Diskussion:Zeitgleichung/Archiv/2

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Überladene Einleitung

Die Einleitung war heute schlechter, da überladen.

• 1 Gleichung genügt. Die einfache Umstellung für die Begriffs-Erklärung ist dem Leser zuzumuten.
• Um die ZG nicht korrigierte Sonnenuhren müssen nicht die MEZ versuchen anzuzeigen. Deshalb: WOZ → (ZG) → MOZ → MEZ. Diese logische Folge war in Kürze vorher dargestellt.
• Dass sich die Werte der ZG über lange Zeiträume ändern, war angedeutet. Gründe und Quantitäten gehören in den Hauptteil.

mfG DrIngEnd 23:31, 16. Feb. 2014 (CET)

Irgendwie habe ich es gewusst – der Artikeleigentümer will nicht, dass man seine Sätze verändert. Dies ist zwar ein Wiki und nicht deine private Homepage, aber … irgendwie habe ich es einfach gewusst.

„Die Einleitung war heute schlechter, da überladen.“ Das ist deine Privatmeinung, ich sehe das anders. Deine derzeitige Einleitung ist weitgehend unverständlich, wenn man nicht über seeehr viele Vorkenntnisse verfügt. Wir schreiben hier auch für OMA, nicht nur für Spezialisten wie dich, die den Artikel gar nicht bräuchten.

• „1 Gleichung genügt.“ Sagt wer? Und wieso hast du dann nicht einfach die zweite Gleichung rausgeworfen, statt die gesamte Bearbeitung zu revertieren?
  „Die einfache Umstellung für die Begriffs-Erklärung ist dem Leser zuzumuten.“ Klar. Dem Leser ist viel zuzumuten. Aber muss es sein? Darf man es nicht wenigstens in einem Satz kurz erklären?
• „Um die ZG nicht korrigierte Sonnenuhren müssen nicht die MEZ versuchen anzuzeigen.“ Deshalb war MEZ ja auch ausdrücklich nur als Beispiel genannt. Die MEZ steht jetzt immer noch drin – als Beispiel.
  „Deshalb: WOZ → (ZG) → MOZ → MEZ. Diese logische Folge war in Kürze vorher dargestellt.“ Sie war in meiner verbesserten Version aber sehr viel verständlicher dargestellt. Für dich ist Kürze das entscheidende Kriterium – ich sehe das anders. Für mich ist Verständlichkeit am wichtigsten.
• „Dass sich die Werte der ZG über lange Zeiträume ändern, war angedeutet.“ Diese „Andeutung“ war viel zu schwach. Die Leser sollten verständliche Erklärungen bekommen und nicht vage „Andeutungen“. Man sollte wenigstens den entscheidenden Grund nennen und nicht nur „andeuten“, damit der Leser, der sich kurz informieren will, worum es überhaupt geht, sich nicht erst durch unzählige Formeln quälen muss, um es dann doch nicht verstanden zu haben.
  „Gründe und Quantitäten gehören in den Hauptteil.“ Und wieso hast du diese Gründe dann nicht an eine passende Stelle im Hauptteil verschoben – statt sie einfach rauszuschmeißen? Im Rest deines perfekten Artikels ist das nämlich nirgends erklärt … Ich finde, der Hauptgrund darf in ein, zwei Sätzen in die Einleitung. Und „Quantitäten“ können in bestimmtem Umfang für das Verständnis der Größenordnungen wichtig sein. Auch in deiner Version stehen Quantitäten drin.

Wir alle wissen, dass du diesen Artikel als dein Eigentum betrachtest und alle Änderungen (außer deinen eigenen natürlich) gnadenlos revertierst, worüber sich schon reihenweise andere Benutzer beschwert haben, die aber deinem unbändigen Durchhaltewillen bei der bedingungslosen Verteidigung deiner persönlichen Lieblingsversion nicht gewachsen waren. Ich bin kein Idiot, und ich verstehe so viel von wiki-tauglichen Artikeln wie du. Ich ersuche dich, Bearbeitungen von mir oder anderen, die nicht offensichtlich falsch sind, sondern dir einfach nur nicht gefallen, nicht einfach mit „gefällt mir nicht“ als Begründung zu revertieren. Wir anderen haben genau so viele Rechte an diesem Artikel wie du – nämlich keine. Du kannst nicht alle anderen hier einfach ausschließen und durch kompromissloses Revertieren deine persönlichen Vorstellungen durchsetzen.
Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   02:23, 17. Feb. 2014 (CET)

Die Einleitung ist (schon ohne die inzwischen revertierte Änderung) zu lang und zu detailverliebt. Eine Einleitung soll dem OMA-Leser einen kurzen Überblick über den Lemma-Begriff und seine Bedeutung geben.

• ist ein Begriff aus der Astronomie, ist Zahlenwert in Minuten, beschreibt die Bahn der Sonne an Himmel, hat Bedeutung für Sonnenuhren
• Die Sonne ändert jahreszeitlich nicht nur die Höhe ihrer Bahn, sondern sie geht gegenüber einer gleichmäßigen Uhr manchmal vor, manchmal nach.
• Der Effekt liegt in der Größenordnung von ±15 min, Änderung von Tag zu Tag bis zu ca. 30 sec. Der Verlauf geht mit der Jahreszeit (wiederholt sich also von Jahr zu Jahr sehr ähnlich). Er kehrt vier mal im Jahr sein Vorzeichen um.
• Die Ursachen sind Kepler 2 und die Neigung der Erdachse.

Das ist an Fakten für die Einleitung genug. Nun weiß auch OMA grundlegend um was es geht, ohne mit Einzelheiten erschlagen zu sein. Bei Interesse kann OMA jetzt näheres im weiteren Artikel erfahren (oder darauf verzichten). Wichtig ist daran, dass OMA ohne irgendwelche Verständnisprobleme nun genug groben Überblick für eine informierte Entscheidung hat, ob er weiter lesen will.

Das setzt natürlich voraus, dass wir hinter der Einleitung noch einen Absatz "Details" oder "Allgemeines" schalten, der den Rest dessen aufnimmt, was derzeit in der Einleitung zu viel ist.

• Langzeitänderungen (tropische Aspidendrehung (oder gar oder siderische Apsidendrehung+Präzession des Frühligspunktes?)) sollten einen eigenen Abschnitt bekommen. Das passt thematisch zu den Analemma-Figuren, sollte also dort in der Nähe angesiedelt werden.

Was sonst noch zu tun ist:

• Den Mathe-Abschnitt ganz nach hinten (oder lieber sogar ganz weg). Das ist hochgestochene Mathematik und interessiert nur einen winzigen Bruchteil der Leserschaft. Für das Verständnis der ZGL ist deren tatsächliche Berechnung ohne Belang. Außerdem ist der Abschnitt wohl pure Theoriefindung.
• Der Geschichtsteil gehört weit nach vorne.
• Überdenken: Hier in ZGL sehe ich mehr Analemma-Bilder als in Analemma. Ist das richtig so, oder sollten wir daran etwas ändern?

--Pyrometer (Diskussion) 10:13, 17. Feb. 2014 (CET)

Der aktuelle Zustand der Einleitung ist eine Katastrophe.

• Ich hatte eine ganze Reihe von sprachlichen Schnitzern korrigiert. Im Text steht jetzt wieder mehrfach dieses ungelenke papierdeutsche „so dass“ (das außerdem korrekt „sodass“ geschrieben werden müsste) und das genauso papierdeutsche „letzterer“ (statt wenigstens korrekt „Letzterer“). Da steht „jählich“ statt „jährlich“, „1 Minute“ statt „eine Minute“, „Vierjahres-Rhythmus“ statt „Vierjahresrhythmus“ oder „Vier-Jahres-Rhythmus“ etc. Alle diese Fehler hatte ich korrigiert, sie sind alle wieder hineinrevertiert worden.
• „Die in nebenstehender Abbildung enthaltene Jahreskurve der Zeitgleichung … kann mehrere Jahrzehnte lang benutzt werden.“ Warum? Und wieso mehrere Jahrzehnte? Wieso nicht fünf Jahre oder fünftausend? Und was passiert nach diesen „mehreren Jahrzehnten“? Diese „Erklärung“ ist völlig unverständlich und unzureichend. Ich hatte das durch einen kleinen Absatz mit drei oder vier Sätzen verständlicher zu erklären versucht. Und warum habe ich das in der Einleitung getan? Weil die Grafik in der Einleitung steht! Ich halte es für falsch, eine nicht selbsterklärende Grafik ganz oben in die Einleitung zu setzen und dann eine völlig ungenügende Pseudoerklärung dazuzuschreiben, nur damit die Einleitung möglichst kurz bleibt. Wenn in der Einleitung nicht der Platz für eine Erklärung ist, dann gehört die Grafik dort hin, wo dieser Platz zur Verfügung steht. Artikel hier sollten aus Erklärungen bestehen und nicht aus Zumutungen.
• „Eine einfache (nicht mit der Zeitgleichung korrigierte) Sonnenuhr zeigt in der Regel die WOZ an“: Das ist in dieser Allgemeinheit falsch. Dies trifft nur auf historische Sonnenuhren zu, aus einer Zeit, als es noch gar keine normierte Uhrzeit gab und jedes Dorf nach seiner eigenen Sonnenzeit gelebt hat. Seit über hundert Jahren berücksichtigen auch einfache (seriöse, kein Kinderspielzeug) Sonnenuhren den Längengrad des Aufstellungsorts innerhalb der Zeitzone und zeigen – wenn auch ohne Zeitgleichungskorrektur und natürlich ohne Sommerzeit – die Zonenzeit an und nicht die WOZ.
• „Dabei ist wesentlich, dass die Erdachse nicht nur nicht senkrecht auf der Erdbahn steht, sondern dass ihre Richtung relativ zu den Fixsternen unveränderlich ist.“ Das ist natürlich völlig falsch. Wenn dem so wäre, würden sich Lage und Form der Jahreskurve ja nicht mit der Zeit ändern und die Jahreskurve könnte nicht nur „mehrere Jahrzehnte lang“ benutzt werden, sondern „für immer“. Die Einleitung widerspricht sich selbst. Kann auch die Auflösung dieses Widerspruchs dem Leser zugemutet werden?
• Der im Verhältnis nun wirklich negligeable Effekt der Schaltjahrkorrektur (der außerdem wieder einmal nur erwähnt, aber nicht erklärt wird) muss aber schon in die Einleitung … dafür ist Platz da? Vielleicht könnte man in diesem Zusammenhang noch etwas zu den Schaltsekunden sagen?

Ich lass das hier jetzt sein, weil ich keine Lust habe, noch zwei Dutzend weitere Punkte aufzuzählen. Wenn ihr wirklich der Meinung seid, dass der derzeitige Zustand der Einleitung in jedem einzelnen Aspekt ausnahmslos besser ist als das Ergebnis jeder einzelnen meiner Korrekturen und deshalb nur eine Totalrevertierung sinnvoll und geboten war, liegen wir leider sehr weit auseinander mit unseren Vorstellungen eines brauchbaren Artikels zu diesem Thema.

Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   14:16, 17. Feb. 2014 (CET)

Hallo an alle, muss dem leider zustimmen, kein gut strukturieter Artikel.

Es wird gleich an mehreren Stellen darauf hingewiesen, dass die Zeigleichung zwei Ursachen hat, warum? Hier wäre EINE Grafik in der die Elliptische Erdbahn und die geneigte Erdachse zu sehen sind für Laien sehr anschaulich.

Die Aussage "Die Zeitgleichung hängt nur von der Position der Erde auf ihrer Umlaufbahn um die Sonne ab." ist definitiv falsch!

"Zwei Zeitgleichungsursachen, überlagert" stimmt nur bedingt. Die Addition der beiden einzelnen Sinuskurven ergibt NICHT die Zeitgleichung. Weil die "Sinuskurve der zweiten Ursache" auf die Zeitachse der "ersten Sinuskurve" gebracht KEINE Sinuskurve mehr ist (sie wird zeitlich verzäääärrt)!

Was hat "Sonnenauf- und -untergang zur Wintersonnenwende" hier verloren?

Der Hinweis, dass das Analemma eine zweite grafische Darstellsart der Zeitgleichung ist würde genügen (die zweite Achse ist hier die Deklination statt die Jahreszeit). Die beiden unteren Grafiken des Analemma weichen zudem sehr stark von der Realität ab.

Es wird häufig auf die MOZ zurückgegriffen, aber die internationale Definition der MOZ ist in ganz Wikipedia nicht zu finden. Die Beschreibung, und es ist nur eine Beschreibung, im Artikel "Ortszeit" ist ein Witz! Ich wusste bis dato, wie dort zu lesen, nicht dass es auch eine "künstliche mittlere Sonnenzeit" gibt!

Das geozentrische und das heliozentrisch Weltbild gehören an anderer Stelle, da sehr anspruchsvoll und sollten für interessierte Spezialisten bestimmt sein.

--Sonneninfo (Diskussion) 21:28, 17. Feb. 2014 (CET)

Sonneninfo, hier geht es um die Einleitung, speziell um deren Umfang und Ausführlichkeit. Nicht um eine Generalkritik gegen alle Ecken und Enden des Artikels gleichzeitig. Nicht nur ein Artikel benötigt Struktur, sondern auch eine Diskussion. --Pyrometer (Diskussion) 12:07, 18. Feb. 2014 (CET)

Troubled asset, Deine Sammlung von Kritik gegen die derzeitige Einleitung ist beeindruckend. Vieles davon ist rein sprachlich/typographisch. Diese Dinge kann man einvernehmlich beheben. Ich habe mal langsam angefangen.

Schade, dass meine allgemeinen Bemerkungen zur Aufgabe einer Einleitung bei Dir wenig Resonanz finden. --Pyrometer (Diskussion) 12:07, 18. Feb. 2014 (CET)

Deine Bemerkungen finden schon Resonanz bei mir – ich finde einfach nur, dass du nicht recht hast. Man kann entweder eine sehr kurze Einleitung schreiben, die praktisch nur eine Definition enthält, und dann Erklärungen später im Artikel geben, oder man kann schon in der Einleitung für ein grundlegendes Verständnis sorgen. Was nicht geht, ist, eine komplexe Grafik in die Einleitung zu knallen, einen inhaltlich falschen und keinerlei Verständnis weckenden Satz dazuzuschreiben und das Thema damit für den Rest des Artikels als erledigt ansehen.
„Gelegentlich wird die WOZ des 15. östlichen Längengrades angezeigt … Und gelegentlich zeigt die Sonnenuhr auch eine andere WOZ an?
„… die durch Korrektur mit dem Wert der Zeitgleichung zur Mitteleuropäischen Zeit MEZ führt.“ Weiter oben ist an meiner Version bemängelt worden, dass sie die MEZ überhaupt erwähnt – nicht mal als Beispiel war das zulässig. Und hier steht jetzt überhaupt nur noch die MEZ? Und was ist mit einer Sonnenuhr auf Bora-Bora? Zeigt die auch die MEZ an?
Alle diese Probleme waren in meiner Version sauber gelöst – aber wenn sie natürlich zu lang ist …
Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   01:40, 19. Feb. 2014 (CET)

"Nach der analytischen Auflösung erhält man"

@Sonneninfo, Sie hatten im Artikeltext eine Ergänzung vorgenommen (imFolgenden eingerückt) und den Vorgang als "Nach der analytischen Auflösung erhält man" bezeichnet. Die Sache ist unverständlich, weshalb ich sie vorerst gelöscht habe.

Anfang Artikeltext-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(4)   $M(t)=E(t)-{\frac {180^{\circ }}{\pi }}\cdot e\cdot \sin E(t)$ .

Sie ist nach $E(t)$ aufzulösen, was in geschlossener Form nicht möglich ist, aber zum Beispiel mit dem numerischen Verfahren gelingt, das Newton anlässlich dieser Aufgabe entwickelte.

Das Ergebnis $E(t)=f(M(t))$ wird in folgende mit Hilfe rein geometrischer Betrachtung in der Ellipse und in ihrem Umkreis (siehe oben stehende Abbildung) gewonnenen Gleichung eingesetzt:

(5)   $\tan \left({\frac {V(t)}{2}}\right)=\kappa \cdot \tan \left({\frac {E(t)}{2}}\right)$ .    ($\textstyle \kappa ={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}$ ist eine Ellipsenkonstante),

Nach der analytischen Auflösung erhält man:

(5)   $\tan \left({\frac {V}{2}}\right)={\sqrt {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}}\cdot \tan \left({\frac {\varepsilon \cdot {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sin V}{1+\varepsilon \cdot \cos V}}+{\frac {\pi }{J_{\text{an}}}}\cdot (t-t_{P})\right)$   mit:   $t_{P}$ = Tagesnummer beim Periheldurchgang    Die Funktion ist defniniert für $V\in [-\pi ,\pi ]$

und schließlich die gewünschte Funktion

(6)   $V(t)=f(M(t))$

erhalten.

Die erste Ursache der Zeitgleichung ist mit Hilfe des Bahnwinkels der Erde (Anomalie $V(t)$) als Funktion der gleichmäßig ablaufenden Zeit (Anomalie $M(t)$) erfasst.
Ende Artikeltext---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Sie haben in (5) nur       $\left({\frac {\varepsilon \cdot {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sin V}{1+\varepsilon \cdot \cos V}}+{\frac {\pi }{J_{\text{an}}}}\cdot (t-t_{P})\right)$     für     $\left({\frac {E(t)}{2}}\right)$       eingesetzt.
2. Woher stammt dieser Ausdruck? Einzusetzen wäre   $E(t)=f(M(t))$   (wobei kein geschlossener Ausdruck besteht).
3. Wieso wäre das eine Auflösung? Wäre keine für V, denn das steht auf beiden Seiten Ihrer Gleichung.

mfG DrIngEnd 12:19, 15. Feb. 2014 (CET)

'Meine Berechnungsmethode:

(1)   $r^{2}\cdot {\dot {V}}=K_{0}$   (= Keplersches Gesetz, siehe Drehimpuls Ebene Bahn Flächensatz)     $K_{0}\neq 0$ (= Konstante)

mit:   $r$ = Abstand Sonne-Erde       $V$ = Polarwinkel von der Sonne zur Erde (Wahre Anomalie)

(2)   $r={\frac {2\cdot r_{\mathrm {min} }\cdot r_{\mathrm {max} }}{r_{\mathrm {min} }+r_{\mathrm {max} }}}\cdot {\frac {1}{1+\varepsilon \cdot \cos V}}$   (= Elliptische Umlaufbahn)     mit:   $\varepsilon ={\frac {r_{\mathrm {max} }-r_{\mathrm {min} }}{r_{\mathrm {max} }+r_{\mathrm {min} }}}$ = Exzentrizität (Astronomie) (numerische Exzentrizität)

mit:   $r_{\mathrm {max} }$ = Apoapsisdistanz     und     $r_{\mathrm {min} }$ = Periapsisdistanz

(1) mit (2) ergibt     (3)   ${\frac {\dot {V}}{(1+\varepsilon \cdot \cos V)^{2}}}=K_{1}$     beziehungsweise     (3)   ${\frac {\mathrm {d} V}{(1+\varepsilon \cdot \cos V)^{2}}}=K_{1}\cdot \mathrm {d} t$         $K_{1}\neq 0$ (= Konstante)

Durch das Lösen dieser Differentialgleichung (3) und wissend, dass

(4)   $V=0$     bei   $t=t_{P}$       mit:   $t_{P}$ = Tagesnummer beim Periheldurchgang

(5)   $V=\pi$     bei   $t=t_{P}+{\frac {J_{\text{an}}}{2}}$

erhält man

$\tan \left({\frac {V}{2}}\right)={\sqrt {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}}\cdot \tan \left({\frac {\varepsilon \cdot {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sin V}{1+\varepsilon \cdot \cos V}}+{\frac {\pi }{J_{\text{an}}}}\cdot (t-t_{P})\right)$         für:   $V\in [-\pi ,\pi ]$

Diese Formel lässt sich nach "t" umstellen leider aber nicht nach "V". (Ist ja allgemein bekannt)

$t={\frac {J_{\text{an}}}{\pi }}\cdot \left(\arctan \left({\sqrt {\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}}\cdot \tan \left({\frac {V}{2}}\right)\right)-{\frac {\varepsilon \cdot {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sin V}{1+\varepsilon \cdot \cos V}}\right)+t_{P}$

Ich habe die Formel natürlich auf Richtigkeit getestet!

Man kann unteranderem die Formel zur Entwicklung verschiedener Reihenfunktionen nutzen um direkt $V=f(t)$ zu erhalten.

Durch weitere Berechnungen erhält man ebenfalls

${\dot {V}}={\frac {2\pi }{J_{\text{an}}}}\cdot {\frac {(1+\varepsilon \cdot \cos V)^{2}}{(1-\varepsilon ^{2})^{\frac {3}{2}}}}$     und     ${\ddot {V}}=-{\frac {8\pi ^{2}}{J_{\text{an}}^{2}}}\cdot \varepsilon \left({\frac {1+\varepsilon \cdot \cos V}{1-\varepsilon ^{2}}}\right)^{3}\cdot \sin V$

Es wundert mich, dass diese mathematische Abkürzung von $F(V,t)=0$ , die ich übrigens bislang in keinem Lehrbuch gefunden habe, unter den hier versammelten Mathematikern noch nicht zum Nachrechnen annimiert hat.

Ich schätze hier ist das falsche Portal zur Veröffentlichung dieser Formel!

--Sonneninfo (Diskussion) 21:43, 18. Feb. 2014 (CET)

zu 2.: erl.: Ausdruck ist hergeleitet. Warum er reingeschrieben wurde, bleibt unbeantwortet. Er passte nicht in den Kontext.

zu 3.: „lässt sich leider nicht nach "V" umstellen“, ist wie ein Osterei zu Weihnachten.

im Übrigen: s. unten: Die Erklärung in mathematischer Sprache ist i.O., mathematische Rechenübungen und Rezepte sind es aber nicht !
mfG DrIngEnd 12:06, 17. Feb. 2014 (CET)

Nur als Hilfestellung eine Ellipse kann wie folgt definiert werden

a) im Kartesischen Koordinatensystem: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

b) im Polaren Koordinatensystem: $r={\frac {b^{2}}{a}}\cdot {\frac {1}{1+\varepsilon \cdot \cos V}}$     mit:   $\varepsilon ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}$    und mit ein wenig Geometrie finden man die Formel (2)

Wichtig ist aber nur dass $r$ proportional zu ${\frac {1}{1+\varepsilon \cdot \cos V}}$ ist.

--Sonneninfo (Diskussion) 13:00, 18. Feb. 2014 (CET)

@Sonneninfo, du machst die Diskussion schwierig, wenn du frühere Diskussionsbeiträge von dir später, nachdem schon darauf geantwortet wurde, nochmals abänderst und ergänzt. Inhaltlich: Die Wikipedia ist grundsätzlich der falsche Ort, um neue Erkenntnisse zu veröffentlichen. Sie dient dazu, etabliertes Wissen darzustellen. Und an diesem Ort ist das Thema nicht "wahre Anomalie", sondern "Zeitgleichung". Formeln zur Berechnung der wahren Anomalie sind hier nur soweit am Platz, wie sie dazu dienen, die Zeitgleichung zu verstehen. --Digamma (Diskussion) 10:15, 19. Feb. 2014 (CET)

Das Wort "Gleichung" als alte Sprache für "etwas Hinzuzufügendes"

So steht es derzeit im Artikel:

• "In der älteren Literatur wird die umgekehrte Differenz, also zwischen mittlerer Sonnenzeit und wahrer Sonnenzeit, als Zeitgleichung bezeichnet. Daran ist noch die mittelalterliche Bedeutung von „Gleichung“ als „eine Korrektur zufügen“ zu erkennen"

Stimmt schon dieser Gebrauch von "Gleichung" für etwas, das hinzugefügt werden muss um eine Differenz auszugleichen, ist heute nicht mehr üblich. Aber man sieht den Unterschied zum modernen Begriff "Gleichung" nicht nur an der alten Definition mit (MOZ=WOZ+ZGL), sondern auch an der neuen Definition mit (WOZ=MOZ+ZGL). Die Verfahrensweise ist (bis auf dieses Vorzeichen) identisch. Die "Zeitgleichung" ist in beiden Fällen keine Gleichung im modernen Sinne (a=b), sondern ein Korrekturfaktor. (Konkret kein Faktor in Sinne von Multiplikation, sondern ein Summand).

Ich halte den Fakt als solchen auch wirklich für erwähnenswert, denn der Begriff "Gleichung" hat beim OMA-Leser schon vor dem Aufruf des Artikels eine falsche Erwartung von dem erzeugt, was die "Zeitgleichung" ist.

Ungefähr so:

• Der Wortteil Gleichung steht nicht für eine Gleichung im modernen Sinne, sondern entstammt noch der mittelalterlichen Bedeutung von etwas, das hinzugefügt werden muss, um Gleichheit zu bewirken.

...und wenn wir schon vom Mittelalter reden, aber sonst ohne kausalen Zusammenhang...

• In alter Literatur wird der Wert mit umgekehrtem Vorzeichen angegeben.

Falls es keine anderen Meinungen gibt, werde ich das demnächst in diesem Sinne umschreiben.

--Pyrometer (Diskussion) 15:29, 18. Feb. 2014 (CET)

Ich finde deine Vorschläge gut. Auch die oben über die Gestaltung der Einleitung. --Digamma (Diskussion) 15:45, 18. Feb. 2014 (CET)

Ich erwarte mit Neugier Deine inhaltliche Bearbeitung.
mfG DrIngEnd 17:59, 19. Feb. 2014 (CET)

„gleiche Schwankungen“

Der Artikelbesitzer Dringend hat eine Änderung vorgenommen, die inhaltlich zweifelsohne richtig ist und sicher eine Verbesserung darstellt, auch wenn Leser ohne Spezialkenntnisse sie womöglich nicht verstehen und deshalb irrtümlich für falsch halten könnten.
Derzeitiger Stand des Texts:
„Die am Sonnenstand abgelesene wahre Sonnenzeit WOZ vergeht mit gleichen Schwankungen ungleichmässig.“
Nun ist es aber so, dass es keinen einzigen Tag gibt, an dem die Verschiebung von MOZ und WOZ gleich groß wäre wie am Tag davor oder am Tag danach. Es gibt nicht einmal innerhalb eines Tages zwei aufeinanderfolgende Sekunden, in denen die Verschiebung von WOZ und MOZ gleich groß wäre. Und auch im Jahresabstand ist die Verschiebung innerhalb eines beliebig kleinen Zeitraums an jedem beliebigen Tag nicht identisch zur Verschiebung innerhalb des gleichen Zeitraums im Jahr davor oder danach.
Was hier „gleiche Schwankungen“ sein sollen, ist für den Nicht-Spezialisten unklar, eine Erklärung wäre deshalb hilfreich.
PS: Ich hatte weiter oben bereits die Korrektur einiger Rechtschreibfehler in der Einleitung beantragt, leider ist das mit einer Ausnahme verweigert worden. Ich beantrage hier trotzdem eine weitere Rechtschreibkorrektur, diesmal im aktuell bearbeiteten Abschnitt 1.1 Stern- und Sonnentag: gleichmäßig statt gleichmässig. Vielen Dank.
Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   15:20, 3. Mär. 2014 (CET)

Zum kritisierten Satz gibt es eine Umgebung:

Diese Zusatzeit kann bis etwa 30 Sekunden länger oder bis etwa 20 Sekunden kürzer sein als ihr Mittelwert von knapp 4 Minuten, was sich über Monate hinweg auf bis zu rund einer Viertelstunde aufsummieren kann, bevor sich der Effekt wieder umkehrt. Die am Sonnenstand abgelesene wahre Sonnenzeit WOZ vergeht mit gleichen Schwankungen ungleichmässig. Ihre Abweichung von der gleichmässig vergehenden Zeit MOZ einer fiktiven Sonne ist die sogenannte Zeitgleichung.

Es ist gute Sitte, einen Satz nicht aus seiner Umgebung herauszuziehen, um ihn zu bemängeln. Falls Du das nicht aus Versehen, sondern mit Absicht getan hast, musst Du Dich nicht wundern, wenn Du im Wiederholungsfall ignoriert wirst.
mfG DrIngEnd 12:51, 4. Mär. 2014 (CET)

Das Weglassen der Umgebung eines Satzes wäre nur dann ein Verstoß gegen die guten (Diskussions-)Sitten gewesen, wenn in dieser Umgebung tatsächlich das stünde, dessen Fehlen ich – demzufolge dann zu Unrecht – bemängelt habe. Dies ist hier aber nicht der Fall. Auch unter Einbeziehung der von dir ergänzten Umgebung bleibt meine Frage unverändert bestehen: Was sind diese „gleichen Schwankungen“ der wahren Sonnenzeit, die sie ungleichmäßig vergehen lassen? Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   14:25, 4. Mär. 2014 (CET)

Rektaszension der Mittleren Sonne

Ich habe mir im Zuge der neu aufgeflammten Kritikwelle den Abschnitt zur rechnerischen Ermittlung der ZG noch einmal genauer angesehen. Die erklärenden Texte sind oft unverständlich bzw. nicht nachvollziehbar. Beispielsweise erschließt sich mir der Abschnitt "Rektaszension der Mittleren Sonne" sprachlich und inhaltlich nicht. Angeblich ist es "notwendig", dass die beiden fiktiven Körper den Frühlingspunkt gleichzeitig passieren. Die ZG ist aber an dieser Stelle nicht Null. Früher stand da noch etwas von "Definition" (Definitionen sind nicht "notwendig"). Man sollte einen an sich schon schwierigen Sachverhalt nicht durch die Art der Darstellung vollends unverständlich machen. Tipp: Das Gerede von den wahren, mittleren, fiktiven und fiktiven mittleren Sonnen bzw. Erden einfach bleiben lassen. Es gibt nur eine wahre Erde und eine wahre Sonne! --Gueziv (Diskussion) 11:05, 4. Mär. 2014 (CET)

Pyrometer hat sich bereits anerboten, den Artikel zu verbessern. Du bist aufgerufen, mitzuhelfen, auch wenn das aufwändiger ist, als mit wenigen Sätzen Unmut zu äußern. Es handelt sich um einen Sachverhalt, der schwierig und nicht mit unserem Schulwissen und unserem intuitiven Verständnis zu bewältigen ist. Die Literatur dazu ist vorwiegend wegen der Sache, nicht wegen der Expertensprache schwer verdaulich und nicht leicht komprimiert in einem WP-Artikel darstellbar.

