Diskussion:Wendepunkt

bild 1

Bilder fehlen mir noch. -- (nicht signierter Beitrag von 80.144.207.9 (Diskussion) 13:06, 1. Mai 2006)

bild 2

Ist das eine Funktion auf dem Bild? Es scheint auf den ersten Blick nicht so zu sein.(nicht signierter Beitrag von 131.234.78.255 (Diskussion) 08:01, 29. Mai 2006)

Das Bild ist tatsächlich sehr unglücklich. Zwar könnte man einen Wendepunkt auch für beliebige Kurven definieren, in dem Artikel ist allerdings nur von Funktionen die Rede und das Bild stellt mit Sicherheit keinen Funktionsgraphen dar. --Phst 16:28, 19. Jul 2006 (CEST)

Das Bild zeigt tatsächlich eine Relation, keine Funktion. Wer hat etwas geeignetes zu bieten? --Wolfgang1018 15:20, 16. Okt. 2006 (CEST)

Besondere Fälle

Zum ersten Beispiel:

Dennoch hat die Funktion bei x=0 keinen Wendepunkt, da die erste Ableitung an der Stelle x=0 nicht existiert. Der Graph von f' hat daher für x=0 kein Extremum.

In der Definition des Wendepunktes steht nichts von glatten Voraussetzungen. Sondern nur, dass sich das Krümmungsverhalten ändert. Z.B. hat eine Sägezahnkurve Extrempunkte, ohne in diesen Punkten differenzierbar zu sein und ändert in diesen auch ihr Krümmungsverhalten. Nur wenn man noch zusätzlich die Funktion hinreichend oft differenzieren kann, hat man diese handlichen Bedingungen. Ausserdem beißt sich die Argumentation mit dem zweiten Beispiel: Diese Funktion besitzt in x=0 einen Wendepunkt, obwohl die 2. Ableitung dort nicht existiert. Jedoch hat der Graph der 1. Ableitungsfunktion f ' bei x=0 ein Minimum.

Vllt. kann das mal jemand korrigieren.

(nicht signierter Beitrag von 141.43.65.36 (Diskussion) 12:08, 2. Jan. 2007)

F´´´(x) ungleich null

Hallo mich interessiert warum F´´´(x) ungleich null gelten muss? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 172.174.228.216 (Diskussion • Beiträge) 0:32, 12. Apr 2007) ri st 04:04, 18. Apr. 2008 (CEST)

Interessiert mich auch. Die Begründung fehlt im Artikel völlig. -- ri st 04:04, 18. Apr. 2008 (CEST)

$f\,'''(x)$ muss nicht unbedingt ungleich 0 sein. (Das steht auch nicht da.)

Beispiel: $f(x)=x^{5};\quad f\,'(x)=5x^{4};\quad f\,''(x)=20x^{3};\quad f\,'''(x)=60x^{2}$

$f\,''(0)=0;\quad f\,'''(0)=0$

Obwohl die dritte Ableitung gleich 0 ist, ist (0|0) ein Wendepunkt.

Es ist umgekehrt: Wenn die zweite Ableitung gleich 0 und die dritte Ableitung ungleich 0 ist, dann weiß man sicher, dass es sich um einen Wendepunkt handelt. 79.206.248.246 16:51, 18. Apr. 2008 (CEST)

Danke für deine Antwort.

Willst du damit sagen, dass im Artikel nur eine hinreichende Bedingung genannt ist? Wie lauten die restlichen? -- ri st 23:11, 18. Apr. 2008 (CEST)

Danke für die Erweiterung des Artikels. Jetzt habe ich es verstanden. -- ri st 18:12, 20. Apr. 2008 (CEST)

überarbeiten

der artikel ist inkonsistent und ueberladen. ist geschrieben wie das tagebuch eines schuelers. auf der suche nach dem wendepunkt. wenn man sich ein paar gedanken macht und ne klare definition hinschreibt, dann kann man es kuerzer fassen und dabei verständlicher. (nicht signierter Beitrag von 91.15.160.94 (Diskussion | Beiträge) 17:26, 10. Apr. 2009 (CEST))

