Diskussion:Tracy-Widom-Verteilung

Definition als Fredholm Determinante

Der Grund fuer das Zuruecksetzen war ja "Die Tracy-Widom-Verteilung ist definiert als die Fredholm-Determinante" Das steht jetzt so aber NICHT im aktuellen Artikel, sondern

Die Tracy–Widom-Verteilung ist der Grenzwert $F_{2}(t):=\lim _{n\to \infty }P()$

und das "aequivalent ueber" bezieht sich eher auf die Fredholm Determinante und weniger auf die Tracy-Widom Verteilung. Meine Aenderungen sollten nur die Formeln dem Text drumherum anpassen. --2003:CC:F1B:9874:2D74:2B25:52BE:47A5 18:59, 6. Dez. 2022 (CET)

Ok, dann verschiebe ich aber die Notation $F_{2}(t)$, so wies zu Beginn auch war, weil die Tracy-Widom-Verteilung ist natürlich in expliziter Form durch die Fredholm-Determinante definiert, allerdings sollte der Zusammenhang, dass es sich um eine bestimmte Wahrscheinlichkeit handelt, auch in derselben Zeile stehen. Der Ausdruck $F_{2}(t)$ ist hingegen nur Notation. PS: so wie's in der englischen Wikipedia definiert wird, ist es natürlich genauso nichtssagend, wie wenn ich die Normalverteilung als $P(X\leq t)$ definiere.----Tensorproduct 19:53, 6. Dez. 2022 (CET)

Ist nicht wirklich ein Herzensprojekt von mir, aber wuerde der folgende "Roh-Entwurf" nicht besser zum urspruenglichen Argument (Determinante und so) passen? Nebenbei, wenn das Ganze ueber die Determinante laeuft, koennte der Begriff ruhig auftauchen.

ENTWURF:

TW-Verteilung ist als Fredholm-Determinante definiert

$F_{2}(t)=\det(1-A_{t})$

wobei der (Spurklasse) Integral-Operator $A_{t}$ durch den Airy-Kern

${\rm {{K}_{\text{Airy}}:=}}$

gegeben ist. Die Fredholm-Determinante hier ist (oder LINK Fredholm-Determinante)

$\det(1-A_{t})=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}()$

oder alternativ ueber die aeussere Potenz

$\det(1-A_{t})=1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\rm {{tr}()}}$

Damit gilt folgende Formel (Resultat, Satz, was auch immer)

$\lim _{n\to \infty }P{\biggl (}n^{2/3}()\leq t{\biggr )}=F_{2}(t)$

fuer den groessten Eigenwert $\lambda _{\text{max}}$ des Gauss'schen unitaeren Ensembles. --2003:CC:F1B:9859:6425:E559:5DDB:F986 14:59, 7. Dez. 2022 (CET)

1) Weshalb möchtest du unbedingt die $F_{2}(t)$ Bezeichnung in der mathematischen Gleichung? Die Notation $F(t)$ ist ja nur eine geläufige Abkürzung für die Verteilungsfunktion $F(t)=P(\dots \leq t)$, allerdings ist es jedoch schon offensichtlich im Ausdruck $P(...\leq t)$, dass es sich um eine Verteilungsfunktion handelt. Der Ausdruck $P(...\leq t)$ sagt aber viel mehr aus als $F(t)$. Man sieht direkt, dass es sich um eine Wahrscheinlichkeit für einen skalierten Eigenwert handelt (und ein Grenzwertsatz ist).

2) Eigentlich handelt es sich hier ja um einen Grenzwertsatz (Tracy-Widom law), deshalb halte ich

$\lim _{n\to \infty }P(...\leq t)=1+\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\int _{t}^{\infty }\dots$

für die verständlichste Definition. In dieser Form wird es auch im Buch von Anderson-Guionnet-Zeitouni aufgelistet.

3) Der Ausdruck $\operatorname {Det} (1-A_{t})$ verstehe ich nicht ganz, m.E. sollte es $\operatorname {Det} (1-\chi _{(-\infty ,t]}A)$ sein, allerdings stellt sich hier auch wieder die Frage, was soll das genau heissen? Es gibt unterschiedliche Operatordeterminanten und letzlich ist es auch nur eine Abkürzung für

$1+\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\int _{t}^{\infty }\dots ,$

welches ich persönlich aussagekräftiger finde. Da würde es für micht mehr Sinn machen, unten zu erwähnen, dass die rechte Seite auch mit $\operatorname {Det} (1-\chi _{(-\infty ,t]}A)$ abgekürzt wird. Die Aussage $F_{2}(t)=\operatorname {Det} (1-\chi _{(-\infty ,t]}A)$ ist zwar schön kurz, aber ist halt im Endeffekt einfach eine Abkürzung für die jetzige Aussage. --Tensorproduct 15:56, 7. Dez. 2022 (CET)

vielleicht reden wir ja aneinander vorbei.

ad 1) Ich beziehe mich nur auf Deine Begruendung beim Zuruecksetzen: "Die TW-Verteilung ist als Fredholm Determinante definiert" Wie das Dingens dann heisst, ist mir egal.

ad 2) Genau, das ist ein *Satz*, der alles andere als offensichtlich ist, und ich bin nur der guten alten Mathe-Tradition gefolgt: Definition, Satz, Beweis (wie ich das in meinen eigenen Vorlesungsskripten auch mache). Mehr nicht. Und irgendwie muss man TW ja bezeichnen, damit man diesen Satz formulieren kann.

ad 3) Ja, Konventionssache. $A_{t}$ war jetzt einfach kurz fuer $\chi _{[t,\infty )}A$.

Klar, fuer Spurklasse Operatoren gibt es verschiedene Definition von $\det(1-A)$, die sind aber alle (also die ich kenne) aequivalent. --2003:CC:F1B:9859:6425:E559:5DDB:F986 16:26, 7. Dez. 2022 (CET)

Was hälst du davon, wenn an erster Stelle

$F_{2}(t):=1+\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\int _{t}^{\infty }\dots$

steht, da dass ja die Form ist, die man in der Random Matrix Theory antrifft und auch die Form ist, die man mathematisch herleitet, wenn man von der Wahrscheinlichkeitsdichte beginnt. Dann würde ich als nächstes schreiben, dass die rechte Seite auch über die äussere Potenz dargestellt werden kann (was ja auch nicht offensichtlich ist und ich sehe auch nicht, wie man dass direkt von der Dichte herleiten sollte, ohne den Weg über die klassische Integral-Darstellung zu haben). Dann als letztes kann man noch das Tracy-Widom-Gesetz für das GUE hinschreiben

$\lim _{n\to \infty }P(\dots \leq t)=F_{2}(t)$

So wäre die Tracy-Widom-Verteilung einfach als Verteilung definiert, ohne dass das GUE eingeführt wird. Zu 3) Die "Fuglede-Kadison-Determinante" ist z. B. eine Operatordeterminante, die nicht gleich wie die Fredholm-Determinant ist. --Tensorproduct 17:02, 7. Dez. 2022 (CET)

Genau das ist es, was ich immer wollte :-)

ad 3) wie gesagt, alle, die ich kenne. Wieder was gelernt. --2003:CC:F1B:9859:6425:E559:5DDB:F986 19:06, 7. Dez. 2022 (CET)

Dann habe ich dich wohl falsch verstanden. Ich dachte wegen deinem ersten Edit, dass du es einfach so wie im englischen Artikel haben wolltest (mit der nicht-expliziten Definition von TW und aufs GUE spezifiziert). Danke für den Input. --Tensorproduct 22:25, 16. Dez. 2022 (CET)