Diskussion:Wirtinger-Kalkül

Abschnitt "Fundamentallösung"

Der Abschnitt ist völlig unverständlich. Was für eine Art von Testfunktion soll u sein? Wenn mit $\pi$ einfach die Kreiszahlt gemeint ist, warum schreibt man dann nicht ${\frac {1}{\pi z}}$ statt $\pi ^{-1}z^{-1}$? Wo wird partiell integriert? Was ist mit dem Rand-Term? Ich verstehe die Umformungen überhaupt nicht. ... --Digamma 21:28, 19. Mai 2010 (CEST)

Hallo, danke für Deine Anfrage. Ich habe den Abschnitt/Artikel verbrochen. Aufgrund Deiner Anfrage ist mir ein schwerer Fehler in dem Abschnitt aufgefallen und ich habe ${\frac {1}{\pi z}}$ ausgeschrieben, denn ja es handelt sich um die Kreiszahl. Ich habe die Termumformungen schon ausführlicher gemacht als ich sie in den drei mir zu verfügungstehenden Lehrbüchern vorgefunden habe, aber ich glaube gern, dass es immer noch sehr schwer zu verstehen ist. Ich brauchte auch gerade nochmal 15 Minuten um es wiederzuholen. Ich weiß aber gerade nicht wie man es verständlicher darstellen kann. Ich werde deshalb hier in der Diskussion die Erklärungen für die Gleichheitszeichen auflisten und ich hoffe wir können dann zusammen überlegen wie man es darstellen kann. Gleichzeichen:

• Dies ist die Definition der Ableitung bei Distributionen, dies ist die einzige Stelle an der partielle Integration verwendet wird.
• Dies ist eine Nulladdition, da ${\frac {1}{z}}$ auf $\mathbb {C} \backslash \{0\}$ holomorph ist.
• Dies ist die Kettenregel, man muss es von unten nach oben lesen.
• Hier wird der Cauchy-Riemann-Operator in reelle Koordinaten ausgeschrieben, siehe dazu seine Definition.
• Dieses Gleichzeichen ist durch den Satz von Green gerechtfertigt.
• Die reellen Koordinaten werden wieder in komplexe zurückgeschrieben.
• In diesem Schritt wird der Cauchy'sche Integralsatz verwendet.

Beim Erstellen des Abschnitts hatte ich noch die Angst, dass Wikipedia kein Nachschlagewerk für Rechenexzesse sei, oder? Viele Grüße --Christian1985 22:26, 19. Mai 2010 (CEST)

Statt "Kettenregel" muss es wohl "Produktregel" heißen. Beim Randintegral ist "dx dy" zuviel. Das Flächenintegral über $\mathbb {C}$ sollte wohl über eine 2-Form gehen, also über $...dzd{\bar {z}}$ statt nur über dz. Aber eher grundsätzlich:

1. Ist es überhaupt sinnvoll, hier die Beziehung herzuleiten?
2. Gehört die Fundamentallösung überhaupt hierher? Das Lemma heißt "Wirtingern-Kalkül", nicht "Cauchy-Riemann-Operator". --Digamma 16:45, 20. Mai 2010 (CEST)

Ja mit den Formen hast du wohl recht, das habe ich gestern nur noch verschlimmert. Aber ich finde den Platz schon ganz gut hier, schließlich ist doch der Cauchy-Riemann-Operator einer der beiden Operatoren des Wirtinger-Kalküls. Der Artikel Fundamentallösung verlinkt im Abschnitt mit den Beispielen auf diese Seite, daran muss man denken, wenn man hier etwas ändert. --Christian1985 17:09, 20. Mai 2010 (CEST)

Du hast mich überzeugt. Zumal ich inzwischen gemerkt habe, dass "Cauchy-Riemann-Operator" auf den Artikel weiterleitet. Gibt es denn Anwendungen, wo man die inhomogen Cauchy-Riemann-Gleichung lösen möchte? Vielleicht sollte man hierauf näher eingehen. Mit der Fundamentallösung alleine kann man recht wenig anfangen. --Digamma 18:28, 20. Mai 2010 (CEST)