"inkonsistent" ist der richtige Ausdruck. Vielleicht sollte man den Wendepunkt möglichst allgemein, z. B. über den Wechsel des Krümmungsverhaltens, definieren und dann für verschiedene Funktionstypen (z. B. einmal, zweimal und dreimal stetig differenzierbar) äquivalente Kriterien angeben.--DelSarto 13:59, 24. Jan. 2011 (CET)

etwas kompliziert

Ich finde das zu kompliziert, und wie geht das wenn man den Wendepunkt sucht? (nicht signierter Beitrag von 91.97.70.3 (Diskussion | Beiträge) 23:22, 3. Apr. 2009 (CEST))

Hinreichendes Kriterium falsch?

Fehlt im hinreichenden Kriterium nicht noch die Angabe, dass die k-ten Ableitungen für k < n an der Stelle x_W verschwinden? (nicht signierter Beitrag von 141.51.131.115 (Diskussion) 15:25, 18. Jan. 2011 (CET))

Stimmt! Ich habe das Kriterium entsprechend ergänzt. -- 79.206.174.211 21:31, 24. Jan. 2011 (CET)

Bayerischer Wendepunkt?

Abgesehen davon, dass lokale Besonderheiten nicht hierher gehören: Ein Wendepunkt ist im Allgemeinen etwas anderes als ein Extrempunkt der 1. Ableitung.

Beispiel: $f(x)=x^{3}+1$; Ableitung $f'(x)=3x^{2}$

Wendepunkt $(0|1)$; Extrempunkt der Ableitung $(0|0)$

-- 79.206.210.200 18:35, 19. Jan. 2011 (CET)

Sorry, ich hatte natürlich Wendestelle und Extremstelle gemeint. Ich (als gebürtiger Nichtbayer) halte es nicht für eine lokale Besonderheit, sondern für eine gleichberechtigte Definition, wie es in der Mathematik öfter vorkommt. Wird sie nicht angeführt, werden bayerische Schüler verwirrt.--DelSarto 07:49, 20. Jan. 2011 (CET)

Mathematisch ist die Definition jetzt in Ordnung. Trotzdem muss ich (als bayerischer Gymnasiallehrer) sagen, dass die Aussage frei erfunden ist; daran ändert auch ein Zitat aus einer (!) Formelsammlung nichts. Im gültigen Lehrplan findet man keinerlei Vorgaben zur Definition des Wendepunkts. Außerdem ist es durchaus denkbar, dass auch in Papua-Neuguinea die Wendestelle als Extremstelle der 1. Ableitung erklärt wird. -- 79.206.210.200 13:10, 20. Jan. 2011 (CET)

Vielleicht nicht im Lehrplan des bayerischen Gymnasiums, wohl aber der FOS: "Wendestellen als eigentliche Extremstellen von f' " http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=fcbac1cc283c4785256973296d20fc6a --DelSarto 15:47, 20. Jan. 2011 (CET) Soviel ich weiß, ist die angegebene Formelsammlung auch die einzige an bayerischen Gymnasien derzeit bei Leistungskontrollen zugelassene. Die Definition über die Extremalstelle der 1. Ableitung findet sich übrigens auch in der englischen wiki. Sie wird dort als äquivalent bezeichnet, was sie aber nicht ist, wie das Beispiel mit den beiden Parabelästen am Ende des vorliegenden Lemmas zeigt. Bei diesem Beispiel hat die 1. Ableitung bei x = 0 ein Maximum, die 2. Ableitung existiert dort aber nicht.--DelSarto 17:06, 20. Jan. 2011 (CET)

Damit die 1. Ableitung in dem Beispiel ein Minimun(!!) hat, müsste sie in x=0 differenzierbar sein. Ist sie aber nicht. Selbst nach der 'bayrischen' Definition ist es kein Wendepunkt, denn die Schuldefinition berücksichtigt keine Singularitäten. (Was im Artikel ausführlicher erklärt werden sollte...)