Ob Du aber in einer längeren und noch weniger im Experten-Idiom verfassten Darstellung eine schnelle und mühesparende Antwort auf Dein Problem (Die ZG ist aber an dieser Stelle nicht Null.) gefunden hättest, bezweifle ich. Bei etwas genauerem Hinsehen hättest Du aber die Antwort finden können. Der ZG-Anteil aus der einen Ursache (hier die Krücke mit der fiktiven mittleren Sonne) ist tatsächlich im Frühlingspunkt Null, nicht aber der andere Anteil.
mfG DrIngEnd 13:15, 4. Mär. 2014 (CET)

Ich möchte keineswegs nur Kritik äußern, sondern konstruktiv mitarbeiten.
Worum geht es?
Stellen wir uns ein rundes Ziffernblatt mit zwei Zeigern vor. Der "Sonnenzeiger" umrundet dieses Ziffernblatt einmal im Jahr, allerdings mit leicht schwankender Geschwindigkeit. Seine Position wird durch den Winkel α angegeben. Dieser Winkel ist naturgegeben, steht also fest.
Daneben gibt es den "Normalzeiger". Auch dieser umrundet das Ziffernblatt einmal im Jahr, bewegt sich aber mit konstanter Geschwindigkeit. Seine Position wird durch den Winkel α_M angegeben. Die Differenz zwischen den beiden Zeigern ist die ZG.
Der Winkel α_M ist nicht naturgegeben, sondern muss definiert, d.h. festgelegt werden.
Es ist α_M=(360°/J)* t+α₀. Wie man leicht erkennt, ist das eine lineare Gleichung, in der Schule meist in der Form y = mx + b geschrieben. In früheren Versionen des Artikels gab es diese Konstante α₀, sie ist prinzipiell frei wählbar, ergibt sich also nicht "notwendig".
Wie wird α₀ definiert?
So, dass der Unterschied zwischen den beiden Zeigern (also die ZG) im Jahresmittel ein Minimum (nämlich Null) wird. Dies äußert sich auch in der weiter oben in den Raum gestellten Behauptung, die von der ZG gebildeten Flächen oberhalb und unterhalb der t-Achse seien gleich. Wie man das mathematisch genau herleitet, weiß ich nicht. Das Endergebnis ist jedenfalls wie angegeben: α₀ = M₀ + L. In neueren Versionen wurden einige Ausdrücke algebraisch zusammengefasst, sodass der Hintergrund nicht mehr erkennbar ist.
Ich denke, dass das verständlich und sachlich richtig ist. Irgendwelche "Krücken" mit fiktiven mittleren Sonnen usw. waren nicht notwendig.
Man kann das Modell noch weiter ausbauen und sich vorstellen, dass das Ziffernblatt eine 24h-Teilung hat und sich wie die Erde unter den beiden Zeigern durchdreht (eine Umdrehung pro Sterntag). Dann zeigt der Sonnenzeiger WOZ und der Normalzeiger MOZ an.
Ich bin für "einfach und klar", aber trotzdem richtig. Einstein soll gesagt haben: "Man soll die Dinge so einfach wie möglich machen, aber nicht noch einfacher". Ich finde, das ist ein gutes Motto. In diesem Sinne mfG --Gueziv (Diskussion) 12:02, 6. Mär. 2014 (CET)

Deine Dich überraschende Feststellung, dass die ZG im Frühlingspunkt trotz Zusammentreffen der beiden Sonnen gar nicht Null ist, scheint Dir kein Anliegen mehr zu sein. Jedenfalls verschweigst Du diesen Punkt in der Fortsetzung Deiner Diskussion.
Worum geht es Dir?
Bleibt es dabei, das Gerede von den wahren, mittleren, fiktiven und fiktiven mittleren Sonnen bzw. Erden einfach bleiben [zu] lassen?
Du übersetzt oben nur die Rede über die gleichmäßig vergehende Zeit in mathematische Sprache: lineare Gleichung. Richtig, aber es geht primär nicht um einen mathematischen Begriff. Für das Verstehen der ZG muß sich deren Beschreibung an die astronomischen Ursachen halten. Die alten Astronomen haben im Zusammenhang mit dem generell nicht einfachen Phänomen Zeit (im engeren Sinne die gleichmäßig vergehende Zeit) offensichtlich mit Absicht und in gegenseitigem Einverständnis die gleichmäßig bewegte fiktive Sonne der wahren Sonne gegenüber gestellt. Vordergründig mag uns diese Analogie als trivialer Erklärungsversuch erscheinen, aber vielleicht stellt sich bei näherem Hinsehen heraus, dass sie sehr nützlich ist. Auf keinem Fall dürfen wir das Gerede darüber einfach bleiben lassen. Wenden wir uns also dem Versuch zu, den gegenwärtigen Artikeltext nochmals zu verbessern, ohne zu vergessen, dass der Artikelinhalt ein astronomischer ist.
mfG DrIngEnd 23:13, 8. Mär. 2014 (CET)

Ich habe nochmals unsere Quelle Sonnenuhren-Handbuch der DGC konsultiert. Du hast Recht: Es ist nicht notwendig, dass beide fiktiven Körper den Frühlingspunkt gleichzeitig passieren.
Quellenzitat (Ausgabe 1990): „In der Wahl von α₀ ist man im Prinzip frei, jedoch sollte die mittlere Sonne möglichst eng an die wahre gekoppelt sein, was bedeutet, dass α_M(t) das zeitlich ungleich ablaufende Λ(t)=L(t)+V(t) "mitteln" müßte. Da aber V durch M "gemittelt" wird, liegt natürlich die Definition α_M(t)=L(t)+M(t) sehr nahe. Man sieht sofort, dass dann auch gilt: α_M(t)=L₀+M₀+360°(t-t₀)/J_tr.“
Es ist also nicht von einer Mittelwertbildung ("mitteln" steht in " "-Zeichen), sondern nur von einer engen Kopplung die Rede. Der Artikeltext ist leicht und schnell korrigierbar.
mfG DrIngEnd 13:11, 9. Mär. 2014 (CET)

Hallo DrIngEnd, ich möchte zu Deiner neuesten Änderung Stellung nehmen:
Du schreibst: "Die Mittlere Sonne ist durch die Festlegung, dass sie den Frühlingspunkt gleichzeitig mit der Wahren Sonne passiert, ausreichend eng an den Lauf der Wahren Sonne gekoppelt".
Hier scheint sich ein Fehler eingeschlichen zu haben. Die Mittlere Sonne ist ja ein Symbol für etwas, was ich lieber Uhrzeiger nennen möchte. Die ZG ist aber im Frühlingspunkt nicht Null, Sonnenzeiger und Uhrzeiger stimmen also nicht überein. Folglich kann die Wahre Sonne (WOZ) nicht gleichzeitig mit der Mittleren Sonne (MOZ) im Frühlingspunkt sein.
Es muss wohl richtig "Mittlere Erde" heißen.
Die Mittlere Erde umkreist die Sonne auf einer Kreisbahn, also gleichmäßig (heliozentrisches System). Die Mittlere Sonne bewegt sich auf dem Himmelsäquator, also nicht, wie man es von einer Sonne erwarten würde, in der Ekliptik (geozentrisches System). Hier werden anscheinend heliozentrisches und geozentrisches System miteinander vermischt. Ich habe nach wie vor große Schwierigkeiten mit diesem Text.
Der Ausdruck "willkürliche Festlegung" gefällt mir auch nicht. "Willkürlich" bedeutet ja "planlos, ohne Begründung" und das stimmt ja nicht. Auch die Ausdrucksweise "ausreichend eng gekoppelt..." gefällt mir nicht, weil völlig unbestimmt. Weiter oben hat man sich dagegen ganz genau festgelegt: "Die von der ZG-Kurve eingeschlossenen Flächen sind oberhalb und unterhalb der Null-Linie gleich".
Ich denke, es könnte nicht falsch sein, wenn man etwa formulieren würde: Der Winkel α_M ist so festgelegt, dass der Unterschied zwischen α_M und α möglichst klein wird.
Um diese Festlegung plausibel zu erklären, müsste man meiner Meinung nach anders argumentieren, als das gegenwärtig geschieht. Man kann es aber auch bei der bloßen Tatsachenbehauptung belassen.
Aus meiner Sicht wäre es vor allem wichtig, dass der Leser die grundsätzliche Zielrichtung der Definition versteht. Ganz praktisch gesehen ist es doch so:
Auf der einen Seite haben wir die Sonnenuhr. Die Position des Schattenzeigers ist vorgegeben, da kann man nichts machen. Auf der anderen Seite haben wir die normale Uhr, z.B. eine schweizer Taschenuhr. Diese Uhr kann man stellen. Aber wie soll man sie stellen? Man wird sie sinnvollerweise so stellen, dass Sonnenzeit (WOZ) und Normalzeit (MOZ) möglichst wenig voneinander abweichen. Darum geht es im Kern und um das zu erklären, braucht es eigentlich keine an den Himmel projizierten fiktiven Körper. MfG--Gueziv (Diskussion) 19:52, 11. Mär. 2014 (CET)

Vorneweg: Es ist nicht ganz einfach, auf deine Beiträge zu antworten, wenn du sie dauernd wieder veränderst und ergänzt. Bitte benutze doch die "Vorschau"-Funktion.

Inhaltlich: Ich finde "fiktive mittlere Sonne" sehr anschaulich. Und ich würde nicht von der "mittleren Erde" reden, denn meiner Meinung nach betrachtet man die Situation insgesamt besser geozentrisch. Die heliozentrische Sicht macht Sinn für die ungleichmäßige Bewegung der Sonne (bzw. der Erde) auf der Ekliptik. Aber sich eine "mittlere Erde" vorzustellen, die auf einer zum Himmelsäquator parallelen Kreisbahn um die Sonne läuft, macht für mich keinen Sinn. Du selbst schreibst ja von der Vorstellung eines Uhrzeigers. Für mich ist die Himmelssphäre sozusagen das Zifferblatt und die Sonne der darauf umlaufende Uhrzeiger. Der gleichmäßig umlaufende Uhrzeiger, der die mittlere Sonnenzeit misst, ist dann die mittlere Sonne. --Digamma (Diskussion) 21:33, 11. Mär. 2014 (CET)

Hallo Digamma, ich habe das Problem, dass der Texteditor nach jeweils wenigen Zeilen ganz langsam wird und nicht mehr verwendbar ist. Nur wenn ich zwischenspeichere, kann ich weiterschreiben. Was kann ich besser mchen?--Gueziv (Diskussion) 19:26, 12. Mär. 2014 (CET)

Hm... Das Problem kenne ich nicht. Gilt das auch, wenn du auf "Vorschau zeigen" klickst, statt auf "Seite speichern"? --Digamma (Diskussion) 20:19, 12. Mär. 2014 (CET)

Zum Thema in Kürze: In dem WP-Text ist von einer "fiktiven Mittleren Sonne" und von einer "fiktiven Erde" die Rede. Ich bin mit Dir der Meinung, dass das wenig Sinn macht. Ich habe diesen Abschnitt herausgegriffen, weil er mir ganz besonders schwer verdaulich erschien. Ich wollte aber anregen, den ganzen Text von Ballast zu befreien und leichter verständlich zu machen. Aber es ist natürlich sehr mühsam, hier einen Konsens herzustellen. MfG --Gueziv (Diskussion) 19:38, 12. Mär. 2014 (CET)

Sorry, da hatte ich nicht genau genug gelesen. Ich dachte den Ausdruck "mittlere Erde" hättest du ins Spiel gebracht. Ich stimme zu, dass der Abschnitt über die Herleitung zu kompliziert ist. Ich fürchte aber, dass ich wenig Zeit finde, dazu beizutragen. Außerdem habe ich keine einschlägige Literatur zur Hand, im Gegensatz zu Benutzer:Dringend. Die Frage ist, was das Ziel des Abschnitts ist: Soll er so detailliert und präzise gehalten sein, dass ein Leser die Zeitgleichung im Prinzip selbst berechnen kann. Oder so, dass man das Prinzip darinter möglichst einfach verstehen kann. Ich wäre für das zweite. Oder, man trennt das nochmals in zwei Teile auf, einen allgemeinverständlichen und eine technischen. --Digamma (Diskussion) 20:19, 12. Mär. 2014 (CET)

Erster oder zweiter Vorschlag? Ich wäre für Beides. Man kann mit den Formeln die ZG tatsächlich und nicht nur "im Prinzip" berechnen, sollte die Rechnung aber auch verstehen. Es bleibt bei der Rechnung eine Differenz von bis zu zwei Sekunden zu veröffentlichten Tabellenwerten. Aus meiner Sicht wäre ein Zahlenbeispiel für entsprechend interessierte Leser sehr hilfreich. Ein solches Zahlenbeispiel war schon mal drin, wurde dann aber wieder gelöscht. MfG --Gueziv (Diskussion) 19:41, 13. Mär. 2014 (CET)

Entfernt: ... sind die von der Zeitgleichung gebildeten Flächen oberhalb und unterhalb der Null-Linie gleich groß.
(unterblieb bei letzter Änderung, da nicht gefunden)
mfG DrIngEnd 02:20, 12. Mär. 2014 (CET)

Hallo Dringend, ich fürchte, dass der Sachverhalt noch nicht geklärt ist. Zwar ist es a priori der Willkür überlassen, wie man die fiktive mittlere Sonne an die wahre Sonne koppelt. Aber schlussendlich wurde ja wohl irgendwann eine feste Regelung getroffen, wie sich die mittlere Sonnenzeit zur wahren Sonnenzeit verhält. Da es offensichtlich nicht so ist, dass mittlere und wahre Sonne gleichzeitig durch den Frühlingspunkt gehen (sonst wäre die Zeitgleichung zu diesem Zeitpunkt null), muss es eine andere Festlegung geben. Am plausibelsten erscheint mir diejenige, dass die mittlere Sonne so festgelegt wurde, dass das Zeitmittel über die Abweichung (d.h. das Integral über die Zeitgleichung über eine Periode) null ergibt. Deshalb würde ich den Satz "... sind die von der Zeitgleichung gebildeten Flächen oberhalb und unterhalb der Null-Linie gleich groß." nicht streichen. Allerdings habe ich dafür keine Quelle. --Digamma (Diskussion) 20:19, 12. Mär. 2014 (CET)

Das konstante Glied der mittleren Rektaszension hat den Wert der Länge des Perigäums der Sonne, ca. -77°. Modalanalytiker (Diskussion) 22:57, 12. Mär. 2014 (CET)

2014: α_M(t=0) = L₀+M₀ = -76,82°-2,11° = -78,93°
Quelle: Sonnenuhren-Handbuch, DGC, 2006, S.46+48.
mfG DrIngEnd 12:26, 13. Mär. 2014 (CET)

Rektaszension der Mittleren Sonne zum Zweiten

@Digamma,
Am plausibelsten erscheint mir diejenige, dass die mittlere Sonne so festgelegt wurde, dass das Zeitmittel über die Abweichung (d.h. das Integral über die Zeitgleichung über eine Periode) null ergibt.
Das erachte ich auch für eine plausible Möglichkeit, die mir aber erst als TF von Benutzer:Sonneninfo begegnete. Im Sonnenuhren-Handbuch der DGC steht 1990 die in unserem Artikel verwendete Definition:
„In der Wahl von α_M(t=0) ist man im Prinzip frei, jedoch sollte die mittlere Sonne möglichst eng an die wahre gekoppelt sein, was bedeutet, dass α_M(t) das zeitlich ungleich ablaufende Λ(t)=L(t)+V(t) "mitteln" müßte. Da aber V durch M "gemittelt" wird, liegt natürlich die Definition α_M(t)=L(t)+M(t) sehr nahe. Man sieht sofort, dass dann auch gilt: α_M(t)=L₀+M₀+360°(t-t₀)/J_tr.“
2006 heißt es nur noch lapidar:
Wir setzen fest: α_M(t=0) = L₀+M₀, aber von folgenden Sätzen gefolgt:
„Die Rektaszension der mittleren Sonne ist also zu jeder Zeit gleich der ekliptischen Länge Λ_M des Punktes Y, der durch die mittlere Anomalie M(t) bestimmt ist. Auf diese Weise mittelt α_M(t) das ungleichmäßig ablaufende Λ(t) und bleibt somit wertmäßig stets nahe der wahren Rektaszension.“
Dieser erste Satz ist nicht so griffig, wie der momentane, aber falsche Satz: Die mittlere Sonne ... den Frühlingspunkt gleichzeitig mit der wahren Sonne passiert. Letzterer geistert in der Literatur umher und fand so den Weg in unseren Artikel. Den DGC-Satz fand ich bisher nirgends. Seinen Autor (Schilt) kann ich nicht mehr fragen, denn er lebt nicht mehr. Seinen Satz griffiger zu machen (Etwas passiert mit etwas Anderem gleichzeitig Etwas), gelingt mir nicht. Hast Du eine Idee dazu?
mfG DrIngEnd 12:26, 13. Mär. 2014 (CET)

Vielen Dank. Ich habe ein bisschen Zeit gebraucht, um die Formeln zu verstehen. Mit α_M(t)=L(t)+M(t) kann ich etwas anfangen. Mit „Die Rektaszension der mittleren Sonne ist also zu jeder Zeit gleich der ekliptischen Länge Λ_M des Punktes Y, der durch die mittlere Anomalie M(t) bestimmt ist.“ auch. Wenn ich das richtig verstanden habe, dann folgt hieraus, dass der Mittelwert der Zeitgleichung null ist. Denn:

1. Weil die Erdbahn als Keplerellipse symmetrisch ist zur großen Achse (Perihel – Aphel), ist die "Differenzfunktion" Λ_M(t) - Λ(t) zwischen der Länge des Punktes Y und der Länge der Sonne "punktsymmetrisch" zum Aphel: Der Betrag, um den die Sonne in der ersten Jahreshälfte (Perihel - Aphel) vor Y vorausläuft (bis sie sich im Aphel nach einer halben anomalistischen Periode wieder treffen), um den läuft sie in der zweiten Jahreshälfte (Aphel – Perihel) hinterher (bis sie sich im Perihel wieder treffen). Der Mittelwert der Differenz ist deshalb 0. (Hier habe ich vernachlässigt, dass die Länge des Perihels nicht konstant ist.)

2. Wenn die Rektaszension der fiktiven mittleren Sonne gleich der Länge von Y ist, bedeutet dies, dass die fiktive mittlere Sonne und Y gleichzeitig den Frühlingspunkt passieren. Da sich beide mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, treffen sie sich nach einem halben tropischen Jahr im Herbstpunkt wieder. Die Rektaszension von Y wächst zu Beginn langsamer als die Rektaszension der fiktiven mittleren Sonne, im Bereich der Wendepunkte aber schneller. D.h. von Frühlingspunkt bis zum Sommerpunkt ist die Rektaszension der fiktiven mittleren Sonne größer als die von Y (zur Sommersonnenwende sind sie wieder gleich), vom Sommerpunkt bis zum Herbstpunkt ist sie kleiner. Da die beiden Abschnitte genau symmetrisch zueinander sind, ist der Mittelwert der Differenz wieder 0.

Was ich jetzt nicht berücksichtigt habe, ist die Tatsache, dass L(t) nicht konstant ist. Dies führt möglicherweise dazu, dass das Mittel über eine Periode nicht genau gleich 0 ist. Es ist ja dann auch gar nicht klar, über welche Periode man mitteln müsste: über das tropische Jahr oder über das anomalistische.

Insgesamt scheint mir die Erklärung „Die Rektaszension der mittleren Sonne ist also zu jeder Zeit gleich der ekliptischen Länge Λ_M des Punktes Y, der durch die mittlere Anomalie M(t) bestimmt ist“ am verständlichsten zu sein. --Digamma (Diskussion) 15:59, 13. Mär. 2014 (CET)

Ich stimme mit Dir überein, dass Deine Überlegungen nur für die Näherung Sinn machen, dass die ZG in aller Ewigkeit unveränderlich ist. Deine Ausführungen zu 1. und 2. habe ich aber noch nicht verstanden. Achte doch bitte darauf, dass vergleichende Betrachtungen eindeutig in einem der Systeme (helio- bzw. geozentrisch) erfolgen. Du setzt z.B. gleich zu Beginn die „Länge des Punktes Y“ (heliozentrisch: fiktive Erde) mit der „Länge der Sonne“ (nur geozentrisch relevant) in Relation.
mfG DrIngEnd 23:28, 21. Mär. 2014 (CET)

Hallo Digamma, Du hast dir ja inzwischen richtig ernsthaft Gedanken gemacht! Ich muss mir das in Ruhe anschauen. Mit Deinem Formulierungsvorschlag am Schluss scheint mir aber nicht viel gewonnen zu sein. Das ist eine nicht ganz einfach zu verstehende Tatsachenbehauptung und es bleibt unklar, was damit bezweckt werden soll. Kann man den Sachverhalt tatsächlich nicht plausibel darstellen? MfG --Gueziv (Diskussion) 20:10, 13. Mär. 2014 (CET)

Zum konstanten Glied $\alpha _{0}$ der mittleren Rektaszension $\alpha _{M}$ in der Zeitgleichung $ZG=M+\alpha _{0}-\arctan _{\Lambda }(\cos \varepsilon \tan \Lambda )$ kommt man, wenn man $ZG=0$ für den Grenzfall $e=\varepsilon =0$ verlangt. Dann gilt $0=M+\alpha _{0}-\Lambda$ und $M=V$. Daraus folgt $\alpha _{0}=\Lambda -V=\Lambda _{P}$. $\Lambda _{P}$ bezeichnet die Länge des Perigäums der Sonne in ${\displaystyle }$ der Ekliptikebene. $M$ zählt ab Perigäum. Modalanalytiker (Diskussion) 21:07, 13. Mär. 2014 (CET)

Langer Formeleinschub, kurzer Widerspruch: $\alpha _{0}$ wird gewählt, nicht ausgerechnet.
mfG DrIngEnd 12:48, 21. Mär. 2014 (CET)

Mit der Wahl hast du völlig recht. Ich erkläre es noch einmal: „... kommt man, wenn man $\scriptstyle ZG=0$ für den Grenzfall $\scriptstyle e=\varepsilon =0$ verlangt.“ heißt: ... kommt man, wenn man $\scriptstyle ZG=0$ für den Grenzfall $\scriptstyle e=\varepsilon =0$ wählt. Ich rechne das Konstantglied erst aus, nachdem ich gewählt habe. Vorsichtshalber erwähne ich, dass die so nach dem Keplermodell berechnete Zeitgleichung für die wahre Erde das Wahlversprechen nicht ganz genau erfüllt. (nicht signierter Beitrag von Modalanalytiker (Diskussion | Beiträge) 16:20, 21. Mär. 2014 (CET))

Hallo Modalanalytiker! Du gehst einen neuen Weg, indem Du die vorhandenen Gleichungen analysierst. Das erscheint mir besser als immer neue gewundene Formulierungen mit fiktiver Erde und fiktiver Sonne. Du solltest Deine Argumentation aber noch besser ausformulieren, damit sie leicht nachvollzogen werden kann. Du sprichst von ZG=0 und Grenzfall usw.. Warum? Verstehst Du, was ich meine? Nicht jeder kann und will die argumentativen Lücken selbst ausfüllen. Insgesamt aber ein sehr interessanter Vorschlag! MfG --Gueziv (Diskussion) 10:38, 14. Mär. 2014 (CET)

Ich komme nächste Woche darauf zurück. Im Moment bin ich auf ein 7-Zoll-Android-Tablet zurückgeworfen. Damit ist Wikipedia Arbeit wie Mäusemelken. Modalanalytiker (Diskussion) 12:04, 14. Mär. 2014 (CET)

Meine Argumentation gefällt mir jetzt nicht mehr so gut, weil ich meine, eine bessere gefunden zu haben. Sie ist am Ende des folgenden Entwurfs nachzulesen, der das Artikelkapitel Ermittlung der Zeitgleichung ersetzen könnte (siehe unten). Ich stelle den Entwurf zur Diskussion, da nach meinem Eindruck hier Unzufriedenheit mit der bestehenden Version herrscht. Modalanalytiker (Diskussion) 21:05, 18. Mär. 2014 (CET)

Ich bitte, sich an die Geschäftsordnung zu halten. Das Thema heißt Rektaszension der Mittleren Sonne.
mfG DrIngEnd 12:53, 21. Mär. 2014 (CET)

Ich halte mich in diesem Fall an die „Geschäftsordnung“: An der richtigen Stelle verweise ich auf den neuen Abschnitt Mittelwert der Zeitgleichung. Falls du es hier direkt lesen möchtest, kopiere ich eine Wiederholung des Textes gern noch einmal hier für dich ein. Modalanalytiker (Diskussion) 16:20, 21. Mär. 2014 (CET)

Rechenbeispiel, Version 25. Mär. 2014, 13:35

Fur den gewählten Zeitpunkt 1.4.2015 12:00 UT liefern die vier unabhängigen Quellen

1. Englischer Online-Rechner: - 3 m 57 s
2. Französischer Online-Rechner: [-] 3 m 56 s
3. Amerikanischer Computer Almanach: - 3 m 57 s
4. Meine Rechnung: -3 m 58 s

die genannten Werte. Das Rechenbeispiel mit dem Ergebnis -3 m 38 s sollte seinem Ansatz nach erheblich näher an die durch den engen Streubereich Vertrauen erweckenden Vergleichswerte kommen. Ich schlage vor, die Rechnung zu kontrollieren. Modalanalytiker (Diskussion) 15:41, 25. Mär. 2014 (CET)Modalanalytiker (Diskussion) 17:46, 25. Mär. 2014 (CET)

Benutzer:Dringend sei Dank für seine Korrektur seines Rechenbeispiels. Modalanalytiker (Diskussion) 10:55, 26. Mär. 2014 (CET)

Harmonisierung von Artikeltext und Rechenbeispiel, Version 26. Mär. 2014, 14:52 bezüglich t'

Im Artikeltext ist t'=0 als 1. Januar 0:00 Uhr festgelegt. Im Rechenbeispiel wird dagegen für den 2. April 2015, 12:00 UT die Variable t' ganzzahlig (in Tagen) angegeben. Der Urheber sollte Text und Rechenbeispiel harmonisieren. Modalanalytiker (Diskussion) 17:48, 26. Mär. 2014 (CET) Modalanalytiker (Diskussion) 17:55, 26. Mär. 2014 (CET)

Kepler-Gleichung ↔ Reihenentwicklung

Zur Keplergleichung: Die Keplergleichung ist sicher eine Großtat des menschlichen Geistes, hat m.E. aber nur historische Bedeutung. Für Berechnungen benützt man besser die Reihenentwicklung. Die entsprechende Formel wurde zunächst aus dem WP-Text in die "ANMERKUNGEN" verbannt und jetzt ganz gestrichen (nach Gutsherrenart, dieses Teufelszeug kommt nicht in meinen Text). --Gueziv (Diskussion) 14:10, 23. Mär. 2014 (CET)

Gleichungen dienen ja nicht nur der Berechnung. Die Keplergleichung hat den Vorteil, dass sie exakt ist. Und oft gibt es Berechnungsmethoden, die effizienter sind als die mittels Reihenentwicklung. Wo stand die Reihenentwicklung? In diesem Artikel oder in Kepler-Gleichung? Und stand dort eine Formel für die komplette Reihenentwicklung oder nur Anfangsglieder? --Digamma (Diskussion) 14:54, 23. Mär. 2014 (CET)

Die Reihenentwicklung war in diesem Artikel z.B. noch in der Version vom 5. März als ANMERKUNG (5) enthalten. Es werden selbstverständlich nur die ersten Glieder aufgeführt, die übrigen Glieder bringen Anteile weit unter einer Sekunde, sind also nicht relevant. Mir ist keine Regel bekannt, mit der man weitere Glieder selbst "konstruieren" könnte, aber das sind mathematische Fragen und hier geht es ja nur um die Anwendung. MfG --Gueziv (Diskussion) 10:10, 24. Mär. 2014 (CET)

Ich habe nicht die Absicht, die ZG selbst auszurechnen oder das zu programmieren. Deshalb interessiert mich die praktische Berechnung weniger. Mich interessiert, was physikalisch-mathematisch dahinter steckt. Die Reihendarstellung von V halte ich allerdings für nützlich, weil sie ja die periodischen Schwankungen zeigt. Informativ fände ich deshalb auch eine Reihendarstellung der Zeitgleichung selbst. --Digamma (Diskussion) 10:58, 24. Mär. 2014 (CET

Ich habe gerade gesehen, dass die Anmerkung erst gestern Mittag entfernt wurde. Ich habe sie wieder eingfügt. --Digamma (Diskussion) 11:16, 24. Mär. 2014 (CET)

Im Artikeltext werden die Berechnungs-Gleichungen hergeleitet. Dieses Angebot zum Verständnis wird durch das pure Nennen der Reihenentwicklung zunichte gemacht. Das ist ein Beispiel für Rezept-Angaben, die bekanntlich nichts verständlich machen. Es gibt keine Quelle, die diese alternative Möglichkeit erklärt/herleitet. Abgesehen davon: Alternativ zu den numerischen Verfahren wäre unverständlich. Nur Gl. (4), nicht aber die mit betroffene Gl. (5) ist numerisch zu lösen. Außerdem: Die Benotung der Kepler-Gleichung quasi als “Schnee von gestern” halte ich für eine Diffamierung höheren Grades.
mfG DrIngEnd 13:48, 24. Mär. 2014 (CET)

Ich sehe nicht, wie das Nennen der Reihenentwicklung den ersten Teil zunichte machen soll. (4) und (5) sind Gleichungen, die V implizit exakt definieren. Gleichung (4) lässt sich nicht exakt nach E auflösen, also kann man auch V nicht exakt explizit angeben. Es macht aber durchaus Sinn, V näherungsweise als Reihenentwicklung darzustellen. Das nimmt dem vorigen nichts weg.

Wie V in der Praxis tatsächlich bestimmt wird, ist sowieso eine ganz andere Frage. Ein Weg ist sicher, Gleichung (4) mit Hilfe des Newton-Verfahrens numerisch zu lösen und diese Lösung dann in die nach V aufgelöste Gleichung (5) einzusetzen. Ein anderer Weg ist, aus Gleichung (4) und (5) eine Gleichung zwischen V und M zu gewinnen und diese dann direkt numerisch nach V zu lösen. Ich könnte mir vorstellen, dass dies sinnvoller ist. Ein dritter Weg, der offensichtlich historisch auch begangen wurde, ist die Reihenentwicklung. Der Vorteil ist, dass man aus einer trigonometrischen Reihe eine ganze Menge an Information gewinnen kann ohne die einzelnen Funktionswerte zu berechnen. (Und zuguter Letzt gibt es Berechnungsverfahren für V, die weder die Kepler-Gleichung noch die Reihenentwicklung benutzen). Du schreibst: "Es gibt keine Quelle, die diese alternative Möglichkeit erklärt/herleitet." Es reicht, wenn es eine Quelle für die Reihe selbst gibt. Es ist nicht nötig, dass eine Herleitung dafür angegeben wird. Und für die Reihe dürfte es sicher eine Quelle geben. --Digamma (Diskussion) 19:09, 24. Mär. 2014 (CET)

Nachdem ich den PC abgestellt hatte, fiel mir ein, dass man mein Es gibt keine Quelle ... im allgemeinsten Sinn verstehen kann, was Du nun wohl auch getan hast. Was ich meinte: Dem entspechenden Einschub im Artikel ist keine Quelle beigefügt. Meine Kritik im Allgemeinen: Die von mir dargestellte Herleitung der ZG ist sinnvollerweise so, wie es erstmalig Kepler machte. Spätere Varianten sind in diesem Kontext als solche zu kennzeichnen und sinnvollerweise herzuleiten, oder deren Herleitung und Verwendung zu “bequellen”. Auch jedwede Kniffe, die heutige Rechner anwenden, gehören nicht an primäre Stelle. Deshalb habe ich auch den Kniff, wie Rechenroboter (Computer) beim Arcustangens den Winkel im richtigen Quadranten auswerfen, entfernt.
mfG DrIngEnd 13:00, 25. Mär. 2014 (CET)

Das ist doch keine historische Darstellung. Und auch die "Lösung" der Kepler-Gleichung mit Hilfe des Newton-Verfahrens stammt ja (wie der Name sagt) nicht von Kepler. Sinnvoll ist das, was heute für den Leser verständlich ist. Da hat die Kepler-Gleichung durchaus einen Platz, weil sie relativ leicht nachzuvollziehen und im Prinzip exakt ist. Das spricht aber nicht gegen die Angabe der Reihenentwicklung. Eine Quelle sollte sich vermutlich finden lassen. Da hier ja sowieso eine längere Diskussion stattfindet, sollte auf fehlende Quellenangaben zunächst auf der Diskussionsseite hingewiesen werden, bevor die Passage kommentarlos gelöscht wird. Was den Arkustangens betrifft, gebe ich dir recht. --Digamma (Diskussion) 13:38, 25. Mär. 2014 (CET)

Eine mögliche Quelle ist im Artikel unter WEBLINKS zu finden: //info.ifpan....
Ich habe aber den Eindruck, dass es sowieso nicht um die Sache geht, sondern um das Verteidigen von "Besitzrechten" und das Entfernen von "fremder DNA". mfG --Gueziv (Diskussion) 10:21, 26. Mär. 2014 (CET)

Du hast es treffend formuliert und bist mit deinem Eindruck nicht allein. Dem Phänomen ist selbst mit den besten Argumenten nicht beizukommen, solange man nicht die Manieren des "Besitzers" übernimmt - und wer mag sich das schon antun. Modalanalytiker (Diskussion) 11:08, 26. Mär. 2014 (CET)

Definition der mittleren Anomalie

Die mittlere Anomalie M wird in diesem Artikel sowohl im Text als auch in den Grafiken als sonnenzentrischer (d.h. in einem Ellipsen-Brennpunkt gemessener) Winkel definiert. Im Artikel Kepler-Gleichung wird dieselbe mittlere Anomalie M sowohl im Text als auch in den Grafiken als ellipsenzentrischer (d.h. im Ellipsen-Mittelpunkt gemessener) Winkel definiert. Trotzdem ist die Kepler-Gleichung, die die (in beiden Artikeln übereinstimmend definierte) exzentrische Anomalie und die mittlere Anomalie verknüpft, in beiden Artikeln identisch …

Wie lässt sich dies erklären? Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   20:11, 22. Mär. 2014 (CET)

Das spielt keine Rolle, weil es sich nicht um die Richtung vom Zentrum zu einem realen Objekt handelt, sondern um eine rechnerisch definierte Größe: Die mittlere Anomalie $M(t)$ zum Zeitpunkt $t$ ist

