von gleicher Bedeutung wie die von mir angegebene sind, war mir nicht bewusst; wir sollten dann wohl alle drei nebeneinander stellen. Natürlich kann man sich dann fragen, ob man in diesem Fall nicht mit der Konstruktion als Quotienten beginnen sollte, da wäre ich auch durchaus mit einverstanden, obwohl ich der Meinung bin, dass diese sehr technisch ist und somit gerade beim Einstieg den Blick auf das Wesentliche verstellt. Dass die Konstruktion irgendwo auftauchen muss, ist jedenfalls klar, die Frage ist nur, ob man sie an den Anfang stellt.
• freie Moduln vs. Vektorräume: Vektorräume haben in diesem Zusammenhang gegenüber freien Moduln kaum Vorteile, jedenfalls keine, die in diesem Artikel zum tragen kämen (etwa wenn man Basen ergänzen muss, was wir hier aber nicht benötigen). Auch die Notation würde sich kein bisschen vereinfachen. Wenn das Problem nur ist, dass viele Leser den Begriff des Moduls nicht kennen, so gibt es ja einerseits den Link auf den entsprechenden Artikel, andererseits könnte man noch eine entsprechende Bemerkung einfügen. Das hielte ich jedenfalls für wesentlich sinnvoller, als den Text zu freien Moduln per copy-and-paste zu verdoppeln und dann systematisch überall "freier Modul" durch "Vektorraum" und "Rang" durch "Dimension" zu ersetzen.
• Moduln über komm. Ringen: Da weder die Einführung über eine UE noch als Quotient irgendeine Basis braucht, halte ich es nur für sinnvoll, diesen Teil allgemein für Moduln über komm. Ringen abzuhandeln, insbesondere, da so noch einmal klar wird, dass wir Basen nicht brauchen, dass es sich also wie angekündigt um eine koordinatenfreie Darstellung handelt. Ich halte es jedenfalls für wichtig, den Fall von kommutativen Ringen ausführlich zu behandeln, denn einerseits wird es da doch erst interessant (solange die Moduln alle frei sind oder sogar VR, ist die Theorie für sich genommen fürchterlich langweilig, wenn da nicht die Anwendungen wären...), andererseits erhält man auch wieder einen Modul und nicht bloss eine abelsche Gruppe raus. Den Fall kommutativer Ringe nur als Spezialfall allgemeiner Ringe zu behandeln wäre somit einerseits für den Einstieg etwas unübersichtlich und würde auch generell der Bedeutung dieses Falls nicht gerecht.

-- AndreasK 20:15, 11. Aug 2005 (CEST)

Die universelle Eigenschaft scheint mir als Einstieg wirklich ungeeignet. Der Artikel Polynomring definiert $A[T]$ ja auch nicht über die universelle Eigenschaft $Hom_{A}(A[T],B)=B$, auch wenn das algebraisch-geometrisch die richtige Sichtweise ist. Man sollte entweder mit der Konstruktion über Basen oder einer informellen Beschreibung der Quotientenkonstruktion wie in Tensor#Tensorbegriff_der_Mathematik anfangen. Wenn man den Absatz dort noch dadurch ergänzt, dass es sich beim Tensorprodukt um den "größten" solchen Vektorraum handelt, ist das eine gültige Definition. Die Quotientenkonstruktion ist nicht so technisch.

Wofür das Tensorprodukt wichtig ist, ist mMn ein Punkt, den man von der Definition trennen sollte. Auch die Anschauung mittels Basen hat damit nur indirekt zu tun, das ist richtig. Aber so wie die Bedeutung der Primzahlen in der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung oder im Lemma von Euklid liegt, so ist es doch angenehmer, sie als Zahlen ohne echte Teiler kennenzulernen.

Ich würde die Frage Vektorraum vs. freier Modul gerade umgekehrt sehen: Man kann den Abschnitt ohne Verlust mit den Begriffen Vektorraum und Körper formulieren und weiter unten schreiben, dass es für freie Moduln analog funktioniert; eine Textdoppelung ist jedenfalls nicht nötig. Den Leser zu zwingen, sich den Begriff Modul anzulesen, erscheint mir eher unfreundlich. Vom Gefühl her würde ich auch sagen, dass man es in der Regel nicht ausschließlich mit freien Moduln zu tun hat, so dass sich der Nutzen eher in Grenzen hält.

Tensorprodukte über kommutativen Ringen brauchen einen eigenen Abschnitt, keine Frage. Z.B. steht Flachheit momentan nur im "Siehe auch", das sollte man ändern.

(Übrigens ist die Theorie für Vektorräume gar nicht sooo langweilig: Wie sieht der kleinste Unterraum $U\subseteq V$ aus, so dass $U\otimes W$ einen vorgegebenen Unterraum $X\subseteq V\otimes W$ umfasst?)

--Gunther 22:42, 11. Aug 2005 (CEST)

Nun gut, den Einstieg über Basen hielte ich wiederum für ungeeignet wegen des Anspruchs, hier eine koordinatenfreie Darstellung zu liefern. Somit liefe es dann wohl auf den Einstieg über die Quotientenkonstruktion hinaus. Den von dir angegebenen Absatz aus dem Tensor-Artikel zu übernehmen, würde allerdings ein wenig Redundanz erzeugen, was nicht weiter tragisch wäre, allerdings könnte man alternativ für eine informelle Einführung dorthin verweisen und statt dessen direkt mit der formellen Konstruktion beginnen.

Ginge es nur um die Frage freie Moduln oder Vektorräume, so wäre es in der Tat kein Problem, die Reihenfolge umzudrehen, wie du es beschrieben hast. Wählt man jedoch den Einstieg über die Konstruktion als Quotienten, so funktioniert diese Konstruktion sogar vollkommen analog für beliebige Moduln über kommutativen Ringen. Ob es da noch so sinnvoll ist, die Begriffe Vektorraum und Körper zu verwenden und später darauf hinzuweisen, dass es auch für beliebige Moduln über kommutativen Ringen geht, bin ich mir nicht so sicher. Wäre aber prinzipiell natürlich möglich. Andererseits wäre bei Verwendung des Begriffs Modul ja auch kein langes Einlesen erforderlich, sondern nur der vorangestellte Hinweis an den Leser, dass er sich darunter für das folgende ohne weiteres einen Vektorraum vorstellen kann, indem er R als Körper vorraussetzt. Ist natürlich letztlich Geschmackssache, wobei ich der Meinung bin, man sollte sich nur dort auf Spezialfälle einschränken, wo dies auch tatsächlich zu einer Vereinfachung führt.

Im Abschnitt über freie Moduln, wo es dann tatsächlich um die Basis des Tensorprodukts geht, ist es natürlich ohne weiteres möglich, diesen zunächst nur für Vektorräume zu formulieren.

--AndreasK 13:50, 12. Aug 2005 (CEST)

Um Redundanz zu vermeiden, dachte ich eher an die folgende Lösung: Abschnitt aus Tensor hierher verschieben und dort die Konstruktion mittels Basen angeben.

Bei der Frage Vektorraum vs. freier Modul stört mich halt ein wenig, dass sich niemand für die Kategorie der freien Moduln über einem allgemeinen Ring interessiert, im Gegensatz zur Kategorie der Vektorräume über einem Körper.--Gunther 11:53, 20. Aug 2005 (CEST)

Ich finde die Definition des Tensorprodukts von Vektorräumen ist sehr umständliche, weil sie auf abzählbaren Basen rekurriert. Man kann das glaube ich einfacher und exakter definieren, so wie es auf der englischsprachigen Wikipedia-Seite geschieht. Ich möchte daher eine entsprechende Überarbeitung anregen: ==Tensor product of vector spaces==

The tensor product $V\otimes W$ of two vector spaces V and W over a field $K$ has a formal definition by the method of generators and relations. The equivalence class under these relations (given below) of $(v,w)$ is called a tensor and is denoted by $v\otimes w$. By construction, one can prove several identities between tensors and form an algebra of tensors.

To construct $V\otimes W$, take a vector space over $K$ with basis $V\times W$ and apply (factor out the subspace generated by) the following multilinear relations:

• $(v_{1}+v_{2})\otimes w=v_{1}\otimes w+v_{2}\otimes w$
• $v\otimes (w_{1}+w_{2})=v\otimes w_{1}+v\otimes w_{2}$
• $cv\otimes w=v\otimes cw=c(v\otimes w)$

where $v,v_{i},w,w_{i}$ are vectors from the appropriate spaces, and $c$ is from the underlying field $K$.

We can then derive the identity

$0v\otimes w=v\otimes 0w=0(v\otimes w)=0$,

the zero in $V\otimes W$.

The resulting tensor product $V\otimes W$ is itself a vector space, which can be verified by directly checking the vector space axioms. Given bases $\{v_{i}\}$ and $\{w_{i}\}$ for V and W respectively, the tensors of the form $v_{i}\otimes w_{j}$ forms a basis for $V\otimes W$. The dimension of the tensor product therefore is the product of dimensions of the original spaces; for instance $\mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}$ will have dimension $mn$. (nicht signierter Beitrag von 84.151.143.131 (Diskussion)09:29, 29. Mai 2007 (CEST) 17:24, 25. Mai 2007)

Falsch. Die Basen bzw. deren Indexmengen müssen nicht abzählbar sein. So könnte die Indexmenge mit der Basis übereinstimmen, die Zuordnung Index zu Basis wäre dann die identische. Trotzdem funktioniert die Motivation des ersten Abschnittes. Es ist nur eine Motivation, denn konstruiert wird ja erst später. Könntest Du bitte darauf achten, eingeloggt zu sein und einen Zeitstempel zu hinterlassen?--LutzL 09:29, 29. Mai 2007 (CEST)

Fuer mich ist folgendes unsauber definiert: Seien U und V Vektorraeume. Wenn ich sie im Tensorprodukt vereine, bekomme ich einen Vektorraum mit Dimension dim(U)*dim(V). Eine Basis dafür seien die Tensorprodukte der Basisvektoren. Interessanter Weise bildet das Tensorprodukt (X):UxV -> U(x)V mit (u,v) |-> u(x)v dann aber keine surjektive Abbildung. Der Raum der moeglichen Tensorprodukte ist wohl ein Teilraum von U(X)V und hat selbst nicht die oben angegebene Basis. Das kann man schon daran sehen das RxR(x)RxR nicht das Element (v1(x)u1,v2(x)u1,v1(x)u2,v2(x)u2)=(0,1,1,0) enthalten kann (dies kann jedoch aus den erzeugbaren "Basisvektoren" (0,1,0,0) und (0,0,1,0) gebildet werden!). Die Dimension ist (glaube ich) hoechstens Dim(V)+Dim(U). Ebenso gibt es zu denken wenn ich eine ofensichtlich glatte Abbildung vom R3xR3=R6 nach R9 habe und mir surjektivitaet suggeriert wird. Ich haette die einzelnen Abbildungen, Grundmengen und Basisvektoren(Erzeugendensystheme) gerne sauberer Aufgeschluesselt.?--Kiaflumos 20:13, 7. Oktober 2007 (CEST)

Allgemeine Fragen

Was genau ist das Tensorprodukt eigentlich? Also wie rechnet man damit (mit konkreten Zahlen)? Hat es eine geometrische Bedeutung (wenn ja, welche)? Was für ein Objekt kommt dabei heraus, wenn man es ausrechnet?