In dem Artikel [[1]] findet sich noch eine Kleinigkeit zu den inhomogenen Gleichungen. Das referenzierte Buch besitze ich, jedoch habe ich es gerade nicht griffbereit. Wohl erst in einer Woche werde ich wieder die Gelegenheit haben reinzuschauen. Dann werde ich versuchen dies hier noch ein wenig auszubauen. --Christian1985 10:03, 22. Mai 2010 (CEST)

Hallo Digamma, ich habe nun mal angefangen mich zum Thema inhomogene Cauchy-Riemann-Differentialgleichung ein weniger schlauer zu machen. Nun habe ich die oben verlinke Aussage aus der englischen Wikipedia halbwegs nachvollzogen, wobei mir die Vorraussetzungen in der englischen Fassung noch etwas merkwürdig vorkommen. Dies könnte ich hier einbauen. Dann habe ich herausgefunden, dass für Dimension n > 1 die Funktion $\phi$ mit ${\overline {\partial }}u=\phi$ holomorph sein muss, damit eine Lösung der Cauchy-Riemann-Differentialgleichung existiert. Jedoch würde dies besser in den Artikel komplexe Differentialform passen, da diese Aussage aus ${\overline {\partial }}{\overline {\partial }}u=0$ folgt und dies schon in diesem Artikel angesprochen wird. Außerdem bietet das Buch noch ein paar Existenzsätze, von denen ich noch nicht weiß ob man/ich sie auf den Fall n=1 herunterbrechen kann. Du siehst bestimmt schon das Problem, auf welches ich hinauswill. Ich fürchte nämlich, dass sich nun das bischen Theorie zum Thema inhomogene Cauchy-Riemann-DGL auf zwei bis drei Artikel verteilt, was sicher auch nicht so praktisch ist. Hast du vielleicht eine Idee dazu? Evtl. alles in Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen unterbringen und die anderen beiden Artikel überall, wo es nötig ist, verlinken? --Christian1985 01:16, 31. Mai 2010 (CEST)

Hallo Christian, ich kenne mich in dem Thema zu wenig aus, um fundiert Stellung zu nehmen. Auf den ersten Blick scheint es mir aber tatsächlich sinnvoll, das Thema "Cauchy-Riemann-Operator" und "inhomogene Cauchy-Riemann-Gleichung" eher im Artikel "Cauchy-Riemann-Gleichung" unterzubringen als in "Wirtinger-Kalkül". --Digamma 10:20, 31. Mai 2010 (CEST)

Nach langer, langer Zeit habe ich mal an dieser Baustelle weitergebaut und wie angedacht ein paar Informationen zur inhomogenen Gleichung in den Artikel zur Cauchy-Riemann-Gleichung gepackt. --Christian1985 (Diskussion) 20:32, 8. Dez. 2010 (CET)

Motivation

So wie sie dastehen wirken die Definitionen von $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial z}}$ und $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}$ ziemlich unmotiviert. Eine Motivation für mich wäre z.B.:

Das (totale) Differential von f ist

$df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy$.

Aus $z=x+iy$ und ${\bar {z}}=x-iy$ ergibt sich

$dz=dx+i\,dy$ und

$d{\bar {z}}=dx-i\,dy$.

Auflösen der beiden Gleichungen nach dx und dy ergibt

$\textstyle dx={\frac {1}{2}}(dz+d{\bar {z}})$ und

$\textstyle dy={\frac {1}{2i}}(dz-d{\bar {z}})={\frac {i}{2}}(-dz+d{\bar {z}})$.

Einsetzen in das totale Differenzial und Umsortieren liefert:

$df={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)dz+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)d{\bar {z}}$

Um (formal) die Beziehung

$df={\frac {\partial f}{\partial z}}dz+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}d{\bar {z}}$

zu erhalten, setzt man

${\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)$

und

${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)$.