$M(t)={\frac {2\pi }{T}}\,t$,

wobei $t$ die Zeit gemessen vom Periheldurchgang ist und $T$ die Umlaufdauer von Perihel zu Perihel (anomalistische Periode). Für die Herleitung der Keplergleichung ist es nützlich, den Winkel im Mittelpunkt der Erdbahn-Ellipse abzutragen. Für die Zeitgleichung ist es eigentlich sinnvoll, den Winkel geozentrisch auf der Ekliptik abzutragen, und zwar vom Punkt P aus, an dem sich die (scheinbare) Sonne zum Zeitpunkt des Periheldurchgangs befindet. --Digamma (Diskussion) 20:31, 22. Mär. 2014 (CET)

PS: Siehe Diskussion:Kepler-Gleichung#Mittlere Anomalie. --Digamma (Diskussion) 20:33, 22. Mär. 2014 (CET)

Noch einmal zurück zu meiner ursprünglichen Frage: Die textliche und grafische Definition der mittleren Anomalie in diesem Artikel weicht von der Definition in allen anderen Artikeln sowohl in der de- als auch in der en-WP ab. „Das spielt keine Rolle“ finde ich nicht überzeugend, denn es erzeugt jedenfalls unnötige Verwirrung.
Wenn es tatsächlich keine Rolle spielt – warum wird die mittlere Anomalie überhaupt als Winkel statt einfach nur als Parameter definiert?
Und wenn sie schon als Winkel erklärt und eingezeichnet wird, warum wird nicht die identische Definition verwendet wie in allen anderen Artikeln? Zumal die hier verwendete Erklärung anscheinend noch nicht einmal wirklich sinnvoll ist?
Die Erklärung als ellipsenzentrischer Winkel hat außerdem den netten Effekt, dass man den Subtraktionsterm $e\cdot \sin E$ ebenfalls als Winkel darstellen und in Relation zu $E$ und $M$ setzen kann …
Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   12:34, 24. Mär. 2014 (CET)

Digamma hat es schon ausreichend gut erklärt. Ich nenne hier nur noch zusätzlich die Zeiger-Analogie: Man kann einen gleichmäßig rotierenden Zeiger an jedem Punkt (Achse) ansetzen, im besonderen dort, wo die ungleichmäßige Rotation eines anderen Zeigers durch anschauenden Vergleich mit dem gleichmäßig rotierenden visualisiert werden soll. Die beiden Zeiger bilden z.B. zwei Schenkel eines Dreiecks, wodurch sich die mathematische Arbeit bei einer Momentaufnahme auf Geometrie beschränkt. Also: Ein mittlere-Anomalie-Zeiger macht den ungleichmäßigen Lauf eines wahre-Anomalie-Zeigers/exzentrische-Anomalie-Zeigers erkennbar, wenn er um den Brennpunkt/Mittelpunkt der Erdbaban-Ellipse rotiert.
Der Begriff mittlere Anomalie mag auch Dich irritieren. Kepler nannte sie mittlere Bewegung, was in sofern einleuchtend war, weil sie ja gerade nicht ano(r)mal wie die ungleichmäßige Bewegung der Erde bzw. des im Diagramm mit dieser verbundenen Zeigers ist.
mfG DrIngEnd 13:48, 24. Mär. 2014 (CET)

Korrektur: nicht Kepler schrieb mittlere Bewegung, sondern Gauss schrieb mittlere Anomalie, ... welches man mittlere tägliche Bewegung ... nennt (siehe [1], suche unter “motus”).
mfG DrIngEnd 21:23, 27. Mär. 2014 (CET)

Ich glaube, dass du den Text da missverstehst: Erstens ergibt sich daraus, dass Gauß die Bezeichnung "mittlere Bewegung" verwendet hat, nicht, dass Kepler sie nicht benutzt hat. Zweitens lautet der Satz komplett: "Auf diese Weise ausgedrückt heisst die Grösse die mittlere Anomalie, die daher im Verhältnis der Zeit wächst und zwar täglich um das Augment , welches man die mittlere tägliche Bewegung (motus medius diurnus) nennt. — Die mittlere Anomalie bezeichnen wir durch M." Wie ich das verstehe, bezeichnet "mittlere tägliche Bewegung" die tägliche Zunahme ("Augment") der mittleren Anomalie, nicht aber die mittlere Anomalie selbst. "Mittlere Bewegung" alleine kommt in dem Text nicht vor. --Digamma (Diskussion) 21:54, 27. Mär. 2014 (CET)

Lassen wir diese Feinheiten, die ich übersehen habe. Mittlere Bewegung für mittlere Anomalie hätte mir eingeleuchtet. Aber Gauss hat es nicht genau so gemeint, und von Kepler wissen wir diesbezüglich nichts. Ihm könnte mittlere Bewegung für mittlere Anomalie durch diese Äußerung von Gauss unterstellt worden und deshalb in den Artikel Kepler-Gleichung geraten sein. Das habe ich dort jedenfalls mit gutem Grund (fehlender Nachweis) entfernt.
mfG DrIngEnd 22:50, 27. Mär. 2014 (CET)

Troubled asset: „Die Erklärung als ellipsenzentrischer Winkel hat außerdem den netten Effekt, dass man den Subtraktionsterm $e\cdot \sin E$ ebenfalls als Winkel darstellen und in Relation zu $E$ und $M$ setzen kann.“ Das ist richtig für die Herleitung der Kepler-Gleichung. Deren Gültigkeit soll hier aber vorausgesetzt werden. Aber die Darstellung im Artikel gefällt mir auch nicht. Im ersten Teil der Erklärung, wo der Zusammenhang zwischen wahrer Anomalie V, exzentrischer Anomalie E und mittlerer Anomalie M erläutert wird, würde ich die mittlere Anomalie so darstellen wie im Artikel Kepler-Gleichung, also mit Scheitel mit Ellipsenzentrum. Dann würde ich aber zum geozentrischen sphärischen Bild übergehen und die - ich sag mal - "erste fiktive Sonne" auf der Ekliptik laufen lassen. Deren vom Periheldurchgang aus zurückgelegter Weg ist gleich der mittleren Anomalie, aber vielleicht sollte man das gar nicht erwähnen. Der Winkel ist einfach 360°· (t - t_P)/T, wobei t - t_P die seit dem Periheldurchganz verstrichene Zeit ist und T die Umlaufdauer, also ein Jahr. Vielleicht sollte man auch bei der Darstellung der Kepler-Gleichung auf den Begriff "mittlere Anomalie" ganz verzichten und auch dort einfach schreiben 360°· (t - t_P)/T bzw. 2π· (t - t_P)/T, je nachdem, ob man Winkel- oder Gradmaß benutzt. --Digamma (Diskussion) 18:45, 24. Mär. 2014 (CET)

Nehmen wir mal den Zeitpunkt $\textstyle t={\frac {1}{4}}T$, also $\textstyle M(t)={\frac {\pi }{2}}$. Wenn die mittlere Anomalie M als Winkel im Ellipsenzentrum definiert ist, steht die fiktive Erde zu diesem Zeitpunkt im Schnittpunkt des Ellipsen-Umkreises mit der Verlängerung der kleinen Halbachse; wenn M sonnenzentrisch definiert ist, stünde die Erde im Schnittpunkt des Umkreises mit einer Parallele zur kleinen Halbachse durch die Sonne. Mir ist schon klar, dass man einfach die Kepler-Gleichung für den Wert $\textstyle M={\frac {\pi }{2}}$ löst, ohne dass das einen konkreten Ort der fiktiven Erde voraussetzen würde. Die derzeitige Definition und die Visualisierung im Artikel mit der sonnenzentrischen mittleren Anomalie ist aber sehr irritierend, weil dies bei kontinuierlichem t zu einer unregelmäßigen Bewegung der fiktiven Erde führen würde, was doch gerade nicht der Fall sein sollte.
Auch in dieser netten Animation ist die mittlere Anomalie (hier D genannt) ellipsenzentrisch definiert.
Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   23:52, 24. Mär. 2014 (CET)

Ellipsenzentrische oder sonnenzentrische Umlaufbahn der Erde? Das sind eigentlich zwei verschiedene Dinge, die sich aber als gleichwertig erweisen. Physikalisch gesehen müsste sich eine Mittlere Erde auf einer sonnenzentrischen Kreisbahn um die Sonne bewegen. Um die Kepler-Gleichung herzuleiten, muss man diesen Kreis aber in das Ellipsenzentrum verschieben. Das ist eine geometrietechnische Maßnahme, also nichts Physikalisches. --Gueziv (Diskussion) 10:58, 25. Mär. 2014 (CET)

Ich stimme Gueziv zu. Die mittlere Anomalie ist zunächst nur ein Zeitmaß in Winkelgestalt, das nicht vorab aus einer geometrischen Figur definiert ist. In einer Visualisierung der Keplergleichung ist es vorzuziehen, den Winkel ellipsenzentrisch einzutragen, weil man dann (s. o.) die Keplergleichung als Winkelsumme wiedererkennt. Wenn man aber den Winkel eines fiktiven Objekts als Variable braucht, das die Sonne umläuft, und der Wert dieser Variablen soll gleich M sein, dann darf ich auch eine Zeichnung mit sonnenzentrischem M malen.       An der Zeichnung Zgna2.svg kritisiere ich eher, dass darim M größer als E dargestellt ist, was bei der Position der Erde X falsch ist; ferner, dass die numerische Exzentrizität e (Dimension 1) als Brennpunktsabstand (Dimension Länge) erscheint; und schließlich, dass die Zeichnung im Artikel überhaupt überflüssig ist: Das Zusammenspiel der Anomalien M, E und V wird schon (richtig) im Artikel Kepler-Gleichung abgehandelt. Modalanalytiker (Diskussion) 11:31, 25. Mär. 2014 (CET)

Ich wollte nicht zu viele Dinge gleichzeitig ansprechen. e ist in dieser Grafik nicht der (feste) Abstand der Brennpunkte (B–B'), sondern der Abstand des Ellipsenmittelunkts (0) zur senkrechten Projektion der wahren Erde (X) auf die Apsidenlinie. e ist hier also variabel und sicher nicht die numerische Ekzentrizität. e ist in der Grafik auch nicht definiert. Es ist aber richtig, dass das so nicht sinnvoll ist.
Troubled @sset   ^{Work  •  Talk  •  Mail}   16:40, 25. Mär. 2014 (CET)

@Troubled @sset: Mit e hast du recht, da hätte ich genauer hinschauen sollen. Wegen der Überschneidung mit der numerischen Exzentrizität im Artikel gehört eines von den beiden e umbenannt; das empfehle ich dringend.       M>E geht auch nicht. Vergleich: Wenn man über rechtwinklige Dreiecke schreibt, sollten die Analysisfiguren nicht schiefwinklig sein. Modalanalytiker (Diskussion) 17:28, 25. Mär. 2014 (CET)

E(t) = f(M(t)) und V(t) = f(M(t))

In der Kombination ergeben diese beiden Gleichungen mathematisch keinen Sinn. Es würde ja folgen, da E(t) = V(t) ist. Außerdem wird nicht erklärt, was die Funktion f sein soll. Gemeint ist vermutlich etwas anderes: "E ist ein Funktion von M und damit auch von t" und "V ist eine Funktion von M und damit auch von t". Das müsste man aber in Worten ausdrücken, nicht durch eine Formel. Außerdem weiß ich nicht, wozu man das asudrücklich sagen muss. Dass E eine Funktion von t ist, ist sowieso offensichtlich. Dass E eine Funktion von M ist und V eine Funktion von E (und damit auch von M) ergibt sich direkt aus Gleichung (4) und (5). Es ist aber gar nicht wichtig. Wichtig ist nur die Zeitabhängigkeit. --Digamma (Diskussion) 19:14, 24. Mär. 2014 (CET)

@Digamma: Auf welche Stelle in der Diskussion oder im Artikel nimmst du mit E(t) = f(M(t)) und V(t) = f(M(t)) Bezug?       M. E. machen wir uns hier das Leben mit allzu vielen Erklärungen und deren Diskussion unnötig schwer. Die Zeitgleichung wendet die Kepler'sche Theorie an. Es genügt, sich darauf zu beziehen; dazu müssen die Formeln hier nicht hergeleitet werden. Da kann man viel mit Verweisen auf andere WP-Artikel erledigen. Der Rest ist eine geometrische und kinematische Aufgabe, bei der nur das Zeitgleichungs-Spezifische zu erklären ist. Unter diesem Aspekt scheint mir die klare Vorstellung der mittleren Sonnen erforderlich zu sein. Dazu habe ich versucht, mit der Abbildung Himmelskugel beizutragen. Wenn der Leser die Berechnung nachvollziehen kann, wird er sich - bei Bedarf - die fehlenden Grundlagen beschaffen. Jedenfalls muss der Zusammengang der Anomalien E, M, und V untereinander im Artikel nur angewendet, nicht erläutert werden.Modalanalytiker (Diskussion) 20:32, 24. Mär. 2014 (CET)

Ich beziehe mich auf den Artikel Abschnitt "Die Erde auf ihrer elliptischen Bahn (heliozentrisch)" nach Gleichung (4) und (5). Ansonsten Zustimmung. --Digamma (Diskussion) 23:10, 24. Mär. 2014 (CET)

@Modalanalytiker: Mir gefällt Deine Grafik "Himmelskugel" sehr gut. Schade, dass sie nicht in den Artikel aufgenommen werden kann! MfG --Gueziv (Diskussion) 10:22, 27. Mär. 2014 (CET)

Danke Gueziv! Aber wo kämen wir hin, wenn sowas den Artikel beschädigte. Das Triptychon auszuarbeiten, hat mich gereizt, da alles drin ist, was die ZG illustriert: der helio-/geozentrische Übergang, die Illustration der mittleren Sonnen und die Transformation von ekliptisch nach äquatorial. Das Himmelskugel-Bild ist übrigens aus einer mit den Werten des Zahlenbeispiels (igitt) gerechneten 3D-Simulation entstanden, von der ausgehend man leicht einen günstigen (parallel-)Projektions-Aspekt findet. Aber sowas passt wirklich nicht in den Artikel. Modalanalytiker (Diskussion) 13:00, 27. Mär. 2014 (CET)

Was ich ausdrücklich sagen will: Gl. (4) führt auf die Zwischengröße E als Funktion von M (letztlich von t) und G. (5) auf die (vorläufige) Endgröße V als Funktion von M (letztlich von t). Du hast richtig vermutet, und wenn Du meinst, meine gewählte Form ist ohne mathem. Sinn, so schließe ich mich dem als Nicht-Mathematiker an. Ist E = f(M(t)) und V = f(M(t)) möglich?
mfG DrIngEnd 20:46, 24. Mär. 2014 (CET)

Nein. Es sind verschiedene funktionale Abhängigkeiten, deswegen kann man nicht beide mit demselben Symobl f bezeichnen. Das Funktionssymbol f ist die Bezeichnung für eine bestimmte Funktion, nicht dafür, dass eine funktionale Abhängigkeit besteht. Letzterer ist ein qualitativer Sachverhalt, der nicht durch eine Gleichung ausgedrückt werden kann, sondern besser mit Worten formuliert wird. Also so etwas wie "Damit erhält man E als Funktion von M und damit auch von t" oder ähnlich. --Digamma (Diskussion) 23:10, 24. Mär. 2014 (CET)

Falls die Frage schon von der korrekten Bedeutung des Funktionsnamens f ausgeht: E = f(M(t)) und V = f(M(t)) ist möglich, wenn der Planet auf einer Kreisbahn umläuft. Dann gilt E=V=M und der Gaph der Funktion f ist eine Nullpunktsgerade mit der Steigung 1. Modalanalytiker (Diskussion) 23:35, 24. Mär. 2014 (CET)

Reverts von Benutzer:dringend zu Apsidenstreubereich am 31. Mär. 2014, 21:19 und 3. Apr. 2014, 14:09

@Benutzer:dringend   Die breite Streuung der Apsidentermine ist eine Information, die Wert ist, in den Artikel - bei geringem Platzbedarf - aufgenommen zu werden. Die Extremwerte 1. und 5. Januar sowie 2. und 6. Juli fallen von 1950 bis 2050 an. Falls das jenseits deines dir selbst gesetzten zeitlichen Horizonts liegt, und du auf dem Revert beharrst, bitte ich dich, deinen Geschmack auch im Artikelabschnitt Analemma durchzusetzen, indem du dort die Jahrtausende übergreifenden Angaben entferntst. Falls die nicht von dir selber stammen, sollte das kein Problem sein. Noch besser wäre es, wenn du den ganzen Abschnitt in den vorhanden separaten Artikel Analemma integriertest. Da gehört er hin. Man darf in einem Lexikon unter einem Lemma nicht alles bringen, was irgendwie damit zusammenhängt. Für die Verkettung gibt es Verweis­e. Gruß Modalanalytiker (Diskussion) 18:46, 3. Apr. 2014 (CEST)

Die Erde auf ihrer elliptischen Bahn (heliozentrisch)

Zur Berechnung des Winkels M werden zwei Gleichungen angegeben. Gleichung 3 verstehe ich, Gleichung 3a nicht . Damit 3a richtig ist, muss m.E. t_K = 0 sein, sollte also weggelassen werden. mfG --Gueziv (Diskussion) 10:02, 5. Apr. 2014 (CEST)

Die beiden Gleichungen ziehen $\scriptstyle M_{0}={\frac {360}{J_{an}}}(t_{K}-t_{P})$ nach sich. Wenn man diese Größe für 2015 ausrechnet, unterscheidet sie sich vom Jahrbuch-Wert deutlich. Das müsste erklärt werden. Modalanalytiker (Diskussion) 11:12, 5. Apr. 2014 (CEST)

Es müsste vor allem erstmal geklärt werden, was mit t_K und t_P genau gemeint ist. Ich trage vermutlich Eulen nach Athen, aber es ist so (dafür gibt es Quellen): Der in Tabellenwerken angegebene Periheldurchgang bezeichnet den Zeitpunkt des kleinsten Abstands zwischen Sonnenmittelpunkt und Erdmittelpunkt. Das ist nicht identisch mit dem Scheitelpunkt (Perihel) der Keplerellipse. Warum?
Erde und Mond kreisen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt und dieser Schwerpunkt bewegt sich auf der Keplerellipse. Der Erdmittelpunkt führt somit eine Art Schlangenlinie um die Ellipse herum aus. Weil die Erdbahn nahezu ein Kreis ist, führt das dazu, dass sich der kleinste Abstand (Periheldurchgang) deutlich vom Scheitelpunkt entfernen kann. Die Daten der Periheldurchgänge schwanken willkürlich um +/- 2 Tage, während die Lage der Ellipse konstant bleibt (mit der sogenannten Periheldrehung hat das nichts zu tun).
Um die ZG möglichst genau zu berechnen, muss man für t_P einen fiktiven Wert einsetzen (noch eine Fiktion). Es wäre besser, Gleichung 3 wegzulassen und in Gleichung 3a das ominöse t_K zu streichen und den Hinweis zu ergänzen, dass die Zeitachse (t=0) am 1. Jan. 12 Uhr beginnt. Nach meiner Erfahrung weicht der berechnete Wert um bis zu +/- 2 sek. von den in Tabellen veröffentlichten Werten ab. Ich vermute, dass diese Abweichung auf nicht berücksichtigte Einflüsse zurückgeht, genauer geht es also nicht. mfG --Gueziv (Diskussion) 15:07, 6. Apr. 2014 (CEST)

@Gueziv   $\scriptstyle t_{K}-t_{P}$ bezeichnet oben die negativ gesetzte Zeitspanne vom 1. Jan. 12:00 UT bis zu dem aus einem Jahrbuch entnommenen Periheltermin des Jahres. Letzterer hat im Keplermodell keinen Platz; du bist mit deinem obigen Beitrag zum Kern des Pudels vorgestoßen. Ich habe dazu früher die Graphik „Extreme Perihel-Positionen“ (s. Artikel Periheldurchgang des Erdmittelpunkts) gemalt. hG Modalanalytiker (Diskussion) 21:06, 6. Apr. 2014 (CEST)

Länge des Perihels $\varpi$ als Bahnelement

Oliver Montenbruck: $\varpi =\omega +\Omega$ .
Zitat: „Man beachte, dass $\varpi$ kein echter Winkel ist, sondern als Summe zweier Winkel in verschiedenen Ebenen definiert ist.“ Leider sagt M. nicht, warum und wie man damit umgehen kann und dass $\varpi$ trotzdem nützlich sei.
mfG DrIngEnd 22:47, 8. Apr. 2014 (CEST)

Wenn für die Erde $\scriptstyle e,\varpi ,$ Umlaufperiode und Zeitbezug (und bei höheren Anforderungen deren zeitliche Trends) gegeben sind, ist die Position der Erde zu jedem Zeitpunkt per Kepler-Modell bestimmbar (Ephemeridenrechnung), womit auch die mittlere Anomalie zu einem interessierenden Termin zugänglich ist. Wie das geht, habe ich im jetzt nochmal überarbeiten Abschnitt Ermittlung der Zeitgleichung dargestellt. Dabei bemerkt man, dass Jahreskonstanten gar nicht gebraucht werden. Ich gehe deshalb ins Grundsätzliche: Wenn man die Zeitgleichung über viele Jahre am Himmel misst, wird man niemals einen Wertsprung feststellen. Die Zeitgleichung ist eine zeit- und wertkontinuierliche Funktion. Ein stückweiser Beschreibungsansatz mit Jahreskonstanten ist unangebracht. Er wäre nur dann in Kauf zu nehmen, wenn es keinen durchgehenden gäbe. Die Berechnung mit Jahreskonstanten zerreißt ohne Not, was keine Trennfugen hat. Das geschieht zum Schaden von Prägnanz, Einfachheit und Verständlichkeit der Darstellung. Kurzum: ich würde bei der Berechnung und Erklärung der Zeitgleichung mit dem Keplermodell keine jährlich auszuwechselnden Konstanten aus Jahrbüchern heranziehen. hG Modalanalytiker (Diskussion) 00:15, 9. Apr. 2014 (CEST)

Aus welcher Quelle stammen die Zahlenwerte der in Tab. 2 enthaltenen Parameter? Wie groß sind D_F und D₀?
mfG DrIngEnd 12:00, 10. Apr. 2014 (CEST)

Sie stammen aus den im Abschnitt 12 von Zeitgleichungs-Berechnung für 1800 - 2200 angegebenen Quellen. Die Termine D_F und D₀ sind Tab. 2 „Parameter der Zeitgleichung“ zu entnehmen. Sie werden ausschließlich in Termindifferenzen genutzt, so dass keine Einzelgrößen angegeben werden müssen („können“ schon, aber dass wäre willkürlich und überflüssig). hG Modalanalytiker (Diskussion) 13:31, 10. Apr. 2014 (CEST) Modalanalytiker (Diskussion) 13:41, 10. Apr. 2014 (CEST)

Rechts ein Bild zur obigen, noch offenen Frage. Im 3er-Bild weiter oben ist $\varpi$ 2x in je nur einer Ebene gezeichnet.
mfG DrIngEnd 12:00, 10. Apr. 2014 (CEST)

Das Bild File:Bahnelement .svg ist für die Verhältnisse Sonne/Erde unpraktisch. Dort gilt i=0. $\varpi$ ist die vom Frühlingspunkt aus gezählte heliozentrisch ekliptische Länge der Periapsis. Entsprechend taucht sie im 3er-Bild auf. hG Modalanalytiker (Diskussion) 13:31, 10. Apr. 2014 (CEST)

Aha! Im Sonderfall der Bahnelemente der Erde ist die Bahnebene selbst Referenzebene, die beiden Teilwinkel liegen in derselben Ebene und ihre Summe ist nicht etwas "Seltsames". Nach dem Problem im Allgemeinen frage ich nicht weiter, weil dieser Fall in unserer Diskussion keine Rolle spielt.
mfG DrIngEnd 20:45, 10. Apr. 2014 (CEST)

Jahreskonstanten

Anbei die einzigen mir bekannten Jahreskonstanten (DGC, Handbuch 2006, s. nebenstehende Liste). Ihre Herkunft ist nicht mehr herauszufinden. Ich hatte sie u.a. auch mit der o.g. Gleichung kontolliert und war mit dem Ergebnis nicht zufrieden. Aber, weil es nur um Sekunden geht, habe ich meine Aufregung darüber fallen lassen.

Die Zahlenreihen sind immerhin wegen ihrer strengen Ordnung vertrauenswürdiger als die in verschiedenen Quellen genannten Periheldaten. Ich fand bisher keine zwei Quellen mit übereinstimmenden Daten.

In der L₀-Reihe sind die Sprünge von Jahr zu Jahr ziemlich genau 0,017° (vgl. Gl. (8)). Das ist der mittlere Wert, mit dem sich das Perigäuum dem Frühlingspunkt nähert. Das ist insofern ok, indem das Schwanken des Perihels einfach nicht beachtet ist.

Die M₀-Reihen sind nach diesem reduzierten Anspruch weniger ok, weil sich die Werte in 4 Jahren (Schaltjahrperiode) mit ziemlich genau 0,038° zu wenig stark ändern.

mfG DrIngEnd 23:30, 5. Apr. 2014 (CEST)

Die Jahreskonstanten M₀ und L₀ sind ein wesentlicher Punkt. Danke für die Offenlegung! M₀ synchronisiert die Keplerbahn jährlich mit dem Kalender und L₀ bringt die Apsidendrehung in das Modell ein. Bemerkenswert ist, dass die Jahreskonstanten nicht unbedingt als „externe Fremdkörper“ in die Berechnung der Keplerbahn (und damit der Zeitgleichung) einfließen müssen. Sie folgen vielmehr aus dem Keplermodell, das ich in Tab. 1 im Diskussionsabschnitt Ermittlung der Zeitgleichung dargestellt habe. Dort wird der Zeitbezug ein für alle Mal durch einen Jahreszeitenanfang eingebracht. Wenn man in dem Modell für $\scriptstyle D$ (angereichert durch die dort übergangene Apsidendrehung, d. h. $\scriptstyle \varpi$ erhält den linearen säkularen Term, wie L₀) $\scriptstyle D_{0}$ = 1. Januar 12:00 UT des jeweiligen Jahres einsetzt, erhält man die beiden Jahreskonstanten aus $\scriptstyle M_{0}=M_{F}-\omega _{T}(D_{F}-D_{0})$ und $\scriptstyle L_{0}=-V_{F}$. Der maximale Abweichungsbetrag zwischen den Tabellen- und den berechneten Winkeln beträgt bei M₀ und L₀ 0,0085° bzw. 0,0027°. M. E. würde die Erklärung der Zeitgleichung verständlicher, wenn sie ohne die entbehrlichen Jahreskonstanten dargestellt würde. Die Genauigkeit des Rechenmodells litte nicht, seine Konsistenz gewänne. Modalanalytiker (Diskussion) 14:46, 6. Apr. 2014 (CEST)

Ich habe inzwischen herausgefunden, dass die in obiger Tabelle enthaltenen Werte nach Montenbruck ("Grundlagen der Ephemeridenrechnung") von den Jahr-2000-Werten aus in die Zukunft berechnet sind.

$M_{0}=357,5256^{\circ }+35999,0498^{\circ }\cdot {\frac {Tage}{36525}}$             $L_{0}=282,9400^{\circ }+1,7192^{\circ }\cdot {\frac {Tage}{36525}}$

$Tage$  ist die variable Zahl der Tage seit 1.1.2000 (Tage=0 am 1.1.2000).

Der Hintergrund fehlt mir aber noch, weshalb meine oben gestellte Frage bezüglich der M₀-Werte noch offen ist.
Bei L scheint mir die DGC einen Widerspruch oder wenigstens eine Ungenauigkeit eingebaut zu haben. L wird einerseits als ekliptikale Länge des Perihels definiert. Dann wird aber mit Längen des 1. Januars, die zudem vom Schaltjahrrhythmus unbeeinflusst sind, gearbeitet.
Deinen Herleitungen und Rechnungen kann ich nicht folgen. Dafür bist Du für meinen Geschmack ein zu großer Abkürzer.
mfG DrIngEnd 12:36, 8. Apr. 2014 (CEST)

@dringend Du schreibst „Deinen Herleitungen und Rechnungen kann ich nicht folgen.“ Das ist jetzt aber ein schönes Understatement. Im Abschnitt Ermittlung der Zeitgleichung steht nur Altbekanntes, die Variablen sind klar bezeichnet und die Abbildungen illustrieren alles so, dass man sich unter der Zeigleichung etwas vorstellen kann. Ich bin sicher, dass dich das nicht überfordert. Du machst viel kompliziertere Sachen.     Übrigens, die tabellierten und nach den linearen Ausdrücken gerechneten M0- und L0-Werte passen exakt zusammen, wenn du die „9“ der M0-Steigung drei- statt viermal wiederholst. hG Modalanalytiker (Diskussion) 00:29, 9. Apr. 2014 (CEST) Modalanalytiker (Diskussion) 10:18, 9. Apr. 2014 (CEST)

Die 9 zu viel war ein Schreibfehler. Ich frage aber kaum jemals danach, wie man eine Formel anwendet, also wie man einsetzt und ausrechnet (und dabei evtl. feststellt, dass man einen Ausdruck um eine Zehnerpodenz falsch hingeschrieben hat). Die Frage betraf den Hintergrund: Warum ist die jährliche Änderung von M₀ so klein?
mfG DrIngEnd 11:19, 9. Apr. 2014 (CEST)

Wie groß oder klein die jährliche Änderung von M₀ nach einem Normaljahr ist, kannst du z. B. so abschätzen: $\scriptstyle \Delta M_{0}={\frac {360{}^{\circ }}{365,25{\text{d}}}}365{\text{d}}-360{}^{\circ }$ hG Modalanalytiker (Diskussion) 13:44, 9. Apr. 2014 (CEST)

Ich präzisiere, indem ich oben Stehendes wiederhole: Die M₀-Reihen sind nach diesem reduzierten Anspruch weniger ok, weil sich die Werte in 4 Jahren (Schaltjahrperiode) mit ziemlich genau 0,038° zu wenig stark ändern. Das Perihel nähert sich dem Frühlingspunkt, der sich im Greg. Kalender nur etwa 0,001° in einer Schaltjahrperiode verfrüht.
mfG DrIngEnd 15:00, 9. Apr. 2014 (CEST)

Ich rechne mit „meinem“ Keplermodell (s. o.) dieselbe Differenz wie in der Tabelle (0,038° ) aus. Wie groß sollte sie denn deines Erachtens sein? hG Modalanalytiker (Diskussion) 15:58, 9. Apr. 2014 (CEST)

Ich wiederhole mich: Bevor reine Zahlen eine Rolle spielen, möchte ich wissen, welche Ursachen dahinter stecken. Was sind weitere Gründe, dass sich das "keplersche Perihel" langsam vom 1. Januar entfernt? Die Perihelnäherung zum Frühlingspunkt beträgt 1,72° in 100 Jahren. Das sind 0,069° (≠ 0,038° !!) in 4 Jahren.
mfG DrIngEnd 11:40, 10. Apr. 2014 (CEST)

Die Ableitung der mittleren Anomalie ist durch $\scriptstyle {\frac {{\text{d}}M}{{\text{d}}t}}=\omega -{\dot {\varpi }}$ gegeben. Darin bezeichnen $\scriptstyle \omega$ die mittlere Umlaufgeschwindigkeit und $\scriptstyle {\dot {\varpi }}$ den linearen Trend der Länge des Perihels. Die Gleichung deckt alle „Ursachen“ auf. Sie lässt sich aus dem Keplermodell elementar herleiten und ist m. E. auch anschaulich plausibel. hG Modalanalytiker (Diskussion) 13:10, 10. Apr. 2014 (CEST)

Vielleicht kann ich etwas zur Klärung beitragen:
Unser Kalender ist am Frühlingspunkt festgemacht, d.h. der Frühlingsanfang sollte langfristig immer auf den 21. März fallen. Wenn das so ist, ist natürlich auch der Abstand zwischen Frühlingsanfang und Jahresanfang konstant und dieser Abstand wird mit M0 + L0 angegeben (die Summe sollte also konstant sein).
Laut Tabelle ist in 2000: M0+L0= 79,5344° und in 2024: M0+L0= 79,34984°, wir haben also einen Anstieg um 0,18456°, auf 400 Jahre hochgerechnet 3,076°.
In diesen 400 Jahren fallen aber 3 Schalttage aus, 3 Tage entsprechen 2,957°, sodass der Winkelanstieg kompensiert wird. Ist dies hilfreich, oder liegt das Problem woanders? --Gueziv (Diskussion) 08:48, 11. Apr. 2014 (CEST)

