Schubmodul eines speziellen Basisglases:[ 4] Der Schubmodul
G
{\displaystyle G}
Gleitmodul , G-Modul , Schermodul oder Torsionsmodul ) ist eine Materialkonstante , die Auskunft gibt über die linear-elastische Verformung eines Bauteils infolge einer Scherkraft oder Schubspannung . Die SI-Einheit ist Newton pro Quadratmeter (1 N/m² = 1 Pa ), also die Einheit einer mechanischen Spannung . In Materialdatenbanken wird der Schubmodul üblicherweise in N/mm² (=MPa) oder kN/mm² (=GPa) angegeben.
Im Rahmen der Elastizitätstheorie entspricht der Schubmodul der zweiten Lamé-Konstanten und trägt dort das Symbol
μ
{\displaystyle \mu }
Der Schubmodul beschreibt das Verhältnis zwischen der Schubspannung
τ
{\displaystyle \tau }
γ
{\displaystyle \gamma }
τ
=
G
⋅
tan
γ
{\displaystyle \tau =G\cdot \tan \gamma }
Für kleine Winkel
γ
{\displaystyle \gamma }
tan
γ
≈
γ
{\displaystyle \tan \gamma \approx \gamma }
Kleinwinkelnäherung ).
Diese Formel ist analog zum Hooke’schen Gesetz für den 1-achsigen Spannungszustand :
σ
=
E
⋅
ε
{\displaystyle \sigma =E\cdot \varepsilon }
Schubsteifigkeit ist das Produkt aus dem Schubmodul
G
{\displaystyle G}
A
{\displaystyle A}
Schubsteifigkeit
=
G
⋅
A
⋅
κ
(
=
G
⋅
A
S
)
,
{\displaystyle {\text{Schubsteifigkeit}}=G\cdot A\cdot \kappa \left(=G\cdot A_{S}\right),}
N
{\displaystyle \mathrm {N} }
Der querschnittsabhängige Korrekturfaktor
κ
{\displaystyle \kappa }
τ
{\displaystyle \tau }
Schubfläche
A
S
{\displaystyle A_{S}}
Bei Torsionsbelastung eines Bauteils berechnet sich seine Torsionssteifigkeit aus dem Schubmodul und dem Torsionsträgheitsmoment
I
T
{\displaystyle I_{\mathrm {T} }}
T
o
r
s
i
o
n
s
s
t
e
i
f
i
g
k
e
i
t
T
=
G
⋅
I
T
,
{\displaystyle \mathrm {Torsionssteifigkeit_{T}} =G\cdot I_{\mathrm {T} },}
analog zur Ermittlung der Dehnsteifigkeit (aus dem Produkt von Elastizitätsmodul und Querschnittsfläche).
Bei einem isotropen Material steht der Schubmodul mit dem Elastizitätsmodul E , der Querkontraktionszahl ν (Poissonzahl) und dem Kompressionsmodul K in folgender Beziehung:
G
=
1
2
(
1
+
ν
)
⋅
E
=
3
K
E
9
K
−
E
=
3
(
1
−
2
ν
)
2
(
1
+
ν
)
⋅
K
{\displaystyle G={\frac {1}{2(1+\nu )}}\cdot E={\frac {3KE}{9K-E}}={\frac {3(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}\cdot K}
Für linear-elastisches, nicht -auxetisches Material ist die Poissonzahl größer-gleich null.
Aus der Energieerhaltung ergibt sich die positive Definitheit von Kompressionsmodul und E-Modul . Daraus folgt, dass die Poissonzahl unter 0,5 liegt.
(
0
≤
ν
<
0
,
5
)
{\displaystyle \left(0\leq \nu <0{,}5\right)}
1
3
E
<
G
≤
1
2
E
{\displaystyle {\frac {1}{3}}E<G\leq {\frac {1}{2}}E}
Auxetische Materialien sind so definiert, dass sie eine negative Poissonzahl haben, was nur bei wenigen Materialien der Fall ist.
Da der Schubmodul aufgrund der Energieerhaltung eine positiv definite Größe hat, gilt für auxetische Materialien im linear-elastischen Bereich:
1
2
E
<
G
a
u
x
<
+
∞
{\displaystyle {\frac {1}{2}}E<G_{\mathrm {aux} }<+\infty }
Da auch der E-Modul positiv definit ist, ergibt sich für die Poissonzahl der Gültigkeitsbereich
−
1
<
ν
a
u
x
<
0.