--Digamma 16:56, 21. Mai 2010 (CEST)

Ich finde das eine gute Idee. Willst Du das einbauen? --Christian1985 10:05, 22. Mai 2010 (CEST)

Ja gerne. --Digamma 10:11, 22. Mai 2010 (CEST)

So, ich habe die Motivation mal eingebaut und die Definition daran angepasst. Ganz sicher bin ich mir aber nicht, ob es so gut ist oder ob die Definition nicht doch davor stehen sollte. --Digamma 10:53, 22. Mai 2010 (CEST)

Fehler im Abschnitt "Dolbeault-Operator" (?)

Dort steht (Stand 2014-0316): "Mit Hilfe dieser partiellen Differentialoperatoren kann man den Dolbeault-Operator und den Dolbeault-Quer-Operator durch $\partial f:=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial z_{j}}}f{\rm {d}}z_{j}$ und ${\overline {\partial }}f:=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}_{j}}}f{\rm {d}}{\overline {z}}_{j}\$ definieren." Hier sind meiner Meinung nach ${\rm {d}}z_{j}$ und ${\rm {d}}{\overline {z}}_{j}$ zuviel. Ebenso ist kurz danach "[...] wenn ${\overline {\partial {f}}}=0$ gilt" falsch. Richtig muss f außerhalb des Querstrichs stehen: ${\overline {\partial }}f$, oder? --mema (Diskussion) 19:56, 16. Mär. 2014 (CET)

In dem Punkt, dass ${\overline {\partial }}f$ für holomorphe Funktionen gelten muss, hast Du recht. Die Differentiale ${\rm {d}}z_{j}$ und ${\rm {d}}{\overline {z}}_{j}$ sind aber meiner Meinung nach richtig. Vergleich beispielsweise Mathworld. Schließlich sind die Ergebnisse der Operationen

$\partial f:=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial z_{j}}}f{\rm {d}}z_{j}$

und ${\overline {\partial }}f$ wieder Vektoren beziehungsweise Funktionen mit einem Wertebereich $U\subset \mathbb {C} ^{n}$. Die ${\rm {d}}z_{j}$ und ${\rm {d}}{\overline {z}}_{j}$ sind einfach gesagt, Basisvektoren des Raums $\mathbb {C} ^{n}$. Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 20:09, 16. Mär. 2014 (CET)

Im Abschnitt "Motivation und Definition" steht im zweitletzten Satz:

Für $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial z}}$ schreibt man auch kurz $\,\partial f$, für $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}$ schreibt man ${\bar {\partial }}f$.

Das steht im Widerspruch zu dem, was im Abschnitt "Dolbeault-Operator" steht. --Digamma (Diskussion) 21:41, 16. Mär. 2014 (CET)

Am Ende von "Dolbeault-Operator" müsste es dann meiner Meinung nach auch ${\rm {d}}f={\overline {\partial }}f+\partial f$ heißen, damit auf beiden Seiten 1-Formen stehen. -- HilberTraum (Diskussion) 19:53, 18. Mär. 2014 (CET)

Stimmt. Habe es geändert. --Digamma (Diskussion) 20:24, 18. Mär. 2014 (CET)

Formulierung der Kettenregel

Die Formulierung der Kettenregel sieht komisch aus und verwendet die Abweichende Notation. Die Formel wie im englischen Artikel halte ich für besser. 129.13.197.253 09:54, 4. Jul. 2019 (CEST)

Ich habe die f(z) im Nenner der partiellen Ableitungen der äußeren Funktion g durch ein w ersetzt, da es m.E. doch üblicher und verstänlicher ist, die Variable der äußeren Funktion anders zu benennen als die inneren (und damit auch die der verketteten) Funktion. Ist das so OK? Die englische Version war mir im übrigen etwas zu abstrakt. Gruß, --Digamma (Diskussion) 22:57, 4. Jul. 2019 (CEST)