Gδ-Raum

Ein G_δ-Raum (oder auch perfekter Raum) ist im mathematischen Teilgebiet der Topologie ein topologischer Raum mit einem speziellen Verhältnis von offenen und abgeschlossenen Mengen.

Definition

Die Definition einer Topologie fordert nur, dass endliche Schnitte von offenen Teilmengen wieder offen und endliche Vereinigungen von abgeschlossenen Teilmengen wieder abgeschlossen sind. Ein abzählbarer Schnitt von offenen Teilmengen (also nicht unbedingt offen) wird G_δ-Menge und eine abzählbare Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen (also nicht unbedingt abgeschlossen) wird F_σ-Menge genannt. Umgekehrt kann es sogar passieren, dass G_δ-Mengen abgeschlossen und F_σ-Mengen offen sind, etwa:

$\bigcap _{n\geq 1}\left(-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)=\{0\};$

$\bigcup _{n\geq 2}\left[{\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}\right]=(0,1).$

Ein topologischer Raum, in dem jede abgeschlossene Teilmenge eine G_δ-Menge oder äquivalent jede offene Teilmenge eine F_σ-Menge ist, wird G_δ-Raum genannt.

Wichtige Sätze

• Satz von Mazurkiewicz: In einem metrischen Raum ist jede vollständig metrisierbare Teilmenge stets eine G_δ-Menge. Der Satz wurde im Jahr 1916 von Stefan Mazurkiewicz bewiesen.
• G_δ-Satz von Hausdorff: In einem vollständigen metrischen Raum ist eine G_δ-Menge stets vollständig metrisierbar. Der Satz wurde im Jahr 1924 von Paul Alexandroff für den Spezialfall zusätzlich seperabler (also polnischer) Räume und ebenso im Jahr 1924 von Felix Hausdorff auch für nichtseperable Räume bewiesen.

Siehe auch

• P-Raum, duales Konzept zum G_δ-Raum

Literatur

• Ryszard Engelking: General Topology. Heldermann Verlag, Berlin 1989, ISBN 3-88538-006-4. 
• Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach, Jr.: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, Berlin, New York 1995, ISBN 978-0-486-68735-3. 
• Stefan Mazurkiewicz: Über Borelsche Mengen. In: Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie, Classe des Sciences Mathématiques et Naturelles. Série A: Sciences Mathématiques, 1916, ZDB-ID 761846-3, S. 490–494. 
• Felix Hausdorff: Die Mengen Gδ in vollständigen Räumen. In: Fundamenta Mathematicae. Band 6, 1924, S. 146–148. 
• A. V. Arkhangel′skiĭ und V.I. Ponomarev: Fundamentals of General Topology - Problems and Exercises. Hrsg.: Springer Dordrecht. 1984, ISBN 978-90-277-1355-1. 

Weblinks

• G-delta subspace auf nLab (englisch)