Explizites Euler-Verfahren

Das eulersche Polygonzugverfahren oder explizite Euler-Verfahren (auch Euler-Cauchy-Verfahren oder Euler-vorwärts-Verfahren) ist das einfachste Verfahren zur numerischen Lösung eines Anfangswertproblems.

Es wurde von Leonhard Euler 1768 in seinem Buch Institutiones Calculi Integralis vorgestellt. Cauchy benutzte es, um einige Eindeutigkeitsresultate für gewöhnliche Differentialgleichungen zu beweisen.

Das Verfahren wird manchmal in der Physik als Methode der kleinen Schritte bezeichnet.

Das Verfahren

Zwei Schritte des expliziten Euler-Verfahrens

Zur numerischen Lösung des Anfangswertproblems:

${\dot {y}}(t)=f(t,y),\quad \quad y(t_{0})=y_{0}$

für eine gewöhnliche Differentialgleichung wähle man eine Diskretisierungs-Schrittweite $h>0$, betrachte die diskreten Zeitpunkte

$t_{k}=t_{0}+kh,\quad \quad k=0,1,2,\dots$

und berechne die Werte

$y_{k+1}=y_{k}+hf(t_{k},y_{k}),\quad k=0,1,2,\dots$

Die berechneten Werte $y_{k}$ stellen Approximationen an die tatsächlichen Werte $y(t_{k})$ der exakten Lösung des Anfangswertproblems dar. Je kleiner die Schrittweite $h$ gewählt ist, desto mehr Rechenarbeit ist nötig, aber desto genauer werden auch die approximierten Werte.

Eine Modifikation des Verfahrens besteht hier darin, dass man die Schrittweite variabel wählt. Eine sinnvolle Veränderung der Schrittweite setzt einen Algorithmus zur Schrittweitensteuerung voraus, der den Fehler im aktuellen Schritt abschätzt und dann die Schrittweite für den nächsten Schritt dementsprechend wählt.

Wird ein Verfahren über $y_{k+1}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1})$ definiert, erhält man das implizite Euler-Verfahren. Dieses ist A-stabil und daher für steife Anfangswertprobleme besser geeignet.

Herleitung

Für die Herleitung von Einschrittverfahren wird das Anfangswertproblem meist in die dazu äquivalente Integralgleichung umgeformt

${\begin{aligned}{\dot {y}}&=f(t,y)\,,\qquad y(t_{0})=y_{0}\\\Longleftrightarrow \quad y(t)&=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\,\mathrm {d} s\,.\end{aligned}}$

Nun besteht die Idee, beim expliziten Euler-Verfahren eine simple Quadraturformel für das Integral zu benutzen: die linksseitige Boxregel. Man wählt in jedem $k$-ten Schritt den Integranden als konstanten Wert an der linken Intervallgrenze

$y(t_{k+1})=y(t_{k})+\int _{t_{k}}^{t_{k+1}}f(s,y(s))\,\mathrm {d} s\approx y_{k}+\int _{t_{k}}^{t_{k+1}}f(t_{k},y_{k})\,\mathrm {d} s=y_{k}+hf(t_{k},y_{k})=:y_{k+1}\,.$

Eigenschaften

Stabilitätsgebiet des expliziten Euler-Verfahrens

Das explizite Euler-Verfahren hat Konsistenz- und Konvergenzordnung 1. Die Stabilitätsfunktion ist $R(z)=1+z$ und sein Stabilitätsgebiet daher das Innere des Kreises um −1 mit Radius 1 in der komplexen Zahlenebene.

Verbessertes explizites Euler-Verfahren

Anstatt die Boxregel für die numerische Integration zu verwenden, kann man auch die Mittelpunktsregel anwenden.

$\int _{t_{k}}^{t_{k+1}}f(s,y(s))\,\mathrm {d} s\approx hf\left(t_{k}+{\frac {h}{2}},y\left(t_{k}+{\frac {h}{2}}\right)\right)\,.$

Nun wendet man wieder das explizite Euler-Verfahren zur Approximation von $y\left(t_{k}+{\frac {h}{2}}\right)$ an

$y\left(t_{k}+{\frac {h}{2}}\right)\approx y_{k}+{\frac {h}{2}}f(t_{k},y_{k})=:y_{k+{\frac {1}{2}}}\,.$

Zusammen führt dies auf das verbesserte explizite Euler-Verfahren (oder Euler-Verfahren mit kleinerer Schrittweite)

$y_{k+1}=y_{k}+hf\left(t_{k}+{\frac {h}{2}},y_{k+{\frac {1}{2}}}\right)\quad {\text{mit}}\quad y_{k+{\frac {1}{2}}}=y_{k}+{\frac {h}{2}}f(t_{k},y_{k})\,.$

Verallgemeinerungen

Es lässt sich im Wesentlichen durch zwei verschiedene Ideen auf effizientere Verfahren verallgemeinern.

• Die erste Idee ist, bei der Berechnung des nächsten Schrittes mehr als nur einen der zuvor berechneten Werte mit einzubeziehen. Auf diese Weise erhält man Verfahren höherer Ordnung in der Klasse der linearen Mehrschrittverfahren.

• Die zweite Idee ist, bei der Berechnung des nächsten Schrittes die Funktion $f(t,y)$ auf dem Intervall $[t_{k},t_{k+1}]$ an mehreren Stellen auszuwerten. Auf diese Weise erhält man die Klasse der Runge-Kutta-Verfahren.

Die Klasse der allgemeinen linearen Verfahren bezieht beide Ideen der Verallgemeinerung mit ein und enthält die Klasse der linearen Mehrschrittverfahren sowie die Klasse der Runge-Kutta-Verfahren als Spezialfall.

• Darüber hinaus gibt es auch eine Erweiterung des Euler-Verfahrens für stochastische Differentialgleichungen: das Euler-Maruyama-Verfahren.

Literatur

• E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I, Springer Verlag
• M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme, Oldenbourg Verlag, München und Wien, 2004, ISBN 3-486-27606-9