Und wie kann ein mathematisches Objekt über sich selbst definiert sein? $v\otimes w=\sum _{(i,j)\in I_{0}\times J_{0}}a_{i}b_{j}\;(e_{i}\otimes f_{j})$ Auf beiden Seiten steht das Tensorproduktsymbol. Ich kann also auf der rechten Seite die gleiche Definition wieder einsetzen und wieder und wieder... ad infinitum.

Also sowie ich das bis jetzt verstanden habe (mit Hilfe von Tensor), ist dieses Objekt eine Verallgemeinerung des "normalen" Produktes auf beliebige Tensoren. Ich könnte also auch Tensoren nullter Ordnung (Skalare) über diese Definition multiplizieren und es wäre das gleiche wie ein normales Produkt. Wenn ich mit Hilfe des Tensorprodukts zwei Vektoren multipliziere, bekommen ich eine Matrix. Und wenn ich zwei Matrizen multiplizieren dementsprechend einen Tensor dritter Stufe. (jeweils weil sich die Dimensionen multiplizieren)

Hab ich das soweit richtig verstanden? Wenn ja, dann muss ich jetzt nur noch wissen, wie/was/warum das da ist bzw. wie man das ausrechnet (mit konkreten Zahlenbeispielen): $(e_{i}\otimes f_{j})$

Danke. --maststef 20:18, 20. Jan. 2009 (CET)

Da ist zunaechst mal nichts mit Zahlen. Das Tensorprodukt ist eine Operation, die zwei Tensoren (nicht Zahlen) auf einen Tensor hoeherer Ordnung abbildet. Den Ausdruck $(e_{i}\otimes f_{j})$ kannst du gleich als das Ergebnis des Tensorprodukts der beiden Basisvektoren (oder -tensoren) $e_{i}$ und $f_{j}$ verstehen; wenn du unbedingt willst, kannst du dem einen Namen geben, z.B. $g_{ij}$. Zahlen kommen erst ins Spiel, wenn du eine Koordinatendarstellung der Tensoren waehlst. So sind in der von dir angegebenen "Definition" die Zahlentupel $\{a_{i}\}$ und $\{b_{j}\}$ die Koordinaten von v und w in den Basen $\{e_{i}\}$ und $\{f_{j}\}$. Die Koordinaten von $v\otimes w$ in der Basis $\{g_{ij}\}=\{e_{i}\otimes f_{j}\}$ sind dann gegeben durch die Zahlen $\{a_{i}b_{j}\}$. --Wrongfilter ... 20:49, 20. Jan. 2009 (CET)

Und was ist "das Ergebnis des Tensorprodukts der beiden Basisvektoren (oder -tensoren) $e_{i}$ und $f_{j}$"? Genau das ist im Grunde meine einzige Frage. Gerade weil eben in der Definition des Tensorproduktes selbiges schon bereits vorkommt, bereitet es mir Verständnisprobleme. Für mich sieht das (in einfachen Worten) gerade so aus: "Das Tensorprodukt zweier Objekte ist das Tensorprodukt zweier anderer Objekte mit ein paar Vorfaktoren." Das ist irgendwie ein Kreis in ich selbst. --maststef 20:56, 20. Jan. 2009 (CET)

Das Tensorprodukt zweier Tensoren ist ein neuer Tensor, und zwar einer hoeherer Stufe. --Wrongfilter ... 21:29, 20. Jan. 2009 (CET)

Frage 1: Immer einer höheren Stufe? Wenn ich zwei Tensoren nullter Stufe (also Skalare) miteinander multipliziere, erhalte ich doch wieder einen Skalar (--> immer noch nullte Stufe).

Frage 2: Wenn höherer Stufe, dann genau eine Stufe höher oder wie viel (und woran erkennt man das dann)?

Frage 3: Kann man verschiedene Tensoren mit dem Tensorprodukt multiplizieren? Also z.B. Einen Tensor zweiter Stufe mit einem fünfter Stufe? Wenn ja, was wäre das Ergebnis (und welcher Stufe)?

Kann man das wirklich nicht anhand von einem Beispiel verdeutlichen? Meinetwegen mit ganz einfach Vektoren (2, 3) und (1, 5) oder irgendwie sowas. --maststef 22:06, 20. Jan. 2009 (CET)

Die Stufe des neuen Tensors ist die Summe der Stufen der beiden alten, also in deinem Beispiel kommt ein Tensor siebter Stufe raus. Das Tensorprodukt der beiden Vektoren, die du nennst, waere ein Tensor 2. Stufe, dessen Koordinaten man als die Matrix (2, 3; 10, 15) darstellen kann (also eben $a_{i}b_{j}$. Produkt zweier Skalare ist immer noch ein Skalar, da hast du Recht. Ich bin uebrigens Physiker, nicht Mathematiker, aber ich hoffe, dass das, was ich hier schreibe, auch deren Anspruechen genuegt. --Wrongfilter ... 00:24, 21. Jan. 2009 (CET)

Vom mathematischen Standpunkt her ist ein Tensor eine gewisse Multilinearform, im einfachsten nichttrivialen Fall (kovarianter Tensor 1. Stufe) eine lineare Abbildung von einem N-dimensionalen Vektorraum V nach R. Multiplizieren kann man solche Tensoren deshalb nach den normalen Rechenregeln für die Multiplikation von Abbildungen. Sind z.B. f und g solche kovarianten Tensoren 1. Stufe auf einem Vektorraum, dann ist das Tensorprodukt der durch $(f\otimes g)(u,v):=f(u)\cdot g(v);\ u,v\in V$ definierte "zweifach kovariante Tensor", also eine bilineare Abbildung. Die von Dir nicht eingesehene Beziehung ist deshalb eine Trivialität, die aus der obigen Definition sofort folgt (sie ist einfach Ausdruck der Bilinearität) und ihrerseits keine (erst recht keine rekursive) Definition darstellt.

Definieren durch einen Koordinatenvektor (wie bei Dir oben (2,3)) kann man einen Tensor aber eigentlich erst dann, wenn man sich auf die Wahl einer bestimmten Basis {$e_{i}|i=1,...,N$} von V bezieht, dazusagt, dass es sich um einen z.B. kovarianten Tensor 1. Stufe handeln soll und dann als Koordinatenvektor (f(e_1),...,f(e_N))=(2,3) angibt. Die Identifikation eines Tensors zweiter Stufe mit einer Matrix ist ebenfalls nur dann sinnvoll, wenn man sich auf eine bestimmte Basis von V bezieht und dazusagt, ob die Matrix die Koordinaten eines zweifach kontravarianten oder eines einfach kovarianten, einfach kontravarianten oder eines zweifach kovarianten Tensors angibt.

Die Tensoren entsprechen sozusagen tatsächlich vorhandenen physikalischen Größen wie Kraft oder Feldstärke, die auch da sind, wenn keiner hinschaut und ein Koordinatensystem vorgibt, und die sich nicht ändern, bloß weil irgendwer das Koordinatensystem dreht. Wenn man doch eine Basis (z.B. im Fall der Kraft durch 3 Richtungen und jeweilige Krafteinheiten) vorgibt, dann kann man bzgl. dieser Basis z.B. einer gegebenen Kraft durch 3 (dann einheitenfreie!) Maßzahlen einen Koordinatenvektor im $R^{3}$ zuordnen. Und um diese Koordinaten (und deren Änderung bei Wahl eines anderen Koordinatensystems) geht es bei den Physikern, weil letztlich eine Messung in einem vorgegebenen Bezugssystem nichts anderes als die Zuordnung von Maßzahlen ist.--91.89.173.66 07:24, 21. Jan. 2009 (CET)

Danke, so langsam wird es etwas klarer. Ich komme auch aus der Physik und bei uns wurde das im Rahmen der Quantenmechanik-Vorlesung einfach mal so in den Raum gewurfen, ohne konkrete nähere Erklärung (So nach dem Motto: "Hier habt ihr eins-zwei Rechenregeln dazu und jetzt rechnet mal"). --maststef 09:13, 21. Jan. 2009 (CET)

Die Ausgangsfrage ist schon berechtigt. In endlichdimensionalen Räumen kann man das oder ein Tensorprodukt definieren, indem man sich in eine genügend hochdimensionalen Raum linear unabhängige Elemente auswählt, die man mit den Tensorprodukten der Basisvektoren identifiziert. Und dann die Produktoperation bilinear fortsetzt. Das ist wirklich so willkürlich machbar. Alle so erzeugten Tensorprodukträume sind isomorph, man kann also nicht „den Richtigen“ herausfinden. Das ist analog zum Relativitätsprinzip. Mehr dazu steht im Artikel Tensorprodukt.--LutzL 11:57, 21. Jan. 2009 (CET)

In unserem Artikel wird gar nicht richtig definiert, was ein Tensorprodukt im Sinn eines Produkts mehrerer Tensoren ist. Dieser im ersten Absatz angeführte Zusammenhang mit multilinearen Abbildungen bleibt weitgehend im Dunkeln. Insofern ist es kein Wunder, wenn maststef da nicht durchblickt. Irgendwer müsste den Artikel mal überarbeiten.--91.89.173.66 15:57, 21. Jan. 2009 (CET)

Physiker behandeln auch nach meinem Eindruck Tensoren oft kochrezeptartig, ohne sie genau zu definieren. Andererseits sind Physiker diejenigen, die sich am meisten damit beschäftigen und daher größere Erfahrung in der "praktischen" Anwendung haben. Grundsätzlich ist das Thema sowieso zu kompliziert, um es in diesem Rahmen völlig verständlich abhandeln zu können. Begriffe wie Dualraum und duale Basis sollten schon geläufig sein, und das sind sie bei Physikstudenten oft nicht.

