Diskussion:Volumenintegral

Dieser Artikel wurde ab Oktober 2021 in der Qualitätssicherung Physik unter dem Titel „Volumenintegral“ diskutiert. Die Diskussion kann im Archiv nachgelesen werden. Anmerkung: Überarbeitung

Vektor N

Anmerkung zu deiner Definition vom Vektor N. Bei den Formeln weiter unten sagst du N sei gleich einem Kreuzprodukt im Skalarprodukt mit einem anderen Vektor. Dabei würde jedoch ein Skalar herauskommen und nicht ein Vektor wie es eigentlich sein sollte. Da ich deine Definitionen so nicht kenne, kann ich dir leider nicht genau sagen was wo schief gegangen ist, so ist es aber definitiv nicht richtig. (nicht signierter Beitrag von Rickr Sanchez (Diskussion | Beiträge) 25. März 2019 um 16:23 Uhr (CET))

Die Schreibweise ist in der Tat ungünstig. Ich wollte ausdrücken, dass der Faktor mit der Wahl der Vektorfunktion ${\vec {\xi }}$ zusammenhängt. Ich würde daher eine Ersetzung mit $N_{\vec {\xi }}$ vorschlagen. --Robsedropse (Diskussion) 22:53, 3. Jul. 2020 (CEST)

Ich oute mich auch mit meinem völligen Unverständnis angesichts des "vektoriellen Volumenelements". Steht das wirklich im Bronstein (einzige angegebene Lit.) oder wo sonst? Oder kann das weg? Einige Formeln jedenfalls sind einfach falsch (wie Vektor = Skalar). --Bleckneuhaus (Diskussion) 13:10, 29. Okt. 2021 (CEST) Sicherheitshalber QS-Physik gesetzt. Autor Robsedropse : bitte melden! --Bleckneuhaus (Diskussion) 21:23, 29. Okt. 2021 (CEST)

nein, im Bronstein (24. Aufl. 1989), S. 337-342 sind alle Volumenelemente skalar, und so sind sie es auch in den Mathebüchern/Vorlesungen, die ich kenne. Kann/sollte daher mE weg. --Qcomp (Diskussion) 22:27, 29. Okt. 2021 (CEST)

Danke, dann kann ich mir das Nachgucken sparen. Meine Nachfrage war ohnehin nur reine Sorgfaltspflicht. --Bleckneuhaus (Diskussion) 23:00, 29. Okt. 2021 (CEST)

Anmerkungen zur Einleitung

Beim Lesen des Artikels sind mir folgende Punkte aufgefallen, die ich gerne anmerken und zur Diskussion stellen möchte:

• "Es erweitert das Oberflächenintegral auf die Integration über ein beliebiges dreidimensionales Integrationsgebiet". Ist es sinnvoll, das Volumenintegral als Erweiterung eines Flächenintegrals aufzufassen? Hier wird eine Reihenfolge suggeriert, die ich nicht teile. Ich halte das Flächenintegral in keiner Weise für elementarer und sehe auch die Reihenfolge "Erst Oberflächenbestimmung, dann Volumenbestimmung" weder als natürlich noch historisch an.

• "wobei eine Funktion f(r) dreimal hintereinander integriert wird, jeweils über eine Koordinate eines dreidimensionalen Raumes." 1) Gibt es mehrere dreidimensionale Räume, oder warum steht hier eines 3-d Raumes?" 2) Was ist denn eine Koordinate des dreidimensionalen Raumes? x, y, z? Und wie würde dann die Integration in Kugelkoordinaten dazu passen?

• "Dabei muss es sich jedoch nicht notwendigerweise um ein Volumen eines geometrischen Körpers handeln". 1) Was ist mit "dabei" gemeint? 2) Man könnte ja schon ein paar Beispiele nennen, z. B. Schwerpunktberechnung.

• "Zur vereinfachten Darstellung wird oft nur ein einziges Integralzeichen geschrieben". Ist das wirklich so, dass das zur Vereinfachten Darstellung gemacht wird? In dem Abschnitt drunter wird eine heuristische Definition angegeben, die mit nur einem Summenzeichen auskommt. Es gibt m. E. keinen zwingenden Sachgrund, mehr als ein Integralzeichen zu verwenden. Mehrere Integralzeichen sind nur ein Hinweis, dass hier über ein Volumen integriert wird. (Klaro, zur konkreten Berechnung muss man mit Fubini das Integral in ein iteriertes Integral umwandeln.)

• "wobei die zu integrierende Funktion zumindest von drei Variablen r=(x,y,z) für eine (kartesische) Beschreibung im dreidimensionalen Raum abhängt". Und was ist, wenn die Funktion r von z, theta und phi abhängt, weil man den physikalischen Sachverhalt gern in Polarkoordinaten beschreibt?

