Diskussion:Urelement

Urelemente=Individuen?

Achtung, die Seite widerspricht der englischen Fassung, die den Begriff "Individuen" mit dem des "Urelements" gleichsetzt. Das ist zu klären und sollte in der deutschen oder englischen Seite korrigiert werden.

Das ist auf der englischen Seite nicht in Ordnung. Als Individuen gelten üblicherweise (in der heutigen Mathematik) alle Elemente von Mengen oder Klassen, insbesondere können Mengen selbst Individuen anderer Mengen sein. Das ist alte (mindestens hundertjährige) Tradition, die auch noch heute gilt. Als Literatur, die nicht nur die eigene Mengenlehre im Auge hat, sondern einen guten historischen Überblick bietet, empfehle ich hier: Oberschelp, Arnold: Allgemeine Mengenlehre, §1 S. 27. --Wilfried Neumaier 23:18, 9. Okt. 2008 (CEST)

leere Menge als Urelement

Den heutigen Entwurf, der die leere Menge aus den Urelementen ausschließt habe ich rückgängig gemacht. Der Begriff 'Urelemente', der aus der Mengenlehre von Zermelo (ZF-System 1930) stammt, muss in seinem Sinn verstanden werden. Er hat ihn geprägt als Verallgemeinerung der elementlosen leeren Menge auf elementlose Elemente (im Potenzmengenaxiom). Auch der englische Artikel definiert die Urelemente U durch die ungültige Bedingung 'x aus U', die auch die leere Menge erfüllt. Sachlich ist also der Begriff übereinstimmend. Der Artikel weist allerdings ganz korrekt darauf hin, dass sich der Begriff 'Urelement' nicht mit dem Begriff 'leere Menge' deckt. Der englische Artikel hat Mängel in der historischen Information: Zermelo thematisierte in der Mengenlehre 1908 Urelemente noch nicht, jedenfalls tritt dieser Name nicht auf; der Sache nach gibt es dort aber 'Dinge', die keine Mengen sind, die aber nur beiläufig dabei sind. Erst in der Mengenlehre von 1930 spielen dann die Urelemente eine wichtige Rolle. Er begründet dort unter anderem die Ordinalzahlenreihe mit einem beliebigen Urelement.--Wilfried Neumaier 23:26, 9. Okt. 2008 (CEST)

Das ist immer dieselbe Schwierigkeit, da die moderne Logik nicht allgemein ("abstrakt") und individuenfrei getrieben werden kann. Elementlose Elemente ist ein seltsamer Begriff, der voraussetzt, dass Mengen selbst Elemente sein sollen, in diesem Fall aber nicht. Ich vetrete immer noch die nachweisliche Auffassung, dass alle Mengen keine Elemente sein können. Auch ist ein Individuum, dass sich selbst widerspricht kein Individuum, somit kein Element dieser Logik. Die leere Menge ist einfachheitshalber immer doppeldeutig, einmal ist sie leer, andererseits enthält sie begrifflich umfanglose Begriffe mit allem Inhalt, also alle widersprüchlichen Begriffe, wie schwarzer Schnee oder so ähnlich. Das ganze Wirrwar hat wirklich eine benennbare Ursache. -- Room 608 16:14, 11. Okt. 2008 (CEST)

Warum sollen elementlose Elemente ein seltsamer Begriff sein? Widersprüchlich ist dieser Begriff ja nachweislich nicht, denn es gibt ja Modelle der Mengenlehre mit Urelmenten, in denen alle endlichen Mengen auch Elemente sind und man alles schön überblicken und nachrechnen kann. Zermelo sprach natürlich nicht von elementlosen Elementen, aber von elementlosen Dingen. Zu ihnen gehören die leere Menge und seine Urelemente (Cantors "Objekte unserer Anschauung"); weil diese elementlos sind, sind es elementlose Elemente. Wo ist da die Schwierigkeit?

Zur Doppeldeutigkeit der leeren Menge: Was Du sagst, beruht auf der Doppeldeutigkeit des Wortes enthalten; das eine Mal bedeutet es das Elementprädikat, da enthält die leere Menge nichts, auch keine widersprüchlichen Begriffe, das andere Mal bedeutet es die Inklusion, da enthält sie eben alle leeren Begriffe, weil diese mit ihr identisch sind. Widersprüchliche Begriffe sind eben leere Begriffe oder falsche Begriffe (so auch Leibniz).--Wilfried Neumaier 16:09, 13. Okt. 2008 (CEST)

Ich bin da vielleicht zu speziell aber auch apodiktisch: Alle Elemente sind elementlos. (Siehe Petzingers Beweis in VBU S. 120.) Es kann nicht sein, dass es Elemente gibt, die sich von Elementen unterscheiden, weil die einen Elemente enthalten, die anderen nicht. Sicher spielt dort auch die Einführung von Individuen ein Rolle, die ja nicht jeder teilt. Jedenfalls sollten Individuen widerspruchsfrei sein und nicht weiter in Arten unterteilt werden können. Petzingers Kollektive (Mengen) sind ja auch immer der Summe (Generalisat) aller Individuen gleich (eindeutig).

