Diskussion:Tschebyscheffsche Ungleichung

Alte Diskussionen

Ich habe mal wieder etwas anderes: Für zwei gleich geordnete Folgen <a_i>, <b_i> gilt:

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\geq {\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}\right)$

Zumindest wird bei der IMO (und den entsprechenden nationalen Wettbewerben) das als "Tschebyscheff Ungleichung" verstanden. Ich muss aber zugeben, außer ÖMO/IMO habe ich nicht so viel mathematische Erfahrung (ich muss jetzt ein Jahr Zivildienst leisten und kann dann erst anfangen zu studieren) --Caramdir 11:18, 16. Sep 2003 (CEST)

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Ich habe nur den Artikel aus der englischen Wikipedia übersetzt, weil er in der "Liste der Ungleichungen" noch fehlte. Es ist durchaus möglich, dass Tschyscheff-Ungleichung im deutschen/englischen verschiedene Sachen kennzeichnet. Vielleciht findest Du ja heraus, wie meine Version im Deutschen bezeichnet wird und verschiebst den Artikel? --hh 21:14, 16. Sep 2003 (CEST)

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Ich habe ein bißchen recherchiert und gefunden, dass beide Varianten in der deutschen Literatur als "Tschebyscheff-Ungleichung" oder "Tschebyscheffsche Ungleichung" bezeichnet werden. Ich nehme deine Variante also mit auf. --hh 09:56, 17. Sep 2003 (CEST)

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Zitat: "Aus der Tschebyscheff-Ungleichung kann man dann ableiten, dass mindestens 75% der Wikipedia-Artikel eine Länge zwischen 600 and 1400 Zeichen haben (k = 2)." ...müsste es nicht heißen "k=400"? ...ansonsten würde auch das Ergebnis "75 %" nicht stimmen! --Antragon 18:33, 26. Apr 2004 (CEST)

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Die Varianz müsste 40000 sein und nicht 400. Weil 200^2 sind niemals 400, oder sehe ich da was falsch? bzuuvw 14:50, 23. März 2005 (CEST)

Ja, ich habe es korrigiert. --NeoUrfahraner 02:38, 24. Mär 2005 (CET)

Der Mann heißt doch Tschebyschev, mit e, nicht?

So steht er im Georgii, zusammen mit der kyrillischen Version und der tschechischen Transkription, und sie alle sprechen sich mit e vor dem v, nicht mit o. --Richardigel 18:24, 18. Feb 2006 (CET)

Du sprichst auch Gorbatchev? Nein, ich denke, es ist richtig so. --ChristianErtl 22:27, 18. Feb 2006 (CET)

Siehe auch Diskussion:Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow. --ChristianErtl 22:29, 18. Feb 2006 (CET)

Andere Version der Tschebyschow-Ungleichung

Es gibt eine Version der Tschebyschow-Ungleichung, in der nicht die Abweichung der Anzahl der Treffer des Zufallsexperiments, sondern die Differenz zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit betrachtet wird. Sie gilt nur für binomialverteilte Zufallsgrößen. Wäre nicht schlecht, wenn irgendjemand sie noch ergänzen würde. --Daniel Mex 19:44, 5. Mai 2006 (CEST)

Hast Du genauere Information dazu? So, wie Du es beschreibst, klingt es nicht nach einer neuen "Version", sondern nach einer simplen Anwendung auf die Zufallsvariable "relative Häufigkeit". Das könnte bei den Beispielen hineinpassen. --NeoUrfahraner 05:56, 6. Mai 2006 (CEST)

Mein Problem war, da ich erst seit ungefähr einer Woche bei Wikipedia mitmache, dass ich den Syntax noch nicht ganz so gut beherrsche. Ich habe es aber mittlerweile hingekriegt, die Ungleichung, die ich meine, einzugeben. Sie gilt wie gesagt nur für Bernoulli-Ketten (Ein Zufallsexperiment wird n-mal durchgeführt und es ergeben sich k Treffer):