Da in der Einleitung bereits steht, das Wendepunkte als Extrema des Anstieges interpretiert werden könne, lösche ich die 'bayrische' Definition wieder. Auch weil ich bezweifel, das an bayrischen Schulen nur eines der Hinreichenden Kriterien gelehrt wird. Auch belegt die zweite Quelle gar nicht deine Behauptung, dort ist auch ein Wendepunkt als Krümmungswechsel definiert. Wenn du weiter so uneinsichtig sein solltest und revertierst, werde ich eine Vandalismusmeldung machen. Es gibt genug was man in der Wikipedia verbessern kann, bitte häng dich nicht an solch einen Detail auf.--Flegmon 18:18, 20. Jan. 2011 (CET)

Wer hat denn mit dem revertieren begonnen?--DelSarto 11:34, 22. Jan. 2011 (CET)

Ok, das mit dem Minimum war mein Fehler, das ist in der Eile passiert, so wie Du das zweite "s" bei "dass" vergessen hast und "Minimun" schreibst. Die Singularität habe ich auch im Lemma beseitigt. Was Du mit Deinem Zweifel am Lehren von hinreichenden Kriterien meinst, verstehe ich nicht. Bitte um Aufklärung. --DelSarto 17:03, 21. Jan. 2011 (CET)

Jetzt widerspricht noch der Satz "Ein Wendepunkt muss Extrempunkt der ersten Ableitung der Funktion, also ein Maximum oder Minimum ihres Anstiegs sein, da sich dann auch das Vorzeichen der zweiten Ableitung an dieser Stelle ändert." dem 1. Beispiel der "Besonderen Fälle" am Ende des Lemmas. Die Geschichte dieses Artikels und die Diskussion beweist, dass mathematische Definitionen oft vom Kontext abhängig sind und daher einem Eintrag bei Wikipedia besondere Schwierigkeiten entgegensetzen.--DelSarto 17:15, 21. Jan. 2011 (CET)

Notwendiges Kriterium

Die Streichung des notwendigen Kriteriums (für Funktionen, die in einer Umgebung von $x_{W}$ mindestens zweimal differenzierbar sind) ist nicht besonders sinnvoll. Dieses Kriterium ist nämlich die Grundlage für die übliche Vorgehensweise bei "normalen" Funktionen, nämlich für das Nullsetzen der zweiten Ableitung. -- 79.206.184.240 17:49, 21. Jan. 2011 (CET)

Genau das ist das Problem dieses Lemmas. Es ist nicht festgelegt, für welche Funktionstypen Wendepunkte definiert werden sollen. Die Angabe des Geltungsbereichs einer Definition ist aber eine grundlegende Forderung der Mathematik. --DelSarto 11:31, 22. Jan. 2011 (CET)

Dann wäre es aber viel besser, dieses Problem zu lösen (saubere Unterscheidung zwischen der engeren und der weiteren Definition), als durch die genannte Streichung den Artikel unvollständiger zu machen. -- 79.206.174.211 16:19, 24. Jan. 2011 (CET)

Das stimmt, aber so - wie es da stand - war es einfach falsch. Dass die zweite Ableitung = 0 ist, ist - wie das zweite Beispiel bei den "besonderen Fällen" zeigt, ebenso wenig notwendig, wie es alleine hinreichend ist, dass die dritte Ableitung verschieden von Null ist, wenn auch diese Bezeichnungen ("notwendiges" bzw. "hinreichendes" Kriterium) sich scheint's bei (deutschen) Lehrern eingebürgert haben. Wenn jemand einen Abschnitt (Wendepunkte bei zweimal stetig differenzierbaren Funktionen) schreibt, wäre es ein Fortschritt. --DelSarto 16:44, 24. Jan. 2011 (CET)

So wie es dastand, war es richtig - wenn man die engere Definition zugrundelegt. Übrigens findet man die Bezeichnungen "hinreichendes Kriterium" bzw. "notwendiges Kriterium" durchaus auch in Hochschul-Lehrbüchern. -- 79.206.174.211 21:37, 24. Jan. 2011 (CET)