Im Endlichen ist in der Mathematik auch alles schön, darauf kommt es aber je eben nicht an. Im Unendlichen kommt es nicht nur auf die Elemente (z.B. 0,1,2, .., 9) an sich an, sondern auch auf ihre Anordnung. Soweit liefert ja Cantor die Erklärung für die seltsame Zahl ln 2. "Bekanntlich" ist daran Weierstraß mit seiner schön einfachen und einsichtigen Begründung der Zahlen gescheitert und musste gegen seinen Willen seinem Schüler Cantor, mit seinen Erklärungen den Vortritt lassen. Das spricht aber alles nicht gegen Allgemeinbegriffe.

Historisch wäre ja noch ein Dissertationsthema, die Entwicklung von Kants Einheit der Apperzeption und seiner Mannigfaltigkeit, zu den Begriffen Cantors, der dieselben Worte verwendet, bis in unsere Moderne nachzuzeichnen. Ich glaube, da ist alles schiefgelaufen.

Der widersprüchliche Begriff ist umfangsleer, nicht inhaltsleer und er ist immer derselbe, und nur einer. Vielleicht macht es deshalb nichts, wenn man ihn und die Null gleichsetzt.

-- Room 608 17:21, 17. Okt. 2008 (CEST)

Ich glaube, hier liegen einfach verschiedene terminologische Verwendungen von Element und Individuum vor. Individuen der heutigen Mathematik sind natürlich keine Individuen im aristotelisch-scholastischen Sinn, den Petzinger in seiner Begriffslogik formalisiert (unzerlegbar, nicht widersprüchlich). Und Elemente der Mengenlehre sind eben nur die Objekte x, die in der Relation "x ist ein Element von y" stehen, weshalb natürlich nicht alle Elemente elementlos sind, etwa nicht die Elemente einer Potenzmenge Cantors. Wer will heute noch hinter Cantor zurück?--Wilfried Neumaier 18:49, 17. Okt. 2008 (CEST)

Also Detlef Spalt geht vor Cantor zurück. Das hat mit seiner Problemstellung zu tun. Er rekonstruiert Cauchys Begriff der Zahlgröße und begründet dann damit wie Cauchy die Analysis und zwar widerspruchsfrei alle seine Sätze. Aus moderner Sicht sind nämlich einige dieser Sätze falsch, aber das liegt eben an der falschen Sicht der Dinge. Zahlgröße bei Cauchy läßt sich knapp so beschreiben: Alles ist Grenze. Natürlich bedient sich Spalt des gesamten modernen Apparates. Da Grenzen nie erreicht werden, dürfte es auch schwierig sein sie als Elemente aufzufassen ... Auch didaktisch ist Cauchys Ansatz bedenkenswert, da einfacher. Spalt hat sich damit seine Habilitation versaut. -- Room 608 07:27, 19. Okt. 2008 (CEST)

englische Seite

In en:Urelement heißt es: In set theory, a branch of mathematics, an urelement or ur-element (from the German prefix ur-, 'primordial') is an object (concrete or abstract) which is not a set, but that may be an element of a set. Urelements are sometimes called "atoms" or "individuals." Hier dagegen heißt es, auch die leere Menge sei ein Urelement. Im Zweifelsfall sollte man wohl schreiben, dass beide Bedeutungen existieren.Lipedia 00:15, 29. Nov. 2009 (CET)

Das Thema "englische Seite" und die uneinheitliche Terminologie wurde oben im ersten Punkt schon angesprochen. Ich habe mich bei der Verfassung des Artikels darum bemüht, den Begriff in der historischen Dimension, die ja noch nicht alt ist, darzustellen, also ausgehend von Zermelo, der diesen Begriff prägte. Maßgebliche moderne Mengenlehren sind heute meist reine Mengenlehren und gebrauchen den Urelement-Begriff nicht. Wenn überhaupt, dann wird er meiner Beobachtung nach intuitiv und undefiniert gebraucht wie der Individuen-Begriff. Es entsteht leicht ein Chaos, wenn man jede Deutung des Begriffs im Artikel aufnimmt. Das zeigt der sehr chaotische Artikel Individuum, da weiß man nicht mehr was nun ein Individuum sein soll, ein einzelner Mensch, ein einzelner Gegenstand, ein Lebewesen, Etwas das denken kann.... Wenn man die Urelement-Definition im englischen Artikel zugrundelegt, können absurde Urelemente gebildet werden, etwa echte Klassen (also Nichtmengen), die Elemente von Mengen sind; das ist nicht aus der Luft gegriffen, sondern steht etwa im Titel eines Aufsatzes von Oberschelp (Math. Annalen 157 (1964) 234ff). Will man diese Definition im Artikel erwähnen, dann muss man auch auf solche Entartungen hinweisen. Davon halte ich nichts.--Wilfried Neumaier 10:07, 15. Jun. 2010 (CEST). Ich habe es trotzdem in den Artikel eingearbeitet, um dem Wunsch nachzukommen.--Wilfried Neumaier 10:36, 15. Jun. 2010 (CEST)

Ich habe einen Hinweis eingefügt, dass die die Leermenge ausdrücklich mit eingeschlossen ist, bin ja erst selbst drauf reingefallen. :-) Ernsts (Diskussion) 08:11, 2. Okt. 2013 (CEST)

Andere Definition

Ich könnte mir diesen Abschnitt etwas ausführlicher vorstellen.