$\Pr \left[\left|{\frac {k}{n}}-p\right|\geq \epsilon \right]\leq {\frac {p(1-p)}{\epsilon ^{2}n}}\leq {\frac {1}{4\epsilon ^{2}n}}$

Ich denke schon, dass es sich anbietet, sie noch irgendwie in den Artikel einzubauen. Ob sie bei der Definition, bei den Varianten oder bei den Beispielen aufgeführt sein sollte, ist wohl eine Frage der Sichtweise.--Daniel Mex 14:23, 6. Mai 2006 (CEST)

Ich habe es als Beispiel dazu gegeben. Zufrieden? --NeoUrfahraner 10:27, 11. Mai 2006 (CEST)

Ich bin voll und ganz zufrieden. Übrigens habe ich beim Blättern in meinen Unterlagen festgestellt, dass wir im Mathe-Leistungskurs die zweite Abschätzung anders begründet haben: Wir haben $p(1-p)\;$ als Funktion aufgefasst und den Scheitel der nach unten geöffneten Normalparabel, die sich als Graph ergibt, bestimmt. Ich find's interessant, dass es da auch noch Abkürzungen gibt.--Daniel Mex 20:13, 12. Mai 2006 (CEST)

Es freut micht, dass Du zufrieden bist; das Beispiel passt meiner Meinung nach sehr gut in den Artikel. Zu $p(1-p)\;$: Du kannst die Ungleichung auch einfach aus $\left(p-{\frac {1}{2}}\right)^{2}\geq 0$ ableiten. Das ist das Schöne an der Mathematik, dass es oft viele verschiedene Zugänge gibt; welcher am zweckmäßgisten ist, hängt vom zur Verfügung stehenden Vorwissen ab und ist letzlich oft auch eine Geschmacksfrage. --NeoUrfahraner 09:31, 15. Mai 2006 (CEST)

Im Artikel sind momentan diese beiden Varianten der Ungleichung von Tschebyschow erwähnt:

$\operatorname {P} \left[\left|X-\mu \right|\geq k\right]\leq {\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}}}.$

$\operatorname {P} \left[\left|X-\mu \right|<k\right]\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}}}.$

Ich kenne noch folgende:

$\operatorname {P} \left[\left|X-\mu \right|\leq k\right]>1-{\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}}}.$

$\operatorname {P} \left[\left|X-\mu \right|>k\right]<{\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}}}.$

Sollten diese beiden auch erwähnt werden? --MartinThoma 10:16, 15. Mai 2010 (CEST)

Beweis

Es kommt häufig vor, dass ich einen mathematischen Satz in Google eingebe, weil ich seinen Beweis suche! Zu mathematischen Sätzen gehört m.M.n. ein Beweis und ich würde mich freuen, wenn wenigstens ein Link zu einem solchen hinzugefügt werden würde. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 217.227.35.217 (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner 09:43, 18. Jan. 2008 (CET))

Beweise findest Du derzeit auf en:Chebyshev's inequality sowie in Markow-Ungleichung. Grundsätzlich wurde einmal festgelegt: "Dies ist eine Enzyklopädie, keine Sammlung mathematischer Texte, es muss also nicht jede Aussage bewiesen werden. Generell genügt es, die wesentliche Idee eines Beweises zu skizzieren. Höchstens sehr kurze Beweise können vollständig dargestellt werden. Für vollständige Beweise gibt es das Beweisarchiv in Wikibooks" (Portal:Mathematik/Mitarbeit#Beweise). Da im konkreten Fall der Beweis sehr kurz ist, bin ich mir im Moment nicht sicher, ob er besser hier oder in den Wikibooks aufgehoben ist. --NeoUrfahraner 10:10, 18. Jan. 2008 (CET)

Ich habe jetzt beim Beweis ausdrücklich auf die Markow-Ungleichung verwiesen; das sollt IMHO in diesem Zusammenhang ausreichend sein. --NeoUrfahraner 10:20, 21. Jan. 2008 (CET)

Beispiel 1

Wie wird das berechnet? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 192.35.17.29 (Diskussion • Beiträge) 12:09, 24. Jul. 2008)