Ich stimme dir zu, dass der Frühlingspunkt (wie die anderen drei Jahreszeitenanfänge) ein guter Fixpunkt ist, auf den man sich zur Synchronisierung des Kepler-Modells mit dem Kalender beziehen kann. Die Summe M0+L0 ist auch "konstant", allerdings nur in grober Abschätzung. Wenn man sich z. B. 5 s als Toleranzschwelle für die Zeitgleichung vornimmt, entspricht das nur 0,02°. Dann ist es nicht mehr sinnvoll, eine wahre (L0) und eine mittlere Anomalie (M0) zu addieren. Im Übrigen ist nach meinem Verständnis die von DringEnd gestellte Frage gelöst. Die Winkelgeschwindigkeit $\scriptstyle \omega -{\dot {\varpi }}$ (s. o., Bedeutung der Formelzeichen s. Tab. 1 und 2 in Ermittlung der Zeitgleichung) passt sehr gut zu der aus den "Grundlagen der Ephemeridenrechnung" entnommenen M0-Formel.       Auch anlässlich dieser Diskussion wiederhole ich mein ceterum censeo: Man sollte sich bei der Erklärung der Zeitgleichung M0 und L0 ersparen und statt dessen direkt auf den Frühlingspunkt Bezug nehmen. Das ist ein populäres Datum. Es muss nicht einmal jährlich ausgewechselt werden und der Erklärungsbedarf dafür ist viel kleiner als der für M0 und L0 (was diese Expertendiskussion am besten belegt). Modalanalytiker (Diskussion) 13:11, 11. Apr. 2014 (CEST)

Ich verstehe nicht, was Du meinst bzw. glaube nicht, dass das stimmt. Die Natur macht keine Sprünge, der Kalender aber sehr wohl, weil sich immer nur ganze Tage als Schalttage einfügen lassen. Rechnungen, die mit einem Zeitkontinuum arbeiten und die Schalttage nicht berücksichtigen, können sich immer nur auf Mittelwerte beziehen. Wir möchten aber die ZG für einen bestimmten Kalendertag berechnen und das möglichst genau. M0 bringt den Kalender ins Spiel und ist daher unverzichtbar. Die im WP-Artikel beschriebene Berechnung ist o.k. und wir sollten uns darauf einigen. Es bringt nichts, wenn jeder nur seine persönliche Lieblingsversion "verkaufen" möchte.--Gueziv (Diskussion) 15:15, 11. Apr. 2014 (CEST)

Ich habe mich davon überzeugt, dass „das stimmt“; die Rechnung liefert keine mittleren Werte, sondern kalendertermin-genaue. Mit dem Frühlingsanfang 2000 als Zeitbezug liefert das in Tab. 1 und 2 formulierte Modell maximale Abweichungen von 2,5 s gegenüber dem zitierten Computer-Almanach der U. S.-Navy für 1800 bis 2050. Da die Abweichungen mit wachsendem Abstand von 2000 nicht wachsen, ist der Gültigskeitbereich sicher noch größer, aber ich habe keine Referenz dafür. Gerade weil die Natur - speziell am Himmel - nicht springt, funktioniert das Verfahren. Mit den Kalendersprüngen kommt das Modell dadurch zurecht, dass im Rechenweg der Zeitabstand zwischen dem vorgegebenen Termin $\scriptstyle D$ und dem Frühlingsanfang 2000 $\scriptstyle D_{F}$ zu bestimmen ist. Dasselbe trifft auch für das M0-L0-Modell zu, nur dass der Bezug der Jahresanfang ist, dem auf der Keplerbahn ein springender Winkel entspricht. Dass die aktuelle WP-Rechnung o. k. ist, stelle ich zu keinem Moment in Frage. Mir gefällt der von mir vorgeschlagene gleichwertige Rechenweg (nicht unbedingt die Form seiner Darstellung) mit einem einzigen Satz an Konstanten einfach besser, als einer, bei dem zwei „Konstanten“ jährlich per Konsultation eines Jahrbuchs ausgewechselt werden müssen. Wenn du das, Gueziv, umgekehrt siehst, ist das eben deine dir gegönnte „Lieblingsversion“. hG Modalanalytiker (Diskussion) 16:33, 11. Apr. 2014 (CEST)

Danke für Deine zusätzlichen Erläuterungen. Ich habe mich -ehrlich gesagt- nicht im Detail mit Deiner Rechnung beschäftigt. Aber wir scheinen uns insofern anzunähern, indem Du beide Rechenwege inzwischen als gleichwertig ansiehst. M0 und L0 kommen ja auch nicht aus dem Nichts, sondern wurden von berufener Seite für uns ausgerechnet und das sehe ich als Service an. Es geht ja auch mehr um den Hintergrund und weniger um aufs Millionstel genaue Zahlenwerte.
Wir diskutieren nun schon seit Monaten und es werden immer neue Fässer aufgemacht, aber es fehlt meist ein befriedigender Abschluss. Ausgangspunkt dieses Diskussionsthemas war, wenn ich es richtig sehe, meine Eingabe unter der Überschrift "Die Erde auf ihrer elliptischen Bahn" vom (5. April). Ich habe darauf hingewiesen, dass die Gleichungen 3 und 3a problematisch sind und eine Lösung vorgeschlagen, aber bisher ohne Reaktion. Ich würde Gl. 3 und 3a steichen und durch folgendes ersetzen:

(3) M = M₀ + 360°/J_an * t
Die Zeitachse t ist in Tagen skaliert und beginnt am 1. Januar um 12 Uhr.
Beispiel: Am 2. Januar 12 Uhr ist t = 1.

Das wäre einfach und klar, geht aber vermutlich in einer hochwissenschaftlichen astronomischen Abhandlung garnicht. --Gueziv (Diskussion) 14:41, 12. Apr. 2014 (CEST)

Ich stimme dir voll zu. Ich werde dich, falls du den Artikel entsprechend editierst, beim Revertieren der zu erwartenden Reverts unterstützen. Wenn noch andere Zeitgleichungsexperten derselben Meinung sind, sollten sie dabei mithelfen. hG Modalanalytiker (Diskussion) 20:40, 12. Apr. 2014 (CEST)

In der kalendarischen Chronologie ist es seit Joseph Justus Scaliger üblich und praktisch (später auch in der Astronomie), den Nullpunkt der Julianischen Tageszählung zu benutzen. Wenn eine Rechnung in der Gegenwart startet, ist das Julianische Datum des Starttages t_s der Nullpunkt und die Variable Zeit lautet (t - t_s). Am gegenwärtigen Startpunkt gilt: t = t_s   →  (t_s - t_s = 0).
mfG DrIngEnd 20:17, 16. Apr. 2014 (CEST)

Hallo DrIngEnd, Dein Hinweis auf das Julianische Datum ist sehr interessant (man lernt nie aus), ich sehe aber nicht, was das mit meinem Kritikpunkt bzw. meinem Vorschlag zu tun hat. MfG --Gueziv (Diskussion) 10:15, 17. Apr. 2014 (CEST)

DrIngEnds Antwort ist lehrreich, gehört aber sicher zu einer anderen Frage. hG Modalanalytiker (Diskussion) 15:00, 17. Apr. 2014 (CEST)

@Gueziv, im Artikel ist zuerst vom Zeitpunkt des Periheldurchgangs t_P die Rede: "einfach" nach Dir: t=0. Danach wird vom kalendarischen Jahresanfang t_K gesprochen: wieder "einfach" nach Dir: t=0. So fällt der Unterschied unter den Tisch. Mit t = t_p bzw. mit t = t_K wird die Variable (t - t_P) bzw. (t - t_K) wie in diesen beiden unterschiedlichen Fällen gewollt zu 0. Unklarheiten oder Missverständnisse, wie Du sie heraufbeschwörst, werden mit der im Artikel Astronomie-konformen (Die Zeitgleichung ist ein astronomisches Problem!) Schreibweise vermieden.
Dein Insistieren kommt ziemlich spät. Du hättest nach den damaligen unzureichenden Antworten reklamieren und die Diskussion an dortiger Stelle, nicht hier, wo der Durchblick verloren zu gehen droht, fortführen sollen.
mfG DrIngEnd 13:43, 18. Apr. 2014 (CEST)

Ich hoffe, den Durchblick noch zu haben. Die Gln. (3) und (3a) stimmen unabhängig vom Nullpunkt der fortlaufenden Zeit t, weil sie jeweils nur eine Zeitdifferenz enthalten. Man könnte sich sogar bei (3a) einen anderen t-Nullpunkt als in (3) vorstellen. Das Problem kommt mit Gl. (4) auf. Da t dort ohne Subtrahend für sich steht, möchte man gern wissen (muss es aber immer noch nicht), was t=0 bedeutet. Spätestens hier wäre m. E. eine Festlegung hilfreich. Das Nächstliegende ist, den t-Nullpunkt auf den P-Durchgang oder den 1. Januar zu justieren. Man kann das Problem auch verbergen, indem M, E und V überall ohne t-Argument notiert werden. Dass hier ein Schönheitsfehler vorliegt, zeigt sich schon daran, dass im Rechenbeispiel das Zeitargument plötzlich in t' umgetauft ist. Wenn das im Theorieteil nicht nötig war, warum dann in der Zahlenrechnung? hG Modalanalytiker (Diskussion) 15:26, 18. Apr. 2014 (CEST)

@DrIngEnd: Dass die Zeitgleichung ein astronomisches Problem ist, habe ich schon vermutet und manchmal habe ich das Gefühl, dass die Probleme so astronomisch sind, dass wir sie überhaupt nicht lösen können. Zu meinem Vorschlag: Was ich vorschlage, war früher schon im Text enthalten (z.B. in der Version vom 29.8.2013). Die zusätzlichen Komplikationen wurden erst später eingebaut, ohne dass dafür eine Notwendigkeit bestanden hätte. Vielleicht bieten ja die kommenden Ostertage eine Gelegenheit, noch einmal darüber nachzudenken. Ich wünsche jedenfalls allen Experten frohe Ostertage ohne ernsthafte Probleme. MfG --Gueziv (Diskussion) 13:30, 19. Apr. 2014 (CEST)

Ermittlung der Zeitgleichung $\scriptstyle {\text{Entwurf als Alternative zum vorhandenen Kapitel, siehe direkt hierüber}}$

Sonnenlauf und Himmelskugel
a Erdbahn in der Ekliptik, heliozentrisch
b Scheinbare Sonnenbahn in der Ekliptik, geozentrisch
c Himmelskugel mit scheinbarer Sonnenbahn und zwei mittleren Sonnen, geozentrisch
a und b: Ansicht vom Ekliptik­nordpol aus.
F, S, H,W: Jahreszeiten­anfänge, C: Zentrum der Bahn­ellipse, P, A: Peri- und Apoapsis ♈: Frühlingspunkt­(srichtung). $\scriptstyle \lambda$: ekliptische Länge der Erde. n: Projektion der nördlichen Erd­achs­hälfte auf die Ekliptik­ebene. SE: mittlere Sonne in der Ekliptik, SÄ: mittlere Sonne auf dem Äquator. Weitere Bezeichnungen s. Text.

Die am Artikelanfang durch $\scriptstyle ZG=WOZ-MOZ$ eingeführte Zeitgleichung für einen zukünftigen oder vergangenen Zeitpunkt $\scriptstyle D$ (Datum) ist der Rektaszension­sdifferenz

$\Delta \alpha =\alpha _{M}-\alpha$

proportional. Die als mittlere Rektaszension $\scriptstyle \alpha _{M}$ bezeichnete Rechengröße ist ein gleichmäßig mit der Zeit zunehmender Vergleichswinkel, der die mittlere Zeit repräsentiert. $\scriptstyle \alpha$ bezeichnet die am Himmel messbare Rektaszension der Sonne.

Dem in Tab.1 vorgestellten Rechengang liegt das Kepler'sche Zwei-Massen-Bewegungsmodell von Sonne und Erde zugrunde, das den Einfluss des Monds und der anderen Planeten vernachlässigt. Die Kenntnis dieses Modells wird im Folgenden vorausgesetzt.

Da der Gegenstand der Zeitgleichung die von der Erde aus betrachtete Sonne ist, wird das Rechenmodell geozentrisch formuliert. Die im heliozentischen Bezugssystem definierten Anomalien $\scriptstyle M,\,E$ und $\scriptstyle V$ sind auch Variablen des geozentrischen Modells: Für beide Modelle gelten dieselben Gleichungen. Die Abbildung Sonnenlauf und Himmelskugel veranschaulicht die Winkelgrößen in der Ekliptik- und Äquatorebene.

Den Kern des Rechenmodells bilden die Kepler-Gleichung $\scriptstyle M=E-e\sin E$, die Beziehung $\scriptstyle \tan {\frac {V}{2}}={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}$ zwischen der wahren und der exzentrischen Anomalie $\scriptstyle V$ bzw. $\scriptstyle E$ - sie wird in Tab. 1 in (per Arcustangens mit Lageparameter) aufgelöster Form benutzt - und die Koordinatentransformationsgleichung] $\scriptstyle \alpha =\arctan _{\Lambda }(\cos \varepsilon \tan \Lambda ),$ mit der die ekliptische Länge $\scriptstyle \Lambda$ in die (äquatoriale) Rektaszension $\scriptstyle \alpha$ umgerechnet wird.

Der Rechengang nach Tab. 1 liefert für den Zeitraum 1800 bis 2050 $\scriptstyle ZG$-Werte, die um höchstens 2,5 Sekunden von denen eines genaueren Referenzmodells abweichen, das auch den Einfluss von Mond und Planeten einschließt.

Tabelle 1: Rechengang Die Zahlenwerte gelten für den Zeitpunkt $\scriptstyle D\,\,=$ 11. Mai 2015, 12:00 UT.

$\tau$	=	$D-D_{0}$ = 5609 d      ($\scriptstyle D_{0}$ und weitere Parameter s. Tab. 2.)
		Zeit von $\scriptstyle D_{0}$ bis $\scriptstyle D$, Säkularzeit
$e$	=	$e_{0}+{\dot {e}}_{0}\tau$ = 0.0167034
		numerische Exzentrizität bei $\scriptstyle D$
$\varepsilon$	=	$\varepsilon _{0}+{\dot {\varepsilon }}_{0}\tau$ = 0.409058 rad = 23.437°
		Ekliptikschiefe bei $\scriptstyle D$
$\varpi$	=	$\varpi _{0}+{\dot {\varpi }}_{0}\tau$ = 1.801206 rad = 103.201°
		heliozentrische ekliptische Länge des Perihels bei $\scriptstyle D$
$V_{F}$	=	$\pi -\varpi$ = 1.340387 rad = 76.799°
		wahre Anomalie bei Frühlingsanfang im $\scriptstyle D$-Jahr
$E_{F}$	=	$2\arctan _{\frac {V_{F}}{2}}\left({\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}\tan {\frac {V_{F}}{2}}\right)$ = 1.324155 rad $\scriptstyle =$ 75.869°
		exzentrische Anomalie der Sonne bei Frühlingsanfang im $\scriptstyle D$-Jahr
$M_{F}$	=	$E_{F}-e\sin E$ = 1.307957 rad $\scriptstyle =$ 74.940°
		mittlere Anomalie der Sonne bei Frühlingsanfang im $\scriptstyle D$-Jahr
$t_{F}$	=	${\frac {M_{F}}{\omega }}$ = 76.03169 d
		Zeit vom P-Durchgang bis Frühlingsanfang im $\scriptstyle D$-Jahr
$t$	=	$D-D_{F}+t_{F}$ = 5606.21572 d
		Zeit von P bis D
$M$	=	$\omega t$ = 96.442561 rad $\scriptstyle {\widehat {=}}$ 125.752°
		mittlere Anomalie der Sonne bei $\scriptstyle D$
$E$	:	Lösung der Kepler-Gleichung $M=E-e\sin E$,    $\scriptstyle E=$ 96.455985 rad $\scriptstyle {\widehat {=}}$ 126.521°
		exzentrische Anomalie der Sonne bei $\scriptstyle D$
$V$	=	$2\arctan _{\frac {E}{2}}\left({\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\tan {\frac {E}{2}}\right)$ = 96.469342 rad $\scriptstyle {\widehat {=}}$ 127.286°
		wahre Anomalie der Sonne bei $\scriptstyle D$
$\Lambda$	=	$V-V_{F}$ = 95.128955 rad $\scriptstyle {\widehat {=}}$ 50.488°
		Länge der Sonne bei $\scriptstyle D$
$\alpha _{M}$	=	$M-V_{F}$ = 95.102174 rad $\scriptstyle {\widehat {=}}$ 48.953°
		Rektaszension der mittleren (Vergleichs-)Sonne bei $\scriptstyle D$
$\alpha$	=	$\arctan _{\Lambda }(\cos \varepsilon \tan \Lambda )$ = 95.086392 rad $\scriptstyle {\widehat {=}}$ 48.049°
		Rektaszension der Sonne bei $\scriptstyle D$
$\Delta \alpha$	=	$\alpha _{M}-\alpha$ = 0.015782 rad $\scriptstyle =$ 0.904°
		Zeitgleichung bei $\scriptstyle D$ in Winkelform
$ZG$	=	$\Delta \alpha {\frac {24\cdot 60}{2\pi }}$min = 3.617 min = 3 min 37.0 s
		Zeitgleichung bei $\scriptstyle D$, in Zeitform

Anmerkungen zu Tab. 1 $t$: Bei der Berechnung der Zeitdifferenz kann man sich von mathematischer Software oder einem Online-Rechner helfen lassen.   $E$: Die Kepler-Gleichung ist nicht algebraisch nach $\scriptstyle E$ auflösbar. Es existieren Näherungslösungen per Reihenentwicklung, die genauer als nötig sind. Alternativ kann man das Newton-Raphson-Verfahren benutzen, z. B. indem man solve 96.442561 - x + 0.0167033*sin(x) starting at 96 bei WolframAlpha eingibt.   $V$: Die Funktion $\scriptstyle \arctan _{\frac {E}{2}}$ bezeichnet den Arcustangens mit Lageparameter $\scriptstyle {\frac {E}{2}}$. Sie berechnet den Arkustangens-Nebenwert, der $\scriptstyle {\frac {E}{2}}$ am nächsten liegt. Der Hauptwert des Arkustangens würde bei Berechnung einer Zeitgleichungstabelle für ein Jahr oder länger einen unstetigen $\scriptstyle ZG$-Verlauf produzieren.   $\alpha _{M}$: M. Schneider, Himmelsmechanik Band II, S. 507f erklärt die mittlere Rektaszension $\scriptstyle \alpha _{M}$ mit Hilfe zweier fingierter mittlerer Sonnen, SE und SÄ (s. Abb. Sonnenlauf und Himmelskugel c). Beide umrunden - in geozentrischer Sicht - die Erde in derselben Zeit $\scriptstyle J$ wie - scheinbar - die Sonne S, aber mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. SE kreist in der Ekliptikebene und passiert P zusammen mit S. SÄ - die eigentliche Vergleichssonne - läuft in der Äquatorebene um und geht gleichzeitig mit SE durch F. Diese Platzierung und Synchronisation der beiden mittleren Sonnen legt das Konstantglied der mittleren Rektaszension $\scriptstyle \alpha _{M}$ auf $\scriptstyle -V_{F}=\Lambda _{P}$ fest.   $\alpha$: Lageparameter $\scriptstyle \Lambda$ sinngemäss wie unter $\scriptstyle V$ erläutert. Die Formel rechnet die geozentrisch ekliptischen Kugelkoordinaten der Sonne (Länge $\scriptstyle \Lambda$, Breite = 0) in die zugehörige Rektaszension $\scriptstyle \alpha$ um, d. h. in die äquatoriale Länge.

Tabelle 2: Parameter der Zeitgleichung

$\scriptstyle e_{0}$	=	0.016709
		numerische Exzentrizität der Erdbahn bei $\scriptstyle D_{0}$ (s. Tabellenende)
$\scriptstyle \varepsilon _{0}$	=	0.409093 rad = 23° 26' 21.4" $\scriptstyle =$ 23.439°
		Schiefe der Ekliptik gegen die Äquatorebene bei $\scriptstyle D_{0}$
$\scriptstyle \varpi _{0}$	=	1.796596 rad = 102.937°
		ekliptische Länge des Perihels bei $\scriptstyle D_{0}$
$\scriptstyle {\dot {e}}_{0}$	=	$\scriptstyle {\frac {-3.661\cdot 10{}^{-5}}{36525}}{\frac {1}{\text{d}}}$
		Änderungsrate der numerischen Exzentrizität der Erdbahn bei $\scriptstyle D_{0}$
$\scriptstyle {\dot {\varepsilon }}_{0}$	=	$\scriptstyle -6.211986\cdot 10^{-9}{\frac {\text{rad}}{\text{d}}}={\frac {-46.8}{36525}}{\frac {''}{\text{d}}}=-3.559206\cdot 10^{-7}{\frac {{}^{\circ }}{\text{d}}}$
		Änderungsrate der Schiefe der Ekliptik gegen die Äquatorebene bei $\scriptstyle D_{0}$
$\scriptstyle {\dot {\varpi }}_{0}$	=	$\scriptstyle 8.218936\cdot 10^{-7}{\frac {\text{rad}}{\text{d}}}={\frac {1.72}{36525}}{\frac {{}^{\circ }}{\text{d}}}$
		Änderungsrate der ekliptische Länge des Perihels bei $\scriptstyle D_{0}$
$\scriptstyle J$	=	365.242190 d
		Umlaufzeit der Erde oder Sonne, dargestellt durch das tropische Jahr J2000
$\scriptstyle D_{F}$	:	30. März 2000 7:35 UT
		Datum des Frühlingsanfang­s im Jahr 2000
$\scriptstyle D_{0}$	:	1. Januar 2000 12:00 UT
		Epoche J2000
$\scriptstyle \omega$	=	$\scriptstyle {\frac {2\pi }{J}}$ = 0.017203 rad/d = 0.986°/d
		mittlere Winkelgeschwindigkeit des Umlaufs, Hilfsgröße

Anmerkung zu Tab. 2 Die Parameter sind im heliozentrischen System definiert (Abb. a), gelten aber auch geozentrisch (Abb.b): Die numerische Exzentrizität der scheinbaren Sonnenbahn ist gleich jener der Erdbahn $\scriptstyle e$; der Winkel der Periapsis der Sonne gegen die Herbstpunktrichtung ist gleich der Länge des Perihels $\varpi$; die Umlaufzeit der Sonne $\scriptstyle J$ ist gleich jener der Erde. $36525:$ Anzahl der Tage eines Jahrhunderts (Säkulum). $D_{F}:$ Um die Position der Erde auf der Keplerbahn (und gleichwertig jene der Sonne auf ihrer scheinbaren Bahn) der Kalenderzeit $\scriptstyle D$ zuzuordnen, wird der Termin $\scriptstyle D_{F}$ des Frühlingsanfangs im Jahr 2000 genutzt: Die Zeitspanne zwischen Frühlingsanfängen (ebenso zwischen den anderen Jahreszeitanfängen) streut sehr wenig. Der sich zur Kalendersynchronisation auf den ersten Blick aufdrängende Perihel- oder Aphel-Durchgang ist dagegen ungeeignet; deren Kalendertermine werden durch den (im Keplermodell ausgeschlossenen) Einfluss des Mondes, abhängig von dessen Phase, um Tage verschoben. Das aus Jahrbüchern zu entnehmende Perihel ist nicht mit dem Perihel des Kepler'schen Bahnmodells zu verwechseln. Im angegebenen Rechenweg ist immer letzteres gemeint. Modalanalytiker (Diskussion) 19:58, 8. Apr. 2014 (CEST)

Anlässlich dieses Entwurfs erinnere ich an das Geschehen im Sommer 2013. Die Mängel sind gleich wie damals: Viel Rechnen (How to do, in WP unangebracht) - wenig Erklärung (Erklärung ist in WP wesentlich).
mfG DrIngEnd 13:08, 21. Mär. 2014 (CET)

Ein nachvollziehbarer Rechengang mit klaren Angaben zu den benutzten Größen ist die Erklärung. Erklärungen sind vorher im Artikel schon reichlich gegeben. Das Keplermodell muss nicht erneut erklärt werden. Dafür gibt es den eigenen WP-Artikel. Modalanalytiker (Diskussion) 13:54, 21. Mär. 2014 (CET)

@DrIngEnd: Ich freue mich, dass Du den Erklärungen große Bedeutung beimisst. Theoretische Erklärungen brauchen aber auch praktische Beispiele. Kein Schüler versteht das kleine Einmaleins, wenn er es nur theoretisch erklärt bekommt, aber nie praktisch anwendet. Ich glaube, das sollte unstrittig sein. So viel zur Behauptung, dass in WP keine Beispiele vorkommen dürfen. MfG --Gueziv (Diskussion) 14:06, 22. Mär. 2014 (CET)

Verstehen kann man eine Sache nur aus Erklärungen. Wer Rezepte anwendet, ist in der extrem arbeitsteiligen heutigen Welt zwar meistens erfolgreich, handelt aber ähnlich wie ein Roboter, der sich a priori keine „richtig ernsthafte Gedanken“ macht. Modalanalytiker rechnet einen ZG-Wert vermutlich richtig, also erfolgreich auf den hundertsten Teil einer Minute aus. Seinem Rezept kann ich aber leider nur z.T. folgen. Was aber das Wichtigste ist: Sein Vorgehen ist von einem erklärenden Versuch der Zusanmmenhänge, der den Abschnitt Ermittlung der Zeitgleichung ersetzen soll, weit entfernt. Er ist auch als Rechenbeispiel nicht brauchbar, weil die im Abschnitt hergeleiteten Gleichungen nicht wiedererkennbar sind.
Dein Einmalens-Vergleich hinkt, denn in ihm geht es primär um Mathematik bzw. deren Anwendung auf simples Zählen. Bei der Zeitgleichung geht es um das Erfassen astrophysikalischer Zusammenhänge, nicht ums Üben von Mathematik.
mfG DrIngEnd 18:01, 22. Mär. 2014 (CET)

Noch ein Rechengang

Interessehalber - nicht um den Artikel zu verändern - habe ich einen weiteren Rechenweg entworfen, für den sich vielleicht noch jemand interessiert. Er baut auf der üblichen Ephemeridenrechnung auf und benutzt die üblichen Bahnelemente, keine jährlich wechselnden Jahrbuchkonstanten. Die Bahndaten der Erde sind O. Montenbruck, Grundlagen der Ephemeridenrechnung, 7. Auflage, S. 139 entnommen.

Berechnung der Zeitgleichung

$t$	=	Zeit, für den der ZG-Wert berechnet werden soll, gerechnet ab 1.1.2000 12:00 UT in Tagen
$e$	=	$0.016709-{\frac {0.000042}{36525}}t$
		numerische Exzentrizität (Bahnelement), Äquator und Äquinoktium z. Z. $t$
$\varpi$	=	$102.9400+{\frac {1.7192}{36525}}\cdot t$
		Länge des Perihels in Grad (Bahnelement), Äquator und Äquinoktium z. Z. $t$
$L$	=	$100.4656+{\frac {36000.7690}{36525}}\cdot t$
		mittlere Länge der Erde in Grad (Bahnelement), Äquator und Äquinoktium z. Z. $t$. Bitte nicht mit dem Artikel-L verwechseln.
$\varepsilon$	=	$23+26/60+21/3600-{\frac {46.82/3600}{36525}}\cdot t$
		Schiefe des Äquators in Grad z. Z. $t$
$M$	=	$L-\varpi$
		mittlere Anomalie
$C$	=	${\frac {180}{\pi }}\left[\left(2e-{\frac {e^{3}}{4}}\right)\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin(2M)+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin(3M)\right]$
		Mittelpunktsgleichung in Grad (Näherung genauer als nötig)
$\Lambda$	=	$L+C-180$
		geozentrische ekliptikale Länge der Sonne
$\alpha$	=	$\arctan _{\Lambda }(\tan \Lambda \cdot \cos \varepsilon )$
		Rektaszension der Sonne. Die Länge $\scriptstyle \Lambda$ im Index des Arkustangens fungiert als Lageparameter.
$\alpha _{M}$	=	$L-180$
		mittlere Rektaszension der Sonne
$ZG$	=	$4(\alpha _{M}-\alpha )$
		Zeitgleichung in Zeitminuten

Was mich am Rechengang reizt: Er ist kurz, zerstückelt die Zeitgleichung nicht in Jahresportionen, gilt ohne Einbuße an Genauigkeit über mehrere Jahrhunderte mit T=0 in der Mitte; und das Bahnelement mittlere Länge übernimmt direkt die Rolle der mittleren Rektaszension. hG Modalanalytiker (Diskussion) 18:11, 14. Mai 2014 (CEST)

Ich verstehe nicht, warum du die Zeit in julianischen Jahrhunderten benutzt und nicht in Tagen. --Digamma (Diskussion) 20:07, 14. Mai 2014 (CEST)

Das kann man auch machen. Dann werden die Faktoren vor T um den Faktor 36525 kleiner. Ich habe es einfach von Montenbruck übernommen. Sogar Julianische Jahrtausende (365250 d) werden manchmal als Einheit verwendet. Am Ende scheint es Geschmackssache zu sein. Wenn die Vorgänge langsam verlaufen - sich in einem Jahr nicht viel tut - nimmt man wohl gern große Zeiteinheiten für die Raten. Aber die sind dann für die schnellen Veränderungen nicht so sympathisch. hG Modalanalytiker (Diskussion) 21:38, 14. Mai 2014 (CEST)         Nach deinem Hinweis gefällt mir die Zeiteinheit Tag besser. Deshalb habe ich die Formeln entsprechend geändert. Außerdem habe ich beim Bahnelement $e$ die zeitliche Rate dazugenommen, da die sich auswirkt, wenn man z. B. für 1800 oder 2200 rechnet. Die Abweichung der berechneten ZG-Werte von denen eines genaueren Rechenmodells, das die Mond- und Planetenstörungen berücksichtigt, beträgt von 1800 - 2050 bei Abtastung alle 10 Tage -2.5 s bis +2 s. Der Betragsmittelwert der Abweichungen liegt unter 0.6 s. hG Modalanalytiker (Diskussion) 23:04, 15. Mai 2014 (CEST)

Mittelwert der Zeitgleichung $\scriptstyle {\text{Gehört m. E. eher nicht in einen Wikipediaartikel.}}$

Die mittlere Rektaszension $\scriptstyle \alpha _{M}$ kann man einer fiktiven, am Himmelsäquator umlaufenden mittleren (Referenz-)Sonne zuschreiben. Die (wahre) Sonne entfernt sich, was den äquatorialen Abstand (Rektaszensionsdifferenz) betrifft, im Jahreslauf nie mehr als ca. 4° oder 8 Sonnendurchmesser oder 16 min von der mittleren Sonne. Im Laufe des Jahres finden 4 „Überholvorgänge“ (Nullstellen der Zeitgleichung) statt.

Es ist wünschenswert, die in $\scriptstyle T$ periodische Zeitgleichungsfunktion mittelwertfrei zu definieren. Dann ist ihr Betragsmittelwert minimal. Der arithmetische Mittelwert $\scriptstyle {\overline {ZG}}$ ist durch die Wahl des Konstantgliedes der mittleren Rektaszension $\scriptstyle \alpha _{M}$ justierbar (s. Tab. 1). Die getroffene Festlegung auf $\scriptstyle -V_{F}$ zieht $\scriptstyle {\overline {ZG}}\,\approx \,0.1s$ nach sich. Diese geringe Abweichung vom Idealwert Null ist akzeptabel, zumal man infolge des einfachen Keplermodells viel größere Einzelwertabweichungen gegenüber Messwerten in Kauf zu nehmen hat.

M. Schneider, Himmelsmechanik Band II, S. 507f erklärt die mittlere Rektaszension $\scriptstyle \alpha _{M}$ (s. Tab. 1) mit Hilfe zweier fingierter mittlerer Sonnen, SE und SÄ (s. Abb. Sonnenlauf und Himmelskugel c). Beide umrunden - in geozentrischer Sicht - die Erde in derselben Zeit $\scriptstyle T$ wie - scheinbar - die Sonne S, aber mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. SE kreist in der Ekliptikebene und passiert P zusammen mit S. SÄ - die eigentliche Vergleichssonne - läuft in der Äquatorebene um und geht gleichzeitig mit SE durch F. Diese Platzierung und Synchronisation der beiden mittleren Sonnen legt das Konstantglied der mittleren Rektaszension $\scriptstyle \alpha _{M}$ auf $\scriptstyle -V_{F}=\Lambda _{P}$ fest.

