In der statistischen Physik wird das Fermi-Dirac-Integral (nach Enrico Fermi und Paul Dirac ) mit Index
j
{\displaystyle j}
F
j
(
x
)
=
1
Γ
(
j
+
1
)
∫
0
∞
t
j
exp
(
t
−
x
)
+
1
d
t
{\displaystyle F_{j}(x)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{j}}{\exp(t-x)+1}}\,\mathrm {d} t}
wobei
Γ
(
⋅
)
{\displaystyle \Gamma (\cdot )}
Gammafunktion ist. Wird die untere Grenze des Integrals als Argument der Funktion angegeben
F
j
(
x
,
b
)
=
1
Γ
(
j
+
1
)
∫
b
∞
t
j
exp
(
t
−
x
)
+
1
d
t
{\displaystyle F_{j}(x,b)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }{\frac {t^{j}}{\exp(t-x)+1}}\,\mathrm {d} t}
dann spricht man vom unvollständigen Fermi-Dirac-Integral .
Die Funktion tritt unter anderem auf in der Festkörperphysik im Zusammenhang mit der Aufenthaltsverteilung von Elektronen im Kristallgitter. Dort muss oft das Integral
F
1
/
2
(
x
)
{\displaystyle F_{1/2}(x)}
Zustandsdichte ). Substituiere beim zweiten Gleichheitszeichen
t
:=
E
−
E
c
k
T
{\displaystyle t:={\tfrac {E-E_{c}}{kT}}}
x
:=
μ
−
E
c
k
T
{\displaystyle x:={\tfrac {\mu -E_{c}}{kT}}}
d
E
=
k
T
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} E=kT\,\mathrm {d} t}
n
=
N
∫
E
c
∞
E
−
E
c
exp
(
E
−
μ
k
T
)
+
1
d
E
=
N
(
k
T
)
3
2
π
2
2
π
∫
0
∞
t
exp
(
t
−
x
)
+
1
d
t
=
N
(
k
T
)
3
2
π
2
F
1
/
2
(
x
)
{\displaystyle n=N\int _{E_{c}}^{\infty }{\frac {\sqrt {E-E_{c}}}{\exp \left({\frac {E-\mu }{kT}}\right)+1}}\,\mathrm {d} E=N\left(kT\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {t}}{\exp \left(t-x\right)+1}}\,\mathrm {d} t=N\left(kT\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}F_{1/2}(x)}
Das Integral
F
1
/
2
(
x
)
{\displaystyle F_{1/2}(x)}
x
{\displaystyle x}
F
~
1
/
2
(
x
)
=
{
1
e
−
x
+
0
,
27
wenn
−
∞
<
x
<
1
,
3
4
3
π
(
x
2
+
π
2
6
)
3
/
4
wenn
1
,
3
≤
x
<
∞
{\displaystyle {\tilde {F}}_{1/2}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{e^{-x}+0{,}27}}&{\text{wenn }}\ -\infty <x<1{,}3\\{\frac {4}{3{\sqrt {\pi }}}}\left(x^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)^{3/4}&{\text{wenn }}\ \,1{,}3\leq x<\infty \end{cases}}}
Der relative Fehler dieser Näherungslösung
(
F
~
1
/
2
(
x
)
−
F
1
/
2
(
x
)
)
/
F
1
/
2
(
x
)
{\displaystyle \left({\tilde {F}}_{1/2}(x)-F_{1/2}(x)\right)/F_{1/2}(x)}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
x
=
1
,
3
{\displaystyle x=1{,}3}
F
1
/
2
(
x
)
{\displaystyle F_{1/2}(x)}
F
1
/
2
(
x
)
≈
e
x
{\displaystyle F_{1/2}(x)\approx e^{x}}
−
x
≫
1
{\displaystyle -x\gg 1}
F
1
/
2
(
x
)
≈
4
3
π
x
3
/
2
{\displaystyle F_{1/2}(x)\approx {\frac {4}{3{\sqrt {\pi }}}}x^{3/2}}
x
≫
1
{\displaystyle x\gg 1}
Mittels des Polylogarithmus kann das Fermi-Dirac-Integral dargestellt werden als
F
j
(
x
)
=
−
L
i
j
+
1
(
−
e
x
)
{\displaystyle \mathrm {F} _{j}(x)=-\mathrm {Li} _{j+1}(-e^{x})}
Wegen
d
d
x
L
i
n
(
x
)
=
1
x
L
i
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {Li} _{n}(x)={\frac {1}{x}}\mathrm {Li} _{n-1}(x)}
folgt daraus
d
d
x
F
j
(
x
)
=
F
j
−
1
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {F} _{j}(x)=\mathrm {F} _{j-1}(x)}
J. S. Blakemore: Approximations for Fermi-Dirac Integrals . Solid-State Electronics, 25(11):1067–1076, 1982. 