Zu Beispiel 1- Fehler

Wenn man bei Excel die Fläche berechnet mit dem Befehl =NORMVERT erfällt man folgendes Ergebnis:

$=NORMVERT(1000;1000;200;1)-NORMVERT(600;1000;200;1)=0{,}477249868$

$=NORMVERT(1400;1000;200;1)-NORMVERT(1000;1000;200;1)=0{,}477249868$

Zusammen sind das rund 95% und nicht 75% (Der vorstehende nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 79.195.234.108 (Diskussion • Beiträge) 11:12, 23. Nov. 2008)

Mal für einen doofen wie mich: Was ist NORMVERT und was hat es mit dem betrachteten Abschnitt zu tun? --P. Birken 20:32, 26. Nov. 2008 (CET)

Aus der Open-Office Hilfe:

NORMVERT(Zahl; MW; STD; K)

Zahl ist der Wert der Verteilung, zu dem die Normalverteilung berechnet werden soll.

MW ist das arithmetische Mittel der Verteilung.

STD ist die Standardabweichung der Verteilung.

K = 0 berechnet die Dichtefunktion, K = 1 die Verteilung.

79.195.234.108 nimmt anscheinend an, dass eine Normalverteilung vorliegt - das wird aber nirgends gesagt. Die Tschebyshow-Ungleichung nimmt keine spezielle Verteilung an und kommt daher zu einer schwächeren Abschätzung. --NeoUrfahraner 21:38, 26. Nov. 2008 (CET)

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Grenzen der Anwendbarkeit

"Trotz der schwachen Grenzen kann der Satz nützlich sein, weil er ohne Verteilungsannahmen über die Zufallsvariablen auskommt, und somit wirklich für alle (insbesondere auch solche, die sich stark von der Normalverteilung unterscheiden) anwendbar ist." Ich halte diese Formulierung "wirklich für alle" für irreführend, weil die Tschebyschow-Ungleichung voraussetzt, dass Varianz und Erwartungswert existieren, was bei so manchen Verteilungen (z. B. Cauchy-Verteilung) nicht der Fall ist. Entsprechend ist bei einer Cauchy-Verteilung (oder bei Verdacht auf Cauchy-Verteilung) die Tschebyschow-Ungleichung nicht anwendbar. -- 92.107.122.13 15:09, 23. Mai 2009 (CEST)

Ich habe "mit endlicher Varianz" an der betreffenden Stelle ergänzt. --NeoUrfahraner 07:38, 22. Nov. 2009 (CET)

Änderung von 20. Nov 2009

Zu http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Tschebyschow-Ungleichung&diff=67052367&oldid=63173140 : Der Satz (bzw. die Verallgemeinerung) ist zwar richtig, wir aber als Markow-Ungleichung bezeichnet. Ich hab's daher revertiert.--NeoUrfahraner 21:01, 21. Nov. 2009 (CET)

Beispiele

Hi,

ich würde das Beispiel 1 folgendermaßen ändern und ein Beispiel 4 hinzufügen. Ist das so richtig / in Ordnung?

Beispiel 1

Nehmen wir zum Beispiel an, dass Wikipedia-Artikel im Durchschnitt 1000 Zeichen lang sind mit einer Standardabweichung von 200 Zeichen. Aus der Tschebyschow-Ungleichung kann man dann ableiten, dass mit über 75% Wahrscheinlichkeit ein Wikipedia-Artikel eine Länge zwischen 600 und 1400 Zeichen hat:

Gegeben	$k=400,~\mu =1000,~\sigma ^{2}=200^{2}$, X := "Länge eines zufälligen Wikipedia-Artikels"
Tschebyschow-Ungleichung	$P(|X-\mu |\leq k)>1-{\frac {\sigma ^{2}}{k}}$
Berechnung der Wahrscheinlichkeit	$\operatorname {P} \left[\left|X-1000\right|\leq 400\right]>1-{\frac {200^{2}}{400^{2}}}=0,75=75\%$

Beispiel 4

Nehmen wir zum Beispiel an, dass Wikipedia-Artikel im Durchschnitt 1000 Zeichen lang sind mit einer Standardabweichung von 200 Zeichen. Nun ist ein möglichst kleines Intervall gesucht, in dem die Länge eines zufälligen Wikipedia-Artikels mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% liegt.