• "Beachte, dass hier V in zwei Bedeutungen auftritt, einmal im Volumenelement und einmal als Bezeichner für das Volumen, über das integriert wird, das Integrationsgebiet." Das wird in der Tat häufig so gemacht und ist meines Erachtens nicht vorteilhaft. Man könnte das ganze umgehen, indem man kalligraphische Buchstaben für Volumina macht, die ja mathematisch gesehen Punktmengen sind. Dazu rege ich hier und auch auf jedem anderen betreffenden Wikipdia-Artikel an. --Mathze (Diskussion) 13:52, 10. Dez. 2022 (CET)

Anmerkungen zum Abschnitt Parametrisierung

• "$\mathrm {d} V={\vec {N}}\,\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta \mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta \mathrm {d} \varphi .$" Ich verstehe den Ausdruck zwischen den beiden Gleichheitszeichen nicht. Meines Erachtens kann das schon von den Dimensionen nicht passen: ${\vec {N}}\,\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta \mathrm {d} \varphi$ ist ein differentieller Vektor, $\mathrm {d} V$ und $r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\mathrm {d} \theta \mathrm {d} \varphi$ sind differentielle Skalare.
• "Mit der Definition ${\tilde {f}}(r,\theta ,\varphi )=f(x,y,z)$..." Ich sehe hier keine Definition. Hier wird nur etwas umbenannt. So oder so, selbst wenn irgendwas definiert werden sollte, das ist auf jeden Fall erklärungsbedürftig.

Beide Punkte betreffen auch die Zylinderkoordinaten.

• $\iiint _{V_{Kart}}f(x,y,z)\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z=\iiint _{V_{\mathrm {Zyl} }}{\tilde {f}}(\rho ,\varphi ,z)\cdot \rho \,\mathrm {d} \rho \mathrm {d} \varphi \mathrm {d} z.$

Was soll das bedeuten? Ein Volumen ist ein Volumen, egal, wie man es berechnet. $V_{Kart}$ und $V_{Zyl}$ suggierieren, dass es zwei Arten von Volumen gäbe. Ich jedenfalls finde das verwirrend. le --Mathze (Diskussion) 14:08, 10. Dez. 2022 (CET)

• Den Teil mit ${\vec {N}}$ verstehe ich auch nicht. Da müsste eigentlich die Jacobi-Determinante des Koordinatenwechsels stehen, mit einem Normalen(?)-Vektor hat das nichts zu tun. Der Teil kann also einfach weg.
• "Ich sehe hier keine Definition". Doch, hier wird implizit auf dem Definitionsbereich der Parameter die Funktion ${\tilde {f}}$ definiert, und zwar so, dass der Funktionswert von ${\tilde {f}}(r,\theta ,\varphi )$ gleich dem Funktionswert von $f$ an dem Punkt $(x,y,z)$ ist, der die Kugelkoordinaten $r,\theta ,\varphi$ besitzt. Physiker benennen die Funktionen $f$ und ${\tilde {f}}$ üblicherweise mit dem gleichen Symbol, aber mathematisch sind es unterschiedliche Funktionen.
• "$V_{Kart}$ und $V_{Zyl}$ suggierieren, dass es zwei Arten von Volumen gäbe." Das sind keine Volumina, sondern die Teilmengen des Definitionsbereichs, über die integriert wird. Wird zum Beispiel über eine Kugel mit Radius $R$ intergriert, dann ist $V_{Kart}$ die Kugel im $\mathbb {R} ^{3}$, also $\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\}$, während $V_{Kug}=\{(r,\theta ,\varphi )\in \mathbb {R} ^{3}\mid 0\leq r\leq R,0\leq \theta \leq \pi ,0\leq \varphi \leq 2\pi \}$ ist.

--Digamma (Diskussion) 20:10, 10. Dez. 2022 (CET)

Zum 1. Punkt: Ich habe den Teilrausgenommen.

Zum 2. Punkt: Dazu bin ich zu wenig Physiker. Aus meiner Sicht sieht es komisch aus. Aber wenn das so üblich ist, dann kann man es ja stehen lassen.

Zum 3. Punkt: Die beiden Mengen $\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\}$ und $V_{Kug}=\{(r,\theta ,\varphi )\in \mathbb {R} ^{3}\mid 0\leq r\leq R,0\leq \theta \leq \pi ,0\leq \varphi \leq 2\pi \}$ parametrisieren dieselbe Punktmenge, und diese Punktmenge ist in beiden Fällen die gleiche. Ich kenne es so, dass unter dem Integralzeichen die Punktmenge steht, über die integriert werden soll. Und diese ist bei beiden Integralen dieselbe. Also müsste da dasselbe stehen.--Mathze (Diskussion) 22:15, 10. Dez. 2022 (CET)

Zu Punkt 3: Nein, unter dem Integralzeichen steht die Parametermenge, über die integriert werden soll. Und dies ist eine andere. Im Grunde ist das die Transformationsformel, die eindimensional der Substitutionsformel entsiaricht. Durch eine Änderung der Integrationsvariablen ändert sich auch der Bereich, über den integriert wird. --Digamma (Diskussion) 09:00, 11. Dez. 2022 (CET)

Danke für die Klarstellung. Ich verstehe jetzt, was gemeint ist: $V_{Kart}$ist die Parametermenge, die den Körper in kartesischen Koordinaten parametrisiert, entsprechend $V_{Zyl}$. --Mathze (Diskussion) 10:44, 11. Dez. 2022 (CET)

Genau. --Digamma (Diskussion) 19:51, 11. Dez. 2022 (CET)