Für die Wahl von $\scriptstyle -V_{F}$ als Konstantglied spricht auch das folgende theoretische Argument: Wenn man den Rechenweg nach Tab. 1 im Sinne einer Parameterstudie unverändert auf Erdvarianten mit verschiedenen $\scriptstyle \varpi$-Werten bei sonst gleichen Parametern anwendet, bleibt $\scriptstyle {\overline {ZG}}$ in der genannten geringen Größenordnung. Die vier symmetrischen Konstellationen, in denen die Projektion der Erdachse in die Ekliptikebene parallel oder rechtwinklig zur Apsidenline AP verläuft, erweisen sich mit $\scriptstyle {\overline {ZG}}=0$ als Idealfälle. Modalanalytiker (Diskussion) 21:05, 18. Mär. 2014 (CET) Modalanalytiker (Diskussion) 17:45, 19. Mär. 2014 (CET) Modalanalytiker (Diskussion) 11:26, 20. Mär. 2014 (CET) Modalanalytiker (Diskussion) 19:06, 20. Mär. 2014 (CET) Modalanalytiker (Diskussion) 14:54, 24. Mär. 2014 (CET) Modalanalytiker (Diskussion) 15:49, 24. Mär. 2014 (CET) Modalanalytiker (Diskussion) 18:42, 24. Mär. 2014 (CET)

Hallo Modalanalytiker, ich möchte nur zu Deinem Abschnitt "Rektaszension der mittleren Sonne" Stellung nehmen. Ich finde Deine Abhandlung sehr professoral, für Spezialisten und auch uns Diskutierende durchaus informativ, für den normalen Leser, an den sich der Artikel eigentlich wenden sollte, aber eher weniger passend. Ich möchte nun doch - auf der Basis Deines ursprünglichen Vorschlags - einen eigenen Textvorschlag bringen:

In Gleichung 2a gibt α die Position des Sonnenzeigers an und α_M die Position des Uhrzeigers (auch Mittlere Sonne genannt). Die Position des Uhrzeigers muss noch festgelegt werden.
Die Elliptizität der Erdbahn und die Schrägstellung der Erdachse haben nur einen geringen Einfluss auf den Lauf der Sonne. Im idealisierten Fall (keine Schrägstellung, ε = 0) wird aus
Gleichung 10: α = Λ
und mit e = 0 (Kreisbahn) aus
Gleichung 6: V = M.
Damit wird aus
Gleichung 9: α = M + L
α nimmt linear mit der Zeit zu, die Geschwindigkeit des Sonnenzeigers ist also konstant, genau wie die des Uhrzeigers. Es ist nun naheliegend, den Uhrzeiger so zu positionieren, dass er mit dem Sonnenzeiger übereinstimmt, also α = α_M zu setzen. Somit erhält man
Gleichung 11: α_M = M + L
Mit dieser Definition liegt die Kurve der Zeitgleichung (nahezu) mittig über der Zeitachse.

Wir haben nun drei sehr konkrete und sehr unterschiedliche Textvorschläge (den aktuellen WP-Artikel, den Vorschlag von Modalanalytiker und meinen). Es wäre nun interessant, von den stillen Beobachtern zu erfahren, was sie davon halten. MfG --Gueziv (Diskussion) 14:56, 22. Mär. 2014 (CET)

Wo steht der ursprüngliche Vorschlag? Worauf beziehen sich die Gleichungs-Nummern?
mfG DrIngEnd 18:06, 22. Mär. 2014 (CET)

Der ursprüngliche Vorschlag stammt vom 13. März, 21:07. Du hast dich am 21. März, 12:48 dazu geäußert. Die Gleichungs-Nummern beziehen sich auf den WP-Artikel (worauf sonst?). MfG --Gueziv (Diskussion) 14:20, 23. Mär. 2014 (CET)

(BK)Hallo Gueziv, ich habe den Textvorschlag von Modalanalytiker mal durch eine horizontale Linie von der darauffolgenden Diskussion abgegrenzt und deinen Textvorschlag eingerückt.

Meine Meinung: Mir gefällt das, was Modalanalytiker in seinem 4. Absatz schreibt:

M. Schneider, Himmelsmechanik Band II, S. 507f erklärt die mittlere Rektaszension $\scriptstyle \alpha _{M}$ (s. Tab. 1) mit Hilfe zweier fingierter mittlerer Sonnen, SE und SÄ. Beide umrunden - in geozentrischer Sicht - die Erde in derselben Zeit $\scriptstyle T$ wie - scheinbar - die Sonne S, aber mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. SE kreist in der Ekliptikebene und passiert P (s. Abb. Sonnenlauf und Himmelskugel c) zusammen mit S. SÄ - die eigentliche Vergleichssonne - läuft in der Äquatorebene um und geht gleichzeitig mit SE durch F. Diese Platzierung und Synchronisation der beiden mittleren Sonnen legt das Konstantglied der mittleren Rektaszension $\scriptstyle \alpha _{M}$ auf $\scriptstyle -V_{F}=\Lambda _{P}$ fest.

Grundsätzlicher (das gehört vielleicht weiter nach oben):

• Ich finde, heliozentrisch sollte man nur den Zusammenhang zwischen mittlerer Anomalie M und wahrer Anomalie V erklären. Alle anderen Erklärungen sollten geozentrisch an der Himmelskugel stattfinden. (Also keine Sonne, die sich auf einer Ellipse um die Erde bewegt, sondern ur eine scheinbare Sonne, die sich an der Himmelskugel auf einer Kreisbahn, der Ekliptik, bewegt). Neben dem Frühlingspunkt benötigt man dann noch den Punkt, an dem sich die (scheinbare) Sonne befindet, wenn heliozentrisch gesehen die Erde sich im Perihel ihrer Bahn befindet. In dem Zitat von Schneider wird er P genannt. Ich weiß nicht, ob dieser Punkt einen Namen hat. "Perigäum" scheint mir eher unwahrscheinlich.
• Ich stelle mir lieber einen Punkt vor, der sich an der Himmelskugel bewegt, als einen Zeiger, da ja die scheinbare Sonne auch ein Punkt ist und kein Zeiger.

--Digamma (Diskussion) 18:51, 22. Mär. 2014 (CET)

Hallo Digamma, vielen Dank für Deine geschätzte Meinung. Das ist wohl alles richtig. Die "fiktive Erde" im WP-Artikel sollte eigentlich eine zweite fiktive Sonne sein, weil es wenig ins Bild passt, wenn wir auf der wahren Erde sitzen und eine fiktive Erde am Himmel herumgeistert. Ich verstehe allerdings nicht, wozu man diese Fiktionen braucht. Die meisten Menschen erfahren von der ZG das erste Mal, wenn sie sich mit Sonnenuhren beschäftigen und Uhren haben nun mal Zeiger (auch der Schatten auf der Sonnenuhr ist ein Zeiger). Aber da können wir uns wohl nur darauf einigen, dass wir nicht einer Meinung sind. MfG --Gueziv (Diskussion) 13:57, 23. Mär. 2014 (CET)

Änderung vom 19. Mai 2014, 10:36

Hallo Modalanalytiker! Man nimmt ja normalerweise an, dass die "Jahreskonstante" M0 (um die geht es ja) für das Jahr zu wählen ist, für das man die ZG berechnen will (im Normalfall das aktuelle, laufende Jahr). Deine Änderung scheint dem zu widersprechen, zumindest ist für einen Nicht-Spezialisten nicht klar, was damit ausgedrückt werden soll.
In der aktuellen Artikel-Version wurde ja die Sache mit dem Julianischen Datum wieder aufgegeben und die Zeitachse t beginnt am Jahresanfang. Richtig ist, dass man t nicht am Jahresende stoppen muss, man kann es auch weiterlaufen lassen und bekommt dann eben für t größere Zahlen als 365. Im Prinzip kann man die Zeitachse zu jedem beliebigen Zeitpunkt beginnen lassen, muss dann aber das für diesen Zeitpunkt geltende M0 wählen. Du beginnst ja vorzugsweise am 1.1.2000 12:00 UT. Wenn man das dazu passende M0 wählt, kann man damit auch die ZG für heute ausrechnen, man muss nur die Zahl der Tage von damals bis heute abzählen (mehrere tausend). Das ist nicht als neue oder bessere Berechnungsmethode anzusehen.
Ich finde, Deine Änderung ist ganz unnötig und stiftet nur Verwirrung. MfG --Gueziv (Diskussion) 19:23, 19. Mai 2014 (CEST)

Hallo Gueziv! Ich hatte die Bemerkung zu der Verwendbarkeit der Jahreskonstanten außerhalb des aktuellen Jahres hinzugefügt, nicht um eine neue Berechnungsmethode zu empfehlen, sondern um anzudeuten, dass die Zeitgleichung nicht unbedingt gestückelt werden muss. Da dich das verwirrt, werde ich es gleich entfernen. Hältst du auch die im Text frühzeitigere Konkretisierung des Nullpunkts von $t$, die im existierenden Zahlenbeispiel von DrIngEnd später benutzt wird, für ganz unnötig und nur verwirrend? Auf diesen Teil der Änderung kommt es mir eigentlich an. hG Modalanalytiker (Diskussion) 19:43, 19. Mai 2014 (CEST)

Es geht weniger um meine persönlichen Befindlichkeiten, ich habe vielmehr immer den "normalen", ratsuchenden Leser im Blick. Die Beschreibung des Nullpunks ist schon in Ordnung.
Weil Du so gut rechnen kannst, noch eine andere Frage: In Gleichung 8 wird gesagt, dass sich die Nicht-Berücksichtigung der laufenden Änderung von L mit weniger als 3,5 Sekunden auf die ZG auswirkt. Das scheint mir gefühlsmäßig stark übertrieben zu sein, ich schätze, dass das weniger als eine Sekunde ist. Im Rechenbeispiel könnte man vielleicht noch den Hinweis anbringen, dass sich das Ergebnis von den genauen Werten um bis zu 2 Sekunden (?) unterscheiden kann und dass das auf die nicht berücksichtigten Einflüsse des Mondes und der Planeten zurückzuführen ist (falls das stimmt). MfG --Gueziv (Diskussion) 09:31, 20. Mai 2014 (CEST)

Hallo Gueziv! Zu deiner Frage „Nicht-Berücksichtigung der laufenden Änderung von L“ kann ich mal ein bisschen simulieren.         Hier das Ergebnis einer Stichprobe: Für den 31.12.2015 verändert sich der ZG-Wert um 0,35 s. Modalanalytiker (Diskussion) 12:19, 20. Mai 2014 (CEST)

Zu deinem Punkt „Im Rechenbeispiel könnte man vielleicht noch den Hinweis [zur Genauigkeit] anbringen, ...“ Dazu sollte sich DrIngEnd äußern, weil er diesen Weg - anders als ich - favorisiert.        

Über meinen Punkt - Jahreskonstanten gelten länger als ein Jahr - habe ich nochmal nachgedacht und werde den inzwischen entfernten Text in geänderter Form unter Anmerkungen, quasi als Fußnote, erneut einbauen. Grund: Als ich vor längerer Zeit den im Artikel eingeschlagenen Rechenweg (Stückelung der Zeitgleichung in Jahresabschnitte bei Verwendung von jeweils auszuwechselnden Jahreskonstanten) kennenlernte, hatte mich eben diese Stückelung verwirrt. Ich verstand nicht, dass Lesern, denen der Umgang mit zyklometrischen und Kreisfunktionen und die Lösung der nichtlinearen algebraischen (Kepler-)Gleichung zugetraut wird, erspart werden soll, die Zeitspanne zwischen zwei Terminen zu ermitteln, die weiter als ein Jahr auseinander liegen können. Genau das ist ja wohl der Grund, mit Jahreskonstanten zu arbeiten - Verkaufshilfe für Jahrbücher sicher nicht. Nachdem ich gesehen hatte, wieviel von der Hauptsache ablenkende Erklärungen der Jahreskonstanten-Weg braucht, fand ich es richtig, ihn zu verlassen; unter dem Punkt Ermittlung der Zeitgleichung bin ich auf dieser Diskussionsseite entsprechend tätig geworden. Das Verfahren, die zur ZG-Berechnung erforderliche Rektaszension so zu ermitteln, wie in der Ephemeridenrechnung allgemein üblich - d. h. die Bahnelemente eben nicht jährlich auszuwechseln - ist unter den hier aktiven Autoren aber nicht mehrheitsfähig. Dem habe ich mich angepasst, indem ich mich daran beteilige, den jahresweisen Berechnungsweg mitzuoptimieren. Meine entsprechende Änderung vom 18. Mai 2014, 20:10 (Zeitnullpunkt des jeweiligen Jahres auf den 1.1. 12:00 Uhr UT gesetzt) ist bis jetzt keinem Revert zum Opfer gefallen, was mich freut. Kurzum: Ich vernute, dass viele Leser davon profitieren werden, wenn sie (in einer kurzen Fußnote) erfahren, dass die Berechnung der Zeitgleichung (wie die Ermittlung von Planeten-Koordinaten) auch ohne jährliche Neujustierung der Bahnelemente des Keplermodells auskommt und die ZG-Funktion über viele Jahrzehnte durch einen einheitlichen Ansatz mit einem Parametersatz beschreibbar ist. hG Modalanalytiker (Diskussion) 12:04, 20. Mai 2014 (CEST)

Ich bin nicht gegen Deine Anmerkung, ich finde nur allgemein, man sollte den Artikel nicht mit allen möglichen Eventualitäten und Variationen, die sich dann auch noch zu widersprechen scheinen, überfrachten. "Jahreskonstanten", die nicht konstant sind und die für das laufende Jahr gelten, aber auch für alle anderen Jahre ...
Laut Anmerkung 17 kann man beispielsweise M0 ausrechnen, wenn man will auch für das Jahr 3000 n. Chr. und aufs zehntel Promille genau. Leider stimmt es nicht, weil es gibt vier Werte, die sich, laut Artikel, deutlich unterscheiden und die ändern sich dann eben ganz minimal im Laufe der Jahrhunderte. MfG --Gueziv (Diskussion) 09:48, 21. Mai 2014 (CEST)

Was du an (auch mich) Störendem anführst, (>>"Jahreskonstanten", die nicht konstant sind und die für das laufende Jahr gelten, aber auch für alle anderen Jahre... Leider stimmt es nicht, weil es gibt vier Werte, die sich, laut Artikel, deutlich unterscheiden<<) ist alles dem (mir unsympathischen) Ansatz zu „verdanken“, den Jahresanfang als jeweils neuen Zeitnullpunkt zu wählen. Dieses Zerhacken muss in der nachfolgenden Rechnung mit Fallunterscheidungen repariert werden. Alles selbst geschaffene Qualen! Ein Rechengang mit z. B. J2000.0 als Zeitnullpunkt vermiede das alles und käme mit einem Bruchteil an Erläuterungen aus. Der einzige Nachteil: Dem Anwender würde zugemutet, Termindifferenzen größer als ein Jahr zu errechnen. Den Vorteil, dass die stetige Sonnenbewegung sich in einem stetigen, leichter verständlichen Rechenverfahren abbildet, schätze ich ungleich höher ein. hG Modalanalytiker (Diskussion) 11:17, 21. Mai 2014 (CEST)

Einfluss des Erdmondes

Ist dieser Einfluss wirklich vernachlässigbar klein? Die Erde läuft auf ihrer Bahn um die Sonne mit der Periodizität der Mondphasen dem mit dem Mond gemeinsamen Barycentrum (geht in Keplergleichung als Ersatz für Erde-Schwerpunkt ein) in der Größenordnung von 5000 km mal voraus, mal hinterher, ist also in der Größenordnung von 3 Minuten früher/später als das Baryzentrum an einem bestimmten Ort. Ins Unreine gedacht: diese Welle mit Amplitude etwa ± 3 Minuten ist der ZG zu überlagern. Was erbringt das reine Denken?
mfG DrIngEnd 14:31, 10. Jun. 2014 (CEST)

Die 3 Minuten braucht die Erde auf ihrer Bahn, um die Distanz von 5000 km zurückzulegen, bzw. geozentrisch betrachtet die Sonne auf der Ekplitik. Das ist aber nicht das, was in die Zeitgleichung eingeht, sondern die Rektaszensionsdifferenz (bzw. in erster Näherung die Differenz der ekliptikalen Länge), die diesen 5000 km entspricht. Dies sind aber nur ca. 0,5^s (nämlich 5000 km / (2 π· 150 Mio. km) × 24^h). --Digamma (Diskussion) 16:41, 10. Jun. 2014 (CEST)

Danke, Du hast mich wieder auf den richtigen Weg zurück geholt. Die Differenz Δλ ≈ 0,002° hatte ich schon einmal ermittelt, aber nichts damit angefangen. Da sie auf die die Länge des Tages machende Erddrehung zu beziehen ist, fällt ihre Wirkung unter den Tisch. Aber wie kann man jedwede einschlägige Bedeutung der oben genannten 3 Minuten klar aus der Welt schaffen? Hast Du eine Idee für eine jedermann (auch ich habe diese Zeitdifferenz immer noch im Kopf) einleuchtende, hieb- und stichfeste Erklärung/Formulierung?
mfG DrIngEnd 15:23, 11. Jun. 2014 (CEST)

Verschiebe die Kurve der Zeiteitgleichung um drei Minuten und lies die neuen Werte ab. Dann siehst du, wie gering der Mondeinfluss ist.
(nicht signierter Beitrag von 89.2.67.182 (Diskussion) )

Ich glaube nicht, dass man so vorgehen kann. Den Einfluss des Mondes gäbe es auch dann, wenn die Erdbahn eine Kreisbahn wäre und die Erdachse nicht schief stehen würde, die Zeitgleichung also Null wäre. --Digamma (Diskussion) 09:31, 12. Jun. 2014 (CEST

Wenn man die Nullkurve um drei Minuten verschiebt, liest man (von dieser KEPLER-Zeitgleichung) wieder Null ab, was auch zu verlangen ist. Ich sehe keinen Widerspruch zu meinem Punkt. Die MONDgestörte Zeitgleichung onduliert mit den Mondphasen, aber das ist ein anderes Thema.
(nicht signierter Beitrag von 89.2.67.182 (Diskussion) )

Dass man beim verschieben einer "Nullkurve" keinen Unterschied sieht, ist trivial logisch.
Verschiebe die Kurve der Zeiteitgleichung um drei Minuten und lies die neuen Werte ab. Dann siehst du, wie gering der Mondeinfluss Unterschied ist. Das ist aber nur eine nachgeordnete "Aktivität", die man machen kann, wenn man weiß, warum es so heraus kommen muss . Dass es die Folge des Mondeinflusses darstellt, muss einsichtig erklärt/bewiesen werden. Das Fettgedruckte ist mein Anliegen.
mfG DrIngEnd 11:37, 12. Jun. 2014 (CEST)

Mein Punkt war: Der von mfG DrIngEnd oben beschriebene Einfluss des Mondes ist vorhanden, auch wenn die andern Ursachen der Zeitgleichung nicht vorhanden sind. Also kann er nicht dadurch dargestellt werden, dass man die "Kepler"-Zeitgleichungskurve verschiebt. --Digamma (Diskussion) 12:17, 12. Jun. 2014 (CEST)

Vielleicht hilft es dringend, das Gewicht der drei Minuten an den ca. 8800•60 Minuten eines Jahres zu bewerten, die in der Zeitgleichung 24 • 60 Minuten ausmachen. Kurz: Das Übersetzungsverhältnis ist 1/365. (nicht signierter Beitrag von 89.2.67.182 (Diskussion) 13:34, 12. Jun. 2014 (CEST))

Tut mir Leid, aber ich erkenne immer noch nur Zahlenvergleiche als einfachste Rechenübungen in der Art von:
Warum ist ein Rollbrett billiger als ein Auto? Weil ein Rollbrett 60 Euro, ein Auto aber 22'000 Euro kostet.
mfG DrIngEnd 21:14, 12. Jun. 2014 (CEST)

dringends Frage beantwortet der Artikel mit dem kurzen Satz direkt nach Gl. (2). Welche Kräfte an der Rektaszension zerren, ist schließlich egal. (nicht signierter Beitrag von 89.2.67.182 (Diskussion) 21:49, 12. Jun. 2014 (CEST))

Was Digamma gesagt hat, ist völlig richtig. Vielleicht noch einmal etwas anders erklärt: Man muss die 5000 km auf den Umfang der Erdbahn beziehen (näherungsweise als Kreis). Für die ZG ist nur der Erdumlauf maßgebend, nicht die Erddrehung. Einem vollen Erdumlauf entspricht 1 Tag = 24 h (steht ja im Artikel sehr deutlich). Folglich gilt: 5000/Umfang = x/24 h, also x = 0,45s. --Gueziv (Diskussion) 10:14, 13. Jun. 2014 (CEST)

Da sind Dir Erdumlauf und Erddrehung durcheinander geraten. Außerdem ist der Erdumlauf auch maßgebend, steht ja auch auf der linken Seite Deiner Gl.. Ohne ihn wäre der Sonnentag konstant lang (keine ZG). Seine Maßgabe ist zu erklären, aus der Gl. folgt nur die Quantität dieser Maßgabe. Diese Erklärung, um die ich Euch nun schon lange bitte, könnte wie folgt beginnen:
Der Erdschwerpunkt ist max. etwa 5000 km entfernt vom Bahnpunkt (Baryzentrum), der mit der Keplergl. für einen vorgegebenen Zeitpunkt ermittelt wird. Die Differenz zwischen vorgegebenem Zeitpunkt und dem Moment, in dem der Erdschwerpunkt den ermittelten Bahnpunkt passiert, ist etwa ±3 min. Der Unterschied in der Zeitgleichung ist aber nur etwa ±0,5 sec, weil ...
Um Fotsetzung, in der nicht nur eine die Quantität zeigende Gl. steht, wird (weiter) gebeten.
mfG DrIngEnd 12:24, 13. Jun. 2014 (CEST)

... passiert, ist etwa ±3 min. Wirkt sich diese Zeitdifferenz in gleicher Größenordnung auf die Zeitgleichung aus? Nein. Die ZG müsste für einen um etwa ±3 min korrigierten in Gl. (3a) vorgegebenen Zeitpunkt oder mit einer um die Winkeldifferenz, die dem etwa ±5000 km langen Bahnstück entsprechen, korrigierten, aus Gl.(5) folgenden wahren Anomalie ermittelt werden. Das Ergebnis würde sich nur um etwa ±0,5 sec vom unkorrigierten unterscheiden. 0,5 sec sind der 360ste Teil von 3 min. Das ist in etwa auch das Verhältnis zwischen einem Tag und einem Jahr. Mit anderen Worten: ...
Um Fortsetzung wird gebeten.
mfG DrIngEnd 14:42, 13. Jun. 2014 (CEST)

Wenn - nur im Gedankenexperiment - die Erde sprungartig um einen bestimmten Bruchteil ihrer jährlichen Umlaufbahn vorschnellen würde, rückte die Sonne am Himmel um denselben Bruchteil ihrer täglichen Bahn vor. Damit beträgt das Verhältnis der Änderungen von Rektaszension und Zeitgleichung (oder auch Stundenwinkel) 1 Jahr / 1 Tag, also ca. 365. (nicht signierter Beitrag von 89.2.67.182 (Diskussion) 13:15, 13. Jun. 2014 (CEST))

@Ich glaube, dies ist bei den an der Diskussion beteiligten völlig unstrittig und auch verstanden. Die Frage, die noch bleibt, ist, wie man das im Artikel allgemeinverständlich erklärt.

@Dringend: Ich würde das nicht in den Artikel aufnehmen. Wenn wir damit anfangen, dann müssten wir auch Bahnstörungen und die Nutation (Astronomie) aufnehmen und den Einfluss der Tatsache, dass sich im Brennpunkt der Kepler-Ellipse nicht die Sonne, sondern das Baryzentrum des Sonnensystems befindet. Das sind alles Einflüsse, die für eine Bogensekunden-genaue Angabe der Sonnenposition relevant sind, aber nicht für die Zeitmessung mit Sonnenuhren, um die es bei der Zeitgleichung schließlich geht. Die mittlere Zeit wird ja astromisch nicht dadurch realisiert, dass man den genauen Stundenwinkel der Sonne misst und mit der Zeitgleichung korrigiert, sondern indem man die Sternzeit misst und mit einem geeigneten Faktor multipliziert. --Digamma (Diskussion) 14:16, 13. Jun. 2014 (CEST)

Die beteiligte Diskutanten wissen genug, um keinen Irrweg zu beschreiten, aber eine alte Weisheit lautet: Was man verstanden hat, kann man auch erklären. Zudem gibt es auch andere Leser, die durchaus verstehen wollen, aus welchem genauen Grund die 3 min keine Rolle spielen und sich nicht mit einer vorgefertigten Gleichung, aus der 0,5 sec folgen, zufrieden geben. Ob das in den Artikel gehört, ist eine andere Frage. Wer sich aber mit Apsis (Astronomie) befasst, kann durchaus auf diese Frage stoßen.
mfG DrIngEnd 14:42, 13. Jun. 2014 (CEST)

Statt detailliert den Einfluss des Mondes auf die ZG zu erläutern, fände ich es aufschlussreicher, darüber zu informieren, wieviel die Keplertheorie-ZG von der wahren ZG abweicht, die alle Einflüsse berücksichtigt. (nicht signierter Beitrag von 89.2.67.182 (Diskussion) 20:54, 13. Jun. 2014 (CEST))

Eine Bitte: Könntest du bitte deine Beiträge signieren? Das geht mit dem entsprechenden Button über dem Eingabefeld, oder indem du von Hand --~~~~ am Ende deines Beitrags eingibst. --Digamma (Diskussion) 22:11, 13. Jun. 2014 (CEST)

@DrIngEnd: Ich glaube, Deine Überlegungen sind im Moment einfach zu kompliziert. Bedenke: Die ZG kommt durch den ungleichmäßigen Erdumlauf zustande (nicht durch die Erddrehung). Der Mond verursacht eine zusätzliche (kleine) Schwankung des Erdumlaufs. Die von Dir ins Spiel gebrachten 3 Minuten kommen offenbar durch die (falsche) Einbeziehung der Erddrehung zustande. Nimm einfach an, die Erde würde sich nicht drehen, sondern stillstehen. Dann hätte ein Jahr einen Tag. --Gueziv (Diskussion) 10:58, 14. Jun. 2014 (CEST)

Meinen Formulierungsversuchen möchte niemand folgen, weil es erfahrungsgemäß Mühe macht, das, was man glaubt verstanden zu haben, auch zu erklären. Die Erfahrung zeigt auch, dass man ohne vollständiges Verständnis auskommt, dass die Gefahr, ohne es Irrwege zu gehen, klein ist. Deshalb: Allgemein für unnötig gehaltene Mühen nicht auf sich zu nehmen.
mfG DrIngEnd 11:50, 14. Jun. 2014 (CEST)

Ich stimme Dir zu! Das Internet ist ein "schnelles" Medium und man schreibt oft etwas hin, ohne ausreichend darüber nachgedacht zu haben oder das, was der andere geschrieben hat, richtig gelesen zu haben. Ich stimme auch Deiner Ansicht zu, dass man meist nicht so gut erklären kann, was man selber nicht verstanden hat.
Der Kern des Problems ist die Umrechnung von Winkelgraden in Zeitminuten - also Dreisatz. Bei Dir entspricht eine Volldrehung (360°) einem Jahr (365 Tage). Richtig wäre aber in diesem Fall ein Tag (24 h). Es liegt nun an Dir, das zu verstehen. --Gueziv (Diskussion) 19:14, 14. Jun. 2014 (CEST)

Wie schon ein anderer Teilnehmer geschrieben hat, kann man es auch mit Gleichung 2 ausrechnen, ohne neu nachdenken zu müssen. Die vom Mond hervorgerufene Winkelschwankung ist Δα = +/- 0,002°, also ZG = 0,008 min = 0,48 s (hast Du ja selber ausgerechnet).
Bei dieser Gelegenheit kann ich darauf hinweisen, dass die Erklärung für den Faktor "4" nur fast richtig ist. Mit "Himmelskörpern" können ja nur Fixsterne gemeint sein. Richtig wäre aber wohl "Mittlere Sonne". Unastronomisch dargestellt ist es wieder der bekannte Dreisatz: 1°/360° = 4 min/(24*60) min. Da kommt noch die Zeit- und Winkeleinteilung der Sumerer zum Vorschein. MfG --Gueziv (Diskussion) 11:21, 15. Jun. 2014 (CEST)

Das nur geglaubte Verständnis gibt es nicht erst seit dem Internet und betrifft auch nicht nur das, worüber dort geredet wird. Berufe, die mehr als nur intuitiv ausgeführte Bewegungen (echtes Handwerk) verlangen (das sind heute fast alle), werden mehr oder weniger nur unbewusst beherrscht. Warum ist es sonst meist unmöglich, dass Einer seine Kopfarbeit in Beruf oder Hobby einem gewöhnlichen Anderen nicht erklären kann?
mfG DrIngEnd 12:42, 15. Jun. 2014 (CEST)

Die Mühe des Lernens lässt sich nicht vollständig auf die Lehrenden verlagern, auch wenn das immer wieder verlangt wird. Zum Thema: Schon die erste Antwort von Digamma (16:41, 10. Jun.) hat die gestellte Frage m. E. richtig und ausreichend beantwortet. --89.2.67.182 14:36, 15. Jun. 2014 (CEST)

Für Leute die nicht im Thema sind, ist dieser Artikel nur bedingt geeignet

Hallo. Ich arbeite mich jetzt im diesem Thema neu ein und muss sagen, das dieser Artikel dafür nur bedingt geeignet ist. Ich weiß gar nicht wo ich anfangen soll.

1. Artikel wirkt sehr unstrukturiert.
2. Ist der Hinweis der mittelalterliche Bedeutung des Wortes Gleichung überhaupt notwendig? In der Einleitung? Überhaupt wirkt die Einleitung sehr hölzern.
3. Wieso ist der Abschnitt "Historisches" am Ende und nicht am Anfang des Artikels? Erst wird vom Mittelalter gesprochen und dann kommt am Ende der Abschnitt "Historisches"
4. Die Schriftgrößen ändern sich (siehe Rechenbeispiel)
5. Das Rechenbeispiel selber!

• Es gibt Quellen die so nicht verfügbar sind (Sonnenuhren-Handbuch (Deutsche Gesellschaft für Chronometrie, FK Sonnenuhren, 2006, S. 48))

Die Tabelle findet man erst in der Diskussion. Warum?

• Die Berechnung von M₀. Hat das einer mal nachgerechnet? Wie kommt man mit der Formel $M_{0}=357,5256^{\circ }+35999,0498^{\circ }\cdot {\frac {Tage}{36525}}$ auf den angegebenen Wert in der Tabelle (-2.3705°, z.B. für das Jahr 2015). Wie kann diese überhaupt negativ werden?
• Was genau bedeuten die Jahreskonstanten? Nirgendwo im Artikel sind diese klar und deutlich erklärt. In der Grafik findet man diese jedoch aber kein Bezug im Text.
• In den Einzelnachweisen sind diese Formeln erklärt. Ist d eine Variable? Nein, es ist der Tag und daher fehlt eine Leerzeile wie das bei Einheiten üblich ist. Ist d eigentlich eine SI-Einheit? Bei M₀ steht ein d in der Formel und bei L₀ nicht. Warum?
• Indizes in einer Formel werden nicht kursiv angegeben sondern gerade. Es wird nur kursiv gesetzt wenn diese selber eine Variable ist.

Ein sehr schöner klarer Artikel ist Kosmische_Geschwindigkeiten. Klar struktruriert und sehr knapp alle nötigen Informationen untergebracht oder die die englische Version des Artikels.