Wenn Du wirklich richtig verstehen willst, was ein Tensor ist (von der Verallgemeinerung, den Tensorfeldern, wie sie in der Physik oft gebraucht werden, reden wir ja noch gar nicht), würde ich Dir ein Buch wie den Dirschmid, "Tensoren und Felder" empfehlen. Der erklärt das inklusive aller Grundlagen sehr ausführlich (für Ingenieure) und sorgfältig, man muss allerdings deshalb etwas Zeit investieren. Ich kenne allerdings auch Leute, die meinen, dort überhaupt nichts über die "wahre" Natur eines Tensors gefunden zu haben.

Kürzer und kompakter steht's z.B. im Lichnerowicz.--91.89.173.66 15:57, 21. Jan. 2009 (CET)

=-Zeichen

Ist das =-Zeichen bei $u\otimes (v\otimes w)=(u\otimes v)\otimes w$ nicht falsch, wenn man es ganz genau nimmt? Die Tensoren befinden sich doch in ganz unterschiedlichen Räumen, schließlich ist ja auch $(u,(v,w))\neq ((u,v),w)$. Vielleicht ein "bzw." dazwischen und in der Gleichung darüber ein Isomorphie-Zeichen? --89.247.149.17 00:50, 8. Aug. 2009 (CEST)

Ja, das stimmt. Wie dieses „Problem“ gelöst wird, will ich noch deutlich machen. Eine Ahnung davon ist jetzt vielleicht schon deutlich geworden. Den betroffenen Abschnitt habe ich deshalb erst eimal gelöscht, da er auch viele andere fragwürdige Formulierungen enthielt. Viele Grüße, --Filomusa (Diskussion) 12:22, 31. Jan. 2021 (CET)

Überarbeiten Grundkonstruktion des Tensorprodukt über einem Ring

Ich finde den Absatz im Moment etwas kurz geraten, deswegen würde ich ihn gerne erweitern. Als Orientierung hab ich den Artikel in der englische Wikipedia und das Algebra Buch von Bosch genommen. Dort findet man auch noch einen Beleg für die oben gemachte Bemerkung, dass in der weiterer Verwendung des Tensorproduktes die exakte Konstruktion weniger von Bedeutung als die universelle Eigenschaft ist. Da ich aber noch nicht absolut sicher in dem Thema bin, hier ersteinmal der Entwurf:

Seien M und N zwei R-Module. Das Tensor Produkt $(M\otimes _{R}N,\otimes _{R})$ über R ist definiert durch eine abelsche Gruppe

$M\otimes _{R}N$

zusammen mit einer bilinearen Abbildung

${\begin{matrix}\otimes _{R}:&M\times N&\to &M\otimes _{R}N\\&(x,y)&\mapsto &x\otimes _{R}y\end{matrix}}$

Diese Abbildung erfüllt die universelle Eigenschaft:

Dass für alle abelschen Gruppen Z und jede bilineare Abbildung

$f:M\times N\to Z\,$

ein eindeutig bestimmter Gruppen-Homorphismus

${\tilde {f}}:M\otimes _{R}N\to Z$

existiert, so dass gilt:

${\tilde {f}}\circ \otimes =f.$

Mithilfe der universellen Eigenschaft wird ein bis auf isomorphie eindeutig bestimmtes Tensor Produkt definiert.

Allerdings ist damit noch nicht die existenz bewiesen. Diese beweist man, in dem man die abelsche Gruppe $M\otimes _{R}N$ wie folgt konstruiert:

Man betrachtet den von allen Paaren $(x,y)\in M\times N$ erzeugten freien R-Modul $R^{(M\times N)}$ und den dazugehörigen Untermodul Q, der durch alle Elemente

• $(m_{1}+m_{2},n)-(m_{1},n)-(m_{2},n)\qquad (m_{1},m_{2}\in M;n\in N)$
• $(m,n_{1}+n_{2})-(m,n_{1})-(m,n_{2})\qquad (m\in M;n_{1},n_{2}\in N)$
• $(mr,n)-(m,rn)\qquad (m\in M;n\in N;r\in R)$

erzeugt wird.

$M\otimes _{R}N$ ist dann definiert durch den Quotienten von $R^{(M\times N)}$ nach Q: $M\otimes _{R}N=R^{(M\times N)}/Q$

Über Verbesserungen und Meinungen wäre ich dankbar, wenn keine Einwände kommen, werd ich den Abschnitt demnächst so in den Artikel einfügen. Schönen Gruß "Wohingenau" 18:13, 30. Okt. 2009 (CET)

Im Artikel steht "Man betrachtet den von allen Paaren $(x,y)\in M\times N$ erzeugten freien $\mathbb {Z}$-Modul $R^{(M\times N)}$ (...).". Das $\mathbb {Z}$ sollte in ein R geändert werden, oder? (nicht signierter Beitrag von 217.93.143.202 (Diskussion) 19:47, 11. Okt. 2013 (CEST))

Hmm, so ganz genau kenne ich mich da auch nicht aus, aber ich glaube, das hängt damit zusammen, das hier R als nichtkommutativ zugelassen ist. Schau mal diese Definition auf enwiki: In diesem Fall wäre das Tensorprodukt nur eine abelsche Gruppe, also ein $\mathbb {Z}$-Modul. -- HilberTraum (Diskussion) 22:08, 11. Okt. 2013 (CEST)

Ich versuch mich mal mit einer Erklärung (ohne Experte zu sein und ohne Literatur vorliegen zu haben): In en:Tensor_product_of_modules#Definition steht "freie abelsche Gruppe". Informell bedeutet die Definition: Man nimmt alle formalen Produkte $m\otimes n$ (also alle Paare $(m,n)$) mit $m\in M$ und $n\in N$ und formale Summen davon (dies bedeutet "freie abelsche Gruppe"). Dann vereinbart man, dass Ausdrücke, die nach den Rechenregeln gleich sein sollen auch als gleich betrachtet werden. Dies steckt in der Quotientenbildung nach Q. Wenn man statt der freien abelschen Gruppe den freien R-Modul nimmt, dann erhält man zunächst viel mehr Elemente, nämlich auch alle "Vielfachen" von Produkten der Form $m\otimes n$. Also so etwas wie $r\cdot (m\otimes n)$ mit $r\in R$, $m\in M$ und $n\in N$, was dann etwas anderes ist als $(rm)\otimes n$ mit $rm\in M$ und $n\in N$. Man muss dann nicht nur $(rm)\otimes n$ mit $m\otimes (rn)$ gleichsetzen, sondern diese beiden noch mit $r\cdot (m\otimes n)$. Möglicherweise geschieht das aber auch automatisch, da Q (das bei der ersten Konstruktion nur eine Untergruppe ($\mathbb {Z}$-Untermodul) ist) in diesem Fall ein $R$-Untermodul ist. Geht man nur von der freien abelschen Gruppe aus, dann muss man am Ende noch die Skalarmultiplikation erklären.

Das nur als Versuch. Man sollte auf jeden Fall schauen, was in der Literatur steht, z.B. im oben genannten Buch von Bosch.--Digamma (Diskussion) 23:31, 11. Okt. 2013 (CEST)

Ergänzung: So wie es im Moment im Artikel steht, nämlich "Man betrachtet den von allen Paaren $(x,y)\in M\times N$ erzeugten freien $\mathbb {Z}$-Modul $R^{(M\times N)}$" ist es ziemlich sicher falsch, denn $R^{(M\times N)}$ ist nicht der von allen Paaren erzeugte freie $\mathbb {Z}$-Modul. Wenn ich mich nicht irre, ist es auch nicht der erzeugte R-Modul. $R^{(M\times N)}$ besteht aus allen Abbildungen von $M\times N$ nach $R$, also jedem Paar $(x,y)\in M\times N$ wird ein Element von $R$ als Koeffizient in der Linearkombination zugeordnet. Linearkombinationen sind aber endliche Summen, man darf also nur solche Abbildungen zulassen, die nur an endlich vielen Stellen von 0 verschieden sind. --Digamma (Diskussion) 23:40, 11. Okt. 2013 (CEST)

Ich hab jetzt mal bei Bosch: Algebra geschaut, aber das hilft leider nicht weiter, weil dort nur kommutative Ringe betrachtet werden. Zur Ergänzung: Ich denke, genau das soll die Bezeichnung $R^{(M\times N)}$ ausdrücken. Ich kenne das auch so, dass $R^{(I)}$ die Menge aller Abbildungen $I\to R$ ist, die nur an endlich vielen Stellen von 0 verschieden sind. -- HilberTraum (Diskussion) 15:40, 12. Okt. 2013 (CEST)

Mir ist nicht so recht klar, warum es hier einen Unterschied machen soll, ob der Ring kommutativ ist oder nicht.

Zu $R^{(M\times N)}$: Das habe ich missverstanden. Mir ist die Schreibweise nicht geläufig. Und den meisten Lesern wohl auch nicht. Wenn man sie verwendet, sollte man sie erklären. Da im Folgenden kein Bezug mehr darauf genommen wird, kann man sie auch einfach weglassen. Der erste Teil meiner Ergänzung bleibt aber richtig: Wenn man den erzeugten freien $\mathbb {Z}$-Modul (die freie abelsche Gruppe) meint, dann muss da $\mathbb {Z} ^{(M\times N)}$ stehen. $R^{(M\times N)}$ ist der erzeugte $R$-Modul. --Digamma (Diskussion) 20:03, 12. Okt. 2013 (CEST)

Sorry, ich habe das ganze nicht sorgfältig genug gelesen. Ich habe übersehen, dass M ein Rechtsmodul und N ein Linksmodul ist und das Tensorprodukt nur eine abelsche Gruppe. Ich dachte es gehe grundsätzlich um die allgemeine Konstruktion des Tensorprodukts, so wie es hier in der Diskussion oben in diesem Abschnitt steht. --Digamma (Diskussion) 20:13, 12. Okt. 2013 (CEST)

Ja, ich denke auch, dass es $\mathbb {Z} ^{(M\times N)}$ heißen müsste. Man könnte vielleicht diese ganze Problematik aus dem Artikel heraushalten, indem man dem erzeugten freien $\mathbb {Z}$-Modul einfach einen neutralen Namen wie $F$ gibt. -- HilberTraum (Diskussion) 09:46, 14. Okt. 2013 (CEST)

Ich gebe zu bedenken, dass Digamma recht hat mit seinem Einwand. Es müsste wirklich $R^{\oplus M\times N}$ heißen, was dann genau $\{f:M\times N\rightarrow R|\|supp(f)|<+\infty \}$ ist. Es handelt sich ja schließlich um die Elemente eines Vektorraums, der von der Basis, die aus allen Elementen $(m,n)\in M\times N$ besteht, erzeugt wird (über R). Das ist dann der sogenannte "freie Vektorraum". Man kann die Elemente $(n,m)$ dabei nur als "Platzhalter" für Elemente aus $R$ auffassen. (Benutzer: Rock'n Röhl) 18:17, 15. Mar 2014 (CEST)

Ich glaube, dass wir uns alle darüber einig sind, dass $\{f:M\times N\rightarrow R\mid \|\operatorname {supp} (f)|<+\infty \}$ gemeint ist. Die Unklarheit zwischen HilberTraum und mir bestand in der Notation "$R^{(M\times N)}$". Wenn ich HilberTraum richtig verstanden habe, dann ist mit "$R^{(M\times N)}$" nichts anderes gemeint als $\{f:M\times N\rightarrow R\mid \|\operatorname {supp} (f)|<+\infty \}$, was du mit "$R^{\oplus M\times N}$" bezeichnest. Auch dies ist eine Bezeichnungsweise, die ich nicht kenne und die erklärt werden müsste (und gegebenenfalls mit Quellen belegt). In der jetzigen Form werde ich deshalb deine Änderung zurücksetzen.

