In der algebraischen Geometrie , insbesondere der Theorie der Schemata , ist ein flacher Morphismus ein Morphismus
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
lokalen Ringen
O
Y
,
f
(
x
)
→
O
X
,
x
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}
flach ist.
Flache Morphismen werden häufig verwendet, um geometrische Objekte in Familien zu setzen.
Beispiele hierfür sind Hilbert-Schemata , reduktive Gruppenschemata und abelsche Schemata .
Ein Morphismus von Schemata
f
:
(
X
,
O
X
)
→
(
Y
,
O
Y
)
{\displaystyle f:(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}
flach , falls für jeden Punkt
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
O
Y
,
f
(
x
)
→
O
X
,
x
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}
O
X
,
x
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}
O
Y
,
f
(
x
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}}
Für einen Morphismus von Schemata
f
:
(
X
,
O
X
)
→
(
Y
,
O
Y
)
{\displaystyle f:(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}
[ 1]
f
{\displaystyle f}
Für jede affine offene Teilmenge
U
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq X}
V
⊆
Y
{\displaystyle V\subseteq Y}
f
(
U
)
⊆
V
{\displaystyle f(U)\subseteq V}
O
Y
(
V
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}(V)}
O
X
(
U
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}
Es gibt eine offene Überdeckung
Y
=
⋃
j
∈
J
V
j
{\displaystyle Y=\bigcup \nolimits _{j\in J}V_{j}}
V
j
=
⋃
i
∈
I
j
U
i
{\displaystyle V_{j}=\bigcup \nolimits _{i\in I_{j}}U_{i}}
f
|
U
i
:
U
i
→
V
j
{\displaystyle f|_{U_{i}}:U_{i}\to V_{j}}
j
∈
J
,
i
∈
I
j
{\displaystyle j\in J,i\in I_{j}}
Es gibt eine affine offene Überdeckung
Y
=
⋃
j
∈
J
V
j
{\displaystyle Y=\bigcup \nolimits _{j\in J}V_{j}}
V
j
=
⋃
i
∈
I
j
U
i
{\displaystyle V_{j}=\bigcup \nolimits _{i\in I_{j}}U_{i}}
O
Y
(
V
j
)
→
O
X
(
U
i
)
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}(V_{j})\to {\mathcal {O}}_{X}(U_{i})}
j
∈
J
,
i
∈
I
j
{\displaystyle j\in J,i\in I_{j}}
Die Komposition zweier flacher Morphismen von Schemata ist flach.[ 2]
Ist
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
g
:
Z
→
Y
{\displaystyle g:Z\to Y}
X
×
Y
Z
→
Z
{\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}
[ 3] Ist
B
→
A
{\displaystyle B\to A}
X
:=
S
p
e
c
(
A
)
→
Y
:=
S
p
e
c
(
B
)
{\displaystyle X:=\mathrm {Spec} (A)\to Y:=\mathrm {Spec} (B)}
Der Strukturmorphismus des affinen Raums
A
n
→
S
p
e
c
(
Z
)
{\displaystyle \mathbb {A} ^{n}\to \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} )}
P
n
→
S
p
e
c
(
Z
)
{\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} )}
S
p
e
c
(
Z
/
n
Z
)
→
S
p
e
c
(
Z
)
{\displaystyle \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )\to \mathrm {Spec} (\mathbb {Z} )}
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
Z
/
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }
torsionsfreier
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
↑ 01U5 ↑ 01U7 ↑ 01U9 