Ich kann der Streichung auch nichts abgewinnen! Viele Funktionen sind zweimal stetig differenzierbar und somit ist das Kriterium schon sehr sinnvoll. Soll man vllt bei Konvexe Funktion das Kriterium bzgl. der Aleitung auch streichen, weil nicht jede Funktion diffbar ist? Ich werde morgen das notwendige Kriterium wieder einbauen und für den Wendepunkt eine Definition reinschreiben. Außerdem kann im Abschnitt zu den besonderen Fällen ja erklärt werden, dass hier das notwendige Kriterium gar nicht angewendet werden kann! Das Buch Analysis 1 von Königsberger verwendet zum Beispiel auch den Begriff notwendiges Kriterium.--Christian1985 (Diskussion) 01:25, 25. Jan. 2011 (CET)

Man könnte die Definition des Wendepunkts durchaus auch auf zweimal stetig differenzierbare Definitionen beschränken, dann ist es wirklich ein "notwendiges Kriterium". Diese Beschränkung müsste aber am Anfang des Lemmas oder des entsprechenden Abschnitts stehen. Derzeit ist aber nirgends festgelegt, auf welche Funktionenklasse sich das Lemma bezieht und die Definition erfolgt alleine durch die Änderung des Krümmungsverhaltens. Dadurch entstehen erst die "besonderen Fälle", die natürlich insgesamt gesehen die große Mehrheit darstellen. Mathematisch gesehen sind die in der Schule behandelten die besonderen Spezialfälle. Ansonsten halte ich es mit der Aussage auf deiner Benutzerseite, Christian1985: "... keine Informationen sind immer noch besser als Falsche"--DelSarto 08:26, 25. Jan. 2011 (CET)

Wie wäre es einfach mit „Notwendigerweise muss die zweite Ableitung, so sie existiert, 0 sein“? Das ist richtig, bietet den Vorteil bei 2x diff'baren Funktionen einfach verständlich zu sein und schließt das Beispiel aus „besondere Fälle“ mit ein.. -- Pberndt _(DS) 16:56, 25. Jan. 2011 (CET)

Diese Formulierung fände ich super!--DelSarto 17:10, 25. Jan. 2011 (CET)

Beliebige Aussagen über nicht-existierende Objekte sind doch sowieso wahr!? Insofern sehe ich nicht so ganz, wo Du ein Problem siehst. Existiert die 2. Ableitung nicht, so trifft die notwendige Bedingung einfach zu. --Daniel5Ko 23:38, 25. Jan. 2011 (CET)

Nein. Du meinst vermutlich Ex falso quodlibet, aber das ist etwas anderes. In der allgemeinen Lesart impliziert die Behauptung $\partial _{x}^{2}f(x)=0$ die zweifache Differenzierbarkeit von f in x, ansonsten ergibt die Aussage schlichtweg keinen Sinn. --Pberndt _(DS) 00:20, 26. Jan. 2011 (CET)

Nun ja, wenn die Aussage schlichtweg keinen Sinn ergibt, kann man aus ihr auch nicht sinnvoll schließen, dass die notwendige Bedingung falsch wird. Die "besonderen Fälle" sind so oder so kein Beispiel für eine Verletzung der notwendigen Bedingung. --Daniel5Ko 00:57, 26. Jan. 2011 (CET)

Mit sie ergibt keinen Sinn meinte ich sie ist inkonsistent mit der Definition von Grenzwerten. Die Verwendung von $\partial _{x}f(x)=0$ muss Differenzierbarkeit implizieren, schließlich steht dort per Definition $\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(f(x+h)-f(x))=0$. Wenn der Grenzwert nicht existiert, ist er insbesondere nicht 0, das lässt sich leicht zeigen. Damit ist die Aussage tatsächlich falsch. Und wenn ein Wendepunkt nun eine falsche Aussage impliziert, ist er keiner. -- Pberndt _(DS) 10:14, 26. Jan. 2011 (CET)

Differenzierbarkeit muss nicht impliziert werden: Man lese $\partial _{x}f(x)=0$ als Abkürzung für so etwas wie $\forall (y=\partial _{x}f(x)):y=0$. Existiert kein Ableitungswert an der Stelle $x$, wird eben eine Konjunktion über 0 Operanden vorgenommen. Das macht keinen Schaden und ist so praktisch, dass ich mir gar nicht vorstellen kann, dass diese Konvention nicht einigermaßen üblich ist. Ich such' mal... :) --Daniel5Ko 14:03, 26. Jan. 2011 (CET)