Von einem Wikipediaartikel erwartet man zumindest eine Einführung. Idealerweise ist keine Nachrecherche notwendig. Wenn aber schon ein Rechenbeispiel Fragen aufwirft und nichtgestellte Fragen (Mittelalter) beantwortet, anstatt Antworten zum eigentlichen Thema zu liefern, dann stimmt etwas nicht. Dann ist nämlich der Sinn und Zweck eines Lexikons dahin.--hachenburger (Diskussion) 12:20, 8. Okt. 2014 (CEST)

Genau das denke ich auch schon längere Zeit. Der Artikel ist ziemlich überladen und wirkt auf den Leser eher abschreckend. Vor gut 5 Jahren sah er so aus:

https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Zeitgleichung&oldid=57943681

Lampart (Diskussion) 21:41, 8. Okt. 2014 (CEST)

Ohh ja..., das sah doch mal ganz gut aus.... --hachenburger (Diskussion) 17:57, 9. Okt. 2014 (CEST)

Einige nachvollziehbare sachliche Reklamationen habe ich korrigiert. Formale Fehler (z.B. Indizes in einer Formel) kommen immer vor. Der aufmerksame Leser korrigiert sie am besten sofort und redet nicht darüber. Besser wäre auch, pauschale, lapidar formulierte Ablehnungen zu unterlassen. Der Kritiker sollte stattdessen selbst formulieren, um sich verständlich zu machen. Lapidar genanntes Vergleichs-Beispiel: schöner klarer Artikel ist Kosmische_Geschwindigkeiten, in dessen Stoff z.B. nun wieder ich mich nicht ohne ein gewisses Maß an eigenen Bemühungen einarbeiten konnte.
mfG Analemma 22:27, 12. Okt. 2014 (CEST)

Ich zitiere aus der obigen Diskussion: "Irgendwie habe ich es gewusst – der Artikeleigentümer will nicht, dass man seine Sätze verändert. Dies ist zwar ein Wiki und nicht deine private Homepage, aber irgendwie habe ich es einfach gewusst." Deshalb habe ich keine Korrekturen gemacht. Und die Gleichung für M₀ ist immer noch nicht verständlich. (Gut vllt stell ich mich dumm an) aber rechnet man dies aus, kommt man nicht auf die Tabellenwerte. Und warum ist die Tabelle nicht im Artikel? Gruß --hachenburger (Diskussion) 19:29, 15. Okt. 2014 (CEST)

$M_{0}=357,5256^{\circ }+35999,0498^{\circ }\cdot {\text{T/36525}}$
$T=15\cdot 365+4=5479$       (4 = Schalttage)
$M_{0}=357,5256^{\circ }+35999,0498^{\circ }\cdot 0,15000068$
$M_{0}=357,5256^{\circ }+5400,1037^{\circ }$
$M_{0}=5757,6293^{\circ }$
mit modulo 360°     und     -180° ≥ $M_{0}$ > +180°                     mfG Analemma 00:44, 30. Okt. 2014 (CET)
$M_{0}=-2,37065^{\circ }$
Artikel-Zitat: Da die Erde etwa 3 Tage nach „Jahresanfang“ $(t=t_{K}=0)$ durch das Perihel geht $(t_{P}\approx +3\,{\text{d}})$, ist der ... Wert $M_{0}$ negativ.
mfG Analemma 21:31, 15. Okt. 2014 (CEST)

Also sorry, aber diese Gleichung wie sie oben steht, ist schlichtweg sehr unsauber bzw falsch! Denn M₀ in der vorletzten Zeile ist NICHT M₀ in der letzten Zeile. Zudem ist die Rechnung selber falsch. Als Ergebnis sollte -2,37053 rauskommen nicht -2,37065. Mathematisch korrekt und eleganter ist es m.E so: ${M}_{0}={\text{mod}}((357,5256^{\circ }+35999,0498^{\circ }\cdot {T/36525}),360^{\circ })-360^{\circ }$. Das gleiche gilt auch für L₀. --hachenburger (Diskussion) 13:00, 27. Okt. 2014 (CET)

Ich kam beim Nachrechnen wieder auf -2,37065°. Kann es sein, dass mein Taschenrechner (TI 30) auf zu wenige Stellen genau rechnet?
mfG Analemma 16:44, 5. Nov. 2014 (CET)

Grad mal mit Excel gecheckt und ich komme fast genau auf die Werte in der Tabelle. Scheint also ein Rundungsproblem zu sein. --hachenburger (Diskussion) 18:34, 5. Nov. 2014 (CET)

Matlab und andere Computerprogramme

@ hachenburger: Wenn du dich in dieses Thema neu einarbeitest, hast du einfach das Pech gehabt, ausgerechnet in den im Artikel gewählten Berechnungsansatz und dessen „Jahreskonstanten“ getreten zu sein. Wie es anders geht, kannst du z. B. unter Noch ein Rechengang weiter oben in dieser Diskussion nachlesen. Falls du - nach Einarbeitung in die Materie - planst, am Artikel mitzuarbeiten, sei gewarnt. Dessen Eigentümer, der hier unter mindestens zwei Benutzernamen auftritt, geht es vor allem um seine "Besitzrechte" und das Entfernen "fremder DNA". Ich schreibe das mit verbrannter Hand. --Modalanalytiker (Diskussion) 10:40, 26. Okt. 2014 (CET)

Deshalb habe ich auch u.a. die Indizes nicht geändert, weil ich das weiter oben in der Diskussion schon gelesen habe. Ich habe mich bereits mit anderen Quellen sowie mit dem obigen "Noch ein Rechengang" (der im übrigen m.M sehr gut ist) schlauer gemacht, so das ich in der Lage bin, ein entsprechendes Matlabskript zu erstellen. Die Frage mit der Tabelle wurde bis heute nicht beantwortet. --hachenburger (Diskussion) 13:00, 27. Okt. 2014 (CET)

Apropos Matlabskript: Der Arkustangens mit Lageparameter kann bei der Berechnung der (wahren) Sonnenrektaszension helfen. Damit landet man automatisch beim richtigen Nebenwert. --Modalanalytiker (Diskussion) 14:38, 27. Okt. 2014 (CET)

Würdest du das MatLab-Skript veröffentlichen? Würde mich interessieren. Ich versuche seit zwei Stunden, diesen Artikel zu verstehen, oder, besser gesagt, eine Antwort auf die Frage zu finden, warum die Zeitgleichung gerade bei den Apsiden Null ist. Das hat nicht unbedingt etwas mit dem MatLab-Skript zu tun, aber ich hab diverse Mathematikvorlesung gehört und auch von Astronomie ein wenig Ahnung und es trotzdem nicht geschafft, dem Artikel die Information abzuringen, die ich suche. Liegt aber vielleicht auch an der Uhrzeit (Hups, Ironie?). --188.174.15.65 23:09, 27. Okt. 2014 (CET)

Ich kann ein Scilab-Skript liefern. Das gehört aber nicht auf die Diskussionsseite. Am einfachsten, du meldest dich mit einem Benutzernamen bei Wikipedia an. Dann schicke ich dir die sce-Datei via Privatnachricht. Übrigens: Die Zeitgleichung ist bei den Apsiden ungleich null.--Modalanalytiker (Diskussion) 00:26, 28. Okt. 2014 (CET)

OFF-TOPIC: Ein entsprechendes Beispiel findet sich hier: www.hlmths.de/Scilab/Zeitgleichung.pdf. @ Modalanalytiker: Der Tipp mit Arkustangens mit Lageparameter verstehe ich nicht so ganz (der Berechnungsgang, wofür das gut ist verstehe ich schon). Kannst Du mir ein berechnetes Beispiel zukommen lassen? (Wie Du auf den Winkel gekommen bist, möchte das gerne nachvollziehen) Gerne auch auf meiner Diskussionsseite. Dankeschön.--hachenburger (Diskussion) 09:47, 28. Okt. 2014 (CET)

Ich verstehe nicht recht, worauf genau deine Frage zielt. Du weißt wofür der Arkustangens mit Lageparameter gut ist; und wie er berechnet wird, steht in Wikipedia. Was ist noch offen? --Modalanalytiker (Diskussion) 10:18, 28. Okt. 2014 (CET)

Hat sich erledigt. Man sollte nicht wärend der Arbeitszeit bei Wikipedia eine Diskussion führen ;) --hachenburger (Diskussion) 17:56, 28. Okt. 2014 (CET)

»Übrigens: Die Zeitgleichung ist bei den Apsiden ungleich null.« – Stimmt, ich meinte den Anteil, der durch die Exzentrizität entsteht. Ich hab versucht zu verstehen, warum der negativ ist, wenn sich die Erde der Sonne nähert (wenn die Dauer eines Sonnentages zunimmt). Scilab kenne ich noch gar nicht, muß ich mal ansehen. Dann melde ich mich demnächst evtl. per PN. Danke für das Angebot. --46.244.169.228 17:03, 28. Okt. 2014 (CET) (188.174.15.65 am 27. Okt. 2014, 23:09 (CET))

Scilab musste ich an der Uni einen digitalen Filter auslegen. Ist ganz praktisch, aber kommt halt nicht an Matlab ran. Die Syntax ist aber (fast) die selbe.--hachenburger (Diskussion) 17:56, 28. Okt. 2014 (CET)

„Stimmt, ich meinte den Anteil, der durch die Exzentrizität entsteht.“ Der wäre gleich null, wenn Solstitial- und Apsidenlinie zusammenfielen, d. h. wenn Winteranfang im Perihel läge.--Modalanalytiker (Diskussion) 18:34, 28. Okt. 2014 (CET)

Ich hätte übrigens Interesse an dem sce-File. Danke und Gruß --hachenburger (Diskussion) 21:01, 29. Okt. 2014 (CET)

Also, ich habe mir nochmal die Mühe gemacht das dargestellte Rechenbeispiel in Matlab zu simulieren. Leider ist dieses Rechenbeispiel unvollständig. Denn wenn man stur nach den Formeln geht, stellt sich ab Tag 186 ein Sprung im Kurvenverlauf ein (trotz Arkustangens mit Lageparameter). Warum ist das so? Es muss hier bestimmt eine Fallunterscheidung unternommen werden. Welche mathematische Vorschrift gilt hier? Es wäre doch schön, mal das Rechenbeispiel für Tag 284 durchzuspielen. Es sei zu erwähnen, das ich diesen Artikel rein von der mathematischen Seite bewerte d.h. ich erwarte, wenn ich die Formeln so wie im Artikel angegebe, genau die Ergebnisse generieren kann um daraus dann mir das Modell zu erklären. Fehlt etwas, ist die Gleichung falsch.(Siehe M₀, die Formel ist von der Notation schlicht falsch). Ich habe den Verdacht, das der Autor dieses Artikels der gleiche Autor ist, welcher dieses Dokument hier verfasst hat: http://www.swetzel.ch/sonnenuhren/zgna/zgna11.pdf. Denn der Artikel lehnt sehr stark an diesem Paper. Der "Inhaber" dieses Artikels wünscht weder Kritik noch Änderungen, da ja man direkt seine Ausarbeitung kritisiert. Ich finde sowas echt schade, wenn ein Artikel mehr Fragen aufwirft als beantwortet. Denn dann könnte man den Teil "Noch ein Rechengang" von Modalanalytiker in den Artikel einbauen, denn dieser ist, wie oben schon erwähnt, sehr elegant und auch leicht in Matlab zu implementieren. Ich habe mal im Studium gelernt, dass es eine Kunst ist schwierige Sachverhalte mit einfachen Worten zu erklären. --hachenburger (Diskussion) 19:05, 4. Nov. 2014 (CET)

Deine Bemerkung Es sei zu erwähnen, das ich diesen Artikel rein von der mathematischen Seite bewerte d.h. ich erwarte, wenn ich [stur] die Formeln so wie im Artikel angegebe, genau die Ergebnisse generieren kann um daraus dann mir das Modell zu erklären. trifft recht gut meine seit Beginn der Editionen von Modalanalytiker bestehenden Bedenken. Primär ist der astrophysikalische Hintergrund der Zeitgleichung zu behandeln und zu erklären. Einen Rechenroboter inkl. seinen lediglich eintippenden menschlichen Benutzer zu bedienen, der sich nicht oder erst zum Schluss damit beschäftigen möchte, welche physikaliche Sache und wie sie quantitativ, d.h. in mathematischer Sprache behandelt wird, wäre eine untergeordnete, nicht zwingende Dienstleistung. Im Artikel sind die in Teile zerlegten physikalischen Aufgaben genannt und danach jeweils mathematisch formuliert. Das Modell ist also dargestellt und die Dir vorgenommene Mühe, das Modell aus errechneten Werten zu erklären (falls denn diese Rückwärts-Lernmethode überhaupt ausreichend zum Ziel führen sollte), wäre unnötig.
mfG Analemma 16:36, 5. Nov. 2014 (CET)

Primär ist der astrophysikalische Hintergrund - Vollkommen richtig. Aber es gibt hier es kein astrophysikalischen, sondern ein (himmels)mechanischen Hintergrund. Astrophysik beschäftigt sich u.a. mit schwarzen Löchern oder mit der Entstehung von Sternen. Es sei auch zu erwähnen, das die Primärquelle den Titel Die Zeitgleichung für Nicht-Astronomen trägt. Dennoch ist immer eine exakte mathematische Beschreibung notwendig. Man kann daher doch erwarten, dass das mathematische Modell in ein numerischen Mathematikprogramm richtige Ergebnisse produziert. So wie es da steht, geht es leider nicht. Dann wäre es sinnvoller, die Mathematik ganz herauszunehmen und einen eigenen Artikel erstellen, welche verschiedene Lösungsansätze erläutert. Aber naja, Kritik oder Verbesserungsvorschläge scheinen hier unerwünscht zu sein. Schade. --hachenburger (Diskussion) 17:26, 5. Nov. 2014 (CET)

Hauptsache, Du hast verstanden, was ich meine. Da das hier nur eine Diskussion und kein Artikel-Anteil ist, brauchen wir uns gegenseitig nicht an den korrekten Insider-Sprachgebrauch zu erinnern. Die Idee eines Extra-Artikels mit Schwerpunkt auf eindeutige Rechenauomaten-Ergebnisse für einschlägige Interessenten hatte ich auch schon. Ich halte die Mehrheit der Leser für Nichtmathematiker, die anstatt M. zu üben ein konkretes, nicht-mathematisches Problem verstehen und quantitativ bewerten wollen. Zum Verständnis gehört, dass solche Leser die zutreffende aus m.-formell mehreren Lösungen ohne automatisierte Hilfe selbst erkennen. Wenn Du weiter meinst, dass z. B. dieses erneute Eingehen auf Deine Anliegen Abwehr von unerwünschter Kritik oder Verbesserungsvorschlägen ist, dann ist es vielleicht einfacher, dass Du Dich mit meiner Meinung überhaupt nicht mehr auseinander setzt.
mfG Analemma 14:04, 6. Nov. 2014 (CET)

Der im Artikel gewählte Rechenweg hat den einzigen Vorteil, dass Benutzer bei der Ermittlung der Tageszahl nicht über 366 rechnen müssen. Die zahlreichen und m. E. weit überwiegenden Nachteile kann man auf der langen Diskussionseite nachlesen. Ich möchte die Symptome der vorhandenen Darstellung nicht weiter analysieren oder kurieren und verweise auf den letzten Weblink des Artikels (Zeitgleichungs-Berechnung für 1800 - 2200), insbesondere auf den Anhang C. Dort steht, wie man es besser machen könnte. --Modalanalytiker (Diskussion) 12:43, 5. Nov. 2014 (CET)

Im Handbuch der Raumfahrttechnik widmet sich Oliver Montenbruck einen ganzen Kapitel über Bahnmechanik. U.a. werden die Werte, welche hier angegeben sind, erläutert. --hachenburger (Diskussion) 18:13, 5. Nov. 2014 (CET)

Zitat von Analemma 16:36, 5. Nov. 2014: "Einen Rechenroboter inkl. seinen lediglich eintippenden menschlichen Benutzer zu bedienen, der sich nicht oder erst zum Schluss damit beschäftigen möchte, welche physikaliche Sache und wie sie quantitativ, d.h. in mathematischer Sprache behandelt wird, wäre eine untergeordnete, nicht zwingende Dienstleistung." Du unterstellst damit einem Leser, dass er die Zeitgleichung aufgrund des Beispiels berechnen will, ohne die vorherigen Erklärungen studiert zu haben. Das ist eine ungerechtfertigte Annahme. Die von hachenburger geschilderten Schwierigkeiten können an deinen Erklärungen im Haupteil des Artikels, am Rechenbeispiel und an hachenburger selbst liegen. Was du eine untergeordnete Dienstleistung nennst, bezeichne ich als Angebot von Qualität. Wenn du das Beispiel so formuliertest, dass jemand, der den Artikel tatsächlich nicht gelesen hat (übrigens in diesem Fall meine Empfehlung), einen Zeitgleichungswert rechnen kann, hättest du einen nützlichen Beitrag statt einer untergeordneten Dienstleistung erbracht. Es erfordert zwar eine größere Mühe, einen Rechenplan ausführbar darzustellen, aber dazu solltest du mit Unterstützung von PrismaNN und Dringend (pardon, als dieser Alias bist du gerade gesperrt) fähig sein. Deine Formulierungen "Rechenroboter inkl. seinen lediglich eintippenden menschlichen Benutzer zu bedienen" und "untergeordnete" Dienstleistung entspringen einer gewissen Herablassung, die hier niemandem ansteht und die dir trotz verbrannter Hand unterlaufen. So etwas braucht Wikipedia nicht. HG --Modalanalytiker (Diskussion) 18:52, 7. Nov. 2014 (CET)

Das schlimme ist ja, dass das Rechenbeispiel, so wie es dargestellt ist, bis Tag 186 stimmt. Und das Modell von Modalanalytiker auf Basis von Oliver Montenbruck lässt sich ohne weiteres simulieren, da die Berechnungsvorschriften korrekt und vollständig sind. Und eine Zeitgleichung wird i.d.R. immer in ein numerisches Programm oder innerhalb einer Programmierumgebung implementiert. Gruß --hachenburger (Diskussion) 20:11, 7. Nov. 2014 (CET)

Sieht annähernd danach aus, dass bei einem Ueberberschreiten von π/2 etwas mit dem Programm nicht bearbeitet werden kann. Bei welchem Rechenschritt, bei Anwendung welcher Formel (Gl.Nr. ?) erfolgt der Ausstieg?
21:24, 7. Nov. 2014 (CET)

War ein Fehler in der Berechnung des Winkels. Modalanalytiker hat mir geholfen. Danke dafür. Wenn jemand Interesse an die Matlabskripe hat, bitte melden. --hachenburger (Diskussion) 16:18, 9. Nov. 2014 (CET)

Abschnitt Berechnung

Ich habe den Abschnitt Berechnung und aus Konsistenzgründen den nachfolgenden neu gefasst. Begründung: Der bisherige Text hat umfangreiche Kritik auf sich gezogen, die bisher nicht durch Überarbeitungen bentwortet wurde und teilweise auch nicht werden konnte, da sie grundsätzlicher Art ist. Die Kritik ist zwar seit einiger Zeit verstummt - m. E. eher resignationhalber als aus Überzeugung. Ich würde mich freuen, wenn es Rückmeldungen zu der Frage gäbe, ob die bisherige Fassung der neuen vorzuziehen ist. Von der bisherigen Praxis, Änderungen umgehend rückgängig zu machen, rate ich dringend ab. --Modalanalytiker (Diskussion) 20:36, 21. Jan. 2015 (CET)

Zwei Zeitgleichungsursachen, überlagert

Auf den vorher stehenden Artikelinhalt (z.B. Zwei Zeitgleichungsursachen, ...) wäre Bezug zu nehmen. Es ist nicht erkennbar, dass sich zwei Ursachen und wann sich die eine oder die andere in der Rechnung spiegeln.--mfG Analemma 12:50, 27. Jan. 2015 (CET)

Siehe Artikeländerung 27. Jan. 2015, 17:56‎ (CET)--Modalanalytiker (Diskussion) 18:12, 27. Jan. 2015 (CET)

• Man liest von vorn nach hinten und sollte nicht erst am Ende erfahren, warum eine lange Schilderung angestellt wird, worauf sie hinauslaufen soll.--mfG Analemma 21:34, 27. Jan. 2015 (CET)
• $ZG^{*}=(L-\Lambda )+(\Lambda -\lambda )$. Man müsste zuerst wissen, woher diese Gl. kommt, bevor man vielleicht nachvollziehen kann, was sie wie erklären könnte.

Zu "...und sollte nicht erst am Ende erfahren, ...": Ich habe nochmal kontrolliert, wo ich den Hinweis eingefügt habe. M. E. ist das die richtige Stelle. Man kann nicht alles am Anfang sagen.

Zu "Man müsste zuerst wissen, woher diese Gl. kommt...": Die Gleichung steht drei Formeln vorher. Allerdings ist null hinzuaddiert in der Form $-\Lambda +\Lambda$. Die Zerlegung ist von dem zitierten M. Schneider übernommen.--Modalanalytiker (Diskussion) 21:10, 27. Jan. 2015 (CET)

Woher hat auch eine andere Bedeutung als die Frage nach einem physischen (inkl. Buch-) Ort. Ich agiere fast als Leser dieser Enzyklopädie. Fast: weil sich ein solcher i.d.R. nicht auf der Disk.seite meldet und dann evtl. erfährt: das Fragliche ist von da oder dort übernommen (also: wenn du das erklärt haben möchtest, so lies dort nach). --mfG Analemma 21:50, 27. Jan. 2015 (CET)

Mit der schon vorhandenen Erklärung "Die linke Klammer enthält den Anteil, der auf die Exzentrizität $e$ der Erdbahn zurückgeht, die rechte Klammer den Anteil, der bei gegebener Exzentrizität durch die Schiefe $\varepsilon$ des Äquators (s. Tabelle) hinzukommt." ist m. E. genug gesagt. Dass die linke Klammer nichts mit der Schiefe zu tun hat, sondern nur mit der Ellipse, wird der mittlere Leser eines solchen Artikels durchschauen. Der spätere Hinweis auf die (negative) Mittelpunktsgleichung wird ihm dabei helfen. --Modalanalytiker (Diskussion) 23:05, 27. Jan. 2015 (CET)

Ich halte dafür, dass eine Herleitung eine Herleitung ist, und dafür, dass Oberflächlichkeit/Bequemlichkeit vorliegt, wenn der Leser aus etwas plötzlich Erscheinendem den Zusammenhang mit dem Bisherigen durchschauen soll.
Die Sache wird bereits bei diesem Herleitungs-Sprung fraglich: Ihrer heliozentrisch äquatorialen Länge $\scriptstyle \lambda _{m}$ wird der Zeitverlauf des Bahnelements $\scriptstyle L$ (s. Tabelle) zugewiesen. Bahnelemente(s. Tabelle) beschreiben im Allgemeinen ungleichmäßige Bewegungen, nicht mittlere.
Den Hinweis auf die spätere Mittelpunktsgleichung habe ich wohl bemerkt und sofort gefragt, wo denn die jetzt herkomme und welchen Zusammenhang sie beleuchten soll. An dieser Stelle hänge ich noch immer fest.--mfG Analemma 12:21, 28. Jan. 2015 (CET)

Rotation der Erde

Die gleichmäßige tägliche Rotation der Erde um ihre Polachse ... beeinflusst die Zeitgleichung nicht, da sie als Differenz der beiden Zeitarten definiert ist.
Korrigierte kausale Kette: Weil die Erde gleichmäßig rotiert, kann man andere, ungleichmäßige Bewegungen durch Vergleich mit ihr beurteilen. Eine Definition ist im Allgemeinen keine Basis für die Beurteilung naturwissenschaftlicher Zusammenhänge.
Rotierte die Erde bei konstanter Drehzahl schneller oder langsamer, bliebe die Zeitgleichung unberührt.
Wenn man dann überhaupt so etwas wie eine Zeitgleichung hätte, müsste man sie wohl auf andere Normalien beziehen.--mfG Analemma 12:39, 27. Jan. 2015 (CET)

Ich sehe in der Analyse der ZG nirgendwo einen Parameter, der mit der Eigendrehung der Erde zu tun hat. Ich bitte um Aufklärung, wo das der Fall sein soll. Siehe auch Artikeländerung 27. Jan. 2015, 17:56‎ (CET)--Modalanalytiker (Diskussion) 18:12, 27. Jan. 2015 (CET)

Die Erddrehung ist die Mutter unserer Zeitrechnung: Tag, Stunden, ... . Daher kommt z.B. die 4 der ZG. --mfG Analemma 21:34, 27. Jan. 2015 (CET)

Da fühle ich mich jetzt aber kalt erwischt. Im Ernst: Der Vorschlag, die Zeitgleichung vorrangig als Winkel wahrzunehmen, sollte hier als Antwort ausreichen. Außerdem: Vielleicht würde der kürzere oder längere Tag auf einer fiktiven anders rotierenden Erde auch in 24*60 min' eingeteilt. Dann bliebe sogar die 4 erhalten. --Modalanalytiker (Diskussion) 23:05, 27. Jan. 2015 (CET)

Worauf ich den Daumen legte: Die gleichmäßige tägliche Rotation der Erde um ihre Polachse ... beeinflusst die Zeitgleichung nicht [2.], da sie als Differenz der beiden Zeitarten definiert ist [1.].

Rektaszensionsdifferenz → Längendifferenz

Warum erst geozentrische Betrachtung, wenn doch die Herleitung/das Ergebnis (ZG) im Heliozentrischen erfolgt/angesiedelt ist?--mfG Analemma 12:58, 27. Jan. 2015 (CET)

Die Definition der ZG am Artikelanfang via WOZ und MOZ ist geozentrischer Natur. Das muss zunächst aufgegriffen werden. Sonst fehlt der Bezug. Siehe auch Artikeländerung 27. Jan. 2015, 17:56‎ (CET)--Modalanalytiker (Diskussion) 18:12, 27. Jan. 2015 (CET)

Die ZG ist ... ist eine Folgeaussage. Die Erklärung beginnt beim 2. Satz mit notwendigerweise helioz. Darstellung.--mfG Analemma 21:34, 27. Jan. 2015 (CET)

"notwendigerweise helioz. Darstellung" passt eigentlich ganz gut zu genau diesem Darstellungsweg.--Modalanalytiker (Diskussion) 23:05, 27. Jan. 2015 (CET)

Die ZG ist ein sehr irdisches Problem, es ist daher etwas irritierend, wenn das jetzt aus heliozentrischer Sicht dargestellt werden soll. Was ist die "heliozentrisch-äquatoriale Länge der Erde"? Sind die Himmelskoordinaten nicht grundsätzlich geozentrisch? --Gueziv (Diskussion) 18:33, 27. Jan. 2015 (CET)

Alles, was auf der Erde gefühlt, getan, ... wird, ist irdisch. Die ZG-Ursachen sind nur von außerirdisch Denkenden zu erfassen. Deshalb Helio- → Geozentrik.--mfG Analemma 21:34, 27. Jan. 2015 (CET)

Bei den Himmelkoordinaten gibt es eine verwirrende Vielfalt. Die gefragte Länge ist die Länge (azmutale Koordinate) der Erde in der Ebene, welche die Sonne enthält und die parallel zum Äquator verläuft. Sie zählt, wie alle Längen, vom Frühlingspunkt aus. Der Übergang von ekliptikalen zur äquatorialen Koordinaten bei Erhalt der Sonne als Zentrum gelingt mit den bekannten Transformationsformeln. Die beiden Ebenen schneiden sich in der Äquinoktiallinie. Falls das alles schon vorher klar war, bitte ich um Nachsicht für meine Erläuterungen.--Modalanalytiker (Diskussion) 18:59, 27. Jan. 2015 (CET)

Einschub

Ich würde mich freuen, wenn weitere Gesichtspunkte zur Sprache kommen, die Verbesserungen auslösen können. Ich bitte um Verständnis, dass ich eine eintägige Antwortpause einlege, weil sich dann vielleicht etwas zusammenfassen lässt. --Modalanalytiker (Diskussion) 23:05, 27. Jan. 2015 (CET)

Auswertung nach dem Kepler-Modell

Unterscheidung: Die Bahnelemente-Tabelle enthält mehrere fast konstante Größen und eine von Tag zu Tag merklich veränderliche Größe, die Position der Erde (welcher der 3?) als Bewegungsgleichung L(t). Das Erdbahnelement $\scriptstyle L$ ist in der Zeichnung und deren Beschreibung eindeutig identifiziert.
Die gefundene Formel wird wohl zum Rechnen brauchbar sein. Das Thema lautet aber: Herleitung der Berechnungsformel. M. E. trägt der Abschnitt Herleitung der Berechnungsformel seine Überschrift zu Recht. Es ist etwas ganz anderes, dass in einer solchen Herleitung die verwendeten Begriffe nicht alle von Grund auf erläutert werden. Dafür sind Verweise auf andere Artikel oder Quellen da. So funktioniert jedes Nachschlagewerk. Z. B. müssen Begriffe, die unter Kepler-Gleichung erläutert sind, im Artikel Zeitgleichung nicht noch einmal erläutert werden. Dadurch würde der Artikel nur breit, aber nicht stark.
M, V und C werden benutzt, ihr Ursprung/Nutzen aber nicht erklärt/kommentiert. Siehe voriger Punkt
Es ist nicht einsichtig, dass die Herleitung ohne Bezug auf Kepler erfolgen könne, die Auswertung aber um Kepler nicht ganz herumkomme. Die Herleitung nimmt sehr wohl Bezug auf die Kepler'sche Theorie (notfalls mal nach der Zeichenkette Kepler suchen). Zur Ermittlung der ekliptischen Länge der Erde bietet die Mittelpunktsgleichung einen ausgezeichneten Weg, zumal sie die Rolle einer Teil-Zeitgleichung spielt. Dafür die Keplergleichung einzubringen, ist natürlich möglich, versäumte aber ohne Not den genannten Zusammenhang. Zur Mittelpunktsgleichung habe ich eine Fußnote in dem einschlägigen Wikibooks-Artikel hinzu gefügt, die als Zusatzinformation ausreichen sollte.
Warum die Beruhigungspille: Das Ergebnis sei gleichwie die aus der Keplergleichung ermittelte Lösung? Die Beruhigungspille würde ich als eine nützliche Information zur Äquivalenz verschiedener Wege bezeichnen.
--mfG Analemma 12:21, 28. Jan. 2015 (CET)
Siehe auch Artikeländerung 29. Jan. 2015, 14:09.‎ Farbige Einschübe sind Antworten von --Modalanalytiker (Diskussion) 14:20, 29. Jan. 2015 (CET)

Zusammenfassung: Anfang neu formuliert

Zur Ermittlung der Zeitgleichung als Funktion der gleichmäßig vergehenden Zeit sind

• die Bewegungsgleichung der ungleichmäßig auf ihrer Bahnellipse laufenden Erde aufzustellen (Stichwort: erste Ursache) und
• die auf diese Weise dargestellte ekliptikale Länge der Erde in ihre (heliozentrische) äquatoriale Länge umzurechnen (Stichwort: zweite Ursache).
  

Die gleichmäßig vergehende Zeit MOZ wird dabei von einer auf dem (heliozentrischen) Äquatorkreis gleichmäßig laufenden fiktiven mittleren Erde dargestellt. Die äquatoriale Länge der wahren Erde ist der Repräsendant der WOZ. Sie - nicht die ekliptikale Länge - ist erforderlich, weil die bei der Erddrehung um ihre Achse beobachtete Änderung des äquatorialen Winkels der Sonne unser "Zeitmacher" ist.
Aufstellen der Berechnungsformel
Die Zeitgleichung lässt sich zunächst als Winkeldifferenz der äquatorialen Längen, die die Erde ($\scriptstyle \lambda$) und die der auf dem Äquator umlaufende mittlere Erde (L) zu einem bestimmten Zeitpunkt haben, angeben:

$ZG^{*}=L-\lambda$ .

Der hochgestellte Stern weist darauf hin, dass ZG als Winkel- statt als Zeitdifferenz angegeben ist.
Die heliozentrisch äquatoriale Länge der Erde $\scriptstyle \lambda$ hängt mit ihrer heliozentrisch ekliptikalen Länge $\scriptstyle \Lambda$ über die Transformationsformel

$\lambda =\arctan _{\Lambda }(\tan \Lambda \cdot \cos \varepsilon )$

von ekliptikalen in äquatoriale Koordinaten zusammen ($\varepsilon$ = Winkel zwischen Erdbahn- und Bezugs-Ebene, das heißt zwischen Ekliptik- und Äquator-Ebene).
Der Index $\scriptstyle \Lambda$ bei $\scriptstyle \arctan$ ruft denjenigen Wert der Arkustangensrelation auf, der $\scriptstyle \Lambda$ am nächsten liegt.
Berechnungsformel

$ZG^{*}=L-\arctan _{\Lambda }\left(\tan \Lambda \cdot \cos \varepsilon \right).$

Der hochgestellte Stern weist darauf hin, dass ZG als Winkel- statt als Zeitdifferenz angegeben ist.
Auswertung
..............

• Sofortiger Anschluss an Zwei Zeitgl.ursachen;
• Bahnelementwerte sind erst bei Anwendung erforderlich;
• L sofort eingeführt, anstatt λ_m → L (nur weil in Tabelle und Graphik L steht).
  

--mfG Analemma 21:14, 29. Jan. 2015 (CET)

Zusammenfassung: Berechnung neu formuliert (Fortsetzung von "Anfang neu formuliert")

Auswertung

Zur Auswertung werden einige Bahnelement-Werte der Erde benötigt (siehe nebenstehende Tabelle).

