Ergodische Transformation
(Weitergeleitet von Ergodische Abbildung)
Ergodische Transformationen bzw. Ergodische Abbildungen sind Begriffe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Theorie dynamischer Systeme. Anschaulich bedeutet Ergodizität einer Abbildung, dass fast alle Punkte des Wahrscheinlichkeitsraumes in einem einzigen Orbit des dynamischen Systems liegen.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem Messraum und eine maßerhaltende Abbildung.
Dann ist eine ergodische Transformation, genau dann wenn für jede Menge , die erfüllt, immer entweder
gilt. Dabei bezeichnet das Urbild von unter .
Es lassen sich noch weitere, äquivalente Definitionen angeben:
- Kompakt lautet die obige Definition, dass die σ-Algebra der T-invarianten Ereignisse eine μ-triviale σ-Algebra sein soll.
- Äquivalent dazu ist, dass jede -messbare Funktion fast sicher konstant ist.
- Alternativ kann man auch fordern, dass die einzigen -invarianten Funktionen die konstanten Funktionen sind. Dabei heißt eine Funktion -invariant, wenn für fast alle die Gleichung gilt.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Falls invertierbar ist, dann gilt: weil alle Orbits
- (mit ) einer ergodischen Transformation -invariant sind, muss insbesondere genau ein Orbit Maß 1 und alle anderen Orbits Maß 0 haben. Insbesondere definiert eine invertierbare ergodische Transformation eine ergodische Wirkung der Gruppe der ganzen Zahlen .
- Für ergodische Transformationen gilt der Birkhoffsche Ergodensatz:
- für -fast alle und jede Funktion .
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Winkelverdopplung
- Das Lebesgue-Maß ist ein ergodisches Maß für die Winkelverdopplungsabbildung .
- Das Lebesgue-Maß ist ein ergodisches Maß für die Bäcker-Transformation
- Das Lebesgue-Maß ist ein ergodisches Maß für die Bäcker-Transformation
- Rotation auf dem Einheitskreis
- Betrachte das System bestehend aus der Menge , der Borel-σ-Algebra , dem Lebesguemaß und der Abbildung . Dieses System ist für alle maßerhaltend. Es ist zudem genau dann ergodisch, wenn nicht rational ist, sprich wenn gilt .
- Betrachte den Grundraum der --Folgen mit zugehöriger Produkt-σ-Algebra und zugehörigem unendlichen Produktmaß definiert durch . Bei der Bernoulli-Abbildung handelt es sich um dem Linksshift auf dem Grundraum , das heißt ist definiert als
- Dann ist das 4-Tupel ein ergodisches dynamisches System.
- Sei der Grundraum und die entsprechende Borelsche σ-Algebra. Definiere die Gauß-Abbildung durch
- Falls nun als Maß das Gaußmaß , , gewählt wird, so handelt es sich bei um ein ergodisches dynamisches System.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- A. Katok und B. Hasselblatt: Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. ISBN 0-521-34187-6
- B. Bekka und M. Mayer: Ergodic Theory and Topological Dynamics of Group Actions on Homogeneous Spaces. London Math. Soc. Lec. Notes #269. Cambridge U. Press, Cambridge, 2000. ISBN 0-521-66030-0
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- C.Walkden: Ergodic Theory (Kapitel 5)