-stelle und -punkt

Die Unterscheidung zwischen Wendestelle $x_{W}$ und Wendepunkt $W\left(x_{W}|f(x_{W})\right)$ wird nicht konsequent durchgehalten. -- Digamma 20:58, 13. Mai 2011 (CEST)

Besonderer Fall: Gerade (ist konkav und konvex gleichzeitig)

Eine Gerade erfüllt beide Punkte gleichzeitig:

Man sagt $f$ habe in $x_{0}$ einen Wendepunkt, wenn es Intervalle $]\alpha ,x_{0}[$ und $]x_{0},\beta [$ gibt, so dass entweder

• $f$ in $]\alpha ,x_{0}[$ konvex und in $]x_{0},\beta [$ konkav ist, oder dass
• $f$ in $]\alpha ,x_{0}[$ konkav und in $]x_{0},\beta [$ konvex ist.

da nicht streng konvex oder streng konkav (bzw. nicht strikt konvex oder strikt konkav) vorausgesetzt wird.

Da steht dass sie ENTWEDER ... ODER ... erfüllen, heißt das sie darf nicht beide erfüllen (bzw. es muss mindestens 2 Intervalle geben wo es genau 1Bedinung erfüllt).

D.h. Wenn die Funktion aber aus zwei Geraden (genau genommen aus zwei Strahlen) besteht und stetik aber nicht differenzierbar ist (d.h. die beiden Geraden berühren sich an einem Punkt), gibt es für jeden Punk (abgesehen von dem Punkt wo sich die beiden Geraden berühren) Intervalle, an denen sie genau eine der beiden Bedingungen erfüllt.

Aber nach dieser Definition stimmt die Aussage nicht

In der Mathematik ist ein Wendepunkt $W\left(x_{W}|f(x_{W})\right)$ ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert: Der Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt.

― Wendepunkt

Weil in meinen Beispiel ist die Krümmung konstant Null (keine Änderung des Krümmungsverhaltens), außer an dem Punkt wo sich die beiden Geraden berühren, dort ist sie meines Wissens nicht definiert, da die urspüngliche Funktion einen Knick hat.

 — Johannes Kalliauer^(e-mail)_♥ - Diskussion | Beiträge 20:21, 11. Jul. 2012 (CEST)

Konsistenz der Definition mit verwendeter Literatur nicht gegeben

Als einzige Literaturstelle wird H.Heusers "Lehrbuch der Analysis" Bd. 1, S. 293 angegeben. Heuser setzt dort in seiner Definition eines Wendepunkts aber voraus, dass eine Funktion (mindestens) zweimal differenzierbar ist, damit man überhaupt von einem Wendepunkt sprechen kann. Damit wird dann auch (zumindest nach der von Heuser verwendeten Definition) die Diskussion darum, ob an einer Wendestelle die zweite Ableitung notwendigerweise verschwindet, überflüssig, da das, wie Heuser in der Fußnote vermerkt sofort aus der Definition folgt (also eine echte notwendige Bedingung ohne Ausnahmen). Der vorliegende Artikel verwendet in seiner bisherigen Fassung jedoch eine allgemeinere Definition von Wendepunkt, die nicht zu der angegebenen Literaturstelle passt (im übrigen auch nicht zu den angegebenen Weblinks). Über Definitionen kann man bekanntlich nicht streiten, aber für das, was der Begriff leisten soll, scheint mir Heusers Beschränkung auf zweimal differenzierbare Funktionen durchaus sinnvoll zu sein (auch, weil sich dann der Abschnitt "Besondere Fälle") erübrigen würde. Auf jeden Fall sollte aber, wenn man die bisherige Definition beibehalten möchte, eine andere Literaturstelle als Heuser gefunden und zitiert werden. --91.22.62.157 14:36, 3. Jun. 2013 (CEST)

Turning point

turning point oder wendepunkt ist auch ein Begriff aus der asymptotischen Theorie von Differentialgleichungen, siehe zum Beispiel Wasow.--Claude J (Diskussion) 09:33, 27. Nov. 2018 (CET)