Die gleichmäßig vergehende Zeit $\scriptstyle t$ wird von der Länge $\scriptstyle L$ der mittleren Erde repräsentiert:
$L=100.4656+{\frac {36000.7690}{36525}}\cdot t$ .
Der vorgegebene Termin, für den die Zeitgleichung ausgerechnet werden soll, legt die Zeit $\scriptstyle t$ fest.

Die Bahnelemente $\scriptstyle e$, $\scriptstyle \varpi$ und $\scriptstyle \varepsilon$ sind nur langfristig veränderliche Größen.

Die ekliptikale Länge $\scriptstyle \Lambda$ wird mit Hiilfe der Mittelpunktsgleichung $\scriptstyle C$ bestimmt (siehe nebenstehende Graphik):
$\Lambda =L+C$ ,
$\scriptstyle C={\frac {180}{\pi }}\left[\left(2e-{\frac {e^{3}}{4}}\right)\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin(2M)+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin(3M)\right]$ (siehe [2].
Die in $\scriptstyle C$ außer dem Bahnelement $\scriptstyle e$ enthaltene mittlere Anomalie $\scriptstyle M$ ist die auf das Perihel P der Erdbahn umgerechnete Länge $\scriptstyle L$ der mittleren Erde (siehe nebenstehende Graphik):
$\scriptstyle M=L-\varpi$ .

Die beiden Größen $L$ und $\Lambda$ zur Berechnung von $ZG^{*}$ liegen damit vor.

Im Tageslauf durchläuft die Sonne 360° in 24 Stunden oder 1° in 4 min. Damit gilt für die Zeitgleichung in Minuten

$ZG=4\cdot ZG^{*}=4\cdot (L-\arctan _{\Lambda }\left(\tan \Lambda \cdot \cos \varepsilon \right)$ .

Zur Erinnerung: Der hochgestellte Stern bei $\scriptstyle ZG^{*}$ weist darauf hin, dass eine Winkeldifferenz angegeben ist.

Geltungsdauer und Genauigkeit
Die eingerahmte Zeitgleichungsformel ist mit den oben angegebenen Bahnelementen mehrere Jahrhunderte vor und nach dem Jahr 2000 anwendbar. Die Werte weichen um weniger als 5 s von denen eines genaueren Referenzmodells (z. B. VSOP) ab, das - anders als das hier gelöste Kepler-Problem - die Störkräfte der anderen Planeten und vor allem des Mondes berücksichtigt.

Zusammenfassung: neu formulierte Berechnung, überarbeitet

Zur Zeitgleichung in geozentrischer Darstellung:
Mitte Februar: Winkel ZG^* gespreizt
F, S, H und W - Äquatorpunkte:
     Frühlings-, Sommer-, Herbst- und Winteranfang

Zur Zeitgleichung in heliozentrischer Darstellung:
a Mitte Februar: Winkel massstäblich gezeichnet.
b Detail aus a: Bereich mit Punkten E gespreizt.
Blaue Ellipse: Ertdbahn ("Ekliptik").
S: Sonne.
↓♈: Richtung zum Frühlingspunkt.
F, Sr, H, W, P, A - Bahnpunkte:
    Frühlings-, ..., Winteranfang, Perihel, Aphel.
E: Erde; E₁: fiktive mittlere Erden
$\scriptstyle \Lambda$: "ekliptikale" Länge der Erde.
$\scriptstyle L$: "ekliptikale" Länge der fiktiven mittleren Länge Erde.
$\varpi$: "ekliptikale" Länge des Perihels.
$\scriptstyle M$: mittlere Anomalie.
$\scriptstyle C$: Mittel­punkts­gleichung.

Bahnelemente der Erde

$e$	=	$\scriptstyle 0.016709-{\frac {0.000042}{36525}}\cdot t$
		numerische Exzentrizität der Bahnelipse
$\varpi$	=	$\scriptstyle 102.9400+{\frac {1.7192}{36525}}\cdot t$
		Länge des Perihels in Grad ab Herbstpunkt
$L$	=	$\scriptstyle 100.4656+{\frac {36000.7690}{36525}}\cdot t$
		Länge der mittleren Erde in Grad ab Herbstpunkt
$\varepsilon$	=	$\scriptstyle 23+26/60+21/3600-{\frac {46.82/3600}{36525}}\cdot t$
		Winkel zwischen Bahn- und Äquatorebene in Grad
$t$	=	Zeit ab 1.1.2000 12:00 UT in Tagen

Zur Ermittlung der Zeitgleichung als Funktion der gleichmäßig vergehenden Zeit sind

1. die Bewegungsgleichung der ungleichmäßig auf ihrer Bahnellipse laufenden Erde aufzustellen (Stichwort: erste Ursache) und
2. der auf diese Weise gefundene Bahnort der Erde als Ort der Sonne im geozentrischen äquatorialen Koordinatensystem anzugeben (Stichwort: zweite Ursache).
   Beide Orte entsprechen sich, denn von der Erde aus gesehen spiegelt sich die Bewegung der Erde um die Sonne wider in der scheinbaren Bewegung der Sonne in der Ekliptik. Schließlich wird aus der ekliptikalen Länge der Sonne deren äquatoriale Länge, das heißt ihre Rektaszension auf einfache Weise bestimmt. Letztere ist erforderlich, weil die bei der Erddrehung um ihre eigene Achse beobachtete Änderung des äquatorialen Winkels der Sonne unser "Zeitmacher" ist.

Die Ermittlungs-Arbeit wird teilweise durch graphische Darstellungen unterstützt. In diesen veranschaulichen eine auf der Erdbahn mitlaufende fiktive mittlere Erde und eine auf dem geozentrischen Äquator mitlaufende fiktive mittlere Sonne die gleichmäßig vergehende Zeit.

Aufstellen der Berechnungsformel
Die Zeitgleichung lässt sich zunächst als Winkeldifferenz der äquatorialen Längen, die die fiktive mittleren Sonne und die reale Sonne zu einem bestimmten Zeitpunkt haben, angeben (Abbildung rechts):

$ZG^{*}=L-\lambda$ .

Der hochgestellte Stern weist darauf hin, dass ZG als Winkel- statt als Zeitdifferenz angegeben ist.

Die äquatoriale Länge der realen Sonne $\lambda$ ergibt sich durch Koordinatentransformation aus ihrer ekliptikalen Länge $\Lambda$ wie folgt:

$\lambda =\arctan _{\Lambda }(\tan \Lambda \cdot \cos \varepsilon )$       ($\varepsilon$ = Winkel zwischen Erdbahn- und Äquator-Ebene).

Der Index $\scriptstyle \Lambda$ bei $\scriptstyle \arctan$ ruft denjenigen Wert der Arkustangensrelation auf, der $\scriptstyle \Lambda$ am nächsten liegt.

Die geozentrische ekliptikale Länge $\Lambda$ der Sonne (Abbildung rechts) ist gleich der heliozentrischen Länge $\Lambda$ der Erde auf ihrer Ellipsenbahn (Abbildung links).

Berechnungsformel

$ZG^{*}=L-\arctan _{\Lambda }\left(\tan \Lambda \cdot \cos \varepsilon \right).$

Der hochgestellte Stern weist darauf hin, dass ZG als Winkel- statt als Zeitdifferenz angegeben ist.

Auswertung

Zur Auswertung werden einige Bahnelement-Werte der Erde benötigt (siehe nebenstehende Tabelle).

Die gleichmäßig vergehende Zeit $t$ wird von der Länge $L$ repräsentiert:
$L=100.4656+{\frac {36000.7690}{36525}}\cdot t$ .
Diese Gleichung beschreibt sowohl die Bewegung der fiktiven mittleren Erde E₁ (Abbildung links) als auch der fiktiven mittleren Sonne S₂ (Abbildung rechts). Beide fiktiven Körper treffen sich in der Äquinoktiallinie F-H.

Der vorgegebene Termin, für den die Zeitgleichung ausgerechnet werden soll, legt die Zeit $t$ fest.

Die Bahnelemente $e$, $\varpi$ und $\varepsilon$ sind nur langfristig veränderliche Größen.

Die Länge $\Lambda$ wird mit Hiilfe der Mittelpunktsgleichung $C$ bestimmt (Abbildung links):
$\Lambda =L+C$ ,
$C={\frac {180}{\pi }}\left[\left(2e-{\frac {e^{3}}{4}}\right)\sin M+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin(2M)+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin(3M)+\textstyle ...\right]$ .
Die in $C$ außer dem Bahnelement $e$ enthaltene mittlere Anomalie $M$ ist die auf das Perihel P der Erdbahn umgerechnete Länge $L$ der fiktiven mittleren Erde (abbildung links):
$M=L-\varpi$ .

Die beiden Größen $L$ und $\Lambda$ zur Berechnung von $ZG^{*}$ liegen damit vor.

Im Tageslauf durchläuft die Sonne 360° in 24 Stunden oder 1° in 4 min. Damit gilt für die Zeitgleichung in Minuten

$ZG=4\cdot ZG^{*}=4\cdot (L-\arctan _{\Lambda }\left(\tan \Lambda \cdot \cos \varepsilon \right)$ .

Zur Erinnerung: Der hochgestellte Stern bei $\scriptstyle ZG^{*}$ weist darauf hin, dass eine Winkeldifferenz angegeben ist.

Geltungsdauer und Genauigkeit
Die eingerahmte Zeitgleichungsformel ist mit den oben angegebenen Bahnelementen mehrere Jahrhunderte vor und nach dem Jahr 2000 anwendbar. Die Werte weichen um weniger als 5 s von denen eines genaueren Referenzmodells (z. B. VSOP) ab, das - anders als das hier gelöste Kepler-Problem - die Störkräfte der anderen Planeten und vor allem des Mondes berücksichtigt.

Anmerkungen

Ich habe den Äquatorkreis in der linken Graphik entfernt und dafür die (noch anzupassende) rechte Graphik eingesetzt. --mfG Analemma 19:45, 7. Feb. 2015 (CET)

Grafik

Die Grafik scheint zwei "wahre Erden" E zu enthalten, die sich gleichzeitig an zwei verschiedenen Orten aufhalten. Ich schlage vor, die äußere der beiden "fiktive heliozentrisch-äquatoriale Pseudoerde" zu nennen. MfG --Gueziv (Diskussion) 15:03, 29. Jan. 2015 (CET)

Guter Hinweis! Da würden vermutlich viele drüber stolpern. Ich werde das im Bildtext reparieren. Dein Vorschlag geht aber auch nicht, weil die "fiktive heliozentrisch-äquatoriale Pseudoerde" leicht als weitere (dann schon vierte) Erde missverstanden werden kann. Bitte weitere Stolpersteine melden, wenn erkannt! Inzwischen bin ich wahrscheinlich schon artikelblind und könnte kaum noch weitere "Qualität herauskitzeln". --Modalanalytiker (Diskussion) 17:47, 29. Jan. 2015 (CET)

Erklärungsversuch: Es handelt sich bei den zwei "wahren Erden" E um ein- und dieselbe wahre Erde. Sie ist nur einmal in der eklipt. Ebene (in der sie auch liegt), ein zweites Mal in der äquat. Ebene (in die sie auf einem Meridianbogen "heruntergeholt" wurde) abgebildet. Beide Bildebenen sind gegeneinander um den Winkel ε verdreht. Der Autor hat die beiden Bilder aufeinander gelegt. Die beiden Erde-Abbildungen (farbige Punkte) decken sich im Allgemeinen nicht (ekliptikale Länge ≠ Rektaszension; abgesehen davon, dass der Äquatorradius etwas vergrößert wurde).
Die Graphik macht einen überladenen Eindruck. U.a. sollte die Legende weniger umfänglich sein, z.B. keine längeren Texte enthalten). --mfG Analemma 11:49, 30. Jan. 2015 (CET)

Ich habe die Legende geordnet. Wegen der notwendigen Zeilenumbrüche ist sie immer noch lang. Da in der Graphik noch Platz ist, schlage ich vor, die Abkürzungen dort selbst zu erklären (einen Versuch sollte es Wert sein). Wahre Anomalie kann entfernt werden. Winterpunkt auf Ekliptik fehlt (2x). Da sich die beiden mittleren Erden nur auf der Linie FH treffen, liegen sie im Allgemeinen nicht auf einem Radialstrahl. --mfG Analemma 13:47, 31. Jan. 2015 (CET)

Ich frage mich, warum Du nicht deine Grafik von weiter oben in dieser Diskussion verwendest. Die jetzige Grafik ist zu abstrakt. Auch der gesamte erklärende Text erscheint mir zu abstrakt, man versteht es nur, wenn man schon vorher genau weiß, was Sache ist. Die reine Rechnung sollte dagegen keine Probleme bereiten, nachdem die Hürde "numerische Lösung der Keplergleichung" nicht mehr besteht. MfG --Gueziv (Diskussion) 10:06, 1. Feb. 2015 (CET)

Welche Graphik meinst Du? --mfG Analemma 11:45, 1. Feb. 2015 (CET)

In der jetzigen Graphik würde ich die reingequetschte Äquatorebene weglassen. Sonst ist diese Graphik nötig, wenn wir den jetzigen Rechenweg (Formelzeichen!) stehen lassen wollen. Der Übergang Helio- → Geozentrik braucht nicht unbedingt graph. Unterstützung. Für $\Lambda$ → $\alpha$ könnte nebenstehende Graphik hilfreich sein. --mfG Analemma 12:07, 1. Feb. 2015 (CET)

Neu formulierter Abschnitt Berechnung (Fassung 11. Feb. 2015, 18:00)

Es ist erfreulich, dass die Zeitgleichung nicht wieder in Jahresportionen mit Jahreskonstanten zerhackt dargestellt wird und dass der Abschnitt kürzer geworden ist.

Die Überarbeitung selbst ist m. E. misslungen. Der Text respektiert den wohldefinierten Längenbegriff der Astronomie in verständniswichtigen Zusammenhängen nicht und rückt dadurch Gleichungen in einen falschen Zusammenhang. Beispiel: Die Aussage „Die geozentrische ekliptikale Länge $\Lambda$ der Sonne (Abbildung rechts) ist gleich der heliozentrischen Länge $\Lambda$ der Erde auf ihrer Ellipsenbahn (Abbildung links).“ ist so falsch, wie der Satz ‚Nebenwinkel sind gleich‘. In der Version 9. Feb. 2015, 14:53‎ war das noch richtig formuliert. Aus einem geo-/heliozentrischem Übergang solcher Art folgt nichts Vertrauenswürdiges mehr. Vor dem Text in der jetzigen Form ist die Leserschaft zu warnen.

Ich verliere die Lust, mich weiter mit dem Abschnitt zu beschäftigen, obwohl an vielen Stellen Korrekturen nötig sind. Als Autor, der seinen Beitrag verstümmelt und mit Elementarfehlern ‚angereichert‘ sieht, stehe natürlich auch ich unter Irrtums- und Befangenheitsverdacht. Es wäre erfahrungsgemäß vergeblich, wenn ich eine korrigierte Fassung erzeugen würde. Vielleicht melden sich andere in das Thema Eingeweihte zu Wort. Anders wird es nicht gehen. --Modalanalytiker (Diskussion) 11:22, 14. Feb. 2015 (CET)

Hallo Modalanalytiker
ich verstehe Deine Frustration. Es werden Unmengen von Versionen produziert, die dann im "Papierkorb" landen.
Mir kam da ein neuer Gedanke: Könnte es nicht zwei parallele Darstellungen geben? Analemma könnte z.B. seinen Text unter dem Stichwort "Zeitgleichung" veröffentlichen und Du könntest ein neues Stichwort aufmachen, z.B. "Zeitgleichung, ergänzende Darstellung" oder "Zeitgleichung, zweite Darstellung". Die Autoren sollten es dann unterlassen, im Text des anderen herumzupfuschen. Die Leser könnten sich zwei Darstellungen zu Gemüte führen und davon profitieren und es würde weniger "Schrott" produziert. Damit wäre dann doch eigentlich allen geholfen. MfG --Gueziv (Diskussion) 14:13, 14. Feb. 2015 (CET)

Danke Gueziv für deinen Vorschlag. Ich fürchte nur, dass er einen Grundsatz von WP umgehen würde. Es soll ja um Qualität gerungen werden. Alternatve Versionen anzuhängen würde sich davor drücken. Ich setze immer noch auf das Urteil weiterer Benutzer mit soliden Kenntnissen zur Himmelsmechanik. Wenn diese die aktelle Version mehrheitlich bevorzugen, soll sie meinetwegen bleiben, wie sie ist. Ich erwarte jedenfalls nicht, dass Benutzer:Analemma in diesem Fall widersprechen würde mit dem Hinweis, dass man die Wahrheit nicht demokratisch finden könne. --Modalanalytiker (Diskussion) 15:34, 14. Feb. 2015 (CET)

@Gueziv; es gibt jetzt zwei Darstellungen für die Berechnung im Artikelraum (Zeitgleichung und Kepler-Gleichung). Allerdings habe ich bei der nicht von mir stammenden in ZG erneut meinen Senf, der aus Nichtverstehen des teilweise auch wie im Elfenbeiturm der Wissenschaft formulierten Textes (nicht der Sache) und zum Zwecke einer durchgehenden Lesbarkeit resultierte (die Berechnung ist in den anderen größeren Teil des Artikels einzubinden), eingebracht. Mein Vorschlag: Gehe einmal der Sache unter diesen Gesichtspunkten nach. Hinweis: die astronomisch gebräuchlichen Koordinaten sind nicht vollständig für die ZG passend. Es geht primär um Winkel. Wenn man (Bogen-)Länge lediglich als Synonym für Winkel gebraucht, hat man weniger Begriffs-Probleme.
--mfG AnaLemma 11:49, 15. Feb. 2015 (CET)

Sonnenauf- und -untergang zur Wintersonnenwende

Warum wurde der Text auf die vorhergehende Version zurückgesetzt?--Gueziv (Diskussion) 14:26, 19. Feb. 2015 (CET)

Dies ist bei diesem Artikel leider so. Kritik leider unerwünscht. :( --hachenburger (Diskussion) 12:47, 22. Feb. 2015 (CET)

Der Besitzer des Artikels hält seinen eigenen Text offenbar für so schlecht, dass er ihn jetzt neu gefasst hat. Der neue Text ist aber immer noch viel schlechter als der Text, den er aus purem Egoismus überschrieben hat.--Gueziv (Diskussion) 10:27, 23. Feb. 2015 (CET)

Not the frankly POV of a gentleman. Hinweis: Es gibt noch eine Graphik. --mfG AnaLemma 12:32, 23. Feb. 2015 (CET)

Sorry, b.y.p.!--Gueziv (Diskussion) 10:18, 25. Feb. 2015 (CET)

Länge

Der Abschnitt 'Berechnung' muss - wie bereits einmal angemerkt - überall überarbeitet werden, wo sich ein mit Länge bezeichneter Winkel auf eine andere als die Frühlingspunktrichtung bezieht. Der astronomische Längenbegriff ist eindeutig vordefiniert und unterliegt keiner Gestaltungsfreiheit mehr.--Modalanalytiker (Diskussion) 23:08, 25. Feb. 2015 (CET)

Du hast uns da hinein geritten, als Du anfingst, auf den Herbstpunkt zu beziehen. Anfänglich gebrauchtest Du keine Begriffe, nur Formelzeichen. Aber mindestens seit diesem Edit nennst du die Winkel ab Herbstpunkt “Längen” .
mfG AnaLemma 13:37, 26. Feb. 2015 (CET)

Vorsichtshalber frage ich nach: Siehst du z. B. in der Grafik 'Zeitgleichung im heliozentrischen Kontext' L. als ab Herbstpunkt definiert an? --Modalanalytiker (Diskussion) 15:04, 26. Feb. 2015 (CET)

Analemma, ich frage dich nochmal nach wenigstens einem Beispiel, wo ich eine Länge auf den Herbstpunkt bezogen hab. Ein solcher Anfängerfehler wäre mir sehr peinlich. Bitte genaue Textstelle nennen.--Modalanalytiker (Diskussion) 14:22, 28. Feb. 2015 (CET)

Es widerstrebt mir, Dich erneut mit der Nase darauf zu stubsen.
mfG AnaLemma 20:51, 28. Feb. 2015 (CET)

@Analemma. Du trägst nichts zur Klärung bei. Du obstruierst nur. Ich steige aus dem Dialog mit dem Schluss aus, dass du die Definition des Frühlingspunkts nicht verstanden hast. Nachdem du dich in WP seit mindestens fünf Jahren einschlägig verbreitest, finde ich das bedauerlich. Tipp: Konsultiere jemanden, der dich aufgleist. --Modalanalytiker (Diskussion) 21:43, 28. Feb. 2015 (CET)

Es ist schade, dass letztendlich doch immer persönliche Egoismen, Eitelkeiten, Rechthaberei, Durchsetzungswille usw. das Geschehen bestimmen, obwohl Wikipedia ein anonymes Medium ist und niemand sich Ruhm erwerben kann und obwohl es um objektive Tatsachen und nicht um Glaubensfragen geht. Ich sage nicht, dass die gegenwärtige Behandlung des Stichworts total schlecht ist, aber man könnte einiges substantiell besser, leichter verständlich und schöner darstellen und es gäbe auch Leute, die das liebend gerne machen würden. Es ist, wie gesagt, schade, dass das konsequent verhindert wird! MfG --Gueziv (Diskussion) 10:17, 1. Mär. 2015 (CET)

@Gueziv. Es ist erfreulich, dass du dich zu Wort meldest. Du kommentierst den schädlichen Einfluss, den charakterliche Defizite von Autoren auf die Artikelqualität ausüben. Das ist unbestritten. Ich würde von dritter Seite noch lieber einen Kommentar zur Sache lesen, auch dann, wenn der mich ins Unrecht setzt. Konkret: Siehst du in meinem von Analemma zitierten Edit irgendwo Längen ab Herbstpunkt? Und wenn ja, wo? --Modalanalytiker (Diskussion) 13:25, 1. Mär. 2015 (CET)

In der Abbildung werden die Winkel L und Lambda offensichtlich vom Herbstpunkt "H" aus gemessen. Das soll vermutlich so gesehen werden: Wenn sich die Erde im Frühlingspunkt "F" befindet, steht die Sonne, von der Erde aus betrachtet, im Punkt "H", der Herbstpunkt ist also eigentlich der Frühlingspunkt !? Die Idee, geozentrisch definierte Winkel heliozentrisch darzustellen, ist m.E. Käse. MfG --Gueziv (Diskussion) 14:51, 1. Mär. 2015 (CET)

Danke Gueziv. So kommen wir weiter. Geozentrisch ist alles plausibel. Ab Frühlingspunkt messen heißt da, ab der Richtung von der Erde zur Sonne bei Frühlingsanfang. Heliozentrische Längen haben dieselbe Bezugsrichtung: von der Erde zur Sonne bei Frühlingsanfang. Diese Richtung kannst du natürlich auch als von der Sonne zur Erde bei Herbstanfang ausdrücken. Wenn man den letzgenannten Bahnort dann noch als Herbstpunkt bezeichnet, ist die Begriffsverwirrung komplett. Bitte prüfe mal, ob mein Verständnis des Frühlingspunkts mit deinen Quellen vereinbar oder doch "Käse" ist. --Modalanalytiker (Diskussion) 18:12, 1. Mär. 2015 (CET)

Über die Definition des Frühlingspunkts lässt sich wohl nicht streiten, weil die steht ja fest. Es kann nur darum gehen, den Sachverhalt möglichst auch für Banausen nachvollziehbar darzustellen und da gehen die Vorstellungen eben auseinander. Ich fürchte, wir müssen es bei dieser Feststellung belassen. MfG--Gueziv (Diskussion) 09:27, 2. Mär. 2015 (CET)

Die Sache beschäftigt mich jetzt doch noch: In Deiner Darstellung ist (Zitat) die Länge des Perihels w = 103,2°. In der früheren Darstellung war der entsprechende Wert aber L = -76,82°, da besteht ein Unterschied von 180°. Der negative Wert erscheint mir plausibel, weil die Perihelpassage ja zeitlich vor dem Frühlingsanfang liegt. Vermutlich verwendest Du andere Definitionen, aber so ganz selbstverständlich, wie Du Glauben machen willst, ist es eben nicht! MfG--Gueziv (Diskussion) 15:18, 2. Mär. 2015 (CET)

Uabhängig vom Koordinatengrundkreis - Äquator oder Ekliptik - unterscheidet sich die heliozentrische Länge der Erde von der geozentrischen Länge der Sonne um 180°. Die Längen zählen ja ab derselben Richtung, eben der zum Frühlingspunkt. Die mittlere Länge des Perihels ist ein Bahnelement der Erde. Das andere L ist das entsprechende Bahnelement des scheinbaren Sonnenumlaufs. Es müsste eigentlich m. L. d. Perigäums heißen. --Modalanalytiker (Diskussion) 16:55, 2. Mär. 2015 (CET)

O.K., ich glaube, jetzt habe ich es verstanden. Man muss hier genau argumentieren und darf nicht verschiedene Dinge in einen Topf werfen bzw. durcheinanderbringen. Vielen Dank für Deine Erläuterungen. Der Schlüssel für eine gute Erklärung liegt in einer Kombination aus guten Zeichnungen und erklärendem Text. Reiner Text ist zu unbestimmt und Zeichnungen alleine sind zu wenig selbsterklärend. Man sieht bzw. versteht nur, was man auch erklärt bekommt. In diesem Sinne mfG --Gueziv (Diskussion) 10:16, 4. Mär. 2015 (CET)

Abschnitt Berechnung überarbeitet

Ich habe den Abschnitt jetzt so überarbeitet, dass die Herleitung rein geozentrisch gefasst ist. Erklärungen zum geo-/heliozentrischen Übergang sind dadurch überflüssig geworden und der Text hoffentlich leichter verständlich. Nebenbei sind dadurch auch die noch nicht reparierten Unsauberkeiten in puncto Länge (s. o.) bereinigt. Für das Zahlenbeispiel wurde der 1. Mai gewählt, um in der dazu passenden Graphik kurze Bogenpfeile für die Rektaszensionen zu erhalten. --Modalanalytiker (Diskussion) 14:24, 10. Mär. 2015 (CET)

@Modalanalytiker: Deine Grafik ist nicht nur optisch ein Genuss, sie ist auch informativ. Jetzt bräuchten wir (wieder) eine Darstellung der Bahnebene, also die "wahre" Erde auf ihrer elliptischen Bahn, die fiktive "mittlere" Erde auf ihrer Kreisbahn (beide mit der Sonne im Brennpunkt) und die für die Berechnung wichtigen Winkel. Dann die Projektion der Sonne auf den Ekliptikkreis nebst Winkeln. Der Ekliptikkreis ist das notwendige Bindeglied zur geozentrischen 3D-Darstellung.
Um diese beiden Abbildungen herum könnte man dann einen nachvollziehbaren erklärenden Text schreiben. Man könnte die "erste Ursache" noch etwas besser begründen und man könnte die "zweite Ursache" vernünftig erklären. Die jetzige Erklärung ist zwar vordergründig naheliegend, aber sie ist schlecht, weil sie zu keinem konkreten Ergebnis führt. In der Berechnung findet sich davon auch nichts wieder, da gibt es einen unüberbrückbaren Bruch und das ist schlecht. MfG--Gueziv (Diskussion) 10:06, 12. Mär. 2015 (CET)

@Gueziv Auf weitere Graphiken habe ich bewusst verzichtet, weil die nur das Keplerproblem erläutern würden. Das ist in WP schon geschehen. Der Witz des jetzt gewählten Ansatzes ist ja gerade, auf der Basis der Kepler'schen Theorie konsequent geozentrisch zu argumentieren. Dann ist die Erde der Zentral- und die Sonne der Umlaufkörper. Ich bedaure, auf diesen für Sonnenstandsberechnungen naheliegenden und üblichen Weg erst jetzt gekommen zu sein. Weitere Graphiken im Artikel haben bisher nur Verwirrung gestiftet, und ich halte sie auch nach erneutem Nachdenken für unnötig.      Du schreibst: >>und man könnte die "zweite Ursache" vernünftig erklären.<< Das ist m. E. im Abschnitt Zwei Zeitgleichungsursachen überlagert schon ausführlich geschehen.      Du schreibst weiter: >> Die jetzige Erklärung [der 2. Ursache (Schiefe)] ist zwar vordergründig naheliegend, aber sie ist schlecht, weil sie zu keinem konkreten Ergebnis führt. In der Berechnung findet sich davon auch nichts wieder, da gibt es einen unüberbrückbaren Bruch und das ist schlecht.<< In der Berechnung findet sich davon die leicht nachvollziehbare sehr konkrete Gleichung $ZG_{\varepsilon }^{*}=\lambda -\alpha$ wieder, mit der die 2. Ursache (im Artikel erstmals) quantifiziert ist. Wo ist denn da ein Bruch, oder was fehlt da noch? --Modalanalytiker (Diskussion) 11:28, 12. Mär. 2015 (CET)

Erneutes „Hirnen“: Man/ich könnte zusätzlich je einen durch die geozentrische Himmelskugel gelegten Ekliptik- und einen Äquatorschnitt in der Zeichenebene darstellen. Im Ekliptikschnitt würden dann das Perihel und die Größen $\varpi ~,\lambda ,~M$ und $L$ sichtbar, im Äquatorschnitt nur die schon räumlich illustrierten Variablen, weshalb man ihn auch weglassen kann. Auf keinen Fall aber heliozentrische Bilder mit mittleren Erden! Das passt nicht zu Schneider und schafft wieder die Verwirrung, die wir schon mal hatten. Was hältst du davon? Die jetztige Zeichnung muss ich eh ändern, weil für Mai $\alpha _{m}>\alpha$ ist und der $ZG^{*}$-Pfeil umgedreht werden muss. --Modalanalytiker (Diskussion) 14:58, 12. Mär. 2015 (CET)

Gueziv legt den Finger in die Wunde: Bruch und sachlich schlecht. Davon abgesehen: “Der Witz des jetzt gewählten Ansatzes” steht jetzt auf dem TF-Prüfteller. Ich befürchte, dass er durchfallen wird.
mfG AnaLemma 15:48, 12. Mär. 2015 (CET)

Der gewählte Ansatz (grundsätzlich einer von mehreren) kann einem Ansatz folgen, der nicht die elliptische Bahnbewegung überspringt. Damit er aber nicht durchfallen wird, sind Quellen für die “Üblichkeit” (... für Sonnenstandsberechnungen naheliegenden und “üblichen” Weg erst jetzt gekommen ...) anzugeben .
mfG AnaLemma 23:33, 16. Mär. 2015 (CET)

Ich glaube, dass die neue Abbildung sehr hilfreich ist. Was meine Kritik an der "2. Ursache" betrifft, fühle ich mich gründlich missverstanden. In dem entsprechenden Abschnitt wird versucht, darzulegen, warum auch die Neigung der Erdachse einen Einfluss auf die ZG hat. In der Berechnung wird dann aber eine Formel für Alpha verwendet und es gibt keine logische Verknüpfung zwischen dem genannten Erklärungsversuch und dieser Formel.--Gueziv (Diskussion) 10:19, 13. Mär. 2015 (CET)

@Gueziv Der Übergang von OZ auf alpha sollte durch den ersten Satz des Abschnitts Berechnung gerechtfertigt sein.       Vielleicht erzeugt aber auch der Abschnitt Zwei Zeitgleichungsursachen überlagert die Erwartung, dass für die beiden Ursachen getrennt Teil-Zeitgleichungen hergeleitet werden können, die dann zur Endformel überlagert werden können. Das ist aber nicht so. Die ZG-Definition im Ortszeit- wie im Winkelformat formuliert die ZG gesamthaft. Darin sind alle Ursachen enthalten, die erst nach weiterer Detaillierung der Formel -wie geschehen - isoliert werden können. Wenn ich mit meiner Vermutung richtig liege, würde ich eine „vorbeugende“ Bemerkung einfügen. --Modalanalytiker (Diskussion) 12:13, 13. Mär. 2015 (CET)

Ich habe inzwischen den Eindruck, dass ich unter "erklären" etwas ganz anderes verstehe. Weil sich mit der neuen Abbildung die "vernünftige" Erklärung der "2. Ursache" geradezu aufdrängt, möchte ich sie selbst verraten: Man kann den gestrichelten Kreis als Meridian ansehen, der sich mit der Erde dreht. Jedes Mal, wenn der Meridian die Sonne überholt, ist 12-Uhr WOZ. Der Winkel ALPHA ist die "Zusatzdrehung" (siehe Abschnitt "Stern- und- Sonnentag"). Dieser Winkel muss verglichen werden mit der mittleren Zusatzdrehung ALPHA M, um den Unterschied zwischen MOZ und WOZ zu haben, also die ZG. Eine ganze Zusatzdrehung (360°) entspricht 1 Tag (24 h), also ZG = 4 * ZG*.
Die Formel ergibt sich aus den trigonometrischen Beziehungen bei sphärischen Dreiecken. In der Version vom 20.12.2012 wird sie auch hergeleitet. MfG--Gueziv (Diskussion) 10:09, 14. Mär. 2015 (CET)

Additionstheorem-Formel tan ZG* = ...