Es bestand aber auch noch darüber Uneinigkeit, ob da der freie $\mathbb {Z}$-Modul oder der freie R-Modul stehen muss, also ob alle Linearkombinationen mit Koeffizienten in R oder nur formale Summen, d.h. Linearkombinationen mit ganzzahligen Koeffizienten gemeint sind. --Digamma (Diskussion) 19:34, 15. Mär. 2014 (CET)

Ergänzung: Ich habe jetzt den obigen Vorschlag von HilberTraum aufgenommen und $R^{(M\times N)}$ bzw. $R^{\oplus M\times N}$ durch $F$ ersetzt. Wir müssen ja an dieser Stelle nicht erklären, was die erzeugte frei abelsche Gruppe ist. --Digamma (Diskussion) 19:59, 15. Mär. 2014 (CET)

Kommutativität nie bei verschiedenen Räumen?

Im Text heißt es unter "Eigenschaften":

Ein Kommutativgesetz gilt im Allgemeinen nicht, denn für $v\in V,w\in W$ gehören die Vektoren

$v\otimes w\in V\otimes W$ und $w\otimes v\in W\otimes V$

nur dann demselben Vektorraum an, wenn die Räume V und W identisch sind; und selbst dann muss keine Gleichheit gelten.

Ich bin mir nicht so sicher, dass das wirklich so generell stimmt. Dass Kommutativität im Allgemeinen nicht gilt, ist klar. Die Aussage, Identität von $V$ und $W$ sei notwendig für Kommutativität, wirft bei mir allerdings ein Frage auf:
Wenn es sich um Hilberträume der Quantenmechanik handelt, also $V=L^{2}$ für die Ortswellenfunktionen und $W=\mathbb {C} ^{2}$ für Spinzustände ist, sind doch die Elemente des Tensorprodukts Produkte aus Funktionen und komplexen Zweiervektoren, bzw. Vektoren mit Funktionen als Komponenten - ist da die Reihenfolge nicht doch gleich? Oder ist das Produkt "Vektor mal Skalar" bzw. "Vektor mal skalarer Funktion" einfach nicht definiert?--Slow Phil (Diskussion) 19:05, 31. Okt. 2013 (CET)

Nein, rein formal sind diese Produkte nicht gleich, sie sind isomorph. Man kann den entsprechenden Raum natürlich auch gleich als $V=L^{2}(X,\mathbb {C} ^{2})$ definieren. Ich hätte den Einwand eher beim Fall $W=V\otimes V$ erwartet, da man bei solchen mehrfachen Tensorprodukten üblicherweise die Klammerung weglässt. Andererseits sind symmetrische Tensoren auch wieder eine Spezialkonstruktion.--LutzL (Diskussion) 19:40, 31. Okt. 2013 (CET)

Motivation fehlt, bitte einbauen.

Kann man vielleicht einen kleinen Abschnitt zur Motivation des Tensorprodukts einbauen? Ich finde soetwas wichtig, damit die Idee rüberkommen kann. Das Video https://www.youtube.com/watch?v=tpL95Sd7zT0 schien mir das ganz gut zu motivieren.--biggerj1 (Diskussion) 11:02, 27. Feb. 2014 (CET)

Zwei Begriffe von Tensorprodukt

Das Wort "Tensorprodukt" hat ja zwei Bedeutungen:

1. das Tensorprodukt $V\otimes W$ zweier Vektorräume $V$ und $W$
2. das Tensorprodukt $v\otimes w\in V\otimes W$ zweier Vektoren $v\in V$ und $w\in W$.

Ich wäre geneigt, bei der zweiten Bedeutung von "Tensormultiplikation" zu reden. Frage: Gibt es diese Bezeichnung? --Digamma (Diskussion) 19:04, 18. Mär. 2014 (CET)

Ich hätte auch vorher googeln können: Es gibt genügend Treffer um die Frage mit "ja" zu beantworten. --Digamma (Diskussion) 19:07, 18. Mär. 2014 (CET)

Ergänzung: Allerdings ist die Tensormultiplikation allgemeiner. Sie ist nicht nur für Vektoren definiert, sondern für Tensoren. Ich habe deshalb einen Begriffsklärungshinweis gesetzt, der auf Tensor verweist, und dort die Bezeichnung "Tensormultiplikation" ergänzt. --Digamma (Diskussion) 19:19, 18. Mär. 2014 (CET)

Für die erste Bedeutung gibt es natürlich auch den Begriff Tensorproduktraum, der (etwas redundant) auch in Tensor ausgeführt wird. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:13, 19. Mär. 2014 (CET)

Tensorprodukt über einem Ring

@HilberTraum: Ich habe die Diskussion gesehen. Auch die Frage von Digamma, ob da der freie $\mathbb {Z}$-Modul oder der freie $R$-Modul stehen muss. Die von Digamma erwähnte Abkürzung auf $F$ geht natürlich im Prinzip in Ordnung. Trotzdem ist klar, dass wenn Bezug auf einen Ring genommen wird – und das wird hier –, muss dieser Bezug auf $R$ gehen und nicht auf $\mathbb {Z}$.

Sonst ist es einfach falsch. Denn kurz darunter kommt:

• $(mr,n)-(m,rn)\qquad (m\in M;\ n\in N;\ r\in R),$

was bei einem $\mathbb {Z}$-Modul ohne Sinn ist. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:50, 19. Jan. 2015 (CET)

Ich denke doch, dass das auch bei einem $\mathbb {Z}$-Modul Sinn macht. Denn $mr$ ist natürlich auch ein Element von $M$ und damit ist auch $(mr,n)$ ein Element des freien $\mathbb {Z}$-Moduls. Entsprechendes gilt für $rn$ und $(m,rn)$ und damit auch für $(mr,n)-(m,rn)$. Die Bedingung stellt sicher, dass $(mr)\otimes n$ dasselbe ist, wie $m\otimes (rn)$. Aber das heißt nicht, dass $r(m\otimes n)$ oder $(m\otimes n)r$ definiert ist. --Digamma (Diskussion) 16:59, 19. Jan. 2015 (CET)

Dazwischengeschoben: OK, ich nehme die Behauptung, $(mr,n)$ sei ohne Sinn zurück, denn es ist nachher eine Art Basiselement im $R$-Modul $F_{R}$ wie auch im $\mathbb {Z}$-Modul $F_{\mathbb {Z} }$.

Mein Argument von 17:19 bleibt aber bestehen, dass wenn $R\neq \mathbb {Z}$ auch $R^{(M\times N)}\neq {\mathbb {Z} }^{(M\times N)}$. Nehmen wir an, es sei $R=\{0\}$, dann ist wohl auch $R^{(M\times N)}=\{0\}$ und also auch $M\otimes _{R}N=\{0\}$, egal was oder wie groß $M\times N$ ist. Aber sicherlich ist $M\otimes _{\mathbb {Z} }N\neq \{0\}$, wenn $M\times N\neq \{0\}$. --Nomen4Omen (Diskussion) 23:19, 19. Jan. 2015 (CET)

Ja, dass die beiden ungleich sind, ist klar. Aber das gibt uns ja noch keinen Hinweis darauf, was von beiden richtig ist :) -- HilberTraum (d, m) 08:03, 20. Jan. 2015 (CET)

@Digamma: Nun, es geht nicht, wie Du in Deiner Frage auch angedeutet hast, nur um „Linearkombinationen“. Die spielen bei der Erzeugung eines freien Moduls nämlich erstmal gar keine Rolle. Da geht es erstmal um Abbildungen $F:=R^{(M\times N)}=\bigoplus _{M\times N}R$. Und nun angenommen, $R$ hat eine andere Kardinalität als $\mathbb {Z}$, dann hat $R^{(M\times N)}$ eine andere Kardinalität als ${\mathbb {Z} }^{(M\times N)}$. --Nomen4Omen (Diskussion) 17:19, 19. Jan. 2015 (CET)

Ich muss gleich dazusagen, dass ich bei dem Thema auf ziemlich dünnem Eis bin, aber es ist wohl so, dass unter den im Artikel gewählten sehr allgemeinen Voraussetzungen (R beliebiger Ring mit 1, M ein R-Rechtsmodul, N ein R-Linksmodul) das Tensorprodukt eben gar kein R-Modul ist, sondern nur ein $\mathbb {Z}$-Modul. Grüße -- HilberTraum (d, m) 17:27, 19. Jan. 2015 (CET)

Hier habe ich die Konstruktion in einem Buch gefunden [1] (Def. auf S. 71 und Prop. 2.45 mit Beweis auf S. 72) Die Stelle im Artikel dürfte also wohl so passen. (Der freie $\mathbb {Z}$-Modul ist ja das gleiche wie die freie abelsche Gruppe, oder?). -- HilberTraum (d, m) 08:25, 20. Jan. 2015 (CET)

@HilberTraum: Vielen Dank für die gute Recherche. Ich glaube, ich hab's kapiert. Du hast Recht:

Der freie $\mathbb {Z}$-Modul ist das gleiche wie die freie abelsche Gruppe. Mir scheint, dass es bei der freien abelschen Gruppe resp. dem freien $R$-Modul nur um eine „formale Explosion“ der Paare $(m,n)$ geht, die quasi durch die Quotientenbildung $F/Q$ wieder „herausgekürzt“ wird.

