Diskussion:Vergleichbarkeitssatz

Habe eine Anfrage zum Verständnis des Artikels auf Benutzer Diskussion:Fishroot gestellt und hoffe auf Korrekturen durch Fishroot. --SirJective 01:04, 19. Jan 2006 (CET)

Auswahlaxiom

Der Satz

Mit den Ideen von Erhard Schmidt gelingt der Beweis schließlich gar ohne Verwendung des Auswahlaxioms.

ist falsch. Außer, wenn damit gemeint ist, dass man zB statt des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn verwendet.

Der Vergleichbarkeitssatz ist nämlich (über der Basistheorie ZF) äquivalent mit dem Wohlordnungssatz, also auch mit dem Auswahlaxiom.

Sei nämlich A eine beliebige Menge. Sei α die Hartogszahl für A. (α lässt sich ohne Auswahlaxiom etwa als Menge aller auf Teilmengen von A definierten Wohlordnungen, ausfaktorisiert nach Isomorphie, darstellen.)

Dann ist α also eine Wohlordnung, die nicht in A injektiv eingebettet werden kann. Nach dem Vergleichbarkeitssatz muss es eine injektive Abbildung von A nach α geben; damit kann man aber A wohlordnen.

--Wuzel 22:06, 30. Sep. 2007 (CEST)

Die Behauptung

Mit den Ideen von Erhard Schmidt gelingt der Beweis schließlich gar ohne Verwendung des Auswahlaxioms.

kann eigentlich nur so verstanden werden, dass der Satz auch in ZF ohne C gültig wäre, was - wie oben gezeigt - falsch ist. Der angegebene Beweis weicht in der Darstellung deutlich von dem in der referenzierten Literatur ab (Deiser, Kap. 5). Dort wird auf S. 84 sogar darauf hingewiesen, dass das Auswahlaxiom verwendet wird (wenn auch gut versteckt; Wortlaut: 'Der Beweis enthält wieder eine Definition von Objekten von der Form "ein ..."'. Dies wird auf S. 61 als Umschreibung des Auswahlaxioms (bzw. "ein sehr starkes Axiom", damit "solche Auswahlprozesse" funktionieren. Nett verklausuliert.) Im hier angegebenen Beweis ist die Auswahl gut versteckt. Meinem Verständnis nach in Lemma 2, wo T uber f^* definiert wird. Diese Definition funktioniert zwar für jede Fortsetzung von f, man muss sich aber im Weiteren für eine entscheiden - alle auf einmeal betrachten geht nicht. Sollte ich das falsch verstanden haben, sollte im Beweis von Lemma 2 zumindest klar gemacht werden, wo das f^* herkommt.

-- joheco 11:35, 19. Nov. 2007

Neufassung

Ich habe den Artikel jetzt komplett neu geschrieben. Erstens enthält er nun auch den Vergleichbarkeitssatz für Wohlordungen, der in ZF beweisbar ist. Zweitens habe ich das Argument mit dem Auswahlaxiom, das mir für eine Enzyklopädie doch recht technisch vorkommt, durch einen einfachen Verweis auf den Wohlordnungssatz ersetzt. --Wuzel 20:44, 28. Aug. 2008 (CEST)