@A. Pichler: Was hältst du davon, deine Zusatzformel in arctan-Form zu bringen, etwa so:

$ZG^{*}=L-\arctan _{\lambda }(\tan \lambda \cdot \cos \varepsilon )\qquad \qquad (*)$

oder

$ZG^{*}=\arctan {\frac {\tan L-\tan \lambda \cdot \cos \varepsilon }{1+\tan L\cdot \tan \lambda \cdot \cos \varepsilon }}.\qquad \qquad (*)$

Dann wird deutlicher, dass diese Form mit der gewöhnlichen Arkustangensfunktion ohne Lageparameter auskommt. mhG Modalanalytiker (Diskussion) 12:35, 15. Mär. 2015 (CET)

Zerlegung

In der Graphik am Artikelanfang stehen nicht zwei Teil-Zeitgleichungen (zwei Summanden), sondern zwei Grenzfälle der Zeitgleichung: a) die Erdbahn ist ein Kreis; b) ε = 0

Formale Überprüfung:

$ZG^{*}=ZG_{e}^{*}+ZG_{\varepsilon }^{*}=L-\alpha$     Wo im Artikel steht dieser rechte Gleichungsteil (im Sinne von q.e.d.) ?

mfG AnaLemma 23:55, 16. Mär. 2015 (CET)

Suche nach $L=\alpha _{m}$. q.e.d. --Modalanalytiker (Diskussion) 09:25, 17. Mär. 2015 (CET)

Meine bezüglich Deiner Einschübe stoisch vorgenommene (und wie im vorliegenden Fall gelegentlich auch erfolgreiche) Suche ist nicht der Maßstab für den Fleiß des Durchschnittslesers. Der ist in höflicher Art zu informieren, nicht arrogant aufzufordern, den roten Faden selbst zu suchen.
Und grundsätzlich: zwei Teile der Zeitgleichung ?
mfG AnaLemma 11:43, 17. Mär. 2015 (CET)

„Meine“ Zerlegung ist die von Schneider. Wenn du die Doppelwelle in der Graphik am Artikelanfang als Grenzfall $ZG_{e=0,\,\varepsilon }^{*}$ deutest, muss der Text „Nulldurchgänge an den Tagen der Sonnenwenden und der Tag-und-Nacht-Gleichen“ unter Zweite Ursache ... entfallen. Der passt nur zu der Schneider'schen Zerlegung, nicht zu dem von dir genannten Grenzfall. Das lässt sich mit Gl. (*) bestätigen.      Unabhängig davon bitte ich dich in deinen Beiträgen sachlich zu bleiben. Ich bemühe mich darum und gehe deshalb auf das Adverb „arrogant“ nicht weiter ein. --Modalanalytiker (Diskussion) 14:02, 17. Mär. 2015 (CET)

Ich habe die “Zerlegung” unter der Überschrift “Formale Darstellung des Resultats aus zwei Summanden” abgetrennt und bearbeitet. Füge bitte den EN Schneider ein und nimm Stellung (unten vorbereiteter Abschnitt)
Du bist zwar der Verursacher dessen, was ich aus Sicht des Lesers für arrogant halte. Eben, aus der Sicht des Lesers, der die WP-Leute - nicht dezidiert Dich (er macht sich i.d.R. nicht die Mühe, den/die Verursacher zu finden und anzusprechen) - für arrogant hält.
mfG AnaLemma 20:24, 17. Mär. 2015 (CET)

“Zulässigkeit”, Wikipedia als Quelle

• “Zulässigkeit”: Mit dem Hinweis, dass etwas formal zulässig sei, ist dem Leser nicht geholfen. Er soll den Gedanken, der zu einem Ergebnis führt, vollständig verstehen. Nach bereits ein oder zwei Lücken in der Erklärung haben wir ein "to do", gipfelnd in einer Schlussformel, die sich einer getrost nach Hause tragen und unverstanden in seine Formelsammlung schreiben kann.
• Wikipedia als Quelle: Ein WP-Artikel ist nicht als Quelle tauglich. Man kann dessen Quellen übernehmen (nicht bloß verlinken). Nun hat aber Sonnenstand den gleichen Mangel: ihm fehlen die einschlägigen Quellen. Zudem bezieht man sich dort auf Zeitgleichung, so dass der Leser im Kreise herum geführt wird.

mfG AnaLemma 12:10, 17. Mär. 2015 (CET)

Deinen Kommentar verstehe ich so, dass du die Gl. (*) nicht als hergeleitet ansiehst, sondern eher als unbegründete Behauptung wie in einer „Formelsammlung“. Da kann ich leider nicht weiterhelfen. Die Mühe des Verstehens kann nicht ganz auf den Erklärenden verlagert werden.
Ich stimme dir zu, dass WP-Artikel nicht als Quelle taugen. Sie können aber die Wiederholung dessen ersparen, was darin schon erklärt ist. Die gültigen und auch zitierten Quellen für den Abschnitt Berechnung sind Schneider, Montenbruck und Meeus. Und diese Quellen reichen auch aus, eventuelle Belegdefizite der monierten WP-Verweise zu kompensieren. Die beiden von mir zitierten Artikel Sonnenstand und Sonnenbahn sind übrigens gut belegt, z. B. durch Meeus. In Sonnenstand hast du sogar mit mindestens zwei deiner Identitäten mitgearbeitet. Das ist sicher eine gute Basis, dort den Abschnitt Quellen anzureichern, falls du dafür Bedarf siehst.      Apropos zyklischer Verweis: Der erscheint mir dann unschädlich, wenn daneben auch passende unzyklische existieren. --Modalanalytiker (Diskussion) 14:42, 17. Mär. 2015 (CET)

• “Zulässigkeit”: Ich meinte nicht die von mir kritisierte “Zerlegung”, sondern diesen Edit.
  mfG AnaLemma 20:24, 17. Mär. 2015 (CET)

Formale Darstellung des Resultats aus zwei Summanden

Der guten Ordnung halber: Die Überschrift direkt hierüber gehört zum Beitrag von Analemma 20:24, 17. Mär. 2015.

Ich trage mit einiger Redundanz nochmal die einschlägigen Beziehungen zusammen, in der Hoffnung, durch die Übersicht die Zusammenhänge zu erhellen.

Die Zeitgleichung in allgemeingültiger Form

$ZG^{*}=\alpha _{m}-\alpha =L-\alpha =L-\arctan _{\lambda }(\tan \lambda \cdot \cos \varepsilon )$

ist durch drei Variablen bestimmt.

Der Grenzfall $\varepsilon =0$ liefert die Einfachwelle

$ZG_{\varepsilon =0}^{*}=L-\lambda =-C$

mit Nullstellen bei den Apsiden.

Der Grenzfall $e=0$ liefert mit $\lambda =L$ die Doppelwelle

$ZG_{e=0}^{*}=L-\arctan _{L}(\tan L\cdot \cos \varepsilon ).$

Der Schneider'sche Zerlegungsansatz $ZG^{*}=ZG_{\varepsilon =0}^{*}+ZG_{\varepsilon }^{*}$ liefert die Doppelwelle

$ZG_{\varepsilon }^{*}=\lambda -\alpha =\lambda -\arctan _{\lambda }(\tan \lambda \cdot \cos \varepsilon )$

mit Nullstellen bei den Jahreszeitanfängen.

Die unterschiedlich definierten Doppelwellen $ZG_{e=0}^{*}\neq ZG_{\varepsilon }^{*}$ haben eng benachbarte Werte.

Zusammenstellung der Schneider'schen Zerlegung:

$ZG_{\varepsilon =0}^{*}+ZG_{e}^{*}=(L-\lambda )+(\lambda -\alpha )=L-\alpha =\alpha _{m}-\alpha =ZG^{*}$

Alle Gleichungen sind aus dem Formelsatz der m. E. vertretbaren Artikelversion vom 17. Mär. 2015, 09:18‎ entnommen oder ablesbar. Die weitere Entwicklung des Abschnitts Berechnung werde ich interessiert verfolgen. --Modalanalytiker (Diskussion) 11:30, 18. Mär. 2015 (CET)

All das hatte ich im Artikel bereits gemacht, wobei ich selbstverständlich den Minimalaufwand dafür nicht scheute, dass der Leser in einer Richtung (ohne Rückblättern, Gleichungs-Umstellungen u.a.) durchlesen kann. M.E. haben Enzyklopädie-Beiträge effiziente Informationen ohne eingestreute Übungsaufgaben zu sein.
Auch, dass die unterschiedlich definierten Doppelwellen eng benachbarte Werte haben, hatte ich für einen Fall (1.5. 2015 15h) geprüft: 2,393° ≠ 2,424°.
Dein Beitrag, den EN zu liefern, ist noch unerledigt. Allerdings kommt es mir vor wie “Ich weiß etwas, was Du nicht weißt”, dass diese "Zerlegung" auch noch in den Artikel soll.
mfG AnaLemma 14:56, 18. Mär. 2015 (CET)

Welchen tieferen Sinn / Nährwert hat die Schneidersche Zerlegung eigentlich? --Gueziv (Diskussion) 09:00, 19. Mär. 2015 (CET)

Exakte Darstellung der Zeitgleichung als Summe der Beiträge der Exzentrizität (ohne Schiefe) und der Schiefe (nach bereits berücksichtigter Exzentrizität). Die scheinbar naheliegende Superposition (Addition) der Grenzfälle ergibt wegen der nichtlinearen Zusammenhänge nur eine Näherung der Zeitgleichung. Außerdem hat die Grenzfallfunktion für e=0 ihre vier Nullstellen nicht bei, sondern neben den Zahreszeitanfängen. --Modalanalytiker (Diskussion) 11:23, 19. Mär. 2015 (CET)

Wenn wir doch wissen, dass Superposition der beiden Grenzfälle nicht das richtige Ergebnis ist, warum müssen wir dennoch die ZG so verändern, dass sie aus zwei Summanden besteht. Das führt offensichtlich nicht nur bei mir zu Verwirrung: Haben wir nun doch eine Art Superposition oder wenigstens etwas Ähnliches? Ist es nicht überhaupt ein Zufall, dass sich zum Grenzfall (ε=0) ausgerechnet ein Summand als Ausdruck dafür, wie die noch unfertige ZG (hier gleich Mittelpunktgl. C) fertig zu stellen ist, finden lässt?
mfG AnaLemma 12:23, 19. Mär. 2015 (CET)

»...warum müssen wir dennoch die ZG so verändern, dass sie aus zwei Summanden besteht.« Die ZG wird nicht verändert, nur analysiert.

»Haben wir nun doch eine Art Superposition oder wenigstens etwas Ähnliches?« Wenn man die Teile wieder zusammensetzt, würde ich das nicht Superposition nennen, weil der Begriff für lineare Fälle reserviert ist.

M. E. liegt der Reiz der Zerlegung darin, das die dabei anfallende Einfach- und Doppelwelle ihre Nullstellen bei den Apsiden bzw. den Jahreszeitanfängen haben. Das sind attraktive Merkmale, und vielleicht haben die ausgewiesenen Astronomen das auch so gesehen. --Modalanalytiker (Diskussion) 12:47, 19. Mär. 2015 (CET)

Ich wünsche mir, dass Du im Artikel generell mitarbeitest und nicht nur einer Lieblingsbeschäftigung im Detail nachgehst. Wenn in der einleitenden Graphik falsche Nulldurchgänge enthalten sein sollten, so erkläre das bitte und korrigiere es an Ort und Stelle. Am lapidaren, mit strenger Miene vorgetragenem Einwurf “Die ZG wird nicht verändert, nur analysiert.” erkenne ich den Lehrer. Gib doch bitte diese Haltung auf, arbeite auf gleicher Ebene mit, lasse nicht Deine Schüler die ungeliebten Teile der Arbeit machen (z.B. nur eine Quelle referenzieren), erkläre umfassend und stelle nicht immer wieder Übungsaufgaben. Nicht nur unser Verhältnis untereinander, sondern auch das zum Leser ist keine Lehrer-Schüler-Situation.
mfG AnaLemma 17:00, 19. Mär. 2015 (CET)

@Analemma   Auf deinen Beitrag 17:00, 19. Mär. 2015, soweit er einem persönlichen Angriff nahekommt, gehe ich deeskalationshalber nicht ein. Nur soviel: Ich würde mir hier nicht die Rolle des Aufgaben delegierenden Vorgesetzten anmaßen. Vorschläge sind willkommen, Befehle im Imperativ-Modus nicht.

Zu deinem Wunsch  »... dass Du [i.e. Modalanalytiker] im Artikel generell mitarbeitest ...«: Ich werde dem nachkommend noch ein paar Edits versuchen, obwohl mich deine Rezeption meiner bisherigen Bemühungen seit längerem entmutigt. --Modalanalytiker (Diskussion) 10:25, 20. Mär. 2015 (CET)

Abstimmung eines Überarbeitungsvorschlags

Ich komme auf meine Ankündigung »... werde ein paar Edits versuchen« zurück. Bedarf sehe ich bei der Resultatdarstellung der ZG samt Zerlegung und - damit verbunden - der Datei:Zeitgleichung_mit_Datumsangaben.jpg samt deren Bildtext. Hier die Entwürfe zur Diskussion:

Resultat

Ausgehend von $ZG{}^{*}=\alpha _{m}-\alpha =L-\alpha$ führen die bisherigen Angaben schließlich zur zusammenfassenden Gleichung

$ZG^{*}=L-\arctan _{\lambda }(\tan \lambda \cdot \cos \varepsilon ),\qquad (*)$

die sich mit einem Tangens-Additionstheorem in die alternative Form

$ZG^{*}=\arctan {\frac {\tan L-\tan \lambda \cdot \cos \varepsilon }{1+\tan L\cdot \tan \lambda \cdot \cos \varepsilon }}$

bringen lässt.

Komponenten der Zeitgleichung

Die Zeitgleichungsfunktion lässt sich nach Schneider (M. Schneider: Himmelsmechanik, Band II: Systemmodelle, BI-Wissenschaftsverlag, 1993, S. 508, ISBN 3-411-15981-2) gemäß

$ZG^{*}=ZG_{\varepsilon =0}^{*}+ZG_{\varepsilon }^{*}$

aus zwei Komponenten zusammensetzen (s. Graphik am Artikelanfang). Der linke Summand beziffert den Beitrag der Bahnexzentrizität $e$ („erste Usache“, s. o.) bei senkrecht auf der Ekliptik stehender Erdachse ($\varepsilon =0$). Aus Gl. $(*)$ folgt dafür

$ZG_{\varepsilon =0}^{*}=L-\lambda .$

Dieser Teil verläuft sinusähnlich mit Jahresperiode. Die Werte sind gleich denen der negativen Mittelpunktsgleichung $C.$. Die beiden Nullstellen fallen mit den Apsiden zusammen. Der rechte Summand bezeichnet den Beitrag, der bei gegebener Exzentrizität $e$ durch die Schiefe der Ekliptik $\varepsilon$ hinzukommt („zweite Usache“, s. o.). Er ergibt sich zu

$ZG_{\varepsilon }^{*}=\lambda -\alpha$

und verläuft ebenfalls sinusähnlich, aber mit zwei Perioden pro Jahr. Die vier Nullstellen fallen mit den Jahreszeitanfängen zusammen.

Referenz auf Sekundärliteratur ohne direkte Autoren-Nennung ist WP-Usus (Name im EN genügt; außerdem bezieht sich Schneider wiederum auf Sekundärliteratur).
Wie von mir oben schon geäußert, hat Schneider m.E. lediglich gezeigt, dass man die Grenzfall-Zeitgleichung mit ε = 0 mit einem Summanden ergänzen kann, wenn man sie zur realen ZG mit ε ≠ 0 fertig stellt. Dieser Summand hat im Unterschied zur Grenzfall-Zeitgleichung mit e = 0 keine physikalische Entsprechung. Deshalb sind die beiden Grenzfall-Zeitgleichungen nach wie vor vorzuziehen, sie fördern das Verständnis durch ihren getrennten Bezug auf die beiden Ursachen, während die Schneider-Summe m.E. nur mathematische Eleganz zeigt.
Im Übrigen ist es meine oben bereits angedeutete Meinung, dass die derzeitige, mathematisch elegant kurz dargestellte Berechnung nur eine Ergänzung zu einer der vorherigen mit begleitetem Blick auf die Physik formulierten Berechnung sein kann.
mfG AnaLemma 17:05, 20. Mär. 2015 (CET)

Einverstanden. Ich entferne Schneider und lasse den EN-Verweis übrig. Auf deine weiteren Anmerkungen hin schlage ich folgende Fortsetzung des Abschnitts vor:

Alternativ zur zuletzt angegebenen Zeitgleichungskomponente $ZG_{\varepsilon }^{*}$ kann man in Analogie zur Bildung des Grenzfalls $ZG_{\varepsilon =0}^{*}$ den Grenzfall einer reinen Kreisbahn ($e=0$) untersuchen. Dann gilt $\lambda =L$, und man erhält mit Gl. (*) den Teilbetrag

$ZG_{e=0}^{*}=L-\arctan _{L}(\tan L\cdot \cos \varepsilon ).$

Seine Werte unterscheiden sich geringfügig von $ZG_{\varepsilon }^{*}$. Die vier Nullstellen liegen nahe bei den Jahreszeitanfängen. --Modalanalytiker (Diskussion) 20:55, 20. Mär. 2015 (CET)

Warum lägen die vier Nullstellen nur nahe bei den Jahreszeitanfängen? Danach frug ich u.a. bereits mit: Wenn in der einleitenden Graphik falsche Nulldurchgänge enthalten sein sollten, .. (Außerdem hat die Grenzfallfunktion für e=0 ihre vier Nullstellen nicht bei, sondern neben den Zahreszeitanfängen lag als eine Aussage von Dir bereits vor).
Die “Alternative”-Argumentation wäre umgekehrt: Die Schneider-Summe ist sekundär, wie ich schon betonte. Der Fall einer reinen Kreisbahn ist ein Grenzfall, alsTeilbetragnicht zu gebrauchen, weil dafür nicht genau. Die “” Zeichen, weil es - wie schon gesagt - keine Alternative von der Sache (zwei Ursachen) her ist.
mfG AnaLemma 22:33, 20. Mär. 2015 (CET)

•Antwort auf »Warum lägen die vier Nullstellen nur nahe bei den Jahreszeitanfängen?«  Die Grenzfall-Doppelwelle $ZG_{e=0}^{*}=L-\arctan _{L}(\tan L\cdot \cos \varepsilon )$ hat, wie man der Gleichung direkt entnehmen kann, in den Zeitpunkten ihre Nullstellen, in denen die mittlere Länge $L$ ganzzahlige Vielfache von 90° durchläuft. Die Jahreszeiten dagegen beginnen in den Zeitpunkten, in denen die ekliptikale Länge $\lambda$ diese Winkel einnimmt. Diese beiden Zeitpunktserien sind verschieden.

•Meine Vokabel „Alternativ“ war in der Tat irreführend, weil sie suggerieren kann, es würde eine identische Umformung des Vorigen folgen. Hier mein neuer Versuch:

Im Grenzfall einer Kreisbahn ($e=0$) gilt $\lambda =L$. Eingesetzt in Gl. ($*$) folgt daraus die Zeitgleichungskomponente $ZG_{e=0}^{*}=L-\arctan _{L}(\tan L\cdot \cos \varepsilon ).$ Ihre Werte und Nullstellen sind nicht mit denen von $ZG_{\varepsilon }^{*}$ identisch. Die Summe aus $ZG_{\varepsilon =0}^{*}$ und $ZG_{e=0}^{*}$ ergibt nur eine Näherung der Zeitgleichung.

•Das Rasterbild kann man mit den angesprochenen Änderungen m. E. weiterverwenden. Die hier diskutierten Unterschiede „sieht“ man im Grunde nur mit dem Stechzirkel. --Modalanalytiker (Diskussion) 11:17, 21. Mär. 2015 (CET)

Bildtextentwurf

Zeitgleichung in Minuten, Ausschnitt für 2011. Die beiden dünnen Linien sind (fiktive) Teil-Zeitgleichungen. 1. Die Kurve mit Jahresperiode bildet den Beitrag der Bahnexzentrizität bei senkrecht auf der Ekliptik stehender Erdachse ab. 2. Die Kurve mit Halbjahresperiode bezeichnet den Beitrag der Schiefe der Erdachse, der bei gegebener Bahnexzentrizitat zu 1 zu addieren ist, um die reale Zeitgleichung zu erhalten.

Anmerkung: Nach meinen Unterlagen fällt der Frühlingsanfang 2011 auf den 20. März und Aphel auf den 4. Juli, so dass auch das Bild geändert werden müsste. Gibt es eine Vektor-Version des Bildes? Wenn nicht, schlage ich vor, dass ich es neu zeichne, dann für 2015, um das Jahr des Rechenbeispiels aufzugreifen. --Modalanalytiker (Diskussion) 14:04, 20. Mär. 2015 (CET)

Zustimmung, dass die Daten auf den Tag stimmen sollten und eine Vektor-Version vorzuziehen ist.
Am heutigen 20. März erinnere ich mich, dass der Frühlingsanfang seit ein paar Jahren und bis zum Schalttagausfall 2100 nicht mehr auf den 21. März fällt.
mfG AnaLemma 17:05, 20. Mär. 2015 (CET)

Die zu ändernden Datumsangaben lassen sich ganz gut in das Rasterbild einfügen. Deshalb schlage ich vor, es so geändert weiterzuverwenden. --Modalanalytiker (Diskussion) 20:55, 20. Mär. 2015 (CET)

Fortsetzung der Abstimmung - aktueller Stand

Resultat

Ausgehend von $ZG{}^{*}=\alpha _{m}-\alpha =L-\alpha$ führen die bisherigen Angaben zur zusammenfassenden Gleichung

$ZG^{*}=L-\arctan _{\lambda }(\tan \lambda \cdot \cos \varepsilon ),\qquad (*)$

die sich mit einem Tangens-Additionstheorem in

$ZG^{*}=\arctan {\frac {\tan L-\tan \lambda \cdot \cos \varepsilon }{1+\tan L\cdot \tan \lambda \cdot \cos \varepsilon }}$

umformen lässt.

Komponenten der Zeitgleichung

Die Zeitgleichungsfunktion lässt sich gemäß

$ZG^{*}=ZG_{\varepsilon =0}^{*}+ZG_{\varepsilon }^{*}$

aus zwei Komponenten zusammensetzen (M. Schneider: Himmelsmechanik, Band II: Systemmodelle, BI-Wissenschaftsverlag, 1993, S. 508, ISBN 3-411-15981-2, s. Graphik am Artikelanfang). Der linke Summand beziffert den Beitrag der Bahnexzentrizität $e$ („erste Usache“, s. o.) bei senkrecht auf der Ekliptik stehender Erdachse ($\varepsilon =0$). Aus Gl. $(*)$ folgt dafür

$ZG_{\varepsilon =0}^{*}=L-\lambda .$

Dieser Teil verläuft sinusähnlich mit Jahresperiode. Die Werte sind gleich denen der negativen Mittelpunktsgleichung $C.$. Die beiden Nullstellen fallen mit den Apsiden zusammen. Der rechte Summand bezeichnet den Beitrag, der bei gegebener Exzentrizität $e$ durch die Schiefe der Ekliptik $\varepsilon$ hinzukommt („zweite Usache“, s. o.). Er ergibt sich zu

$ZG_{\varepsilon }^{*}=\lambda -\alpha$

und verläuft ebenfalls sinusähnlich, aber mit zwei Perioden pro Jahr. Die vier Nullstellen fallen mit den Jahreszeitanfängen zusammen.

Im Grenzfall einer Kreisbahn ($e=0$) gilt $\lambda =L.$ Eingesetzt in Gl. ($*$) folgt daraus die Zeitgleichungskomponente $ZG_{e=0}^{*}=L-\arctan _{L}(\tan L\cdot \cos \varepsilon )$. Sie verläuft mit zwei Perioden pro Jahr ähnlich wie $ZG_{\varepsilon }^{*}$. Allerdings liegen die Nullstellen neben den Jahreszeitanfängen und addiert zu $ZG_{\varepsilon =0}^{*}$ trifft sie die Zeitgleichung nur näherungsweise.
Modalanalytiker (Diskussion) 11:41, 22. Mär. 2015 (CET)

Ein Hinweis zu letzterem: Wenn vom Grenzfall e = 0 die Rede ist, lässt man in Gedanken e variieren. Dadurch ändern sich auch die Zeitpunkte der Jahreszeitanfänge, das heißt, die Nullstellen von $\lambda -\arctan _{\lambda }(\tan \lambda \cdot \cos \varepsilon )$ als Funktion der Zeit. --Digamma (Diskussion) 12:43, 22. Mär. 2015 (CET)

Danke für den Hinweis! Da passt noch eine Anmerkung, dass die regulären Jahreszeitanfänge gemeint sind, nicht die grenzfalleigenen.

Modalanalytiker (Diskussion) 19:03, 22. Mär. 2015 (CET)

Ich habe die Graphik am Artikelanfang wieder wie vorher hergestellt. Obwohl ich dabei nicht den neuesten Info-Stand hatte (Browser war nicht gelöscht), soll es dabei bleiben, weil das den in Quellen findbaren Graphiken (nebst Absicht, was gezeigt werden soll) entspricht: z.B. [www.spektrum.de/wissen/das-analemma/1295440]
mfG AnaLemma 17:30, 24. Mär. 2015 (CET)

Frühlingsanfang und Perihel stimmen jetzt. Das ist ein Fortschritt. Es bleibt aber ein Punkt übrig. Zwar passen die innere Bildlegende und der äußere Bildtext zusammen; sie passen aber nicht zum Artikeltext „Nulldurchgänge an den Tagen der Sonnenwenden und der Tag-und-Nacht-Gleichen“ am Ende des Abschnitts Zweite Ursache. Das Zitat stimmt nur für die unter Berechnung angegebenen Komponenten.

In der Quelle www.spektrum.de/wissen/das-analemma/1295440 erkenne ich keine Unterstützung für deinen Edit. Die dortige Erklärung geht nicht ins mathematische Detail und bleibt deshalb widerspruchsfrei. Die Formulierung „die grüne jenen Anteil, der durch die Neigung des Himmelsäquators gegenüber der Erdbahnebene, der Ekliptik, entsteht“ sagt ja nicht, dass dabei eine Kreisbahn vorausgesetzt ist.

Ich bitte dich, zu prüfen, ob wir den Artikel in diesem - zweifelos etwas filigranen - Punkt nicht auch ‚sauber‘ machen sollten, indem wir überall auf die Schneider'sche Zerlegung abheben. In der Version 24. Mär. 2015, 15:41 war das der Fall.

Modalanalytiker (Diskussion) 21:26, 24. Mär. 2015 (CET)

fragliches Zitat: Es heißt "an den Tagen des/der ...", nicht in den Momenten .... »Wie groß sind denn nun die nur mit dem Stechzirkel erfassbaren Abweichungen,« dass das sogar ohne Zusatz ("annähernd an den Tagen des/der ...") grob falsch wäre. Schaue Dir bitte noch andere Graphiken und Texte dazu an. Ich weiß, dass es viele gibt, weil viele Autoren sich und ihren Lesern auf diese Weise die Zeitgleichung ohne einen gravierenden Fehler zu machen (die meisten wissen gar nicht, wie ich bisher auch, dass man ganz ganz streng unterscheiden müsste), mit ziemlichen Gewinn verständlich machen. Gemessen an meiner Meinung, dass die derzeitige, mathematisch elegant kurz dargestellte Berechnung nur eine Ergänzung zu einer der vorherigen mit begleitetem Blick auf die Physik formulierten Berechnung sein kann, ist die Schneidersche Zerlegung nur eine Ergänzung zur Ergänzung, steht also weit “unter ferner liefen” .
mfG AnaLemma 23:14, 24. Mär. 2015 (CET)

@Analemma. Zu deiner Frage »Wie groß sind denn nun die nur mit dem Stechzirkel erfassbaren Abweichungen,...«: Bei Frühlings- und Herbstanfang liegen die Nullstellen der Grenzfall-Doppelwelle 2 Tage nach bzw. vor den tatsächlichen Zeitpunkten. Ich habe deine Frage beantwortet, obwohl sie nicht den Kern unseres Themas trifft. Es geht um einen qualitativen, nicht quantitativen Aspekt. Ich fasse zusammen:

Du bevorzugst die Zerlegung der Zeitgleichung in die beiden Grenzfälle für Schiefe $\varepsilon =0$ (Einfachwelle) und Exzentrizität $e=0$ (Doppelwelle). Dabei nimmst du in Kauf, dass sich diese „Komponenten“ nur näherungsweise zum Ganzen ergänzen und dass die Angabe im Text z. B. unter Zweite Ursache, die Nulldurchgänge der Doppelwelle lägen bei den Jahreszeitanfängen, dann nicht stimmt. Als Quelle nennst du „andere Graphiken und Texte“, namentlich www.spektrum.de/wissen/das-analemma/1295440. Die Artikelfassung samt Grafik deiner Wahl ist offensichtlich die vom 24. Mär. 2015, 16:54.

Ich bevorzuge die Zerlegung der Zeitgleichung in dieselbe Einfachwelle und den komplementären Anteil, der durch die Schiefe hinzukommt. Dadurch passen Bild und Text, speziell die Angaben zu den Nulldurchgängen, zusammen. Die Quelle ist Schneider, Himmelmechanik Band II. Die Artikelfassung samt Bild meiner Wahl ist die vom 24. Mär. 2015, 15:41.

Ich bitte dich, noch einmal zu prüfen, ob du dich der Komponentenbildung nach Schneider anschließen kanst. Bei ihm gehen beide Zeitgleichungskomponenten in astronomisch bedeutsamen Zeitpunkten durch null und ihre Summe saldiert das Ganze nicht näherungsweise, sondern genau. Sollte es allerdings anerkannte Astronomie-Lehrbücher geben, die anders als Schneider die Grenzfälle als Zerlegungskomponenten präsentieren, könnte ich mich deiner Version anschließen.

Modalanalytiker (Diskussion) 10:55, 25. Mär. 2015 (CET)

Die Diskussion dreht sich nur noch um Spitzfindigkeiten, die für den normalen Leser nicht relevant sind und die auch nicht zu einer tatsächlichen Verbesserung des Artikels führen.
Im Übrigen möchte ich der Ansicht Analemmas beipflichten. In der früheren Version wurde versucht, von den physikalischen Bewegungsvorgängen auszugehen und daraus Schritt für Schritt die Gleichungen zu entwickeln. In der aktuellen Version wird auf eine solche Herleitung weitgehend verzichtet. Da die Rechnung als solche ohnehin immer gleich oder gleichwertig ist, ist einiges verloren gegangen, ohne dass substanziell Neues hinzugekommen wäre. --Gueziv (Diskussion) 13:51, 25. Mär. 2015 (CET)

Himmelsmechaniker um Dritte Meinung gebeten

Die Benutzer Analemma und Modalanalytiker ringen hier um eine sachlich richtige und ausreichend belegte Darstellung der Zerlegung der Zeitgleichung in Komponenten. Nach dem strittigen Verlauf der Diskussion Komponenten der Zeitgleichung kann vielleicht externe Kompetenz weiterhelfen. Ich bitte sachkundige Benutzer, sich zu äußern und dabei zu entscheiden, ob sie eine der beiden folgenden Bildversionen bevorzugen und wenn ja, welche. Es geht ausschließlich um das Kurvenbild am Artikelanfang und seine Kompatibilität mit dem (unstrittigen) Artikeltext. Die konkurrierenden Versionen sind

1: Wie in die der Fassung 24. Mär. 2015, 16:54‎

oder

2: Wie in der Fassung[3] mit dem Bildtext

Zeitgleichung in Minuten, Ausschnitt für 2011. Die beiden dünnen Linien sind Komponentenfunktionen mit der Zeitgleichung als Summe (s. Abschn. Komponenten).

Über eine rege Beteiligung würde ich mich unabhängig von der geäußerten Ansicht freuen. Modalanalytiker (Diskussion) 18:15, 25. Mär. 2015 (CET)