Andererseits scheint mir, dass $M\otimes _{R}N$ zu einem $R$-Modul gemacht werden kann: s. en:Tensor product of modules#Additional structure erster Absatz. Dort wird die Konstruktion über den freien $R$-Modul auch erwähnt, allerdings muss dann noch die Kommutativität von $R$ und die Elemente

r (m ⊗ n) − m ⊗ (r·n)

zu $Q$ hinzugenommen werden.

In en:Tensor product of modules#Definition habe ich den zu beachtenden Satz gefunden:

Strictly speaking, the ring used to form the tensor should be indicated: most modules can be considered as modules over several different rings or over the same ring with a different actions of the ring on the module elements. For example, it can be shown that R ⊗_R R and R ⊗_Z R are completely different from each other.

In Summa scheint mir am besten, die Konstruktion über die freie abelsche Gruppe zu machen. Eine abelsche Gruppe $G$ ist ja auch das Ziel des Homomorphismus $g$. Obwohl dasselbe, ist der freie $\mathbb {Z}$-Modul eher eine Fehlspur.

Die Eigenschaft $R$-Modul fehlt bisher und gehört eigentlich schon hinein. Ob wie oben über den freien $R$-Modul oder a posteriori über (R,R)-Bimodule oder einfach nur erwähnt, ist vllt nicht so wichtig.
--Nomen4Omen (Diskussion) 10:40, 20. Jan. 2015 (CET)

Steht das nicht weiter unten unter "Spezialfälle"? --Digamma (Diskussion) 12:18, 20. Jan. 2015 (CET)

Vielen Dank Euch beiden für Eure Nachhilfe und Eure Geduld.

Ich möchte trotzdem einen neuen Vorschlag in den Artikel stellen.

Wenn er Euch nicht gefällt, könnt Ihr ihn ja wieder herausbürsten.

--Nomen4Omen (Diskussion) 15:54, 20. Jan. 2015 (CET)

Nochmals: Wenn ich den englischen Artikel richtig verstehe, dann wird $M\otimes _{R}N$ im Allgemeinen kein R-Modul und kann im Allgemeinen auch nicht dazu gemacht werden. $M\otimes _{R}N$ kann zu einem S-Linksmodul gemacht werden, wenn M ein S-R-Bimodul ist und zu einem T-Rechtsmodul, wenn N ein R-T-Bimodul ist. Damit $M\otimes _{R}N$ ein R-Modul wird, braucht man, dass R kommutativ ist. Ansonsten wird die Skalarmultiplikation nicht die für einen Modul notwendigen Eigenschaften besitzen. Möglicherweise ist sie noch nichteinmal wohldefiniert. --Digamma (Diskussion) 17:46, 20. Jan. 2015 (CET)

Stimme zu! Habe ich im Abschnitt Konstruktion als R-Modul das nicht gut genug ausgedrückt ?
„Nimmt man bei der Konstruktion von $F$ den Weg über den freien $R$-Modul (anstelle des freien $\mathbb {Z}$-Moduls), nimmt man ferner die Kommutativität von $R$ und bei der Erzeugung von $Q$ die Elemente ...“
--Nomen4Omen (Diskussion) 18:03, 20. Jan. 2015 (CET)

Ich habe es mal umformuliert. Bei deiner Formulierung geht wirklich unter, dass die Konstruktion nur funktioniert, wenn R kommutativ ist. Man kann die Kommutativität von R ja nicht einfach "nehmen", sondern sie muss vorausgesetzt werden. --Digamma (Diskussion) 20:49, 20. Jan. 2015 (CET)

Ich bin völlig einverstanden. Andererseits hatte ich noch ein paar andere Formalitäten in der Pipe. --Nomen4Omen (Diskussion) 21:15, 20. Jan. 2015 (CET)

Jetzt habe ich doch noch eine Frage: Wo wird bei der Konstruktion über den freien Modul die Kommutativität von R wirklich gebraucht. Klar, man muss sich entscheiden, ob man bei F den freien Links- oder Rechts-Modul nimmt. Wenn man dann bei Q dieselbe Seite wählt, dann gibt es doch auch immer den Quotienten F/Q. Auch bei nicht-kommutativem R. Oder ? --Nomen4Omen (Diskussion) 17:56, 21. Jan. 2015 (CET)

Hast du nicht vorhin gerade selbst eine Rechnung im Artikel eingefügt, in der die Kommutativität verwendet wird? Wobei mir ehrlich gesagt, nicht so klar ist, was damit genau gezeigt werden soll. Sieht irgendwie aus wie eine Mischung aus Wohldefiniertheit und Assoziativgesetz, hm. -- HilberTraum (d, m) 19:39, 21. Jan. 2015 (CET)

Bei dem, worauf du zeigst, geht um die Wohldefiniertheit der Setzung (4), bei der in der Tat die Kommutativität von R zum Zug kommt. Meine Frage bezieht sich aber auf die dritte, die alternative Konstruktion (über den freien Modul). --Nomen4Omen (Diskussion) 19:47, 21. Jan. 2015 (CET)

Hab (noch) keine Ahnung, wo genau man Kommutativität braucht, aber nochmal zu Wohldefiniertheit. Da müsste man doch zeigen: Aus $m\otimes n=m'\otimes n'$ folgt $r(m\otimes n)=r(m'\otimes n')$. Ich sehe nicht, was die Rechnung damit zu tun hat. Wozu das $s$? -- HilberTraum (d, m) 20:14, 21. Jan. 2015 (CET)

Verstehe. Ich habe unterstellt, dass die Nebenklassen bzgl. (1) und (2) trivial in Ordnung gehen. Und nur die Nebenklassen bzgl. (3) als kritisch angesehen. Vllt müsste ich das sagen. --Nomen4Omen (Diskussion) 20:22, 21. Jan. 2015 (CET)

Ohne Nachzurechnen: (4') kann nicht funktionieren, wenn R nicht kommutativ ist. --Digamma (Diskussion) 21:41, 21. Jan. 2015 (CET)

Mhm, was heißt hier funktionieren. Damit werden doch nur irgendwelche Elemente angegeben, die einen Untermodul erzeugen sollen. Das müssen sie doch können, wie immer sie aussehen. Oder? --Nomen4Omen (Diskussion) 21:52, 21. Jan. 2015 (CET)

War schon gut! Ich glaube, du hattest recht, dass man's braucht für:

$r(s(m\otimes n))=r(ms\otimes n)=msr\otimes n$ (5)

und

$(rs)(m\otimes n))=m(rs)\otimes n$         (5')

--Nomen4Omen (Diskussion) 22:21, 21. Jan. 2015 (CET)

Nee, da stimmt etwas nicht! Klar will man haben, dass die Skalarmultiplikation assoziativ ist. (5) und (5') direkt drüber schaffen das nicht. Aber

$r(m,n)-(m,rn)$ (6) würde es schaffen.

Denn damit lässt sich

$r(s(m\otimes n))=r(m\otimes sn)=m\otimes rsn$

und

$(rs)(m\otimes n)=m\otimes (rs)n$

ausrechnen. Nun haben wir aber schon (3), nämlich $mr\otimes n=m\otimes rn$, so dass das Ganze

$m(rs)\otimes n=m(sr)\otimes n\quad \forall m,n,r,s$

erzwingt. Das bedeutet am Ende sehr wahrscheinlich, dass der Untermodul $Q$ so groß ist, dass die Skalarmultiplikation in $F/Q$ auf das Zentrum von $R$ eingeschränkt wird. Damit ist man praktisch gleich weit, wie wenn man gleich bei einem kommutativen Ring angefangen hätte. Und Digamma hat Recht. --Nomen4Omen (Diskussion) 08:28, 22. Jan. 2015 (CET)

Was ist R ⊗_Z R ?

Wie einen Abschnitt weiter oben festgestellt, findet sich in en:Tensor product of modules#Definition der Satz:

Strictly speaking, the ring used to form the tensor should be indicated: most modules can be considered as modules over several different rings or over the same ring with a different actions of the ring on the module elements. For example, it can be shown that R ⊗_R R and R ⊗_Z R are completely different from each other.

Klar ist R ⊗_R R = R. Aber was ist R ⊗_Z R ? --Nomen4Omen (Diskussion) 15:09, 23. Jan. 2015 (CET)

Etwas ziemlich kompliziertes. --Kamsa Hapnida (Diskussion) 19:34, 25. Jan. 2015 (CET)

Diese Arbeit "berechnet" die verwandte Gruppe R ⊗_Z R/Z.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 19:47, 25. Jan. 2015 (CET)

OK, dann ist es nicht so brauchbar. Einfacher könnte sein, den Unterschied zwischen C ⊗_C C = C und C ⊗_R C herauszuarbeiten. Als R-Modul ist C = R², also R² ⊗_R R² = R⁴. Oder? --Nomen4Omen (Diskussion) 09:08, 9. Feb. 2015 (CET)

Basis eines Tensorraums und dessen Dimensionszahl

Im direkt hier drüber liegenden Abschnitt [[#Was ist R ⊗_Z R ?]] aber auch im Abschnitt #Änderungsvorschlag weiter oben letzter Beitrag taucht die Frage der "Surjektivität" der Linearkombinationen aus »Basis«elementen auf. Mir scheint nämlich, dass die genannten »Basen« keine Basen sind, sondern nur Erzeugendensysteme – dass sie nämlich NICHT linear unabhängig sind.

