Trigonometrische Gleichung
Eine trigonometrische Gleichung (auch goniometrische Gleichung) ist eine Gleichung, in der die zu bestimmende Variable im Argument von trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) vorkommt. Bei der Lösung dieser Gleichungen sind die Beziehung zwischen den Winkelfunktionen hilfreich, insbesondere die Additionstheoreme.[1]
Anzahl der Lösungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Wegen der Periodizität der Winkelfunktionen haben trigonometrische Gleichungen im Allgemeinen unendlich viele Lösungen. Durch Beschränkung der Grundmenge auf ein „Basisintervall“ (zum Beispiel [0,2·π] oder [0,π]) reduziert man die Zahl der Lösungen auf eine endliche Anzahl oder man beschreibt die Lösungen durch einen Periodizitätssummanden (wie k·2·π oder k·π).
Beispiel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die trigonometrische Gleichung
kann man unter Verwendung der Beziehung umformen zu
Durch Quadrieren erhält man
und daraus
also
mit den Lösungen
beziehungsweise im Bogenmaß
Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss man diese Lösungen an der Ausgangsgleichung verifizieren. Dadurch erhält man als gültige Lösungen der Ausgangsgleichung
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Arnfried Kemnitz: Mathematik zum Studienbeginn. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1741-9, S. 75.