Und werden die auf Deutsch "Wendepunkt" genannt? Das hat auf jeden Fall nichts mit den hier betrachteten Wendepunkten zu tun. Falls das relevant ist, dann gehört das in einen anderen Artikel und sollte einen zusätzlichen Eintrag in Wendepunkt (Begriffsklärung) erhalten. --Digamma (Diskussion) 17:43, 27. Nov. 2018 (CET)

Ps: Im Abstract des verlinkten Artikels steht "so-called “turning points”". Das deutet eher darauf hin, dass der Begriff nicht etabliert ist. Die englische Wikipedia kennt den Begriff auch nicht. --Digamma (Diskussion) 17:55, 27. Nov. 2018 (CET)

Gesammelte Fragen und Kritikpunkte

Ich sammele an dieser Stelle gebündelt Fragen und Kritikpunkte, die ich habe. Ich versuche, von oben nach unten vorzugehen, was den Aufbau des Artikels anbelangt. Dabei sind in Anführungszeichen gesetzte Satz(teile) immer Zitate aus dem Artikel (Version vom 09.11.2024).

1) Ich habe den Begriff "Bogenwechsel" noch nie außerhalb von Wikipedia gehört. Wenn man Google bemüht, kommen erstmal nur Einträge, die etwas mit Zahnspangen zu tun haben. Wenn man zusätzlich noch das Wort "Mathematik" eingibt, kommen als Treffer einige Dutzend Lernseiten, die sich das im Zweifel bei Wikipedia angelesen haben. Ich habe den Begriff jedenfalls in der Literatur vergeblich besucht. Wenn jemand eine Quelle nennen kann, bitte melden, dann könnte man das belegen. Ansonsten plädiere ich für die Streichung des Satzes.

2) Im zweiten Absatz der Einleitung steht das, was schon im ersten Abschnitt steht. Als einzige Zusatzinfo wird der Begriff "Wendestelle" eingeführt.

3) "Betrachtet man die zweite Ableitung einer Funktion als „Steigung ihrer Steigung“, lassen sich ihre Wendestellen auch als Extremstellen, das heißt lokale Maxima oder Minima, ihrer Steigung interpretieren." Ich finde des Zusatz, dass Extremstellen lokale Maxima und Minima sind, überflüssig und störend. Dadurch wird meinem Empfinden nach nur der Lesefluss gestört. Und ich halte es auch für unwahrscheinlich, dass ein Leser mit dem Begriff "Extremstelle" zunächst nichts anzufangen weiß, und dann durch die Zusatzinfo "lokales Minimum/Maximum" erhellt wird.

4) "Analog zum Begriff Extremwert scheint der Begriff Wendewert für den entsprechenden Funktionswert $f(x_{W})$ intuitiv plausibel und wird auch in manchen Quellen verwendet." Ob etwas plausibel scheint oder nicht, ist vermutlich Ansichtssache. Es würde hier einfach reichen, wenn man sagt, dass in der Literatur gelegentlich der Begriff Wendewert verwendet wird.

5) Bei der Definition verstehe ich nicht, warum ein offenes Intervall als Definitionsbereich verlangt wird. Vermutung: Damit das <mat>x_0</math> stets im Inneren liegt. Aber das könnte man ja auch einfach fordern. Ich schlage hier eine Angleichung zur Definition von Extremstellen vor.

6) "Anschaulich bedeutet dies, dass der Graph der Funktion im Punkt das Vorzeichen seiner Krümmung ändert. Die Krümmung einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion wird durch ihre zweite Ableitung beschrieben." Das steht ja schon in der Einleitung. Abgesehen davon verstehe ich den Drang vieler Wikipedianer nicht, den in vielen mathematischen Artikeln enthaltenen Abschnitt "Definition" mit Zusatzinfos anzureichern.

7) "Im Folgenden wird angenommen, dass die Funktion $f\colon {]a,b[}\to \mathbb {R}$ hinreichend oft differenzierbar ist." Das wird nicht angenommen, sondern vorausgesetzt.

8) "Zuerst wird ein notwendiges Kriterium vorgestellt, das heißt jede zweimal stetig differenzierbare Funktion muss dieses Kriterium an einer Stelle erfüllen, damit unter Umständen an diesem Punkt ein Wendepunkt vorliegt." Das ist eine sehr umständliche Art zu sagen, dass an einem Wendepunkt zwingend die notwendige Bedingung erfüllt sein muss.

