Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik

Die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik, kurz FLRW-Metrik, ist eine exakte Lösung der einsteinschen Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie und beschreibt eine homogene, isotrope (kosmologisches Prinzip) Expansion bzw. ein ebensolches Zusammenziehen des Universums. Sie ist unter unterschiedlichen Kombinationen der Namen der vier Wissenschaftler Alexander Friedmann, Georges Lemaître, Howard P. Robertson und Arthur Geoffrey Walker bekannt, z. B. Friedmann-Robertson-Walker (FRW) oder Robertson-Walker (RW).

Weil sie so einfach zu berechnen ist, wird die FLRW-Metrik als erste Näherung für das kosmologische Standard-Urknall-Modell des Universums verwendet. Da die FLRW Homogenität voraussetzt, wird oft fälschlicherweise behauptet, dass das Urknall-Modell nicht die Klumpigkeit des Universums erklären könne. Modelle, welche die Klumpigkeit des Universums errechnen werden, erweitern die FLRW. Im Jahr 2003 schienen die theoretischen Konsequenzen der verschiedenen Erweiterungen zur FLRW bereits gut verstanden. Das Ziel war es, diese mit den Beobachtungen der Projekte COBE und WMAP in Einklang zu bringen.

Formulierung

Durch die Forderung nach Isotropie erhält man das Robertson-Walker-Linienelement

$\mathrm {d} s^{2}=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-a(t)^{2}R_{\mathrm {C} }^{2}\left({\frac {\mathrm {d} x^{2}}{1-k\ x^{2}}}+x^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}\right)\ =c^{2}\mathrm {d} t^{2}-a(t)^{2}\left({\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-k\ r^{2}}}+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}\right)\ ,$

mit

• der Lichtgeschwindigkeit $c$
• dem Skalenfaktor $a(t)$ des Universums zur Zeit $t$
• dem Absolutwert $R_{\mathrm {C} }$ des heutigen Krümmungsradius
• $x=r/R_{\mathrm {C} }$
  • dem Radius $r=U/(2\pi )$ des Kleinkreises vom mitbewegten Beobachter
• dem Krümmungsparameter $k=+1,0,-1$
• $\mathrm {d} \Omega ^{2}=\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \cdot \mathrm {d} \phi ^{2}$.

Die Metrik kann auch bezogen auf die intrinsische Entfernung ${\bar {r}}$ dargestellt werden als:

$\mathrm {d} s^{2}=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-a(t)^{2}\cdot (\mathrm {d} {\bar {r}}^{2}+f({\bar {r}})^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2})$

$f({\bar {r}})={\begin{cases}R_{\mathrm {C} }\sin({\bar {r}}/R_{\mathrm {C} })&{\text{für}}\,k>0\,{\text{bzw.}}\,k=+1\\{\bar {r}}&{\text{für}}\,k=0\\R_{\mathrm {C} }\sinh({\bar {r}}/R_{\mathrm {C} })&{\text{für}}\,k<0\,{\text{bzw.}}\,k=-1\end{cases}}$.

Wenn man die FLRW-Metrik sowie einen passenden Energie-Impuls-Tensor voraussetzt, reduzieren sich die einsteinschen Feldgleichungen auf die Friedmann-Gleichungen. Ihre Lösung ist der zeitliche Verlauf $a(t)$ des Skalenfaktors der FLRW-Metrik.

Fast-FLRW-Modelle

Alle Beobachtungen im Universum auf hinreichend großen Längenskalen (nämlich größer als die größten identifizierbaren Objekte im Universum, die Galaxienhaufen) lassen sich durch ein fast-FLRW-Modell gut erklären. Ein fast-FLRW-Modell folgt der FLRW-Metrik, wobei die Entwicklung der Materieverteilung aus primordialen Fluktuationen als kleine Störung berechnet werden kann. In einem exakten FLRW-Modell gibt es keine Galaxienhaufen, Sterne oder Menschen, da diese Objekte eine höhere Dichte aufweisen als der Durchschnitt des Universums. Trotzdem wird ein fast-FLRW-Model, der Kürze wegen, als FLRW-Modell (oder FRW-Modell) bezeichnet.

Literatur

• H. P. Robertson: Kinematics and world structure, Astrophysical Journal, Band 82, 1935, S. 284–301, Band 83, 1936, S. 187–201, S. 257–271
• A. G. Walker: On Milne’s theory of world-structure, Proc. Lond. Math. Soc. (2), Band 42, 1937, S. 90–127
• George F. R. Ellis, Henk van Elst: Cosmological Models (Cargèse lectures 1998). (englisch: arxiv.org)

• Ray d'Inverno: Introducing Einstein's Relativity. Oxford University Press, Oxford 1992, ISBN 0-19-859686-3 (Kapitel 23 bietet eine kurze Einführung in die FLRW-Modelle).