Gegeben	$\mu =1000,~\sigma ^{2}=200^{2}$, X := "Länge eines zufälligen Wikipedia-Artikels"
Soll gelten	$P(|X-\mu |\leq k)>90\%$
Tschebyschow-Ungleichung	$P(|X-\mu |\leq k)>1-{\frac {\sigma ^{2}}{k}}$
Berechnung von k	$1-{\frac {200^{2}}{k^{2}}}>0,9$ $0,1>{\frac {200^{2}}{k^{2}}}$ ${\frac {200^{2}}{0,1}}<k^{2}\Rightarrow k>632,4556$
Intervall	$[\mu -k;\mu +k]\Rightarrow [367,5444;1632,4556]\Rightarrow [367;1632]$
Ergebnis	Ein zufälliger Artikel hat mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% eine Länge zwischen 358 und 1632 Zeichen.

Weitere Szenarien

Falls noch weitere Beispielszenarien gesucht sind, hab ich hier mal ein paar aufgeschrieben:

• Umfragen
  • Die Anzahl der zu befragenden Personen ist gesucht, um die Meinung zu einem Thema zu ermitteln (Wählen sie Partei XY / kennen Sie die Firma XY ...). Dabei will man eine maximale Abweichung von k vom tatsächlichen Anteil mit einer Sicherheit von s.
  • Das Intervall, in dem der Anteil der Wähler der Partei XY mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens p liegt, ist gesucht. Gegeben ist die Anzahl der Befragten sowie die Anzahl der Personen die für XY waren.
• Sport
  • Das Intervall, in dem die Trefferwahrscheinlichkeit p eines Basketballspielers mit einer Sicherheit von s, ist gesucht. n Würfe hat er ausgeführt und k Treffer gemacht. --MartinThoma 11:26, 15. Mai 2010 (CEST)

Lemma

Ich würde vorschlagen auf das Lemma Tschebyscheffsche Ungleichung zu verschieben, da dieser Begriff in der Literatur deutlich häufiger vorkommt. Gibt es Einwände?--Jonski (Diskussion) 12:05, 6. Mai 2018 (CEST)

Behauptung nicht verstanden

dass Zufallsvariablen existieren, für die bei der Abschätzung Gleichheit gilt.

für mich nicht ausreichend genau definiert: mathematische Formulierung? --Wfwps (Diskussion) 08:24, 11. Mär. 2023 (CET)

Borel-Cantelli-Lemma

Im Abschnitt "Anwendungen steht:

"Die tschebyscheffsche Ungleichung geht wesentlich ein in die Beweise des Borel-Cantelli-Lemmas ..."

Das wäre mir neu und scheint mir auch nicht plausibel, schließlich spielen im Borel-Cantelli-Lemma Erwartungswert und Varianz keine Rolle. Der mir bekannte (kurze und einfache) Beweis des Borel-Cantelli-Lemmas benötigt die Ungleichung jedenfalls nicht. --Ilse Ongkim (Diskussion) 06:37, 30. Mai 2024 (CEST)

Ich habe die angegebene Quelle ( Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie ) überprüft. Dort wird das Borel-Cantelli-Lemma zwar mit tschebyscheffscher Ungleichung bewiesen. Andere Beweise kommen aber ohne tschebyscheffscher Ungleichung aus. --NeoUrfahraner (Diskussion) 18:13, 26. Jun. 2024 (CEST)

Ungesichtete Änderung von 22. Juni 2024 um 20:32 ("stetig")

Braucht man das "stetig" wirklich? Eine Unstetigkeit wird ja ggf. dadurch berücksichtigt, dass auf der linken Seite das $\geq$ zu einem $<$ wird, also das Gleichheitszeichen wegfällt. --NeoUrfahraner (Diskussion) 07:11, 23. Jun. 2024 (CEST)