Diskussion:Wronski-Determinante

Spezialfall

Sind die Funktionen auf einem Intervall linear abhängig so verschwindet die Determinante für alle $t$ aus dem Intervall.

entspricht aus linear abhängig folgt überall gleich null und nicht wie behauptet aus überall null folgt linear abhängig -- Wdvorak 11:03, 26. Jul 2005

Beweis der Eigenschaft zur Überprüfung der linearen Unabhängigkeit

Kann man die Eigenschaft zur Überprüfung der linearen Unabhängigkeit auch beweisen? Es wäre sehr schön, wenn dies noch jemand hinzufügen könnte, der weiß wie's geht... DANKE! --Konsumopfer 19:13, 18. Sep 2006 (CEST)

Natürlich kann man das beweisen ;-)(eigentlich muss man sich nur kurz die Definitionen anschauen)

Beweis für die erste Formulierung:

Ist die Determinante für irgendeinen Wert $t$ aus dem untersuchten Intervall $I$ ungleich Null, so sind die Funktionen auf dem Intervall linear unabhängig.

Also es gibt ein $t_{0}\in I$ sodass die Determinante ungleich 0 ist und daher die Spaltenvektoren linear unabhänig sind.

Es gilt also für jede Linearkombination der Funktionen $f_{1},\dots ,f_{n}$ dass mindestens eine der ersten n-1 Ableitung oder die Funktion selbst im Punkt $t_{0}$ ungleich 0 ist. Damit unterscheidet sich aber jede Linearkombination im Punkt $t_{0}$ von der 0-Funktion und daher sind die Funktionen $f_{1},\dots ,f_{n}$ linear unabhängig.

mfg Wdvorak 12:15, 19. Sep 2006 (CEST)

Artikel in dieser Form sinn- und nutzlos

Der Artikel enthält derzeit nur die belanglose Seite des Wronski-Tests. Dem Artikel zufolge muss also gezielt eine Stelle t_0 mit W(t_0)\neq0 gesucht werden, um zu zeigen, dass die vorgelegten Funktionen linear unabhängig sind.

Der Test ist erst dann interessant, wenn die vorgelegten Funktionen Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung n-ter Ordnung sind, bei der der Koeffizient der höchsten Ableitung gleich 1 ist (vulgo: die DGL steht in Normalform). Dann genügt es nämlich, *irgendeine* Stelle t_0 im gemeinsamen Definitionsbereich der Lösungen zu nehmen und zu schauen, ob dort W(t_0)\neq0 ist. Wenn das der Fall ist, sind die Lösungen linear unabhängig. Die Wronski-Determinante ist entweder immer gleich Null (und die Lösungen sind linear abhängig) oder immer von Null verschieden; sie besitzt also keine isolierten Nullstellen im gemeinsamen Definitionsbereich. Steht alles im zitierten Heuser.

Dann steht beim "Gegenbeispiel" was von "linearer Abhängigkeit in t=0". Das ist ziemlich grober Unfug. Man hat nichts verstanden!

Ich wundere mich echt, dass nach so vielen Jahren dieser Artikel so starke Mängel aufweist. Nein, ich verbessere nix mehr. --Stefan Neumeier (Diskussion) 01:03, 2. Nov. 2013 (CET)

Die Kritik ist berechtigt, der Unfug sollte nicht so stehen bleiben. Wenn man die Dgl. n-ter Ordnung, ob reell oder komplexwertig, standardmäßig als Dgl.-System erster Ordnung schreibt, kann man leicht zeigen, dass dessen Resolvente ein Automorphismus auf dem n-dimensionalen Raum der Lösungen ist, der nie verschwindet. Die Wronski-Matrix von n beliebigen Lösungen zur reellen Zeit t_1 wird davon generisch in die Wronski-Matrix zu einer beliebigen anderen Zeit t_2 transformiert. Da die Resolvente ein Automorphismus ist und ihre Determinante nicht verschwindet und die Zeitpunkte beliebig sind, verschwindet die Wronski Determinante nach dem Determinantenmultiplikationssatz entweder für alle Zeiten t, auf denen die Dgl. definiert ist oder gar nicht, das gilt aber nur auf dem n-dimensionalen Vektorraum der Lösungen dieser Dgl. n-ter Ordnung. Für beliebige Funktionen ist die Aussage reiner Unfug und bedarf keines Gegenbeispiels. Die Abelsche Identität lässt sich ebenso für Differentialgleichungen n-ter Ordnung formulieren. Eine komplette und sehr saubere Darstellung der Theorie linearer Differentialgleichungen (mit Werten in reellen oder komplexen Banachräumen) findet man in H. Cartan "Differentialrechnung", der deutsche Übersetzung eine Vorlesung Cartans aus den sechziger Jahren, älter als Heuser und deutlich eleganter, oder auch in N. Bourbaki: "Elements of Mathematics: Functions of a real Variable - elementary Theory". --85.158.196.50 08:47, 9. Okt. 2024 (CEST)