9) Der Begriff "Rechts-Links-Wendestelle" wird im Abschnitt Wendepunkt#Hinreichendes_Kriterium_ohne_Verwendung_der_dritten_Ableitung verwendet, ohne dass er vorher definiert oder beschrieben wurde. Analog "Links-Rechts-Wendestelle"

10) Aus dem Abschnitt Wendepunkt#Hinreichendes_Kriterium_unter_Verwendung_weiterer_Ableitungen: "Diese allgemeinere Formulierung enthält damit auch schon den vorangegangenen Fall: Beginnend mit der dritten Ableitung wird die nächste von Null verschiedene Ableitung gesucht, und falls dies eine Ableitung ungerader Ordnung ist, handelt es sich um eine Wendestelle." Wer "sucht" denn?

11)"Aus $f\,'''(x_{W})=f'''(2)=2\neq 0$ ist zu schließen, dass es sich um einen Wendepunkt handelt." Komische Formulierung. Was soll denn "ist zu schließen" heißen? Wie wärs mit "Aus $f\,'''(x_{W})=f'''(2)=2\neq 0$ folgt, dass $x=2$ eine Wendestelle ist." Abgesehen davon ist es keine gute Notation, wenn man den Kandidaten für eine Wendestelle schon mit $x_{W}$ bezeichnet, bevor man sich mithilfe eines hinreichenden Kriteriums davon überzeugt hat, dass es tatsächlich eine Wendestelle ist.

12) "Die Gleichung der Wendetangente kann bestimmt werden, indem man die x-Koordinate des Wendepunktes (2) in die erste Ableitung einsetzt. Somit erhält man die Steigung (m). Danach setzt man in die Funktionsbestimmung (y = mx + b) die ermittelte x- & y-Koordinate des Wendepunkts und den m- (Steigungs-)Wert ein. Man erhält dann den Schnittpunkt mit der y-Achse (b) und somit die komplette Gleichung der Wendetangente." Da ist so viel schlechter Stil drin, ich weiß nicht, wo ich anfangen soll.

13) Aus dem Abschnitt Wendepunkt#Besondere_Fälle: "Dennoch hat die Funktion bei $x=0$ einen Wendepunkt." Das wurde ja schon sinngemäß im Satz davor gesagt. Man darf dem Leser zutrauen, dass er mittlerweile verstanden hat, dass der Übergang von einer Rechts in eine Linkskrümmung ein Wendepunkt ist.

14) "Der Graph der Funktion mit der Gleichung $f(x)=x^{2}$ im positiven und $f(x)=-x^{2}$ im negativen Bereich und bei $x=0$, d. h. $f(x)=x|x|$, hat zwar eine erste, aber keine zweite Ableitung an der Stelle $0$, gleichwohl liegt ein Wendepunkt vor." Ich glaube, hier soll eine abschnittsweise definierte Funktion beschrieben werden. Warum macht man es hier nicht auf die übliche Art? Und dann die Funktion noch als $x|x|$ zu schreiben, bietet aus meiner Sicht überhaupt keinen Mehrwert.

15) Zuletzt ist ein Flachpunkt hier beschrieben als ein Punkt, an dem $f''=0$ gilt. Hier fehlt jedoch der Punkt. --Mathze (Diskussion) 20:50, 9. Nov. 2024 (CET)

Nur eine kleine Anmerkung zu 6): Die Aussage "Die Krümmung einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion wird durch ihre zweite Ableitung beschrieben" ist falsch. Es besteht zwar ein Zusammenhang zwischen Krümmung des Graphs (!) und der 2. Ableitung der Funktion, aber die beiden sind nicht identisch. --Digamma (Diskussion) 22:52, 9. Nov. 2024 (CET)

Danke für den Hinweis @Digamma, ich habe den Satz rausgenommen, wie ich es ohnehin vorhatte (siehe Punkt 6)) --Mathze (Diskussion) 09:37, 10. Nov. 2024 (CET)

7) erledigt --Mathze (Diskussion) 09:34, 10. Nov. 2024 (CET)