{\displaystyle -1<\nu _{\mathrm {aux} }<0.}
Der Modul…
…ergibt sich aus:[ 5]
(
K
,
E
)
{\displaystyle (K,\,E)}
(
K
,
λ
)
{\displaystyle (K,\,\lambda )}
(
K
,
G
)
{\displaystyle (K,\,G)}
(
K
,
ν
)
{\displaystyle (K,\,\nu )}
(
E
,
λ
)
{\displaystyle (E,\,\lambda )}
(
E
,
G
)
{\displaystyle (E,\,G)}
(
E
,
ν
)
{\displaystyle (E,\,\nu )}
(
λ
,
G
)
{\displaystyle (\lambda ,\,G)}
(
λ
,
ν
)
{\displaystyle (\lambda ,\,\nu )}
(
G
,
ν
)
{\displaystyle (G,\,\nu )}
(
G
,
M
)
{\displaystyle (G,\,M)}
Kompressionsmodul
K
{\displaystyle K\,}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
(
E
+
3
λ
)
/
6
+
{\displaystyle (E+3\lambda )/6+}
(
E
+
3
λ
)
2
−
4
λ
E
6
{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {(E+3\lambda )^{2}-4\lambda E}}{6}}}
E
G
3
(
3
G
−
E
)
{\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}
E
3
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}
λ
+
{\displaystyle \lambda +}
2
G
3
{\displaystyle {\tfrac {2G}{3}}}
λ
(
1
+
ν
)
3
ν
{\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}
2
G
(
1
+
ν
)
3
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}
M
−
{\displaystyle M-}
4
G
3
{\displaystyle {\tfrac {4G}{3}}}
Elastizitätsmodul
E
{\displaystyle E\,}
E
{\displaystyle E}
9
K
(
K
−
λ
)
3
K
−
λ
{\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}
9
K
G
3
K
+
G
{\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}}
3
K
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle 3K(1-2\nu )\,}
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
G
(
3
λ
+
2
G
)
λ
+
G
{\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}
λ
(
1
+
ν
)
(
1
−
2
ν
)
ν
{\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}
2
G
(
1
+
ν
)
{\displaystyle 2G(1+\nu )\,}
G
(
3
M
−
4
G
)
M
−
G
{\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}}
1. Lamé-Konstante
λ
{\displaystyle \lambda \,}
3
K
(
3
K
−
E
)
9
K
−
E
{\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}
λ
{\displaystyle \lambda }
K
−
{\displaystyle K-}
2
G
3
{\displaystyle {\tfrac {2G}{3}}}
3
K
ν
1
+
ν
{\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}}
λ
{\displaystyle \lambda }
G
(
E
−
2
G
)
3
G
−
E
{\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}
E
ν
(
1
+
ν
)
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
{\displaystyle \lambda }
2
G
ν
1
−
2
ν
{\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}
M
−
2
G
{\displaystyle M-2G\,}
Schubmodul
G
{\displaystyle G}
μ
{\displaystyle \mu }
3
K
E
9
K
−
E
{\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}
3
(
K
−
λ
)
2
{\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}}
G
{\displaystyle G}
3
K
(
1
−
2
ν
)
2
(
1
+
ν
)
{\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}
(
E
−
3
λ
)
+
{\displaystyle (E-3\lambda )+}
(
E
−
3
λ
)
2
+
8
λ
E
4
{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {(E-3\lambda )^{2}+8\lambda E}}{4}}}
G
{\displaystyle G}
E
2
(
1
+
ν
)
{\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}
G
{\displaystyle G}
λ
(
1
−
2
ν
)
2
ν
{\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
Poissonzahl
ν
{\displaystyle \nu \,}
3
K
−
E
6
K
{\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}}
λ
3
K
−
λ
{\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}
3
K
−
2
G
2
(
3
K
+
G
)
{\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}
ν
{\displaystyle \nu }
−
(
E
+
λ
)
+
{\displaystyle -(E+\lambda )+}
(
E
+
λ
)
2
+
8
λ
2
4
λ
{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {(E+\lambda )^{2}+8\lambda ^{2}}}{4\lambda }}}
E
2
G
{\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}}
−
1
{\displaystyle -1}
ν
{\displaystyle \nu }
λ
2
(
λ
+
G
)
{\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}
ν
{\displaystyle \nu }
ν
{\displaystyle \nu }
M
−
2
G
2
M
−
2
G
{\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}
Longitudinalmodul
M
{\displaystyle M\,}
3
K
(
3
K
+
E
)
9
K
−
E
{\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}
3
K
−
2
λ
{\displaystyle 3K-2\lambda \,}
K
+
{\displaystyle K+}
4
G
3
{\displaystyle {\tfrac {4G}{3}}}
3
K
(
1
−
ν
)
1
+
ν
{\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}
E
−
λ
+
E
2
+
9
λ
2
+
2
E
λ
2
{\displaystyle {\tfrac {E-\lambda +{\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}{2}}}
G
(
4
G
−
E
)
3
G
−
E
{\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}
E
(
1
−
ν
)
(
1
+
ν
)
(
1
−
2
ν
)
{\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}
λ
+
2
G
{\displaystyle \lambda +2G\,}
λ
(
1
−
ν
)
ν
{\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}
2
G
(
1
−
ν
)
1
−
2
ν
{\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}
M
{\displaystyle M}
↑ Crandall, Dahl, Lardner: An Introduction to the Mechanics of Solids . McGraw-Hill, Boston 1959. ↑ Eurocode 3: Stahlbau. Abgerufen am 7. Mai 2020 . ↑ Matthew A. Hopcroft, William D. Nix , Thomas W. Kenny: What is the Young’s Modulus of Silicon? In: Journal of Microelectromechanical Systems . Band 19 , Nr. 2 , 2010, S. 229–238 , doi :10.1109/JMEMS.2009.2039697
↑ Berechnung des Schubmoduls von Gläsern (englisch).↑ G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin: The Rock Physics Handbook . Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-54344-4 (paperback).