Beispiel

Tensorprodukt $\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{2}$:
Die 2 Vektoren $e_{1}:=(1,0)$ und $e_{2}:=(0,1)$ machen eine Standardbasis im $\mathbb {R} ^{2}$ aus. Alle Texte sind so zu verstehen, dass das Tensorprodukt $\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{2}$ von den Linearkombinationen

$\sum _{i\in \{1,2\},\,j\in \{1,2\}}c_{ij}\;(e_{i}\otimes e_{j})$

mit $c_{ij}\in \mathbb {R}$ erzeugt wird. Es ist aber

$e_{1}\otimes e_{1}-e_{1}\otimes e_{2}-e_{2}\otimes e_{1}+e_{2}\otimes e_{2}=0.$

Die 4 Erzeugenden $e_{1}\otimes e_{1},e_{1}\otimes e_{2},e_{2}\otimes e_{1},e_{2}\otimes e_{2}$ sind also NICHT linear unabhängig, die Linearkombinationen sind nicht surjektiv und $\mathbb {R} ^{2}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} ^{2}$ hat über $\mathbb {R}$ NICHT die Dimension 2×2=4, sondern eine Dimension ≤ 3. Oder was ist da falsch? --Nomen4Omen (Diskussion) 18:03, 10. Feb. 2015 (CET)

Wieso sollte denn

$e_{1}\otimes e_{1}-e_{1}\otimes e_{2}-e_{2}\otimes e_{1}+e_{2}\otimes e_{2}=0$

gelten? -- HilberTraum (d, m) 18:28, 10. Feb. 2015 (CET)

Aha, es ist $e_{1}\otimes e_{1}-e_{1}\otimes e_{2}=e_{1}\otimes (e_{1}-e_{2})$ und $-e_{2}\otimes e_{1}+e_{2}\otimes e_{2}=-e_{2}\otimes (e_{1}-e_{2})$, also die Summe $(e_{1}-e_{2})\otimes (e_{1}-e_{2})\neq 0$. Ich habe also komponentenweise gerechnet, was falsch ist!
Danke! --Nomen4Omen (Diskussion) 18:54, 10. Feb. 2015 (CET)

Möglicher Fehler in Formel

In der 2. Zeile des Abschnitts Tensorprodukt#Allgemeine_Gestalt hat sich möglicherweise ein Fehler eingeschlichen, denn während am Anfang der Formel die ganze Zeit Plus/Minus verwendet werden wurde als letzter Operator nur Plus verwendet. Es ist durchaus möglich dass ich damit falsch liege, es sieht nur außerst merkwürdig aus, da später, also auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens, überall Plus/Minus verwendet wurden.(nicht signierter Beitrag von Rapus95 (Diskussion | Beiträge) 22:38, 16. Jun. 2015 (CEST))

Das stimmt schon. Wenn man die rechte Seite ausmultipliziert, dann bekommt der letzte Term das Vorzeichen plus/minus mal plus/minus. Setzt man voraus, dass die plus/minus-Zeichnen so gemeint sind, dass entweder immer das Plus- oder immer das Minuszeichen gewählt wird, dann erhält man in beiden Fällen das Vorzeichen plus.

Davon abgesehen machen die plus/minus-Zeichen das Gegenbeispiel unnötig kompliziert und schwer verständlich. Es genügt ja, einen Fall zu betrachten. Ich ersetze deswegen die plus/minus-Zeichen durch Pluszeichen. Gruß, --Digamma (Diskussion) 08:31, 17. Jun. 2015 (CEST)

Danke für die Rückmeldung, das mit der Signatur weiß ich jetzt auch. --Rapus95 (Diskussion) 23:06, 17. Jun. 2015 (CEST)

Defini- und Motivation

Jetzt (wie auch sonst gelegentlich), bin ich mal Oma, mathematische Oma diesmal. Der Abschnitt ‚Definition‘, gleich am Anfang von ‚Tensorprodukt von Vektorräumen‘, schmeckt mir überhaupt nicht.

Eine Definition, die von einem Koordinatensystem ausgeht, sagt selten etwas Inhaltliches, Begriffliches zum Thema, womit der motivierende Effekt von vorn herein nahe Null sein dürfte. Außerdem wirft sie stets sofort die Frage nach der Unabhängigkeit des Ergebnisses von dieser Struktur auf. Die Frage wird hier nicht einmal gestellt, geschweige denn beantwortet. Beim Überfliegen der Diskussionsbeiträge meine ich bemerkt zu haben, dass das so ähnlich schon mehrfach moniert wurde.

Die Beschränkung auf zwei Faktoren ist didaktisch bestimmt richtig, sollte aber erwähnt werden: „Der Übersichtlichkeit halber sprechen wir zunächst von 2 Faktoren (Vektorräumen), bei mehr Faktoren geht es i.W. genauso“. Dagegen ist mir unklar, warum gleich abzählbar-dimensionale Vektorräume genommen werden, was zu der dann notwendigen aber verumständlichenden Reduktion der Indexmenge auf eine endliche zwingt, und außerdem beim Produkt der Dimensionen eigentlich eine zusätzliche Erklärung verlangt, die dann allerdings fehlt. Dimensionen m und n wären doch gut für den Anfang. Anschließend könnte man ja sagen: „Für abzählbar-dimensionale Vektorräume geht es sinngemäß genauso.“

Als Alternative schlage ich mal vor (in der Hoffnung, das Beta-Tester Oma den Artikel bis dahin richtig gelesen hat):

==Motivation==

An den Begriff der bi- und multilinearen Abbildungen sei erinnert: Das sind Funktionen von 2 oder mehr Vektoren mit Werten, die selbst Vektoren sind, anders gesprochen Abbildungen vom kartesischen Produkt V_1 x V_2 x ... x V_k aus 2 oder mehr Vektorräumen in einen weiteren Vektorraum X, die in jeder Variablen linear sind.

Es lässt sich nun zeigen, dass es für, sagen wir zwei, Vektorräume V_1, V_2 einen Vektorraum X_0 gibt, so dass jede bilineare Abbildung

β: V_1 x V_2 → X faktorisiert (sich zerlegen lässt) in eine bilineare Abbildung β_0: V_1 x V_2 → X_0 gefolgt nur von einer linearen Abbildung λ: X_0 → X; also β=λ \circ β_0. Dieser Vektorraum X_0, der sich stets dazwischenschalten lässt, ist bis auf Isomorphie, d. i. bis auf eine reguläre lineare Abbildung eindeutig bestimmt und wird V_1 \otimes V_2, Tensorprodukt der beiden Vektorräume genannt. Seine Dimension ist das Produkt der Dimensionen der Faktoren. Ensprechend für k Vektorräume.

Man könnte daran denken, Leser mit etwas Kenntnis in Gruppentheorie an den strukturell sehr ähnlichen Homomorphiesatz zu erinnern, der sagt, dass jeder Gruppenhomomorphismus faktorisiert in einen ‚natürlichen Homomorphismus‘ auf die Faktorgruppe nach einem Normalteiler, und einen Isomorphismus.

Für die Beweise von Existenz und Eindeutigkeit sind Basen der Vektorräume dann natürlich richtig.

Da viele Omas wegen Kopfweh wohl nicht sehr viel weiter lesen, sollten vielleicht rechtzeitig ein paar nicht so abstrakte Dinge erwähnt werden: Zusatzstrukturen wie Skalarprodukt (Tensorprodukte von Hilberträumen sind in der Physik wichtig), Topologie und ähnliches.

Das wär's für den Moment. Bin gespannt auf Kommentare.-- Binse (Diskussion) 01:03, 9. Jan. 2018 (CET)

Erst mal danke, für dein Anliegen den Artikel verständlicher zu machen. Er kann es sicher brauchen. Der zweite Teil der Motivation ist aber meiner Meinung nach falsch: Mit den Bezeichnungen von dort ist die multilineare Abbildung $L_{0}$ für alle multilinearen Abbildungen $L$ die gleiche. Die ganze Information über $L$ steckt also, wenn man so will, in der linearen Abbildung $l$ und nicht in $L_{0}$ wie es im Moment dasteht. -- HilberTraum (d, m) 17:57, 18. Jan. 2018 (CET)

Hast leider recht, HilberTraum, das ist geschlampt wie ich inzwischen auch gemerkt habe. Danke für Deine schnelle Kritik. Das muss umgearbeitet werden, wenn es drin bleiben soll. Ich denke zwar, es bleibt bei L_0 als dem wesentlichen Faktor, nicht l, aber L kann auf dem Kartesischen Produkt gar nicht injektiv sein, weil ja L(0,w) und L(v,0) stets =0 sind: Mit Nullvektoren O folgt ja L(O,w)=L(0O,w)=0L(O,w)=O Tatsächlich ist, soweit ich erinnere, das Wesentliche am Tensorprodukt: 1. Nur soviel Elemente, wie wirklich benötigt, und 2. Keine Bildelemente sind gleich, außer, wenn die Axiome das erfordern. Ich nehm den Absatz erst mal raus und sehe, was ich draus mache.-- Binse (Diskussion) 23:43, 18. Jan. 2018 (CET)

Direktes Produkt von Abbildungen

Der genannte Abschnitt braucht mMn dringend eine Neuformulierung, die ich eben vornehme. Nicht nur ist die Bezeichnungsweise verständnishemmend. Wenn $V$ und $W,$ die voher als Faktoren auftraten, jetzt Urbild- und Bildraum bedeuten und wenn eine Funktion $f$ heißt, während gleichzeitig $f_{j}$ die Elemente einer Basis sind, die mit $f$ nichts zu tun hat, hat es der Leser unnötig schwer. Sachlich ist falsch, eine lineare Abbildung einfach auf der Menge aller $v\otimes w,\,\,v\in V,\,w\in W$ vorzugeben. Dafür müssen die Urbilder linear unabhängig sein. Die Lücke habe ich überbrückt und das Kroneckerprodukt rausgelassen. Schien mir zu aufwendig und überflüssig.-- Binse (Diskussion) 13:46, 22. Jan. 2018 (CET)

Die Neufassung gefällt mir sehr. Ich verstehe aber nicht, warum du die Überschrift geändert hast. --Digamma (Diskussion) 17:53, 22. Jan. 2018 (CET)

Die alte Überschrift stimmte einfach nicht. Es gibt kein ‚Tensorprodukt von linearen Abbildungen‘. Nur im Zusammenhang mit dem Tensorprodukt von Vektorräumen dehnt man die Produktkonstruktion auf Abbildungen aus, die auf den Faktor-Räumen definiert sind. Das habe ich versucht, mit der neuen Überschrift auszudrücken. Übrigens ist auch die Überschrift zu dieser Diskussion falsch. Da habe ich mich gewissermaßen ‚versprochen‘.-- Binse (Diskussion) 00:38, 23. Jan. 2018 (CET)

Hm, hallo, Binse, das Tensorprodukt ist ein kovarianter Bifunktor, im vorliegenden Artikel zumeist im sehr einfachen Fall der Kategorie der (endlichdimensionalen) Vektorräume vorgestellt. Es gibt durchaus auch das Tensorprodukt der zu dieser Kategorie gehörigen Morphismen, also der linearen Abbildungen. Du findest das bei N. Bourbaki, Algebra I, Paragraph 3.2: „Tensor Product of two linear Mappings“. Schön wäre es natürlich, wenn man das dann auch in diesen Zusammenhang stellt. Das ist bisher noch nicht so recht gelungen. --Filomusa (Diskussion) 14:54, 27. Jan. 2021 (CET)

Universaldefinition: Leichte Retuschen und Umformulierung des letzten Absatzes

Ich habe im Abschnitt zur „Universaldefinition“ einige Retuschen vorgenommen. Dabei habe ich die wichtige Tatsache hervorgehoben, dass jene Bilinearform $\phi$ fest zum Tensorprodukt gehört: Sie ist Bestandteil dieses „initialen Objektes“ und darf nicht als auswechselbares Accessoire erscheinen. Das Tensorprodukt besteht also in Wahrheit nicht aus dem bloßen Bildbereich $V\otimes W$, sondern es aus dem Pärchen $(\phi ,V\otimes W)$, d. h. aus der bilinearen Abbildung $\phi :V\times W\to V\otimes W$ in den Tensorraum $V\otimes W$. Mit anderen Worten: Wenn von dem Tensorprodukt $V\otimes W$ die Rede sein soll, so muss zugleich klar sein, welches denn die bilineare Abbildung sein soll, die einem Pärchen $(v,w)$ das mit $v\otimes w$ – einen elementaren Tensor in $V\otimes W$ – zuordnet.