Zunächst könnte man an eine Mengentheorie ohne echte Klassen denken, wie es ja auch die historische Entwicklung ist. Dann könnte man wie beschrieben Urelemente als Elemente, die keine Mengen sind, definieren. Das wäre dann gleichwertig mit der formalen Definition

$\{X|X\neq \emptyset \land \forall Y\colon Y\notin X\}$

oder

$\{X|\forall Y\colon Y\notin X\}\setminus \{\emptyset \}$

(wobei in diesem Zus'hang die Mengenkomprehension gemeint sein muss).

D. h. wir betrachten die Leermenge *nicht* als Urelement (was aber letztlich nur eine Dafinitionsfrage ist). Reine Mengentheorien verzichten auf solche Urelemente (können aber natürlich nicht ohne die Leermenge {} auskommen).

Wenn man nun in einer Mengentheorie echte Klassen ('Unmengen') versteht als Zusammenfassungen (=Klassen) die nicht in anderen Klassen enthalten sein können, dann ergeben sich zwei Möglichkeiten, das zu erweitern:

1. Urelemente sind Elemente, die keine Klassen sind. Die formalen Definitionen bleiben gleich, werden nur als Klassenkomprehension interpretiert. - Dieser Fall ist im Abschnitt bisher nicht (explizit) erwähnt, hätte ich aber für den Standard gehalten, sprich passt wohl am ehesten zu Zermelos urspünglicher Intention (abgesehen von {} kein Urelement)

2. Wir bleiben bei der Formulierung Urelemente sind Elemente, die keine Mengen sind. Gut, dann könnten sie theoretisch auch echte Klassen sein. Aber wenn wir obige Komprehension beibehalten wollen, dann gäbe es echte Klassen, die echte Klassen enthalten (was ja etwa wie in der erwähnten Ackermann-Mengentheorie (Variante) der Fall ist). Dazu würde der abschließende Halbsatz ('was nicht zu Zermelos Urelement-Intention passt') dann passen.

Meine Idee ist, diesen letzten etwas exotischen Fall besser abzutrennen. Wenn es richtig ist, dass dieser nicht eine quasi natürliche Erweiterung bei Vorhandensein von echten Klassen ist, so sollte dies auch zum Ausdruck kommen.

Im Übrigen vielen Dank, Herrn Neumaier, für die Berichtigung! Ich habe noch einen entsprechenden kurzen Hinweis eingefügt, der die Situation verdeutlicht und auf die 'andere(n) Definition(en)' verweist. Vielleicht können Ihnen die obigen Ideen ein Anhaltspunkt sein, den Abschnitt zu erweitern?

PS: Die Abschnittsbezeichnung evtl. in den Plural setzen??

Ernsts (Diskussion) 19:42, 2. Okt. 2013 (CEST)

Der Fall 1. ist nicht formalisierbar. Man bräuchte eine Formel für Nicht-Klassen, die es nicht gibt. Der Klassenbegriff ist nämlich ein metalogischer Begriff, der nur auf der syntaktischen Meta-Ebene erklärt ist durch den Klassenbaustein als sprachlichen Ausdruck. Daran scheitert dieser erste Fall. Nur der 2. Fall ist formalisierbar, denn der Mengenbegriff ist ein logischer Begriff, für den es Klassenformeln gibt. Man müsste ihn zuvor exakt definieren, kann dies aber verschieden tun. In NBG ist Menge=$\{X|\exists Y\colon X\in Y\}$ üblich, so dass Nichtmenge=0 und keine Elemente, die keine Mengen sind, existieren; hier ist ein solcher Urelementbegriff sinnlos, da hier die Klasse aller Elemente als Definiens von Menge gesetzt ist. Diese Mengendefinition wäre also unbrauchbar. Bei Zermelos Definition von 1907 Menge=$\{X|X=\emptyset \lor \exists Y\colon Y\in X\}$ käme heraus: Nichtmenge=Urelemente\{0}, was der Formel ganz oben entspricht; das schließt echte Klassen als Urelemente ebenfalls aus. Bei der Ackermann-Mengenlehre liegt ein axiomatisch (implizit) definierter Mengenbegriff zugrunde, der auch echte Klassen als Elemente erlaubt. Eine explizite Mengendefinition, die genau die ZF-Mengen liefert, kenne ich nicht; gäbe es sie, dann könnte man sich die Mengenaxiome sparen. Es gibt auch noch andere Mengendefinitionen, die wiederum andere Urelemente liefern (Peano). Kurzum: Der alternative Urelementbegriff ist schwierig zu präzisieren, weil der Mengenbegriff schwierig zu präzisieren ist und immer von den gewählten Mengenaxiomen abhängt. Daher halte ich nicht viel von einem erweiterten Abschnitt. --Wilfried Neumaier (Diskussion) 01:16, 5. Okt. 2013 (CEST)