Ferner habe ich den ersten wichtigen Gedanken aus dem Abschnitt Natürliche Homomorphismen in diesen Abschnitt zur Universaldefinition verschoben, denn er ist lediglich eine – wenngleich wichtige – Umformulierung der Universaldefinition: Er ist die Universaldefinition. Daher sollte er in diesen Abschnitt Erwähnung finden. Dabei habe ich in der Erläuterung der Isomorphie $L(V\otimes W,X)\to B(V,W;X)$ den Zusammenhang mit der universellen Eigenschaft stärker hervorgehoben.

Wünschenswert wäre noch ein Bild zur Illustration der universellen Eigenschaft, ähnlich wie bereits im Artikel Tensor.

Im Abschnitt „Universaldefinition“ steht derzeit als letzter Absatz:

Um nun tatsächlich Vektorräume anzugeben, die diese Definition erfüllen, gibt es zwei übliche Wege: einmal im endlichdimensionalen Fall über den Raum der Bilinearformen auf den Dualräumen, wie im Folgenden angegeben, und zum anderen durch die Konstruktion eines einfach anzugebenden, aber zu großen Raumes, von dem ein Quotientenraum nach einem geeigneten Unterraum die Eigenschaften des Tensorproduktes erhält. Die letztgenannte Konstruktion wird im Artikel Tensorprodukt von Moduln ausgeführt.

Ich habe folgende Präzisierung vorgenommen:

Wenn es also einen Vektorraum mit der universellen Eigenschaft gibt, so ist er – eben aufgrund der universellen Eigenschaft – nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Allerdings lässt die Universaldefinition die Frage offen, ob es überhaupt einen Vektorraum mit diesen Eigenschaften gibt. Um also Existenz eines solchen Vektorraumes sicherzustellen, muss entweder ein solcher Vektorraum konstruiert werden oder aber „zufällig“ ein solcher Vektorraum „gefunden“ werden. Einen Existenzbeweis durch Konstruktion führt (in einem allgemeineren Falle) der Artikel Tensorprodukt von Moduln aus: Dazu wird zunächst ein zu großer Vektorraum konstruiert, der anschließend nach einem Unterraum fakturiert wird, so dass der Quotientenraum eben die gewünschten Eigenschaften hat. Der Abschnitt Natürliche Homomorphismen bzw. Tensorprodukt und Bilinearformen hingegen benennt einen Vektorraum, von dem sich (mit Hilfe der universellen Eigenschaft) recht leicht erkennen lässt, dass er die gewünschte universelle Eigenschaft des Tensorraums $V\otimes W$ hat. Dieses Vorgehen gelingt allerdings nur für den Fall, dass $V$ oder $W$ endliche Dimension über ihrem Grundkörper $K$ haben, weil Eigenschaften des Dualraumes genutzt werden, die eben diese Voraussetzungen benötigen. --Filomusa (Diskussion) 19:25, 27. Jan. 2021 (CET)

Inzwischen habe ich diesen wesentlichen Abschnitt noch etwas weiter bearbeitet, um auch Fragen, die oben in der hiesigen Diskussion gestellt wurden aufzugreifen. --Filomusa (Diskussion) 12:09, 29. Jan. 2021 (CET)

Zum Abschnitt "Natürliche Homomorphismen"

Auch in diesem Abschnitt habe ich einige Dinge ergänzt und präzisiert. In einem eigenen Unterabschnitt "Homomorphismen als Tensoren" habe ich einmal die Zerlegung von Homomorphismen in Elementartensoren explizit nachvollzogen und demonstriert, wie sich das im Matrizenkalkül (als wohl vertrautes Faktum) wiederfindet. --Filomusa (Diskussion) 12:05, 29. Jan. 2021 (CET)

Überarbeitung des gesamten Artikels

Ich habe begonnen, den gesamten Artikel zu überarbeiten, um einige Unstimmigkeiten in den Bezeichnungsweisen zu beseitigen, aber auch einige Irrtümer zu beseitigen und einige Gedankengänge klarer herauszustellen. Insgesamt jedoch habe ich den Aufbau belassen.

Der Abschnitt „Tensorprodukt und Bilinearformen“ werde ich noch überarbeiten: Er enthält redundantes, und darüber hinaus fragwürdige Feststellungen. Das möchte ich gerne verbessern bzw. klarstellen.

Hinzugenommen habe ich den Abschnitt "Lineare Abbildungen und (r,s)-Tensoren", der bisher in einem Kommentar versteckt war. Ich werde ihn noch einmal genauer anschauen, aber er scheint mir im Grundsatz korrekt zu sein und eine nützliche Zusammenfassung zu sein, auch wenn sich damit eine leichte Redundanz zum Artikel Tensorprodukt ergibt. Gibt es hierzu Widerspruch? Alles nachfolgende habe ich noch nicht durchgesehen. --Filomusa (Diskussion) 18:16, 29. Jan. 2021 (CET)

Ich hoffe, dass der Artikel in seiner jetzigen Überarbeitung auf manche der in der obigen Diskussion früher einmal ausgeworfene Fragen eine erhellende Antwort gibt. Insbesondere ist der Abschnitt #Universaldefinition wesentlich ergänzt worden, um die Bedeutung dieser Herangehensweise hervorzuheben und ihre Auswirkungen deutlich zu machen: Es geht nicht um eine Produkt von Räumen sondern auf Räumen (in einen weiteren) Raum. Das Tensorprodukt handelt also nicht von Vektorräumen, sondern von bilinearen Abbildungen.

Ich beabsichtige, noch einige weitere Dinge zu ergänzen. Mir schwebt eine weitere Motivation vor, ein Beispiel (möglichst schon zu Beginn), einige weitere Ausführungen zum Tensorprodukt von Moduln, ohne dabei den diesbezüglichen Artikel zu doppeln. [Einige Tage später:] Einen Vorschlag habe ich jetzt hinterlassen. --Filomusa (Diskussion) 15:38, 1. Feb. 2021 (CET)

Ganz zu Beginn des Artikels gibt es einen Hinweis zur Verlinkung weiterer inhaltlich interessanter Artikel. Da heißt es: „Für das Tensorprodukt von Tensoren (Tensormultiplikation) siehe Tensor.“ Dieser Satz ist nicht korrekt -- wie überhaupt die Abgrenzung der beiden Artikel Tensor und Tensorprodukt in meinen Augen ein unglückliches Konstrukt ist. Tatsache ist, dass auch und gerade in diesem Artikel die Tensormultiplikation behandelt wird, weil sie die zugrundeliegende multi-/bilineare Abbildung darstellt. Das ist ja gerade der Clou. Diesen Satz würde ich gerne ändern, z.B. in:

Für weitere Details zum Tensorprodukt, für Beispiele und Notationen aus der Physik siehe Tensor.

Gibt es Widerspruch? --Filomusa (Diskussion) 15:38, 1. Feb. 2021 (CET)

Einleitende Definition ist geschärft, um Nähe zum direkten Koprodukt besser sichtbar zu machen aber zugleich auch die Abgrenzung sichtbar werden zu lassen. Vertauschbarkeit mit dem Koprodukt eingefügt. Beispiel aus der Zahlentheorie eingefügt. Einige Formatierungs- und Syntax-Fehler beseitigt, --Filomusa (Diskussion) 17:00, 2. Feb. 2021 (CET)

Frage: Weiß jemand, weshalb der Abschnitt über das Tensorprodukt topologischer Vektorräume herauskommentiert wurde? --Filomusa (Diskussion) 14:45, 4. Feb. 2021 (CET)

@Filomusa: Ich kann deine Frage nicht beantworten. Aber ich wollte sage: den jetzigen Artikel halte ich für nicht gut. Weshalb muss ich einen ganzen Roman lesen um das Tensorprodukt zu verstehen...? Ich bin kein Algebraiker und das ist nicht mein Fachgebiet. Aber eine kurze Definition mit guten Kommentaren würde vielen Leser mehr helfen als so vieler Palaver. Wenn man etwas versteht, kann man es auch kurz erklären meiner Meinung nach. Wenn ich Zeit habe, schreibe ich sonst auch die Dinge um. --Tensorproduct (Diskussion) 03:26, 27. Apr. 2021 (CEST)

@Tensorproduct:. Ich weiß, dass der Artikel jetzt sehr viel enthält, insofern ist "Roman" schon richtig. Er blickt ja auch über den Tellerrand, was er auch schon vorher tat, aber stellenweise fehlerhaft. Und ja, auch das stimmt: Wer's verstanden hat, dem reicht eine kurze Definition: Wer die sucht, kann der Einleitung entnehmen, wo sie zu finden ist: In der „Universaldefinition“ (Definition durch universelle Eigenschaft) an dieser Stelle: Tensorprodukt#Definition_durch_universelle_Eigenschaft. Du musst also nicht das "Palaver" lesen, sondern kannst als Mathematiker gleich zur Definition für den allgemeinen Fall springen.

Ich will erläutern, weshalb der Artikel so ist, wie er zurzeit ist: Ich habe der Diskussion hier entnehmen können, welche Fragen manche Leser an diesen Begriff haben, und habe mich von dem Gedanken leiten lassen, diese Fragen für diese Leser verständlich zu klären. Denn auf das Tensorprodukt gibt es Perspektiven aus den verschiedensten Richtungen (Koordinatengebunden, koordinatenfrei, kategorientheoretisch, physikalisch etc.pp.) Daher ist es wünschenswert verständlich zu machen, wie all diese Perspektiven zusammen passen. Das lässt sich nicht in einer kurzen Definition vermitteln. Manche Leser haben sich eine Motivation gewünscht. Mir ist klar, dass dies nun kein knapper Text für Mathematiker ist ... :-)

Zwischenüberschriften ("Notabene, Anmerkung, In Parenthese" etc.) sollen deutlich machen, wo eilige Leser Passagen überspringen können.

Den Aufbau habe ich im Prinzip übernommen, auch wenn er offenbar eher pädagogisch denn mathematisch motiviert war: Die Definition durch basisbasierte Konstruktion geht der basenfreien Definition durch die universelle Eigenschaft voraus. Dabei wird sogar noch zur universellen Eigenschaft hingeführt, so dass die nachfolgende „Universaldefinition“ auch bei erster Begegnung leicht verständlich wird.

Wenn ich bei meinen Bemühungen übers Ziel hinausgeschossen bin, so mag das sein. :-) Bring dich gerne ein, so sieht es Wikipedia vor und heißt es ja jedesmal unten fett gedruckt. – Abseits davon: Schuberts Große ist natürlich ganz groß! --Filomusa (Diskussion) 18:11, 27. Apr. 2021 (CEST)

Viele Anregungen zum Abschnitt: Tensorprodukt von Moduln. Beispiel aus der Zahlentheorie

Ich habe nicht die größte Ahnung, aber es scheint mir so als wäre im besagten Abschnitt ein Tippfehler. Es geht ja darum, dass der ggT das Tensorprodukt $\mathbb{Z} / (m_1) \otimes \mathbb{Z}/(m_2)$ annuliert. Im Abschnitt steht dann aber $d \cdot (\mathbb{Z} / (m_1) \otimes \mathbb{Z}/(m_1) = \{ 0 \} .

Ist das ein Tippfehler oder welcher Gedankengang liegt dem zu Grunde? --95.91.230.63 13:16, 21. Aug. 2023 (CEST)

Ja, ganz recht, das muss ein Tippfehler gewesen sein. Im zweiten Faktor müsste das "m" mit dem Index "2" indiziert sein. Es ist in dem Beispiel die Rede von zwei ganzen Zahlen und dem Tensorprodukt ihrer beiden zugehörigen Restklassenmoduln (über $\mathbb {Z}$) miteinander. --Filomusa (Diskussion) 16:11, 26. Sep. 2023 (CEST)

Obwohl die Aussage des Abschnitts im Kern wohl korrekt ist, enthält er doch viele Verbesserungsmöglichkeiten:

1. Kann ich im Abschnitt keinerlei Beleg für seine Aussage erkennen.
2. Wir schreiben in der dt WP gerne $\mathrm {i}$ für die imaginäre Einheit, um Verwexlungen mit einem Index $i$ (der im Abschnitt übrigens auch vorkommt) zu vermeiden. Wenn ich recht sehe, kommt die imaginäre Einheit im Artikel sonst nicht vor.
3. Sind Abkürzungen wie ggT in Überschriften nicht sehr beliebt.
4. Mehrere Male kommt das Tensorprodukt

$\mathbb {Z} /(m_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(m_{\color {red}{1}})$ vor,

dann auch wieder mal $\mathbb {Z} /(m_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(m_{2})$.

Soll das nun dasselbe sein oder doch nicht ?? (Das ist ziemlich genau die Frage von 95.91.230.63 oben.)

Wie oben schon erwähnt: Es ist hier von zwei ganzen Zahlen $m_{1}$ und $m_{2}$ und dem Tensorprodukt ihrer beiden zugehörigen Restklassenmoduln die Rede. Es soll also nicht derselbe Index sein, sondern beide Indizes, 1 und 2, sollen vorkommen. Zu (1): Der Beleg (Beweis) war in dem Abschnitt notiert, wenn auch mit bedauerlichen Tippfehlern. Es steht auch in vielen Algebra-Büchern, etwa Serge Lang. – Zu (2) und (3): Das habe ich inzwischen auch gelernt. :-) Ich habe es in meiner Einfügung (siehe unten) entsprechend geändert. – Zu (4): Wie gesagt: Das war leider ein Copy&Paste-Fehler. Tut mir leid. Es ergibt ja auch nur Sinn mit zwei verschiedenen Indizes, weil ja sonst eine Aussage nur über $m_{1}$ getroffen würde, obgleich in der Voraussetzung eine zweite Zahl $m_{2}$ eine Rolle spielt (nämlich der größte Teiler von beiden). Das habt Ihr zu recht bemängelt. --Filomusa (Diskussion) 16:11, 26. Sep. 2023 (CEST)

Der Abschnitt wurde am 2. Februar 2021 um 15:57 Uhr durch @Benutzer:Filomusa in einer ersten Version eingebracht und seither, obwohl nicht unwesentlich erweitert, ohne genaues Lesen stets durchgewunken. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:40, 21. Aug. 2023 (CEST)

Sorry, dass ich den Fehler erst jetzt gesehen habe: @Benutzer:Filomusa wendet das Distributivgesetz (2) falsch an. Statt seinem ${\begin{matrix}(n_{1}m_{1}+n_{2}m_{2})\cdot (x_{1}\otimes x_{2})\\=(n_{1}m_{1})\cdot (x_{1}\otimes x_{2})+(n_{2}m_{2})\cdot (x_{1}\otimes x_{2})\end{matrix}}$
gilt
${\begin{matrix}(n_{1}m_{1}+n_{2}m_{2})\cdot (x_{1}\otimes x_{2})\\=(n_{1}m_{1}+n_{2}m_{2})\cdot (x_{1}\otimes x_{2})+(n_{1}m_{1}+n_{2}m_{2})\cdot (x_{1}\otimes x_{2}).\end{matrix}}$
Damit ist seine Aussage auch im Kern nicht korrekt, nach welcher Richtigstellung seine ganze Argumentation zusammenbricht.
Deshalb Löschung des ganzen Abschnitts. --Nomen4Omen (Diskussion) 11:13, 26. Aug. 2023 (CEST)

Da möchte ich klar widersprechen. Die erste Gleichung stimmt und ist nichts anderes als das (skalare) Distributivgesetz eines Moduls über $\mathbb {Z}$, das heißt: $(r_{1}+r_{2})\cdot X=r_{1}\cdot X+r_{2}\cdot X$ mit $r_{1}=n_{1}m_{1}$ und $r_{2}=n_{2}m_{2}$ sowie $X=x_{1}\otimes x_{2}\in \mathbb {Z} /(m_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(m_{2})$. (Das Tensorprodukt von Moduln ist ja ein Modul.) – Die zweite Gleichung hingegen, von der @Nomen4Omen meint, sie sei allgemein richtig, ist im Allgemeinen falsch, also nicht ableitbar aus dem Distributivgesetz. Wenn wir den gesamten Ausdruck auf ihrer linken Seite mit $A$ bezeichnen, besagt diese Gleichung ja lediglich $A=A+A$, nicht wahr? Also $A=2\cdot A$. Dafür gibt es keine allgemeingültige Begründung. – Kleine Ironie der ganzen Geschichte am Rande: Bei teilerfremden $m_{1},m_{2}$ gilt tatsächlich $A=2A$, weil ja das gesamte Tensorprodukt kollabiert, also $A=0$ gilt und auf beiden Seiten Null steht! :-) Aber das ist ja gerade die Folge der vorherigen Überlegung. – Rückfragen? Gerne. –-- Filomusa (Diskussion) 16:11, 26. Sep. 2023 (CEST)

Ich habe deshalb den Abschnitt jetzt mit korrigierten Indizes und aufrechter imginärer Einheit $\mathrm {i}$ sowie veränderter Zwischenüberschrift wieder eingefügt. Danke für den Hinweis auf die Tippfehler! --Filomusa (Diskussion) 16:49, 26. Sep. 2023 (CEST)

Ferner habe ich ihn jetzt noch an einer besseren Stelle im ganzen Kontext eingefügt. --Filomusa (Diskussion) 14:07, 27. Sep. 2023 (CEST)

Zur jetzigen Gliederung

@Benutzer:Dorschleber hat offenbar am 6. und 7. Juli 2023 erhebliche Kürzungen und Änderungen an der Gliederung vorgenommen, siehe die Versionsgeschichte. Ich kann (und will) derzeit nicht nachverfolgen, worum es ihm dabei ging und was er in Einzelnen geändert hat. Aber soviel sei gesagt: Die jetzige Gliederung lässt nicht mehr erkennen, an welcher Stelle es von einer allgemeinen Einleitung ("Motivation") übergeht zu handfesten Definitionen. Auch können weder die eilige Leserin noch der eilige Leser rasch auffinden, was sie suchen: Das nämlich war der Sinn der einleitenden Absätze über die Gliederung ganz zu Anfang, die mir seinerzeit sinnvoll erschienen, weil es sich ja um einen sehr umfangreichen Artikel handelt. Man kann zu Recht einwenden, dass der Artikel zu umfangreich ist, denn natürlich kann man (aus mathematischer Sicht) das Tensorprodukt auch in zwei Absätzen abhandeln (kategoriell mit universeller Eigenschaft). Damit wird es aber vielen nicht verständlich, die sich von einem solchen Artikel erhoffen, dass er Licht in all die verschiedenen Beschreibungsweisen bringt. Es haben ja nicht nur Algebraiker Interesse am Tensorprodukt (wie auch die obige Diskussion vermuten lässt). Auch vor meiner Bearbeitung gab der Artikel eine Motivation (nämlich die noch immer enthaltene quantenmechanische, die aber nur eine physikalische Perspektive bietet) und versuchte verschiedene Beschreibungsweisen. Diese Herangehensweise hatte ich beibehalten und den Artikel und seine Konzeption also nicht gänzlich umgestalten, dabei aber doch die enthaltenen Fehler beseitigen wollen, insbesondere die Behauptung, dass es keine mehrfachen Tensorprodukte (Multilinearität, $N\in \mathbb {N}$ beliebig) gebe, sondern nur bilineare ($N=2$).). Dies zur Erläuterung meiner Motivation. --Filomusa (Diskussion) 14:00, 28. Sep. 2023 (CEST)

Nach einiger Überlegung habe ich mich daher nun doch entschlossen, eine Gliederung wiederherzustellen, die dem Inhalt gerecht wird. Bei Widerspruch können wir gerne darüber diskutieren. --Filomusa (Diskussion) 14:48, 7. Okt. 2023 (CEST)